Gabarito LIsta 12 - Pano Cartesiano e distancia entre dois pontos

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COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III 3ª SÉRIE – MATEMÁTICA II

LISTA 12 – PLANO CARTESIANO E DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS - GABARITO 1) (Fuvest 2000) Se (m + 2n, m - 4) e (2 - m, 2n) representam o mesmo ponto do plano cartesiano, então 𝑚𝑛 é igual a: a) -2 b) 0 d) 1 e) 1/2 Resolução Como (𝑚 + 2𝑛, 𝑚 − 4) e (2 − 𝑚, 2𝑛) representam o mesmo ponto do plano cartesiano, então (m + 2n, m − 4) = (2 − m, 2n), o que resulta no sistema: 𝑚 + 2𝑛 = 2 − 𝑚 { . 𝑚 − 4 = 2𝑛 Resolvendo este sistema obtemos 2𝑚 + 2𝑛 = 2 𝑚 − 2𝑛 = 4 2𝑚 + 2𝑛 = 2 {  . 𝑚 − 2𝑛 = 4 3𝑚 = 6 𝑚=2 Fazendo 𝑚 = 2 na equação 𝑚 − 2𝑛 = 4, temos 2 − 2𝑛 = 4 e 𝑛 = −1. 1

Logo, 𝑚𝑛 = 2−1 = . 2

Resposta: [E]

2) (Enem PPL 2016) Observou-se que todas as formigas de um formigueiro trabalham de maneira ordeira e organizada. Foi feito um experimento com duas formigas e os resultados obtidos foram esboçados em um plano cartesiano no qual os eixos estão graduados em quilômetros. As duas formigas partiram juntas do ponto O, origem do plano cartesiana xOy. Uma delas caminhou horizontalmente para o lado direito, a uma velocidade de 4 km h. A outra caminhou verticalmente para cima, à velocidade de 3 km h. Após 2 horas de movimento, quais as coordenadas cartesianas das posições de cada formiga? a) (8; 0) e (0; 6). b) (4; 0) e (0; 6). c) (4; 0) e (0; 3). d) (0; 8) e (6; 0). e) (0; 4) e (3; 0).

Resolução Após 2 horas, a formiga que caminhou horizontalmente para o lado direito caminhou 8 km (velocidade de 4 km h). Assim sua coordenada será (8; 0). Após 2 horas, a formiga que caminhou verticalmente para cima caminhou 6 km (velocidade de 3 km h). Assim sua coordenada será (0; 6). Resposta: [A]

3)

(Feevale 2016) Na figura a seguir, o ponto A representa uma praça, e o ponto B, uma livraria.

Considerando quilômetro (km) como unidade de medida, a menor distância entre a praça e a livraria é de aproximadamente a) 4 km. b) 5 km. c) 6 km. d) 7 km. e) 8 km. Resolução A menor distância entre dois pontos é o comprimento do segmento de reta que os liga. Assim, vamos calcular a distância entre A = (−2, 1)e B − (4, 2):

Resposta: [C]

4) (Uff 1999) Determine o(s) valor(es) que 𝑟 deve assumir para que o ponto (𝑟, 2) diste cinco unidades do ponto (0, −2). 𝑑 = √(𝑟 − 0)2 + (2 − (−2))2 = √𝑟 2 + 16 = 5

Elevando ao quadrado ambos os membros da equação √𝑟 2 + 16 = 5 temos: 2

(√𝑟 2 + 16) = 5 2  𝑟 2 + 16 = 25 𝑟 2 = 9  𝑟 =  3. Resposta: 𝑟 = 3 ou 𝑟 = −3 5) (Ufrgs 2008) Sendo os pontos 𝐴 = (− 1, 5) e 𝐵 = (2, 1) vértices consecutivos de um quadrado, o comprimento da diagonal desse quadrado é a) 2.

2 2. c) 3 2 . b)

d) 5. e)

5 2.

