D - Números complexos (Parte I)

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MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Frente: Matemática I

EAD – MEDICINA

Professor(a): Jorge Júnior

AULA 01

Assunto: Números Complexos (C) – Parte I

Resumo Teórico

d

Noções iniciais Qual o número natural que adicionado a 3 dá soma igual a 1? Podemos equacionar esse problema assim: 3 + x = 1, no qual o conjunto universo é U = N e o conjunto solução, S = ∅. Em N, o problema anterior não tem solução, mas considerando uma nova categoria de números, a dos números inteiros negativos, cuja união com os números naturais nos dá o conjunto dos números inteiros (Z), temos a solução x = –2. Assim, a equação 3 + x = 1, no qual o conjunto universo é U = Z, tem conjunto solução S = {–2}, ou seja, existe um número que somado com 3 é igual a 1, só não é natural. É inteiro. Qual o número racional cujo quadrado é igual a 2? Podemos equacionar esse problema assim: x2 = 2, onde o conjunto universo é U = Q e o conjunto solução, S = ∅.

1 d = 2 é irracional

1 Na época de Pitágoras, os números irracionais não eram conhecidos. Hoje, sabemos que os números reais são a união dos números racionais com os números irracionais (números com infinitas casas decimais sem repetição periódica como 2 = 1, 41421 ..., π = 3,141592... etc).

Qual o número real cujo quadrado é igual a –1? Podemos equacionar esse problema assim: x2 = –1, onde o conjunto universo é U = R e o conjunto solução, S = ∅. Em R, o problema anterior não tem solução, mas considerando uma nova categoria de números, a dos números imaginários, cuja união com os números reais nos dá o conjunto dos números complexos (C), temos a solução x =

−1 = i (unidade imaginária)

ou x = − 1 = − i.

Em Q, o problema anterior não tem solução, mas considerando os números irracionais, cuja união com os números racionais (Q) nos dá o conjunto dos números reais (R), temos as soluções

x = 2 ou x = − 2. Assim, a equação x2 = 2, na qual o conjunto universo é

{

}

U = R, tem conjunto solução S = − 2, 2 , ou seja, existe um número cujo quadrado é igual a 2, só não é racional (razão de dois inteiros), é irracional (quando representado na forma decimal, apresenta infinitas casas decimais sem repetição periódica; não existem dois inteiros cuja razão seja igual a 2). Durante muito tempo, acreditou-se que os números inteiros (ou razão de dois inteiros) eram suficientes para se representar todas as medidas da natureza, do nosso mundo real. Os pitagóricos (seita existente na Grécia no século VI a.C., cujo fundador foi Pitágoras) viam os números racionais (inteiros ou razão de dois inteiros) como verdadeiras divindades, haja vista a condenação de Hipaso (discípulo de Pitágoras) à morte por afogamento, por ter conjecturado que a simples medida da diagonal de um quadrado de lado igual a 1 não era inteira nem razão de dois inteiros (era irracional, existia no nosso mundo real, mas não era racional). F B O NLINE.COM.BR //////////////////

Assim, a equação x2 = 1, na qual o conjunto universo é U = , tem conjunto solução S = {– i, i}, isto é, existem números cujo quadrado é –1, só não são reais. São imaginários. Mal os matemáticos ocidentais haviam superado as dificuldades com os números negativos e irracionais, já se depararam com os números complexos, por volta do século XVI, por meio de trabalhos de vários matemáticos italianos, quando da descoberta da solução de equações cúbicas. Ao resolver a equação cúbica incompleta x3 – 15x – 4 = 0, o matemático bolonhês Rafael Bombelli (cerca de 1526-1573) obteve

x=

3

2+

−121 +

3

2 − −121, passando a operar com a raiz

quadrada de um número negativo Note:

(

)

–121 .

–121 = –1× (121) = 11 –1 = 11i .

Mais tarde, outros matemáticos também utilizaram o símbolo –1 e, a partir daí, os números complexos começaram a perder um pouco do caráter sobrenatural que tinham até então, mas só foram totalmente aceitos no século XIX.

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Módulo de Estudo Unidade imaginária

Assim, dado in, com n ∈ n, temos:

Introduzindo o elemento matemático denominado unidade imaginária, que será indicado pela letra i, tal que i = −1 ou i2 = − 1, a equação do 2º grau x2 – 10x + 40 = 0, que no conjunto dos reais

n

4

r

k

⇒ n = 4k + r

(R) não tem solução, passa a ter as soluções x = 5 ± −15, ou seja,

resto: 0, 1, 2 ou 3

x = 5 + 15 i ou x = 5 − 15 i, só não são reais. São raízes imaginárias,

pertencem ao conjunto (C – R), complementar dos números reais em

Daí, i = i

relação aos números complexos. Usando diagramas, podemos representar o conjunto dos números complexos (C) e seus principais subconjuntos assim:

(Z –

N 0 1 2

p

x=

–2 –3

4 ± – 32 4 4 2i 1 2 = ± ⇒x= ± i 2⋅4 2 2 8 8

0,010020003...

