Mat 5 - proposições lógicas

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Aula 05 Raciocínio Lógico-Matemático p/ SEDUC-AM (Assistente Técnico - Nível Médio) Pós-Edital

Professores: Arthur Lima, Equipe ArthurLima

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05

AULA 05: LÓGICA DE PROPOSIÇÕES

Caro aluno, seja bem-vindo a esta aula! Neste encontro vamos estudar o trecho a seguir do seu edital: Lógica de Argumentação, negação de proposições, implicação lógica.

Tenha uma excelente aula, e lembre-se de seguir meu Instagram, onde posto dicas diárias para complementar sua preparação: www.instagram.com/ProfArthurLima (@ProfArthurLima)

SUMÁRIO INTRODUÇÃO ÀS PROPOSIÇÕES LÓGICAS .................................................... 2 NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES SIMPLES ........................................................ 10 NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS .................................................. 13 CONSTRUÇÃO DA TABELA-VERDADE DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS ............. 18 TAUTOLOGIA, CONTRADIÇÃO E CONTINGÊNCIA .......................................... 21 EQUIVALÊNCIA DE PROPOSIÇÕES LÓGICAS ................................................ 24 CONDIÇÃO NECESSÁRIA E CONDIÇÃO SUFICIENTE ..................................... 28 SENTENÇAS ABERTAS .............................................................................. 32 RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS .................................................................... 34 LISTA DE QUESTÕES DESTA AULA ........................................................... 103 GABARITO DAS QUESTÕES ..................................................................... 136 PRINCIPAIS PONTOS DA AULA ................................................................. 137

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INTRODUÇÃO ÀS PROPOSIÇÕES LÓGICAS Para começar este assunto, você precisa saber que uma proposição é uma oração declarativa que admita um valor lógico (V – verdadeiro ou F – falso). Um exemplo é a frase “A bola é azul”. Note que todos os elementos da nossa definição estão presentes nesta frase: - ela é uma oração, pois trata-se de uma frase com um verbo (“é”); - ela é uma oração declarativa, pois estamos afirmando que a bola tem a cor azul; - ela pode ser classificada como verdadeira (se a bola em questão realmente for azul) ou falsa (se a bola não for azul).

Observe que nem toda frase pode ser considerada uma proposição. Por exemplo, a exclamação “Bom dia!” não pode ser classificada como verdadeira ou falsa. O mesmo ocorre com a pergunta “Qual o seu nome?”, que também não têm um valor lógico (V ou F). Veja também que a ordem “Vá dormir” não pode ser classificada como verdadeira ou falsa (embora ela possa ser cumprida ou descumprida, o que é outra coisa). Portanto, grave que NÃO SÃO proposições: perguntas, exclamações e ordens/pedidos. Veja essa questão: CESPE – Bombeiros/AL – 2017) A respeito de proposições lógicas, julgue os itens a seguir. (

) A sentença Soldado, cumpra suas obrigações, é uma proposição

simples. RESOLUÇÃO: Esta é uma ordem (veja o verbo no imperativo “cumpra”). Embora ela possa ser obedecida ou desobedecida pelo soldado, ela NÃO PODE ser classificada como verdadeira ou falsa, motivo pelo qual não é uma proposição. Item ERRADO. Resposta: E

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 No

estudo

de

lógica

de

argumentação,

usamos

(principalmente p, q e r) para simbolizar uma proposição. É

letras

importante

também conhecer alguns princípios relativos às proposições. O princípio da não-contradição diz que uma proposição não pode ser, ao mesmo tempo, Verdadeira e Falsa. Ou uma coisa ou outra. Já o princípio da exclusão do terceiro termo diz que não há um meio termo entre Verdadeiro ou Falso. Portanto, se temos uma proposição p (exemplo: “2 mais 2 não é igual a 7”), sabemos que: - se essa frase é verdadeira, então ela não pode ser falsa, e vice-versa (não-contradição), e - não é possível que essa frase seja “meio verdadeira” ou “meio falsa”, ela deve ser somente Verdadeira ou somente Falsa (exclusão do terceiro termo). Uma observação importante: em regra, não se preocupe tanto com o conteúdo da proposição. Normalmente quem nos dirá se a proposição é verdadeira ou falsa é o enunciado do exercício. Isto porque estamos trabalhando com Lógica formal, onde a grande preocupação é com a forma (estrutura), e não o conteúdo das proposições. Vejamos duas proposições exemplificativas: p: Chove amanhã. q: Eu vou à escola.

Note que, de fato, p e q são duas proposições, pois cada uma delas pode ser Verdadeira ou Falsa. Duas

ou

mais

proposições

podem

ser

combinadas,

criando

proposições compostas, utilizando para isso os operadores lógicos. Vamos conhecê-los estudando as principais formas de proposições compostas. Para isso, usaremos como exemplo as duas proposições que já vimos acima. Vejamos como podemos combiná-las: a) Conjunção (“e”): trata-se de uma combinação de proposições usando o operador lógico “e”, ou seja, do tipo “p e q”. Por exemplo: Prof. Arthur Lima

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 “Chove amanhã e eu vou à escola”. Utilizamos o símbolo ^ para representar este operador. Ou seja, ao invés de escrever “p e q”, podemos escrever “ p  q ”. Veja que, ao dizer que “Chove amanhã e eu vou à escola”, estou afirmando que as duas coisas acontecem (chover e ir à escola). Em outras palavras, esta proposição composta só pode ser Verdadeira se as duas proposições simples que a compõem forem verdadeiras, isto é, acontecerem. Se chover e, mesmo assim, eu não for à escola, significa que a conjunção acima é Falsa. Da mesma forma, se não chover e mesmo assim eu for à escola, a expressão acima também é Falsa. Portanto, para analisar se a proposição composta é Verdadeira ou Falsa, devemos olhar cada uma das proposições que a compõem. Já vimos que se p acontece (p é Verdadeira) e q acontece (q é Verdadeira), a expressão p e q é Verdadeira. Esta é a primeira linha da tabela abaixo. Já se p acontece (V), isto é, se chove, e q não acontece (F), ou seja, eu não vou à escola, a expressão inteira torna-se falsa. Isto também ocorre se p não acontece (F) e q acontece (V). Estas são as duas linhas seguintes da tabela abaixo. Finalmente, se nem p nem q acontecem (ambas são Falsas), a expressão inteira também será falsa. Veja esta tabela: Valor lógico de p

Valor lógico de q

Valor lógico de p e q

(“Chove amanhã”)

(“Eu vou à escola”)

(pq)

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

F

A

tabela

acima

é

chamada

de

tabela-verdade

da

proposição

combinada “p e q”. Nesta tabela podemos visualizar que a única forma de tornar a proposição verdadeira ocorre quando tanto p quanto q são verdadeiras. E que, para desmenti-la (tornar toda a proposição falsa), basta provar que pelo menos uma das proposições que a compõem é falsa.

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 Exercite a conjunção nesta questão: FGV – MP/BA – 2017) Considere a afirmativa: “Tereza comprou pão e leite”. Se a afirmativa acima é falsa, conclui-se logicamente que Tereza: (A) não comprou pão nem leite. (B) comprou pão, mas não comprou leite. (C) comprou leite, mas não comprou pão. (D) comprou pão ou comprou leite. (E) não comprou pão ou não comprou leite. RESOLUÇÃO: Pela tabela-verdade da conjunção, vemos que para ela ser falsa é preciso que alguma das informações seja falsa (ou ambas). Ou seja, é preciso que Tereza NÃO tenha comprado pão, ou que ela NÃO tenha comprado leite (ou as duas coisas). Isto é, basta que Tereza NÃO tenha comprado pão OU não tenha comprado leite. Temos isso na alternativa E. Resposta: E b) Disjunção (“ou”): esta é uma combinação usando o operador “ou”, isto é, “p ou q” (também podemos escrever p  q ). Ex.: “Chove amanhã ou eu vou à escola”. Veja que, ao dizer esta frase, estou afirmando que pelo menos uma das coisas vai acontecer: chover amanhã ou eu ir à escola. Se uma delas ocorrer, já estou dizendo a verdade, independentemente da outra ocorrer ou não. Agora, se nenhuma delas acontecer (não chover e, além disso, eu não for à escola), a minha frase estará falsa. A tabela abaixo resume estas possibilidades:

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 Valor lógico de p ou Valor lógico de p

Valor lógico de q

(“Chove amanhã”)

(“Eu vou à escola”)

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

q (pq)

Como você pode ver na coluna da direita, a única possibilidade de uma Disjunção do tipo p ou q ser falsa ocorre quando tanto p quanto q não acontecem, isto é, são falsas. Talvez você tenha estranhado a primeira linha da tabela. Na língua portuguesa, “ou” é utilizado para representar alternativas excludentes entre si (isto é, só uma coisa poderia acontecer: chover ou então eu ir à escola). Assim, talvez você esperasse que, caso p fosse verdadeira e q também fosse verdadeira, a frase inteira seria falsa. Veja que isto não ocorre aqui. Veremos isso no próximo item, ao estudar a disjunção exclusiva.

c) Disjunção exclusiva (Ou exclusivo): esta é uma combinação do tipo “ou p ou q” (simbolizada por p  q ). Ex.: “Ou chove amanhã ou eu vou à escola”. Aqui, ao contrário da Disjunção que vimos acima, a proposição composta só é verdadeira se uma das proposições for verdadeira e a outra for falsa. Isto é, se eu digo “Ou chove amanhã ou eu vou à escola”, porém as duas coisas ocorrem (amanhã chove e, além disso, eu vou à escola), a frase será falsa como um todo. Veja abaixo a tabela-verdade deste operador lógico, chamado muitas vezes de “Ou exclusivo”, em oposição ao “ou” alternativo que vimos acima:

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 Valor lógico de Ou p

Valor lógico de p

Valor lógico de q

(“Chove amanhã”)

(“Eu vou à escola”)

V

V

F

V

F

V

F

V

V

F

F

F

ou q (pq )

Marquei em vermelho a única mudança que temos em relação ao caso anterior.

d) Condicional (implicação): uma condicional é uma combinação do tipo “se p, então q” (simbolizada por

p → q ). Usando o nosso

exemplo, podemos montar a proposição composta “Se chove amanhã, eu vou à escola”. Esta é a proposição composta mais comum em provas de concurso. Chamamos este caso de Condicional porque temos uma condição (“se chove

amanhã”)

que,

caso

venha

a

ocorrer,

faz

com

que

automaticamente a sua consequência (“eu vou à escola”) tenha que acontecer. Isto é, se p for Verdadeira, isto obriga q a ser também Verdadeira. Se a condição p (“se chove amanhã”) não ocorre (é Falsa), q pode ocorrer (V) ou não (F), e ainda assim a frase é Verdadeira. Porém se a condição ocorre (p é V) e o resultado não ocorre (q é F), estamos diante de uma proposição composta que é Falsa como um todo. Tudo o que dissemos acima leva a esta tabela: Valor lógico de p

Valor lógico de q

Valor lógico de Se p,

(“Chove amanhã”)

(“Eu vou à escola”)

então q ( p → q )

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

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Exercite a condicional com esta questão: IBFC – TJ/PE – 2017) Na seguinte proposição condicional a seguir, o consequente não foi explicitado: Se 3 é um número ímpar, então ________________. Essa proposição será falsa quando o consequente é dado por: a) 1 + 2 é ímpar b) O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto não-vazio c) Se A e B são conjuntos disjuntos, então A intersecção B é o conjunto vazio d) 3 – 1 é um número par e) Se o conjunto A está contido no conjunto B, então B – A é o conjunto vazio RESOLUÇÃO: Pela tabela-verdade da condicional, sabemos que a única forma de deixa-la falsa é escrevendo V→F, ou seja, o antecedente deve ser verdadeiro e o consequente deve ser falso. Como o número 3 é ímpar, o antecedente é VERDADEIRO. Logo, devemos buscar um alternativa que contenha uma informação falsa para o consequente. Isto ocorre na letra E, pois um conjunto A pode estar contido dentro de um conjunto B e, mesmo assim, o conjunto B – A pode ser um conjunto NÃO vazio. Por exemplo, se B = {1, 2, 3, 4} e A = {1,2}, o conjunto A está contido dentro do conjunto B, e o conjunto B – A é igual a {3,4}, que NÃO é um conjunto vazio. Resposta: E e) Bicondicional (“se e somente se”): uma bicondicional é uma combinação do tipo “p se e somente se q” (simbolizada por p  q ). Ex.: “Chove amanhã se e somente se eu vou à escola”. Quando alguém nos diz a frase acima, ela quer dizer que, necessariamente, as duas coisas acontecem juntas (ou então nenhuma Prof. Arthur Lima

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 delas acontece). Assim, sabendo que amanhã chove, já sabemos que a pessoa vai à escola. Da mesma forma, sabendo que a pessoa foi à escola, então sabemos que choveu. Por outro lado, sabendo que não choveu, sabemos automaticamente que a pessoa não foi à escola. Note, portanto, que a expressão p  q só é verdadeira quando tanto p quanto q acontecem (são Verdadeiras), ou então quando ambas não acontecem (são Falsas). Se ocorrer outro caso (chover e a pessoa não for à escola, por exemplo), a expressão p  q é Falsa. Isso está resumido na tabela abaixo: Valor lógico de p se Valor lógico de p

Valor lógico de q

(“Chove amanhã”)

(“Eu vou à escola”)

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

V

e somente se q (p q)

Novamente, marquei em vermelho a única coisa que mudou em relação à condicional p → q . IMPORTANTE: Saiba que “e”, “ou”, “ou, ... ou...”, “se..., então...”, “se e somente se” são as formas básicas dos conectivos conjunção, disjunção, disjunção exclusiva, condicional e bicondicional. Entretanto, várias questões exploram formas “alternativas” de se expressar cada uma dessas proposições compostas. Ao longo das questões que resolvermos nessa e na próxima aula, você aprenderá a lidar com estas alternativas. Veja os casos que considero mais importantes: - Conectivo “mas” com ideia de conjunção (“e”). Ex.: Chove, mas vou à escola. Observe que quem diz esta frase está afirmando que duas coisas acontecem: 1 = chove, e 2 = vou à escola. No estudo da lógica, isto é o mesmo que dizer “Chove e vou à escola”. Portanto, o “mas” está sendo usado para formar uma conjunção.

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- Conectivo “ou” precedido por vírgula, com ideia de “ou exclusivo”. Ex.: Chove, ou vou à escola. Aqui a pausa criada pela vírgula nos permite depreender que apenas uma coisa ocorre: ou chove, ou vou à escola. Assim, temos uma forma alternativa de representar o “ou ..., ou...” que estudamos na disjunção exclusiva. -

Condicional

utilizando

“Quando...”

ou

“Toda

vez

que...”.

Exemplos: 1) Quando chove, vou à escola. 2) Toda vez que chove vou à escola. Veja que nos dois casos acima temos formas alternativas de apresentar uma condição (“chove”) que leva a uma consequência (“vou à escola”). Portanto, estas são formas alternativas ao clássico “se ..., então ...” da condicional. - Uso do “...ou..., mas não ambos” com ideia de disjunção exclusiva. Ex.: “Jogo bola ou corro, mas não ambos”. Repare que a primeira parte dessa frase é uma disjunção comum (inclusiva), mas a expressão “mas não ambos” exclui o caso onde “jogo bola” é V e “corro” também é V. Isto é, passamos a ter uma disjunção exclusiva. Alguns autores entendem que só temos disjunção exclusiva se a expressão “mas não ambos” estiver presente (ainda que tenhamos “ou..., ou ...”), mas isso não pode ser considerado uma verdade absoluta. Trabalharemos esse problema ao longo das questões.

NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES SIMPLES Representamos a negação de uma proposição simples “p” pelo símbolo “~p” (leia não-p).Também podemos usar a notação

p , que é

menos usual. Sabemos que o valor lógico de “p” e “~p” são opostos, isto é, se p é uma proposição verdadeira, ~p será falsa, e vice-versa.

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 Quando temos uma proposição simples (por ex.: “Chove agora”, “Todos os nordestinos são fortes”, “Algum brasileiro é mineiro”), podemos negar essa proposição simplesmente inserindo “Não é verdade que...” em seu início. Veja: - Não é verdade que chove agora - Não é verdade que todos os nordestinos são fortes - Não é verdade que algum brasileiro é mineiro Entretanto, na maioria dos exercícios serão solicitadas outras formas de negar uma proposição. Para descobrir a negação, basta você se perguntar: o que é o MÍNIMO que eu precisaria fazer para provar que esta frase é mentira? Se você for capaz de desmenti-la, você será capaz de negá-la. Se João nos disse que “Chove agora”, bastaria confirmar que não está chovendo agora para desmenti-lo. Portanto, a negação seria simplesmente “Não chove agora”. Entretanto, caso João nos diga que “Todos os nordestinos são fortes”, bastaria encontrarmos um único nordestino que não fosse forte para desmenti-lo. Portanto, a negação desta afirmação pode ser, entre outras possibilidades: - “Pelo menos um nordestino não é forte” - “Algum nordestino não é forte” - “Existe nordestino que não é forte” Já se João nos dissesse que “Algum nordestino é forte”, basta que um único nordestino seja realmente forte para que a frase dele seja verdadeira. Portanto, aqui é mais difícil desmenti-lo, pois precisaríamos analisar todos os nordestinos e mostrar que nenhum deles é forte. Assim, a negação seria, entre outras possibilidades: - “Nenhum nordestino é forte” - “Não existe nordestino forte”

A tabela abaixo resume as principais formas de negação de proposições simples. Veja que, assim como você pode usar as da coluna

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 da direita para negar frases com as expressões da coluna da esquerda, você também pode fazer o contrário. Proposição “p”

Proposição “~p”

Meu gato é preto

Meu gato não é preto

Todos gatos são pretos

Algum/pelo menos um/existe gato (que) não é preto

Nenhum gato é preto

Algum/pelo menos um/existe gato (que) é preto

Note ainda que ~(~p) = p, isto é, a negação da negação de p é a própria proposição p. Isto é, negar duas vezes é igual a falar a verdade. Ex.: “Não é verdade que meu gato não é preto” → esta frase é equivalente a “Meu gato é preto”. Veja abaixo uma questão inicial sobre negação de proposições simples. FGV – Pref. Salvador – 2017) Considere a afirmação: “Nenhum deputado é sensato”. A sua negação é: (A) “Há, pelo menos, um deputado sensato”. (B) “Alguns sensatos são deputados”. (C) “Todos os deputados são sensatos”. (D) “Todos os sensatos são deputados”. (E) “Todos os deputados são insensatos”. RESOLUÇÃO: Se alguém nos diz que NENHUM deputado é sensato, o que é o MÍNIMO que precisamos fazer para desmentir? Ora, basta mostrar que existe algum deputado sensato e a frase dita será falsa. Portanto, a negação da frase do enunciado pode ser escrita como: “Algum deputado É sensato” “Existe deputado que É sensato” “Pelo menos um deputado é sensato”

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 Veja que na alternativa A temos uma variação dessas negações. Este é nosso gabarito. ATENÇÃO para não marcar a alternativa C. Não é preciso que todos os deputados sejam sensatos para desmentirmos o autor da frase. “Todos os deputados são sensatos” não é negação de “Nenhum deputado é sensato”,

pois

AMBAS

as

proposições

podem

ser

FALSAS

simultaneamente (tendo mesmo valor lógico, o que não é permitido entre negações). Basta que existam alguns deputados sensatos e outros não. Resposta: A

NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS Quando temos alguma das proposições compostas (conjunção, disjunção, disjunção exclusiva, condicional ou bicondicional), podemos utilizar o mesmo truque para obter a sua negação: buscar uma forma de desmentir

quem

estivesse

falando

aquela

frase.

Vejamos

alguns

exemplos: a) Conjunção: “Chove hoje e vou à praia”. Se João nos diz essa frase, ele está afirmando que as duas coisas devem ocorrer (se tiver dúvida, retorne à tabela-verdade da conjunção). Isto é, para desmenti-lo, bastaria provar que pelo menos uma delas não ocorre. Isto é, a primeira coisa não ocorre ou a segunda coisa não ocorre (ou mesmo as duas não ocorrem). Veja que para isso podemos usar uma disjunção, negando as duas proposições simples como aprendemos no item anterior: “Não chove hoje ou não vou à praia”. Da mesma forma, se João tivesse dito “Todo nordestino é forte e nenhum gato é preto”, poderíamos negar utilizando uma disjunção, negando as duas proposições simples: “Algum nordestino não é forte ou algum gato é preto”. b) Disjunção: “Chove hoje ou vou à praia”. Essa afirmação é verdadeira se pelo menos uma das proposições simples for verdadeira.

Portanto,

para desmentir quem a disse, precisamos provar que as duas coisas não

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 acontecem, isto é, as duas proposições são falsas. Assim, a negação seria uma conjunção: “Não chove hoje e não vou à praia”. Já a negação de “Todo nordestino é forte ou nenhum gato é preto” seria “Algum nordestino não é forte e algum gato é preto”. c) Disjunção exclusiva: “Ou chove hoje ou vou à praia”.

Recorrendo à

tabela-verdade, você verá que a disjunção exclusiva só é verdadeira se uma, e apenas uma das proposições é verdadeira, sendo a outra falsa. Assim, se mostrássemos que ambas são verdadeiras, ou que ambas são falsas, estaríamos desmentindo o autor da frase. Para isso, podemos usar uma bicondicional: “Chove hoje se e somente se eu vou à praia”. Veja que esta frase indica que ou acontecem as duas coisas (chover e ir à praia) ou não acontece nenhuma delas. d) Condicional: “Se chove hoje, então vou à praia”. Lembra-se que a condicional só é falsa caso a condição (p) seja verdadeira e o resultado (q) seja falso? Portanto, é justamente isso que deveríamos provar se quiséssemos desmentir o autor da frase. A seguinte conjunção nos permite negar a condicional: “Chove hoje e não vou à praia”. e) Bicondicional: “Chove hoje se e somente se vou à praia”. O autor da frase está afirmando que as duas coisas (chover e ir à praia) devem ocorrer

juntas,

ou

então

nenhuma

delas

pode

ocorrer.

Podemos

desmenti-lo provando que uma das coisas ocorre (é verdadeira) enquanto a outra não (é falsa). A disjunção exclusiva nos permite fazer isso: “Ou chove hoje, ou vou à praia”.

Veja na tabela abaixo as principais formas de negação de proposições compostas:

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 Proposição composta

Negação

Conjunção ( p  q )

Disjunção ( ~ p ~ q )

Ex.: Chove hoje e vou à praia

Ex.: Não chove hoje ou não vou à praia

Disjunção ( p  q )

Conjunção ( ~ p ~ q )

Ex.: Chove hoje ou vou à praia

Ex.: Não chove hoje e não vou à praia

Disjunção exclusiva ( p  q )

Bicondicional ( p  q )

Ex.: Ou chove hoje ou vou à praia

Ex.: Chove hoje se e somente se vou à praia

Condicional ( p → q )

Conjunção ( p ~ q )

Ex.: Se chove hoje, então vou à praia

Ex.: Chove hoje e não vou à praia

Bicondicional ( p  q )

Disjunção exclusiva ( p  q )

Ex.: Chove hoje se e somente se vou à

Ex.: Ou chove hoje ou vou à praia

praia.

Outra

forma

de

negar

a

bicondicional

é

escrevendo

outra

bicondicional, porém negando uma das proposições simples. Por exemplo,

p ~ q é uma forma alternativa de negar p  q . Esta negação pode ser escrita como “Chove se e somente se NÃO vou à praia).