Resolução A medida do lado AB do quadrado é dada por 𝐴𝐵 = √(2 − (−1))2 + (1 − 5)2 = √32 + (−4)2 = √25 = 5. Logo, a medida da diagonal do quadrado é 𝑑 = 𝑙√2 = 𝐴𝐵√2 = 5√2. Resposta: [E] 6) (Fgv 2002) No plano cartesiano, o triângulo de vértices A(1, -2), B(m, 4) e C(0, 6) é retângulo em A. O valor de m é igual a: a) 47 b) 48 c) 49 d) 50 e) 51 Resolução

Resposta: [C]

7)

(Enem PPL 2009) O gráfico a seguir mostra o início da trajetória de um robô que parte do ponto A(2, 0), movimentando-se para cima ou para a direita, com velocidade de uma unidade de comprimento por segundo no plano cartesiano. O gráfico exemplifica uma trajetória desse robô, durante 6 segundos.

Supondo que esse robô continue essa mesma trajetória, qual será sua coordenada após 18 segundos de caminhada, contando o tempo a partir do ponto A ? a) (0, 18) b) (18, 2) c) (18, 0) d) (14, 6) e) (6, 14)

Resposta: [D]

8)

(Uff 2010)

A palavra “perímetro” vem da combinação de dois elementos gregos: o primeiro, perí, significa “em torno de”, e o segundo, metron, significa “medida”. O perímetro do trapézio cujos vértices têm coordenadas (−1, 0), (9, 0), (8, 5) e (1, 5) a) 10 + 29 + 26 b) 16 + 29 + 26 c) 22 + 26 d) 17 + 2 26 e) 17 + 29 + 26 Resolução

Representando o trapézio no plano cartesiano, marcando os pontos que são seus vértices e calculando as medidas de seus lados, temos:

Para calcular o valor dos lados de medida x e y vamos utilizar o teorema de Pitágoras:

x2 = 52 + 22  x = 29 y2 = 52 + 12  y = 26 Logo, o perímetro P do trapézio é:

P = 7 + 10 + 29 + 26 P = 17 + 29 + 26 Resposta: [E] 9)

(Enem PPL 2014) Um construtor pretende murar um terreno e, para isso, precisa calcular o seu perímetro. O terreno está representado no plano cartesiano, conforme a figura, no qual foi usada a escala 1: 500. Use 2,8 como aproximação para 8.

De acordo com essas informações, o perímetro do terreno, em metros, é a) 110. b) 120. c) 124. d) 130. e) 144. Resolução

Considere a figura.

Dada a escala de 1: 500 e sendo as coordenadas em centímetros, podemos concluir que cada centímetro na figura corresponde a 5 metros. Assim, queremos calcular o valor de 5  (d(A, B) + d(B, C) + d(C, D) + d(D, E) + d(E, A)).

Observando o gráfico acima, temos que d(A, B) = 6cm, d(C, D) = 3cm, d(D, E) = 8cm e d(E, A) = 5cm. Além disso, temos

d(B, C) = (9 − 7)2 + (4 − 6)2 = 8  2,8cm. Portanto, o resultado é 5  (6 + 2,8 + 3 + 8 + 5) = 124 m.

Resposta: [C]

10) (Enem 2016) Em uma cidade será construída uma galeria subterrânea que receberá uma rede de canos para o transporte de água de uma fonte (F) até o reservatório de um novo bairro (B). Após avaliações, foram apresentados dois projetos para o trajeto de construção da galeria: um segmento de reta que atravessaria outros bairros ou uma semicircunferência que contornaria esses bairros, conforme ilustrado no sistema de coordenadas xOy da figura, em que a unidade de medida nos eixos é o quilômetro.

Estudos de viabilidade técnica mostraram que, pelas características do solo, a construção de 1 m de galeria via segmento de reta demora 1,0 h, enquanto que 1 m de construção de galeria via semicircunferência demora 0,6 h. Há urgência em disponibilizar água para esse bairro.

Use 3 como aproximação para π e 1,4 como aproximação para

2.

O menor tempo possível, em hora, para conclusão da construção da galeria, para atender às necessidades de água do bairro, é de a) 1.260. b) 2.520. c) 2.800. d) 3.600. e) 4.000. Resolução O raio r da circunferência que passa pelos pontos B e F, com centro em O, é dado pela distância entre os pontos (0, 0) e o ponto (1, -1): r = 12 + ( −1)2 = 2 km  1.400 m. Em consequência, o tempo via segmento de reta é igual a 2r = 2  1.400  1 = 2.800 h, e o tempo via semicircunferência é

1 2

2𝑟𝜋 = π  1.400  0,6  2.520 h.

A resposta é, portanto, 2.520 horas. Resposta: [B]