Note: 0,2 0,333...

r

 –b ± ∆  Usando a Fórmula de Báskara  x = , temos: 2a  

2

N)

–1

n

Solução:

(R – Q) Z

1, se r = 0 i, se r = 1 ⋅i ⇒i = i =  − 1, se r = 2  − i, se r = 3  1 r

Sendo U = C, resolva a seguinte equação do 2º grau: 4x 2 – 4x + 3 = 0.

Irracionais (R – Q)

(Q – Z)

=i

4k

Exemplo 1:

Complexos (C) Racionais (Q)

4k + r

n

– 32 = 24 ⋅ 2 ⋅ (–1) = 4 ⋅ 2 ⋅ –1 = 4 2 i

 1  2

1 2

Resposta: S =  −

1444444444444442444444444444443 Reais (R)

2 1 2  i; + i 2 2 2 

Exemplo 2:

Imaginários (C – R)

• i =

Sendo i a unidade imaginária, i 2 = –1, calcule a soma S = i + i2 + i3 + i4 + i5 + ... + i2007.

−1 • −i = − −1

• 5 + 15i

Solução:

• 5 − 15i

Observando que 2007 = 4 501 1⋅2 3 + 3, temos: 2004

S = (i + i + i + i + i + ... + i ) + (i2005 + i2006 + i2007 ) S = (i + i2 + i3 + i4 ) + (i + i2 + i3 + i4 ) + ... + (i + i2 + i3 + i4 ) + (i + i2 + i3 ) S = (1 i −4 12 − i4 +3 1) + (1 i −4 12 − i4 +3 1) + ... + (1 i −4 12 − i4 +3 1) + (12 i4 − 14 −3i) 2

Potências de base i = – 1 Observe os seguintes resultados, onde se tem i2 = –1:

3

zero

∴ = S = −1

Nesses resultados, nota-se, facilmente, que as potências de base i e expoentes múltiplos de 4 são todas iguais a 1. Veja:



i0 = i4 = i8 = i12 = i16 = … = i4k = (i4)k = (1)k = 1, onde k ∈ N.

Resposta: 28

//////////////////

5

2004

zero

• i0 = 1 • i1 = i • i2 = –1 • i3 = i2 ⋅ i = (–1) ⋅ i = –i • i4 = i3 ⋅ i = (–i) ⋅ i = –i2 = –(–1) = 1 • i5 = i4 ⋅ i = 1 ⋅ i = i • i6 = i4 ⋅ i2 = 1 ⋅ (–1) = –1 • i7 = i4 ⋅ i3 = 1 ⋅ (–i) = –i • i8 = (i4)2 = 12 = 1 • i9 = i8 ⋅ i = 1 ⋅ i = i • i10 = i8 ⋅ i2 = 1 ⋅ (–1) = –1 • i11 = i8 ⋅ i3 = 1 ⋅ (–i) = –i

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4

zero

−1

Resposta: –1 Exemplo 3: Se x é uma raiz da equação x 2 + 1 = 0, calcule S = x4 + x8 + x12 + x16 + … + x112. Solução: I. x2 + 1 = 0 ⇒ x2 = –1 II. S = (x2)2 + (x2)4 + (x2)6 + … + (x2)56 S = (–1)2 + (–1)4 + (–1)6 + … + (–1)56 S = [(–1)21]1 + [(–1)2]2 + [(–1)2]3 + ... + [(–1)2]28

S = (1 1+44 1+ 2 1+44 ... +3 1) ⇒ S = 28 28 vezes

2

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Módulo de Estudo Definição de números complexos

Observação 2:

O conjunto C dos pares ordenados (x; y), no qual x ∈ R e y ∈ R, será denominado conjunto dos números complexos.

