Guia ecuacion de la parabola

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Liceo de Aplicación Departamento de Matemática Profesores: Elba Caniuqueo - Claudio Peralta – José Torres

GUIA DE MATEMATICA TERCERO MEDIO DIFERENCIADO UNIDAD: LUGARES GEOMETRICOS ECUACION DE LA PARABOLA Conceptos y elementos de la parábola La parábola es el lugar geométrico de todos los puntos P(x,y) del plano de un punto fijo (F) llamado foco y de una recta fija llamada directriz. 𝑑 (𝑃, 𝐹 ) = 𝑑(𝑃, 𝐷 ) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 Los elementos más importantes de la parábola son: Foco: Es el punto fijo F Directriz: Es la recta fija D Parámetro: Es la distancia del foco a la directriz y se designa por 2p. Vértice: Es el punto de intersección de la parábola con su eje de simetría. Lado recto: Es la cuerda focal ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 perpendicular al eje focal o eje de simetría de la parábola | cuya medida es 𝟒𝒑|. Y D

P(x,y) D

B

V F p

p

X

A

Ecuación de la parábola con vértice en el origen Matemática, educación media, plan electivo III y IV. Editorial Santillana, año 1995

A continuación determinaremos la ecuación analítica de la parábola. Para ello supongamos que el eje focal de la parábola coincide con el eje X, y que el vértice se encuentra en el origen del sistema. De acuerdo a lo anterior, las coordenadas del foco son: (𝒑, 𝟎) y la directriz tiene como ecuación: 𝒙 = −𝒑 Si P(x,y) es un punto de la parábola, se cumple que: 𝑑 (𝑃, 𝐹 ) = 𝑑(𝑃, 𝐷) √(𝑥 − 𝑝)2 + (𝑦 − 0)2 = 𝑥 + 𝑝 /² 𝑥 2 − 2𝑝𝑥 + 𝑝2 + 𝑦 2 = 𝑥 2 + 2𝑝𝑥 + 𝑝2 Reduciendo, resulta la ecuación canónica 𝑦 2 = 4𝑝𝑥 Y P(x,y) D

D

o F(p,0) p

p

X

Observamos que:  

Si p>0, el foco de la parábola está en la parte positiva del eje X, por lo tanto, su concavidad se orienta hacia la derecha. Si p0, el foco de la parábola está en la parte positiva del eje Y, por lo tanto, su concavidad se orienta hacia arriba. Si p0 y el eje focal coincide con sel eje Y, la curva tiene su concavidad o d arriba. u f o m a c m n u a i m r n e y t n o e t f r o a e r n Matemática, educación media, plan electivo III y IV. Editorial Santillana, año 1995 s t i t h n i e t n s

Las coordenadas del foco son: (0, 𝑝) 𝐹 (0,2)

En este caso,

La ecuación de la directriz es 𝐷: 𝑦 = −2 Por lo tanto, el lado recto es

𝐿. 𝑅. = |4𝑝| = 8

Y 2 F

2 D



X D

DeterminarDla ecuación de la parábola de foco 𝐹 (3,0) y directriz 𝑥 + 3 = 0

[ del foco, deducimos que el eje focal coincide con el eje X y De las coordenadas T que p=3. y p tiene su concavidad hacia la derecha (p>0). Por lo tanto, la curva e La ecuación es deala forma: q u 𝑦 2 = 4𝑝𝑥 o t Luego la ecuación pedida es: e f 𝑦 2 = 12𝑥 r o D Y m D D t F(3,0) h e X 3 3 d D D D o c u m Ejercicios e n 1) Determina los elementos de la parábola cuya ecuación es: t o i. 𝑥2 = 𝑦 vii. 𝑦 2 = −12𝑥 x. 𝑦 2 − 16𝑥 = 0 riv. 𝑥 2 = −8𝑦 t v. 𝑥 = − 1 𝑦 2 ii. 6𝑦 2 = 𝑥 viii. 𝑥 2 − 16𝑦 = 0 10 h 3 iii. 𝑥 2 = 6𝑦 vi. 𝑦 = − 4 𝑥 2 ix. 3𝑦 2 − 12𝑥 = 0 e s 2) determina la ecuación de la parábola, dados los siguientes elementos: u m 4 1 i. 𝐹 (6,0) ; 𝐷:m𝑥 = −6 iv. 𝐿. 𝑅. = 3 ; 𝐷: 𝑥 = 3 a ii. 𝐹 (0, −3) ; 𝐷: 𝑦 = 3 v. 𝐹 (8,0) ; 𝐷: 𝑥 + 8 = 0 r 4 4 iii. 𝐹 (0, ) ; 𝐷: vi. 𝐿. 𝑅. = 8 ; 𝐷: 𝑦 = 2 y 𝑦+3=0 3 o Matemática, educación f media, plan electivo III y IV. Editorial Santillana, año 1995 a n i

