Coordenadas no plano e no espaço

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GEOMETRIA ANALÍTICA: COORDENADAS NO PLANO E NO ESPAÇO INTRODUÇÃO Algumas das utilidades são: atribuir um significado geométrico a fatos de natureza numérica, como o comportamento de uma função real e resolver problemas de Geometria Plana e Espacial. Os problemas de Geometria Analítica são resolvidos através de coordenadas, equações e processos algébricos.

O PONTO NO PLANO COORDENADAS CARTESIANAS Sejam os eixos Ox e Oy, perpendiculares em O. Eles determinam um plano (π). Consideremos um ponto qualquer P, P ∈ (π) e tracemos por ele as retas (x’) paralela a Ox e (y’) paralela a Oy. Chamemos P1 e P2, respectivamente, as intersecções de (y’) com o eixo Ox e de (x’) com o eixo Ox.

Verificamos facilmente que existe uma correspondência biunívoca entre o conjunto dos pontos P do plano e o conjunto dos pares ordenados (xp, yp). Assim, o ponto A tem sua posição definida no plano cartesiano (π) pelo par ordenado (3, 4) e indicamos por A(3, 4) e lemos ponto A de coordenadas cartesianas 3 e 4. Da mesma forma os pontos B, C e D. B(–4, 1), C(–2, –5) e D(5, –3)

O e P1 determinam o segmento orientado OP1 cuja medida algébrica é a abscissa do ponto P.

OP1 = xP O e P2 determinam o segmento orientado OP2 cuja medida

algébrica é a ordenada do ponto P.

OP2 = yP Os números reais xp e yp constituem um par ordenado que determina a posição do ponto P no plano (π). São as coordenadas do ponto P. O plano (π) é denominado plano cartesiano e os eixos Ox e Oy que o determinam são os eixos cartesianos, sendo o eixo Ox o eixo das abscissas e Ou o eixo das ordenadas.

Um ponto pertencente ao eixo das abscissas tem ordenada nula. Se pertencente ao eixo das ordenadas tem abscissa nula, e na origem ambas as coordenadas são nulas, x = y = 0. Um ponto pertencente à bissetriz do 1º e 3º quadrantes tem coordenadas iguais e quando pertencente à bissetriz dos quadrantes pares tem coordenadas simétricas. b1,3 = {P(x, x) | x ∈ } b2,4 = {P(x, -x) | x ∈ }

xOy indica o sistema de eixos cartesianos ortogonais (ou ortogonais, ou retangulares). O ponto O é a origem do sistema.

QUADRANTES Os eixos cartesianos determinam 4 regiões distintas no plano cartesiano, os quadrantes.

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GEOMETRIA ANALÍTICA: COORDENADAS NO PLANO E NO ESPAÇO

DISTÂNCIA DE DOIS PONTOS

PONTO MÉDIO DO SEGMENTO

Sejam os pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) referidos num sistema de eixos cartesianos ortogonais. Procuremos a distância d entre dois pontos. Do triângulo ABC tiramos d  ( xB  x A )2  ( yB  y A )2

Sendo M(xM, yM) o ponto médio do segmento cujas extremidades são A(xA, yA) e B(xB, yB), tem-se:

xM 

x A  xB y  yB e yM  A 2 2

BARICENTRO O baricentro de um triângulo é o ponto de concurso de suas medianas. Ele divide cada mediana na razão 2:1.

RAZÃO DE SECÇÃO RAZÃO DE SECÇÃO DE UM SEGMENTO POR UM PONTO Sejam os pontosA ≠ B ≠ C colineares. Chamamos razão de secção do segmento AB pelo pontoC real r, razão entre as ao número  medidas algébricas dos segmentos AC e CB .