Todo número complexo Z = (x, y) = x + yi apresenta um único oposto w = (–x, –y) = –x – yi = –(x + yi) = – (x, y). De fato, dados Z = (x, y) e w = (a, b), tais que Z + w = 0’, na qual 0’ = (0, 0), temos: x + a = 0 a = − x   ( x + a; y + b) = (0, 0) ⇒  e ⇒ e y + b = 0 b = − y

Em símbolos: Z ∈ C ⇔ Z = ( x, y ), sendo x ∈ R e y ∈ R . O número complexo Z = (x, y) também pode ser representado na forma algébrica Z = x + yi. O primeiro elemento do par ordenado (x) chama-se parte real ou componente real do número complexo Z, e indica-se por Re(Z) = x. O segundo elemento do par ordenado (y) chama-se parte imaginária ou componente imaginário, e indica-se por Im(Z) = y.

Daí, w = (–x, –y) = –x – yi

Multiplicação de números complexos

Assim, por exemplo, são considerados números complexos:

Sendo Z1 = (x1, y1) e Z2 = (x2, y2), em que Z1, Z2 ∈ C, definimos a multiplicação em C do seguinte modo: (x1; y1) ⋅ (x2; y2) = (x1x2 – y1y2; x1y2 + x2y1)

• Z = (0, 2) ou Z = 0 + 2i = 2i (número imaginário puro). • Z = (2, 0) ou Z = 2 + 0 × i = 2 (número real). • Z = (2, 2) ou Z = 2 + 2i (número imaginário).

ou

• Z = (–1, 5) ou Z = –1 + 5i.

(x1 + y1i) ⋅ (x2 + y2i) = (x1x2 – y1y2) + (x1y2 + x2y1)i

Propriedades dos números complexos

Note: y1y2i2 = y1y2 ⋅ (–1) = – y1y2 é real

Igualdade de números complexos

Exemplo 1:

Por tratar-se de pares ordenados, dois números complexos são iguais se têm, respectivamente, os mesmos componentes:

Dados Z1 = (2, 3), Z2 = (–3, –4), calcule:

(a, b) = (c, d) ⇔ a = c e b = d

Z1 ⋅ Z2 = (2, 3) ⋅ (–3, –4) = (–6 + 12; –8 – 9) = (6, –17)

123

a + bi = c + di ⇔

a) Z1 ⋅ Z2

a = c (partes reais iguais) b = d (partes imaginárias iguais)

ou (2 +3i) ⋅ (–3 – 4i) = (–6 + 12) + (–8i – 9i) = 6 – 17i

Adição de números complexos

–12i2 = –12(–1) = 12

Sendo dados Z1 = (x1, y1) e Z2 = (x2, y2), por definição, temos: b) Z21

Z1 + Z2 = (x2 + x2; y1 + y2)

Z1 ⋅ Z1 = (2, 3) ⋅ (2, 3) = (4 – 9; 6 + 6) = (–5, 12)

ou (x1 + yii) + (x2 + y2i) = (x1 + x2) + (y1 + y2)i Soma das partes reais

ou

Soma das partes imaginárias

(2 + 3i) (2 + 3i) = (4 – 9) + (6i + 6i) = –5 + 12i

Exemplos:

9i2 = 9(–1) = –9

a) (–5, 2) + (3, 1) = (–2, 3)

c) Z22

ou (–5 + 2i) + (3 + i) = (–5 + 3) + (2 + 1)i = –2 + 3i

Z2 ⋅ Z2 = (–3, –4) ⋅ (–3, –4) = (9 – 16; 12 + 12) = (–7; 24)

b) (1, –3) + (2, –2) = (3, –5)

ou

ou

(–3 – 4i) ⋅ (–3 – 4i) = (9 – 16) + (12i + 12i) = –7 + 24i

(1 – 3i) + (2 – 2i) = (1 + 2) + (–3 – 2)i = 3 – 5i

+ 16i2 = –16 Observação 1:

Exemplo 2:

O número complexo O’ = (0, 0) = 0 + 0i é o elemento neutro da adição de números complexos. De fato, para qualquer Z = (x, y) ∈ C, temos Z + 0’ = 0’ + Z = Z.

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Dados Z = (x, 2) e w = (3, –2), em que Z, w ∈ C, determine x e Z de modo que Z ⋅ w seja: a) real. b) imaginário puro.

