Modulo 29 de A y T

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29 Plano de Argand. Forma polar de los números complejos

Introducción En esta sección se continúa el estudio de los números complejos. Se estudia una representación de ellos mediante un plano, llamado plano de Argand. En este módulo se escriben números complejos en una forma alternativa. Esta forma tiene la ventaja de que se simplifica mucho los cálculos para multiplicar y dividir números complejos.

Objetivos 1. Establecer una correspondencia entre los números complejos y el plano cartesiano. 2. Representar el conjugado de un número complejo en el plano cartesiano. 3. Escribir números complejos en otra forma alternativa.

Jean Robert Argand (1768-1822) En 1806 apareció un trabajo superior: Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques. En este pequeño libro Argand hizo una representación geométrica moderna para la adición y la multiplicación de números complejos, y mostró cómo esta representación se podía aplicar para deducir algunos teoremas en trigonometría, geometría elemental y álgebra. La manera en que se conoció el trabajo de Argand fue un tanto complicado. Pensó enviar una copia de su trabajo y se la remitió a Francois Francais a pesar de que él no conocía la identidad del autor. Después de la muerte de Francois Francais en 1810, su hermano Jacques Francais, trabajando en sus papeles, encontró el pequeño libro de Argand. En septiembre de 1813 Jacques Francais publicó un trabajo en el cual mostró una representación geométrica de los números complejos con aplicaciones interesantes, a partir de las ideas de Argand. Dijo que su documento se basó en el trabajo de un matemático desconocido e invitó a éste a hacerse conocer él mismo. El artículo de Jacques Francais apareció en los Annales de mathematiques y Argand respondió a Jacques Francais reclamando el reconocimiento como autor, presentando ligeras modificaciones a la versión original con algunas aplicaciones. Posteriormente, en el Gergonne´s Journal apareció una vigorosa discusión entre Jacques Francais, Argand y Servoir en donde los dos primeros argumentaban la validez de la representación geométrica de los números complejos, mientras que Servois argumentaba que los números complejos debían manejarse usando únicamente el álgebra.

Preguntas básicas 1. ¿Qué es el plano de Argand? 2. ¿Cómo se representan números complejos en el plano de Argand? 3. ¿Qué es la forma polar de un número complejo? 4. ¿En qué consiste el argumento de un número complejo escrito en forma polar?

Contenido 29.1 Los números complejos y el plano de Argand 29.1.1 Introducción 29.1.2 Números complejos conjugados 29.2 Forma polar de los números complejos 29.2.1 Introducción 29.2.2 Argumento de

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Álgebra y trigonometría 321

Capítulo 10: Los números complejos

29.1 Los números complejos y el plano de Argand 29.1.1 Introducción Si se hace una correspondencia uno a uno entre los números complejos de la forma

# ! x, y " y los puntos del plano cartesiano, a este plano se le llama plano complejo o diagrama de Argand, en honor al matemático suizo Jean Argand (1768-1822), quien en 1806 propuso esta representación para los números complejos. En este diagrama, los ejes coordenados se llaman eje real y eje imaginario y el complejo (0, 0) corresponde al origen de coordenadas. En el diagrama de Argand, a cada número complejo

# ! x, y " # xi $ yj se le asocia

un vector de posición que va desde el origen hasta el punto de coordenadas (x, y) tal como se ilustra en la figura 29.1.