= r (= ABC)

AC CB

Tomemos A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC).

xG 

x A  xB  x C y  yB  y C , yG  A 3 3

PONTO NO ESPAÇO Dado um ponto P do espaço, sua posição fica determinada plenamente em relação ao sistema através de suas distâncias PF, PV e PH aos 3 panos coordenados ou pelas projeções destas distâncias sobre os eixos coordenados, respectivamente, AO, OB e OC. O feixe de paralelas A1A, C1C e B1B determina, sobre as retas AB e OY e o feixe de retas paralelas A2A, C2C e B2B, determina sobre as retas AB e OX segmentos proporcionais, então AC A1C1 x C  x A y C  y A . r    CB C1B1 xB  x C yB  y A Portanto as coordenadas (x, y) do ponto que divide o segmento compreendido por P1(x1, y1) e P2(x2, y2) segundo a razão r:

PP x  rx 2 y  ry 2 1 . = r são dadas pelas fórmulas: x  1 , y 1 PP2 1 r 1 r

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GEOMETRIA ANALÍTICA: COORDENADAS NO PLANO E NO ESPAÇO

AO = BH = CV=PF = x (abscissa)

Exercício Resolvido

OB = AH = CF = PV = y (ordenada) OC = BF = AV = PH = z (cota) As fórmulas vistas para o ponto no plano podem ser utilizadas no espaço, acrescentando mais uma coordenada.

DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS d  ( xB  x A )2  ( yB  y A )2  ( zB  z A )2

01. Calcule a área do triângulo ABC, dados A(1,-1) , B(7,5) e C(-2,6). Resolução: 1 1 1 7 5 1 1  (5  42  2  7  10  6)  . 60  30 u.a. Área (ABC) =  2 2 6 2 2 1 1

BARICENTRO xG 

x A  xB  x C y  yB  y C z z z , yG  A , zG  A B C 3 3 3

ÁREA DE UM TRIÂNGULO Dado um triângulo ABC, de vértices A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3 , y3), desejamos expressar sua área em função das coordenadas de A, B e C. Seja r a reta suporte do seguimento BC. A equação de r é dada por:

y

y

y

ÁREA DE POLÍGONOS Dado um polígono P qualquer, é possível uma divisão de P em triângulos. Exercício Resolvido

02. Calcule a área do pentágono ABCDE de vértices: A(3,0), B(1,2), C(-2,2), D(-8,-7) e E(6,-1). Resolução:

3

1

A B Área Área (ABCDE)  ABCDE= 

A

3 1

0 2

1 C 1 2 2 1 98    65  33   49u.aa. 2 D 2 8 7 2 2 E 6 1 A 3 0

B

2

x1

x3

x2 r

x x2

y 1 y2 1 = 0

x3

y3 1

A distância de A à reta r é: d( A, r ) 

Sejam os pontos P1(x1, y1) ≠ P2(x2, y2) e P3(x3, y3). Sabemos que os pontos P1 e P2 determinam a reta (r) da equação

(1)

x  x1 y  y1  x 2  x1 y 2  y1

| ax1  by1  c |

onde, de acordo com (1),

a2  b2

a = y2 – y3 ; b = x3 – x2 e c = x2y3 – x3y2. Assim,

d( A, r ) 

CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE 3 PONTOS

x1 y1 1 x2 y2 1 x3 y3 1 ( x 3  x 2 )2  ( y 2  y 3 )2

a área do triângulo ABC é igual a ( ABC) =

Para P3 pertencer à reta (r) é necessário coordenadas satisfaçam sua equação ⇒ x1 y1 x − x1 y 3 − y1 ou x2 y2 ⇒ 3 = x 2 − x1 y 2 − y1 x3 y3



ou

1 d( A, r ) . d(B, C) = 2

y 2 x1 y1 x1 y1     y3 x3 y3 x2 y2  x1 y1 1 x2 y2 ( ABC) = 2 x3 y3 x1 y1

= x1y2 + x2y3 + x3y1 – x2y1 – x3y2 – x1y3

x3 y3

1 1 =0 1

x1 =0 y1

EXERCÍCIOS DE

FIXAÇÃO

1  x2 desenvolvendo obtemos   2  x3

logo a área do triângulo ABC é igual à metade do valor absoluto do “determinante” acima e pode ser calculado da seguinte maneira:

x1 x 2 y1 y 2

e suficiente que suas

01. Sejam A e B os pontos (1, 1) e (5, 7) no plano. O ponto médio do segmento AB é: a) (3, 4)

d) (1, 7)

b) (4, 6)

e) (2, 3)

c)