3

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Módulo de Estudo Solução: Daí: Z ⋅ w = (x + 2i) (3 – 2i) ⇒ Z ⋅ w = (3x + 4) + (–2x + 6) i 123 123 Re(Zw)

Im(Zw)

{

xx 0 − yy 0 = 1 xx 0 − yy 0 = 1 ⇒ xy 0 + yx 0 = 0 yx 0 + xy 0 = 0

Como x2 + y2 ≠ 0, resolvendo o sistema, obtemos:

Então, devemos ter:

x 1 −y y 0 x x ⇒ x0 = 2 x0 = e y0 = x −y x x + y2 y x y

a) –2x + 6 = 0 ⇒ x = 3 ⇒ Z = (3, 2) = 3 + 2i b) 3x + 4 = 0 e –2x + 6 ≠ 0 ⇒ x =

{

−4  − 4 e − 2 +6≠0⇒  3  3

1 0 −y ⇒ y0 = 2 −y x + y2 x

 x −y  Logo, para todo Z = (x, y) ≠ (0, 0), existe Z −1=  2 2 ; 2 2  ,  x +y x +y 

 −4  −4 , 2 = + 2i ⇒Z=  3  3

tais que Z ⋅ Z–1 = Z–1 ⋅ Z = (1, 0), em que Z, Z–1 ∈ C.

Resposta: a) x = 3 e Z = 3 + 2i b) x =

–

−4 −4 eZ= + 2i 3 3

Conjugado de um número complexo Z

Exemplo 3:

Chamaremos de conjugado do número complexo Z = (x, y) = x + yi, e denotaremos por Z o número complexo da forma Z = (x, –y) = x – yi.

Dados Z1 = 3 – 4i e Z2 = (5, y), em que Z1, Z2 ∈ C, calcule y para que se tenha Z1 – 2(Z2)2 = (–45, 16)

Exemplos:

Solução:

b) Z = (–2, –1) = –2 – i ⇒ Z = (–2, 1) = –2 + i

a) Z = (–3, 0) = –3 ⇒ Z = (–3, –0) = –3 c) Z = (0, –4) = –4i ⇒ Z = (0, 4) = 4i

3 – 4i – 2 ⋅ (5 + yi)2 = – 45 + 16i ⇒ 3 – 4i – 2 ⋅ (25 + 10yi + y2i2) = = – 45 + 16i.

d) Z = (5, 5) = 5 + 5i ⇒ Z = (5, –5) = 5 – 5i Dados os números complexos Z = (x, y) = x + yi e Z = (x, –y) = x – yi, saiba que:

Daí: (3 – 50 + 2y2) + (–4 – 20y)i = –45 + 16i

• Z e Z são ditos conjugados;

Observando a igualdade de números complexos (pares ordenados), devemos ter, ao mesmo tempo:

• o conjugado de um número real é o próprio número real.

I. – 47 + 2y2 = – 45 ⇒ y2 = 1 ⇒ y = 1 ou y = –1

Veja: Z = (x, 0) = x é real e Z = (x, –0) = (x, 0) = Z, isto é, se Z = (x, 0), então, Z = Z = Re(Z) = Re( Z ).

II. – 4 – 20y = 16 ⇒ y = 1

Re( Z ) = Re( Z ) = x •  Im( Z ) = − Im( Z ) = y

Assim, y = 1 satisfaz as duas igualdades simultaneamente. Resposta: y = 1

Propriedades dos números complexos conjugados

Observação 1:

Dados Z = x + yi e Z = x – yi, em que Z, Z ∈ C, isto é, x, y ∈ R, valem as propriedades:

O número complexo w = (1, 0) = 1 é o elemento neutro da multiplicação de números complexos. De fato, para qualquer Z = (x, y) = x + yi ∈ C, temos que:

Z+Z = x = Re( Z ), ∀Z ∈ C . P1) 2 ↓ para todo (ou qualquer que seja)

w ⋅ Z = Z ⋅ w = (x – 0; y + 0) = (x, y) = Z.

Z+Z = y = Im( Z ), ∀Z ∈ C . P2) 2i

Observação 2: Para qualquer número complexo Z = (x, y) = x + yi ≠ (0, 0), existe o inverso multiplicativo w = Z–1, tal que:

P3) Z ⋅ Z = x 2 + y 2, isto é, Z ⋅ Z real não negativo, ∀Z ∈ C. P4) Z1 + Z2 = Z1 + Z2 , ∀Z1, Z2 ∈ C (o conjugado da soma é a soma dos conjugados).

Z ⋅ Z–1 = Z–1 ⋅ Z = (1, 0) = 1. De fato, sendo w = Z–1 = (x0, y0) ≠ (0, 0), tal que:

De fato, se Z1 = a + bi e Z2 = c + di, temos:

(x, y) ⋅ (x0, y0) = (1, 0) ou (x0, y0) · ( x, y) = (1, 0), temos:

• Z1 + Z2 = (a + c) + (b + d)i ⇒ Z1 + Z2 = (a + c) – (b + d)i

(xx0 – yy0; xy0 + yx0) = (1, 0)

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• Z1 + Z2 = (a – bi) + (c – di) ⇒ Z1 + Z2 = (a + c) – (b + d)i 4

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Módulo de Estudo P5) Z1 ⋅ Z2 = Z1 ⋅ Z2 , ∀Z1, Z2 ∈ C (o conjugado do produto é o produto dos conjugados).