Comece a exercitar a negação de proposições compostas a partir das questões abaixo: VUNESP – TJ/SP – 2017) Uma negação lógica para a afirmação “João é rico, ou Maria é pobre” é: (A) João é rico, e Maria não é pobre. (B) João não é rico, ou Maria não é pobre. (C) Se João não é rico, então Maria não é pobre. (D) Se João é rico, então Maria é pobre. (E) João não é rico, e Maria não é pobre. RESOLUÇÃO: Temos a proposição “p ou q” no enunciado, onde: p = João é rico q = Maria é pobre

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A sua negação é “~p e ~q”, em que: ~p = João não é rico ~q = Maria não é pobre

Ou seja, “João não é rico E Maria não é pobre” Resposta: E IBFC – TJ/PE – 2017) Ana fez a seguinte afirmação: “Algum formando não foi à formatura, mas todos os professores foram”. A afirmação que Ana fez é falsa se, e somente se, for verdadeira a seguinte afirmação: a) Todos os formandos foram à formatura, mas algum professor não foi b) Algum formando foi à formatura, ou todos os professores não foram c) Todos os formandos foram à formatura, ou algum professor não foi d) Todos os formandos foram à formatura, e algum professor não foi e) Todos os formandos foram à formatura, ou algum professor foi RESOLUÇÃO: Para a frase de Ana ser falsa, a sua negação deve ser verdadeira. A frase do enunciado é uma conjunção que usa o “mas” no lugar do “e”. A negação de “p e q” é “não-p ou não-q”. Temos: p = algum formando não foi à formatura q = todos os professores foram

Logo, não-p = todos os formandos foram à formatura não-q = algum professor não foi

A negação é: “Todos os formandos foram à formatura ou algum professor não foi” Resposta: C

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 FCC – FUNAPE – 2017) Considere a afirmação abaixo. Se contratei um empréstimo com juros maiores do que antes, então pagarei um montante maior. A afirmação que corresponde à negação lógica desta é (A) Se não paguei um montante maior, então não contratei um empréstimo com juros maiores. (B) Contratei um empréstimo com juros maiores do que antes ou pagarei um montante maior. (C) Se contratei um empréstimo com juros menores do que antes, então pagarei um montante maior. (D) Contratei um empréstimo com juros maiores do que antes e não pagarei um montante maior. (E) Não contratei um empréstimo com juros maiores do que antes ou não pagarei um montante maior. RESOLUÇÃO: Temos a condicional P–>Q no enunciado, onde: P = não contratei um empréstimo com juros maiores do que antes Q = pagarei um montante maior

A sua negação é P e ~Q, onde: ~q = NÃO pagarei um montante maior

Escrevendo a negação: “Não contratei um empréstimo com juros maiores do que antes E NÃO pagarei um montante maior Resposta: D FCC – DPE/RS – 2017) Considere a afirmação: Se sou descendente de italiano, então gosto de macarrão e gosto de parmesão. Uma afirmação que corresponde à negação lógica desta afirmação é

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 (A) Sou descendente de italiano e, não gosto de macarrão ou não gosto de parmesão. (B) Se não sou descendente de italiano, então não gosto de macarrão e não gosto de parmesão. (C) Se gosto de macarrão e gosto de parmesão, então não sou descendente de italiano. (D) Não sou descendente de italiano e, gosto de macarrão e não gosto de parmesão. (E) Se não gosto de macarrão e não gosto de parmesão, então não sou descendente de italiano. RESOLUÇÃO: A negação de p–>q é dada por p e não-q. No caso, temos: p = sou descendente de italiano q = gosto de macarrão e gosto de parmesão

Veja que q é uma proposição composta. Sua negação é: não-q = NÃO gosto de macarrão OU NÃO gosto de parmesão Assim, a negação p e não-q fica: “Sou descendente de italiano E NÃO gosto de macarrão OU NÃO gosto de parmesão” Resposta: A

CONSTRUÇÃO DA TABELA-VERDADE DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS Alguns exercícios podem exigir que você saiba construir a tabelaverdade de proposições compostas. Para exemplificar, veja a proposição A  [(~ B )  C ] . A primeira coisa que você precisa saber é que a tabela-

verdade desta proposição terá sempre 2n linhas, onde n é o número de proposições simples envolvidas. Como só temos 3 proposições simples (A, B e C), esta tabela terá 23, ou seja, 8 linhas.

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 Para

montar

a

tabela

verdade

de

uma

expressão

como

A  [(~ B )  C ] , devemos começar criando uma coluna para cada proposição

e, a seguir, colocar todas as possibilidades de combinações de valores lógicos (V ou F) entre elas: Valor

Valor lógico

Valor lógico

lógico de

de B

de C

V

V

V

V

V

F

V

V

V

F f F

F

V

V

F

V

F

F

F

V

F

F

F

A

Agora, note que em

F

A  [(~ B )  C ]

temos o termo ~B entre

parênteses. Devemos, portanto, criar uma nova coluna na nossa tabela, inserindo os valores de ~B. Lembre-se que os valores de não-B são opostos aos valores de B (compare as colunas em amarelo): Valor

Valor lógico

Valor lógico

Valor lógico

lógico de

de B

de C

de ~B

V

V

V

F

V

V

F

F

V

F

V

V

V

F

F

V

F

V

V

F

F

V

F

F

F

F

V

V

F

F

F

V

A

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 Agora que já temos os valores lógicos de ~B, e também temos os de C, podemos criar os valores lógicos da expressão entre colchetes: [(~ B )  C ] . Observe que se trata de uma conjunção (“e”), que só tem valor

lógico V quando ambos os membros (no caso, ~B e C) são V: Valor

Valor lógico

Valor lógico

Valor lógico

Valor lógico

lógico de

de B

de C

de ~B

de [(~ B )  C ]

V

V

V

F

F

V

V

F

F

F

V

F

V

V

V

F

V 2 F

V

F

F

V

V

F

F

F

V

F

F

F

F

F

V

V

V

F

F

F

V

F

A

Agora que já temos os valores lógicos de A e também os valores lógicos de [(~ B )  C ] , podemos analisar os valores lógicos da disjunção A  [(~ B )  C ] . Lembre-se que uma disjunção só é F quando ambos os seus

membros são F (marquei esses casos em amarelo): Valor

Valor

Valor

Valor

Valor

Valor

lógico

lógico de

lógico de

lógico de

lógico de

lógico de

de A

B

C

~B

[(~ B )  C ]

A  [(~ B )  C ]

V

V

V

F

F

V

V

V

F

F

F

V

V

F

V

V

V

V

V

F

F

V

F

V

F

V

V

F

F

F

F

V

F

F

F

F

F

F

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05

Assim, podemos omitir a 4ª e 5ª coluna, de modo que a tabelaverdade da expressão A  [(~ B )  C ] é: Valor

Valor

Valor

Valor

lógico

lógico de

lógico de

lógico de

de A

B

C

A  [(~ B )  C ]

V

V

V

V

V

V

F

V

V

F

V

V

V

F

F

V

F

V

V

F

F

V

F

F

F

F

V

V

F

F

F

F

8

Veja que essa tabela nos dá os valores lógicos da expressão A  [(~ B )  C ] para todos os possíveis valores das proposições simples que

a compõem (A, B e C).

TAUTOLOGIA, CONTRADIÇÃO E CONTINGÊNCIA Ao construir tabelas-verdade para expressões, como fizemos acima, podemos verificar que uma determinada expressão sempre é verdadeira, independente compõem.

dos

valores

Trata-se

de

lógicos

uma

das

proposições

tautologia.

Por

outro

simples lado,

que

a

algumas

expressões podem ser sempre falsas, independente dos valores das proposições que a compõem. Neste caso, estaremos diante de uma contradição. Vejamos alguns exemplos: a) Veja abaixo a tabela-verdade de p ~ p (ex.: Sou bonito e não sou bonito). Pela simples análise desse exemplo, já vemos uma contradição

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 (não dá para ser bonito e não ser ao mesmo tempo). Olhando na coluna da direita dessa tabela, vemos que ela é falsa para todo valor lógico de p: Valor lógico de p

Valor lógico de

Valor lógico de

~p

p ~ p

V

F

F

F

V

F

Obs.: notou que essa tabela-verdade possui apenas duas linhas? Isso porque temos apenas 1 proposição simples (p), e 21 = 2. b) Veja abaixo a tabela-verdade de p ~ p (ex.: Sou bonito ou não sou bonito). Pela simples análise desse exemplo, já vemos uma tautologia 0 (essa frase sempre será verdadeira, independente da minha beleza). Olhando na coluna da direita dessa tabela, vemos que ela é verdadeira para todo valor lógico de p:

Valor lógico de p

Valor lógico de

Valor lógico de

~p

p ~ p

V

F

V

F

V

V

A maioria das proposições tem valor lógico V em algumas linhas e F em outras linhas das suas tabelas-verdade. Neste caso, não estamos diante de tautologias e nem de contradições, e sim de contingências.

Pratique o que discutimos até aqui através da questão a seguir. CESPE – Bombeiros/AL – 2017) A respeito de proposições lógicas, julgue os itens a seguir. (

) Se P e Q forem proposições simples, então a proposição composta

Q v ( Q → P) é uma tautologia. RESOLUÇÃO:

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 Podemos resolver esta questão de DUAS formas. A primeira é a mais tradicional, e consiste na montagem da tabela-verdade. A segunda é uma solução mais rápida, mas exige mais domínio da lógica de proposições. Vejamos as duas.

Primeira solução: Para montar a tabela-verdade, veja que temos n = 2 proposições simples. O número de linhas da tabela será 2n = 22 = 4 linhas. Temos: P

Q

V

V 8

V

F

F

V

F

F

Podemos criar uma coluna para a condicional Q→P. Ela só é falsa na linha em que Q é V e P é F (terceira linha), sendo verdadeira nas demais: P

Q

Q→P

V

V

V

V

F

V

F

V

F

F

F

V

Podemos agora colocar uma coluna para a disjunção Q v (Q→P). Para

ela

ser

falsa,

tanto

Q

como

Q→P

deveriam

ser

falsas

simultaneamente. Isto não ocorre em nenhuma linha da tabela, motivo pelo qual essa proposição é sempre verdadeira: P

Q

Q→P

Q v Q→P

V

V

V

V

V

F

V

V

F

V

F

V

F

F

V

V

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05

Veja que, de fato, estamos diante de uma tautologia. Item CERTO.

Segunda solução: Como o item disse que a proposição é uma tautologia, podemos desafiá-lo, tentando deixar a proposição Falsa. Se conseguirmos, ela não é uma tautologia. Mas, se não conseguirmos deixa-la falsa, ela é uma tautologia. Para tentar deixar a disjunção Q v (Q→P) falsa, precisamos que ambas as proposições fiquem falsas. Para isto, Q precisa ser F. Entretanto,

como

Q

é

F,

a

condicional

Q→P

fica

verdadeira,

independentemente do valor lógico de P. E, com isto, a disjunção NÃO fica falsa. Veja que nós tentamos deixar a disjunção falsa, e não foi possível. Isto indica que ela é sempre verdadeira, sendo uma tautologia. Item CERTO. Como você pode notar, esta segunda solução exige maior domínio da lógica de proposições, entretanto é mais rápida que a anterior. Resposta: C

EQUIVALÊNCIA DE PROPOSIÇÕES LÓGICAS Dizemos que duas proposições lógicas são equivalentes quando elas possuem a mesma tabela-verdade. Como exemplo, vamos verificar se as proposições p → q e ~ q →~ p são equivalentes. Faremos isso calculando a tabela verdade das duas, para poder compará-las. Mas intuitivamente você já poderia ver que elas são equivalentes. Imagine que p → q é “Se chove, então vou à praia”. Sabemos que se a condição (chove) ocorre, necessariamente o resultado (vou à praia) ocorre. Portanto, se soubermos que o resultado não ocorreu (não vou à praia), isso implica que a condição não pode ter ocorrido (não Prof. Arthur Lima

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 chove). Isto é, podemos dizer que “Se não vou à praia, então não chove”. Ou seja, ~ q →~ p . A tabela-verdade de p → q encontra-se abaixo. Calcule-a sozinho, para exercitar: Valor

Valor

Valor

lógico

lógico de

lógico de

de p

q

p →q

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

Já a tabela-verdade de ~ q →~ p foi obtida abaixo: Valor

Valor

Valor

Valor

Valor

lógico

lógico de

lógico de

lógico de

lógico de

de p

q

~q

~p

~ q →~ p

V

V

F

F

V

V

F

V

F

F

F

V

F

V

V

F

F

V

V

V

Repare na coluna da direita de cada tabela. Percebeu que são iguais? Isso nos permite afirmar que ambas as proposições compostas são equivalentes. Veja ainda a tabela verdade de ~p ou q:

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Valor

Valor

Valor

Valor

lógico de

lógico de

lógico de

lógico de

p

q

~p

~p ou q

V

V

F

V

V

F

F

F

F

V

V

V

F

F

V

V

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Perceba que a tabela-verdade de ~p ou q é igual às duas anteriores (p→q e ~q→~p). Assim, essas 3 proposições são equivalentes. Não usei este exemplo à toa. Ele cai bastante em concursos, portanto é bom você gravar: ( p → q ), ( ~ q →~ p ) e (~p ou q) são proposições equivalentes!!!

Veja as questões abaixo para começar a treinar as equivalências lógicas: VUNESP – TJ/SP – 2017) Uma afirmação equivalente para “Se estou feliz, então passei no concurso” é: (A) Passei no concurso e não estou feliz. (B) Estou feliz e passei no concurso. (C) Se não passei no concurso, então não estou feliz. (D) Se passei no concurso, então estou feliz. (E) Não passei no concurso e não estou feliz. RESOLUÇÃO: Temos a condicional p–>q em que: p = estou feliz q = passei no concurso As suas equivalências “manjadas” são: ~q–>~p: “Se NÃO passei no concurso, então NÃO estou feliz” ~p ou q: “NÃO estou feliz OU passei no concurso”

Temos na alternativa C uma dessas equivalências. Resposta: C IBFC – TJ/PE – 2017) Considere a seguinte implicação lógica: “Se é terça ou quarta, então trabalho e não vou ao cinema”. Essa implicação é equivalente a: Prof. Arthur Lima

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 a) Se vou ao cinema e não trabalho, então não é terça, nem quarta b) Se é terça ou não vou ao cinema, então trabalho ou é quarta c) Se trabalho e não é terça, então vou ao cinema ou é quarta d) Se vou ao cinema ou não trabalho, então não é terça, nem quarta e) Se não trabalho ou não vou ao cinema, então não é terça, mas quarta RESOLUÇÃO: Temos uma condicional no enunciado que pode ser esquematizada como (p ou q) → (r e s), onde: p = é terça q = é quarta r = trabalho s = não vou ao cinema

Sabemos que a condicional A–>B é equivalente a ~B–>~A. Devemos inverter e negar os dois lados, ficando com: ~(r e s) → ~(p ou q) Veja que ~(r e s) é a negação da conjunção “r e s”, que pode ser escrita como (~r ou ~s). E veja que ~(p ou q) é a negação da disjunção “p ou q”, que pode ser escrita como (~p e ~q). Portanto, temos: (~r ou ~s) → (~p e ~q)

Veja ainda que: ~p = NÃO é terça ~q = NÃO é quarta ~r = NÃO trabalho ~s = VOU ao cinema

Logo, (~r ou ~s) → (~p e ~q) fica assim: “Se NÃO trabalhou OU vou ao cinema, então não é terça e nem quarta”. Resposta: D

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FGV – SEPOG/RO – 2017) Considere a afirmação: “Toda pessoa que faz exercícios não tem pressão alta”. De acordo com essa afirmação é correto concluir que (A) se uma pessoa tem pressão alta então não faz exercícios. (B) se uma pessoa não faz exercícios então tem pressão alta. (C) se uma pessoa não tem pressão alta então faz exercícios. (D) existem pessoas que fazem exercícios e que têm pressão alta. (E) não existe pessoa que não tenha pressão alta e não faça exercícios. RESOLUÇÃO: A proposição “Toda pessoa que faz exercícios não tem pressão alta” nos mostra uma condição (fazer exercícios) que, se obedecida, leva a um resultado (não ter pressão alta). Portanto, estamos diante da condicional: “Se uma pessoa faz exercícios, então não tem pressão alta”

Não temos esta opção de resposta, mas podemos buscar uma proposição equivalente. Sabemos que p–>q equivale a ~q–>~p, ou seja, basta inverter as duas informações da condicional e negar ambas, ficando com: “Se uma pessoa TEM pressão alta, então ela NÃO faz exercícios” Resposta: A

CONDIÇÃO NECESSÁRIA E CONDIÇÃO SUFICIENTE Quando temos uma condicional p→q, sabemos que se a condição p acontecer, com certeza o resultado q deve acontecer (para que p→q seja uma proposição verdadeira). Portanto, podemos dizer que p acontecer é suficiente para afirmarmos que q acontece. Em outras palavras, p é uma condição suficiente para q. Por exemplo, se dissermos “Se chove, então o chão fica molhado”, é suficiente saber que chove para afirmarmos que o chão fica molhado. Chover é uma condição suficiente para que o chão fique molhado. Por

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 outro lado, podemos dizer que sempre que chove, o chão fica molhado. É necessário que o chão fique molhado para podermos afirmar chove. Portanto, “o chão fica molhado” é uma condição necessária para podermos dizer que chove (se o chão estivesse seco, teríamos certeza de que não chove). Ou seja, q é uma condição necessária para p. Resumidamente, quando temos uma condicional p→q, podemos afirmar que p é suficiente para q, e, por outro lado, q é necessária para p. Por outro lado, quando temos uma bicondicional p  q , podemos dizer que p é necessária e suficiente para q, e vice-versa. Para a proposição “Chove se e somente se o chão fica molhado” ser verdadeira, podemos dizer que é preciso (necessário) que chova para que o chão fique molhado. Não é dada outra possibilidade. E é suficiente saber que chove para poder afirmar que o chão fica molhado. Da mesma forma, é suficiente saber que o chão ficou molhado para afirmar que choveu; e a única possibilidade de ter chovido é se o chão tiver ficado molhado, isto é, o chão ter ficado molhado é necessário para que tenha chovido. Veja esta questão: FCC – SEFAZ/RJ – 2014) Um indivíduo ser contador é condição suficiente para ele ter condições de trabalhar no ramo de Auditoria. Assim sendo, (A) os indivíduos que têm condições de trabalhar no ramo de Auditoria sempre são contadores. (B) todos que têm condições de trabalhar no ramo de Auditoria são contadores. (C) é possível que alguns contadores não tenham condições de trabalhar no ramo de Auditoria. (D) um indivíduo que não tem condições de trabalhar no ramo de Auditoria nunca é contador (E) a maioria dos indivíduos que tem condições de trabalhar no ramo de Auditoria são contadores. RESOLUÇÃO:

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 Sabemos que em uma condicional p→q nós podemos dizer que p é suficiente para q. Assim, ser contador é suficiente para trabalhar com Auditoria, ou seja: “Se um indivíduo é contador, então ele tem condições de trabalhar no ramo de Auditoria”

Outra forma de visualizar esta frase é a seguinte: basta ser contador para ter condições de trabalhar com Auditoria. Isto é, TODOS os contadores

tem

condições

de

trabalhar

no

ramo

de

Auditoria.

Representando os conjuntos dos “contadores” e dos “profissionais com condições para trabalhar com Auditoria”, temos:

Repare que no diagrama acima todos os contadores estão inseridos no conjunto dos profissionais que podem trabalhar com Auditoria. Ou seja, se sabemos que alguém é contador, isto é suficiente para concluirmos que ele pode trabalhar com Auditoria. Entretanto, não podemos afirmar que todos os profissionais capazes de trabalhar com auditoria são contadores. Pode ser que outras formações também sejam suficientes para permitir que um indivíduo trabalhe com auditoria.

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 Analisando as alternativas desta questão, temos: (A) os indivíduos que têm condições de trabalhar no ramo de Auditoria sempre são contadores. ERRADO. Sabemos que os contadores podem trabalhar com Auditoria, mas é possível que outros profissionais também possam trabalhar com Auditoria.

(B) todos que têm condições de trabalhar no ramo de Auditoria são contadores. ERRADO, pelos mesmos motivos do item anterior. Na dúvida você também pode observar o nosso diagrama.

(C) é possível que alguns contadores não tenham condições de trabalhar no ramo de Auditoria. ERRADO. Todos os contadores estão dentro do conjunto dos profissionais que podem trabalhar com Auditoria. Como o enunciado disse, ser contador é suficiente para poder trabalhar com Auditoria.

(D) um indivíduo que não tem condições de trabalhar no ramo de Auditoria nunca é contador. CORRETO. Todos os contadores estão dentro do conjunto dos profissionais que podem trabalhar com Auditoria. Se um indivíduo está fora deste conjunto maior (não tendo condições de trabalhar com Auditoria), certamente ele também está fora do conjunto dos contadores.

(E) a maioria dos indivíduos que tem condições de trabalhar no ramo de Auditoria são contadores. ERRADO. Não temos informações no enunciado que permitam levar a esta conclusão. Esta afirmação pode ser verdadeira ou não, mas não é possível afirmá-la somente com base no que foi dito no enunciado. Resposta: D

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 CESPE – TCE/RN – 2015) Em campanha de incentivo à regularização da documentação de imóveis, um cartório estampou um cartaz com os seguintes dizeres: “O comprador que não escritura e não registra o imóvel não se torna dono desse imóvel”. A partir dessa situação hipotética e considerando que a proposição P: “Se o comprador não escritura o imóvel, então ele não o registra” seja verdadeira, julgue os itens seguintes. ( ) Um comprador que tiver registrado o imóvel, necessariamente, o escriturou. RESOLUÇÃO: A proposição P pode ser esquematizada como: não escritura → não registra

Esta condicional ~q→~p equivale a p→q, que seria: registra → escritura

Lembrando que em uma condicional p→q podemos afirmar que q é necessário para p, então neste caso podemos dizer que escriturar é necessário

para

ter

registrado,

ou

melhor,

quem

registrou

necessariamente escriturou. Item CORRETO. Resposta: C

SENTENÇAS ABERTAS Sentenças abertas são aquelas que

possuem uma ou mais

variáveis, como o exemplo abaixo (do tipo p→q): “Se 2X é divisível por 5, então X é divisível por 5”

Temos a variável X nessa frase, que pode assumir diferentes valores. Se X for igual a 10, teremos: “Se 20 é divisível por 5, então 10 é divisível por 5”

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05

Esta frase é verdadeira, pois p é V e q é V. Se X = 11, teremos: “Se 22 é divisível por 5, então 11 é divisível por 5”

Esta frase é verdadeira, pois p é F e q também é F. Já se X = 12.5, teremos: “Se 25 é divisível por 5, então 12.5 é divisível por 5”

Agora a frase é falsa, pois p é V e q é F! Portanto, quando temos uma sentença aberta, não podemos afirmar de antemão que ela é verdadeira ou falsa, pois isso dependerá do valor que as variáveis assumirem. Assim, uma sentença aberta não é uma proposição (só será uma proposição após definirmos o valor da variável). Trabalhe o conceito de sentenças abertas na questão a seguir. FCC – BAHIAGÁS – 2010) “Se a soma dos dígitos de um número inteiro n é divisível por 6, então n é divisível por 6”. Um valor de n que mostra ser falsa a frase acima é: a) 30 b) 33 c) 40 d) 42 e) 60 RESOLUÇÃO: Estamos diante de uma sentença aberta, pois temos uma variável (n) que, dependendo de seu valor, pode tornar a proposição falsa ou verdadeira. Observe que a proposição do enunciado é uma condicional, isto é, uma frase do tipo p → q. Sabemos que só há uma forma da condicional ser falsa: se a condição (p) for verdadeira, mas ainda assim o resultado (q) for falso (se ficou em dúvida, volte na tabela-verdade da condicional). Com isso, vamos analisar as alternativas:

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 ➔ n = 30: a soma de seus dígitos não é divisível por 6 (3 + 0 = 3), o que torna a condição p Falsa. Como a condição é falsa, o resultado (q) pode ser verdadeiro ou falso que a frase continua verdadeira. A título de curiosidade, note que neste caso q é Verdadeira (pois 30 é divisível por 6). ➔ n = 33: a soma dos seus dígitos é divisível por 6 (3+3=6), ou seja, p é Verdadeira. Entretanto, o resultado q é Falso, pois 33 não é divisível por 6. Portanto, n = 33 torna a proposição composta Falsa. Este é o gabarito. ➔ n = 40: neste caso, p é Falsa e q é Falsa. Com isso, a frase é Verdadeira (para espanto daqueles não acostumados com o estudo da Lógica) ➔ n = 42: neste caso, p e q são Verdadeiras, tornando p→q Verdadeira ➔ n = 60: idem ao anterior. Resposta: B

SUMÁRIO RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS ........................................................ Erro! Indicador não definido. LISTA DE QUESTÕES DESTA AULA ............................................. Erro! Indicador não definido. GABARITO DAS QUESTÕES............................................................ Erro! Indicador não definido.

RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS Chegou a hora de praticarmos tudo o que trabalhamos nesta aula. Procure sempre tentar resolver os exercícios antes de ler as minhas resoluções, ok? E marque aqueles exercícios que

geraram maior

dificuldade para que você possa revisá-los posteriormente. Além disso, se você já está em uma fase mais avançada dos estudos, CRONOMETRE o

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 tempo gasto, para ter uma ideia se você está dentro do esperado para a sua prova.

1. FCC – FUNAPE – 2017) Considere a afirmação abaixo. Se contratei um empréstimo com juros maiores do que antes, então pagarei um montante maior. A afirmação que corresponde à negação lógica desta é (A) Se não paguei um montante maior, então não contratei um empréstimo com juros maiores. (B) Contratei um empréstimo com juros maiores do que antes ou pagarei um montante maior. (C) Se contratei um empréstimo com juros menores do que antes, então pagarei um montante maior. (D) Contratei um empréstimo com juros maiores do que antes e não pagarei um montante maior. (E) Não contratei um empréstimo com juros maiores do que antes ou não pagarei um montante maior. RESOLUÇÃO: Temos a condicional P–>Q no enunciado, onde: P = não contratei um empréstimo com juros maiores do que antes Q = pagarei um montante maior

A sua negação é P e ~Q, onde: ~q = NÃO pagarei um montante maior

Escrevendo a negação:

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 “Não contratei um empréstimo com juros maiores do que antes E NÃO pagarei um montante maior Resposta: D 2. FCC – DPE/RS – 2017) Considere a afirmação: Se sou descendente de italiano, então gosto de macarrão e gosto de parmesão. Uma afirmação que corresponde à negação lógica desta afirmação é (A) Sou descendente de italiano e, não gosto de macarrão ou não gosto de parmesão. (B) Se não sou descendente de italiano, então não gosto de macarrão e não gosto de parmesão. (C) Se gosto de macarrão e gosto de parmesão, então não sou descendente de italiano. (D) Não sou descendente de italiano e, gosto de macarrão e não gosto de parmesão. (E) Se não gosto de macarrão e não gosto de parmesão, então não sou descendente de italiano. RESOLUÇÃO: A negação de p–>q é dada por p e não-q. No caso, temos: p = sou descendente de italiano q = gosto de macarrão e gosto de parmesão

Veja que q é uma proposição composta. Sua negação é: não-q = NÃO gosto de macarrão OU NÃO gosto de parmesão Assim, a negação p e não-q fica: “Sou descentende de italiano E NÃO gosto de macarrão OU NÃO gosto de parmesão” Resposta: A 3. FCC – DPE/RS – 2017) Considere a afirmação: Ontem trovejou e não choveu.

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 Uma afirmação que corresponde à negação lógica desta afirmação é (A) se ontem não trovejou, então não choveu. (B) ontem trovejou e choveu. (C) ontem não trovejou ou não choveu. (D) ontem não trovejou ou choveu. (E) se ontem choveu, então trovejou. RESOLUÇÃO: No enunciado temos a conjunção “p e q” onde: p = ontem trovejou q = não choveu A sua negação é “não-p ou não-q”, onde: não-p = ontem NÃO trovejou não-q = choveu

Portanto, a negação é: Ontem não trovejou OU choveu Resposta: D 4. FCC – ARTESP – 2017) A afirmação que corresponde à negação lógica da frase ‘Vendedores falam muito e nenhum estudioso fala alto’ é (A) ‘Vendedores não falam muito ou pelo menos um estudioso fala alto’. (B) ‘Nenhum vendedor fala muito e todos os estudiosos falam alto’. (C) ‘Vendedores não falam muito e todos os estudiosos falam alto’. (D) ‘Se os vendedores não falam muito, então os estudiosos não falam alto’. (E) ‘Pelo menos um vendedor não fala muito ou todo estudioso fala alto’. RESOLUÇÃO: A negação de "p e q" é dada por "~p ou ~q". Neste caso temos: p = vendedores falam muito q = nenhum estudioso fala alto

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 Assim, ~p = vendedores NÃO falam muito ~q = algum estudioso fala alto (pelo menos um estudioso fala alto)

Portanto, ~p ou ~q seria: Vendedores não falam muito OU pelo menos um estudioso fala alto. Resposta: A 5. FCC – TRT/11 – 2017) A frase que corresponde à negação lógica da afirmação: Se o número de docinhos encomendados não foi o suficiente, então a festa não acabou bem, é (A) Se a festa acabou bem, então o número de docinhos encomendados foi o suficiente. (B) O número de docinhos encomendados foi o suficiente e a festa não acabou bem. (C) Se o número de docinhos encomendados foi o suficiente, então a festa acabou bem. (D) O número de docinhos encomendados não foi o suficiente e a festa acabou bem. (E) Se a festa não acabou bem, então o número de docinhos encomendados não foi o suficiente. RESOLUÇÃO: Temos a condicional p–>q onde: p =o número de docinhos encomendados NÃO foi o suficiente q = a festa NÃO acabou bem

A negação é dada por "p e ~q", onde: ~q = a festa ACABOU bem

Assim, a negação é: "O número de docinhos encomendados NÃO foi o suficiente E a festa ACABOU bem"

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 Resposta: D 6. FCC – METRÔ/SP – 2016) Se a gasolina acabou ou apareceu um defeito, então o motor apagou. Uma afirmação equivalente a esta é (A) a gasolina acabou ou apareceu um defeito e o motor apagou. (B) se o motor apagou, então a gasolina acabou ou apareceu um defeito. (C) apareceu um defeito e a gasolina acabou e o motor não apagou. (D) a gasolina acabou e não apareceu um defeito e o motor apagou. (E) se o motor não apagou, então não apareceu um defeito e a gasolina não acabou. RESOLUÇÃO: Temos a condicional (a ou b)→c no enunciado, onde: a = a gasolina acabou b = apareceu um defeito c = o motor apagou

A condicional p→q é equivalente a ~q→~p. De forma análoga, a condicional (a ou b) → c é equivalente a ~c → ~(a ou b). Como ~(a ou b) é o mesmo que (~a e ~b), podemos dizer que a proposição do enunciado equivale a: ~c → (~a e ~b)

Escrevendo esta proposição, temos: “Se o motor NÃO apagou, então a gasolina NÃO acabou E NÃO apareceu um defeito” Resposta: E 7. FCC – METRÔ/SP – 2016) Edson não gosta de frango ou Marilda gosta de feijão e gosta de arroz. Uma afirmação que corresponda à negação lógica dessa é (A) Marilda não gosta de arroz ou não gosta de feijão e Edson gosta de frango.

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 (B) Edson gosta de frango e Marilda não gosta de feijão e não gosta de arroz. (C) Se Edson não gosta de frango, então Marilda gosta de feijão e arroz. (D) Se Marilda não gosta de feijão e arroz, então Edson gosta de frango. (E) Edson gosta de arroz e Marilda gosta de frango e feijão. RESOLUÇÃO: Temos a disjunção “a ou (b e c)” no enunciado, onde: a = Edson não gosta de frango b = Marilda gosta de feijão c = gosta de arroz A negação de uma disjunção “p ou q” é dada por “~p e ~q”. Analogamente, a negação de “a ou (b e c)” é dada por “~a e ~(b e c)”. Como ~(b e c) é o mesmo que (~b ou ~c), podemos dizer que a negação da proposição do enunciado é: é: ~a e (~b ou ~c)

Escrevendo esta proposição: “Edson GOSTA de frango E Marilda NÃO gosta de feijão OU NÃO gosta de arroz” Resposta: A 8. FCC – METRÔ/SP – 2016) Ao considerar a afirmação: “todos os motoristas habilitados são habilidosos”, como sendo uma afirmação falsa, então é verdade que (A) os motoristas não habilitados são habilidosos. (B) os motoristas habilidosos não são habilitados. (C) há motorista habilitado que não é habilidoso. (D) a maioria dos motoristas habilitados não são habilidosos. (E) há motorista habilidoso que não é habilitado. RESOLUÇÃO:

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 Para a afirmação ser falsa, basta encontrarmos um motorista habilitado que NÃO seja habilidoso, ou seja, basta encontrarmos um contra-exemplo. Por isso, a negação pode ser escrita como: “Algum motorista habilitado NÃO é habilidoso” “Existe motorista habilitado que NÃO é habilidoso” “Pelo menos um motorista habilitado NÃO é habilidoso”

Temos uma opção na alternativa C (veja que ela lembra o segundo caso cima, usando “há” no lugar de “existe”). Resposta: C 9. FCC – SEFAZ/PE – 2015) Observe a afirmação a seguir, feita pelo prefeito de uma grande capital. Se a inflação não cair ou o preço do óleo diesel aumentar, então o preço das passagens de ônibus será reajustado. Uma maneira logicamente equivalente de fazer esta afirmação é: (A) Se a inflação cair e o preço do óleo diesel não aumentar, então o preço das passagens de ônibus não será reajustado. (B) Se a inflação cair ou o preço do óleo diesel aumentar, então o preço das passagens de ônibus não será reajustado. (C) Se o preço das passagens de ônibus for reajustado, então a inflação não terá caído ou o preço do óleo diesel terá aumentado. (D) Se o preço das passagens de ônibus não for reajustado, então a inflação terá caído ou o preço do óleo diesel terá aumentado. (E) Se o preço das passagens de ônibus não for reajustado, então a inflação terá caído e o preço do óleo diesel não terá aumentado. RESOLUÇÃO: Temos a proposição condicional que pode ser sintetizada assim: (inflação não cair ou diesel aumentar) → passagem reajustada Essa proposição é do tipo (P ou Q) → R, onde: P = inflação não cair

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 Q = diesel aumentar R = passagem reajustada Essa proposição é equivalente a ~R→~(P ou Q), que por sua vez é equivalente a ~R→ (~P e ~Q), onde: ~P = inflação cair ~Q = diesel NÃO aumentar ~R = passagem NÃO SER reajustada

Escrevendo ~R-->(~P e ~Q), temos: passagem não ser reajustada → (inflação cai e diesel não aumenta)

Temos isso na alternativa E. Resposta: E 10. FCC – SEFAZ/PE – 2015) Antes da rodada final do campeonato inglês de futebol, um comentarista esportivo apresentou a situação das duas únicas equipes com chances de serem campeãs, por meio da seguinte afirmação: “Para que o Arsenal seja campeão, é necessário que ele vença sua partida e que o Chelsea perca ou empate a sua.” Uma maneira equivalente, do ponto de vista lógico, de apresentar esta informação é: “Para que o Arsenal seja campeão, é necessário que ele (A) vença sua partida e o Chelsea perca a sua ou que ele vença a sua partida e o Chelsea empate a sua.” (B) vença sua partida ou o Chelsea perca a sua ou que ele vença a sua partida ou o Chelsea empate a sua.” (C) empate sua partida e o Chelsea perca a sua ou que ele vença a sua partida e o Chelsea não vença a sua.” (D) vença sua partida e o Chelsea perca a sua e que ele vença a sua partida e o Chelsea empate a sua.”

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 (E) vença sua partida ou o Chelsea perca a sua e que ele vença a sua partida ou o Chelsea empate a sua.” RESOLUÇÃO: A proposição do enunciado pode ser resumida assim: Arsenal vença E (Chelsea perca OU Chelsea empate)

Sabemos que a proposição composta "p E (q OU r)" é equivalente a "(p E q) OU (p E r)". Escrevendo essa última, teríamos algo como: (Arsenal vença E Chelsea perca) OU (Arsenal vença E Chelsea empate)

Temos isso na alternativa A. Resposta: A 11. FCC – TRT/19ª – 2014) Considere a seguinte afirmação: Se José estuda com persistência, então ele faz uma boa prova e fica satisfeito. Uma afirmação que é a negação da afirmação acima é (A) José estuda com persistência e ele não faz uma boa prova e ele não fica satisfeito. (B) José não estuda com persistência e ele não faz uma boa prova ou fica satisfeito. (C) José estuda com persistência ou ele faz uma boa prova ou ele não fica satisfeito. (D) José estuda com persistência e ele não faz uma boa prova ou ele não fica satisfeito. (E) Se José fica satisfeito então ele fez uma boa prova e estudou com persistência. RESOLUÇÃO: Para negar a condicional p→q, podemos escrever a conjunção “p e ~q”. No caso, como a condicional é “Se José estuda com persistência, então ele faz uma boa prova e fica satisfeito”, temos que: p = José estuda com persistência

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 q = ele faz uma boa prova e fica satisfeito

Repare que q é uma proposição composta, do tipo conjunção, cuja negação é: ~q = ele NÃO faz uma boa prova OU NÃO fica satisfeito Assim, a negação de p→q é “p e ~q”, que pode ser escrita assim:

José estuda com persistência E NÃO faz uma boa prova OU NÃO fica satisfeito Resposta: D 12. FCC – TRF/3ª – 2014) Considere a afirmação: Nem todas as exigências foram cumpridas ou o processo segue adiante. Do ponto de vista lógico, uma afirmação equivalente à acima é: (A) Se o processo segue adiante, então nem todas as exigências foram cumpridas. (B) O processo não segue adiante e todas as exigências foram cumpridas. (C) Se todas as exigências foram cumpridas, então o processo segue adiante. (D) Se nenhuma exigência foi cumprida, então o processo não segue adiante. (E) Nem todas as exigências foram cumpridas e o processo segue adiante. RESOLUÇÃO: Sabemos que a condicional A→B é equivalente à disjunção “~A ou B”. A frase do enunciado é uma disjunção “~A ou B”, onde: ~A = nem todas as exigências foram cumpridas B = o processo segue adiante Portanto, a proposição A é igual a “todas as exigências foram cumpridas”, e a condicional A→B é: Prof. Arthur Lima

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 “Se todas as exigências foram cumpridas, então o processo segue adiante” Resposta: C 13. FCC – TRT/2ª – 2014) Durante um comício de sua campanha para o Governo do Estado, um candidato fez a seguinte afirmação: “Se eu for eleito, vou asfaltar 2.000 quilômetros de estradas e construir mais de 5.000 casas populares em nosso Estado.” Considerando que, após algum tempo, a afirmação revelou-se falsa, pode-se concluir que, necessariamente, (A) o candidato não foi eleito e não foram asfaltados 2.000 quilômetros de estradas no Estado. (B) o candidato não foi eleito, mas foram construídas mais de 5.000 casas populares no Estado. (C) o candidato foi eleito, mas não foram asfaltados 2.000 quilômetros de estradas no Estado. (D) o candidato foi eleito e foram construídas mais de 5.000 casas populares no Estado. (E) não foram asfaltados 2.000 quilômetros de estradas ou não foram construídas mais de 5.000 casas populares no Estado. RESOLUÇÃO: Temos a condicional do tipo p→(q e r):

(eu for eleito) → (asfaltar 2000km e construir mais de 5000 casas)

O único caso onde essa condicional tem valor lógico Falso é quando temos V→F, ou seja, quando p é V (o candidato é eleito) e “q e r” é F. Para que “q e r” seja F, é preciso que sua negação seja V, ou seja, que “~q ou ~r” seja V. Ou seja:

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 “não asfaltar 2000km ou não construir mais de 5000 casas”

Portanto, para que a frase do candidato, é necessário que: - o candidato tenha sido eleito, e - não tenham sido asfaltados 2000km ou não tenham sido construídas mais de 5000 casas.

Portanto,

a

alternativa

E

está

correta,

pois

é

preciso,

necessariamente, que o que ela afirma seja Verdadeiro:

(E) não foram asfaltados 2.000 quilômetros de estradas ou não foram construídas mais de 5.000 casas populares no Estado.

Naturalmente, também seria correta uma opção de resposta do tipo: “O candidato foi eleito E não foram asfaltados 2000 quilômetros de estradas ou não foram construídas mais de 5000 casas populares no Estado”

Também

seria

correta

uma

afirmação

que

dissesse

que,

necessariamente, “o candidato foi eleito”. Resposta: E 14. FCC – TRT/2ª – 2014) Um dia antes da reunião anual com os responsáveis por todas as franquias de uma cadeia de lanchonetes, o diretor comercial recebeu um relatório contendo a seguinte informação:

Todas as franquias enviaram o balanço anual e nenhuma delas teve prejuízo neste ano.

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 Minutos antes da reunião, porém, ele recebeu uma mensagem em seu celular enviada pelo gerente que elaborou o relatório, relatando que a informação não estava correta. Dessa forma, o diretor pôde concluir que, necessariamente, (A) nenhuma franquia enviou o balanço anual e todas elas tiveram prejuízo neste ano. (B) alguma franquia não enviou o balanço anual e todas elas tiveram prejuízo neste ano. (C) nenhuma franquia enviou o balanço anual ou pelo menos uma delas teve prejuízo neste ano. (D) nem todas as franquias enviaram o balanço anual ou todas elas tiveram prejuízo neste ano. (E) nem todas as franquias enviaram o balanço anual ou pelo menos uma delas teve prejuízo neste ano. RESOLUÇÃO: Se a conjunção “Todas as franquias enviaram o balanço anual E nenhuma delas teve prejuízo neste ano” é FALSA, podemos concluir que a sua negação é verdadeira. Esta negação é: “Nem todas as franquias enviaram o balanço anual OU alguma delas teve prejuízo neste ano”

Temos uma variação disto na alternativa E. Resposta: E 15. FCC – TJAP – 2014) Considere a seguinte declaração, feita por um analista político fictício: “se o partido P conseguir eleger Senador no Estado F ou no Estado G, então terá a maioria no Senado”. A

partir

da

declaração

do

analista,

é

correto

concluir

que,

necessariamente, se o partido P (A) não tiver a maioria no Senado, então não terá conseguido eleger o senador no Estado G.

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 (B) tiver a maioria no Senado, então terá conseguido eleger o senador no Estado G. (C) tiver a maioria no Senado, então terá conseguido eleger o senador no Estado F. (D) não conseguiu eleger o senador no Estado F, então não terá a maioria no Senado. (E) não conseguiu eleger o senador no Estado G, então não terá a maioria no Senado. RESOLUÇÃO: Vamos usar as seguintes proposições simples: p = o partido P conseguir eleger Senador no Estado F q = o partido P conseguir eleger Senador no Estado G r = o partido P terá a maioria no Senado Veja que a frase do enunciado é: (p ou q) → r Esta proposição é equivalente a: ~r → ~(p ou q) Esta proposição é o mesmo que: ~r → (~p e ~q) Reescrevendo esta última: “se o partido P não tiver a maioria no Senado, então não terá conseguido eleger o senador no Estado F e não terá conseguido eleger senador no Estado G” Analisando as alternativas de resposta, veja que a A está correta. Afinal, se o partido P não tiver maioria, é porque ele não elegeu senador no estado G (e também não elegeu senador no estado F). Resposta: A

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 16. FCC – TJAP – 2014) No Brasil, o voto é obrigatório apenas para os brasileiros alfabetizados que têm de 18 a 70 anos. De acordo com essa informação, se Luíza é uma brasileira que não é obrigada a votar, então, necessariamente, Luíza (A) é analfabeta e tem menos de 18 anos ou mais de 70. (B) é analfabeta ou tem menos de 18 anos ou mais de 70. (C) não é analfabeta, mas tem menos de 18 anos. (D) é analfabeta, mas pode ter de 18 a 70 anos. (E) tem mais de 70 anos, mas pode não ser analfabeta. RESOLUÇÃO: O enunciado nos mostra que o único caso onde a pessoa é obrigada a votar é quando ela preenche todas essas condições: - é alfabetizada - tem de 18 a 70 anos

Logo, se não for preenchida qualquer dessas condições (ou mesmo as duas), a pessoa não é obrigada a votar. Podemos escrever: “se a pessoa for analfabeta OU então estiver fora da faixa 18-70 anos, ela não é obrigada a votar”

Para estar fora da faixa de 18-70 anos, ela deve ter menos de 18 ou mais de 70 anos. Ou seja: “se a pessoa for analfabeta OU tiver menos de 18 ou mais de 70 anos, ela não é obrigada a votar”.

Assim, podemos concluir que Luíza é analfabeta ou tem menos de 18 ou mais de 70 anos. Pode até ser que ela cumpra as duas condições (seja analfabeta e tenha mais de 70 anos, por exemplo), mas isto não é necessário, pois basta ela preencher alguma das condições para não precisar votar. Resposta: B

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 17. FCC – TJAP – 2014) Vou à academia todos os dias da semana e corro três dias na semana. Uma afirmação que corresponde à negação lógica da afirmação anterior é (A) Não vou à academia todos os dias da semana ou não corro três dias na semana. (B) Vou à academia quase todos os dias da semana e corro dois dias na semana. (C) Nunca vou à academia durante a semana e nunca corro durante a semana. (D) Não vou à academia todos os dias da semana e não corro três dias na semana. (E) Se vou todos os dias à academia, então corro três dias na semana. RESOLUÇÃO: Temos a conjunção “p e q”, onde: p = Vou à academia todos os dias da semana q = corro três dias na semana A sua negação é “~p ou ~q”, ou seja: “Não vou à academia todos os dias da semana ou não corro três dias na semana” Resposta: A 18. FCC – SAEB/BA – 2014) Renata disse a seguinte frase: “Se Lucas venceu o jogo, então Denis não compareceu”. Lucas, irado, afirmou que a frase dita por Renata não era verdadeira. Uma frase, que do ponto de vista lógico, é a negação da frase dita por Renata é: (A) Lucas venceu o jogo ou Denis venceu o jogo. (B) Denis não compareceu ao jogo e Lucas não venceu. (C) Lucas venceu o jogo e Denis compareceu. (D) Se Lucas não venceu o jogo, então Denis compareceu. (E) Lucas venceu o jogo ou Denis compareceu. RESOLUÇÃO:

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 A frase dita por Renata é uma

condicional do tipo p-->q.

A sua

negação é dada pela frase "p e não-q". Temos: p = Lucas venceu o jogo q = Denis não compareceu

Dessa forma a frase "p e não-q" é simplesmente: " Lucas venceu o jogo e Denis compareceu" Resposta: C 19. FCC – METRÔ/SP – 2014) Todos os mecânicos são inteligentes e resolvem problemas. Uma afirmação que representa a negação lógica da afirmação anterior é: (A) nenhum mecânico é inteligente e resolve problemas. (B) se um mecânico não é inteligente, então ele não resolve qualquer problema. (C) algum mecânico não é inteligente ou não resolve problemas. (D) todos os mecânicos não são inteligentes ou ninguém resolve problemas. (E) se um mecânico resolve problemas, então ele é inteligente. RESOLUÇÃO: Para negar o que foi afirmado no enunciado, basta encontrarmos um mecânico que não seja inteligente ou que não resolva problemas. Portanto, uma forma de escrever a negação lógica desta frase é: " algum mecânico não é inteligente ou não resolve problemas" Resposta: C 20. FCC – TRT/BA – 2013) Devido à proximidade das eleições, foi decidido que os tribunais eleitorais deveriam funcionar, em regime de plantão, durante um determinado domingo do ano. Em relação a esse plantão, foi divulgada a seguinte orientação: “Se todos os processos forem analisados até às 11 horas, então o plantão será finalizado nesse horário.” Prof. Arthur Lima

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 Considere que a orientação foi cumprida e que o plantão só foi finalizado às 18 horas. Então, pode-se concluir que, necessariamente, (A) nenhum processo foi analisado até às 11 horas. (B) todos os processos foram analisados até às 11 horas. (C) pelo menos um processo terminou de ser analisado às 18 horas. (D) todos os processos foram analisados até às 18 horas. (E) pelo menos um processo não foi analisado até às 11 horas. RESOLUÇÃO: Temos no enunciado uma condicional p→q onde: p = todos os processos forem analisados até às 11 horas q = o plantão será finalizado nesse horário

Ocorre que o plantão só foi finalizado às 18 horas, ou seja, q é F. Para manter a condicional p→q verdadeira, é preciso que p seja F também. Afinal, olhando a tabela-verdade da condicional, quando q é F não podemos deixar que p seja V, pois neste caso a condicional seria falsa: P

Q

p →q

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

Assim, como p é F, então pelo menos um processo não foi analisado até as 11 horas. Resposta: E 21. FCC – TRT/BA – 2013) Analisando a tabela de classificação do campeonato de futebol amador do bairro antes da realização da última rodada, o técnico do União concluiu que, caso seu time vencesse sua última partida ou o time do Camisa não ganhasse seu último jogo, então

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 o União seria campeão. Sabendo que o União não se sagrou campeão, pode-se concluir que, necessariamente, (A) o Camisa perdeu seu jogo e o União perdeu o seu. (B) o Camisa venceu seu jogo e o União venceu o seu. (C) o Camisa empatou seu jogo e o União empatou ou perdeu o seu. (D) o Camisa empatou seu jogo e o União venceu o seu. (E) o Camisa venceu seu jogo e o União empatou ou perdeu o seu RESOLUÇÃO: A

“regra”

dada

pelo

enunciado

pode

ser

resumida

nessa

condicional: Se União vencer ou Camisa não vencer, então União é campeão (p ou q) → r, onde:

p = União vencer q = Camisa não vencer r = União é campeão Como o União não se sagrou campeão, vemos que r é F. Isso obriga a condição (p ou q) a ser F também. Assim, a negação de (p ou q) será V. Esta negação é: ~(p ou q) = ~p e ~q Escrevendo (~p e ~q), temos: o União NÃO venceu e o Camisa VENCEU. Temos essa mesma ideia na alternativa E: o Camisa venceu seu jogo e o União empatou ou perdeu o seu Resposta: E 22. FCC – SEPLAN/PI – 2013) Se Heráclito está convicto de que o mundo está em permanente mudança, então ele é triste. Portanto, se (A) Heráclito é triste, o mundo está em permanente mudança. (B) Heráclito não está convicto de que o mundo está em permanente mudança, então ele é triste. (C) Heráclito está convicto de que o mundo está em permanente mudança, então ele não é triste.

