Posições relativas de retas e planos

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282

Retas e Planos

Posições Relativas de Retas e Planos

Posições Relativas de Duas Retas

ita l

4.3

−→

−→

−→

−→

Consideremos duas retas quaisquer r1 : OP=OP1 +tV1 e r2 : OP=OP2 +tV2 . Para estudar a posição relativa destas retas, vamos dividir em dois casos:

ig

(a) Se os vetores diretores são paralelos, então as retas são paralelas ou coincidentes (Figura 4.29 na página 271). Além de paralelas, elas são coincidentes se, e somente se, um ponto de uma reta pertence a outra reta. Portanto, se, e somente −→

se, P1 P2 é paralelo a V1 (e a V2 , pois V1 e V2 são paralelos).

D

(b) Se os vetores diretores não são paralelos, então as retas são reversas ou concorrentes (Figura 4.30 na página 273). −→

−→

i. Se os vetores P1 P2 , V1 e V2 são coplanares, ou seja, se P1 P2 · (V1 × V2 ) = 0 (Corolário 3.9 na página 198), então as retas são concorrentes. −→

−→

ia

ii. Se os vetores P1 P2 , V1 e V2 não são coplanares, ou seja, se P1 P2 · (V1 × V2 ) 6= 0 (Corolário 3.9 na página 198), então as retas são reversas.

óp

Posições Relativas de Dois Planos

Matrizes, Vetores e Geometria Analítica

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Julho 2013

283

Posições Relativas de Retas e Planos

ig

ita l

4.3

π1

D

π1

π2

ia

π2

Figura 4.34. Dois planos paralelos

óp

Figura 4.33. Dois planos que se interceptam

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Reginaldo J. Santos

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ita l

Retas e Planos Sejam dois planos π1 : a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0 e π2 : a2 x + b2 y + c2 z + d2 = 0 quaisquer. (a) Se os seus vetores normais N1 = ( a1 , b1 , c1 ) e N2 = ( a2 , b2 , c2 ) não são paralelos, então os planos são concorrentes (Figura 4.33).

óp

ia

D

ig

(b) Se os seus vetores normais são paralelos, ou seja, se N2 = αN1 , então os planos são paralelos distintos (Figura 4.34) ou coincidentes. Além de paralelos, eles são coincidentes se, e somente se, todo ponto que satisfaz a equação de π1 , satisfaz também a equação de π2 . Assim, a2 x + b2 y + c2 z + d2 = αa1 x + αb1 y + αc1 z + d2 = α( a1 x + b1 y + c1 z) + d2 = α(−d1 ) + d2 = 0. Portanto, d2 = αd1 e as equações de π1 e π2 são proporcionais. Reciprocamente, se as equações de π1 e π2 são proporcionais, então claramente os dois planos são coincidentes. Portanto, dois planos são coincidentes se, e somente se, além dos vetores normais serem paralelos, as suas equações são proporcionais.

Matrizes, Vetores e Geometria Analítica

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285

Posições Relativas de Retas e Planos

ita l

4.3

ig

r

r

D

π

ia

π

Figura 4.36. Reta e plano paralelos

óp

Figura 4.35. Reta e plano concorrentes

Julho 2013

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Reginaldo J. Santos

286 Posições Relativas de Reta e Plano −→

−→

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Retas e Planos

ig

Sejam a reta r : ( x, y, z) =OP=OP0 +tV e o plano π : ax + by + cz + d = 0. (a) Se o vetor diretor da reta r, V, e o vetor normal do plano π, N = ( a, b, c), são ortogonais (V · N = 0), então a reta e o plano são paralelos. Se além dos vetores V e N serem ortogonais, um ponto qualquer da reta pertence ao plano, por exemplo, se P0 pertence a π (P0 satisfaz a equação de π), então a reta está contida no plano. (b) Se o vetor diretor da reta r, V, e o vetor normal do plano π, N = ( a, b, c), não são ortogonais (V · N 6= 0), então a reta é concorrente ao plano.

óp

ia

D

Posições Relativas de Três Planos

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287

Posições Relativas de Retas e Planos

ita l

4.3

ig

π1

ia

D

π2

óp

π3

Figura 4.37. Três planos que se interceptam segundo um ponto

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Reginaldo J. Santos

288

ita l

Retas e Planos Consideremos três planos π1 , π2 , e π3 dados pelas equações:   π1 : a1 x + b1 y + c1 z = d1 π : a2 x + b2 y + c2 z = d2  2 π3 : a3 x + b3 y + c3 z = d3

(4.13)

Os vetores Ni = ( ai , bi , ci ) são normais aos planos πi , para i = 1, 2, 3. Os três vetores são coplanares ou não são coplanares.

ig

(a) Se os vetores N1 , N2 e N3 não são coplanares, então vamos mostrar que os planos se interceptam dois a dois segundo retas que se interceptam em um ponto. As retas r = π1 ∩ π2 e s = π1 ∩ π3 estão no plano π1 . Vamos mostrar que −→

elas são concorrentes. Sejam A e B dois pontos distintos da reta r. O vetor AB −→

D

é perpendicular a N1 e a N2 . Se as retas r e s fossem paralelas, então AB se−→

ia

ria perpendicular também a N3 , ou seja, AB seria perpendicular a três vetores −→ não coplanares o que implicaria que AB= ~0. Os vetores N1 , N2 e N3 não são coplanares se, e somente se, det( A) 6= 0,   a1 b1 c1 em que A =  a2 b2 c2 . Neste caso o sistema tem solução única (Figura a3 b3 c3 4.37).

