Modulo 25 de A y T

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9

Capítulo 9

Funciones trigonométricas inversas

Contenido breve Módulo 25 Funciones trigonométricas inversas Módulo 26 Más identidades Módulo 27 Ecuaciones trigonométricas

La trigonometría se utiliza para determinar zonas de cultivos.

Ejercicios Capítulo 9, módulos 25 al 27

Presentación Debido a que las funciones trigonométricas son periódicas, ninguna de ellas es 1 a 1; por tanto, ninguna de estas funciones tiene función inversa. Sin embargo, si se restringe el dominio de cada una de ellas de modo que sean 1 a 1 en un dominio restringido, entonces, en ese dominio, tiene sentido definir una única función inversa. Hay que recordar que una función f es 1 a 1, si dado que f (a)

a

f (b), entonces

b para toda a y b pertenecientes al dominio de una función. En forma equiva-

lente, f es 1 a 1 si dado que a ! b, entonces f (a ) ! f (b ) para todo a y b pertenecientes al dominio de la función.

Álgebra y trigonometría 277

278

25 Funciones trigonométricas inversas

Introducción En este módulo se definen las funciones inversas de funciones trigonométricas con dominio restringido. Se debe recordar que para que una función tenga inversa, debe ser 1 a 1. Como las funciones trigonométricas no cumplen esta condición, se debe restringir el dominio de estas funciones a un intervalo donde sean 1 a 1.

Objetivos 1. Estudiar las funciones trigonométricas inversas. 2. Definir las condiciones para que las funciones trigonométricas tengan inversa.

Preguntas básicas

Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) En la escuela, sus intereses infantiles eran Homero y Virgilio, y cuando una memoria de Halley le cayó en las manos, se alumbró su chispa matemática. Como Newton, pero a una edad aun más temprana, llegó al corazón de la matemática en un espacio de tiempo increíblemente corto. A los dieciséis años de edad fue nombrado profesor de matemáticas en la Escuela Real de Artillería de Turín, donde el tímido muchacho, que no poseía recursos de oratoria y era de muy pocas palabras, mantenía la atención de hombres bastante mayores que él. Su encantadora personalidad atraía su amistad y entusiasmo. Pronto condujo un joven grupo de científicos, que fueron los primeros miembros de la Academia de Turín. Lagrange se transfiguraba cuando tenía una pluma en sus manos, y, desde un principio, sus escritos fueron la elegancia misma. Transcribía a las matemáticas todos los pequeños temas sobre investigaciones físicas que le traían sus amigos, de la misma manera que Schubert pondría música a cualquier ritmo perdido que arrebatara su fantasía.

1. ¿Cómo se restringen los dominios de la función seno y la función coseno para que tengan inversa? 2. ¿Cómo se restringen los dominios de las funciones tangente y cotangente para que tengan inversa? 3. Dibuje las gráficas de las funciones trigonométricas inversas.

Contenido 25.1 Función inversa del seno 25.2 Función inversa del coseno 25.3 Funciones inversas de la tangente y la cotangente Visite el sitio http://docencia.udea.edu.co/cen/ AlgebraTrigonometria/

Vea el módulo 25 del programa de televisión Álgebra y trigonometría

Álgebra y trigonometría 279

Capítulo 9: Funciones trigonométricas inversas

25.1 Función inversa del seno # " "$

sen x al intervalo & % , ' , se ( 2 2) observa que la función es creciente y por tanto es 1 a 1. Como consecuencia, tiene

Si se restringe el dominio de la función y

sentido definir su función inversa como y arcsen x o y igual a arcoseno de x,o y es igual al seno inverso de x.

sen %1 x, que se lee: y es

Se supondrá siempre que el dominio de la función seno ha sido restringido a

%

" 2

*x*

" 2

.

La gráfica de y

arcsen x es la siguiente (figura 25.1).

"

y

2

%1

x

%

" 2

Figura 25.1. Gráfica correspondiente a la función y = arcsen x

Dominio = + %1, 1,. Rango

# " "$ = &% , ' . ( 2 2)

Ejemplo 1

-1. " sen %1 / 0 , 1 22 6 sen%1 314

280

" 2

,

2. " sen %1 // % 00 % , 4 1 2 2

"

sen %1 3 %14 % . 2

Módulo 25: Funciones trigonométricas inversas

25.2 Función inversa del coseno Hay que hacer notar que en la expresión y seno es x.

arcsen x, y es el ángulo cuyo

Una mirada a la función y cos x lleva al convencimiento de que no se puede restringir el dominio de esta función al mismo intervalo de la función seno. Se escogerá siempre el intervalo 0 * x * " en el cual la función coseno es 1 a 1. La función inversa se define como y

arccos x o y

cos %1 x, que se lee:

y es igual al arcocoseno de x, o y es igual a coseno inverso de x. Su

gráfica es la siguiente (figura 25.2). y

"

" 2

%1

1

x

Figura 25.2. Gráfica correspondiente a la función y = arccos x

Dominio = + %1, 1,. Rango

= +0, " , .

25.3 Funciones inversas de la tangente y la cotangente Para que y

tan x posea inversa se restringe el dominio a %

la inversa será y

arctan x o y

" 2

5x5

" 2

y así

tan %1 x, q u e s e l e e : y e s i g u a l a

arcotangente de x, o y es igual a tangente inversa de x. Su gráfica es la de la página siguiente (figura 25.3).

