Exercicios - Matrizes e Determinantes - Professora Simone

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´tica - DMAT Universidade Federal da Bahia - Instituto de Matema ´ MAT A07 - Algebra Linear A - 2017/1 Exerc´ıcios de Matrizes e Determinantes Professora Simone Moraes

1. Considere as matrizes A, B, C, D e E com respectivas ordens, 4 × 3, 4 × 5, 3 × 5, 2 × 5 e 3 × 5. Determine quais das seguintes express˜oes matriciais s˜ao poss´ıveis e determine a respectiva ordem. (a) AE + B T ;

(b) C(DT + B);

(d) E T (CB).

(c) AC + B;

2. Determine as ordens das matrizes A, B, C, D e E, sabendo que: AB T tem ordem 5 × 3; 

1  −4 3. Seja a matriz A =   2 3

(C T + D)B tem ordem 4 × 6 e  −3 7 8 2 0 11 3 −6  , determine : −1 5 1 3  1 −4 0 7

E T C tem ordem 5 × 4.

(a) A ordem de A; (b) Os elementos a23 , a35 e a43 . 4. Sejam as matrizes A, B, C, D e E que verificam A · B · C · D · E = E · D · C · B · A, sabendo que C ´e uma matriz de ordem 3 × 2, quais s˜ao as ordens das outras quatro matrizes?     0 3 2 1 −1 3 2  −2 1 4   1 4 −3 , B =  5. Sejam as matrizes A =  0  −1 2 1  , C = A·B e D = B ·A. Determine 1 2 −1 5 4 3 1 os elementos c32 e d43 . 6. Determine a matriz quadrada, A = (aij ), de ordem 4 cujos elementos s˜ao dados por:   2i − 3j, se i < j i2 + 2j, se i = j aij =  −3i + 4j, se i > j. [ 7. Seja a matriz A = (a) A2 ;

] 2 −1 , determine: 3 −2

(b) A3 ;

(c) A31 ;

(d) A42 .

8. Determine n´ umeros reais x e y tais que ] [ ] [ 3 2 ] [ −x 3y 0 4 x y + = . y 2 x2 4y 2x 5 −1 9. Determine, em cada um dos casos abaixo, n´ umeros reais x, y e z tais que a matriz A seja sim´etrica.     [ ] 8 x + 3 −10 8 x2 + 3 −5 −2 x −5 −8 , −9 4 . (a) A = , (b) A =  15 (c) A =  7 4 1 y − 2 2z 9 y + x z + 3x 11 1

10. Considere as matrizes:       [ ] [ ] 3 0 1 5 2 6 1 3 4 −1 1 4 2 A =  −1 2 , B = ,C= , D =  −1 0 1 , E =  −1 1 2 . 0 2 3 1 5 1 1 3 2 4 4 1 3 Determine, se poss´ıvel: (a) 4E − 2D;

( )T ( )T (c) 2E T − 3DT ; (d) BAT − 2C ; ( ) (f) B T CC T − AT A ; (g) DT E T − (ED)T .

(b) 2AT + C;

(e) (−AC)T + 5DT ;

11. Sejam A e B matrizes em Mn (IR), se A · B = B · A, mostre que: (a) (A ± B)2 = A2 ± 2AB + B 2 ,

(b) (A − B)(A + B) = A2 − B 2 ,

(c) (A − B)(A2 + AB + B 2 ) = A3 − B 3 . 12. Dizemos que uma matriz quadrada A ´e ortogonal se, e somente se, A · AT = I. Determine: (a) Os poss´ıveis valores para o determinante de uma matriz ortogonal. (b) Quantas matrizes reais de ordem 2 s˜ao simultaneamente anti-sim´etricas e ortogonais. [ ] −1 0 13. Determine o n´ umero real x de modo que a matriz M = seja ortogonal. 0 x 14. Verifique quais das matrizes abaixo ´e ortogonal. [ A=

] 0 1 , 1 0

[ B=

] 1 −2 , 2 1

 C=

[ 15. Dado θ n´ umero real considere a matriz Tθ =

 1 3

√ 2 2 3

√ 2 2 3

− 31

 ,

] cos θ − sin θ . sin θ cos θ

√

3 3

√

3 3

  √ √  6 D =  − 36 6   √ 0 − 22

√

3 3

√

6 6

√

    .  