Im ( ) # ( x, y ) i # (0,1)

Re ( )

1 # (1, 0)

Figura 29.1. Representación del número complejo

# ! x, y "

29.1.2 Números complejos conjugados Tal como se definió en una sección anterior, el conjugado de un número complejo

# ( x, y ) # x $ iy , que se denota por un diagrama de Argand. Estos complejos tal como lo ilustra la figura 29.2.

322

# ( x, % y ) # x % iy , se puede representar en y

son simétricos respecto al eje real,

Módulo 29: Plano de Argand. Forma polar de los números complejos

Im ( )

# x $ iy

Re ( )

# x % iy

Figura 29.2. Representación de un número complejo y su conjugado

Hay que notar que:

&

# ! x, y "! x, % y " # ! x $ iy "! x % iy " # x2 $ y 2 .

También, si

# x $ iy y ' # a $ ib con ' ( 0, se tiene que:

#

x $ iy ! x $ iy "! a % ib " ax $ by ) ay % bx * # # $+ ,i a $ ib ! a $ ib "! a % ib " a 2 $ b 2 - a 2 $ b2 . .

'

29.2 Forma polar de los números complejos 29.2.1 Introducción Sea

# ! x, y " # x $ iy un número complejo diferente de cero, es decir,

Se pueden asociar a

/ 0.

las coordenadas polares ! r , 0 " correspondientes al punto

(x, y), como se muestra en la figura 29.3.

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Álgebra y trigonometría 323

Capítulo 10: Los números complejos

Im ( )

( x, y )

sen 0

0 Re ( )

cos 0

Figura 29.3. Representación polar de un número complejo

, es decir r #

Si se denota por r la magnitud de

, se tiene que:

# x $ iy # r cos 0 $ ir sen 0 # r ( cos 0 $ i sen 0 ).

29.2.2 Argumento de Se define el argumento de

y se denota por arg !

" como cualquier ángulo

0

medido en radianes y formado entre el eje real positivo y el vector de posición asiciado con . El valor principal de arg !

arg !

"

" , denotado por

que pertenece al intervalo %1 2 arg !

Es claro, entonces, que arg ! es claro que 0 # arg !

" 31

Arg !

" , es el valor de

y es único.

" # Arg ! " $ 21 n , con n cualquier número entero. Y

" # tan %1

y . x

Ejemplo 9 Expresa los siguientes números complejos en la forma polar con a.

!! "

4 3 # 4i.

Solución Dado el número complejo z $ x # iy , la forma polar de este número es

' y( z $ r %cos ! # i sen !& , donde r $ z y ! $ tan 1 ** ))) teniendo en cuenta que *+ x , !! "

324

. Entonces,

Módulo 29: Plano de Argand. Forma polar de los números complejos

r $ z $ ( 4 3 )2 # (4)2 $ 8. 1 ' y( Como x < 0 e y > 0, entonces ! un ángulo del segundo cuadrante. Como tan *** ))) + x,

toma valores entre %1 / 2 y 1 / 2 , se tiene que: ' y( ! $ tan 1 ** ))) # $ tan +* x ,

1

' * **+

1 () )) # $ 3,

6

# $

5 . 6

Por tanto,

' 5 5 z $ 8 **cos # i sen *+ 6 6

() ). ,)

4 4i.

b. Solución

Procediendo como en el ejemplo anterior y teniendo en cuenta que ! es un ángulo del tercer cuadrante, se obtiene:

' 4( r $ z $ ( 4)2 # ( 4)2 $ 4 2 , ! $ tan 1 ** ))) *+ 4 ,

$

4

$

3 . 4

Por tanto, ' ' 3 ( ( )) # i sen '** 3 ()))). z $ 4 2 **cos ** *+ 4 ,),)) *+ *+ 4 ,)

c.

6i.

Solución

En este caso ! $

2

y r $ 6. Por tanto,

' ( z $ 6**cos # i sen ))). *+ 2 2, d.

2 + i.

Solución En este ejemplo ! es un ángulo del primer cuadrante. Entonces,

' 1( r $ z $ (2)2 # (1)2 $ 5 , ! $ tan 1 ** ))). *+ 2 , Por tanto,

' z $ 5 ***cos / tan *+ 1/

1

' 1 (. *** )))00 # i sen // tan + 2 ,2 1

1

' 1 (). () ** )0). +* 2 ,)20),) Álgebra y trigonometría 325