(-4, -6)

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445

GEOMETRIA ANALÍTICA: COORDENADAS NO PLANO E NO ESPAÇO

02. (EEAR) Sejam A(-3, 3), B(3, 1), C(5, -3) e D(-1, -2) vértices de um quadrilátero convexo. A medida de uma de suas diagonais é:

03. Os pontos M (– 3, 1) e P (1, – 1) são equidistantes do ponto S (2, b). Desta forma, pode-se afirmar que b é um número:

a) 15

a) primo.

c)

b) múltiplo de 3.

d) irracional.

b) 13

c)

12

d) 10

03. (EEAR) O triângulo ABC formado pelos pontos A(7, 3), B(-4, 3) e C(-4, -2) é: a) escaleno

c)

equiângulo

b) isósceles

d) obtusângulo

04. (EEAR) Seja ABC um triângulo tal que A(1, 1), B(3, -1) e C(5, 3). O ponto é o baricentro desse triângulo. a) (2, 1)

b) (3, 3)

c)

(1, 3)

d) (3, 1)

05. (EEAR) Considere os pontos A(2 ,8) e B(8, 0). A distância entre eles é de:

14

a)

c)

b) 3 2

d) 10

3 7

06. (EEAR) Considere os segmentos de retas AB e CD, onde A(0, 10), B(2, 12), B(2, 12), C(-2, 3) e D(4, 3). O segmento MN, determinado pelos pontos médios dos segmentos AB e CD é dado pelos pontos M e N, pertencentes respectivamente a AB e a CD. Assinale a alternativa que corresponde corretamente a esses pontos. 1 a) M  , 1 e N(-1, 3) c) M(1, -2) e N(1, 3) 2  d) M(1, 11) e N(1, 3) b) M(-2, 10) e N(-1, 3) 07. (EEAR) O triângulo determinado pelos pontos A(-1, -3), B(2, 1) e C(4, 3) tem área igual a: a) 1

b) 2

c)

3

d) 6

08. (EFOMM) Calcule a área S do triângulo de vértices A(5, 7); B(2, 3); C(9, 2). Considerando o plano cartesiano, temos: a) 7,8

c)

19

b) 15,5

d) 30

e) 60,5

09. Em um paralelogramo, as coordenadas de três vértices consecutivos são, respectivamente, (1, 4), (–2, 6) e (0, 8). A soma das coordenadas do quarto vértice é: a) 8

c)

10

b) 9

d) 11

e) 12

a) 6

c)

8

b) 7

d) 9

e) 0

EXERCÍCIOS DE

TREINAMENTO 01. Se os pontos A(a, 2), B(b, 3) e C(-3, 0) estão alinhados, o valor de 3a – 2b é: a) 3

b) 5

c)

–3

d) – 5

a) 13

c)

b) 2√13

d) √13

a) 3

d) -2,5

b) 11

e) 5

c)

446

9

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26

e) √26

05. Seja AB um dos catetos de um triângulo retângulo e isósceles ABC, retângulo em A, com A(1; 1) e B(5; 1). Quais as coordenadas cartesianas do vértice C, sabendo que este vértice pertence ao primeiro quadrante? a) (5; 5)

c)

b) (1; 5)

d) (1; 4)

(4; 4)

e) (4; 5)

06. Seja ABC um triângulo tal que A(1, 1), B(3, –1) e C(5, 3). O ponto _____ é o baricentro desse triângulo. a) (2, 1)

b) (3, 3)

c)

(1, 3)

d) (3, 1)