2 2

(a) Dados θ e ϕ em IR, mostre que Tθ · Tϕ = Tθ+ϕ . (b) Calcule T−θ . (c) Mostre que para todo n´ umero θ a matriz Tθ ´e ortogonal. 16. Utilizando as propriedades de tra¸co de uma matriz quadrada mostre que n˜ao existem A e B matrizes quadradas de ordem n tais que AB − BA = I. 17. Mostre que, se A ´e uma matriz m × n, ent˜ao os tra¸cos de A · AT e AT · A est˜ao definidos. Em seguida, mostre que tr (A · AT ) = tr (AT · A). 18. Mostre que se AT · A = A, ent˜ao A ´e sim´etrica e A = A2 . 19. Suponha que A ´e uma matriz quadrada e que D ´e uma matriz diagonal tal que A · D = I. O que se pode afirmar sobre a matriz A? Explique seu racioc´ınio. [ ] 1 30 3 20. Encontre uma matriz triangular superior tal que A = . 0 −8 21. Seja A uma matriz diagonal com a11 , a22 , · · · , ann todos n˜ao nulos, determine A−1 , a inversa de A, se existir.

2

22. Mostre que se A ´e invers´ıvel e A · B = A · C, ent˜ao B = C. ´ poss´ıvel ter A · B = I e B n˜ao ser a inversa de A? Justifique sua resposta! 23. E 24. Seja A uma matriz quadrada de ordem n, mostre que: (a) Se A satisfaz a igualdade A2 − 3A + I = 0, ent˜ao A−1 = 3I − A. (b) Se A ´e tal que An+1 = 0, ent˜ao (I − A)−1 = I + A + A2 + · · · + An . 25. Decida se a afirma¸c˜ao dada ´e (sempre) verdadeira ou (`as vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento l´ogico matem´atico ou um contra-exemplo. (a) ( ) Se a soma de matrizes AB + BA est´a definida, ent˜ao A e B devem ser matrizes quadradas. (b) ( ) Se AAT ´e uma matriz n˜ao invert´ıvel, ent˜ao A n˜ao ´e invert´ıvel. (c) ( ) Se A ´e invert´ıvel e AB = 0, ent˜ao necessariamente B ´e a matriz nula. (d) ( ) A soma de duas matrizes invert´ıveis ´e sempre uma matriz invert´ıvel. (e) ( ) Se A ´e uma matriz quadrada tal que A4 = 0, ent˜ao (I − A)−1 = I + A + A2 + A3 . 26. Supondo que A e B s˜ao matrizes quadradas de ordem n invert´ıveis, prove as seguintes igualdades: (a) (A−1 + B −1 )−1 = A(A + B)−1 B. (b) (I + AB)−1 A = A(I + BA)−1 . (c) (A + BB T )−1 B = A−1 B(I + B T A−1 B)−1 . 27. Seja A uma matriz quadrada de ordem 5, cujo determinante ´e igual a −3. (a) Calcule o determinante da matriz P dada por P = 4A−1 AT . (b) P ´e invert´ıvel? (c) Calcule o determinante da matriz B obtida de A ap´os serem realizadas as seguintes opera¸c˜oes: L3 ↔ L2 ; L1 → L1 + 2L5 ; L4 → −3L4 . (d) A matriz Q = A · AT ´e invert´ıvel?



 4 −5 3 2  −1 0 3 0  ; 28. Calcule o determinante da matriz A =   1 2 −1 3  2 1 0 4 (a) Teorema de Laplace (usando cofatores de uma linha ou de uma coluna de A). (b) Usando opera¸c˜oes elementares sobre as linhas de A.    1 −5 −1 2 −3 0 0 0  0   2 −3 4  3 −4 0 0 29. Dadas as matrizes A =  eB=  0   0 4 −2 2 2 −1 0 0 0 0 3 2 1 1 −2 (a) det(AB);

(b) A−1 ;

(c) B −1 ;

(d) (AB)−1 ;

(e) det C, sabendo que C · AT = 2B · C 2 .

