F4 - Lista 04 - Base Média e Relações Métricas no Triângulo

SAVE OFFLINE

MAT4– LISTA4: BASE MÉDIA / RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIANGULO RETANGULO Prof. Marco Miola

1) (ITA 1989) Considere um quadrilátero ABCD cujas diagonais AC e BD medem, respectivamente, 5cm e 6cm. Se R, S, T, U são os pontos médios dos lados do quadrilátero dado, então o perímetro do quadrilátero RSTU vale: a) 22cm

b) 5,5cm

c) 8,5cm

d) 11cm

8) No gráfico mostrado , DA=AN . Calcule tan 𝛼.

e) 13cm

2) Considere um triângulo ABC, cujas as medidas dos ângulos internos são BAC  50 , ACB  60 e ABC  70 . AE é bissetriz de BAC e BD é bissetriz de ABC . Sabe-se ainda

9) (OBM ) Em um quadrilátero convexo ABCD, os lados opostos AD e BC são congruentes e os pontos médios das diagonais AC e BD são distintos. Prove que a reta determinada pelos pontos médios das diagonais forma ângulos iguais com AD e BC.

que CP  BD e CQ  AE . Prove que PQ é paralelo a AB 3) (Fuvest) Em um trapézio isósceles, a altura é igual à base média. Determinar o ângulo que a diagonal forma com a base.

10) (OBM ) Uma reta que passa pelos pontos médios de dois lados opostos de um quadrilátero convexo forma ângulos iguais com ambas as diagonais. Mostre que as duas diagonais têm o mesmo comprimento.

4) Prove que os pontos médios dos lados de um quadrilátero qualquer são vértices de um paralelogramo. 5) Quando uma base de um trapézio é o dobro da outra, as diagonais dividem a base média em três partes iguais. Provar.

11) Um trapézio isósceles é um quadrilátero convexo plano que possui dois lados não paralelos iguais e duas bases paralelas. Suponha que ABCD seja um tal trapézio. Nele os lados iguais são AD e BC e as bases são AB e CD. As diagonais AC e BD cortam-se no ponto I, de modo que o ângulo AIB vale 60°.

6) (OBM 2006) Na figura a seguir, ABC é um triângulo qualquer e ACD e AEB são triângulos eqüiláteros. Se F e G são os pontos BD médios de EA e AC, respectivamente, a razão é: FG

a) Mostre que os triângulos BPC e BQC são retângulos.[ onde P e Q são os pontos médios de AI e ID respectivamente] b) Mostre que o triângulo formado pelos pontos médios de AI, ID e BC é eqüilátero.

D

E

A

F

D

G

B

C

A

1 a) 2 b) 1 3 c) 2 d) 2 e) Depende das medidas dos lados de ABC.

C

B

12) No triangulo ABC, o ângulo A mede 600 e o ângulo B mede 500. Sejam M o ponto médio do lado AB e P o ponto sobre o lado BC tal que 𝐴𝐶 + 𝐶𝑃 = 𝐵𝑃 . Calcule a medida do ângulo 𝑀𝑃̂ 𝐶. 13) Sobre os lados ̅̅̅̅ 𝑀𝐿 e ̅̅̅̅ 𝑁𝐿 de um triangulo retângulo MNL, reto em M, tomam-se os pontos B e D, tal que 𝑁𝐷 = 𝐷𝐿, 𝐵𝐿 − 𝐵𝑀 = 24 e 𝑀𝑁 = 10. Calcule BD.

7) Na figura, os triângulos ABP e BDC são equiláteros e AC=6. Calcule MN.