De fato: Z ( x1x 2 + y1y 2 ; − x1y 2 + y1x 2 • 1 = Z2 x 22 + y 22

De fato, se Z1 = (a, b) e Z2 = (c, d), temos: • Z1 ⋅ Z2 = (ac – bd; ad + bc) = (ac – bd; –ad – bc)

=

• Z1 ⋅ Z2 = (a, −b) ⋅ (c, −d) ⇒ Z1 ⋅ Z2 = (ac − bd; −ad − bc )

Divisão de números complexos (forma algébrica)

•

Z1 Z Z2 = 1 · , temos: Z2 Z2 Z2

Z1 ( x1 − y1i) ( x 2 + y 2i) = = ⋅ x 2 − y 2i ( x 2 + y 2i) Z2 =

Z1 ( x1; y1) ⋅ ( x 2 ; − y 2 ) = ( x1x 2 + y1y 2 ; − x1y 2 + y1x 2 ) . = x 22 + y 22 Z2 ( x 2 ; y 2 ) ⋅ ( x 2 ; − y 2 )

x1x 2 + y1y 2  x1y 2 − y1x 2  i + 2 x 22 + y 22  x 2 + y 22 

Exemplo 2:

Exemplo 1: Dados Z1 = (–2, 3) e Z2 = (1, 4), onde Z1, Z2 ∈ C, calcule:

seja:

a)

x1x 2 + y1y 2  x y − y1x 2  −  1 22 i ∴ x 22 + y 22  x 2 + y 22 

 x y − y1x 2  x x + y1y 2 Z  ∴  1  = 1 22 i +  1 22  Z2  x 2 + y 22  x 2 + y 22 

Sejam Z1 = x1 + y1i e Z2 = x2 + y2i, onde Z1, Z2 ∈ C e Z2 ≠ (0, 0). Observando que

Determine m ∈ R, para que o número complexo Z =

Z1 Z2

a) real.

Z1 ( −2 + 3i) (1− 4i) ( −2 + 12) + (8i + 3i) ⋅ = ⇒ = Z2 (1+ 4i) (1− 4i) 1+ 16 − 4i + 4i

Solução:

⇒

Temos: Z =

Z1 10 11i  10 11 = + = ,  Z2 17 17  17 17 

(2 + i) ⋅ (1 − mi) = (2 + m) + ( −2m + 1) i ⇒ 1 + m2 (1 + mi) (1 − mi)

⇒Z=

1 Z1



b)



Z2 Z1 Z2 Z1 ⇒



a)

−2 3 1  −2 −3 ⇒ = Z1−1 = − i= ,  13 13  Z1 13 13

c)

2+m −2m + 1 + i 1 + m2 1 + m2

Então, devemos ter:

−2 − 3i 1 1 Z1 1 ( −2 − 3i) = ⋅ ⇒ = ⋅ = Z1 Z1 Z1 ( −2 + 3i) ( −2 − 3i) 4 + 9 + 6i − 6i



2+i 1 + mi

b) imaginário puro.

b)

)=

− 2m + 1 1 = 0 ⇒ − 2m + 1 = 0 ⇒ m = 2 1+ m 2 −2 ( −2) + 1 2+m −2m + 1 ≠0 =0e ≠ 0 ⇒ m = −2 e 2 1 + m2 1 + m2 1 + ( −2)

Resposta: = Z2 Z1

(1 + 4i)

( −2 + 3i) ( −2 − 3i) ( −2 + 3i) =

⋅

=

( −2 − 12) + (3i − 8i) ⇒

a) m =

4 + 9 − 6i + 6i

b) m = –2

−14 5  −14 −5  i= − ,  13 13  13 13

Exemplo 3: Nos complexos, a raiz quadrada do número complexo Z são os números complexos da forma Zk = x + yi, tais que (Zk)2 = Z, em que K ∈ {0, 1}. Calcule, em C, as raízes quadradas de –9.

Observação: Dados os números complexos Z1 = x1 + y1i e Z2 = x2 + y2i ≠ (0,0), vale a propriedade:

Solução:

 Z1  Z1 (O conjugado do quociente é o quociente dos  Z  = Z2 2

Queremos Zk = x + yi, em que x, y ∈ R, tais que: (x + yi)2 = –9 + 0i ⇒ (x2 – y2) + 2xyi = –9 + 0i

conjugados)

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1 2

5

F B O N L I NE .C O M . B R //////////////////

Módulo de Estudo E, da igualdade de números complexos (pares ordenados), temos, simultaneamente:

2+i um número complexo. Calcule o valor de a de a + 2i modo que Z seja:

04. Seja Z =

x 2 − y 2 = − 9 2xy = 0 

A) real. B) imaginário puro.