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 (D) Heráclito não é triste, então ele não está convicto de que o mundo está em permanente mudança. (E) Heráclito é triste, então ele não está convicto de que o mundo está em permanente mudança. RESOLUÇÃO: No enunciado temos a condicional p→q: está convicto → é triste Sabemos que p→q é equivalente a ~q→~p. Essa última pode ser escrita assim: NÃO é triste → NÃO está convicto Temos essa frase na alternativa D: se Heráclito não é triste, então ele não está convicto de que o mundo está em permanente mudança. Se não tivéssemos encontrado o gabarito, poderíamos ter tentado encontrar a outra equivalência “manjada” da condicional p→q, que é a disjunção “~p ou q”, ou seja: NÃO está convicto OU é triste Ou melhor: Heráclito não está convicto de que o mundo está em permanente mudança OU ele é triste. Resposta: D 23. FCC – TRT/1ª – 2013) Um vereador afirmou que, no último ano, compareceu a todas as sessões da Câmara Municipal e não empregou parentes em seu gabinete. Para que essa afirmação seja falsa, é necessário que, no último ano, esse vereador (A) tenha faltado em todas as sessões da Câmara Municipal ou tenha empregado todos os seus parentes em seu gabinete. (B) tenha faltado em pelo menos uma sessão da Câmara Municipal e tenha empregado todos os seus parentes em seu gabinete.

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 (C) tenha faltado em pelo menos uma sessão da Câmara Municipal ou tenha empregado um parente em seu gabinete. (D) tenha faltado em todas as sessões da Câmara Municipal e tenha empregado um parente em seu gabinete. (E) tenha faltado em mais da metade das sessões da Câmara Municipal ou tenha empregado pelo menos um parente em seu gabinete. RESOLUÇÃO: Temos

a

condicional

“p

e

q”

que

pode

ser

resumida

por

“compareceu a todas E não empregou”. A sua negação é dada por “~p ou ~q”, que pode ser resumida como “não compareceu a pelo menos uma OU empregou”. Temos essa última estrutura na alternativa C. Resposta: C 24. FCC – TRT/1ª – 2013) Leia os Avisos I e II, colocados em um dos setores de uma fábrica. Aviso I Prezado funcionário, se você não realizou o curso específico, então não pode operar a máquina M. Aviso II Prezado funcionário, se você realizou o curso específico, então pode operar a máquina M. Paulo, funcionário desse setor, realizou o curso específico, mas foi proibido, por seu supervisor, de operar a máquina M. A decisão do supervisor (A) opõe-se apenas ao Aviso I. (B) opõe-se ao Aviso I e pode ou não se opor ao Aviso II. (C) opõe-se aos dois avisos. (D) não se opõe ao Aviso I nem ao II. (E) opõe-se apenas ao Aviso II. RESOLUÇÃO:

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 Cada aviso é uma condicional p→q , cujo resumo encontra-se abaixo: Aviso I: não realizou → não pode Aviso II: realizou → pode No caso do funcionário citado, temos que “realizou” é V (pois ele fez o curso) e que “pode” é F (pois ele foi proibido de operar a máquina). Esta combinação de valores lógicos torna a condicional do aviso I verdadeira, pois temos F→V. Já a condicional do aviso II é falsa, pois temos V→F. Assim, o caso do funcionário opõe-se apenas ao aviso II, pois torna esta frase falsa. Resposta: E 25. FCC – PGE/BA – 2013) Alice irá ao País das Maravilhas quando imaginar ou perder o medo. Se Alice perder o medo, (A) Alice não irá ao País das Maravilhas, pois não vai imaginar. (B) Alice irá ao País das Maravilhas. (C) Alice vai necessariamente imaginar. (D) Alice não irá, também, imaginar. (E) Alice não vai imaginar. RESOLUÇÃO: A frase do enunciado é uma condicional usando o “quando”. Ela pode ser reescrita assim, para facilitar a análise: Se imaginar ou perder o medo, então Alice irá ao país das maravilhas Foi dito que Alice perdeu o medo. Com isso, a disjunção “imaginar ou perder o medo” é Verdadeira. Uma vez que ocorreu a condição, o resultado deve acontecer. Ou seja, Alice IRÁ ao país das maravilhas. Resposta: B 26. FCC – MPE/AM – 2013) O professor de uma disciplina experimental de um curso de Engenharia estabeleceu no início do semestre que, para

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 ser aprovado, um aluno teria de realizar pelo menos 5 das 6 experiências propostas e ter média de relatórios maior ou igual a 6,0. Como Juca foi reprovado nessa disciplina, pode-se concluir que ele, necessariamente, (A) realizou apenas 4 experiências e teve média de relatórios, no máximo, igual a 5,0. (B) realizou 4 ou menos experiências e teve média de relatórios inferior a 6,0. (C) realizou menos do que 5 experiências ou teve média de relatórios inferior a 6,0. (D) não realizou qualquer experiência, tendo média de relatórios igual a 0,0. (E) não realizou qualquer experiência ou teve média de relatórios menor ou igual a 5,0. RESOLUÇÃO: Veja que o professor estabeleceu duas condições (realizar pelo menos 5 das 6 experiências e ter média de relatórios maior ou igual a 6,0) que, se respeitadas, levam ao resultado (aprovação). Ou seja, temos a condicional: Se realizar pelo menos 5 das 6 experiências e ter média de relatórios maior ou igual a 6,0, então o aluno é aprovado

Juca foi reprovado, ou seja, o resultado da condicional não ocorreu. Isso obriga a condição (realizar pelo menos 5 das 6 experiências e ter média de relatórios maior ou igual a 6,0) a NÃO ter ocorrido também. Observe que essa condição é uma conjunção. Para ela não ter ocorrido (não ser V), basta que uma das proposições simples que a compõe seja Falsa. Portanto: - Juca NÃO realizou pelo menos 5 das 6 experiências OU teve média inferior a 6,0;

Outra forma de dizer isso é: - Juca realizou MENOS DE 5 experiências OU teve média inferior a 6,0;

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Temos isso na alternativa C: (C) realizou menos do que 5 experiências ou teve média de relatórios inferior a 6,0. Resposta: C 27. FCC – TRT/11a – 2012) Uma senhora afirmou que todos os novelos de lã guardados numa gaveta são coloridos e nenhum deles foi usado. Mais tarde, ela percebeu que havia se enganado em relação à sua afirmação, o que permite concluir que (A) existem novelos de lã brancos na gaveta e eles já foram usados. (B) pelo menos um novelo de lã da gaveta não é colorido ou algum deles foi usado. (C) pelo menos um novelo de lã da gaveta não é colorido ou todos eles foram usados. (D) os novelos de lã da gaveta não são coloridos e já foram usados. (E) os novelos de lã da gaveta não são coloridos e algum deles já foi usado. RESOLUÇÃO: Sendo p = todos os novelos são coloridos e q = nenhum novelo foi usado, a afirmação da senhora foi “p e q”. Se ela se enganou, “p e q” é Falso, portanto a sua negação é Verdadeira. A negação de “p e q” é “não-p ou não-q”. As negações das proposições simples são: Não-p = algum novelo não é colorido Não-q = algum novelo foi usado Portanto, “não-p ou não-q” seria: Algum novelo não é colorido ou algum novelo foi usado. Poderíamos utilizar também a expressão “pelo menos um” no lugar de “algum”. Com isso, teríamos a resposta da letra B. Resposta: B

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 28. FCC – Banco do Brasil – 2011) Um jornal publicou a seguinte manchete: “Toda Agência do Banco do Brasil tem déficit de funcionários.” Diante de tal inverdade, o jornal se viu obrigado a retratar-se, publicando uma negação de tal manchete. Das sentenças seguintes, aquela que expressaria de maneira correta a negação da manchete publicada é: a) Qualquer Agência do Banco do Brasil não têm déficit de funcionários b) Nenhuma Agência do Banco do Brasil tem déficit de funcionários c) Alguma Agência do Banco do Brasil não tem déficit de funcionários d) Existem Agências com déficit de funcionários que não pertencem ao Banco do Brasil e) O quadro de funcionários do Banco do Brasil está completo RESOLUÇÃO: Olhando a manchete publicada pelo jornal, bastaria que um leitor constatasse que em pelo menos uma agência do BB não há déficit e ele já teria argumento suficiente para desmentir o jornal, afinal o jornal tinha dito que todas as agências possuem déficit. Uma forma desse leitor expressar-se seria dizendo: “Pelo menos uma agência do BB não tem déficit de funcionários”. Uma outra forma de dizer esta mesma frase seria: “Alguma agência do BB não tem déficit de funcionários”. Portanto, essa foi a frase que o jornal precisou usar para a retratação (negação) da anterior. Resposta: C 29. FCC – BAHIAGÁS – 2010) “Se a soma dos dígitos de um número inteiro n é divisível por 6, então n é divisível por 6”. Um valor de n que mostra ser falsa a frase acima é: a) 30 b) 33 c) 40 d) 42

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 e) 60 RESOLUÇÃO: Estamos diante de uma sentença aberta, pois temos uma variável (n) que, dependendo de seu valor, pode tornar a proposição falsa ou verdadeira. Observe que a proposição do enunciado é uma condicional, isto é, uma frase do tipo p → q. Sabemos que só há uma forma da condicional ser falsa: se a condição (p) for verdadeira, mas ainda assim o resultado (q) for falso (se ficou em dúvida, volte na tabela-verdade da condicional). Com isso, vamos analisar as alternativas: ➔ n = 30: a soma de seus dígitos não é divisível por 6 (3 + 0 = 3), o que torna a condição p Falsa. Como a condição é falsa, o resultado (q) pode ser verdadeiro ou falso que a frase continua verdadeira. A título de curiosidade, note que neste caso q é Verdadeira (pois 30 é divisível por 6). ➔ n = 33: a soma dos seus dígitos é divisível por 6 (3+3=6), ou seja, p é Verdadeira. Entretanto, o resultado q é Falso, pois 33 não é divisível por 6. Portanto, n = 33 torna a proposição composta Falsa. Este é o gabarito. ➔ n = 40: neste caso, p é Falsa e q é Falsa. Com isso, a frase é Verdadeira (para espanto daqueles não acostumados com o estudo da Lógica) ➔ n = 42: neste caso, p e q são Verdadeiras, tornando p→q Verdadeira ➔ n = 60: idem ao anterior. Resposta: B. 30. FCC – ALESP – 2010) Durante uma sessão no plenário da Assembleia Legislativa, o presidente da mesa fez a seguinte declaração, dirigindo-se às galerias da casa: “Se as manifestações desrespeitosas não forem interrompidas, então eu não darei início à votação”.

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 Esta declaração é logicamente equivalente à afirmação: a) se o presidente da mesa deu início à votação, então as manifestações desrespeitosas foram interrompidas b) se o presidente da mesa não deu início à votação, então as manifestações desrespeitosas não foram interrompidas c) se as manifestações desrespeitosas forem interrompidas, então o presidente da mesa dará início à votação d) se as manifestações desrespeitosas continuarem, então o presidente da mesa começará a votação e) se as manifestações desrespeitosas não continuarem, então o presidente da mesa não começará a votação. RESOLUÇÃO: Observe que temos uma condicional ( p → q ), onde: p = As manifestações desrespeitosas não forem interrompidas q = Eu não darei início à votação Esta é uma proposição “manjada”, pois sabemos que ela é equivalente a ~ q →~ p e também a ~p ou q. Como ~q é “eu darei início à

votação”

e

~p

é

“as

manifestações

desrespeitosas

foram

interrompidas”, temos:

~ q →~ p :

“Se

eu

dei

início

à

votação,

então

as

manifestações

desrespeitosas foram interrompidas”. ~p ou q: “As manifestações desrespeitosas foram interrompidas ou eu não dei início à votação”. Repare que a alternativa A é similar à expressão ~ q →~ p que escrevemos acima, sendo este o gabarito. Resposta: A

31. FCC - DNOCS - 2010) Considere a seguinte proposição:

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 “Se uma pessoa não faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho, então ela não melhora o seu desempenho profissional.” Uma proposição logicamente equivalente à proposição dada é: (A) É falso que, uma pessoa não melhora o seu desempenho profissional ou faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho. (B) Não é verdade que, uma pessoa não faz cursos de aperfeiçoamento profissional e não melhora o seu desempenho profissional. (C) Se uma pessoa não melhora seu desempenho profissional, então ela não faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho. (D) Uma pessoa melhora o seu desempenho profissional ou não faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho. (E) Uma pessoa não melhora seu desempenho profissional ou faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho. RESOLUÇÃO: No enunciado tempos uma proposição do tipo p

q, onde p e q

são, resumidamente: p = pessoa não faz cursos q = ela não melhora Você já deve ter decorado que a proposição ~q

~p é equivalente

a ela. Outra equivalente é q ou ~p. Vejamos as estruturas de cada alternativa:

(A) É falso que, uma pessoa não melhora o seu desempenho profissional ou faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho. Aqui temos a estrutura: ~(q ou ~p)

(B) Não é verdade que, uma pessoa não faz cursos de aperfeiçoamento profissional e não melhora o seu desempenho profissional. ~(p e q)

(C) Se uma pessoa não melhora seu desempenho profissional, então ela não faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho.

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 q

p

(D) Uma pessoa melhora o seu desempenho profissional ou não faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho. ~q ou p

(E) Uma pessoa não melhora seu desempenho profissional ou faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho. q ou ~p

Veja que apenas na letra E temos uma proposição no formato q ou ~p, que é equivalente a p

q. Este é o gabarito.

Veja como é importante gravar a equivalência entre: p ~q

q ~p

q ou ~p Se você não se lembrasse disso, teria que construir a tabelaverdade de cada proposição! Resposta: E 32. FCC – SEFAZ/SP – 2010) Considere as seguintes premissas: p: Estudar é fundamental para crescer profissionalmente. q: O trabalho enobrece. A afirmação “Se o trabalho não enobrece, então estudar não é fundamental para crescer profissionalmente” é, com certeza, FALSA quando: a) p é falsa e q é falsa. b) p é verdadeira e q é verdadeira. c) p é falsa e q é verdadeira. d) p é verdadeira e q é falsa. e) p é falsa ou q é falsa. RESOLUÇÃO:

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 Veja que a afirmação dada pelo enunciado é: “Se não-q, então nãop”. Só há 1 forma dessa condicional ser FALSA: se a condição (não-q) for Verdadeira, porém o resultado (não-p) for Falso. Para que não-q seja Verdadeira, a sua negação (q) deve ser Falsa. E para que não-p seja Falsa, a sua negação (p) deve ser Verdadeira. Assim, p deve ser Verdadeira e q deve ser Falsa. Resposta: D 33. FCC – METRÔ/SP – 2010) Considere as proposições simples: p: Maly é usuária do Metrô; e q: Maly gosta de dirigir automóvel A negação da proposição composta p ^ ~q é: a) Maly não é usuária do Metrô ou gosta de dirigir automóvel b) Maly não é usuária do Metrô e não gosta de dirigir automóvel c) Não é verdade que Maly não é usuária do Metrô e não gosta de dirigir automóvel d) Não é verdade que, se Maly não é usuária do Metrô, então ela gosta de dirigir automóvel e) Se Maly não é usuária do Metrô, então ela não gosta de dirigir automóvel. RESOLUÇÃO: Primeiramente, veja que ~q (negação de q) pode ser escrita como: Maly não gosta de dirigir automóvel. Assim, a proposição p e não-q (p ^ ~q) é: “Maly é usuária do Metrô e Maly não gosta de dirigir automóvel” Quem diz essa frase, está afirmando que as duas informações são verdadeiras, isto é, que Maly é usuária do Metrô e, também, que Maly não gosta de dirigir automóvel. Isto porque esta proposição composta é uma conjunção (“e”), que só é verdadeira quando ambos os lados são verdadeiros. Se quiséssemos desmentir (ou negar) o autor da frase, bastaria mostrar que um dos lados não é verdadeiro. Isto é, bastaria provar que

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 Maly não é usuária do Metrô, ou então provar que Maly gosta de dirigir automóvel. Portanto, a negação da frase acima é: “Maly não é usuária do Metrô ou Maly gosta de dirigir automóvel” (letra A)

De uma maneira mais rápida, bastaria você lembrar que a negação de p ^~q é ~p v ~(~q), isto é ~p v q. Resposta: A. 34. FCC – SEFAZ/SP – 2009) Uma empresa mantém a seguinte regra em relação a seus funcionários: Se um funcionário tem mais de 45 anos de idade, então ele deverá, todo ano, realizar pelo menos um exame médico e tomar a vacina contra a gripe. Considerando que essa regra seja sempre cumprida, é correto concluir que, necessariamente, se um funcionário dessa empresa: a) anualmente realiza um exame médico e toma a vacina contra a gripe, então ele tem mais de 45 anos de idade. b) tem 40 anos de idade, então ele não realiza exames médicos anualmente ou não toma a vacina contra a gripe. c) não realizou nenhum exame médico nos últimos dois anos, então ele não tem 50 ou mais anos de idade. d) tem entre 55 e 60 anos de idade, então ele realiza um único exame médico por ano, além de tomar a vacina contra a gripe. e) tomou a vacina contra a gripe ou realizou exames médicos nos últimos dois anos, então ele tem pelo menos 47 anos de idade. RESOLUÇÃO: A condicional do enunciado é: Funcionário tem 45 ou mais → faz exame E toma vacina Para essa frase ser verdadeira, todos os funcionários com 45 ou mais anos devem fazer exame e tomar vacina todo ano. Já quanto aos

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 funcionários com menos de 45 anos, nada foi afirmado: eles podem fazer ou não exame, e tomar ou não a vacina. Se uma pessoa não fez exame, ela não pode ter mais de 45 (pois se tivesse, deveria obrigatoriamente ter feito exame). Portanto, você deve concordar que a frase abaixo é correta: "Se um funcionário não realizou exame, então ele não tem 45 ou mais anos". (da mesma forma, poderíamos dizer que "se um funcionário não tomou vacina, então ele não tem 45 ou mais anos"). Entretanto, essa alternativa não aparece entre as opções de respostas. Mas temos uma parecida na letra C: "se um funcionário não realizou exame, então ele não tem 50 ou mais anos"

Se você concordou com a frase anterior, deve concordar com essa também. Isso porque se alguém não tem 45 ou mais anos, esse mesmo alguém também não tem 50 ou mais anos. Isto é, podemos garantir que uma pessoa que não fez exame TEM MENOS DE 50 ANOS, até porque poderíamos garantir que esta pessoa tem menos de 45 anos. Resposta: C. 35. FCC – SEFAZ/SP – 2009) Considere a afirmação: Pelo menos um ministro participará da reunião ou nenhuma decisão será tomada. Para que essa afirmação seja FALSA: a) é suficiente que nenhum ministro tenha participado da reunião e duas decisões tenham sido tomadas. b) é suficiente que dois ministros tenham participado da reunião e alguma decisão tenha sido tomada. c) é necessário e suficiente que alguma decisão tenha sido tomada, independentemente da participação de ministros na reunião.

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 d) é necessário que nenhum ministro tenha participado da reunião e duas decisões tenham sido tomadas. e) é necessário que dois ministros tenham participado da reunião e nenhuma decisão tenha sido tomada. RESOLUÇÃO: Essa afirmação do enunciado é uma disjunção (“ou”). Ela só será falsa se ambas as proposições que a compõem sejam falsas. Vamos, portanto, obter a negação de cada uma delas separadamente:

p: Pelo menos um ministro participará da reunião Como negar uma proposição com “Pelo menos um”? Basta usar “Nenhum”. Assim, temos: Nenhum ministro participará da reunião.

q: nenhuma decisão será tomada. Podemos negar essa proposição dizendo: “Pelo menos uma decisão será tomada”.

Como queremos que ambas as proposições sejam falsas, basta que a conjunção abaixo seja verdadeira: “Nenhum ministro participará da reunião e pelo menos uma decisão será tomada”. Portanto, se sabemos que nenhum ministro participou da reunião e, mesmo assim, 1 ou mais decisões foram tomadas, isto é suficiente para podermos afirmar que a afirmação é FALSA. A alternativa A cita o caso em que sabemos que nenhum ministro participou e, ainda assim, 2 decisões foram tomadas, o que é suficiente para desmentir a afirmação do enunciado. Resposta: A 36. FGV – TRT/SC – 2017) O salão principal do tribunal está preparado para um evento comemorativo e diversas pessoas foram convidadas a

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 comparecer. Na porta do salão está um funcionário que recebeu instruções sobre as pessoas que podem entrar e uma delas foi: “Se tiver carteira de advogado pode entrar.” É correto concluir que: (A) se João entrou então tem carteira de advogado; (B) quem não tem carteira de advogado não pode entrar; (C) se Pedro não pode entrar então não tem carteira de advogado; (D) quem é advogado, mas não tem carteira, pode entrar; (E) todos os que entraram são advogados. RESOLUÇÃO: Temos a condicional p–>q no enunciado, onde: p = tiver carteira de advogado q = pode entrar

Esta proposição equivale a ~q–>~p, isto é: Se não pode entrar, então não tem carteira de advogado Assim, podemos dizer que se Pedro não pode entrar, então ele não tem carteira de advogado. Temos isso na letra C. Veja que é possível que outras pessoas, além das que tem carteira de advogado, possam entrar. Isto faz com que frases como “se João entrou então tem carteira de advogado” não possam ser necessariamente concluídas a partir do enunciado. Resposta: C 37. FGV – TRT/SC – 2017) Em um tribunal os processos possuem capas totalmente de cor cinza ou totalmente de cor azul. Sabe-se também que: Os processos de capa cinza não vão para o arquivo. É correto concluir que: (A) todo processo de capa azul vai para o arquivo; (B) todo processo que vai para o arquivo tem capa azul; (C) a capa de um processo que não é arquivado é certamente cinza; (D) alguns processos que são arquivados têm capa cinza;

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 (E) nenhum processo de capa azul vai para o arquivo. RESOLUÇÃO: A frase do enunciado pode ser reescrita como a condicional: “Se o processo tem capa cinza, então ele não vai para o arquivo”

Esta condicional p–>q equivale à condicional ~q–>~p, ou seja: “Se o processo vai para o arquivo, então ele NÃO tem capa cinza”

Como só existem processos de capa azul ou cinza, a frase acima equivale a dizer: “Se o processo vai para o arquivo, então ele tem capa azul”

Temos essa informação na alternativa: “todo processo que vai para o arquivo tem capa azul”. Resposta: B 38. FGV – TRT/SC – 2017) Todas as pessoas que conhecem os irmãos Bernardo e Bianca gostam de Bianca. Entretanto, algumas pessoas que conhecem Bianca não gostam dela. É correto concluir que: (A) todos os que conhecem Bianca gostam dela; (B) ninguém gosta de Bianca; (C) alguns que conhecem Bianca não conhecem Bernardo; (D) quem conhece Bernardo gosta de Bianca; (E) só quem conhece Bernardo e Bianca conhece Bianca RESOLUÇÃO: Vamos julgar cada alternativa: •

todos os que conhecem Bianca gostam dela

Falso, pois parte das pessoas não gostam de Bianca (como diz a frase “algumas pessoas que conhecem Bianca não gostam dela). •

ninguém gosta de Bianca

Falso, pois o próprio enunciado fala de pessoas que gostam de Bianca.