3

   , determine: 

30. Seja Q uma matriz quadrada de ordem n tal que det Q ̸= 0 e Q3 + 2Q2 = 0n×n , calcule det Q.   1 5 −1 3  −1 2 −2 4  , determine: 31. Dada a matriz A =   6 7 3 −1  5 3 0 4 (a) det A utilizando as opera¸c˜oes elementares sobre as linhas de A; (b) det AT ;

(c) det A2 ;

(d) A−1 ;

(e) det −A;

32. Calcule os seguintes determinantes: 1+a 2 −1 b c 5 1+b c 9 −4 ; (b) a (a) 1 3 a b 1+c 0 0 4 −5 3 2 −1 0 3 0 (d) 2 −1 3 1 2 1 0 4

;

(e)

0 0 0 0 5



3 4 0

c −4 3 1 c2 ; (c) 2 4 c−1 2

;

0 0 0 −3 0 0 −4 0 0 −1 0 0 ; 2 0 0 0 0 0 1 0

33. Resolva as seguintes equa¸c˜oes: x 5 7 2 x−2 2x + 3 x − 1 6 (a) 0 x + 1 = 0; (b) 0 0 2x − 1 5 1   −2 2 3 34. Seja A =  −2 3 2 , determine x ∈ IR tal que −4 2 5 35. Calcule o determinante da matriz

(f) det(3AAT ).

(f)

5 0 0 0 0 0 0 0 0 −2

= 16; (c) x −1 3 1−x

0 0 3 0 0

0 0 0 −4 0 0 . 1 0 0 0

1 0 −3 = 2 x −6 1 3 x−5

.

det(xI − A) = 0.

0 0 0  0 0 a 23 A=  0 a32 a33 a41 a42 a43

 a14 a24  . a34  a44

Generalize o resultado para uma matriz A = (aij )n×n na qual aij = 0 sempre que i + j ≤ n. 36. Diz-se que uma matriz A ´e semelhante `a matriz B quando existe uma matriz invert´ıvel P tal que B = P AP −1 . (a) Mostre que se A ´e uma matriz semelhante a B ent˜ao B ´e semelhante a A. (b) Mostre que se A ´e semelhante a B e B ´e semelhante a C ent˜ao A ´e semelhante a C. (c) Prove que matrizes semelhantes tˆem o mesmo determinante. 37. Em cada caso verifique se A ´e invert´ıvel; determine cofA, a matriz co-fatora de A, e A−1 , a matriz inversa de A, se esta existir.     1 −2 3 cos θ sen θ 0 7 −1  ; (a) A =  6 (b) A =  −sen θ cos θ 0  ; −3 1 4 0 0 1 4



 0 1 1 1  1 1 1 1  2 2 2  (c) A =   2 1 1 0 ; 3 3 3 − 13 23 0 0



3 5 6  2 −1 0 (d) A =   4 0 0 5 2 −4

 0 0  . 0  3

38. Mostre que: (a) Uma matriz quadrada A ´e invert´ıvel se, e somente se, AT A ´e invert´ıvel. (b) Se A ´e invert´ıvel, ent˜ao adjA ´e invert´ıvel e (adjA)−1 =

1 A = adj(A−1 ). det A

(c) Se A ´e uma matriz quadrada de ordem n invert´ıvel, ent˜ao det(adjA) = (det A)n−1 . 39. Sem calcular diretamente, verifique que b+c a+c a+b a b c 1 1 1

= 0.

40. Nos casos abaixo, determine A−1 , utilizando opera¸c˜oes elementares, se esta existir.       1 0 0 0 −3 −6 −12 2 1 3  2 1 0 0   3 −3  . A= (c) A =  0 (a) A =  4 2 2  ;  3 2 1 0 ; −6 −9 24 2 5 3 4 3 2 1 41. Calcule o determinante da matriz abaixo e determine sua  0 0 0 1  0 0 0 0   −1 0 0 0 B=  0 0 0 0   0 −1 0 0 0 0 −1 0

inversa, se esta existir;  0 0 0 1   0 0  . 1 0   0 0  0 0

42. Decida se a afirma¸c˜ao dada ´e (sempre) verdadeira ou (`as vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento l´ogico matem´atico ou um contra-exemplo. (a) ( ) det(2A) = 2 det A. (b) ( ) det(I + A) = 1 + det A.

( ) (c) ( ) N˜ao existe matriz (real) quadrada A para a qual det AAT = −1.

(d) ( ) Se det(At A) = 4, ent˜ao det A = 2. (e) ( ) det(A + B) = det A + det B. (f) ( ) Se det A ̸= 0 e AB = 0, ent˜ao B ´e invert´ıvel. (g) ( ) Se A ∈ Mn×n (IR) e n ´e par, ent˜ao det A = det(−A). (h) ( ) Se A100 ´e invert´ıvel, ent˜ao 3A tamb´em o ´e. (i) ( ) Se AB = 0 e B ´e invert´ıvel, ent˜ao A ´e matriz nula.

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