última clase - movimiento oscilatorio amortiguado y forzado

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Oscilaciones amortiguadas por rozamiento con el medio. En la vida cotidiana, observamos que las cosas se detienen y esto incluye el movimiento de masas unidas a resortes, péndulos, etc. Es decir, las cosas están sometidas al rozamiento o a alguna fuerza disipativa. Conocemos dos fuerzas disipativas modelo:

a) FR = - μd. N y FR ≤ μe. N si está en reposo. b) FR = - b. v El caso a) tiene la dificultad analítica de obligar a cambiar de signo en cada punto de retorno, evaluar si en dicha posición se vence el rozamiento estático y volver a escribir la ecuación. El caso b) es más fácil de introducir analíticamente y por lo tanto es el que usaremos.

1

¿Cómo se moverá un cuerpo que oscila y está amortiguado? La experiencia cotidiana nos indica que probablemente la amplitud con la que oscile vaya disminuyendo hasta apagarse completamente.

2

3

La solución que buscamos tendrá que...

Tener una amplitud que decrece con el tiempo, pero sin embargo, mantener la forma del movimiento oscilatorio.

4

Será algo así...

x (t )= A.e

−γ . t

Amplitud que decrece

. cos(ω t + φ )

Término que oscila 5

Consideremos de nuevo la masa unida al resorte oscilando, ahora con rozamiento... k

m

Fe Fr

Mientras la masa se mueve hacia la izquierda del cero, el resorte se comprime. Cuando la masa se mueve hacia la derecha del cero, el resorte se estira.

Fe Fr

xmín

x=0

xmáx

x

Escribimos la suma de fuerzas para la masa:

∑ F =−k x−b x˙ =m x¨ 0=m x¨ k xb x˙

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k b 0= x¨  x x˙ m m 0= x¨ 0 ² x x˙

Llamo:

b = m

y

k  0 ²= m

(3)

Al igual que con el oscilador armónico simple, voy a proponer una solución, esta vez del tipo:

x t =C e

a.t

Al introducirlo en (3) me queda:

0=a²  0 ² a Me quedó una cuadrática, así que busco los valores de a que son solución de la misma:

−±   ²−4  0 ² a= 2

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Distribuyendo el 2 y metiéndolo en la raíz, tengo:



−  a= ±   ²−0 ² 2 2

(4)

Pido que lo de adentro de la raíz Sea menor que cero, para que las Raíces sean imaginarias.

¿Por qué quiero raíces imaginarias? Porque si fueran reales, no expresarían el hecho de que la masa está oscilando. ¿Cómo es esto? Un número complejo z es aquel que tiene lo que se llama “parte imaginaria” y “parte real”:

z=aib

z ∈ℂ

parte parte real imaginaria i es tal que su cuadrado es igual a 1. Por eso siempre que tengamos la raíz de un número negativo, vamos a obtener un número imaginario.

i² =−1

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Así como los números reales representan puntos en una recta numérica, los números complejos representan puntos en el plano. Dijimos que para que el movimiento represente una oscilación, lo de adentro de la raíz tiene que ser negativo. Esto deriva del hecho de que, como un número complejo puede ser expresado como un punto en el plano, siempre puedo pensarlo como un punto de una circunferencia trigonométrica de radio R cualquiera. Es decir:

Imz

Eje imaginario

b

z

R

θ a

ℝ z Eje real 9

Como z tiene una componente real y otra imaginaria, cada una de estas componentes se pueden expresar como un número a en un eje real y otro número b en el eje imaginario. z, entonces, es un vector. Los números complejos también son vectores. Ahora, como es un vector, tiene un módulo, en este caso R (el radio de la circunferencia)

z=aib a= R .cos 

b=R .sin  Entonces:

z=R cos i sen  Ahora que sabemos que hay una relación entre los senos y los cosenos y los números imaginarios, voy a introducir otra manera de expresar un número complejo.

z=R e

i

Notación Notaciónde deEuler Euler

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, donde:

e i  =cos i sen  Volvamos a la ecuación (4):



−  a= ±   ²−0 ² 2 2 Para que el argumento de la raíz sea negativo, y por tanto haya oscilación, tengo que pedir:

   ² ≪0 ² 2

Condición Condiciónpara paramovimiento movimiento armónico armónicoamortiguado. amortiguado.