̅̅̅̅̅ 14) Seja ABC um triangulo retângulo, reto em B, 𝑀 ∈ ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 e 𝑁 ∈ 𝐵𝐶. ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ O ponto T é ponto médio de 𝑀𝑁 e Q é ponto médio de 𝐴𝐶 . Se 𝐴𝑀 = 4 e 𝑁𝐶 = 6, quanto mede TQ ? 15) Em um triangulo retângulo ABC, reto em B, exteriormente se traça um triangulo equilátero BCD. Ache a distancia entre os pontos médios de ̅̅̅̅ 𝐵𝐷 𝑒 ̅̅̅̅ 𝐴𝐶 , se 𝐴𝐷 = 𝑎 . ̅̅̅̅ e ̅̅̅̅ 16) Sejam M,N e Q pontos médios de ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 , 𝐵𝐶 𝐶𝐷 respectivamente. Se ABCD é um quadrilátero de diagonais perpendiculares e congruentes, calcule 𝑚(𝑀𝑄̂ 𝑁).

1

17) Em um triangulo retângulo ABC, reto em B, traçam-se as cevianas interiores AN e CM, tal que AM=10 e CN =24. Calcule o comprimento do segmento cujos extremos são os pontos médios ̅̅̅̅ 𝑒 𝐶𝑀 ̅̅̅̅̅. de 𝐴𝑁

5) (Unesp) Sejam AB um diâmetro de uma circunferência e BC um segmento de reta tangente a essa circunferência,

AB  3 5 m e BC  5 m . Por C traça-se uma reta perpendicular a BC que intercepta a circunferência em D e E. Se CD < CE, então a medida de CD é:

18) No interior de um triangulo acutangulo ABC, toma-se o ponto P tal que 𝐴𝑃̂ 𝐵 = 900 e 𝐵𝐴̂𝑃 = 𝐵𝑃̂ 𝑀 ( M é o ponto médio de ̅̅̅̅ 𝐵𝐶 ) . Se 𝐴𝐵 = 8 e 𝐴𝐶 = 10, ache MP. ̅̅̅̅ de um triangulo isósceles 19) Em uma região exterior relativa a 𝐴𝐶 ̅̅̅̅ , toma-se P, tal que 𝑚(𝐵𝑃̂ 𝐶) = 900 . Se ABC de base 𝐴𝐶 𝑚(𝐴𝐵̂𝐶) = 4𝑚(𝐴𝐶̂ 𝑃), 𝐴𝐵 = 8 𝑒 𝐴𝐶 = 6, calcule a distancia de P ao ponto médio de ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 .

3) 450 6) C 12) 1450 𝑎 15)

4) demo 7) 3 8) 2 13) 13 16) 450

17) 12

18)3

19) 5

2

3 5 2m

b)

3 55 2m

d)

3 5 2m

e)

5 3 2m

c)

53 5 2m

6) (Ufscar ) A hipotenusa do triângulo retângulo ABC está localizada sobre a reta real, conforme indica a figura.

Gabarito Base Média 1) D 2) demo 5) demo 9) a 11) demo 14) √13

a)

30. (Ufc 96) Considere a figura a seguir na qual os 34. segmentos de reta AB e CD são perpendiculares ao da s Se x > 0 e a medida daBC. alturaSe BDårelativa ao lado do triângulo ABC O p segmento de reta æ=19cm, æèAC =12cm e éè2î =14cm, x é o númeroa real 6 , entãodetermine medida, em centímetros, do Ae deb)reta 5cm a)segmento 2 3. 4. AD.c) 3 2 . d) 5. e) 3 3 .

RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIANGULO RETANGULO 1) Considere o retângulo ABCD abaixo em que a base mede 12 cm e a altura mede 5 cm. Determine a distância do vértice A à diagonal DB.

7) (Mackenzie ) No triângulo retângulo em A da figura a seguir, h pode ser:

2) (Cesgranrio ) Os catetos b e c de um triângulo retângulo ABC medem 6 e 8, respectivamente. A menor altura desse triângulo mede: a) 4,0.

b) 4,5.

c) 4,6.

d) 4,8.

2a 3a 2a 4a 3a Sej a) . b) . c) . d) . e) . 5 5 5 31.3 (Udesc 96) as áreas dos triângulos e to 4 DETERMINE ABM e BCM. COMENTE estes resultados com 8) (Udesc ) DETERMINE as áreas comparados com a área total. dos triângulos ABM e BCM. COMENTE estes resultados comparados com a área total. 35.

e) 5,0.