Ecuación general de la parábola Si consideramos una parábola con vértice 𝑉(0,0), su ecuación canónica es: 𝑦 2 = 4𝑝𝑥. Si le aplicamos una traslación 𝑇(ℎ, 𝑘 ), obtenemos la ecuación principal de la parábola con vértice 𝑉(ℎ, 𝑘 ). (𝑦 − 𝑘 )2 = 4𝑝(𝑥 − ℎ)

y´

Y D

V(h,k) XD

p D

k D

F D

X’

X D

h D

Por efecto de la traslación, el nuevo eje focal X’ se mantiene paralelo al eje X. La ecuación principal permite conocer de inmediato las coordenadas de su vértice, el valor de p y, por lo tanto, la medida del lado recto. Desarrollando los cuadrados de binomio y ordenando la ecuación principal, se obtiene la ecuación general de la parábola. 𝑦 2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 Si el eje focal o eje de simetría es paralelo al eje Y, la ecuación principal es de la forma: (𝑥 − ℎ)2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑘 ) O su equivalente, la ecuación general: 𝑥 2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 y´

Y D

p D k D h D

F D V(h,k) XD

X’ X D

Matemática, educación media, plan electivo III y IV. Editorial Santillana, año 1995

Ejemplos Determinar los elementos de la parábola de ecuación 𝑦 2 − 4𝑦 − 8𝑥 + 28 = 0



Ordenamos la ecuación para completar el cuadrado de binomio 𝑦 2 − 4𝑦 = 8𝑥 − 28 𝑦 2 − 4𝑦 + 4 = 8𝑥 − 28 + 4 (𝑦 − 2)2 = 8𝑥 − 24 (𝑦 − 2)2 = 8(𝑥 − 3) Luego, ℎ = 3 ; 𝑘 = 2 ; 𝑝 = 2 Entonces, el vértice es el punto 𝑽(𝟑, 𝟐) y el lado recto es 8. Como esta parábola ha sido trasladada, su eje focal también se ha trasladado en ℎ = 3 unidades, por lo tanto las coordenadas del foco son (3 + 𝑝 , 2 + 0) = (5 , 2) y la ecuación de la directriz es: 𝐷: 𝑥 = −𝑝 + ℎ = −2 + 3 = 1 𝐷: 𝑥 = 1

Y D

D D

V

2 D 1 D



3 D

F D 5 D

X D

Determinemos la ecuación de la parábola de foco F(1,3) y vértice V(-2,3).

Su ecuación es de la forma (𝑦 − 𝑘 )2 = 4𝑝(𝑥 − ℎ) Además 𝑑 = (𝑉, 𝐹 ) = 𝑝 = 3 Reemplazando: (𝑦 − 3)2 = 4 ∙ 3(𝑥 + 2) 𝑦 2 − 6𝑦 + 9 = 12𝑥 + 24

Matemática, educación media, plan electivo III y IV. Editorial Santillana, año 1995

Luego la ecuación de la parábola es: 𝑦 2 − 6𝑦 − 12𝑥 − 15 = 0 Y D

V D

3 D

k D -2



F D

1 D

h D

X D

p D

Determinar la ecuación del lugar geométrico de todos los puntos (x,y) del plano que equidistan del punto F(2, 2) y del eje de las abscisas.

