Lista 02 de Exercicios Calculo

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C´ alculo 2 - Cap´ıtulo 1.1 - O espa¸co R2 - vers˜ ao 02/2009

20

Exerc´ıcios - Cap´ıtulo 1.1

N´ıvel 1 Espa¸ co R2 Exemplo 1: represente o elemento (2, −1) do R2 em no plano cartesiano. y

Solu¸ca˜o:

x 0

1

2 b

−1

E1) Represente os seguintes elementos do R2 no plano cartesiano. a) (2, 3). b) (−2, 1). c) (2, 0). d) (−1, −2). Exemplo 2: represente vetorialmente o elemento (2, −1) do R2 no plano cartesiano. y

Solu¸ca˜o:

x 0

1

2

−1

E2) Represente vetorialmente os elementos do R2 do exerc´ıcio E1 no plano cartesiano. Exemplo 3: determine o elemento do R2 representado vetorialmente abaixo. y 2

1

0

1

2

x

3

Solu¸ca˜o: (3, 2).

E3) Escreva os elementos do R2 representados vetorialmente abaixo. y y b) a) x

1 0

x 0

y

c)

1

2

−1

1

2

3

x −2

−1

0

−1

C´ alculo 2 - Cap´ıtulo 1.1 - O espa¸co R2 - vers˜ ao 02/2009

21

Soma Exemplo 4: fa¸ca a soma dos elementos (−1, 2) e (3, 5) do R2 . Solu¸ca˜o: (−1, 2) + (3, 5) = (−1 + 3, 2 + 5) = (2, 7).

E4) Calcule as seguintes somas de elementos do R2 . a) (1, 4) + (3, 2). b) (−1, 6) + (4, 6). c) (−2, 4) + (2, −4). Produto por um escalar Exemplo 5: fa¸ca o produto do elemento (−3, 4) do R2 pelo n´ umero real 3. Solu¸ca˜o: 3(−3, 4) = (3 · (−3), 3 · 4) = (−9, 12).

E5) Calcule as produtos dos elementos do R2 dados pelos escalares dados. a) (1, 3) ∈ R2 por 2 ∈ R. b) (−2, 4) ∈ R2 por −3 ∈ R. c) (2, 6) ∈ R2 por



3 ∈ R.

Exemplo 6: dados os elementos (−3, 4) e (2, −1) do R2 , calcule 3(−3, 4) − 2(2, −1). Solu¸ca˜o: 3(−3, 4) − 2(2, −1) = (−9, 12) − (4, −2) = (−13, 14).

E6) Efetue as seguintes opera¸c˜ oes: a) 3(−1, 2) + 4(2, 3). b) −1(3, 5) + 4(0, 6). c) (−1, 3) + 4(2, 5) − 2(3, 1).

N´ıvel 2 E1) Encontre os valores de α e β tais que α(1, −2) + β(3, −1) = (−1, −1).

E2) (Leitura Complementar 1.1.4) Um elemento do R2 ´e dado, em coordenadas polares, por (r, θ) = (4, 30o ). Calcule esse elemento em coordenadas cartesianas. E3) (Leitura Complementar 1.1.4) Um elemento do R2 ´e dado, em coordenadas cartesianas, por (x, y) = (4, 4). Calcule esse elemento em coordenadas polares.

N´ıvel 3 E1) Dado o triˆ angulo ABC abaixo, onde M ´e o ponto m´edio do lado AC e N ´e o ponto m´edio do lado BC, prove que M N ´e paralelo a AB e que o seu comprimento ´e metade do comprimento de AB. Use, para isso, a nota¸c˜ao vetorial de um ponto no plano cartesiano. C

M

A

N

B
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