07. Considere os segmentos de retas AB e CD A(0, 10), B(2, 12), C(2, 3) e D(4, 3). O segmento MN, determinado pelos pontos médios dos segmentos AB e CD é dado pelos pontos M e N, pertencentes respectivamente a AB a CD. Assinale a alternativa que corresponde corretamente a esses pontos. a) M(1/2 , 1) e N(-1, 3)

c)

b) M(-2, 10) e N(-1, 3)

d) M(1, 11) e N(1, 3)

M(1, -2) e N(1, 3)

08. O triângulo determinado pelos pontos A(-1, -3), B(2, 1) e C(4, 3) tem área igual a: a) 1

b) 2

c)

3

d) 6

09. Observando a figura, podemos afirmar que a medida da mediana AM é: A(2, 6) a) 2 2 b) 3 2

C(6, 4)

2 3 M

d) 3 3 B(4, 2)

e) 3

10. O valor de a para que os pontos A (-1, 3-a), B (3, a+1) e C (0, -1) sejam colineares é um número real: a) primo

c)

b) menor que 1

d) compreendido entre 2 e 5

positivo e par

11. No plano cartesiano, o triângulo de vértices A(1, -2), B(m, 4) e C(0, 6) é retângulo em A. O valor de m é igual a: a) 47

c)

b) 48

d) 50

49

e) 51

12. (FUVEST) Se (m + 2n, m - 4) e (2 - m, 2n) representam o mesmo ponto do plano cartesiano, então mn é igual a: a) -2

02. Dados três pontos colineares A(x, 8), B(-3, y) e M(3, 5), determine o valor de x + y, sabendo que M é ponto médio de AB:

e) maior que 7.

04. Um quadrado ABCD está contido completamente no 1º quadrante do sistema cartesiano. Os pontos A(5, 1) e B(8, 3) são vértices consecutivos desse quadrado. A distância entre o ponto A e o vértice C, oposto a ele, é:

c)

10. No plano cartesiano, M(3, 3), N(7, 3) e P(4, 0) são os pontos médios respectivamente dos lados AB , BC , e AC de um triângulo ABC. A abscissa do vértice C é:

divisor de 10.

b) 0

c)

1

d) 1/2

13. Sabendo que a mediana de Euler de um quadrilátero é o segmento que une os pontos médios de suas diagonais, o comprimento da mediana de Euler do quadrilátero ABCD de vértices A(1,1), B(-2,3), C(-2,3), C(-3,-4) e D(3,-1) é:

GEOMETRIA ANALÍTICA: COORDENADAS NO PLANO E NO ESPAÇO

a)

34 2

b)

34

c)

2 2

d)

2

e)

17

a)

14. (FUVEST) Sejam A = (1, 2) e B = (3, 2) dois pontos do plano cartesiano. Nesse plano, o segmento AC é obtido do segmento AB por uma rotação de 60°, no sentido anti-horário, em torno do ponto A. As coordenadas do ponto C são: a) (2, 2 + 3 ) b)

5  1 + 3,  2 

c)

(2, 1 + 3)

d) (2, 2 - 3 ) e) (1 + 3, 2 + 3)

15. Assinale o valor da área do quadrado de vértices (-2,9), (4,6), (1,0) e (-5,3). a) 20

c)

b) 25

d) 45

23. Um ponto está situado a igual distância dos pontos (3, 5) e (-2, 4), e a sua distância ao eixo dos y é o dobro da sua distância ao eixo dos x. Sabendo que esse ponto não está no primeiro quadrante, suas coordenadas são:

e)

45

 14 7   ,   11 11

b)  14 , − 7   11 11

c)

3 3( 2 a + b2 ) 4

b)

3( 2 a + b2 ) 4

d)

3 3( 2 a + b2 ) 2

c) d)

10

4

d) 12

e)

3

2

19. Seja d(P, Q) a distância entre os pontos P e Q. Considere A = (-1, 0) e B = (1, 0) pontos do plano. O número de pontos X = (x, y) tais que 1 1 = d(X,B) = d(X,A) d(A,B) é igual a: 2 2 a) 0 c) 2 e) 4 b) 1

d) 3

20. O ponto B = (3, b) é equidistante dos pontos A = (6, 0) e C = (0, 6). Logo o ponto B é: a) (3, 1)

c)

b) (3, 6)

d) (3, 2)

