F5 - Lista 03 - Congruencia de Triangulos

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MAT 5_LISTA 3: CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS Prof. Marcão

5. (OBM 2005) O canto de um quadrado de cartolina foi cortado com uma tesoura. A soma dos comprimentos dos catetos do triângulo recortado é igual ao comprimento do lado do quadrado. Qual o valor da soma dos ângulos  e  marcados na figura abaixo?

ORIENTAÇÃO DE ESTUDOS BÁSICO INTERMEDIÁRIO AVANÇADO

1 a 15, 17,20,21 5 ,10 a 15,17,19 a21, 25,29,31,33,43 14,15,17,20,21,23,29,33,38,42,43,46,48,49

27

1. (Uece 2010) No retângulo PQRS as medidas dos lados PQ e PS são, respectivamente, 15 m e 10 m. Pelo ponto médio, F, do lado PS traçase o segmento FR dividindo o retângulo em duas partes. Se E é o ponto do lado PQ tal que a medida do segmento EQ é 5 m, traça-se por E uma perpendicular a FR determinando o ponto G em FR. Nestas condições, a medida da área, em metros quadrados, do quadrilátero PFGE é a) 50,25. b) 53,25. c) 56,25. d) 59,25.





6. Na figura abaixo, os triângulos ABC e DBE são congruentes. Calcule x

2. (Fuvest 2016) Os pontos A, B e C são colineares, AB  5, BC  2 e B está entre A e C. Os pontos C e D pertencem a uma circunferência com centro em A. Traça-se uma reta r perpendicular ao segmento BD passando pelo seu ponto médio. Chama-se de P a interseção de r com AD. Então, AP  BP vale a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

7. Na figura, os triângulos ABC e BDP são equiláteros e CD=6. Ache AP.

3. (Uece 2019) Considere o quadrado MNPQ, cuja medida do lado é igual a 5 cm. No interior desse quadrado, está o triângulo equilátero MJL, onde os vértices J e L estão respectivamente sobre os lados NP e PQ do quadrado. Nessas condições, pode-se afirmar

corretamente que a medida, em cm2 , da área limitada pelo triângulo MJL é igual a a) 50  50 3. b) 25  25 3. c) 25  25 3. d) 75  50 3. 8. Se 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷, calcule x.

4. (Uece 2018) No triângulo XYZ o ponto D, no lado YZ, pertence à mediatriz do lado XZ. Se XD é a bissetriz do ângulo interno no vértice X e se a medida do ângulo interno em Y é 105 graus, então, a medida, em graus, do ângulo interno em Z é a) 30. b) 20. c) 35. d) 25. \

1

13. (OLIMPÍADA SINGAPURA) Na figura abaixo, ABC é um triângulo e P um de seus pontos internos. Se AB = 8, BC = BP + PA, BPA = 120° e PBC = 60°, então PC é igual a

9. Se 𝐴𝐷 = 𝐵𝐶 e 𝜃 + 𝛽 = 500 , calcule x.

a)

10

b) 9

c) 8

d) 7

e) 6

10. Calcule x. NÍVEL ITA 14. (ITA 2008) Considere o triângulo ABC isósceles em que o ângulo distinto dos demais, BAC, mede 40º. Sobre o lado AB , tome o ponto E tal que ACE= 15º. Sobre o lado AC , tome o ponto D tal que DBC= 35º. Então, o ângulo EDB vale a)35º 11. (OBM 2000) No retângulo ABCD, E é o ponto médio do lado BC e F é o ponto médio do lado CD. A interseção de DE com FB é G.O ângulo 

e)85º

  BAFe   EAD .

C

.

G

16. ABCD é um quadrado AE  x  , CF  y  ,

E

A

d)75º

do segmento CD e F um ponto sobre o segmento CE tal que m( BC )  m(CF )  m( AF ) . Prove que cos   cos 2 , sendo



F

c)55º

15. (ITA 2003) Considere um quadrado ABCD. Sejam E o ponto médio

EAF mede 20o. Quanto vale o ângulo EGB ? D

b)45º

de lado . Dado que EDF  FDC e DE  2 .

B

12. (OBM) Na figura ao lado A, D e B são pontos colineares. ADE e DBC são triângulos retângulos com ângulo reto A e B respectivamente. Se ADE = 75°, CDB = 45°, ED = DC e AE = 8, então x + y é igual a: Mostre que

x y 2

17. (OLIMPÍADA ITALIANA) Em um triângulo ABC, retângulo em B, traçam-se as bissetrizes internas CE e AD, conforme figura abaixo. Sendo F e G projeções ortogonais de E e D sobre a hipotenusa AC, respectivamente, podemos afirmar que a medida, em graus, do ângulo FBG, é

a)20º

2

b)30º

c)45º

d)50º

e)16º

18. Seja ABC um triângulo escaleno. No prolongamento de ̅̅̅̅ 𝐴𝐶 toma-se o ponto M e na região externa relativa a ̅̅̅̅ 𝐵𝐶 , toma-se o ponto N, tal que AB=CM e 𝐵𝐴̂𝐶 = 600 , e o triângulo BCN é equilátero. Calcule ̂ 𝑁. a medida de 𝐶𝑀

26. Na figura abaixo, ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 ∥ ̅̅̅̅ 𝐶𝐸 , 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 𝑒 𝐶𝐸 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐷. Calcule ̂ 𝐵𝐸 𝐷.

