Sol. Ángulos y Prop. circunferencia

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Bloque 33

Guía: Ángulos y proporcionalidad en la circunferencia

SGUICEG054EM33-A17V1

TABLA DE CORRECCIÓN ÁNGULOS Y PROPORCIONALIDAD EN LA CIRCUNFERENCIA N° Clave

Habilidad

Dificultad estimada

1

D

Comprensión

Fácil

2

C

Aplicación

Difícil

3

A

Aplicación

Fácil

4

D

Aplicación

Media

5

A

Aplicación

Media

6

E

ASE

Media

7

B

ASE

Media

8

C

ASE

Difícil

9

A

ASE

Media

10

A

ASE

Media

11

B

Comprensión

Difícil

12

B

Aplicación

Difícil

13

E

Aplicación

Media

14

E

Aplicación

Media

15

C

ASE

Difícil

16

D

Aplicación

Media

17

E

Aplicación

Difícil

18

A

Aplicación

Fácil

19

B

ASE

Difícil

20

C

ASE

Difícil

21

E

Aplicación

Media

22

E

Aplicación

Media

23

D

ASE

Difícil

24

D

ASE

Media

25

D

ASE

Difícil

1. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad

Circunferencia Comprensión

A) Verdadero. Se tiene que dos rectas paralelas cortadas por una transversal, los ángulos alternos internos son iguales. En este caso ACB = CAD = α. B) Verdadero. Ya que se cumple que el ángulo inscrito mide la mitad de lo que mide el arco que intercepta. En este caso el arco AB y el arco CD miden 2α. C) Verdadero. Ya que se cumple que el ángulo inscrito mide la mitad de lo que mide el arco que intercepta. En este caso el arco AB mide 2α y el ángulo ACB, α. D) Falso. Esto sería verdadero sólo en el caso de que AC fuera diámetro. E) Verdadero. Si AC es diámetro, se cumple que ΔACB  ΔCAD , luego el lado AD es congruente con el lado BC.

2. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad

Circunferencia Aplicación

Como α : β : γ = 1 : 2 : 3, se cumple que β = 2α y γ = 3α. Además se tiene que γ = 60°, ya que un ángulo inscrito en la circunferencia mide la mitad de lo que mide el ángulo del centro que intercepta el mismo arco. Por lo que se tiene que 3α = 60°, es decir, α = 20° y β =40°. Si se traza un segmento OC, se forma un triángulo BOC isósceles en O, cuyos ángulos basales miden β = 40°, por lo que se deduce que COB  100 . Luego, como la medida angular de un arco es la medida del ángulo del centro que lo intercepta, se tiene que el arco CB mide 100°.

3. La alternativa correcta es A. Unidad temática Habilidad

Circunferencia Aplicación

Como ABC es un triángulo equilátero, se tiene que los arcos PQ, QR y RP son congruentes, por lo tanto de medida 120°. Luego el doble del arco PQ es 240°.

4. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad

Circunferencia Aplicación

Se tiene que la suma de todas las medidas de los arcos es 360°, luego (3x + 20) + (2x + 110) + (7x – 10 ) = 360  12x + 120 = 360  12x = 240  x = 20 Como el ángulo β está inscrito a la circunferencia, éste mide la mitad del arco que intercepta, es decir (3x  20) 80 β   40 . 2 2

5. La alternativa correcta es A. Unidad temática Habilidad

Circunferencia Aplicación

Como el segmento CB es diámetro, se tiene que el arco BC mide 180°. Además como la medida del ángulo formado por una secante y una tangente equivale a la semidiferencia de los arcos que intercepta, 180  x y considerando la medida del arco PB = x se tiene que 60   120  180  x  x = 60° 2 Por lo que el arco PB mide (360 – 60)° = 300°

6. La alternativa correcta es E. Unidad temática Habilidad

Circunferencia ASE

arcoAB 5  , entonces arco AB = 5k y arco CD = 2k, con k una constante de proporcionalidad. arcoCD 2 Dado que α es un ángulo exterior, entonces su medida se calcula como arcoAB  arcoCD 5k  2k 3k    , y dado que β es un ángulo interior, entonces su medida se 2 2 2 arcoAB  arcoCD 5k  2k 7k   calcula como   . Luego: 2 2 2

Como

I) Verdadera, ya que si β = 35°  35 

7k 2  35 3k 3  10  10 . Entonces,     15 .  k 2 7 2 2

II) Verdadera, ya que si α = 30°  30 

7k 7  20 2  30 3k  k   20 . Entonces,    70 2 3 2 2

III) Verdadera, ya que si α = β – 30°  β – α = 30°  k

7k 3k 4k   30   30  2 2 2

2  30  15 4

Entonces,  

3k 3  15   22,5 . 2 2

Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas.

