Um guia de tecnicas para calcular integrais

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Canal Matemática Aplicada e Métodos Computacionais

Fábio Freitas Ferreira

Carlos André Costa Alonso

Fábio Freitas Ferreira Carlos André Costa Alonso

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Canal Matemática Aplicada e Métodos Computacionais

UM GUIA DE TÉCNICAS PARA CALCULAR INTEGRAIS

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Fábio Freitas Ferreira Carlos André Costa Alonso

Canal Matemática Aplicada e Métodos Computacionais

Publicado em Janeiro de 2021

Tabla de Contenido

Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1

Integrais diretas

5

1.2

Substituição simples

7

1.3

Integração por partes

8

1.4

Substituição Trigonométrica

9

1.5

Frações Parciais

9

1.6

Formulas de Recorrência

11

1.7

Identidades Trigonométricas

12

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1

1. Integral

Z b

Z

Se

f (x)dx = F(x) então

f (x)dx = F(b) − F(a)

a

Dentre as técnicas que existem, as primeiras são as integrais diretas, aquelas que não necessitam aplicar técnicas intermediárias.

1.1

Integrais diretas As integrais diretas são obtidas por meio de antiderivação, que pode ser deduzida de forma direta ou utilizando outras técnicas mais elaboradas, como integração por partes ou substituição trigonométrica, que não compõem o nosso objetivo inicial realizar tais deduções. Fábio Freitas Ferreira Carlos André Costa Alonso

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Apesar do cálculo de integral ser um conceito intuitivo, que envolve o cálculo de área, existem várias técnicas para o cálculo da mesma. Primeiramente distingui-se as integrais indefinidas das definidas. Neste e-book iremos apresentar as diversas técnicas para o cálculo da integral indefinida. Para o cálculo da integral definida deve-se usar as mesmas técnicas, porém sabendo aplicar o teorema fundamental do cálculo, ie,

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6

Integrais diretas Z

Z

dx = x + c

Z

Z

Z

dx = ln |x| + c x

u

Z

u

e dx = e + c

Z

cos x dx = sen x + c

Z

Z

cotg x dx = ln |sen x| + c

cossec x dx = ln |cossec x − cotg x| + c

Z

Z

cossec2 x dx = −cotg x + c

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ln x dx = x(ln x − 1) + c

sen x dx = − cos x + c

tg x dx = ln | sec x| + c

sec x dx = ln | sec x + tg x| + c

Z

sec x tg x dx = sec x + c

Z

cossec x cotg x dx = −cossec x + c

Z

xn+1 +c n+1

Z

sec2 x dx = tg x + c

dx x 2 + a2

=

1 x arctg + c a a

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Z

xn dx =

1.2 Substituição simples

7

Integrais diretas Z

Z

dx

√ x 2 − a2

Z

Z

p dx √ = ln |x + x2 + a2 | + c x 2 + a2

Z

p = ln |x + x2 − a2 | + c

dx x √ = arcsen + c 2 2 a a −x

dx

x 1 √ = arcsec + c 2 2 a a x x −a

Substituição simples Integrais que aparecem na forma Z

0

f (g(x)) · g (x)dx

podem ser resolvidas por uma substituição simples. Esta técnica se baseia na regra da cadeia para derivadas. 0 Na prática, deve-se fazer u = g(x), de modo que du = g (x)dx. Assim, Z

0

f (g(x)) · g (x)dx =

Z

f (u)du = F(u) + c

em que F(u) é a primitiva de f (u) e c uma constante arbitrária. Para obter a solução da integral original, basta fazer F(u) + c = F(g(x)) + c Porém, é extremamente importante achar função composta u = g(x) corretamente. No caso de integral definida, tem-se Z b a

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0

f (g(x)) · g (x)dx =

Z u(b)

f (u)du u(a)

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1.2

dx 1 x − a ln = +c x2 − a2 2a x + a

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8

1.3

Integração por partes No estudo de integrais serão encontradas integrais na forma Z

0

f (x) · g (x)dx 0

Para integrar por partes é preciso identificar o termo f (x) e g (x). O primeiro termo pode ser identificado pela regra LIATE, que será apresentada mais adiante. Sendo assim, a integração por partes, é dada por Z

0

f (x) · g (x)dx = f (x) · g(x) −

Z

0

g(x) · f (x)dx

Z

u dv = uv −

Z

v du

A ideia é escolher u e dv de modo que se obtenha uma nova integral mais simples de calcular do que a integral original. Para isso, aplica-se a técnica LIATE. Esta técnica permite uma escolha eficaz de u e dv. Porém, mesmo com esta técnica, pode acontecer de aplicar a integração por partes vezes sucessivas para se chegar na solução. Para cada nova integral a ser resolvida, aplica-se a técnica LIATE. A regra LIATE ajudará na escolha de u. O termo u deverá ser escolhido na ordem: função logarítmica, funções inversas trigonométricas, funções algébricas ou polinomial, funções trigonométricas, e por último, funções exponenciais. Fábio Freitas Ferreira Carlos André Costa Alonso

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0

Propondo duas mudanças de variáveis, isto é, u = f (x) e du = f (x)dx, e v = g(x) 0 e dv = g (x)dx, tem-se