19. Se constroem exteriormente os triângulos equiláteros ABE e BFC sobre os lados ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 e ̅̅̅̅ 𝐵𝐶 de um triângulo escaleno ABC, tal que ̅̅̅̅ 𝐴𝐹 ∩ ̅̅̅̅ 𝐶𝐸 = {𝑃}. Calcule 𝐴𝑃̂𝐶. 20. Calcule x.

̅̅̅̅ é perpendicular a 𝐵𝐸 ̅̅̅̅ 27. Na figura a seguir ABCD é um quadrado e 𝐷𝐹 ̂ .Determine a medida do ângulo 𝐶𝐸 𝐺.

21. Na figura a seguir, calcule DE se AE = EM.

28. Em um triângulo ABC, retangulo em B, traça-se a altura BH e a bissetriz interior AD, as quais se interceptam em F, tal que 𝐶𝐷 = 2. 𝐵𝐹. Calcule a 𝑚(𝐴𝐶̂ 𝐵). 29. Em um triângulo retângulo ABC, reto em B, toma-se M no interior tal que M pertence a bissetriz de 𝐴𝐶̂ 𝐵. Tambem temos que ̂ 𝐶) = 90𝑂 + 𝑚(𝐴𝐶̂ 𝑀), 𝐴𝐵 = 8 e 𝐵𝑀 = 3. Ache 𝑚(𝐵𝑀 𝑡𝑔(𝐵𝐴̂𝐶).

̅̅̅̅ , se traça a ceviana 22. Em um triângulo isósceles ABC, de base 𝐴𝐶 ̂ 𝐶. interior BD, tal que 𝐶𝐷 = 𝐴𝐷 + 𝐵𝐷. Ache a medida de 𝐵𝐷 a) 150

b)

370 2

c) 300

d) 450

e) 600

̅̅̅̅, tal que 𝐴𝐵 = 30. Em um triângulo ABC traça-se a ceviana interior 𝐴𝐷 ̂ ̂ 𝐴𝐷, 𝑚(𝐵𝐴𝐷) = 2𝑚(𝐶𝐴𝐷) e 5. 𝐵𝐷 = 6𝐶𝐷. Calcule 𝑡𝑔(𝐵𝐴𝐷).

23. Nas regiões interior e exterior relativas a ̅̅̅̅ 𝐴𝐶 de um triângulo ABC, situam-se os pontos D e E respectivamente, tal que AB=CD, BE=AC, ̂ 𝐸 = 50𝑂 . Calcule 𝐵𝐸̂ 𝐷. 𝐷𝐴̂𝐶 = 35𝑂 , 𝐸𝐴̂𝐶 = 45𝑂 , 𝐴𝐷

31. Na figura, AB=BC, AM=3 e CN=4. Calcule MN.

24. Em um triângulo ABC traça-se a ceviana interior ̅̅̅̅ 𝐵𝐷 , tal que AB=CD. ̂ 𝐵 = 70𝑂 . Calcule 𝐴𝐶̂ 𝐵. Ainda, 𝐴𝐵̂ 𝐷 = 30𝑂 e 𝐶𝐷 25. Na figura, AC=BD. Calcule

𝐵𝐶 𝐶𝐷

.

3

32. Na figura mostrada, BC=CD, AC=5 e DE=4. Calcule AB.

36. Na figura a seguir temos que BAC é um retângulo em A. ADEC e ABGF são quadrados. Demonstre que 𝑥 + 𝑦 = 𝐵𝐶 .

ˆ  Cˆ , M é ponto médio 37. No triângulo ABC, retângulo em B, com A ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ de 𝐴𝐶 , N pertence a 𝐵𝐶 e 𝑀𝑁 é mediatriz de ̅̅̅̅ 𝐴𝐶 . Sabendo que 𝐵𝑁 = 𝑀𝑁, determine a medida do ângulo 𝐵𝐴̂𝐶 A) 750 B) 600 C) 450 D) 37° E) 15°

33. Na figura abaixo os triângulos ABC e ADC são isósceles ( AB = AC e AD = DC ) e os ângulo dos vértices A e D medem, respectivamente 20º e 100º. Prove que AB  BC  CD A