7. La alternativa correcta es B Unidad temática Habilidad

Circunferencia ASE

Como BE es diámetro se tiene que los arcos EB y BE miden 180° cada uno. Analizando el arco EB y considerando que el arco ED y DC miden x°, se tiene que 80  2 x  180  2 x  100  x  50 Analizando el arco BE, se tiene que el arco AE mide (180 – 50)° = 130°. Luego la medida del ángulo APE, formado por dos secantes a una circunferencia, es equivalente a la 130  50 80 semidiferencia de los arcos que intercepta:   40 2 2

8. La alternativa correcta es C Unidad temática Habilidad

Circunferencia ASE

Como AB es diámetro y la medida del ángulo formado por dos secantes a una circunferencia equivale a la semidiferencia de los arcos que intercepta, y considerando la medida del arco PQ igual a x se tiene 180  x que: α   2α 180  x  x = 2  180 2 Además se sabe que: 20  α  30   40  2α  60  140  180  2α  120 De lo que se deduce que a todos los posibles valores para la medida del arco QP están entre 120° y 140°.

9. La alternativa correcta es A Unidad temática Habilidad I)

Circunferencia ASE

Verdadera, ya que como PQ // AB Si se traza un segmento, por ejemplo, PB se cumple que los ángulos formados, QPB y ABP son congruentes, luego como estos ángulos son inscritos, los arcos AP y QB, miden el doble, siendo éstos congruentes entre sí.

II)

Falso, ya que si bien el triángulo ARB es isósceles en R, para que fuera rectángulo, el punto R debería pertenecer a la circunferencia, así el ángulo BRA mediría 90°, ya que todo ángulo inscrito que subtiende a una circunferencia es recto.

III) Falsa, ya que los ángulos homólogos no son correspondidos. Por lo tanto, solo I es verdadera.

10. La alternativa correcta es A Unidad temática Habilidad

Circunferencia ASE

(1) AB es diámetro de la circunferencia. Con esta información, se puede determinar que el ACB es recto, ya que todo ángulo inscrito que subtiende una semicircunferencia es recto. (2) AC  CB . Con esta información, no se puede determinar que ACB es recto, ya que hay infinitos valores para el ángulo ACB para los cuales AC  CB . Por lo tanto, la respuesta correcta es: (1) por sí sola.

11. La alternativa correcta es B. Unidad temática Habilidad

Geometría de proporción Comprensión

Como QR = m y RT = k, entonces QT = (m + k). Además, si el radio de la circunferencia es x, entonces PS = 2x, ST = x y PT = 3x. Según el teorema de las secantes, en la figura se cumple:

ST·PT = RT·QT  x·3x = k·(m + k)  x2 =

k  (m  k )  x= 3

Por lo tanto, la expresión que representa la medida de PS es

k  (m  k ) 3

4k  ( m  k ) 3

12. La alternativa correcta es B. Unidad temática Habilidad

Geometría de proporción Aplicación

Como O es el centro de la circunferencia de diámetro 1, entonces AC y DB son diámetros de la 1 circunferencia. Luego, AO = DO = . Además, si N es el punto medio de AO , entonces AN = NO = 2 AO 1 1 1 3  y NC = (NO + OC) =     . 2 4 4 2 4 Dado que el triángulo NOD es rectángulo en O, y los catetos miden DO = hipotenusa mide DN = NO  5 

1 1 y NO = , entonces la 2 4

5 . Según el teorema de las cuerdas, se puede plantear 4

DN  NM  AN  NC .

Reemplazando los valores conocidos queda NM =

4 1 3 3    = 5 4 4 4 5

5 1 3  NM   , que al despejar resulta 4 4 4

 3 5  3 5  3 5      4 5  5    4  5   20 .    