Daí: 05. (UPF - Adaptado) Sendo Z o conjugado do número complexo Z, e i a unidade imaginária, o número complexo Z, tal que 5Z + Z = 12 + 16i, é igual a:

 y = 3 ⇒ Z0 = 0 + 3i = (0, 3) x = 0 ⇒ − y 2 = − 9 ⇒ ou   y = − 3 ⇒ Z1 = 0 − 3i = (0, − 3)    2xy = 0 ⇒ ou y = 0 ⇒ x 2 = − 9 ⇒ x ∉ R   

A) –2 + 2i B) 2 – 3i C) 3 + 1 D) 2 + 4i E) 1 + 2i 06. (IFCE) Sendo i a unidade imaginária tal que i2 = –1, são dados os números complexos z1 = 9 + 3i e z2 = –2 + i. Ao calcular corretamente o produto z1 · z2, obtemos o número A) 21 – 6i B) –18 – 6i C) –18 + 3i D) 18 – 3i E) –21 + 3i

Logo, as raízes quadradas de –9 são 3i e –3i. Note: (± 3i)2 = –9

Exercícios

07. (EEAR) Sabe-se que os números complexos

01. Sendo i = −1 , as raízes complexas da equação x2 – x + 1 = 0 são iguais a: A) −

3 1 3 1 − i e − + i 2 2 2 2

B) −

3 1 3 1 − i e + i 2 2 2 2

C)

D)

08. (Uepa) Um dos resultados importantes da produção de conhecimentos reside na possibilidade que temos de fazer a interação de múltiplos saberes. O conceito de número complexo é um bom exemplo dessa possibilidade exploratória da produção científica, ao permitir relações com álgebra, geometria plana, geometria analítica, trigonometria, séries e aritmética. Neste sentido, considere os números complexos z1 = 2 + 2 · i, z2 = 5 – 6 · i, z3 = – 4 + 18 · i e os números reais k1 e k2, tais que a soma dos números complexos k1z1 e k2z2 resulta o complexo z3. Nestas condições, o valor de k1k2 é: A) 9 B) 8 C) 1

1 3 1 3 − i e − + i 2 2 2 2

1 3 1 3 − i e + i 2 2 2 2

02. (Uece) Os números complexos z1 = p + qi e z2 = m + ni são as raízes não reais da equação x3 – 1 = 0. O resultado numérico da expressão |p| + |q| + |m| + |n| é: A) 2 +

3

B) 3 +

2

C) 1 +

2

D) 1 +

3

Z1 = [2m (3 + m)] + (3n + 5)i e Z2 = (2m2 + 12) + [4(n + 1)]i são iguais. Então, os valores de m e n são, respectivamente: A) 3 e 1 B) 2 e 1 C) 2 e –1 D) 3 e –1

D)

1 8

E)

1 9 2

A) i + 1 B) 4i – 1 C) –6i – 1 D) –6i F B O NLINE.COM.BR //////////////////

3

4

n

09. ( U VA ) S e S = i0 + i10 + i10 + i10 + i10 + ... + i10 , o n d e i = (unidade imaginária), então S é igual a: A) –1 B) n – 1 C) n D) n – 2

03. Se i é o número complexo cujo quadrado igual a –1, então, o valor de 5 · i227 + i6 – i13 é igual a

6

−1

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Módulo de Estudo 10. (UEPB) O produto dos números complexos (3 – i) (x + 2yi) é um número real quando o ponto P(x, y) está sobre a reta de equação: A) 6x + y = 0 B) 6x – y = 0 C) x + 6y = 0 D) 6y – x = 0 E) 3y – x =

Anotações

1+ ai , onde a a−i é um número real e i é a unidade imaginária, isto é, i2 = – 1. O valor de z2016 é igual a:

11. (Unicamp) Considere o número complexo z =

A) a2016 B) 1 C) 1 + 2016i D) i 12. O valor do número real m, de modo que a expressão

3 + 2i + mi18 2 + mi

seja um número real, no qual i é a unidade imaginária, pertence ao intervalo: A) [0, 1[ B) [1, 2[ C) [2, 3[ D) [3, 4] 1 + itg α 13. Reduzindo o número complexo à forma algébrica, 1 − itg α obtemos: A) cos (2a) + i ⋅ sen (2a) B) – cos (2a) + i ⋅ sen (2a) C) cos (2a) – i ⋅ sen (2a) D) cos a + i ⋅ sen a