3) (Mackenzie ) Num triângulo retângulo, um cateto é o dobro do outro. Então a razão entre o maior e o menor dos segmentos determinados pela altura sobre a hipotenusa é: a) 2

b) 3

c) 4

d) 3/2

e) √5

åæ altu

4) (Uece) Na figura a seguir, RST é um triângulo retângulo em S, SH é a altura relativa à hipotenusa, o segmento RH = 2cm e o segmento HT = 4cm. Se o segmento RS = x1•cm e o segmento ST = x2 cm, então x1x2 é igual a:

a) 6√2

b) 12√2

c) 14√2

d) 16√2

2

32. (Ufpe 95) S ejam ™e ™‚ planos que se interceptam em uma reta Øe formam um ângulo de 45°. E m ™escolha pontos P , P ‚ , P ƒ, P „ e P …

36. des circ pon com sen que enc a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

9) NA figura abaixo,AP=2 e PC=7, calcule BP.

NIVEL INTERMEDIARIO 14) (Ufmg ) Nesta figura, os ângulos ABC, CDE e EAB são retos e os segmentos AD, CD e BC medem, respectivamente, x, y e z:

10) No gráfico a seguir, se AP=1, PB=3 e PC=5, calcule AB.

Nessa situação, a altura do triângulo ADE em relação ao lado AE é dada por 11) Na figura, BP=2.PO=2, quanto dista B de AC:

x  a) 

z

y  c) 

z

y 2

z

 y2   .

x  b) 

z



z  d) 

z



2

 y2   .

2

z



 y2   .

2

y



 y2   .

15) (FGV) Seja ABC um triângulo retângulo em

7 3 e BP = 3, onde BP é a altura 2 do triângulo ABC pelo vértice B. A menor medida possível do B tal que AC  12) Na figura, M e N são pontos médios dos lados do triangulo ABC. Se AB.BC =20, calcule NA.GM.

ângulo ACB tem aproximação inteira igual a Dado: tg

13) (UFMG) – Se as medidas, em metros, das diagonais de um losango são a e b, então a medida do raio do círculo inscrito nesse losango, em metros, é:

a)

d)

ab 2 a2  b2 2ab 2

a b

2

ab

b)

e)

a2  b2

c)

a2b2 a2  b2

a2 .b2 2

a b

a) 25º

Valor aproximado de

2 3

25,2º

2 2

35,3º

3 2

40,9º

2 2 3

43,3º

2 3 3

49,1º

b) 35º

c) 41º

d) 43º

em graus

e) 49º

2

16) (Fuvest ) Na figura adiante, AC = a e BC = b, O é o centro da circunferência, CD é perpendicular a AB e CE é perpendicular a OD. 1 a) Calculando em função de a e b, prove que ED é média ED harmônica de a e b. a  b b) Comprove na figura que: > ab > ED 2

3

ED é média harmônica de a e b. b) Comprove na figura que: (a+b)/2 > Ë ab > ED 22) No gráfico a seguir, se R=2, medida do arco EF igual a 53 0 e FB.BC=3√2, calcule BG.

23) Achar os ângulos de um triangulo retângulo se a razão entre os raios

17) (Ita 2003) Considere uma pirâmide regular de altura igual a 5 cm e cuja base é formada por um quadrado de área igual a 8 cm2. A distância de cada face desta pirâmide ao centro de sua base, em cm, é igual a:

15 3

a)

b)

5 6 9

c)

5

da circunferência circunscrita e inscrita é . 2

24) Um triangulo ABC retângulo em A tem catetos b e c . Seja T o ponto de contato da hipotenusa com o circulo inscrito no triangulo. Prove

4 3 5

que 𝐵𝑇. 𝐶𝑇 =

𝑏.𝑐 2

.

7

t o m d) e d5 i c i n a . c o m .e)b r 3

NIVEL AVANÇADO

18) (ITA-1978 ) Os catetos b e c de um triângulo retângulo de altura h ( relativa à hipotenusa ) são dados pelas seguintes expressões:

25) Num quadrilátero ABCD, AB=9,BC=12, CD=13,DA=14 e a diagonal ̅̅̅̅ sâo traçadas de B até P e de D até AC=15. Perpendiculares a 𝐴𝐶 Q. Determinar PQ.