13. La alternativa correcta es E. Unidad temática Habilidad

Geometría de proporción Aplicación

Si el diámetro de la circunferencia mide 20 cm, entonces el radio mide 10 cm. Luego, como la distancia del centro a la cuerda es 6 cm, entonces la cuerda divide al diámetro en un segmento superior de 16 cm y un segmento inferior de 4 cm. Además, como la cuerda y el diámetro son perpendiculares, entonces la cuerda queda dividida en dos  CD  segmentos de igual medida  .  2 

Por lo tanto, según el teorema de las cuerdas, se cumple que 2

CD CD CD  CD  · = 16·4   = 8  CD = 16 cm  = 64  2 2 2  2 

14. La alternativa correcta es E. Unidad temática Habilidad

Geometría de proporción Aplicación

Como PR = (x + 5) cm y PT = 4 cm, entonces TR = (x + 5 – 4) = (x + 1) cm y como QS = (x + 7) cm y TS = 3 cm, entonces QT = (x + 7 – 3) = (x + 4) cm. Según el teorema de las cuerdas, en la figura se cumple: PT·TR = QT·TS  4·(x + 1) = (x + 4)·3  4x + 4 = 3x + 12  x = 8 Por lo tanto, el segmento TR mide (x + 1) = 9 cm.

15. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad

Geometría de proporción ASE

R

Como el triángulo PQR isósceles en R, entonces al trazar el diámetro desde R este coincide con la altura sobre la base, o sea cae perpendicularmente sobre el punto medio de la base. Aplicando el teorema de Pitágoras, 2

2

5 3 RS  PR 2  PS 2        2 2

5 2

P 25 9 16    42 4 4 4

5 2

2 3 2

S T

Según el teorema de las cuerdas en la circunferencia, se puede plantear RS  ST  PS  SQ . Al reemplazar los valores conocidos queda 2·ST =

3 3  9  9 · . Luego, ST =   . 2 2  24  8

9  25  Por lo tanto, el diámetro de la circunferencia mide RT = (RS + ST) =  2    . 8 8 

3 2

Q

16. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad

Geometría de proporción Aplicación

Como BP es secante a la circunferencia de centro O y radio R, y CP = 4, entonces BP = (BC + CP) = (2R + 4). Además, como D es punto medio de AP , entonces AD = DP =

AP . 2

Entonces, es posible plantear el teorema de las secantes, resultando que AP  DP  BP  CP . AP = (2R + 4) · 4, que al despejar resulta 2 AP² = (2R + 4)·8 = (R + 2)·16. Aplicando raíz cuadrada resulta AP = 4 R  2 .

Al reemplazar los valores conocidos queda AP·

17. La alternativa correcta es E. Unidad temática Habilidad

Geometría de proporción Aplicación

Dado que A y D están en el contorno de la circunferencia, entonces, CQ  PB . Como AD = 9 y la

95 cuerda QP mide 5, entonces CQ = PB =    2 . Luego, CP = (CQ + QP) = (2 + 5) = 7.  2  Según el teorema de las secantes en la circunferencia, se puede plantear DC  RC  CP  CQ . Al reemplazar los valores conocidos queda 10 · RC = 7 · 2, que al despejar resulta RC =

7  43  Por lo tanto, la cuerda DR mide (DC – RC) = 10    cm. 5 5 

14 7  . 10 5

18. La alternativa correcta es A. Unidad temática Habilidad

Geometría de proporción Aplicación

Según el teorema de las cuerdas, en la figura se cumple: 3,4  2,5 DE·EB = AE·EC  3·EB = 3,4·2,5  EB = = 2,8333… 3 Por lo tanto, el valor más cercano a la medida de EB es 2,83

19. La alternativa correcta es B. Unidad temática Habilidad

Geometría de proporción ASE

Como el triángulo PQR es rectángulo en R, entonces PQ es diámetro de la circunferencia. Luego, PQ = 10 y PR = RQ =

PQ 10   5. 2 2

Dado que Q es el punto medio de RT , entonces RQ = QT = 5 y RT = 2 5 . Como  PRQ = 90°, entonces el triángulo PTR es rectángulo en R. Luego, aplicando el teorema de Pitágoras, PT =

PR 2  RT 2  ( 5 )2  (2 5 )2  5  20  25  5 .

Según el teorema de las secantes en la circunferencia, se puede plantear RT  QT  PT  ST . Al reemplazar los valores conocidos queda 2 5 · 5 = 5 · ST. Por lo tanto, la medida del segmento ST es

25 = 2. 5

20. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad

Geometría de proporción ASE

Como O es el centro de la circunferencia, entonces MN es un diámetro. Aplicando el teorema de las secantes se puede plantear ST  RT  NT  MT . Luego:

(1) El radio de la circunferencia mide 5. Con esta información y la del enunciado, no se puede determinar la medida de ST , ya que MN = 10, por lo cual MT = (MN + NT) = (10 + 6) = 16, pero no se sabe el valor de RT , por lo cual queda una ecuación con dos incógnitas. (2) S es el punto medio de RT . Con esta información y la del enunciado, no se puede determinar la medida de ST , ya que se sabe que RT = 2 · ST, pero no se sabe el valor de MT , por lo cual queda una ecuación con dos incógnitas. Con ambas informaciones, se puede determinar la medida de ST , ya que se sabe que MT = 16, NT = 6 y RT = 2·ST. Reemplazando en la relación ST  RT  NT  MT resulta ST·2·ST = 6·16, que al despejar queda ST² = 48. Entonces ST =

48 .