Si por el contrario:

   ²≥0 ² 2

Movimiento Movimientoarmónico armónicosobreamortiguado sobreamortiguado (la (lamasa masano nooscila), oscila),yyse sedesplaza desplazacon con una unavelocidad velocidaddecreciente decreciente exponencialmente. exponencialmente.

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Si la expresión de adentro de la raíz es negativa, entonces, la expresión para el movimiento armónico amortiguado me queda:

x t =C e

[



−  ±i 0 ²−  ²]. t 2 2

Al tener dos raíces, tenemos dos soluciones posibles:

x1 t =C e

[

 

−  i 0 ²−  ²]. t 2 2

x 2 t =C e

[

−  −i 0 ²−  ²]. t 2 2

Si C es complejo también, entonces:

x1 t = A e

C = A ei 

Y llamo a la raíz :

'

− .t i [ ' t  ] 2

x 2 t = A e

− . t−i [' t ] 2 12

Como la suma de las soluciones de una ecuación diferencial es solución y sabiendo que: i

e e 2

−i 

=cos 

Al sumar las dos soluciones, obtengo una solución:

x t =2A e

x t = B e

− .t 2

− .t 2

. cos ' t

. cos ' t

Ecuación Ecuacióndel del movimiento armónico movimiento armónico amortiguado. amortiguado. (5)

La amplitud del movimiento decrece con una exponencial negativa en el tiempo.

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La nueva frecuencia de oscilación es:



  ' = 0 ²−  ² 2

(6)

Notar que si bien la amplitud decrece con el tiempo, no así la frecuencia que permanece constante y que depende únicamente de la frecuencia natural del resorte y del rozamiento con el aire. Esto permite el uso de mecanismos tales como relojes, donde a pesar de que el rozamiento con el aire producirá que se detengan, la frecuencia siempre será la misma, entonces indicarán la hora correctamente. x

t

Gráfico de posición vs tiempo para un oscilador amortiguado.

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La Laenvolvente envolventede delalaoscilación oscilaciónes eslalaamplitud amplitudque quedecae decae exponencialmente. exponencialmente.

Ejemplo Ejemplode deoscilación oscilaciónen en distintos medios (ver cómo distintos medios (ver cómo cambia cambialalaenvolvente). envolvente).

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Ejemplo Un péndulo con una longitud de 1 m se libera desde un ángulo inicial de 15º. Después de 1000 s, su amplitud se reduce por fricción a 5,5º. ¿Cuál es el valor de b/2m? Solución Ya sabemos que la ecuación (5) es la solución para la posición de este péndulo. La frecuencia natural, sin amortiguamiento, en vez de depender de k y m (como en el resorte), dependerá de g y L (como en un péndulo). También sabemos que la amplitud máxima de oscilación es de 15º, así que a t=0, tenemos:

Amplitud 0=B e

− .0 2

=15º

(i)

Lo que queremos saber es cuánto vale la amplitud máxima a los 5,5º. Notar que nos piden amplitud y no posición, entonces no hace falta usar la parte del coseno. Como nos dan el dato de cuánto vale la amplitud a los 1000 s, vamos a usarlo también en la ecuación (5). − . 1000 (ii) 2

Amplitud 1000=B e

=5,5 º

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Divido (ii) y (i):

5,5 º =e 15º

− .1000 s 2

Aplico logaritmo a ambos lados:

5,5º − ln  = .1000 s 15º 2 5,5 º −ln   15º  ≃0.001= 1000 s 2 17

Oscilaciones forzadas y resonancia. Imaginemos que tenemos un sistema cualquiera: masa unida a un resorte, un motor, etc. que vibra u oscila debido a la acción de una fuerza externa periódica. Si el sistema inicialmente estaba en reposo y se lo pone a vibrar en un determinado momento, lo primero que vemos es que se comporta “raro” hasta que se ajusta a la frecuencia de la fuerza externa. A ese comportamiento “raro” se lo denomina transitorio. 18