(3, 3)

e) (3, 0)

21. Seja (r) a reta que passa pelos pontos P1(-1, 0) e P2(0, 3). Considere M(n, q) um ponto de (r). Se a distância do ponto O(0, 0) ao ponto M 3 é cm, então q - n é igual a: 10 c) 6 a) 4 5 5 b) 1

d)

7 5

22. (AFA) Considere os pontos A(4, -2), B(2, 0) e todos os pontos P(x, y), sendo x e y números reais, tais que os segmentos PA e PB são catetos de um mesmo triângulo retângulo. É correto afirmar que, no plano cartesiano, os pontos P(x, y) são tais que: a) são equidistantes de C(2, -1) b) o maior valor de x é 3 + 2

c)

3( 2 a + b2 ) 2

25. Sejam A (0, 3), C(–2, 5) os vértices opostos de um quadrado. Encontre as coordenadas dos dois vértices restantes.

EXERCÍCIOS DE

18. Se os pontos A = (–1, 0), B = (1, 0) e C = (x, y) são vértices de um triângulo equilátero, então a distância entre A e C é: b) 2

e)

60

17. Quando representados no sistema de coordenadas xOy, o ponto B é o simétrico do ponto A(-3, 2) em relação à origem O; por sua vez, o ponto C é o simétrico de B em relação ao eixo x. Com base nessas informações, é CORRETO afirmar que a medida da área do triângulo ABC é igual a:

a) 1

 7 14   ,−  9  9

14 7 d)  , −  9  9

3( 2 a + b2 ) 4

COMBATE

b) Sabemos que a área do triângulo ABC é igual a 4 e que o vértice C pertence à reta de equação x + y = 2. Determine o ponto C.

c)

e)

a)

a) Qual é a distância entre A e B?

b) 9

 14 7  − ,   9 9

24. Um hexágono regular possui dois vértices opostos de coordenadas (a, -b) e (b, a). A área desse hexágono é:

16. Sejam os pontos A = (0,0) e B = (3,4).

a) 8

c)

o menor valor de y é -3

d) x pode ser nulo.

01. O jogo da velha tradicional consiste em um tabuleiro quadrado dividido em 9 partes, no qual dois jogadores, alternadamente, vão colocando peças (uma a cada jogada). Ganha o jogo aquele que alinhar, na horizontal, na vertical ou na diagonal, três de suas peças. Uma versão chamada JOGO DA VELHA DE DESCARTES, em homenagem ao criador da geometria analítica, René Descartes, consiste na construção de um subconjunto do plano cartesiano, no qual cada jogador, alternadamente, anota as coordenadas de um ponto do plano. Ganha o jogo aquele que primeiro alinhar três de seus pontos. A sequência abaixo é o registro da sequência das jogadas de uma partida entre dois jogadores iniciantes, em que um anotava suas jogadas com a cor preta e o outro, com a cor cinza. Eles desistiram da partida sem perceber que um deles havia ganhado. ((1, 1), (2, 3), (2, 2), (3, 3), (4, 3), (1, 3), (2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 2)) Com base nessas informações, é correto afirmar que o jogador que ganhou a partida foi o que anotava sua jogada com a cor a) cinza, em sua terceira jogada. c)

cinza, em sua quarta jogada.

b) preta, em sua terceira jogada. d) preta, em sua quarta jogada. 02. Ache as coordenadas do ponto de interseção das medianas do retângulo de vértices A(–1, 4, 7), B(4, 8, –3) e C(–6, 0, 5). 03. Determine a natureza do quadrilátero ABCD, sendo A(–2, 6), B(0, 2), C(4, 0) e D(2, 4). 04. Uma partícula se move de tal modo que as suas distâncias aos pontos (3, 4) e (5, –2) são sempre iguais. Determine a equação que descreve o lugar geométrico deste ponto. 05. A área de um quadrado que tem A = (4,8) e B = (–2,2) como vértices opostos é: a) 36

b) 20

c)

18

d) 16

06. (EEAR 2017) O triângulo ABC formado pelos pontos A(7,3), B(-4, 3) e C(-4, -2) é: a) escaleno. b) isósceles. c)

equiângulo.

d) obtusângulo.