Por lo tanto, la respuesta es: Ambas juntas.

21. La alternativa correcta es E. Unidad temática Habilidad

Geometría de proporción Aplicación

Como el triángulo FGH es tangente en G a la semicircunferencia de diámetro FG , entonces FG  GH . Luego, el triángulo FGH es rectángulo en G, lo que permite concluir por trío pitagórico que FH = 5.

Según el teorema de la secante con la tangente en la circunferencia, cuando éstas se intersectan en un punto exterior, el producto del segmento exterior por el segmento completo en la secante es igual al 2

cuadrado de la tangente. Entonces, en la figura, se puede plantear FH  PH  GH . Al reemplazar los valores conocidos queda 5·PH = 3², que al despejar resulta PH =

9  16  FP = (FH – PH) =  5    = 3,2. 5 5 

9 . Entonces, 5

22. La alternativa correcta es E. Unidad temática Habilidad

Geometría de proporción Aplicación

Según el teorema de la secante con la tangente en la circunferencia, cuando éstas se intersectan en un punto exterior, el producto del segmento exterior por el segmento completo en la secante es igual al 2

cuadrado de la tangente. Entonces, en la figura, se puede plantear PT  PQ  PR .

Al reemplazar los valores conocidos queda (3m)² = 3·PR, que al despejar resulta PR =

9m 2 = 3m². Por 3

lo tanto, la medida de QR es (PR – PQ) = (3m² – 3) = 3(m² – 1).

23. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad

Geometría de proporción ASE

Como la circunferencia de diámetro 4 es tangente al cuadrado de lado 5 en F y en G, entonces FP = 2 y SF = (SP – FP) = (5 – 2) = 3. La diagonal del cuadrado mide SQ = SP· 2 = 5 2 . Dado que SP  PQ , entonces SN  MQ .

 5 2  NM Entonces, se puede plantear (SN + NM + MQ) = (2·SN + NM) = 5 2 . Luego, SN =  2   5 2  NM   5 2  NM  NM    SM = SN + NM =  2 2   

    2

Con ello, es posible plantear el teorema de la secante y la tangente como SN  SM  SF . Al reemplazar los valores y expresiones conocidas queda:

 5 2  NM   2 

  5 2  NM    2  

 (5 2 ) 2  NM 2  = 3²  = 9  50 – NM² = 36  4 

Luego, NM² = (50 – 36) = 14. Por lo tanto, la medida de la cuerda NM es 14 .

  y  

24. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad

Geometría de proporción ASE

Dado que el triángulo PQR es rectángulo en P, entonces, por trío pitagórico, la hipotenusa mide RQ = 13.

R

5 T

Como la semicircunferencia de diámetro PS es tangente a los lados del triángulo en P y T, entonces RT = PR = 5. Luego, TQ = (RQ – RT) = (13 – 5) = 8.

5

8

P

Q

S 2

Aplicando el teorema de la secante y la tangente se puede plantear TQ  SQ  PQ , que al reemplazar con los valores conocidos resulta 8² = SQ · 12. Entonces, SQ =

64 16  . 12 3

16  20  Por lo tanto, PS mide (PQ – SQ) = 12    . 3 3 

25. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad

Geometría de proporción ASE

En la figura adjunta, se ha trazado el diámetro AU para la circunferencia de centro B, resultando la figura adjunta.

Q R

Si el radio de la circunferencia de centro A mide 4 cm, entonces el segmento AT mide 4 cm por ser el radio de dicha circunferencia. Como AU= AT + TU, entonces TU = AU – AT = 20 – 4 = 16 cm.

P T

A

Como el diámetro de la circunferencia de centro B y la cuerda RS se intersectan perpendicularmente, se cumple: AT ∙ TU = RT ∙ TS  4 ∙ 16 = RT2  RT = 2 ∙ 4 = 8

B

U

S

Entonces, el segmento RS mide 16 cm. Como el segmento PQ es tangente a la circunferencia de centro B y el segmento QS es secante a esta circunferencia en R, entonces es posible plantear una igualdad según el teorema de la tangente y la secante: PQ2 = QR ∙ QS  PQ2 = 4 ∙ 20  PQ  4  20  4  4  5  4 5