Aprofundamento 38. Em um triângulo retângulo ABC, reto em B, 𝑚(𝐵𝐴̂𝐶) = 60𝑂 e se traça a bissetriz interior CD. Tomamos M e N em ̅̅̅̅ 𝐴𝐷 𝑒 ̅̅̅̅ 𝐶𝐷 tal que 𝐶𝐷 ̂C BD= DM e 𝑀𝑁 = . Calcule 𝑀𝑁 2

39. Seja ABC um triângulo retângulo em C. As bissetrizes internas de ˆ e ABC ˆ encontram ̅̅̅̅ 𝐵𝐶 e ̅̅̅̅ 𝐶𝐴 em P e Q, respectivamente. BAC Sejam M e N os pés das perpendiculares a partir de P e Q até ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 , respectivamente. Encontre a medida do ângulo M𝐶̂ N.

D

40. Na figura. CD=AB+AC. Calcule x em função de θ. B

C

34. Prove that the sum of the measures of the perpendiculars from any point on a side of a rectangle to the diagonals is constant. 35. O triângulo ABC é isósceles, AB = AC. Seja P um ponto qualquer da base BC. Demonstre que 𝑥 + 𝑦 é constante. Considere agora Q externo de BC mas contido na reta BC. Demonstre que |𝑥 − 𝑦| é constante.

41. Na figura seguinte, 𝐴𝐵 = 𝑎 e 𝐶𝐷 = 𝑏. Calcule AD.

4

42. Do gráfico, AB=BR. Calcule 𝐴𝑅⁄𝐼𝑆

49. O ΔABC é isósceles AB = AC e B𝑎̂C =20º. Se AD= BC ,determine a ̂ C. medida do ângulo B𝐷

43. Em um triângulo ABC, 𝑚(𝐵𝐴̂𝐶) = 60𝑂 e na bissetriz interior ̅̅̅̅ 𝐴𝐷 se toma P tal que 𝐴𝑃 = 6, 𝑃𝐵 = 3√2 𝑒 𝑃𝐶 = 5. Calcule 𝑚(𝑃𝐵̂ 𝐶) + 𝑚(𝑃𝐶̂ 𝐵).

 

50. No triângulo ABC , isósceles de base BC temos m A  80 . Seja E  AB

3

Adote 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 = 370 4



e

D  BC

tais

que





m BCE  20



e

m BAD  30 . Determine a medida do ângulo DEC .

44. No gráfico, 𝐴𝑀 = 𝑀𝑂 𝑒 𝑆𝑅 = 6. Calcule AD.

51. Pede-se α.

45. No gráfico mostrado, 𝐷𝑁 = 2. 𝐴𝐵. Calcule 𝜃.

52. No interior de um triângulo ABC ( AB=BC) , toma-se o ponto P tal que PB=AC, 𝑚(𝑃𝐵̂ 𝐴) = 10𝑜 e 𝑚(𝑃𝐵̂ 𝑐) = 30𝑜 . Calcule a medida do ângulo 𝑃𝐴̂𝐵 53. (Instituto Físico Técnico de Moscou ) Num triângulo isósceles ABC, de base AC, o ângulo do vértice B é igual a 20°.Nos lados AB e BC são tomados respectivamente os pontos Q e P de modo que

46. Da figura, sabemos que AB  RC , e

ACQ  60 e C AP  50. Calcule a medida do ângulo ACQ .

ABR  6 x , RBC  7 x

ACB  x . Determine, x .

Gabarito

B

A

R

2) D

3) D

5) 63O

6) 45o

8) 260

9) 500

10) 300 11) 20O 12) D

13) C

14) D

15) e 16) demonstrações

17)C

20) 5

21) DE=10

22) E

23) 15O

26)10o

27)450

33) a

36) demonstrações

24) 40o

C

30)

47. Em um triângulo ABC, traça-se a ceviana interna ̅̅̅̅ 𝐵𝐷 tal que 𝐴𝐵 = 𝐷𝐶 . Se 𝐵𝐴̂𝐷 = 400 e 𝐷𝐵̂ 𝐶 = 𝐴𝐵̂ 𝐷 + 𝐵𝐶̂ 𝐴 , calcule 𝐷𝐶̂ 𝐵. 48. No triângulo abaixo, sabemos que AB = AC, Â =100° e AD = BC. Determine a medida do ângulo CBD.

4 3

25). 31) 5

1 2

32) 7

C

5

18) 600

41).2𝑎 − 𝑏

42) 1

43). 38o 44) 10√2

45).180

48).100

7) AP=6

19)1200

28)30o 29)

38) 1500 39) 450 40) 4θ

51) 650 52) 20O 53) 30O B

4)D

37) B

46) 120 47) 400

A

D

1)C

3 4

49) 300 50) 400