14. (FGV) Sendo i a unidade imaginária, então (1 + i)20 – (1 – i)20 é igual a: A) – 1024 B) – 1024i C) 0 D) 1024 E) 1024i 15. (Uece) O conjugado, Z , do número complexo Z = x + iy, com x e y números reais, é definido por Z = x – iy. Identificando o número complexo Z = x + iy com o ponto (x, y) no plano cartesiano, podemos afirmar corretamente que o conjunto dos números complexos Z que satisfazem a relação Z Z + Z + Z = 0 estão sobre A) uma reta. B) uma circunferência. C) uma parábola. D) uma elipse.

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F B O N L I NE .C O M . B R //////////////////

Módulo de Estudo Resoluções

2a + 2 II. Z é imaginário puro → 2 = 0 → 2a + 2 = 0 → a = –1 → a +4 −5 Z= ⋅i = − i 5

01. Para a equação dada, temos que:

Resposta: A) a = 4 B) a = – 1

∆ = 1 − 4 = 3 ⋅ ( −1) = 3 i x=

1± 3 i 2

Assim, as raízes são: z1 =

05. Sendo Z = a + bi, onde a e b são reais, temos que Z = a − bi. Logo, a = 2 5 (a + bi) + (a − bi) = 12 + 16i ⇒ 6a + 4bi = 12 + 16i ⇒  b = 4 Portanto, Z = 2 + 4i

1 3 1 3 + i e z2 = − i 2 2 2 2

Resposta: D

02. Observando o produto notável (A – B) (A2 + AB + B2) = A3 – B3, temos que: x3 – 1 = 0 ⇒



(x – 1) (x2 + x + 1) = 0

Resposta: D

06. Lembrando que i2 = –1, temos que:

Daí,

(9 + 3i) ⋅ ( −2 + i) = −18 + 9i − 6i + 3i

2

x – 1 = 0 ⇒ x = 1 (raiz real)

= −18 + 3i + 3 ⋅ ( −1)

ou x2 + x + 1= 0 ⇒ x =

3i −1± −3 −1± 3 ⋅ −1 −1 ⇒x= ⇒x= ± 2 2 2 2

= −21+ 3i



Assim, as raízes não reais (imaginárias) da equação são:





 2m × (3 + m) = 2m2 + 12 ⇒ 6m = 12 ⇒ m = 2

Z1 = Z2 ⇒ 

1 2 e, portanto, 3 2

3n + 5 = 4 × (n + 1) ⇒ 3n + 5 = 4n + 4 ⇒ n = 1



1 3 p + q + m + n ⇒ 2⋅ + 2⋅ = 1+ 3 2 2

08. Temos que: k1z1 + k2z2 = z3 → k1(2 + 2 · i) + k2(5 – 6 · i) = – 4 + 18 · i → → (2k1 + 5k2) + (2k1 – 6k2) · i = – 4 + 18 · i

03. Lembre-se que:

i0 = 1; i1 = i; i2 = –1, i3 = –i e para n ≥ 4 temos que in = ir, onde r é o resto da divisão de n por 4.



Daí, dividindo-se 227, 6 e 13 por 4, obtemos restos respectivamente iguais a 3, 2 e 1. Daí, ficamos com:



5∙i227 + i6 – i13 = 5 ∙ i3 + i2 – i1



As partes reais e as partes imaginárias devem ser, respectivamente, iguais. Daí, obtemos: 2k1 + 5k 2 = − 4 2k1 − 6k 2 = 18

{

Subtraindo membro a membro, encontramos: 11k2 = – 22 → k2 = – 2 → k1 = 3.

= 5 ∙ (–i) + (–1) – i

Portanto,

= – 6i – 1

k1k2 = 3−2 =

Resposta: C

1 . 9

Resposta: E

04.