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447

GEOMETRIA ANALÍTICA: COORDENADAS NO PLANO E NO ESPAÇO

07. Quando representados no sistema de coordenadas xOy, o ponto B é o simétrico do ponto A(-3,2) em relação à origem O; por sua vez, o ponto C é o simétrico de B em relação ao eixo x. Com base nessas informações, é CORRETO afirmar que a medida da área do triângulo ABC é igual a: a) 8

b) 9

c)

10

d) 12

08. (ITA 2012) Sejam A = (0, 0), B = (0, 6) e C = (4, 3) vértices de um triângulo. A distância do baricentro deste triângulo ao vértice A, em unidades de distância, é igual a: a)

5 3 97 3

b)

c)

109 3

d)

5 3

e)

10 3

09. (AFA) Considere no sistema cartesiano ortogonal o triângulo de vértices A(0,3), B(0,-2) e C(3,0). Neste triângulo ABC estão inscritos diversos retângulos com base no eixo das ordenadas. Em relação ao retângulo de maior área, é incorreto afirmar que o mesmo possui:

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 01. A

04. D

02. D

05. D

03. A

06. D

EXERCÍCIOS DE TREINAMENTO

10. C

07. A C x , 2 − x) 08.(B D 09. = AB = 4 2

05. B

6 − 3x − 4x = 8 → x = 2 14. A=A = 8→ 3 4 6 − 3x − 4x =−8 → x =− 15. D x 2− x 16. a) d = 5 b)CC(2, ou C − 2 7 ,16 7 ( 2,0 )0) ou 17. D

06. D

18. B

07. D

19. C

08. A

20. C

01. C 02. B 03. B

(

04. E

)

09. A

21. C

a) altura e base proporcionais a 3 e 5.

10. A

22. B

b) perímetro representado por um número inteiro.

11. C

23. D

c)

12. E

24. C

13. A

25. B(-2, 3) e C(0, 5)

área maior que 4.

d) área correspondente a 50% da área do triângulo ABC. 10. (IME 2017) Sejam os pontos A(0, 0), B(-1, 1), C(1, 2), D(4, 1) e E(3, 1/2). A reta r passa por A e corta o lado CD, dividindo o pentágono ABCDE em dois polígonos de mesma área. Determine a soma das coordenadas do ponto de interseção da reta r com a reta que liga C e D. a) b)

25 7 51 14

c) d)

26 7 27 7

e)

27 7

DESAFIO PRO 1 

(ITA) Três pontos de coordenadas, respectivamente, (0, 0), (b, 2b) e (5b, 0), com b > 0, são vértices de um retângulo. As coordenadas do quarto vértice são dadas por: a) (-b, -b) b) (2b, -b) c) (4b, -2b) d) (3b, -2b) e) (2b, -2b)

2 

(ITA) A área de um triângulo é de 4 unidades de superfície, sendo dois de seus vértices os pontos A:(2, 1) e B:(3, -2). Sabendo que o terceiro vértice encontra-se sobre o eixo das abcissas, pode-se afirmar que suas coordenadas são: a) (-1/2, 0) ou (5, 0) b) (-1/2, 0) ou (4, 0) c) (-1/3, 0) ou (5, 0) d) (-1/3, 0) ou (4, 0) e) (-1/5, 0) ou (3, 0)

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GABARITO

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EXERCÍCIOS DE COMBATE 01. A

04. DISCURSIVA 07. D

02. DISCURSIVA 05. A

08. B

03. DISCURSIVA 06. A

09. C

DESAFIO PRO 01. C ANOTAÇÕES

02. C

10. C