Sabemos que por definición será una parábola con foco en el punto dado y cuya directriz es el eje X. Foco: F(2,2) , Directriz: y=0 Para calcular las coordenadas del vértice, determinaremos el punto medio entre el foco (2,2) y el punto (2,0), intersección del eje focal con la recta directriz, que en este caso, es el propio eje X. ℎ=

2+2 2+0 =2 ; 𝑘= =1 2 2

La ecuación del lugar geométrico pedido es: (𝑥 − 2)2 = 4(𝑦 − 1) Y D F D

2 D 1 D 1 D

V D 2 D

X D

Matemática, educación media, plan electivo III y IV. Editorial Santillana, año 1995

Ejercicios 1) Calcular los elementos de la parábola cuya ecuación es: i. ii. iii. iv. v. vi. vii. viii. ix.

𝑦 2 − 6𝑦 − 4𝑥 + 17 = 0 𝑥 2 − 4𝑥 − 2𝑦 + 10 = 0 𝑥 2 − 4𝑥 − 6𝑦 + 13 = 0 3𝑦 2 − 9𝑦 − 5𝑥 − 2 = 0 𝑥 2 − 6𝑥 − 12𝑦 − 15 = 0 𝑦 2 + 6𝑥 + 2𝑥 + 4 = 0 𝑦 2 − 12𝑥 + 36 = 0 𝑥 2 + 4𝑥 − 8𝑦 + 36 = 0 𝑥 2 − 6𝑦 + 24 = 0

2) Determina la ecuación general de cada una de las siguientes parábolas, dados los elementos que se indican: i.

𝐹 (6, −2) ; 𝐷𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧: 𝑥 = −2

ii.

𝐹 (− 2 , −4) ; 𝑉(−2, −4)

iii.

𝑉(2,2) ; 𝐹 (2 , 2)

iv.

𝑉 (2 , 2) ; 𝐷𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧: 𝐸𝑗𝑒 𝑌

v.

𝐹 (2 , − 3) ; 𝐷𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧: 𝑦 = 3

vi.

𝐹 (5,2) ; 𝑉(3,2)

1

1

3

3

4

4

Respuestas ejercicios 1

Respuestas ejercicios 2

i. ii.

𝑉 (2,3) ; 𝐹(3,3) ; 𝐿. 𝑅. = 4 ; 𝐷: 𝑥 = 1 7 5 𝑉 (2,3) ; 𝐹 (2, 2) ; 𝐿. 𝑅. = 2 ; 𝐷: 𝑦 = 2

iii.

𝑉 (2, ) ; 𝐹(2,3) ; 𝐿. 𝑅. = 6 ; 𝐷: 𝑦 = 0

iv. v. vi. vii. viii. ix.

3

2 7 3

4 3

5

𝑉 (− 4 , 2) ; 𝐹 (− 3 , 2) ; 𝐿. 𝑅. = 3 ; 𝐷: 𝑥 = 1 𝑉 (3, −2) ; 𝐹 (3,1) ; 𝐿. 𝑅. = 12 ; 𝐷: 𝑦 = −5 5 𝑉 (3 , −3) ; 𝐹 (2, −3) ; 𝐿. 𝑅. = 2 ; 𝐷: 𝑥 = 3 𝑉 (3,0) ; 𝐹(6,0) ; 𝐿. 𝑅. = 12 ; 𝐷: 𝑥 = 0 𝑉 (−2,4) ; 𝐹(−2,6) ; 𝐿. 𝑅. = 8 ; 𝐷: 𝑦 = 2 11 3 𝑉 (0,4) ; 𝐹 (0, 2 ) ; 𝐿. 𝑅. = 6 ; 𝐷: 𝑥 = − 2

i. ii. iii. iv. v. vi.

𝑦 2 + 4𝑦 − 16𝑥 + 36 = 0 𝑦 2 − 4𝑦 + 6𝑥 − 8 = 0 16 9 𝑥 2 − 3𝑥 + 3 𝑦 + 4 = 0 𝑦 2 + 8𝑦 − 6𝑥 + 4 = 0 𝑦 2 − 4𝑦 − 6𝑥 + 13 = 0 𝑦 2 − 4𝑦 − 8𝑥 + 28 = 0

Matemática, educación media, plan electivo III y IV. Editorial Santillana, año 1995