óp

(b) Se os três vetores normais são coplanares, então pode ocorrer uma das seguintes situações: i. Os vetores normais são paralelos, ou seja, N1 = αN2 , N1 = βN3 e N2 = γN3 . Neste caso, os planos são paralelos. Se além disso, exatamente duas das equações são proporcionais, então exatamente dois planos são coincidentes e o sistema não tem solução. Se as três equações são proporcionais, então os três planos são coincidentes e o

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Posições Relativas de Retas e Planos

ita l

4.3

π1

ig

π1

π2

π2

π3

Figura 4.39. Planos interceptando-se 2 a 2

D

Figura 4.38. Três planos paralelos

π3

π3

ia

π1

π1

óp

π2

π2

π3

Figura 4.41. Reta interseção de 3 planos

Figura 4.40. Três planos, sendo 2 paralelos

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Retas e Planos

óp

ia

D

ig

sistema tem infinitas soluções. Se não ocorre nenhuma destas situações, os planos são paralelos e distintos e o sistema não tem solução (Figura 4.38). ii. Exatamente dois vetores normais são paralelos, ou seja, vale uma, e somente uma, equação entre: N1 = αN2 , N1 = αN3 , N2 = αN3 . Neste caso, exatamente dois planos são paralelos. Se além de exatamente dois vetores normais serem paralelos, as equações correspondentes forem proporcionais, então dois planos são coincidentes e o terceiro corta os dois segundo uma reta. Neste caso o sistema tem infinitas soluções. Se isto não acontece, então os planos paralelos são distintos e o sistema não tem solução (Figura 4.40). iii. Os vetores normais são coplanares e quaisquer dois vetores normais não são paralelos, ou seja, det( A) = 0 e quaisquer dois vetores normais não são múltiplos escalares. Neste caso, quaisquer dois planos se interceptam segundo retas que são paralelas. Com estas condições podem ocorrer dois casos: os três planos se interceptem segundo uma reta, (Figura 4.41) ou os planos se interceptem, dois a dois, segundo retas distintas (Figura 4.39). No primeiro caso, o sistema (4.13) tem infinitas soluções. No segundo caso, o sistema não tem solução.

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Posições Relativas de Retas e Planos

Exercícios Numéricos (respostas na página 592) 4.3.1.

ita l

4.3

(a) Determine as equações da reta r que é a interseção dos planos: π1 : x − 2y + 2z = 0 π2 : 3x − 5y + 7z = 0. (b) Qual a posição relativa da reta r e do plano y + z = 0.

ig

4.3.2. Determine a posição relativa das retas r e s

r : ( x, y, z) = (1, 1, 1) + λ(2, 2, 1), ∀ λ ∈ R s : ( x, y, z) = t(1, 1, 0), ∀ t ∈ R.

4.3.3. Sejam r1 : ( x, y, z) = (1, 0, 2) + (2t, t, 3t) e r2 : ( x, y, z) = (0, 1, −1) + (t, mt, 2mt) duas retas.

D

(a) Determine m para que as retas sejam coplanares (não sejam reversas). (b) Para o valor de m encontrado, determine a posição relativa entre r1 e r2 . (c) Determine a equação do plano determinado por r1 e r2 .

ia

4.3.4. Sejam a reta r : ( x, y, z) = (1, 1, 1) + (2t, mt, t) e o plano π : 2x − y − 2z = 0. Determine o valor de m para que a reta seja paralela ao plano. Para o valor de m encontrado a reta está contida no plano? 4.3.5. Dê a posição relativa dos seguintes ternos de planos: 2x + y + z = 1, x + 3y + z = 2, x + y + 4z = 3. x − 2y + z = 0, 2x − 4y + 2z = 1, x + y = 0. 2x − y + z = 3, 3x − 2y − z = −1, 2x − y + 3z = 7. 3x + 2y − z = 8, 2x − 5y + 2z = −3, x − y + z = 1. 2x − y + 3z = −2, 3x + y + 2z = 4, 4x − 2y + 6z = 3. −4x + 2y − 4z = 6, 3x + y + 2z = 2, 2x − y + 2z = −3. 6x − 3y + 9z = 3, 4x − 2y + 6z = 5, 2x − y + 3z = 2. x − 2y + 3z = 2, 3x + y − 2z = 1, 5x − 3y + 4z = 4.

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óp

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h)

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