F5 - Lista 02 - Desigualdades no Triângulo

SAVE OFFLINE

MAT5-LISTA2: DESIGUALDADES NO TRIÂNGULO Prof. Marcão

1. No triângulo ABC, os lados AB e AC medem respectivamente 10cm e 4cm. Sabendo que a medida BC e’ um numero inteiro quando expresso em centímetros, determine quantos são os possíveis valores de BC.

10. Prove que o maior lado de um triângulo é menor que o semiperimetro.

2. Os lados de um triângulo são 10, x+2 e 12-2x. Determine o numero de valores inteiros de x.

12. Os lados de um triângulo são expressos por números inteiros. O perímetro do triângulo é 24. Determine quantos triângulos não congruentes existem nessas condições.

11. Prove que o maior lado de um triângulo é maior ou igual a um terço do perímetro.

3. Os lados de um triângulo tem medidas expressas em números inteiros. Sabendo que seu perímetro é 14, calcule os lados do triângulo

13. (ITA 2021) O número de triângulos, dois a dois não congruentes, de perímetro 87, cujos lados, dispostos em ordem crescente de comprimento, são números inteiros em progressão aritmética de razão não nula, é igual a : a) 12 b)14 c)16 d)18 e) 20

4. No triângulo ABC, a medida AB e’ expressa por um numero inteiro. Determine seu valor máximo , sabendo que as medidas AC e BC medem respectivamente 27cm e 16cm e que 𝐶̂ < 𝐴̂ < 𝐵̂

14. Mostre que a hipotenusa de um triângulo retângulo é maior que a semi soma dos catetos.

5. Se P e’ um ponto interno de um triângulo ABC, mostre que 𝐵𝑃̂ 𝐶 > 𝐵𝐴̂𝐶.

15. Se ma e’ a mediana relativa ao lado a de um triângulo de lados a,b e 𝑏−𝑐 𝑏+𝑐 c, então | | < 𝑚𝑎 < .

6. Se P e’ um ponto interno de um triângulo ABC, mostre que 𝑃𝐵 + 𝑃𝐶 < 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 .

2

2

16. Prove que a soma das medianas de um triângulo é menor que o perímetro e maior que o semiperimetro. 17. Prove que o perímetro de um triângulo não é maior que 4/3 da soma das medianas. 18. Mostre que o perimetro do triângulo ∆𝐷𝐸𝐹 da figura abaixo é menor que o perímetro do triângulo ∆𝐴𝐵𝐶 .

7. Se P e’ um ponto interno de um triângulo ABC e x=PA, y=PB e z=PC, mostre que 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 esta entre o semiperimetro e o perímetro do triângulo. 8. A soma das distancias de P aos vértices pode ser

a) b) c) d) e)

19. Resolva as seguintes questões relativas aos triângulos.

10 12 13 18 26

a) Dados os pontos A e B distintos e fora da reta r. Determine na reta r os pontos P e P’ tais que:

9. Na figura a seguir, determine qual o ângulo que é oposto ao lado de menor comprimento 𝑃𝐴 + 𝑃𝐵 é a menor possível |𝑃′𝐴 − 𝑃′𝐵| é o maior possível

1

b) Dentre todos os triângulos ABC que possuem o mesmo vértice A e outros vértices B e C sobre os lados de um ângulo agudo rôs, qual é aquele de perímetro mínimo?

25. O ponto C está dentro de um angulo reto, e os pontos A e B estão sobre seus lados. Prove que o perímetro do triângulo ABC não é menor que duas vezes a distancia OC, onde O é o vértice do angulo reto.

c) Duas cidades A e B estão separadas por um rio com margens retas paralelas, sobre o qual se quer construir uma ponte perpendicular às margens e uma estrada formada por trechos retos ligando essas cidades e a ponte. Construa esse percurso de forma que seja o mais curto.

26. No quadrado ABCD, sejam P e Q pontos pertencentes aos lados BC e CD respectivamente, distintos dos extremos, tais que BP = CQ. Consideram-se pontos X e Y , X ≠ Y , pertencentes aos segmentos AP e AQ respectivamente. Demonstre que, quaisquer que sejam X e Y , existe um triângulo cujos lados tem os comprimentos dos segmentos BX, XY e DY .

d) Num ∆ABC dado, pede-se inscrever o ∆DEF de perímetro mínimo. 20. Prove que se é possível construirmos um triângulo com lados a, b e c, também é possível construirmos um triângulo com lados de comprimentos

1

,

1

𝑎+𝑏 𝑎+𝑐

𝑒

1 𝑏+𝑐

.

21. Na figura abaixo, verifique que: a)

𝐴𝐵+𝐵𝐶+𝐶𝐷+𝐷𝐴 2

27. Prove que a distancia entre quaisquer dois pontos dentro de um triângulo não é maior que que metade do perímetro do triângulo.

< 𝐴𝐶 + 𝐵𝐷

b) 𝐵𝐷 + 𝐴𝐶 < 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐶𝐷 + 𝐷𝐴

28. Os ângulos 𝐵𝐴̂𝐷 e 𝐶𝐵̂ 𝐴 do quadrilátero convexo ABCD são iguais e BC = 1, AD = 3. Prove que o comprimento de CD é maior que 2. 29. Um triângulo tem lados inteiros distintos, o maior deles medindo 2015. Quais são as medidas dos dois outros lados se a área do triângulo é a menor possível? a) 2 e 2014 d) 1007 e 1009

22. Encontre um ponto dentro de um quadrilátero convexo tal que a soma das distancias do ponto aos vértices é mínima.

b) 3 e 2013 c) 1006 e 1010 e) 1008 e 1009 GABARITO

23. Prove que a soma das diagonais de um pentágono convexo é maior que o perímetro mas é menor que o dobro do perímetro.

1. 7

2. 3

3. (6,6,2),(6,5,3),(6,4,4),(5,5,4)

5 a 7. Demonstrações

24. Um ponto A, dentro de um angulo acutangulo, é refletido em cada lado do angulo para obtermos os pontos B e C. O segmento de reta 𝐵𝐶 BC intersecta os lados do angulo em D e E. Mostre que > 𝐷𝐸.

12.12

2

2

13. B

8. D

9.

58O

14 a 28 demonstração

4. 15

10 e 11: demo 29.A