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 •

alguns que conhecem Bianca não conhecem Bernardo

Verdade, pois existem pessoas que conhecem Bianca e não gostam dela. Se essas pessoas também conhecessem Bernardo,elas deveriam gostar de Bianca (pois quem conhece os dois gosta de Bianca, como disse o enunciado). •

quem conhece Bernardo gosta de Bianca

Falso. Sabemos que quem conhece os DOIS realmente gosta de Bianca. Mas é possível existir pessoas que conhecem apenas Bernardo, assim essas pessoas não necessariamente gostam de Bianca. •

só quem conhece Bernardo e Bianca conhece Bianca

Falso, pois vimos que existem pessoas que conhecem Bianca e não gostam dela. Essas pessoas não conhecem Bernardo, afinal se o conhecessem também, gostariam de Bianca. Resposta: C 39. FGV – TRT/SC – 2017) Os advogados Miguel e Lucas conversam sobre determinado processo que vão receber. – Miguel: Se esse processo é de “danos morais” então tem 100 páginas ou mais. – Lucas: Não é verdade. O que Lucas disse é logicamente equivalente a: (A) esse processo não é de danos morais e tem 100 páginas ou mais; (B) esse processo não é de danos morais ou tem menos de 100 páginas; (C) se esse processo não é de danos morais então tem 100 páginas ou mais; (D) se esse processo é de danos morais então tem 100 páginas ou menos; (E) esse processo é de danos morais e tem menos de 100 páginas. RESOLUÇÃO: Lucas disse que a frase de Miguel é falsa. Se essa frase é falsa, a sua NEGAÇÃO é verdadeira.

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 A frase de Miguel é uma condicional p–>q, e sua negação é dada por “p e não-q”, ou seja: “Esse processo é de danos morais E NÃO tem 100 páginas ou mais”

Outra forma de dizer isso é: “Esse processo é de danos morais E tem MENOS DE 100 páginas” Resposta: E 40. FGV – TRT/SC – 2017) A negação lógica da sentença “Se eu como e não corro, então eu engordo” é: (A) Se eu como e não corro, então eu não engordo. (B) Eu como e não corro e não engordo. (C) Se eu não engordo, então eu não como ou corro. (D) Eu não como e corro e não engordo. (E) Se eu não como ou corro, então eu não engordo. RESOLUÇÃO: Temos a condicional (A e B) –>C, em que: A = eu como B = não corro C = engordo A sua negação é: (A e B) E ~C Ou seja, “Eu como e não corro E não engordo” Resposta: B 41. FGV – TRT/SC – 2017) Considere a sentença: “Se x é um número par e y é um número maior do que x, então y é um número ímpar”. Sendo x um elemento do conjunto A e y um elemento do conjunto B, um cenário no qual a sentença dada é sempre verdadeira é: (A) A={2, 3, 4} e B={2, 3, 5}; (B) A={2, 3, 4} e B={3, 4, 5};

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 (C) A={1, 2, 3} e B={3, 4}; (D) A={1, 2, 3} e B={4, 5}; (E) A={3, 4} e B={5, 6}. RESOLUÇÃO: Para a sentença não ser falsa, não pode acontecer de a primeira parte ser verdadeira (x ser par e y ser maior que x) e, ao mesmo tempo, a segunda parte ser falsa (y ser par). Vejamos os casos onde a proposição fica falsa: a) se x for par (2 ou 4) e y for maior do que x (só podendo ser 3 ou 5), então claramente não tem como y ser par. Aqui é impossível deixar a proposição falsa. Este é o gabarito. Vamos analisar a alternativa B para ficar mais claro. Neste caso podemos ter x = 2 e y = 4. Veja que obedecemos a primeira parte (x é par e y é maior que x), mas não a segunda (pois y é par). Isso torna a sentença falsa. A mesma lógica vale para as demais alternativas. Resposta: A 42. FGV – TRT/SC – 2017) Considere a sentença: “Se Pedro é torcedor do Avaí e Marcela não é torcedora do Figueirense, então Joana é torcedora da Chapecoense”. Uma sentença logicamente equivalente à sentença dada é: (A) Se Pedro não é torcedor do Avaí ou Marcela é torcedora do Figueirense, então Joana não é torcedora da Chapecoense. (B) Se Pedro não é torcedor do Avaí e Marcela é torcedora do Figueirense, então Joana não é torcedora da Chapecoense. (C) Pedro não é torcedor do Avaí ou Marcela é torcedora do Figueirense ou Joana é torcedora da Chapecoense. (D) Se Joana não é torcedora da Chapecoense, então Pedro não é torcedor do Avaí e Marcela é torcedora do Figueirense. (E) Pedro não é torcedor do Avaí ou Marcela é torcedora do Figueirense e Joana é torcedora da Chapecoense.

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 RESOLUÇÃO: Temos a condicional (A e B)–>C, onde: A = Pedro é torcedor do Avaí B = Marcela não é torcedora do Figueirense C = Joana é torcedora da Chapecoense

Esta condicional equivale a: ~(A e B) ou C Isto é, (~A ou ~B) ou C

Escrevendo esta: “Pedro não é torcedor do Avaí ou Marcela é torcedora do Figueirense ou Joana é torcedora da Chapecoense” Temos isso na alternativa C. Resposta: C 43. FGV – TRT/SC – 2017) Em uma caixa só pode haver bolas pretas ou brancas. Sabe-se que a caixa não está vazia e que não é verdade que “todas as bolas na caixa são pretas”. Então é correto concluir que: (A) nenhuma bola na caixa é preta; (B) todas as bolas na caixa são brancas; (C) há pelo menos uma bola preta na caixa; (D) há pelo menos uma bola branca na caixa; (E) há bolas pretas e bolas brancas na caixa. RESOLUÇÃO: Como não é verdade que todas as bolas são pretas, podemos afirmar que alguma bola / pelo menos uma bola NÃO é preta. Ou seja, alguma bola é branca (pois só temos essas duas cores). Assim, o gabarito é: ‘Há pelo menos uma bola branca na caixa” Prof. Arthur Lima

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 Resposta: D 44. Pref. Salvador – FGV – 2017) Considere a afirmação: “Nenhum deputado é sensato”. A sua negação é: (A) “Há, pelo menos, um deputado sensato”. (B) “Alguns sensatos são deputados”. (C) “Todos os deputados são sensatos”. (D) “Todos os sensatos são deputados”. (E) “Todos os deputados são insensatos”. RESOLUÇÃO: Se alguém nos diz que NENHUM deputado é sensato, o que é o MÍNIMO que precisamos fazer para desmentir? Ora, basta mostrar que existe algum deputado sensato e a frase dita será falsa. Portanto, a negação da frase do enunciado pode ser escrita como: “Algum deputado É sensato” “Existe deputado que É sensato” “Pelo menos um deputado é sensato”

Veja que na alternativa A temos uma variação dessas negações. Este é nosso gabarito. ATENÇÃO para não marcar a alternativa C. Não é preciso que todos os deputados sejam sensatos para desmentirmos o autor da frase. “Todos os deputados são sensatos” não é negação de “Nenhum deputado é sensato”,

pois

AMBAS

as

proposições

podem

ser

FALSAS

simultaneamente (tendo mesmo valor lógico, o que não é permitido entre negações). Basta que existam alguns deputados sensatos e outros não. Resposta: A 45. FGV – MP/BA – 2017) Considere a afirmação: “Todo baiano é um homem feliz”. Uma afirmação logicamente equivalente é:

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 (A) Todo homem feliz é baiano; (B) Um homem que não é feliz não é baiano; (C) Quem não é baiano não é feliz; (D) Um homem é baiano ou é feliz; (E) Um homem não é feliz ou não é baiano. RESOLUÇÃO: Veja que a afirmação corresponde à condicional: “Se um homem é baiano, então é feliz” Esta condicional p–>q equivale à disjunção “~p ou q”, ou seja: “Um homem NÃO é baiano OU é feliz”

Não temos essa opção de resposta. Sabemos também que a condicional p–>q equivale à condicional ~q–>~p, isto é: “Se um homem não é feliz, então não é baiano”

Esta frase é similar àquela vista na alternativa B: “Um homem que não é feliz não é baiano”. Resposta: B 46. FGV – MP/BA – 2017) Considere a afirmativa: “Tereza comprou pão e leite”. Se a afirmativa acima é falsa, conclui-se logicamente que Tereza: (A) não comprou pão nem leite. (B) comprou pão, mas não comprou leite. (C) comprou leite, mas não comprou pão. (D) comprou pão ou comprou leite. (E) não comprou pão ou não comprou leite. RESOLUÇÃO: Para uma afirmação ser falsa, basta sabermos o mínimo que é necessário para contradizê-la. Neste caso, para a frase ser falsa, basta

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 que Tereza NÃO tenha comprado pão OU não tenha comprado leite. Temos isso na alternativa E. Resposta: E 47. FGV – SEPOG/RO – 2017) João voltou de um passeio na floresta com seus amigos e, ao chegar em casa, disse: “Eu matei a cobra e mostrei o pau”. Pedro, um dos amigos, disse: “isso não foi verdade”. O significado do que Pedro disse é que João (A) matou a cobra, mas não mostrou o pau. (B) não matou a cobra, mas mostrou o pau. (C) não matou a cobra e não mostrou o pau. (D) não matou a cobra ou não mostrou o pau. (E) matou a cobra ou mostrou o pau. RESOLUÇÃO: Se a frase de João é falsa, é porque a sua NEGAÇÃO é verdadeira. A negação de “p e q” é dada por “~p ou ~q”. Temos: p = Eu matei a cobra q = mostrei o pau

Logo, ~p = Eu NÃO matei a cobra ~q = NÃO mostrei o pau

A negação é: “Não matei a cobra OU não mostrei o pau”

Portanto, podemos afirmar que João não matou a cobra ou não mostrou o pau. Resposta: D 48. FGV – SEPOG/RO – 2017) Considere a afirmação: “Toda pessoa que faz exercícios não tem pressão alta”. Prof. Arthur Lima

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 De acordo com essa afirmação é correto concluir que (A) se uma pessoa tem pressão alta então não faz exercícios. (B) se uma pessoa não faz exercícios então tem pressão alta. (C) se uma pessoa não tem pressão alta então faz exercícios. (D) existem pessoas que fazem exercícios e que têm pressão alta. (E) não existe pessoa que não tenha pressão alta e não faça exercícios. RESOLUÇÃO: A proposição “Toda pessoa que faz exercícios não tem pressão alta” nos mostra uma condição (fazer exercícios) que, se obedecida, leva a um resultado (não ter pressão alta). Portanto, estamos diante da condicional: “Se uma pessoa faz exercícios, então não tem pressão alta”

Não temos esta opção de resposta, mas podemos buscar uma proposição equivalente. Sabemos que p–>q equivale a ~q–>~p, ou seja, basta inverter as duas informações da condicional e negar ambas, ficando com: “Se uma pessoa TEM pressão alta, então ela NÃO faz exercícios” Resposta: A 49. FGV – IBGE – 2017) Marcelo foi chamado para uma reunião com seu chefe. Nessa reunião ocorreu o seguinte diálogo: - Chefe: Pedro disse que todos os relatórios que ele recebeu foram avaliados. - Marcelo: Não é verdade o que Pedro disse. Se o chefe considerou que Marcelo falou a verdade, ele pode concluir logicamente que, dos relatórios recebidos por Pedro: (A) pelo menos um relatório não foi avaliado; (B) um único relatório não foi avaliado; (C) nenhum relatório foi avaliado; (D) mais da metade dos relatórios não foram avaliados; (E) somente um relatório foi avaliado. RESOLUÇÃO:

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 Se é mentira que “todos os relatórios que ele [Pedro] recebeu foram avaliados”, então é verdade a negação desta proposição: “Algum relatório que ele [Pedro] recebeu NÃO foi avaliado”. Temos algo similar a isto na alternativa: “Pelo menos um relatório não foi avaliado” Resposta: A 50. FGV – IBGE – 2017) Em um jogo há fichas brancas e pretas sendo algumas redondas, outras quadradas e outras triangulares. Não há fichas de outras cores ou de outros formatos. Considere como verdadeira a afirmação: “Qualquer ficha branca não é quadrada.” É correto concluir que: (A) toda ficha preta é quadrada; (B) toda ficha quadrada é preta; (C) uma ficha que não é redonda é certamente branca; (D) uma ficha que não é quadrada é certamente preta; (E) algumas fichas triangulares são pretas. RESOLUÇÃO: Sabemos que qualquer ficha branca não é quadrada, ou seja, NENHUMA ficha branca é quadrada. Em outras palavras, se alguma ficha for quadrada, ela NÃO pode ser branca, devendo ser necessariamente preta. Isto nos permite dizer que toda ficha quadrada é preta (alternativa B). Não podemos dizer que toda ficha preta é quadrada, pois é possível ter fichas pretas de outros formatos. E nem podemos afirmar quais são os formatos das fichas brancas, sabemos apenas que elas não podem ser quadradas (podem ser redondas e/ou triangulares). Resposta: B 51. FGV – IBGE – 2017) Considere como verdadeira a seguinte sentença:

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 “Se todas as flores são vermelhas, então o jardim é bonito”. É correto concluir que: (A) se todas as flores não são vermelhas, então o jardim não é bonito; (B) se uma flor é amarela, então o jardim não é bonito; (C) se o jardim é bonito, então todas as flores são vermelhas; (D) se o jardim não é bonito, então todas as flores não são vermelhas; (E) se o jardim não é bonito, então pelo menos uma flor não é vermelha. RESOLUÇÃO: A frase do enunciado é a condicional p–>q em que: p = todas as flores são vermelhas q = o jardim é bonito

Esta frase equivale a dizer ~q–>~p e também ~p ou q. Escrevendo essas duas equivalências: ~p ou q: “ALGUMA flor NÃO é vermelha OU o jardim é bonito” Não temos uma opção de resposta como esta.

~q–>~p: “Se o jardim NÃO é bonito, então ALGUMA flor NÃO é vermelha” Temos uma frase similar a esta na alternativa E. Resposta: E 52. FGV – IBGE – 2017) Considere verdadeira a afirmação: Todo computador bom é caro e todo computador grande é bom. É correto concluir que: (A) se um computador é caro, então é bom; (B) se um computador é bom, então é grande; (C) se um computador não é bom, então não é caro; (D) se um computador é caro, então é grande; (E) se um computador é grande, então é caro. RESOLUÇÃO:

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 Se esta conjunção do enunciado é verdadeira, então é VERDADE que: •

todo computador bom é caro; (é bom –> é caro)

•

todo computador grande é bom (é grande –> é bom)

Considerando

as

condicionais

que

escrevi

entre

parênteses,

podemos escrever que: é grande –> é bom –> é caro ou seja, é grande –> é caro Na alternativa E temos a frase “Se um computador é grande, então é caro”, que é o nosso gabarito. Resposta: E 53. FGV – Pref. Paulínia/SP – 2016) Considere

verdadeira a

afirmação: “Toda criança gosta de correr”. Considere as afirmativas a seguir. I. Como Abel não é criança, então não gosta de correr. II. Como Bruno gosta de correr, então é criança. III. Como Carlos não gosta de correr, então não é criança. Assinale: (A) se apenas I for verdadeira. (B) se apenas II for verdadeira. (C) se apenas III for verdadeira. (D) se apenas I e II forem verdadeiras. (E) se apenas II e III forem verdadeiras. RESOLUÇÃO: Como toda criança gosta de correr, podemos concluir que: - se uma pessoa é criança, então ela certamente gosta de correr; - se uma pessoa não gosta de correr, então ela não é criança;

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 Veja que NADA pode ser concluído sobre as pessoas que não são crianças. Estas podem gostar ou não de correr, não temos informações que permitam julgá-las. Assim, vejamos as afirmativas:

I. Como Abel não é criança, então não gosta de correr. ERRADO, não temos informações para julgar quem não é criança.

II. Como Bruno gosta de correr, então é criança. ERRADO, podemos ter adultos que gostam de correr também. Não podemos concluir que Bruno é criança só porque gosta de correr.

III. Como Carlos não gosta de correr, então não é criança. CORRETO, pois se ele fosse criança deveria gostar de correr. Resposta: C 54. FGV – MRE – 2016) Considere a sentença: “Corro e não fico cansado”. Uma sentença logicamente equivalente à negação da sentença dada é: (A) Se corro então fico cansado. (B) Se não corro então não fico cansado. (C) Não corro e fico cansado. (D) Corro e fico cansado. (E) Não corro ou não fico cansado. RESOLUÇÃO: No enunciado temos uma conjunção “p e ~q” onde p = corro e ~q = não fico cansado. Sabemos que “p e ~q” é a negação da condicional p→q. Portanto, uma forma de escrever a negação de “p e ~q” é justamente escrever a condicional p→q, onde: q = fico cansado

Assim, p→q seria: Se corro, então fico cansado

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 Resposta: A 55. FGV – MRE – 2016) João olhou as dez bolas que havia em um saco e afirmou: “Todas as bolas desse saco são pretas”. Sabe-se que a afirmativa de João é falsa. É correto concluir que: (A) nenhuma bola desse saco é preta; (B) pelo menos nove bolas desse saco são pretas; (C) pelo menos uma bola desse saco é preta; (D) pelo menos uma bola desse saco não é preta; (E) nenhuma bola desse saco é branca. RESOLUÇÃO: Para ser mentira que todas as bolas são pretas, basta encontrar uma bola que NÃO seja preta. Assim, podemos concluir que: “alguma bola não é preta” ou “existe bola que não é preta” ou “pelo menos uma bola não é preta” Temos esta última opção na alternativa D. Resposta: D 56. FGV – IBGE – 2016) – Sem A, não se tem B – Sem B, não se tem C Assim, conclui-se que: a) A é suficiente para B e para C b) B é necessário para A e para C c) C é suficiente para A e para B d) A e B são suficientes para C e) B é necessário para A e suficiente para C RESOLUÇÃO:

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 A frase “sem A não se tem B” nos mostra que é necessário ocorrer A para que possa ocorrer B. Ou seja, A é uma condição NECESSÁRIA para B. A frase “sem B não se tem C” nos mostra que é necessário ocorrer B para que possa ocorrer C. Deste modo, B é uma condição NECESSÁRIA para C. Em uma condicional p–>q, sabemos que q é condição necessária para p. Assim, com as informações acima, podemos montar duas condicionais: B

A

(A é necessária para B)

C

B

(B é necessária para C)

Por outro lado, em uma condicional p

q, sabemos que p é condição

suficiente para q. Assim, com as condicionais que montamos acima, vemos que C é suficiente para B, e B é suficiente para A. Podemos ainda escrever C

B

A, ou mesmo C

A , o que nos mostra que C também é

suficiente para A. Assim, C é condição suficiente para B e também para A. Resposta: C 57. FGV – MPRJ – 2016) Prestando depoimento o depoente declarou: - Estava no escritório às 10 horas da noite e o telefone tocou. Após algumas investigações verificou-se que essa declaração do depoente era falsa. É correto concluir que o depoente: (A) não estava no escritório ou o telefone não tocou; (B) não estava no escritório e o telefone não tocou; (C) não estava no escritório ou o telefone tocou; (D) estava no escritório ou o telefone não tocou; (E) estava no escritório e o telefone não tocou. RESOLUÇÃO: Temos a conjunção “p e q” no enunciado, onde: Prof. Arthur Lima

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 p = estava no escritório às 10 horas da noite q = o telefone tocou

Se isto é falso, então a sua negação é verdadeira. A negação é ~p ou ~q, onde: ~p = NÃO estava no escritório às 10 horas da noite ~q = o telefone NÃO tocou

Deste modo, a negação pode ser escrita assim: NÃO estava no escritório às 10 horas da noite OU o telefone NÃO tocou Resposta: A 58. FGV – TJRJ – 2014) Considere a seguinte sentença: “Se há muitos processos, então os juízes trabalham muito”. Uma sentença logicamente equivalente a essa é: (A) se não há muitos processos, então os juízes não trabalham muito; (B) se os juízes trabalham muito, então há muitos processos; (C) há muitos processos e os juízes não trabalham muito; (D) não há muitos processos ou os juízes trabalham muito; (E) há muitos processos e os juízes trabalham muito. RESOLUÇÃO: Temos no enunciado a condicional p→q onde: p = há muitos processos q = juízes trabalham muito

Vimos exaustivamente que esta condicional é equivalente às proposições: ~q→~p ~p ou q Escrevendo-as, temos: - Se os juízes não trabalham muito, então não há muitos processos - Não há muitos processos ou os juízes trabalham muito

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Note que somente a segunda frase aparece nas alternativas de resposta, sendo este o gabarito. Resposta: D 59. FGV – TJRJ – 2014) João e José conversam. João diz: - Todo país que realiza eleições é democrático. José diz: - Essa frase é falsa. O que José disse significa que: (A) algum país não realiza eleições e é democrático; (B) se um país não realiza eleições então não é democrático; (C) algum país realiza eleições e não é democrático; (D) se um país não é democrático então não realiza eleições; (E) todo país que realiza eleições não é democrático. RESOLUÇÃO: José diz que a frase "Todo país que realiza eleições é democrático" é falsa. Ele quer dizer que pode haver exceções, isto é, pode existir algum país que realize eleições e, mesmo assim, NÃO seja democrático. Portanto, uma forma de expressar o que José quer dizer é: - "algum país realiza eleições e não é democrático"

Temos isso entre as alternativas de resposta. Outras possibilidades seriam: - nem todo país que realiza eleições é democrático - existe país que realiza eleições e não é democrático - pelo menos um país realiza eleições e não é democrático

E assim por diante... observe que João não havia afirmado nada sobre os países que NÃO realizam eleições (ele falou apenas dos países que realizam eleições). Assim, as opções de resposta que tratam dos países que NÃO realizam eleições estão todas incorretas. Resposta: C

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60. FGV – FUNDAÇÃO PRÓ-SANGUE/SP – 2013) A negação lógica da sentença “Quem doa sangue, doa vida” é: a) Quem não doa vida, não doa sangue. b) Quem não doa sangue, não doa vida. c) Alguém não doa sangue e doa vida. d) Alguém não doa sangue e não doa vida. e) Alguém doa sangue e não doa vida. RESOLUÇÃO: A frase do enunciado pode ser reescrita pela condicional: Se doa sangue, então doa vida

Para negarmos essa frase, basta encontrarmos alguém que doa sangue MAS NÃO doa vida, isto é: Alguém doa sangue e não doa vida Resposta: E

61. FGV

–

FUNDAÇÃO

PRÓ-SANGUE/SP

–

2013)

Assinale

a

alternativa que apresenta a sentença logicamente equivalente a “Se você tem menos de 16 anos ou tem menos de 50 kg, então você não pode doar sangue” a) Se você não tem 16 anos e não tem menos de 50 kg, então você pode doar sangue. b) Se você não pode doar sangue, então você tem menos de 16 anos ou menos de 50 kg. c) Se você pode doar sangue, então você não tem menos de 16 anos e não tem menos de 50 kg. d) Se você pode doar sangue, então você não tem menos de 16 anos ou não tem menos de 50 kg. e) Se você tem menos de 16 anos e menos de 50 kg, então você não pode doar sangue. RESOLUÇÃO:

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Temos no enunciado a condicional (p ou q)→r onde: p = você tem menos de 16 anos q = você tem menos de 50 kg r = você não pode doar sangue

Equivalente a A→B é a frase ~B→~A. No caso, (p ou q)→r é equivalente a: ~r → ~(p ou q)