Escuche Historia de Lagrange en su multimedia de Álgebra y trigonometría

Álgebra y trigonometría 281

Capítulo 9: Funciones trigonométricas inversas y " 2

x

%

" 2

Figura 25.3. Gráfica correspondiente a la función y = arctan x

Dominio = reales.

- " ". Rango = / % , 0 . 1 2 22 Si se restringe el dominio de y

cot x a 0 5 x 5 " se puede definir su inversa

como y arc cot x o y cot %1 x, que se lee: y es igual a arcotangente de x o y es igual a cotangente inversa de x. Su gráfica es (figura 25.4). y

" " 2

x

Figura 25.4. Gráfica correspondiente a la función y = arccot x

Dominio = reales. Rango

282

= 3 0, " 4 .

Módulo 25: Funciones trigonométricas inversas Ejemplo 2

! Evalúe cos $$ 2 sen

%$1

1 "# #. 2 &#

Solución Hagamos sen

1

1 1 ' , lo cual implica que sen ' , con 2 2

! tanto cos $$2 sen

%$1

! ( 2

(

! , y por 2

1 "# # ' cos 2 . 2 &#

2

!1" 1 Pero cos 2 ' 1 2 sen 2 ' 1 2 $$ ### ' . De lo anterior se tiene que: $% 2 & 2

! cos $$2sen

%$1

1 "# 1 #= . 2 &# 2

Ejemplo 3

! Evalúe sen $$sen

%$1

4 + tan 5

1

3 "# #. 4 &#

Solución Sean

= sen

1

4 y " = tan 5

4 y tan 5

1

'

3 . 4

3 , con 4

! ( 2

(

! y 2

! ! )" ) . 2 2

Por tanto sen

'

La expresión

! ! ) " ) nos dice " que está en el primero o en el cuarto cua2 2

3 significa que " está en el primero o en 4 el tercer cuadrante. El único cuadrante donde se satisfacen ambas condiciones es el primero. Por tanto, se tiene gráficamente lo siguiente (figura 25.5):

drante, mientras que la expresión tan " '

Álgebra y trigonometría 283

Capítulo 9: Funciones trigonométricas inversas

Figura 25.5

sen " '

3 4 y cos " ' . 5 5

De otra parte, si sen

'

4 significa que 5

está en el primero o en el segundo

! ! ( ( quiere decir que está en el primero o en el cuarto cua2 2 drante. El único cuadrante donde se satisfacen ambas condiciones es el primero. Por tanto, se tiene gráficamente que (figura 25.6):

cuadrante. Si

Figura 25.6

sen

'

4 3 y cos ' . 5 5

De lo anterior, se tiene que:

284

Módulo 25: Funciones trigonométricas inversas ! sen $$sen

%$1

4 , tan 5

3 "# # ' sen * , " + 4 &# ' sen cos " , sen " cos ! 4 " ! 4 " ! 3 "! 3 " ' $$ ###.$$ ### , $$ ###$$ ### $% 5 & %$ 5 & %$ 5 &%$ 5 &

1

16 9 , 25 25 25 ' 25 ' 1. '

Ejemplo 4

Evalúe sen

1

1 , sen 2

1

3 . 2

Solución

' sen

Sean

1

1 y " ' sen 2

3 . 2

! ! ( ( , 2 2

1 Entonces, sen ' , con 2

sen " '

1

3 , con 2

! ! (" ( . 2 2

El único ángulo entre

! ! 1 y tal que sen ' es 2 2 2

El único ángulo entre

! ! 3 ! y tal que sen " ' es " ' . 2 2 2 3

Por tanto, sen

1

1 , sen 2

1

! ' . 6

3 ! ! ! ' ," ' , ' . 2 6 3 2

Ejemplo 5

Demuestre que tan *cos

! tan $$$cos

%$1

1

x+ '

x2

1 x

para

1 ( x ( 1 y seguidamente evalúe

2 "## #. 2 &#

Solución Sea

' cos

1

x. Álgebra y trigonometría 285

Capítulo 9: Funciones trigonométricas inversas Por tanto, tan *cos

1

x + ' tan

'

'

sen cos

- 1 cos2 cos

.

Para escoger el signo correcto, hay que notar que porque ' cos es el signo +. Al sustituir

1

x. Como sen

está en el intervalo .0, ! /

es positivo en ese intervalo, la elección correcta

1 ' cos 1 x en la ecuación anterior, y sabiendo que cos *cos x+ ' x,

se tiene que: tan *cos 1 x + '

1 x2 . x

Por último,

2

! tan $$$cos

%$1

2 "## #' 2 &#

! 2" 1 $$$ ### $% 2 &#

2 2 2 1 4 ' 2 2 2 ' 4 2 2 ' 1.

Ejemplo 6 Escriba sen *2 cos

1

! go evalúe sen $$$2 cos

%$286

x + como una expresión algebraica en x para 1

3 "# ##. 2 &#

1 ( x ( 1 y lue-

Módulo 25: Funciones trigonométricas inversas Solución Sea

' cos

1

x, y por tanto cos

en ese intervalo se tiene que sen

' x con 0 ( ' 1

cos 2

( !. Como sen ' 1

es positivo

x2 .

De otra parte, sen *2 cos

1

x + ' sen 2 ' 2 sen cos ' 2 1 x2 0 x ' 2 x 1 x2 .

Por tanto,

! sen $$$2 cos

%$2

1

! 3 "# 3 "# 3 ## ' 2 . 1 $$$ ## # 2 & 2 %$ 2 &# '

2 3 . 1 2

' 3. ' '

3 4

1 4

3 4 3 . 2

Álgebra y trigonometría 287