M6 - Números racionais e Reais

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Matemática

Números Racionais e Reais 1 NÚMEROS RACIONAIS

Racionais Positivos e Racionais Negativos Quociente de muitas divisões entre números naturais é um número racional absoluto.

Números racionais positivos e números racionais negativos que sejam quocientes de dois negativos que sejam quocientes de dois números inteiros, com divisor diferente de zero. Por exemplo: (+17) : (-4) = é um número racional negativo

Números Racionais Positivos Esses números são quocientes de dois números inteiros com sinais iguais. (+8) : (+5)

(-3) : (-5)

Números Racionais Negativos São quocientes de dois números inteiros com sinais diferentes. (-8) : (+5)

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(-3) : (+5)

Números Racionais: Escrita Fracionária têm valor igual a

e representam o número racional

.

Obs.: Todo número inteiro é um número racional, pois pode ser escrito na forma fracionária:

Denominamos número racional o quociente de dois números inteiros (divisor diiferente de zero), ou seja, todo número que pode ser colocado na forma fracionária, em que o numerador e denominador são números inteiros.

2 CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS O conjunto dos números racionais é uma ampliação do conjunto dos números inteiros. O conjunto formado pelos números racionais positivos, os números racionais negativos e o zero são um novo conjunto que chamamos de conjunto dos números racionais e é representado por Q. Exemplos:

Observe o desenho abaixo:

O conjunto de Q é uma ampliação do conjunto Z.

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Outros subconjuntos de Q: Q* é o conjunto dos números racionais diferentes de zero; Q+ é o conjunto dos números racionais positivos e o zero; Q- é o conjunto dos números racionais, negativos e o zero; Q+* é o conjunto dos números racionais e positivos; Q-* é o conjunto dos números racionais negativos. 3 OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS Adição e Subtração Para simplificar a escrita, transformamos a adição e subtração em somas algébricas. Eliminamos os parenteses e escrevemos os números um ao lado do outro, da mesma forma como fazemos com os números inteiros. Exemplo 1: Qual é a soma:

Exemplo 2: Calcule o valor da expressão

Multiplicação e divisão Na multiplicação de números racionais, devemos multiplicar numerador por numerador, e denominador por denominador, assim como é mostrado nos exemplos abaixo:

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Na divisão de números racionais, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda, como é mostrado no exemplo abaixo:

Potenciação e radiciação Na potenciação, quando elevamos um número racional a um determinado expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente, conforme os exemplos abaixo:

Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um número racional, estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador, conforme o exemplo abaixo:

4 NÚMEROS REAIS O conjunto dos números reais é formado pela união entre o conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais. Existem várias propriedades a respeito dos números reais, que são extensões das propriedades dos números racionais. Essas propriedades estão relacionadas com a ordem dos números reais e com o estudo das operações matemáticas básicas aplicadas aos elementos desse conjunto. [email protected] (084) 99689-9333 (WattsApp)

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A definição dos números reais depende das definições dos conjuntos dos números racionais e irracionais, que, por sua vez, dependem da definição dos números inteiros. Dessa maneira, todos os números geralmente estudados até o final do Ensino Fundamental e início do Ensino Médio são os números reais. De posse da definição de números reais, discutiremos as propriedades mais importantes relacionadas com esse conjunto numérico.

Propriedades do conjunto dos números reais As propriedades a seguir são decorrentes da definição dos números reais e também da inclusão das operações “adição” e “multiplicação” entre os elementos desse conjunto. → O conjunto dos números reais é um conjunto completo Existe uma relação feita entre o conjunto dos números reais e a reta numérica, que é construída da seguinte maneira: para cada número real, existe um e apenas um ponto representando-o na reta numérica. É possível mostrar que a reta não contém nenhum “furo”, isto é, ponto que não represente número real algum. Portanto, o conjunto dos números reais é completo. → O conjunto dos números reais é um conjunto ordenado Ainda avaliando a reta numérica, comparando dois números reais quaisquer, aquele que estiver mais à esquerda é menor do que aquele que estiver mais à direita. Além disso, se estiverem no mesmo ponto, serão iguais. Essa é a ordenação do conjunto dos números reais representada na reta numérica.

Propriedades operatórias dos números reais Dados os números reais “a”, “b” e “c”, as seguintes propriedades operatórias são válidas: 1 – Associatividade: a·(b·c) = (a·b)·c a + (b + c) = (a + b) + c 2 – Comutatividade: a·b = b·a a+b=b+a 3 – Existência de elemento neutro único para a soma e para a multiplicação: a+0=a [email protected] (084) 99689-9333 (WattsApp)

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a·1 = a 4 – Existência de elemento inverso único para a soma e para a multiplicação: a + (– a) = 0 a· 1 = 1 a 5 – Distributividade: a · (b + c) = a·b + a·c

Anotações:___________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ [email protected] (084) 99689-9333 (WattsApp)

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