Podemos substituir ~(p ou q) por ~p e ~q. Assim, temos: ~r → (~p e ~q) Ou seja: “Se você pode doar sangue, então você não tem menos de 16 anos e não tem menos de 50kg”. Resposta: C 62. FGV – SUDENE/PE – 2013 ) Considere a afirmação: “Carne com gordura não é saudável.” Uma afirmativa que tem o mesmo significado da acima é: (A) Carne sem gordura é saudável. (B) Carne não saudável tem gordura. (C) Carne saudável não tem gordura. (D) Carne saudável pode ter gordura. (E) Carne, ou não tem gordura ou é saudável. RESOLUÇÃO: A frase do enunciado pode ser reescrita na forma condicional: “Se uma carne tem gordura, então não é saudável”

Equivalente a p→q é ~q→~p, isto é: “Se a carne é saudável, então não tem gordura”

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 Temos isso na alternativa C: “Carne saudável não tem gordura”. Resposta: C 63. FGV – SUDENE/PE – 2013) Não é verdadeira a afirmação: “Nenhum motorista é maluco”. Isto significa que a) há, pelo menos, um motorista maluco. b) alguns malucos são motoristas. c) todos os motoristas são malucos. d) todos os malucos são motoristas. e) todos os motoristas não são malucos. RESOLUÇÃO: Se a afirmação dada não é verdadeira, então a sua negação é verdadeira. A negação de “Nenhum motorista é maluco” é “Algum motorista é maluco”, ou “Pelo menos um motorista é maluco”. Temos algo similar na alternativa A. Resposta: A 64. FGV – SUDENE/PE – 2013) Não é verdade que “Se o Brasil não acaba com a saúva então a saúva acaba com o Brasil”. Logo, é necessariamente verdade que (A) “O Brasil não acaba com a saúva e a saúva não acaba com o Brasil.” (B)

“O

Brasil

acaba

com

a saúva

e

a saúva

não

acaba

com

o Brasil.” (C) “O Brasil acaba com a saúva e a saúva acaba com o Brasil.” (D) “O Brasil não acaba com a saúva ou a saúva não acaba com o Brasil.” (E) “O Brasil não acaba com a saúva ou a saúva acaba com o Brasil.” RESOLUÇÃO: Temos a condicional p→q onde: p = o Brasil não acaba com a saúva q = a saúva acaba com o Brasil

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Se essa frase é falsa, sua negação é verdadeira. A negação de p→q é “p e não-q”, ou seja: “O Brasil não acaba com a saúva E a saúva NÃO acaba com o Brasil” Resposta: A 65. FGV – SUDENE/PE – 2013) Supondo que a afirmativa “Todos os estados do Nordeste sofrem com a seca ou com o excesso de chuvas” seja falsa, analise as afirmativas a seguir. I. “Nenhum estado do Nordeste sofre com a seca ou com o excesso de chuvas”. II. “Algum estado do Nordeste não sofre com a seca”. III. “Algum estado do Nordeste sofre com o excesso de chuvas”. Assinale: (A) se somente a afirmativa I for obrigatoriamente verdadeira. (B) se somente a afirmativa II for obrigatoriamente verdadeira. (C) se somente a afirmativa III for obrigatoriamente verdadeira. (D) se

somente

as

afirmativas

I

e

III

forem

obrigatoriamente verdadeiras. (E) se somente

as

afirmativas

II

e

III

forem

obrigatoriamente verdadeiras. RESOLUÇÃO: Para que a frase “Todos os estados do Nordeste sofrem com a seca ou com o excesso de chuvas” seja falsa, é preciso achar um contraexemplo, que seria: “Algum estado do nordeste NÃO sofre com a seca E NÃO SOFRE com o excesso de chuvas”

Essa frase seria verdadeira. Analisando as opções dadas no enunciado:

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 I. “Nenhum estado do Nordeste sofre com a seca ou com o excesso de chuvas”. ERRADO. Basta mostrar que um estado do Nordeste não sofre com a seca e nem com o excesso de chuvas. Não é preciso mostrar que NENHUM deles passa por isso. II. “Algum estado do Nordeste não sofre com a seca”. CORRETO. Se for verdade que “Algum estado do nordeste NÃO sofre com a seca E NÃO SOFRE com o excesso de chuvas”, também é verdade que algum estado não sofre com a seca. III. “Algum estado do Nordeste sofre com o excesso de chuvas”. ERRADO. Devíamos mostrar que algum estado NÃO SOFRE com as chuvas. Resposta: B –

66. FGV

ASSEMBLEIA

–

LEGISLATIVA/MA

2013)

Considere a sentença: “Se o projeto de lei A é aprovado então o presidente da comissão se fortal ece ou não renuncia.” A negação lógica dessa sentença é (A) O projeto de lei A é aprovado e o presidente da comissão não se fortal ece e renuncia. (B) Se o projeto de lei A não é aprovado então o presidente da

comissão

não se fortalece e não renuncia. (C) Se o projeto de lei A não é aprovado então o presidente da comissão não se fortalece ou renuncia. (D) Se

o

presidente

da

comissão

não se fortalece

ou renuncia então o projeto de lei A não é aprovado. (E)

O

projeto

de

lei

A

não

é

aprovado

ou

o

presidente

da comissão se fortalece ou não renuncia. RESOLUÇÃO:

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 A negação de p→q é “p e ~q”. Sendo: p = o projeto de lei A é aprovado q = o presidente se fortalece ou o presidente não renuncia

Podemos escrever ~q assim: ~q = o presidente NÃO se fortalece E o presidente RENUNCIA

Portanto, a negação de p→q é: “O projeto de lei A é aprovado e o presidente da comissão NÃO se fortalece e renuncia” Resposta: A 67. FGV – ASSEMBLEIA LEGISLATIVA/MA – 2013) Considere a sentença: “Não é verdade que todo parlamentar de Brasília falta às sessões plenárias das sextas feiras no Congresso e retorna ao seu estado de origem.” Uma sentença logicamente equivalente a essa é (A) Nenhum parlamentar de Brasília falta às sessões plenárias das sextas feiras no Congresso e retorna ao seu estado de origem. (B) Todo parlamentar de Brasília comparece às sessões plenárias das sextas feiras no Congresso ou retorna ao seu estado de origem. (C) Algum parlamentar de Brasília comparece às sessões plenárias das sextas feiras no Congresso e não retorna ao seu estado de origem. (D) Algum parlamentar de Brasília comparece às sessões plenárias das sextas feiras no Congresso e retorna ao seu estado de origem. (E) Algum parlamentar de Brasília comparece às sessões plenárias das sextas feiras no Congresso ou não retorna ao seu estado de origem. RESOLUÇÃO: Temos uma frase do tipo ~(p e q) onde: p = todo parlamentar de Brasília falta às sessões plenárias das sextas feiras no Congresso q = retorna ao seu estado de origem

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 Lembrando que: ~(p e q) = (~p ou ~q)

Assim, uma equivalência da frase do enunciado é: “ALGUM parlamentar de Brasília NÃO falta às sessões plenárias das sextas-feiras no Congresso OU NÃO retorna ao seu estado de origem” Resposta: E 68. FGV – ASSEMBLEIA LEGISLATIVA/MA – 2013) Considere a sentença a seguir. “Qualquer que seja o quadrilátero convexo, se ele é equilátero ou equiâng ulo então ele é regular.” Assinale a alternativa que indica a sentença logicamente equivalente à sentença acima. (A) Qualquer que seja o quadrilátero convexo, se ele é regular então ele é equilátero ou equiângulo. (B) Existe um quadrilátero convexo que é equilátero ou equiângulo mas que não é regular. (C) Qualquer que seja o quadrilátero convexo, se ele não é equilátero ou não é equiângulo então ele não é regular. (D) Algum quadrilátero convexo não é regular, mas é equilátero ou equiângulo. (E) Qualquer que seja o quadrilátero convexo, ele não é equilátero nem é equiângulo, ou ele é regular. RESOLUÇÃO: A frase do enunciado pode ser reescrita evidenciado a sua ideia condicional:

Se um quadrilátero convexo é equilátero ou equiângulo, então ele é regular

Temos a condicional (p ou q)→r onde:

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 p = quadrilátero convexo é equilátero q = quadrilátero convexo é equiângulo r = quadrilátero convexo é regular

Uma frase equivalente é ~r→~(p ou q), que também pode ser escrita como: ~r→(~p e ~q)

Se um quadrilátero convexo NÃO é regular, então ele NÃO é equilátero E NÃO é equiângulo Escrevendo

conforme

o

enunciado

(usando

o

“Qualquer...”),

teríamos algo como:

Qualquer quadrilátero convexo, se ele não é regular, então ele não é equilátero e não é equiângulo

Não temos essa alternativa de resposta. Outra equivalência da condicional

(p ou q) → r é a frase “~(p ou q) ou r”, isto é, “(~p e ~q) ou

r”: Um quadrilátero convexo NÃO é equilátero E NÃO é equiângulo OU ele é regular

Temos algo parecido na alternativa E: (E) Qualquer que seja o quadrilátero convexo, ele não é equilátero nem é equiângulo, ou ele é regular. Resposta: E 69. FGV – ASSEMBLÉIA LEGISLATIVA/MA – 2013) Considere a sentença a seguir.

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 “Qualquer que seja o candidato a uma vaga de consultor legislativo na Assembleia Legislativa do Estado do Maranhão, se ele foi aprovado então estudou muito ou teve sorte” Assinale a alternativa que indica a negação lógica dessa sentença. (A) Qualquer que seja o candidato a uma vaga de consultor legislativo na Assembleia Legislativa do Estado do Maranhão, se ele foi aprovado então não estudou muito nem teve sorte. (B) Nenhum candidato a uma vaga de consultor legislativo na Assembleia Legislativa do Estado do Maranhão foi aprovado e não estudou muito nem teve sorte. (C) Algum candidato a uma vaga de consultor legislativo na Assembleia Legislativa do Estado do Maranhão não foi aprovado ou estudou muito ou teve sorte. (D) Algum candidato a uma vaga de consultor legislativo na Assembleia Legislativa do Estado do Maranhão foi aprovado e não estudou muito nem teve sorte. (E) Nenhum candidato a uma vaga de consultor legislativo na Assembleia Legislativa do Estado do Maranhão não foi aprovado e estudou muito mas não teve sorte. RESOLUÇÃO: Podemos simplificar a frase, sem perder o sentido lógico, assim: “Todo candidato aprovado estudou muito ou teve sorte”

Para contradizê-la, bastaria encontrar algum candidato que foi aprovado, embora não tenha estudado muito E não tenha tido sorte. Ou seja, a negação lógica é: “Algum candidato foi aprovado e não estudou muito e nem teve sorte” Resposta: D 70. FGV – SEJAP/MA – 2013 ) Manoel e Francisco trabalham juntos em

uma

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empresa.

Toda semana,

há

uma

reunião

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social

de

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 confraternização

entre

os funcionários

da

empresa

à

qual

nem

sempre um dos dois comparece. Entretanto, é sempre verdade que: “Se Manoel comparece à reunião então Francisco não comparece.” Esta afirmação é equivalente a (A) Se Francisco comparece à reunião então Manoel não comparece. (B) Manoel não comparece à reunião ou Francisco comparece. (C)

Se

Manoel

não

comparece

à

reunião

então

Francisco

comparece. (D) Manoel comparece à reunião e Francisco não comparece. (E)

Se

Francisco

não

comparece

à

reunião

então

Manoel

comparece. RESOLUÇÃO: Temos a condicional p→q, que equivale a ~q→~p. Escrevendo essa última, temos: “Se Francisco comparece, então Manuel NÃO comparece” Resposta: A 71. FGV – SEJAP/MA – 2013 ) Considere a afirmação: “Hoje faço prova e amanhã não vou trabalhar”. A negação dessa afirmação é: (A) Hoje não faço prova e amanhã vou trabalhar. (B) Hoje não faço prova ou amanhã vou trabalhar. (C) Hoje não faço prova então amanhã vou trabalhar. (D) Hoje faço prova e amanhã vou trabalhar. (E) Hoje faço prova ou amanhã não vou trabalhar. RESOLUÇÃO: A negação da conjunção “p e q” é a disjunção “~p ou ~q”, isto é: “Hoje NÃO faço prova OU amanhã VOU trabalhar” Resposta: B 72. FGV – SEJAP/MA – 2013 ) Considere a sentença: “Todo agente penitenciário é do sexo masculino”. Prof. Arthur Lima

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 Um contra exemplo para essa sentença é: (A) João, que é do sexo masculino e não é agente penitenciário. (B) Maria, que é do sexo feminino e não é agente penitenciário. (C) Miguel, que é do sexo masculino e é agente penitenciário. (D) Amanda, que é do sexo feminino e é agente penitenciário. (E)

Débora,

que

não

é

do

sexo

masculino

e

não

é

agente penitenciário. RESOLUÇÃO: Um contra-exemplo de uma proposição nada mais é que uma forma de

negá-la,

contradizê-la.

Para

negar

“Todo agente penitenciário é do sexo masculino”, basta dizer: “Algum agente penitenciário NÃO é do sexo masculino” Assim, Amanda seria um contra-exemplo, pois ela não é do sexo masculino e é agente penitenciária. Resposta: D 73. FGV – MPE/MS – 2013 ) Considere a afirmação: “Toda aranha preta é venenosa.” A negação dessa afirmação é: a) Toda aranha branca é venenosa. b) Toda aranha preta não é venenosa. c) Se uma aranha não é preta então não é venenosa. d) Existe um aranha preta que não é venenosa. e) Existe uma aranha que não é preta e não é venenosa. RESOLUÇÃO: A negação de “Todo” é “Algum... não...”. Ou seja, a negação seria: “Alguma aranha preta NÃO é venenosa”

Uma forma similar a isso se encontra na alternativa D. Resposta: D

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 74. FGV

–

DETRAN/MA

–

2013)

Uma

sentença

logicamente

equivalente a “Se faz sol e eu acordo cedo, então eu vou à praia” é: (A) se não faz sol ou eu não acordo cedo então não vou à praia. (B) se eu vou à praia então faz sol e eu acordo cedo. (C) se não faz sol e eu não acordo cedo então não vou à praia. (D) não faz sol ou eu não acordo cedo ou eu vou à praia. (E) faz sol e eu acordo cedo, ou eu vou à praia. RESOLUÇÃO: Temos a condicional (p e q)→r “Se faz sol e eu acordo cedo, então eu vou à praia”, onde: p = faz sol q = acordo cedo r = vou à praia

As duas equivalências mais comuns a A→B são: ~B→~A e também (~A ou B). Escrevendo cada uma delas: ~r→~(p e q), que é o mesmo que ~r→(~p ou ~q): “Se NÃO vou à praia, então NÃO faz sol OU NÃO acordo cedo”

~(p e q) ou r, que é o mesmo que (~p ou ~q) ou r: “NÃO faz sol OU NÃO acordo cedo OU vou à praia” “Se eu NÃO vou à praia, então NÃO faz sol OU eu NÃO acordo cedo”

Temos esta última na alternativa D. Resposta: D 75. FGV – DETRAN/MA – 2013 ) A negação da sentença “Se chove então o trânsito fica congestionado” é:

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 (A) Se não chove então o trânsito não fica congestionado. (B) Se o trânsito não fica congestionado então não chove. (C) Chove e o trânsito não fica congestionado. (D) Não chove e o trânsito não fica congestionado. (E) Não chove e o trânsito fica congestionado. RESOLUÇÃO: A negação de p→q é (p e ~q): “Chove E o trânsito NÃO fica congestionado” Resposta: C 76. FGV – DETRAN/MA – 2013) Sabe se que: “Se X não acontece e Y acontece então Z acontece.” Suponha que Z não acontece. Logo: (A) Y é condição suficiente para X. (B) X é condição suficiente para Z. (C) Z é condição necessária para X. (D) Y é condição necessária para Z (E) X é condição necessária para Z. RESOLUÇÃO: Temos a condicional “Se X não acontece e Y acontece então Z acontece”, ou seja: (~X e Y) → Z Supondo que Z não acontece (isto é, Z é falso), é preciso que (~X e Y) também seja falso para que a condicional permaneça verdadeira. Assim, se ~X for verdadeiro, é preciso que Y seja falso. Da mesma forma, se Y for verdadeiro, é preciso que ~X seja falso (isto é, é preciso que X seja verdadeiro). Em outras palavras, é preciso que Y→X seja respeitado. Nessa condicional, vemos que Y é condição suficiente para X. Resposta: A 77. FGV – DETRAN/MA – 2013) Considerando verdadeira a afirmação: “todos os amigos de Bruno são morenos” é correto concluir que:

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 (A) Bruno é moreno. (B) Bruno não é moreno. (C) se Carlos é moreno então é amigo de Bruno. (D) se Francisco não é amigo de Bruno então não é moreno. (E) se Hugo não é moreno então não é amigo de Bruno. RESOLUÇÃO: Como todos os amigos de Bruno são morenos, se algum rapaz não for moreno ele certamente não é amigo de Bruno. Temos isso na alternativa E. Resposta: E 78. FGV – DETRAN/MA – 2013) Considere a afirmativa: “nenhum gato é verde” A negação dessa afirmativa é: (A) “algum gato é verde”. (B) “nenhum animal verde é gato”. (C) “todo gato é verde”. (D) “algum animal verde não é gato”. (E) “algum gato não é verde”. RESOLUÇÃO: Para mostrar que o autor da frase do enunciado está equivocado, precisaríamos mostrar que existe algum gato verde. Assim, a negação é: “existe algum gato verde”, ou “algum gato é verde”. Temos isso na alternativa A. Resposta: A 79. FGV – TJ/AM – 2013) Antônio utiliza exclusivamente a regra a seguir para aprovar ou não os possíveis candidatos a namorar sua filha: “- Se não for torcedor do Vasco então tem que ser rico ou gostar de música clássica”. Considere os seguintes candidatos: Pedro: torcedor do Flamengo, não é rico, não gosta de música clássica.

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 Carlos: torcedor do Vasco, é rico, gosta de música clássica. Marcos: torcedor do São Raimundo, é rico, gosta de música clássica. Tiago: torcedor do Vasco, não é rico, não gosta de música clássica. Bruno: torcedor do Nacional, não é rico, gosta de música clássica. Classificando cada um desses cinco candidatos, na ordem em que eles foram apresentados, como aprovado (A) ou não aprovado (N) segundo a regra utilizada por Antônio, tem-se, respectivamente, a) A, A, A, A e A. b) N, A, A, A e A. c) N, A, N, A e A. d) N, A, N, N e A. e) N, A, N, A e N. RESOLUÇÃO: A condicional do enunciado é do tipo p→(q ou r), onde: p = não ser torcedor do Vasco q = ser rico r = gostar de música clássica

Avaliando os candidatos:

- Pedro: torcedor do Flamengo, não é rico, não gosta de música clássica. p é V, q é F, r é F. Temos V→(F ou F), o que é falso. Não temos um candidato (N).

- Carlos: torcedor do Vasco, é rico, gosta de música clássica. p é F, logo a condicional é V. Temos um candidato aprovado (A).

- Marcos: torcedor do São Raimundo, é rico, gosta de música clássica. p é V, q é V, r é V. Temos V→(V ou V), o que é verdadeiro. Temos um candidato aprovado (A).

- Tiago: torcedor do Vasco, não é rico, não gosta de música clássica.

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 p é F, logo a condicional é V. Temos um candidato aprovado (A).

- Bruno: torcedor do Nacional, não é rico, gosta de música clássica. p é V, q é F, r é V. Temos V→(F ou V), que é verdadeiro. Temos mais um candidato aprovado (A). Ficamos com N, A, A, A e A. Resposta: B 80. FGV – TJ/AM – 2013) José afirmou: “- Todos os jogadores de futebol que não são ricos jogam no Brasil ou jogam mal.” Assinale a alternativa que indica a sentença que representa a negação do que José afirmou. a) Nenhum jogador de futebol que não é rico joga no Brasil ou joga mal. b) Todos os jogadores de futebol que não são ricos não jogam no Brasil e não jogam mal. c) Algum jogador de futebol que não é rico não joga no Brasil e não joga mal. d) Algum jogador de futebol é rico mas joga no Brasil ou joga mal. e) Nenhum jogador de futebol que é rico joga no Brasil ou joga mal. RESOLUÇÃO:

Podemos reescrever essa frase, sem perda de lógica, como uma condicional: “Se um jogador de futebol não é rico, então ele joga no Brasil ou joga mal” Para negar p→q, basta escrever “p e não-q”, ou seja: “Um jogador de futebol não é rico E ele NÃO joga no Brasil E NÃO joga mal”

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 Repare que, de fato, se encontrarmos um jogador não-rico que jogue fora do Brasil e jogue bem, temos um contra-exemplo (ou seja, uma negação) da frase do enunciado. Resposta: C 81. FGV – TJ/AM – 2013) Se não é verdade que “Todos assistentes judiciários de determinado fórum são formados em advocacia”, então é necessariamente verdade que (A) nenhum

assistente

judiciário

desse

fórum

é

formado

em

advocacia. (B) todos assistentes judiciários desse fórum não são formados em advoc acia. (C) ninguém formado em advocacia é assistente judiciário desse fórum. (D) alguém formado em advocacia é assistente judiciário desse fórum. (E)

algum

assistente

judiciário desse fórum não é formado em

advocacia. RESOLUÇÃO: Para provarmos que quem disse a frase “Todos assistentes judiciários de determinado fórum são formados em advocacia” mentiu, basta encontrarmos algum assistente judiciário que NÃO é formado em advocacia. Assim, podemos dizer que: “Algum assistente judiciário NÃO é formado em advocacia” Resposta: E

Fim de aula. Até o próximo encontro! Abraço, Prof. Arthur Lima

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05

LISTA DE QUESTÕES DESTA AULA

1. FCC – FUNAPE – 2017) Considere a afirmação abaixo. Se contratei um empréstimo com juros maiores do que antes, então pagarei um montante maior. A afirmação que corresponde à negação lógica desta é

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 (A) Se não paguei um montante maior, então não contratei um empréstimo com juros maiores. (B) Contratei um empréstimo com juros maiores do que antes ou pagarei um montante maior. (C) Se contratei um empréstimo com juros menores do que antes, então pagarei um montante maior. (D) Contratei um empréstimo com juros maiores do que antes e não pagarei um montante maior. (E) Não contratei um empréstimo com juros maiores do que antes ou não pagarei um montante maior. 2. FCC – DPE/RS – 2017) Considere a afirmação: Se sou descendente de italiano, então gosto de macarrão e gosto de parmesão. Uma afirmação que corresponde à negação lógica desta afirmação é (A) Sou descendente de italiano e, não gosto de macarrão ou não gosto de parmesão. (B) Se não sou descendente de italiano, então não gosto de macarrão e não gosto de parmesão. (C) Se gosto de macarrão e gosto de parmesão, então não sou descendente de italiano. (D) Não sou descendente de italiano e, gosto de macarrão e não gosto de parmesão. (E) Se não gosto de macarrão e não gosto de parmesão, então não sou descendente de italiano. 3. FCC – DPE/RS – 2017) Considere a afirmação: Ontem trovejou e não choveu. Uma afirmação que corresponde à negação lógica desta afirmação é (A) se ontem não trovejou, então não choveu. (B) ontem trovejou e choveu. (C) ontem não trovejou ou não choveu.

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 (D) ontem não trovejou ou choveu. (E) se ontem choveu, então trovejou. 4. FCC – ARTESP – 2017) A afirmação que corresponde à negação lógica da frase ‘Vendedores falam muito e nenhum estudioso fala alto’ é (A) ‘Vendedores não falam muito ou pelo menos um estudioso fala alto’. (B) ‘Nenhum vendedor fala muito e todos os estudiosos falam alto’. (C) ‘Vendedores não falam muito e todos os estudiosos falam alto’. (D) ‘Se os vendedores não falam muito, então os estudiosos não falam alto’. (E) ‘Pelo menos um vendedor não fala muito ou todo estudioso fala alto’. 5. FCC – TRT/11 – 2017) A frase que corresponde à negação lógica da afirmação: Se o número de docinhos encomendados não foi o suficiente, então a festa não acabou bem, é (A) Se a festa acabou bem, então o número de docinhos encomendados foi o suficiente. (B) O número de docinhos encomendados foi o suficiente e a festa não acabou bem. (C) Se o número de docinhos encomendados foi o suficiente, então a festa acabou bem. (D) O número de docinhos encomendados não foi o suficiente e a festa acabou bem. (E) Se a festa não acabou bem, então o número de docinhos encomendados não foi o suficiente. 6. FCC – METRÔ/SP – 2016) Se a gasolina acabou ou apareceu um defeito, então o motor apagou. Uma afirmação equivalente a esta é (A) a gasolina acabou ou apareceu um defeito e o motor apagou. (B) se o motor apagou, então a gasolina acabou ou apareceu um defeito. (C) apareceu um defeito e a gasolina acabou e o motor não apagou. (D) a gasolina acabou e não apareceu um defeito e o motor apagou.

