2 Pages • 495 Words • PDF • 75.4 KB
Uploaded at 2021-09-24 08:54
This document was submitted by our user and they confirm that they have the consent to share it. Assuming that you are writer or own the copyright of this document, report to us by using this DMCA report button.
C´ alculo 2 - Cap´ıtulo 1.1 - O espa¸co R2 - vers˜ ao 02/2009
20
Exerc´ıcios - Cap´ıtulo 1.1
N´ıvel 1 Espa¸ co R2 Exemplo 1: represente o elemento (2, −1) do R2 em no plano cartesiano. y
Solu¸ca˜o:
x 0
1
2 b
−1
E1) Represente os seguintes elementos do R2 no plano cartesiano. a) (2, 3). b) (−2, 1). c) (2, 0). d) (−1, −2). Exemplo 2: represente vetorialmente o elemento (2, −1) do R2 no plano cartesiano. y
Solu¸ca˜o:
x 0
1
2
−1
E2) Represente vetorialmente os elementos do R2 do exerc´ıcio E1 no plano cartesiano. Exemplo 3: determine o elemento do R2 representado vetorialmente abaixo. y 2
1
0
1
2
x
3
Solu¸ca˜o: (3, 2).
E3) Escreva os elementos do R2 representados vetorialmente abaixo. y y b) a) x
1 0
x 0
y
c)
1
2
−1
1
2
3
x −2
−1
0
−1
C´ alculo 2 - Cap´ıtulo 1.1 - O espa¸co R2 - vers˜ ao 02/2009
21
Soma Exemplo 4: fa¸ca a soma dos elementos (−1, 2) e (3, 5) do R2 . Solu¸ca˜o: (−1, 2) + (3, 5) = (−1 + 3, 2 + 5) = (2, 7).
E4) Calcule as seguintes somas de elementos do R2 . a) (1, 4) + (3, 2). b) (−1, 6) + (4, 6). c) (−2, 4) + (2, −4). Produto por um escalar Exemplo 5: fa¸ca o produto do elemento (−3, 4) do R2 pelo n´ umero real 3. Solu¸ca˜o: 3(−3, 4) = (3 · (−3), 3 · 4) = (−9, 12).
E5) Calcule as produtos dos elementos do R2 dados pelos escalares dados. a) (1, 3) ∈ R2 por 2 ∈ R. b) (−2, 4) ∈ R2 por −3 ∈ R. c) (2, 6) ∈ R2 por
√
3 ∈ R.
Exemplo 6: dados os elementos (−3, 4) e (2, −1) do R2 , calcule 3(−3, 4) − 2(2, −1). Solu¸ca˜o: 3(−3, 4) − 2(2, −1) = (−9, 12) − (4, −2) = (−13, 14).
E6) Efetue as seguintes opera¸c˜ oes: a) 3(−1, 2) + 4(2, 3). b) −1(3, 5) + 4(0, 6). c) (−1, 3) + 4(2, 5) − 2(3, 1).
N´ıvel 2 E1) Encontre os valores de α e β tais que α(1, −2) + β(3, −1) = (−1, −1).
E2) (Leitura Complementar 1.1.4) Um elemento do R2 ´e dado, em coordenadas polares, por (r, θ) = (4, 30o ). Calcule esse elemento em coordenadas cartesianas. E3) (Leitura Complementar 1.1.4) Um elemento do R2 ´e dado, em coordenadas cartesianas, por (x, y) = (4, 4). Calcule esse elemento em coordenadas polares.
N´ıvel 3 E1) Dado o triˆ angulo ABC abaixo, onde M ´e o ponto m´edio do lado AC e N ´e o ponto m´edio do lado BC, prove que M N ´e paralelo a AB e que o seu comprimento ´e metade do comprimento de AB. Use, para isso, a nota¸c˜ao vetorial de um ponto no plano cartesiano. C
M
A
N
B