1.4 Substituição Trigonométrica

1.4

9

Substituição Trigonométrica A substituição trigonométrica consiste em substituir integrais contendo radicais, por funções trigonométricas. Este método é utilizado quando aparece alguns termos que podem ser obtidos da relação trigonométrica num triângulo retângulo. Daí o nome de substituição trigonométrica. Na seguir é apresentada as substituições √ √ tabela a√ 2 2 2 2 2 2 para quando aparecem os termos a − u , u − a e u + a . Substituição Trigonométrica p p a2 − u2 → u = a sen θ → a2 − u2 = a cos θ

p p u2 + a2 → u = a tg θ → u2 + a2 = a sec θ

1.5

Frações Parciais p(x)

A técnica de frações parciais será utilizada quando a função for da forma f (x) = q(x) . Existem quatro casos recorrentes desta expressão. O objetivo inicial é decompor a função racional em uma soma de funções racionais mais simples de ser integradas. Fábio Freitas Ferreira Carlos André Costa Alonso

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p p u2 − a2 → u = a sec θ → u2 − a2 = a tg θ

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10

O primeiro caso é quando aparece o fator ax +b, a e b constantes, no denominador. Daí, f (x) pode ser fatorada conforme aparece na primeira linha da tabela. No caso 2, o termo ax + b, com a e b constantes, tem multiplicidade n, então f (x) por ser fatorado conforme a segunda linha da tabela. O terceiro caso será utilizado quando aparecer os termos do tipo x − ai e quadráticos irredutíveis, isto é, da forma x2 + bx + c. Logo, f (x) pode ser fatorada conforme a terceira linha da tabela. O quarto e último caso acontece quando os termos quadráticos irredutíveis, da forma x2 + bx + c, tem multiplicidade n. Logo, f (x) pode ser fatorada como uma soma dos dois primeiros casos mais o apresentado na última linha da tabela. Frações Parciais

q(x) = (x − a1 )(x − a2 ) . . . (x − an )

q(x) = (x − a1 )n

Fatoração

f (x) =

f (x) =

A1 A2 Ai + +· · ·+ n n−1 (x − a1 ) (x − a2 ) (x − ai )

q(x) = (x − a1 )(x2 + bx + c)

q(x) = (x − a1 )(x2 + bx + c)n

A1 A2 An + +···+ x − a1 x − a2 x − an

f (x) = ? +

f (x) = ? +

Cx + D x2 + bx + c

C1 x + D1 2 (x + bx + c)n

+···+

Cn x + Dn x2 + bx + c

Para otimizar a escrita, utilizou-se o termo ? que pode ser os casos 1 ou 2. Na integração por frações parciais ainda se faz necessário determinar os valores de todos os coeficientes que aparecem na fatoração de f (x), como A1 , An , C1 , Cn , D1 , Dn , e tantos outros que aparecerem. Após a determinação destes coeficientes, substitui-se a fatoração de f (x) na integral e resolve-a utilizando as técnicas já mencionadas. Fábio Freitas Ferreira Carlos André Costa Alonso

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Denominador

1.6 Formulas de Recorrência

1.6

11

Formulas de Recorrência As fórmulas de recorrência, como o próprio nome sugere, são aquelas definidas em função de termos anteriores. Para resolver estas integrais diretamente usa-se a integração por partes. Porém, o que se observa é que aparecerá uma integral da mesma função com um expoente menor, tendendo a 0. Logo, deve-se resolver a integral sucessivas vezes, sempre diminuindo o expoente, e no termo final, aplica-se todos os resultados na fórmula. Formulas de Recorrência Z

Z

cosn−1 xsen x n − 1 cos x dx = + x n n

Z

Z

Z

Z

senn−1 x cos x n − 1 + x n

tgn x dx =

tgn−1 x − n−1

Z

cotgn−1 x cotg x dx = − − n−1 n

secn x dx =

Z

Z

senn−2 x dx

cosn−2 x dx

tgn−2 x dx

Z

cotgn−2 x dx

secn−2 x tg x n − 2 + n−1 n−1

Z

secn−2 x dx

cossecn−2 x cotg x n − 2 cossec x dx = − + n−1 n−1 n

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Z

cossecn−2 x dx

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senn x dx = −

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12

1.7

Identidades Trigonométricas

Em vários momentos do estudo de cálculo diferencial e integral é necessário recorrer a identidades trigonométricas. São identidades que facilitam o cálculo de integrais quando substituídos de forma conveniente.

Identidades Trigonométricas

1 + tg2 x = sec2 x

1 + cotg2 x = cossec2 x

sen2 x =

1 − cos2 x 2

cos2 x =

1 + cos2 x 2

sen 2x = 2 sen x cos x

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sen2 x + cos2 x = 1

1.7 Identidades Trigonométricas

13

Identidades Trigonométricas 2 sen x cos y = sen(x − y) + sen(x + y)

2 sen x sen y = cos(x − y) − cos(x + y)

2 cos x cos y = cos(x − y) + cos(x + y)

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π 1 ± sen x = 1 ± cos( − x) 2