El estado transitorio después de un tiempo se “apaga”. Éste se da debido a la acción del rozamiento (movimiento amortiguado). Mientras haya fuerza externa oscilante, entonces el sistema continuará su movimiento hasta alcanzar un estado estacionario (estado en el cual el sistema sólo se mueve debido a la fuerza externa y con su misma frecuencia). Si la frecuencia de la fuerza externa es tal que coincide con la frecuencia natural del sistema, entonces el sistema oscila con máxima amplitud. A esa frecuencia se la llama frecuencia de resonancia. 19

La frecuencia natural del sistema es la frecuencia a la que “le gusta oscilar”. Todos los sistemas mecánicos poseen al menos una frecuencia de resonancia característica. Si golpeamos, por ejemplo, una mesa o un objeto cualquiera, la frecuencia fundamental que oímos al hacerlo es la frecuencia de resonancia de la mesa.

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Vamos a analizar el comportamiento del oscilador armónico amortiguado. Tomamos como ejemplo el mismo sistema de siempre: masa puntual, unida a resorte de masa despreciable. Este sistema sirve de modelo para muchos sistemas reales. k

m

v Fe Froz F =F 0 . cos w. t Fe Froz

v

F =F 0 . cos w. t

x xmín

x=0

xmáx

Esta vez, podemos observar la fuerza oscilante que actúa sobre la masa. 21

¿Cómo suponemos que se moverá el sistema? Partimos de que el sistema tiene una frecuencia “a la que le gusta oscilar”, entonces: - Si lo forzamos a una frecuencia mucho menor, es muy parecido al caso estático: aplico una fuerza y se estira o se comprime proporcionalmente a la fuerza y se queda ahí donde lo dejemos. - Si lo forzamos a una frecuencia muy alta (mucho mayor que la propia) la inercia debe jugar algún rol. Suponemos que no responderá instantáneamente a esa fuerza y el movimiento se atrasará (movimiento en contrafase). - Si lo excitamos a la frecuencia propia del sistema, podríamos encontrar una solución en la que la fuerza que realizamos compensa justo la fuerza de rozamiento en todo instante. Es decir, que la amplitud del sistema no se vería afectada por el rozamiento, por lo tanto, sería máxima. Esta es la situación en la que la fuerza externa tiene el sentido de la velocidad y por lo tanto, está en cuadratura (diferencia de fase de π/2) con la posición.

x t =x 0 . sin . t  v t =v 0 . cos .t  F t = F 0 . cos .t 

Fuerza aplicada y velocidad en fase. Fuerza aplicada y posición en cuadratura. La fuerza aplicada debe compensar al rozamiento para que la amplitud del movimiento sea máxima.

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v Fe

k

Froz

xmín

x=0

m

xmáx

F =F 0 . cos w. t

x

Si la fuerza aplicada compensa en todo momento a la fuerza de rozamiento y su frecuencia coincide con la frecuencia natural de oscilación, entonces el sistema entra en resonancia, es decir, oscila con máxima amplitud en el estado estacionario.

Lo que uno trata de buscar es una solución que refleje todas estas suposiciones previas. Después de resolver la ecuación diferencial que surge de plantear la segunda ley de Newton para este sistema, la posición en función del tiempo luego del estado transitorio queda:

x t =

a 0  0 ²− ² a0   . cos  . t  .sin  .t  0 ²− ² ²  ² 0 ²− ² ²  ²

Término en fase con la fuerza (va con un coseno, como la fuerza).

Término en cuadratura con la fuerza (desfasado 90º, va con seno).

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a 0  0 ²− ² a 0   x t = . cos . t  . sin . t 0 ²− ² ²  ² 0 ²− ² ²  ² A

(7)

B

Si ω0 >> ω, B se hace despreciable y domina el término A que está en fase con la fuerza. Esto significa que el movimiento sigue a la fuerza en forma cuasiestática (porque ω también es pequeño) , tomando en todo instante el valor de equilibrio. ●

Si ω0