Integrais Impróprias - Cálculo II

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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DA PARAÍBA DIRETORIA DE ENSINO CURSO:ENGENHARIA ELÉTRICA DISCIPLINA: CÁLCULO II PROFESSOR: JUAREZ AIRES ALUNO(A): PERÍODO:2011.2 MATRÍCULA: 3ª Lista de Exercícios 1) Determine se a integral converge ou diverge. Caso convirja, calcule o seu valor: 

a)



1 x4 / 3

 (x  1) 1

b)

dx

 (5  2x) dx 1

x

f)



i)



( x 2  1)

j)

dx

9

e

g)

dx



 1 sen x cos x

ln x dx x

o)

2

dx

x

2

dx

h)



1



p)

e x dx

 

1 2



dx

dx

0

4

m)

dx



xe  x dx 2





1

2

0

 2x

x

l)

3

1

 1 x x

2





3/4

0

0

1

n)

4



x

d)

dx



x





1

1



2

e)

3

x

c)

dx



1





0



xe

x

dx

q)

0



x  18 2

x  x  12

dx

4

2) Determine se a primeira integral converge comparando-a com a segunda: 

a)

 (x



1 4

 1)

dx

,

1



4

dx

b)

1



c)

x



1



,

2

3 2

2



1 dx ln x





1 x 1

dx

2



1 dx x

d)

2

 1



,

1 3 2

dx

x



e  x dx 2

,



e  x dx

1

3) A Transformada de Fourier é útil para resolver certas equações diferenciais. A Transformada de Fourier do cosseno de Fourier de uma função f é definida por 

FC [ f ( x )] 



f ( x ) cos(sx)dx , para todo número real s para o qual a integral imprópria seja

0

convergente. Ache FC [e ax ] , para a>0.

4) Na teoria das equações diferenciais, se f é uma função, então a transformada de Laplace 

de f é definida por: L[ f ( x )] 



f ( x )e  sx dx , para todo número real s para o qual a integral

0

imprópria seja convergente. Ache L[f(x)] para cada função dada: a) f ( x)  1

b) f ( x)  x

c) f ( x )  cosax

d) f ( x)  sen x

e) f ( x)  sen(ax )



5) A função Gama  é definida como: (n) 



x n 1e  x dx , para todo real positivo n.

0

a) Determine (1), (2) e (3)

b) Prove que (n  1)  n(n)

6) Determine se as integrais dadas convergem ou não. Caso convirjam, determine os seus valores: 8

a)

 0 1

e)

1 3x



e x



1

2 4

n)

x

1

b)

dx



f)

x

dx

c)

1

dx

g)

3 x 1



j)

dx

1 dx x

l)

 5x  4



o)



x

h)

dx x 1 2

 (x  1) dx 1

3

2 /2

x ln( x )dx

m)



tgxdx

0

4

 1 cos dx x x 1

p)

2

1

2

sec 2 ( x )dx

0 2

0

2

dx





d)

1 1

1

x2



x  2 5 / 4 dx

2 2

0 2

4  x2

2

2

3 1

x

0 0

i)

dx

/2

1

1

x

1 2

 4x  3

dx

0

7) Determine se a primeira integral converge ou diverge, comparando-a com a segunda integral: 

a)





sen x x

dx



;

0 2

c)



/4

1 x

dx

b)

0

0 1

2

cosh x ( x  2) 2

0

dx

;





1 ( x  2) 2

dx

d)

0



/4

sec x x3

dx



;

1 x3

dx

0

e x x2 / 3

2

dx

;

0



1 x2 / 3

dx

0

8) Atribua, se possível, um valor para a área da região R e o volume do sólido gerado pela revolução de R em torno do eixo-x:



b) R  x, y  : x  1 e 0  y  1/ x

a) R  x, y  : x  1 e 0  y  1/ x



c) R  x, y  : x  4 e 0  y  x  3 / 2







d) R  x, y  : x  8 e 0  y  x  2 / 3



9) Atribua, se possível, um valor à área da região R e ao volume do sólido gerado pela revolução de R em torno do eixo x:



a) R  x, y  : 0  x  1 e 0  y  1/ x





b) R  x, y  : 0  x  1 e 0  y  1/ 3 x

c) R  x, y  : 4  x  4 e 0  y  1/( x  4)

d) R  x, y  : 1  x  2 e 0  y  1/( x  1)

10) Determine as integrais: 

a)



(e

2x



2

ex



x dx b) 2 ( x  1)2

dx

a )

2 3/2

c)



1 dx ( e  e x ) x



0

0



11) Calcule

 ax

1 2



 bx  c

dx , supondo que a  0 e que   b 2  4ac  0 .

Respostas b) –1/2

1) a) 3

l) 3  8

j) D 2) a) C

b) D

1 s

b)

4) a)

6) a) 6 j) D

n) D

c) D

d) C c)

2

c) D

l) –1/4

m) D

b) D

e) D o) ln(2)/2 3)

s 2

s a

d)

2

e) 2(e – 1)

d) D n) D

c) D

o) D

g) 1/2

p) 1 a

h) 1

i) D

q) D

s2  a2

1 2

s 1

e)

a 2

s  a2

c) a = 1 ; V =  32

g) D

h) D

i)  2

p) D

b) A não é possível ; V não é possível d) A não é possível ; 3 2 b) a = 3/2 ; V = 3 

9) a) A = 2 ; V impossível c) A impossível ; V impossível  1  1  1  a 2  1  a 2 

f) –3/2

d) C

8) a) A: não é possível ; V= 

10) a)

f)0

b) sugestão: faça u  xn e integre por partes

b) D

7) a) C

d) D

m) 0

1 s

5) a)1 , 1, 2

c) D

b) D

d) A: impossível ; V: impossível c)  2



11)

2 4ac  b 2

Bibliografia: SWOKOWSKI, Earl W., Cálculo com Geometria Analítica – volume 1, São Paulo –SP: Makron Books. THOMAS. George B. Cálculo – volume 1. São Paulo - SP: Addison Wesley