clase 3 la parabola

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La Parábola A continuación, se da la secuencia para construir la gráfica de una parábola abierta hacia la derecha, indicando sus elementos más importantes. 1° Ubiquemos el punto V   h, k  que corresponderá al vértice de la parábola. 2° Tracemos el eje de simetría de la parábola, que será la recta de ecuación y  k . 3° Midamos c unidades hacia la derecha del vértice V . En este punto se encuentra el foco de la parábola denotado por F   h  c, k  , ( h incrementado en c ) 4° Midamos c unidades hacia la izquierda del vértice, por este punto pasa la recta vertical llamada directriz L de ecuación x  h  c 5° Ahora midamos el segmento, llamado lado recto, que une verticalmente dos puntos de la parábola pasando por el foco. Medimos 2c unidades hacia arriba del foco y 2c unidades hacia abajo del foco. Así tenemos que la medida del lado recto es 4c unidades, dando la "amplitud" de la parábola. 6° Graficamos la parábola de vértice V   h, k  abierta hacia la derecha.

Ahora veremos que condición debe cumplir un punto P   x, y  para que pertenezca a la parábola. Un punto P   x, y  pertenecerá a la parábola ssi la distancia del punto P al foco F es igual a la distancia del punto P a la directriz L , es decir

d  P, F   d  P, L 

Gráficamente

De la condición d  P, F   d  P, L  

 x   h  c    y  k  2

2

 x   h  c  se obtiene

la ecuación canónica de una parábola de vértice V   h, k  con eje de simetría paralelo al eje x abierta hacia la derecha:

 y  k

2

 4c  x  h 

Si desarrollamos el cuadrado de binomio, reducimos y dejamos la ecuación en la forma Ay 2  By  Cx  D  0 , decimos que ésta corresponde a la ecuación general de la parábola. Ejemplo: Grafique la parábola de ecuación  y  1  8  x  3 indicando las 2

coordenadas del foco y la ecuación de la directriz. R: F   5, 1 , directriz x  1 Método de completación de cuadrados para llegar a la ecuación canónica de la parábola dada la ecuación general de ella. Ejemplo: Grafique la parábola de ecuación y 2  2 y  8 x  25  0 Completaremos el desarrollo de un cuadrado de binomio para y 2  2 y sumando 1, así y 2  2 y  1   y  1

2

Arreglamos la ecuación: y 2  2 y  8 x  25 al sumar 1 a ambos lados de la igualdad, obtenemos una igualdad equivalente, dada por: y 2  2 y  1  8 x  25  1 . No olvide que para mantener la igualdad, lo que sume al lado izquierdo de la igualdad también debe sumarlo al lado

derecho de ella. Ahora factorizamos obteniendo:  y  1  8 x  24   y  1  8  x  3 2

2

Lo que corresponde a la ecuación canónica de una parábola de vértice  3, 1 abierta hacia la derecha. Parábola abierta hacia la izquierda. La construcción es análoga a la parábola anterior Gráficamente:

Aplicando la condición que debe satisfacer un punto P   x, y  para que pertenezca a la parábola d  P, F   d  P, L  , obtenemos la ecuación canónica de una parábola de eje de simetría paralelo al eje x abierta hacia la iquierda:  y  k   4c  x  h  2

Ejemplo: determine la ecuación general de la parábola que pasa por los puntos

 3,3 ,  0,5 ,  0, 3 . El gráfico de los puntos nos indica que la parábola tiene que ser abierta hacia la izquierda.

Sabemos que para que un punto pertenezca a una curva, las coordenadas del punto deben satisfacer la ecuación de la curva. En nuestro caso los puntos deben satisfacer la ecuación  y  k   4c  x  h  2

Reemplazando las coordenadas de los puntos  3,3 ,  0, 5 ,  0, 3 en esta ecuación, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones: 2 1)  3  k   4c  3  h   1)9  6k  k 2  12c  4ch    2  2)  5  k   4c  0  h    2)25  10k  k 2  4ch    2 2 3)  3  k   4c  0  h   3)9  6k  k  4ch  

Igualando (2) con (3) se tiene que 25  10k  k 2  9  6k  k 2 de donde obtenemos k  1 Reemplazamos k en las ecuaciones (1) y (2), se tiene el siguiente sistema: 4  12c  4ch   de donde se obtiene que c  1 y h  4 16  4ch  La ecuación canónica de la parábola es  y  1  4  x  4  2

Desarrollando obtenemos la ecuación general de la parábola y 2  2 y  4 x  15  0

Parábola abierta hacia arriba Ahora debemos medir c unidades del vértice V   h, k  hacia arriba y del vértice hacia abajo. Gráficamente

Si consideramos la condición que debe cumplir un punto P  ( x, y ) para que pertenezca a la parábola: d ( P, F )  d ( P, L) obtenemos la ecuación canónica de una parábola de eje de simetría paralelo al eje y abierta hacia arriba, dada por:  x  h   4c  y  k  2

Ejemplo: Hallar la ecuación de la parábola con vértice en el punto  4, 1 , cuyo eje de simetría es la recta de ecuación x  4 . Además, la parábola pasa por el punto  2,3 . Primero grafiquemos los datos dados:

Como el eje de simetría es vertical, la parábola se puede abrir hacia arriba o hacia abajo. Como el punto de la parábola A   2,3 está más arriba que su vértice, concluimos que la parábola se tiene que abrir hacia arriba.

Luego su ecuación canónica es  x  4   4c  y  1 2

Como el punto A   2,3 pertenece a la parábola, se cumple que, sus coordenadas satisfacen su ecuación. Reemplazando en la ecuación nos queda:

 2  4

2

 4c  3  1 de donde obtenemos el valor de c 

1 4

Finalmente, la ecuación de la parábola es  x  4   y  1 2

Parábola abierta hacia abajo Ubicado el vértice V   h, k  medimos c hacia arriba del vértice y hacia abajo de él. Quedando el gráfico de la parábola con todos sus elementos como se muestra en la siguiente figura:

Si consideramos la condición que debe cumplir un punto P  ( x, y ) para que pertenezca a la parábola: d ( P, F )  d ( P, L) obtenemos la ecuación canónica de una parábola de eje de simetría paralelo al eje y abierta hacia abajo, dada por:  x  h   4c  y  k  2

Ejercicio: Encuentre la ecuación de la parábola con foco en el punto 1, 7  y cuya directriz es L : y  3  0 . R:  x  1  8  y  5  2