1 1 e c  k  , onde k é um número real maior que 1. k k Então o valor de h em função de k é: b k

a)

k2  1 2k

b)

d)

2(k 2  1) 2k

e)

k2  1 k2  2

c)

1  k2 1  k 2

1 k4  1 k 2k

19) (ITA 1973) Suponhamos que p e q são catetos de um triângulo retângulo e h a altura relativa à hipotenusa do mesmo. Nestas condições, podemos afirmar que a condição:

2 2 2 1 x  x   0 (  é o conjunto dos números reais ) p h q a) não admite raízes reais. b) Admite uma raiz da forma m 1 , onde m  , m  0. c) Admite sempre raízes reais. d) Admite uma raiz da forma  m 1 , onde m  , m  0. e) n.d.a

26) Na figura, B é ponto de tangencia, MO=a e AP=b. Calcule PQ.

20) (ITA 2015) Na construção de um tetraedro, dobra-se uma folha retangular de papel,com lados de 3cm e 4cm, ao longo de uma de suas diagonais, de modo que essas duas partes da folha formem um ângulo reto e constituam duas faces do tetraedro. Numa segunda etapa, de maneira adequada, competa-se com outro papel as faces restantes para formar o tetraedro. Obtenha as medidas das arestas do tetraedro.

27) No gráfico, DE=2 e DC=3, calcule AD.

̅̅̅̅ e 21) (ITA 2014) Considere o triangulo ABC retângulo em A. Sejam 𝐴𝐸 ̅̅̅̅ a altura e a mediana relativa à hipotenusa 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ , respectivamente. 𝐴𝐷 ̅̅̅̅ é 1cm, então ̅̅̅̅ é (√2 − 1)𝑐𝑚 e a medida de 𝐴𝐷 Se a medida de 𝐵𝐸 ̅̅̅̅ 𝐴𝐶 mede, em cm

4

GABARITO RELAÇOES MÉTRICAS 1)

60 13

𝑐𝑚

2) D 3) C 4) B 5) B 6) B 7) E 8) 5 cm2 e 20 cm2 9) 3 10) 2√3

28) Observe a figura

11)

6 13

√26

12) 5 13) A 14) B 15) C 16) Demonstração 17) B 18) A 19) C 20) 3cm, 3cm, 4cm, 4cm, 5cm, √13,48𝑐𝑚

Prove que a) 𝑝2 + 𝑞 2 + 3ℎ2 = 𝑎2 b) 𝑎𝑝𝑞 = ℎ3

21)

29) Determinar os lados de um triangulo retângulo dado o perímetro 2p e a altura relativa a hipotenusa h.

22)

√6 − 2√2 3√2 2 1

1

2

3

23) 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( ) e 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( )

30) M é um ponto interno a um ângulo de 600 e dista a e b dos lados do ângulo. Determine a distancia de M ao vértice do ângulo .

24) demonstração 25) 3 26) √2𝑎𝑏

31) ABC é um triangulo equilátero . Calcule MN.

27)

36 5

28) demonstração 29)

𝑝 2𝑝+ℎ

(𝑝 + ℎ ± √(𝑝2 − ℎ2 ) − 2ℎ2 ),

30)

2√𝑎2 +𝑎𝑏+𝑏 2

31)

7√3

√3 3

32) demonstração 33) demonstração 32) Seja o triangulo ABC abaixo

Sendo 𝑟1 , 𝑟2 e 𝑟3 os raios das circunferências inscritas nos triângulos ABC, ADB e ADC respectivamente. Prove a) 𝑟1 + 𝑟2 + 𝑟3 = 𝐴𝐷 b) (𝑟1 )2 = (𝑟2 )2 + (𝑟3 )2 33) Demonstrar que para todo triangulo retângulo, sendo r o raio da 𝑟 circunferência inscrita e h a altura, teremos 0,4 < < 0,5 ℎ

5

𝑝2 2𝑝+ℎ