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 (E) se o motor não apagou, então não apareceu um defeito e a gasolina não acabou. 7. FCC – METRÔ/SP – 2016) Edson não gosta de frango ou Marilda gosta de feijão e gosta de arroz. Uma afirmação que corresponda à negação lógica dessa é (A) Marilda não gosta de arroz ou não gosta de feijão e Edson gosta de frango. (B) Edson gosta de frango e Marilda não gosta de feijão e não gosta de arroz. (C) Se Edson não gosta de frango, então Marilda gosta de feijão e arroz. (D) Se Marilda não gosta de feijão e arroz, então Edson gosta de frango. (E) Edson gosta de arroz e Marilda gosta de frango e feijão. 8. FCC – METRÔ/SP – 2016) Ao considerar a afirmação: “todos os motoristas habilitados são habilidosos”, como sendo uma afirmação falsa, então é verdade que (A) os motoristas não habilitados são habilidosos. (B) os motoristas habilidosos não são habilitados. (C) há motorista habilitado que não é habilidoso. (D) a maioria dos motoristas habilitados não são habilidosos. (E) há motorista habilidoso que não é habilitado. 9. FCC – SEFAZ/PE – 2015) Observe a afirmação a seguir, feita pelo prefeito de uma grande capital. Se a inflação não cair ou o preço do óleo diesel aumentar, então o preço das passagens de ônibus será reajustado. Uma maneira logicamente equivalente de fazer esta afirmação é: (A) Se a inflação cair e o preço do óleo diesel não aumentar, então o preço das passagens de ônibus não será reajustado. (B) Se a inflação cair ou o preço do óleo diesel aumentar, então o preço das passagens de ônibus não será reajustado.

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 (C) Se o preço das passagens de ônibus for reajustado, então a inflação não terá caído ou o preço do óleo diesel terá aumentado. (D) Se o preço das passagens de ônibus não for reajustado, então a inflação terá caído ou o preço do óleo diesel terá aumentado. (E) Se o preço das passagens de ônibus não for reajustado, então a inflação terá caído e o preço do óleo diesel não terá aumentado. 10. FCC – SEFAZ/PE – 2015) Antes da rodada final do campeonato inglês de futebol, um comentarista esportivo apresentou a situação das duas únicas equipes com chances de serem campeãs, por meio da seguinte afirmação: “Para que o Arsenal seja campeão, é necessário que ele vença sua partida e que o Chelsea perca ou empate a sua.” Uma maneira equivalente, do ponto de vista lógico, de apresentar esta informação é: “Para que o Arsenal seja campeão, é necessário que ele (A) vença sua partida e o Chelsea perca a sua ou que ele vença a sua partida e o Chelsea empate a sua.” (B) vença sua partida ou o Chelsea perca a sua ou que ele vença a sua partida ou o Chelsea empate a sua.” (C) empate sua partida e o Chelsea perca a sua ou que ele vença a sua partida e o Chelsea não vença a sua.” (D) vença sua partida e o Chelsea perca a sua e que ele vença a sua partida e o Chelsea empate a sua.” (E) vença sua partida ou o Chelsea perca a sua e que ele vença a sua partida ou o Chelsea empate a sua.” 11. FCC – TRT/19ª – 2014) Considere a seguinte afirmação: Se José estuda com persistência, então ele faz uma boa prova e fica satisfeito. Uma afirmação que é a negação da afirmação acima é (A) José estuda com persistência e ele não faz uma boa prova e ele não fica satisfeito.

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 (B) José não estuda com persistência e ele não faz uma boa prova ou fica satisfeito. (C) José estuda com persistência ou ele faz uma boa prova ou ele não fica satisfeito. (D) José estuda com persistência e ele não faz uma boa prova ou ele não fica satisfeito. (E) Se José fica satisfeito então ele fez uma boa prova e estudou com persistência. 12. FCC – TRF/3ª – 2014) Considere a afirmação: Nem todas as exigências foram cumpridas ou o processo segue adiante. Do ponto de vista lógico, uma afirmação equivalente à acima é: (A) Se o processo segue adiante, então nem todas as exigências foram cumpridas. (B) O processo não segue adiante e todas as exigências foram cumpridas. (C) Se todas as exigências foram cumpridas, então o processo segue adiante. (D) Se nenhuma exigência foi cumprida, então o processo não segue adiante. (E) Nem todas as exigências foram cumpridas e o processo segue adiante. 13. FCC – TRT/2ª – 2014) Durante um comício de sua campanha para o Governo do Estado, um candidato fez a seguinte afirmação: “Se eu for eleito, vou asfaltar 2.000 quilômetros de estradas e construir mais de 5.000 casas populares em nosso Estado.” Considerando que, após algum tempo, a afirmação revelou-se falsa, pode-se concluir que, necessariamente, (A) o candidato não foi eleito e não foram asfaltados 2.000 quilômetros de estradas no Estado.

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 (B) o candidato não foi eleito, mas foram construídas mais de 5.000 casas populares no Estado. (C) o candidato foi eleito, mas não foram asfaltados 2.000 quilômetros de estradas no Estado. (D) o candidato foi eleito e foram construídas mais de 5.000 casas populares no Estado. (E) não foram asfaltados 2.000 quilômetros de estradas ou não foram construídas mais de 5.000 casas populares no Estado. 14. FCC – TRT/2ª – 2014) Um dia antes da reunião anual com os responsáveis por todas as franquias de uma cadeia de lanchonetes, o diretor comercial recebeu um relatório contendo a seguinte informação:

Todas as franquias enviaram o balanço anual e nenhuma delas teve prejuízo neste ano.

Minutos antes da reunião, porém, ele recebeu uma mensagem em seu celular enviada pelo gerente que elaborou o relatório, relatando que a informação não estava correta. Dessa forma, o diretor pôde concluir que, necessariamente, (A) nenhuma franquia enviou o balanço anual e todas elas tiveram prejuízo neste ano. (B) alguma franquia não enviou o balanço anual e todas elas tiveram prejuízo neste ano. (C) nenhuma franquia enviou o balanço anual ou pelo menos uma delas teve prejuízo neste ano. (D) nem todas as franquias enviaram o balanço anual ou todas elas tiveram prejuízo neste ano. (E) nem todas as franquias enviaram o balanço anual ou pelo menos uma delas teve prejuízo neste ano.

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 15. FCC – TJAP – 2014) Considere a seguinte declaração, feita por um analista político fictício: “se o partido P conseguir eleger Senador no Estado F ou no Estado G, então terá a maioria no Senado”. A

partir

da

declaração

do

analista,

é

correto

concluir

que,

necessariamente, se o partido P (A) não tiver a maioria no Senado, então não terá conseguido eleger o senador no Estado G. (B) tiver a maioria no Senado, então terá conseguido eleger o senador no Estado G. (C) tiver a maioria no Senado, então terá conseguido eleger o senador no Estado F. (D) não conseguiu eleger o senador no Estado F, então não terá a maioria no Senado. (E) não conseguiu eleger o senador no Estado G, então não terá a maioria no Senado. 16. FCC – TJAP – 2014) No Brasil, o voto é obrigatório apenas para os brasileiros alfabetizados que têm de 18 a 70 anos. De acordo com essa informação, se Luíza é uma brasileira que não é obrigada a votar, então, necessariamente, Luíza (A) é analfabeta e tem menos de 18 anos ou mais de 70. (B) é analfabeta ou tem menos de 18 anos ou mais de 70. (C) não é analfabeta, mas tem menos de 18 anos. (D) é analfabeta, mas pode ter de 18 a 70 anos. (E) tem mais de 70 anos, mas pode não ser analfabeta. 17. FCC – TJAP – 2014) Vou à academia todos os dias da semana e corro três dias na semana. Uma afirmação que corresponde à negação lógica da afirmação anterior é (A) Não vou à academia todos os dias da semana ou não corro três dias na semana.

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 (B) Vou à academia quase todos os dias da semana e corro dois dias na semana. (C) Nunca vou à academia durante a semana e nunca corro durante a semana. (D) Não vou à academia todos os dias da semana e não corro três dias na semana. (E) Se vou todos os dias à academia, então corro três dias na semana. 18. FCC – SAEB/BA – 2014) Renata disse a seguinte frase: “Se Lucas venceu o jogo, então Denis não compareceu”. Lucas, irado, afirmou que a frase dita por Renata não era verdadeira. Uma frase, que do ponto de vista lógico, é a negação da frase dita por Renata é: (A) Lucas venceu o jogo ou Denis venceu o jogo. (B) Denis não compareceu ao jogo e Lucas não venceu. (C) Lucas venceu o jogo e Denis compareceu. (D) Se Lucas não venceu o jogo, então Denis compareceu. (E) Lucas venceu o jogo ou Denis compareceu. 19. FCC – METRÔ/SP – 2014) Todos os mecânicos são inteligentes e resolvem problemas. Uma afirmação que representa a negação lógica da afirmação anterior é: (A) nenhum mecânico é inteligente e resolve problemas. (B) se um mecânico não é inteligente, então ele não resolve qualquer problema. (C) algum mecânico não é inteligente ou não resolve problemas. (D) todos os mecânicos não são inteligentes ou ninguém resolve problemas. (E) se um mecânico resolve problemas, então ele é inteligente. 20. FCC – TRT/BA – 2013) Devido à proximidade das eleições, foi decidido que os tribunais eleitorais deveriam funcionar, em regime de

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 plantão, durante um determinado domingo do ano. Em relação a esse plantão, foi divulgada a seguinte orientação: “Se todos os processos forem analisados até às 11 horas, então o plantão será finalizado nesse horário.” Considere que a orientação foi cumprida e que o plantão só foi finalizado às 18 horas. Então, pode-se concluir que, necessariamente, (A) nenhum processo foi analisado até às 11 horas. (B) todos os processos foram analisados até às 11 horas. (C) pelo menos um processo terminou de ser analisado às 18 horas. (D) todos os processos foram analisados até às 18 horas. (E) pelo menos um processo não foi analisado até às 11 horas. 21. FCC – TRT/BA – 2013) Analisando a tabela de classificação do campeonato de futebol amador do bairro antes da realização da última rodada, o técnico do União concluiu que, caso seu time vencesse sua última partida ou o time do Camisa não ganhasse seu último jogo, então o União seria campeão. Sabendo que o União não se sagrou campeão, pode-se concluir que, necessariamente, (A) o Camisa perdeu seu jogo e o União perdeu o seu. (B) o Camisa venceu seu jogo e o União venceu o seu. (C) o Camisa empatou seu jogo e o União empatou ou perdeu o seu. (D) o Camisa empatou seu jogo e o União venceu o seu. (E) o Camisa venceu seu jogo e o União empatou ou perdeu o seu 22. FCC – SEPLAN/PI – 2013) Se Heráclito está convicto de que o mundo está em permanente mudança, então ele é triste. Portanto, se (A) Heráclito é triste, o mundo está em permanente mudança. (B) Heráclito não está convicto de que o mundo está em permanente mudança, então ele é triste. (C) Heráclito está convicto de que o mundo está em permanente mudança, então ele não é triste.

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 (D) Heráclito não é triste, então ele não está convicto de que o mundo está em permanente mudança. (E) Heráclito é triste, então ele não está convicto de que o mundo está em permanente mudança. 23. FCC – TRT/1ª – 2013) Um vereador afirmou que, no último ano, compareceu a todas as sessões da Câmara Municipal e não empregou parentes em seu gabinete. Para que essa afirmação seja falsa, é necessário que, no último ano, esse vereador (A) tenha faltado em todas as sessões da Câmara Municipal ou tenha empregado todos os seus parentes em seu gabinete. (B) tenha faltado em pelo menos uma sessão da Câmara Municipal e tenha empregado todos os seus parentes em seu gabinete. (C) tenha faltado em pelo menos uma sessão da Câmara Municipal ou tenha empregado um parente em seu gabinete. (D) tenha faltado em todas as sessões da Câmara Municipal e tenha empregado um parente em seu gabinete. (E) tenha faltado em mais da metade das sessões da Câmara Municipal ou tenha empregado pelo menos um parente em seu gabinete. 24. FCC – TRT/1ª – 2013) Leia os Avisos I e II, colocados em um dos setores de uma fábrica. Aviso I Prezado funcionário, se você não realizou o curso específico, então não pode operar a máquina M. Aviso II Prezado funcionário, se você realizou o curso específico, então pode operar a máquina M.

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 Paulo, funcionário desse setor, realizou o curso específico, mas foi proibido, por seu supervisor, de operar a máquina M. A decisão do supervisor (A) opõe-se apenas ao Aviso I. (B) opõe-se ao Aviso I e pode ou não se opor ao Aviso II. (C) opõe-se aos dois avisos. (D) não se opõe ao Aviso I nem ao II. (E) opõe-se apenas ao Aviso II. 25. FCC – PGE/BA – 2013) Alice irá ao País das Maravilhas quando imaginar ou perder o medo. Se Alice perder o medo, (A) Alice não irá ao País das Maravilhas, pois não vai imaginar. (B) Alice irá ao País das Maravilhas. (C) Alice vai necessariamente imaginar. (D) Alice não irá, também, imaginar. (E) Alice não vai imaginar. 26. FCC – MPE/AM – 2013) O professor de uma disciplina experimental de um curso de Engenharia estabeleceu no início do semestre que, para ser aprovado, um aluno teria de realizar pelo menos 5 das 6 experiências propostas e ter média de relatórios maior ou igual a 6,0. Como Juca foi reprovado nessa disciplina, pode-se concluir que ele, necessariamente, (A) realizou apenas 4 experiências e teve média de relatórios, no máximo, igual a 5,0. (B) realizou 4 ou menos experiências e teve média de relatórios inferior a 6,0. (C) realizou menos do que 5 experiências ou teve média de relatórios inferior a 6,0. (D) não realizou qualquer experiência, tendo média de relatórios igual a 0,0. (E) não realizou qualquer experiência ou teve média de relatórios menor ou igual a 5,0.

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27. FCC – TRT/11a – 2012) Uma senhora afirmou que todos os novelos de lã guardados numa gaveta são coloridos e nenhum deles foi usado. Mais tarde, ela percebeu que havia se enganado em relação à sua afirmação, o que permite concluir que (A) existem novelos de lã brancos na gaveta e eles já foram usados. (B) pelo menos um novelo de lã da gaveta não é colorido ou algum deles foi usado. (C) pelo menos um novelo de lã da gaveta não é colorido ou todos eles foram usados. (D) os novelos de lã da gaveta não são coloridos e já foram usados. (E) os novelos de lã da gaveta não são coloridos e algum deles já foi usado. 28. FCC – Banco do Brasil – 2011) Um jornal publicou a seguinte manchete: “Toda Agência do Banco do Brasil tem déficit de funcionários.” Diante de tal inverdade, o jornal se viu obrigado a retratar-se, publicando uma negação de tal manchete. Das sentenças seguintes, aquela que expressaria de maneira correta a negação da manchete publicada é: a) Qualquer Agência do Banco do Brasil não têm déficit de funcionários b) Nenhuma Agência do Banco do Brasil tem déficit de funcionários c) Alguma Agência do Banco do Brasil não tem déficit de funcionários d) Existem Agências com déficit de funcionários que não pertencem ao Banco do Brasil e) O quadro de funcionários do Banco do Brasil está completo 29. FCC – BAHIAGÁS – 2010) “Se a soma dos dígitos de um número inteiro n é divisível por 6, então n é divisível por 6”. Um valor de n que mostra ser falsa a frase acima é: a) 30 b) 33

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 c) 40 d) 42 e) 60 30. FCC – ALESP – 2010) Durante uma sessão no plenário da Assembleia Legislativa, o presidente da mesa fez a seguinte declaração, dirigindo-se às galerias da casa: “Se as manifestações desrespeitosas não forem interrompidas, então eu não darei início à votação”. Esta declaração é logicamente equivalente à afirmação: a) se o presidente da mesa deu início à votação, então as manifestações desrespeitosas foram interrompidas b) se o presidente da mesa não deu início à votação, então as manifestações desrespeitosas não foram interrompidas c) se as manifestações desrespeitosas forem interrompidas, então o presidente da mesa dará início à votação d) se as manifestações desrespeitosas continuarem, então o presidente da mesa começará a votação e) se as manifestações desrespeitosas não continuarem, então o presidente da mesa não começará a votação.

31. FCC - DNOCS - 2010) Considere a seguinte proposição: “Se uma pessoa não faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho, então ela não melhora o seu desempenho profissional.” Uma proposição logicamente equivalente à proposição dada é: (A) É falso que, uma pessoa não melhora o seu desempenho profissional ou faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho. (B) Não é verdade que, uma pessoa não faz cursos de aperfeiçoamento profissional e não melhora o seu desempenho profissional. (C) Se uma pessoa não melhora seu desempenho profissional, então ela não faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho.

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 (D) Uma pessoa melhora o seu desempenho profissional ou não faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho. (E) Uma pessoa não melhora seu desempenho profissional ou faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho. 32. FCC – SEFAZ/SP – 2010) Considere as seguintes premissas: p: Estudar é fundamental para crescer profissionalmente. q: O trabalho enobrece. A afirmação “Se o trabalho não enobrece, então estudar não é fundamental para crescer profissionalmente” é, com certeza, FALSA quando: a) p é falsa e q é falsa. b) p é verdadeira e q é verdadeira. c) p é falsa e q é verdadeira. d) p é verdadeira e q é falsa. e) p é falsa ou q é falsa. 33. FCC – METRÔ/SP – 2010) Considere as proposições simples: p: Maly é usuária do Metrô; e q: Maly gosta de dirigir automóvel A negação da proposição composta p ^ ~q é: a) Maly não é usuária do Metrô ou gosta de dirigir automóvel b) Maly não é usuária do Metrô e não gosta de dirigir automóvel c) Não é verdade que Maly não é usuária do Metrô e não gosta de dirigir automóvel d) Não é verdade que, se Maly não é usuária do Metrô, então ela gosta de dirigir automóvel e) Se Maly não é usuária do Metrô, então ela não gosta de dirigir automóvel. 34. FCC – SEFAZ/SP – 2009) Uma empresa mantém a seguinte regra em relação a seus funcionários:

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 Se um funcionário tem mais de 45 anos de idade, então ele deverá, todo ano, realizar pelo menos um exame médico e tomar a vacina contra a gripe. Considerando que essa regra seja sempre cumprida, é correto concluir que, necessariamente, se um funcionário dessa empresa: a) anualmente realiza um exame médico e toma a vacina contra a gripe, então ele tem mais de 45 anos de idade. b) tem 40 anos de idade, então ele não realiza exames médicos anualmente ou não toma a vacina contra a gripe. c) não realizou nenhum exame médico nos últimos dois anos, então ele não tem 50 ou mais anos de idade. d) tem entre 55 e 60 anos de idade, então ele realiza um único exame médico por ano, além de tomar a vacina contra a gripe. e) tomou a vacina contra a gripe ou realizou exames médicos nos últimos dois anos, então ele tem pelo menos 47 anos de idade. 35. FCC – SEFAZ/SP – 2009) Considere a afirmação: Pelo menos um ministro participará da reunião ou nenhuma decisão será tomada. Para que essa afirmação seja FALSA: a) é suficiente que nenhum ministro tenha participado da reunião e duas decisões tenham sido tomadas. b) é suficiente que dois ministros tenham participado da reunião e alguma decisão tenha sido tomada. c) é necessário e suficiente que alguma decisão tenha sido tomada, independentemente da participação de ministros na reunião. d) é necessário que nenhum ministro tenha participado da reunião e duas decisões tenham sido tomadas. e) é necessário que dois ministros tenham participado da reunião e nenhuma decisão tenha sido tomada.

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36. FGV – TRT/SC – 2017) O salão principal do tribunal está preparado para um evento comemorativo e diversas pessoas foram convidadas a comparecer. Na porta do salão está um funcionário que recebeu instruções sobre as pessoas que podem entrar e uma delas foi: “Se tiver carteira de advogado pode entrar.” É correto concluir que: (A) se João entrou então tem carteira de advogado; (B) quem não tem carteira de advogado não pode entrar; (C) se Pedro não pode entrar então não tem carteira de advogado; (D) quem é advogado, mas não tem carteira, pode entrar; (E) todos os que entraram são advogados. 37. FGV – TRT/SC – 2017) Em um tribunal os processos possuem capas totalmente de cor cinza ou totalmente de cor azul. Sabe-se também que: Os processos de capa cinza não vão para o arquivo. É correto concluir que: (A) todo processo de capa azul vai para o arquivo; (B) todo processo que vai para o arquivo tem capa azul; (C) a capa de um processo que não é arquivado é certamente cinza; (D) alguns processos que são arquivados têm capa cinza; (E) nenhum processo de capa azul vai para o arquivo. 38. FGV – TRT/SC – 2017) Todas as pessoas que conhecem os irmãos Bernardo e Bianca gostam de Bianca. Entretanto, algumas pessoas que conhecem Bianca não gostam dela. É correto concluir que: (A) todos os que conhecem Bianca gostam dela; (B) ninguém gosta de Bianca; (C) alguns que conhecem Bianca não conhecem Bernardo; (D) quem conhece Bernardo gosta de Bianca; (E) só quem conhece Bernardo e Bianca conhece Bianca Prof. Arthur Lima

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39. FGV – TRT/SC – 2017) Os advogados Miguel e Lucas conversam sobre determinado processo que vão receber. – Miguel: Se esse processo é de “danos morais” então tem 100 páginas ou mais. – Lucas: Não é verdade. O que Lucas disse é logicamente equivalente a: (A) esse processo não é de danos morais e tem 100 páginas ou mais; (B) esse processo não é de danos morais ou tem menos de 100 páginas; (C) se esse processo não é de danos morais então tem 100 páginas ou mais; (D) se esse processo é de danos morais então tem 100 páginas ou menos; (E) esse processo é de danos morais e tem menos de 100 páginas. 40. FGV – TRT/SC – 2017) A negação lógica da sentença “Se eu como e não corro, então eu engordo” é: (A) Se eu como e não corro, então eu não engordo. (B) Eu como e não corro e não engordo. (C) Se eu não engordo, então eu não como ou corro. (D) Eu não como e corro e não engordo. (E) Se eu não como ou corro, então eu não engordo. 41. FGV – TRT/SC – 2017) Considere a sentença: “Se x é um número par e y é um número maior do que x, então y é um número ímpar”. Sendo x um elemento do conjunto A e y um elemento do conjunto B, um cenário no qual a sentença dada é sempre verdadeira é: (A) A={2, 3, 4} e B={2, 3, 5}; (B) A={2, 3, 4} e B={3, 4, 5}; (C) A={1, 2, 3} e B={3, 4}; (D) A={1, 2, 3} e B={4, 5}; (E) A={3, 4} e B={5, 6}.