Portanto, m = 2 e n = 1

Resposta: B

Resposta: D



Resposta: E

07. Como Z1 = Z2, as suas partes reais devem ser iguais, bem como as imaginárias. Daí, temos:

1 3i 1 3i z1 = − + e z2 = − − 2 2 2 2   p = m = Daí,  q = n = 



Z=

(n +21) (2 + i) ⋅ (a − 2i) a +termos; a) das divisões por 4 de + a)i (09. 2a +A2soma ) + ( −S4apresenta 2 ( −os 4 +restos 2+i 2a − 4i + ai − 2i2 n+ Z = ..., →1000, →Z= →Z= ⋅i →Z= 1022 = 100, 103 = 2 2 2 10 são 2todos iguais a zero; e o resto (a + 2i)(a − 2i) a + 2i a +4 a +4 a +4 a − 4i da divisão de 10 por 4 é 2. Daí, temos: S = i0 + i2 + (i0 + i0 + i0 + ... + i0), em um total de (n + 1) termos. S = i0 + i2 + (n – 1) · i0 S = 1 + (–1) + (n – 1) · 1 S=n–1

(2a + 2) + ( −4 + a)i 2a + 2 ( −4 + a) 4i + ai − 2i2 →Z= 2 + ⋅i →Z= a2 + 4 a + 4 a2 + 4 a2 − 4i2 I. Z é real →

−4 +a 10 1 = =0 →–4+a=0→a=4→ Z= a2 + 4 20 2

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Resposta: B

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Módulo de Estudo 14.

10. Efetuando o produto, obtemos:

(1+ i)20 − (1 − i)20 = [(1+ i)2 ]10 − [(1 − i)2 ]10 = = [1+2i + i2 ]10 − [1 − 2i + i2 ]10 = = [2i]10 − [−2i]10 = = 1024i10 − 1024i10 = =0

(3 – i)(x + 2yi) = 3x + 6yi – ix – 2yi2 = (3x + 2y) + (6y – x)i

E para que o complexo (3x + 2y) + (6y – x)i seja real, sua parte imaginária deve ser nula, ou seja, devemos ter: 6y – x = 0 (equação da reta pedida)





Resposta: D

15. Temos que:

11. Temos que:

ZZ + Z + Z = 0 ( x + yi) ⋅ ( x − yi) + x + yi + x − yi = 0 x 2 − y 2i2 + 2x = 0 x 2 + y 2 + 2x = 0 ( x 2 + 2x ) + y 2 = 0 ( x + 1)2 + ( y − 0)2 = 12

1+ ai 1+ ai a + i I. z = = ⋅ a−i a−i a+i Z=

a + i + a2i − a a2 + 1

Z=

i(1+ a2 ) =i a2 + 1

[Equação de uma circunferência de centro (–1, 0) e raio = 1]

II. z2016 = i2016 = i0 = 1

Resposta: C



Resposta: B

Resposta: B

12. O resto da divisão de 18 por 4 é 2. Daí, temos:

E=

3 + 2i (3 + 2i) ⋅ (2 − mi) 6 − 3mi + 4i − 2mi2 (6 + 2m) + ( −3m + 4 )i −m→E = + m ⋅ i18 → E = −m→ + m ⋅ i2 → E = 2 + mi (2 + mi) ⋅ (2 − mi) 4 − m2i2 4 + m2

6 − 3mi + 4i − 2mi2 − mi) (6 + 2m) + ( −3m + 4 )i −m→ −m→E = + m ⋅ i2 → E = 4 − m2i2 4 + m2 − mi)  6 + 2m   −3m + 4  →E =  − m +  i  4 + m2   4 + m2 

Assim, E será real se: −3m + 4 4 = 0 → −3m + 4 = 0 → m = = 1, 33... ∈ [1, 2[ 4 + m2 3 13.

Resposta: B sen α (cos α + i ⋅ sen α )(cos α + i ⋅ sen α ) cos α + i ⋅ sen α cos2 α + i ⋅ 2 cos α ⋅ sen α − sen2 α cos α E= →E= →E= →E = sen α cos2 α − i2 ⋅ sen2 α cos α − i ⋅ sen α (cos α − i ⋅ sen α )(cos α + i ⋅ sen α ) 1− i ⋅ cos α 1+ i ⋅

(cos α + i ⋅ sen α )(cos α + i ⋅ sen α ) cos2 α + i ⋅ 2 cos α ⋅ sen α − sen2 α α + i ⋅ sen α →E= →E= (cos α − i ⋅ sen α )(cos α + i ⋅ sen α ) cos2 α − i2 ⋅ sen2 α α − i ⋅ sen α

cos2 α + i ⋅ 2 cos α ⋅ sen α − sen2 α α + i ⋅ sen α ) →E= cos2 α − i2 ⋅ sen2 α α + i ⋅ sen α ) E=

(cos2 α − sen2 α ) + i ⋅ (2 sen α ⋅ cos α ) → E = cos(2α ) + i ⋅ sen(2α) cos2 α + sen2 α

Resposta: A SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: JORGE JÚNIOR DIG.: REJANE – 11/12/17 – REV.: LUCELENA

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