[LISTA] GAAL - Pontos, retas e planos

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GAAL - 2013/1 - Lista de Exerc´ıcios - 3 Estudo das posi¸co˜es relativas de pontos, retas e planos Os objetos b´asicos da geometria anal´ıtica espacial s˜ao o ponto, a reta e o plano. Podemos combinar dois destes objetos de seis maneiras diferentes. • ponto-ponto. • ponto-reta. • ponto-plano. • reta-reta. • reta-plano. • plano-plano. Al´em disso, algumas destas combina¸co˜es podem ser subdivididas quando s˜ao considerados outros asp´ectos geom´etricos dos dois objetos envolvidos. • No caso de duas retas, sabemos que elas podem ser paralelas, concorrentes ou reversas. • No caso de uma reta e um plano, estes podem ser paralelos ou concorrentes. • No caso de dois planos, eles tamb´em podem ser paralelos ou concorrentes. Nesta lista de exerc´ıcios vamos estudar todas estas poss´ıveis posi¸co˜es relativas. Em cada exerc´ıcio v´arias perguntas ser˜ao formuladas para o c´alculo de grandezas num´ericas (ˆangulos e distˆancias) e para a constru¸ca˜o de outros objetos relevantes para a configura¸ca˜o geom´etrica dada. Observa¸c˜oes importantes. 1. Em cada exerc´ıcio fa¸ca um esbo¸co da situa¸ca˜o dada. 2. Imagine mentalmente a figura espacial considerada em cada exerc´ıcio. 3. Todos estes exerc´ıcios ser˜ao resolvidos na aula. Passe a limpo todas estas solu¸co˜es. Como todos os alunos v˜ao assistir as aulas de resolu¸ca˜o destes exerc´ıcios, as solu¸co˜es n˜ao ser˜ao digitadas.

Exerc´ıcio 1: ponto e ponto Considere os pontos A = (−1, 3, 2) e B = (2, 1, 6). ←→ (a) Determine a equa¸ca˜o param´etrica da reta AB. (b) Calcule o ponto m´edio do segmento AB. (c) Calcule dist(A, B). (d) Determine o ponto sim´etrico A0 de A em rela¸ca˜o ao ponto B. (e) Determine o ponto sim´etrico B 0 de B em rela¸ca˜o ao ponto A.

Exerc´ıcio 2: ponto e reta Considere a reta r de equa¸c˜ao param´etrica (x, y, z) = (−7, 4, 9) + t(−2, 1, 2) e o ponto A = (7, 4, 5). (a) O ponto A pertence a reta r? (b) Determine a equa¸ca˜o do plano que cont´em r e A. (c) Determine a reta perpendicular a r e que passa por A. (d) Calcule dist(A, r). (e) Determine o ponto sim´etrico de A em rela¸ca˜o a reta r.

Exerc´ıcio 3: ponto e plano Considere o plano α de equa¸ca˜o x − 2y + 3z = 4 e o ponto A = (2, 8, −8). (a) O ponto A pertece ao plano α? (b) Determine a equa¸ca˜o param´etrica da reta que passa por A e ´e perpendicular ao plano α. (c) Calcule dist(A, α). (d) Determine o ponto sim´etrico de A em rela¸ca˜o ao plano α.

Exerc´ıcio 4: duas retas paralelas Considere as retas paralelas r : (x, y, z) = (−6, 3, −2) + t(3, −1, 2) s : (x, y, z) = (−3, 30, −14) + s(3, −1, 2) (a) Determine a equa¸ca˜o do plano α que cont´em r e s. (b) Dˆe um exemplo de uma reta perpendicular a r e a s. (c) Calcule dist(r, s). (d) Determine uma reta contida em α e que est´a equidistante de r e de s.

Exerc´ıcio 5: duas retas concorrentes Considere as retas r : (x, y, z) = (7, 2, −2) + t(−3, 0, 1) s : (x, y, z) = (−1, 1, 2) + s(2, 1, −2) (a) Mostre que r e s s˜ao concorrentes calculando o ponto P = r ∩ s. (b) Determine a equa¸ca˜o geral do plano que cont´em r e s. (c) Calcule ang(r, s).

Exerc´ıcio 6: duas retas reversas Considere as retas r : (x, y, z) = (−1, −1, 4) + t(1, 1, −1) s : (x, y, z) = (1, 3, 7) + s(−2, 0, 1) (a) Mostre que r e s s˜ao retas reversas. (b) Determine a equa¸ca˜o da reta perpendicular e concorrente com r e com s. (c) Calcule dist(r, s) e ang(r, s). (d) Determine o plano α que cont´em r e ´e paralelo a s. (e) Determine o plano β que cont´em s e ´e paralelo a r. (f) Determine o plano γ que cont´em r e ´e perpendicular a α. (g) Determine o plano ω que cont´em s e ´e perpendicular a β. (h) Determine a equa¸ca˜o da reta γ ∩ ω.

Exerc´ıcio 7: reta furando um plano Considere o plano α e a reta r de respectivas equa¸co˜es α : 2x + y − z = 4 r : (x, y, z) = (0, 3, −4) + t(1, −1, 2) (a) Determine o ponto P = r ∩ α. (b) Determine o plano que cont´em r e ´e perpendicular a α. (c) Determine a reta que ´e a proje¸ca˜o ortogonal de r sobre α. (d) Calcule ang(r, α). (e) Determine a reta contida em α e que ´e perpendicular a r.

Exerc´ıcio 8: reta paralela a um plano Considere o plano α e a reta r de respectivas equa¸co˜es α: x−y+z =1 r : (x, y, z) = (0, 3, 1) + t(2, −1, −3) (a) Mostre que a reta r ´e paralela ao plano α. (b) Ache o plano que cont´em r e ´e perpendicular a α. (c) Ache o plano que cont´em r e ´e paralelo a α. (d) Determine a equa¸ca˜o da reta que ´e a proje¸ca˜o ortogonal de r sobre α. (e) Calcule dist(r, α).

Exerc´ıcio 9: reta contida em um plano Considere o plano α e a reta r de equa¸co˜es α : x + 2y − z = 3 r : (x, y, z) = (2, 1, 1) + t(2, 1, 4) (a) Mostre que r ⊂ α. (b) Determine o plano que cont´em r e que ´e perpendicular a α. (c) Dˆe um exemplo de uma reta contida em α e que ´e perpendicular a r.

Exerc´ıcio 10: planos paralelos Considere os planos α : 2x − y + z = 1 β : 4x − 2y + 2z = 5 (a) Mostre que α e β s˜ao planos paralelos. (b) Determine a reta perpendicular a α e a β e que passa pela origem. (c) Calcule dist(α, β).

Exerc´ıcio 11: planos concorrentes Considere os planos α : x − y + 3z = 1 β : 2x − 3y − z = 2 (a) Mostre que α e β n˜ao s˜ao paralelos. (b) Determine a equa¸ca˜o da reta α ∩ β. (c) Calcule ang(α, β). (d) Dˆe um exemplo de um plano perpendicular a α e a β.

- FIM -