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42. FGV – TRT/SC – 2017) Considere a sentença: “Se Pedro é torcedor do Avaí e Marcela não é torcedora do Figueirense, então Joana é torcedora da Chapecoense”. Uma sentença logicamente equivalente à sentença dada é: (A) Se Pedro não é torcedor do Avaí ou Marcela é torcedora do Figueirense, então Joana não é torcedora da Chapecoense. (B) Se Pedro não é torcedor do Avaí e Marcela é torcedora do Figueirense, então Joana não é torcedora da Chapecoense. (C) Pedro não é torcedor do Avaí ou Marcela é torcedora do Figueirense ou Joana é torcedora da Chapecoense. (D) Se Joana não é torcedora da Chapecoense, então Pedro não é torcedor do Avaí e Marcela é torcedora do Figueirense. (E) Pedro não é torcedor do Avaí ou Marcela é torcedora do Figueirense e Joana é torcedora da Chapecoense. 43. FGV – TRT/SC – 2017) Em uma caixa só pode haver bolas pretas ou brancas. Sabe-se que a caixa não está vazia e que não é verdade que “todas as bolas na caixa são pretas”. Então é correto concluir que: (A) nenhuma bola na caixa é preta; (B) todas as bolas na caixa são brancas; (C) há pelo menos uma bola preta na caixa; (D) há pelo menos uma bola branca na caixa; (E) há bolas pretas e bolas brancas na caixa. 44. Pref. Salvador – FGV – 2017) Considere a afirmação: “Nenhum deputado é sensato”. A sua negação é: (A) “Há, pelo menos, um deputado sensato”. (B) “Alguns sensatos são deputados”. (C) “Todos os deputados são sensatos”. Prof. Arthur Lima

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 (D) “Todos os sensatos são deputados”. (E) “Todos os deputados são insensatos”. 45. FGV – MP/BA – 2017) Considere a afirmação: “Todo baiano é um homem feliz”. Uma afirmação logicamente equivalente é: (A) Todo homem feliz é baiano; (B) Um homem que não é feliz não é baiano; (C) Quem não é baiano não é feliz; (D) Um homem é baiano ou é feliz; (E) Um homem não é feliz ou não é baiano. 46. FGV – MP/BA – 2017) Considere a afirmativa: “Tereza comprou pão e leite”. Se a afirmativa acima é falsa, conclui-se logicamente que Tereza: (A) não comprou pão nem leite. (B) comprou pão, mas não comprou leite. (C) comprou leite, mas não comprou pão. (D) comprou pão ou comprou leite. (E) não comprou pão ou não comprou leite. 47. FGV – SEPOG/RO – 2017) João voltou de um passeio na floresta com seus amigos e, ao chegar em casa, disse: “Eu matei a cobra e mostrei o pau”. Pedro, um dos amigos, disse: “isso não foi verdade”. O significado do que Pedro disse é que João (A) matou a cobra, mas não mostrou o pau. (B) não matou a cobra, mas mostrou o pau. (C) não matou a cobra e não mostrou o pau. (D) não matou a cobra ou não mostrou o pau. (E) matou a cobra ou mostrou o pau. 48. FGV – SEPOG/RO – 2017) Considere a afirmação: Prof. Arthur Lima

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 “Toda pessoa que faz exercícios não tem pressão alta”. De acordo com essa afirmação é correto concluir que (A) se uma pessoa tem pressão alta então não faz exercícios. (B) se uma pessoa não faz exercícios então tem pressão alta. (C) se uma pessoa não tem pressão alta então faz exercícios. (D) existem pessoas que fazem exercícios e que têm pressão alta. (E) não existe pessoa que não tenha pressão alta e não faça exercícios. 49. FGV – IBGE – 2017) Marcelo foi chamado para uma reunião com seu chefe. Nessa reunião ocorreu o seguinte diálogo: - Chefe: Pedro disse que todos os relatórios que ele recebeu foram avaliados. - Marcelo: Não é verdade o que Pedro disse. Se o chefe considerou que Marcelo falou a verdade, ele pode concluir logicamente que, dos relatórios recebidos por Pedro: (A) pelo menos um relatório não foi avaliado; (B) um único relatório não foi avaliado; (C) nenhum relatório foi avaliado; (D) mais da metade dos relatórios não foram avaliados; (E) somente um relatório foi avaliado. 50. FGV – IBGE – 2017) Em um jogo há fichas brancas e pretas sendo algumas redondas, outras quadradas e outras triangulares. Não há fichas de outras cores ou de outros formatos. Considere como verdadeira a afirmação: “Qualquer ficha branca não é quadrada.” É correto concluir que: (A) toda ficha preta é quadrada; (B) toda ficha quadrada é preta; (C) uma ficha que não é redonda é certamente branca; (D) uma ficha que não é quadrada é certamente preta; (E) algumas fichas triangulares são pretas.

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51. FGV – IBGE – 2017) Considere como verdadeira a seguinte sentença: “Se todas as flores são vermelhas, então o jardim é bonito”. É correto concluir que: (A) se todas as flores não são vermelhas, então o jardim não é bonito; (B) se uma flor é amarela, então o jardim não é bonito; (C) se o jardim é bonito, então todas as flores são vermelhas; (D) se o jardim não é bonito, então todas as flores não são vermelhas; (E) se o jardim não é bonito, então pelo menos uma flor não é vermelha. 52. FGV – IBGE – 2017) Considere verdadeira a afirmação: Todo computador bom é caro e todo computador grande é bom. É correto concluir que: (A) se um computador é caro, então é bom; (B) se um computador é bom, então é grande; (C) se um computador não é bom, então não é caro; (D) se um computador é caro, então é grande; (E) se um computador é grande, então é caro. 53. FGV – Pref. Paulínia/SP – 2016) Considere

verdadeira a

afirmação: “Toda criança gosta de correr”. Considere as afirmativas a seguir. I. Como Abel não é criança, então não gosta de correr. II. Como Bruno gosta de correr, então é criança. III. Como Carlos não gosta de correr, então não é criança. Assinale: (A) se apenas I for verdadeira. (B) se apenas II for verdadeira. (C) se apenas III for verdadeira. (D) se apenas I e II forem verdadeiras. (E) se apenas II e III forem verdadeiras.

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54. FGV – MRE – 2016) Considere a sentença: “Corro e não fico cansado”. Uma sentença logicamente equivalente à negação da sentença dada é: (A) Se corro então fico cansado. (B) Se não corro então não fico cansado. (C) Não corro e fico cansado. (D) Corro e fico cansado. (E) Não corro ou não fico cansado. 55. FGV – MRE – 2016) João olhou as dez bolas que havia em um saco e afirmou: “Todas as bolas desse saco são pretas”. Sabe-se que a afirmativa de João é falsa. É correto concluir que: (A) nenhuma bola desse saco é preta; (B) pelo menos nove bolas desse saco são pretas; (C) pelo menos uma bola desse saco é preta; (D) pelo menos uma bola desse saco não é preta; (E) nenhuma bola desse saco é branca. 56. FGV – IBGE – 2016) – Sem A, não se tem B – Sem B, não se tem C Assim, conclui-se que: a) A é suficiente para B e para C b) B é necessário para A e para C c) C é suficiente para A e para B d) A e B são suficientes para C e) B é necessário para A e suficiente para C 57. FGV – MPRJ – 2016) Prestando depoimento o depoente declarou: - Estava no escritório às 10 horas da noite e o telefone tocou.

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 Após algumas investigações verificou-se que essa declaração do depoente era falsa. É correto concluir que o depoente: (A) não estava no escritório ou o telefone não tocou; (B) não estava no escritório e o telefone não tocou; (C) não estava no escritório ou o telefone tocou; (D) estava no escritório ou o telefone não tocou; (E) estava no escritório e o telefone não tocou. 58. FGV – TJRJ – 2014) Considere a seguinte sentença: “Se há muitos processos, então os juízes trabalham muito”. Uma sentença logicamente equivalente a essa é: (A) se não há muitos processos, então os juízes não trabalham muito; (B) se os juízes trabalham muito, então há muitos processos; (C) há muitos processos e os juízes não trabalham muito; (D) não há muitos processos ou os juízes trabalham muito; (E) há muitos processos e os juízes trabalham muito. 59. FGV – TJRJ – 2014) João e José conversam. João diz: - Todo país que realiza eleições é democrático. José diz: - Essa frase é falsa. O que José disse significa que: (A) algum país não realiza eleições e é democrático; (B) se um país não realiza eleições então não é democrático; (C) algum país realiza eleições e não é democrático; (D) se um país não é democrático então não realiza eleições; (E) todo país que realiza eleições não é democrático. 60. FGV – FUNDAÇÃO PRÓ-SANGUE/SP – 2013) A negação lógica da sentença “Quem doa sangue, doa vida” é: a) Quem não doa vida, não doa sangue. b) Quem não doa sangue, não doa vida.

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 c) Alguém não doa sangue e doa vida. d) Alguém não doa sangue e não doa vida. e) Alguém doa sangue e não doa vida.

61. FGV

–

FUNDAÇÃO

PRÓ-SANGUE/SP

–

2013)

Assinale

a

alternativa que apresenta a sentença logicamente equivalente a “Se você tem menos de 16 anos ou tem menos de 50 kg, então você não pode doar sangue” a) Se você não tem 16 anos e não tem menos de 50 kg, então você pode doar sangue. b) Se você não pode doar sangue, então você tem menos de 16 anos ou menos de 50 kg. c) Se você pode doar sangue, então você não tem menos de 16 anos e não tem menos de 50 kg. d) Se você pode doar sangue, então você não tem menos de 16 anos ou não tem menos de 50 kg. e) Se você tem menos de 16 anos e menos de 50 kg, então você não pode doar sangue. 62. FGV – SUDENE/PE – 2013 ) Considere a afirmação: “Carne com gordura não é saudável.” Uma afirmativa que tem o mesmo significado da acima é: (A) Carne sem gordura é saudável. (B) Carne não saudável tem gordura. (C) Carne saudável não tem gordura. (D) Carne saudável pode ter gordura. (E) Carne, ou não tem gordura ou é saudável. 63. FGV – SUDENE/PE – 2013) Não é verdadeira a afirmação: “Nenhum motorista é maluco”. Isto significa que a) há, pelo menos, um motorista maluco.

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 b) alguns malucos são motoristas. c) todos os motoristas são malucos. d) todos os malucos são motoristas. e) todos os motoristas não são malucos. 64. FGV – SUDENE/PE – 2013) Não é verdade que “Se o Brasil não acaba com a saúva então a saúva acaba com o Brasil”. Logo, é necessariamente verdade que (A) “O Brasil não acaba com a saúva e a saúva não acaba com o Brasil.” (B)

“O

Brasil

acaba

com

a saúva

e

a saúva

não

acaba

com

o Brasil.” (C) “O Brasil acaba com a saúva e a saúva acaba com o Brasil.” (D) “O Brasil não acaba com a saúva ou a saúva não acaba com o Brasil.” (E) “O Brasil não acaba com a saúva ou a saúva acaba com o Brasil.” 65. FGV – SUDENE/PE – 2013) Supondo que a afirmativa “Todos os estados do Nordeste sofrem com a seca ou com o excesso de chuvas” seja falsa, analise as afirmativas a seguir. I. “Nenhum estado do Nordeste sofre com a seca ou com o excesso de chuvas”. II. “Algum estado do Nordeste não sofre com a seca”. III. “Algum estado do Nordeste sofre com o excesso de chuvas”. Assinale: (A) se somente a afirmativa I for obrigatoriamente verdadeira. (B) se somente a afirmativa II for obrigatoriamente verdadeira. (C) se somente a afirmativa III for obrigatoriamente verdadeira. (D) se

somente

as

afirmativas

I

e

III

forem

obrigatoriamente verdadeiras. (E) se somente

as

afirmativas

II

e

III

forem

obrigatoriamente verdadeiras.

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 –

66. FGV

ASSEMBLEIA

–

LEGISLATIVA/MA

2013)

Considere a sentença: “Se o projeto de lei A é aprovado então o presidente da comissão se fortal ece ou não renuncia.” A negação lógica dessa sentença é (A) O projeto de lei A é aprovado e o presidente da comissão não se fortal ece e renuncia. (B) Se o projeto de lei A não é aprovado então o presidente da

comissão

não se fortalece e não renuncia. (C) Se o projeto de lei A não é aprovado então o presidente da comissão não se fortalece ou renuncia. (D) Se

o

presidente

da

comissão

não se fortalece

ou renuncia então o projeto de lei A não é aprovado. (E)

O

projeto

de

lei

A

não

é

aprovado

ou

o

presidente

da comissão se fortalece ou não renuncia. 67. FGV – ASSEMBLEIA LEGISLATIVA/MA – 2013) Considere a sentença: “Não é verdade que todo parlamentar de Brasília falta às sessões plenárias das sextas feiras no Congresso e retorna ao seu estado de origem.” Uma sentença logicamente equivalente a essa é (A) Nenhum parlamentar de Brasília falta às sessões plenárias das sextas feiras no Congresso e retorna ao seu estado de origem. (B) Todo parlamentar de Brasília comparece às sessões plenárias das sextas feiras no Congresso ou retorna ao seu estado de origem. (C) Algum parlamentar de Brasília comparece às sessões plenárias das sextas feiras no Congresso e não retorna ao seu estado de origem. (D) Algum parlamentar de Brasília comparece às sessões plenárias das sextas feiras no Congresso e retorna ao seu estado de origem. (E) Algum parlamentar de Brasília comparece às sessões plenárias das sextas feiras no Congresso ou não retorna ao seu estado de origem. 68. FGV – ASSEMBLEIA LEGISLATIVA/MA – 2013) Prof. Arthur Lima

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 Considere a sentença a seguir. “Qualquer que seja o quadrilátero convexo, se ele é equilátero ou equiâng ulo então ele é regular.” Assinale a alternativa que indica a sentença logicamente equivalente à sentença acima. (A) Qualquer que seja o quadrilátero convexo, se ele é regular então ele é equilátero ou equiângulo. (B) Existe um quadrilátero convexo que é equilátero ou equiângulo mas que não é regular. (C) Qualquer que seja o quadrilátero convexo, se ele não é equilátero ou não é equiângulo então ele não é regular. (D) Algum quadrilátero convexo não é regular, mas é equilátero ou equiângulo. (E) Qualquer que seja o quadrilátero convexo, ele não é equilátero nem é equiângulo, ou ele é regular. 69. FGV – ASSEMBLÉIA LEGISLATIVA/MA – 2013) Considere a sentença a seguir. “Qualquer que seja o candidato a uma vaga de consultor legislativo na Assembleia Legislativa do Estado do Maranhão, se ele foi aprovado então estudou muito ou teve sorte” Assinale a alternativa que indica a negação lógica dessa sentença. (A) Qualquer que seja o candidato a uma vaga de consultor legislativo na Assembleia Legislativa do Estado do Maranhão, se ele foi aprovado então não estudou muito nem teve sorte. (B) Nenhum candidato a uma vaga de consultor legislativo na Assembleia Legislativa do Estado do Maranhão foi aprovado e não estudou muito nem teve sorte. (C) Algum candidato a uma vaga de consultor legislativo na Assembleia Legislativa do Estado do Maranhão não foi aprovado ou estudou muito ou teve sorte.

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 (D) Algum candidato a uma vaga de consultor legislativo na Assembleia Legislativa do Estado do Maranhão foi aprovado e não estudou muito nem teve sorte. (E) Nenhum candidato a uma vaga de consultor legislativo na Assembleia Legislativa do Estado do Maranhão não foi aprovado e estudou muito mas não teve sorte. 70. FGV – SEJAP/MA – 2013 ) Manoel e Francisco trabalham juntos em

uma

empresa.

confraternização

Toda semana,

entre

há

os funcionários

uma

da

==f2808==

reunião

empresa

à

social qual

de nem

sempre um dos dois comparece. Entretanto, é sempre verdade que: “Se Manoel comparece à reunião então Francisco não comparece.” Esta afirmação é equivalente a (A) Se Francisco comparece à reunião então Manoel não comparece. (B) Manoel não comparece à reunião ou Francisco comparece. (C)

Se

Manoel

não

comparece

à

reunião

então

Francisco

comparece. (D) Manoel comparece à reunião e Francisco não comparece. (E)

Se

Francisco

não

comparece

à

reunião

então

Manoel

comparece. 71. FGV – SEJAP/MA – 2013 ) Considere a afirmação: “Hoje faço prova e amanhã não vou trabalhar”. A negação dessa afirmação é: (A) Hoje não faço prova e amanhã vou trabalhar. (B) Hoje não faço prova ou amanhã vou trabalhar. (C) Hoje não faço prova então amanhã vou trabalhar. (D) Hoje faço prova e amanhã vou trabalhar. (E) Hoje faço prova ou amanhã não vou trabalhar. 72. FGV – SEJAP/MA – 2013 ) Considere a sentença: “Todo agente penitenciário é do sexo masculino”. Prof. Arthur Lima

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 Um contra exemplo para essa sentença é: (A) João, que é do sexo masculino e não é agente penitenciário. (B) Maria, que é do sexo feminino e não é agente penitenciário. (C) Miguel, que é do sexo masculino e é agente penitenciário. (D) Amanda, que é do sexo feminino e é agente penitenciário. (E)

Débora,

que

não

é

do

sexo

masculino

e

não

é

agente penitenciário. 73. FGV – MPE/MS – 2013 ) Considere a afirmação: “Toda aranha preta é venenosa.” A negação dessa afirmação é: a) Toda aranha branca é venenosa. b) Toda aranha preta não é venenosa. c) Se uma aranha não é preta então não é venenosa. d) Existe um aranha preta que não é venenosa. e) Existe uma aranha que não é preta e não é venenosa.

74. FGV

–

DETRAN/MA

–

2013)

Uma

sentença

logicamente

equivalente a “Se faz sol e eu acordo cedo, então eu vou à praia” é: (A) se não faz sol ou eu não acordo cedo então não vou à praia. (B) se eu vou à praia então faz sol e eu acordo cedo. (C) se não faz sol e eu não acordo cedo então não vou à praia. (D) não faz sol ou eu não acordo cedo ou eu vou à praia. (E) faz sol e eu acordo cedo, ou eu vou à praia. 75. FGV – DETRAN/MA – 2013 ) A negação da sentença “Se chove então o trânsito fica congestionado” é: (A) Se não chove então o trânsito não fica congestionado. (B) Se o trânsito não fica congestionado então não chove.

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 (C) Chove e o trânsito não fica congestionado. (D) Não chove e o trânsito não fica congestionado. (E) Não chove e o trânsito fica congestionado. 76. FGV – DETRAN/MA – 2013) Sabe se que: “Se X não acontece e Y acontece então Z acontece.” Suponha que Z não acontece. Logo: (A) Y é condição suficiente para X. (B) X é condição suficiente para Z. (C) Z é condição necessária para X. (D) Y é condição necessária para Z (E) X é condição necessária para Z. 77. FGV – DETRAN/MA – 2013) Considerando verdadeira a afirmação: “todos os amigos de Bruno são morenos” é correto concluir que: (A) Bruno é moreno. (B) Bruno não é moreno. (C) se Carlos é moreno então é amigo de Bruno. (D) se Francisco não é amigo de Bruno então não é moreno. (E) se Hugo não é moreno então não é amigo de Bruno. 78. FGV – DETRAN/MA – 2013) Considere a afirmativa: “nenhum gato é verde” A negação dessa afirmativa é: (A) “algum gato é verde”. (B) “nenhum animal verde é gato”. (C) “todo gato é verde”. (D) “algum animal verde não é gato”. (E) “algum gato não é verde”. 79. FGV – TJ/AM – 2013) Antônio utiliza exclusivamente a regra a seguir para aprovar ou não os possíveis candidatos a namorar sua filha:

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 “- Se não for torcedor do Vasco então tem que ser rico ou gostar de música clássica”. Considere os seguintes candidatos: Pedro: torcedor do Flamengo, não é rico, não gosta de música clássica. Carlos: torcedor do Vasco, é rico, gosta de música clássica. Marcos: torcedor do São Raimundo, é rico, gosta de música clássica. Tiago: torcedor do Vasco, não é rico, não gosta de música clássica. Bruno: torcedor do Nacional, não é rico, gosta de música clássica. Classificando cada um desses cinco candidatos, na ordem em que eles foram apresentados, como aprovado (A) ou não aprovado (N) segundo a regra utilizada por Antônio, tem-se, respectivamente, a) A, A, A, A e A. b) N, A, A, A e A. c) N, A, N, A e A. d) N, A, N, N e A. e) N, A, N, A e N. 80. FGV – TJ/AM – 2013) José afirmou: “- Todos os jogadores de futebol que não são ricos jogam no Brasil ou jogam mal.” Assinale a alternativa que indica a sentença que representa a negação do que José afirmou. a) Nenhum jogador de futebol que não é rico joga no Brasil ou joga mal. b) Todos os jogadores de futebol que não são ricos não jogam no Brasil e não jogam mal. c) Algum jogador de futebol que não é rico não joga no Brasil e não joga mal. d) Algum jogador de futebol é rico mas joga no Brasil ou joga mal. e) Nenhum jogador de futebol que é rico joga no Brasil ou joga mal. 81. FGV – TJ/AM – 2013) Se não é verdade que “Todos assistentes judiciários de determinado fórum são formados em advocacia”, então é necessariamente verdade que

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 (A) nenhum

assistente

judiciário

desse

fórum

é

formado

em

advocacia. (B) todos assistentes judiciários desse fórum não são formados em advoc acia. (C) ninguém formado em advocacia é assistente judiciário desse fórum. (D) alguém formado em advocacia é assistente judiciário desse fórum. (E) algum assistente judiciário desse fórum não é formado em advocacia.

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05

GABARITO DAS QUESTÕES

01

D

02

A

03

D

04

A

05

D

06

E

07

A

08

C

09

E

10

A

11

D

12

C

13

E

14

E

15

A

16

B

17

A

18

C

19

C

20

E

21

E

22

D

23

C

24

E

25

B

26

C

27

B

28

C

29

B

30

A

31

E

32

D

33

A

34

C

35

A

36

C

37

B

38

C

39

E

40

B

41

A

42

C

43

D

44

A

45

B

46

E

47

D

48

A

49

A

50

B

51

E

52

E

53

C

54

A

55

D

56

C

57

A

58

D

59

C

60

E

61

C

62

C

63

A

64

A

65

B

66

A

67

E

68

E

69

D

70

A

71

B

72

D

73

D

74

D

75

C

76

A

77

E

78

A

79

B

80

C

81

E

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05

PRINCIPAIS PONTOS DA AULA Veja a seguir um resumo com os principais conceitos que você precisa guardar sobre o tema desta aula.

Proposição simples: oração declarativa que admite um valor lógico (V / F). Não são proposições: exclamações, perguntas, ordens e pedidos (imperativo), frases sem verbo (nem são orações!), sentenças abertas. Sentença aberta: oração declarativa que possua uma variável cujo valor precisa ser conhecido para permitir sua valoração lógica. Proposição composta: proposições simples unidas por um conectivo que exprima uma operação lógica (conjunção, disjunção simples ou exclusiva, condicional, bicondicional). Proposições equivalentes: mesmos valores lógicos sempre (mesma tabelaverdade). Negações: possuem sempre valores lógicos opostos (tabelas-verdade opostas). Para negar uma proposição, pergunte-se: “o que é o mínimo que preciso fazer para provar que o autor desta proposição está mentindo?”. Esta será a negação. Negações de proposições categóricas: a negação de “todo A é B” é “algum A não é B”, e a de “nenhum A é B” é “algum A é B”. Tabela-verdade: o número de linhas será igual a 2n, onde n é o número de proposições simples (não conte duas vezes uma proposição p e sua negação ~p!!!)

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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ SEDUC-AM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima Aula 05 Tautologia: proposição que é sempre V. Para constatar, basta montar sua tabela-verdade. Se for sempre F → contradição; se variar entre V e F → contingência. Condições: em uma condicional p→q, dizemos que p é condição suficiente para q, e q é condição necessária para p. Na bicondicional pq, p é condição necessária e suficiente para q, e vice-versa.

MAPA MENTAL – PRINCIPAIS CONCEITOS SOBRE PROPOSIÇÕES

CONECTIVOS E VALORES LÓGICOS DAS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS Proposição composta

Conectivo

Exemplo

Conjunção

... e ...

Estudo e trabalho

Disjunção simples

... ou ...

Estudo ou trabalho

Condicional

se..., então...

Se estudo, então trabalho

se p, então q p-->q

Disjunção exclusiva

ou... ou ...

Ou estudo ou trabalho

ou p ou q pvq

Bicondicional

Representações peq p^q p ou q pvq

Variações importantes do Valor lógico conectivo Falso quando... ... mas ... alguma é F ... como também ... -

Equivalências importantes

Negações importantes

-

~p ou ~q

todas são F

-

~p e ~q p e ~q

Quando, Caso, Sempre que, Desde que, Toda vez que etc ou..., ou..., mas não ambos

V-->F

~q-->~p ~p ou q

valores lógicos iguais

(p-->~q)^(~p-->q)

... se e Estudo se e somente p se e somente se q ... assim como ... somente se ... se trabalho pq ... da mesma forma que...

valores lógicos diferentes

(p-->q)^(q-->p) (p-->q)^(~p-->~q)

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pq (p e q) ou (~p e ~q) ou p ou q (~pq) (p~q)

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