Juan Francisco Moreno Reyes - Parte I. Matemáticas ecuación de la recta, plano

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Apuntes de Matemáticas Unidad Académica de Ciencias Químicas -UAZ

Sistemas de coordenadas Parte I. Segmento rectilíneo dirigido. La porción de una línea recta comprendida entre dos de sus puntos se llama segmento rectilíneo o simplemente segmento.

La longitud del segmento AB se representa por ̅̅̅̅ 𝐴𝐵. ̅̅̅̅ = 𝑥2 − 𝑥1 𝐴𝐵 La distancia entre dos puntos se define como el valor numérico o valor absoluto de la longitud del segmento rectilíneo que une esos dos puntos. Si representamos la distancia por d, podemos escribir.

̅̅̅̅̅̅ 𝑑 = |𝑃 1 𝑃2 | = |𝑋2 − 𝑋1 | ̅̅̅̅̅̅ 𝑑 = |𝑃2 𝑃1 | = |𝑋1 − 𝑋2 | Ejercicio. Hallar la distancia entre los puntos 𝑃1 (5) y 𝑃2 (−3). Parte II. Sistema coordenado en el plano.

Lucila Graciano Gaytán 2020

Apuntes de Matemáticas Unidad Académica de Ciencias Químicas -UAZ La longitud del segmento dirigido OA se representa por X y se llama abscisa de P; la longitud del segmento dirigido OB se representa por Y y se llama ordenada de P. Ejercicios. 1. Hallar la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son: (-5) y (6); (3) y (-7); (-8) y (-12). 2. La distancia entre dos puntos es 9. Si uno de los puntos es (-2), hallar el otro punto. 3. Tres vértices de un rectángulo son los puntos (2, -1), (7,-1) y (7,3). Hallar el cuarto vértice y el área del rectángulo. Parte III. Distancia entre dos puntos dados.

Por el teorema de Pitágoras, tenemos: 2 ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ 2 ̅̅̅ 2 𝑑2 = |𝑃 1 𝑃2 | = |𝑃2 𝐸 | + |𝐸𝑃1 | … (1)

Las coordenadas de los pies de las perpendiculares a los ejes coordenados son ̅̅̅̅ = 𝑋2 − 𝑋1 , ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ = 𝑌2 − 𝑌1 𝐴(𝑋1 , 0), 𝐵(0, 𝑌1 ), 𝐶(𝑋2 , 0), 𝐷(0, 𝑌2 ). Luego, ̅̅̅̅̅ 𝑃2 𝐸 = 𝐶𝐴 𝐸𝑃1 = 𝐷𝐵 Sustituyendo en (1), obtenemos 𝑑2 = (𝑋2 − 𝑋1 )2 + (𝑌2 − 𝑌1 )2 𝑑 = √(𝑋2 − 𝑋1 )2 + (𝑌2 − 𝑌1 )2 Ejercicios. 1. Demostrar que los puntos 𝑃1 (3,3), 𝑃2 (−3, −3), 𝑃3 (−3√3, 3√3) son vértices de un triángulo equilátero. 2. Hallar el perímetro del cuadrilátero cuyos vértices son (-3,-1), (0,3), (3,4), (4,-1). 3. Demostrar que los puntos (-2,-1), (2,2), (5,-2), son los vértices de un triángulo isósceles.

Parte IV.

Lucila Graciano Gaytán 2020

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Pendiente de una recta. Se llama ángulo de inclinación de una recta el formado por la parte positiva del eje x y la recta, cuando esta se considera dirigida hacia arriba.

Se llama pendiente o coeficiente angular de una recta a la tangente de su ángulo de inclinación. La pendiente de una recta se designa comúnmente por la letra m. por tanto, podemos escribir 𝑚 = tan 𝛼. Si 𝑃1 (𝑋1 , 𝑌1 ) y 𝑃2 (𝑋2 , 𝑌2 ) son dos puntos diferentes cualesquiera de una recta, la pendiente de la recta es 𝑌2 − 𝑌1 𝑚= 𝑋2 − 𝑋1 Ejercicios. 1. Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos (1,6), (5,2). 2. Demostrar, por medio de pendientes, que los puntos (9,2), (11,6), (3,5) y (1,1) son vértices de un paralelogramo. 3. Una recta de pendiente 3 pasa por el punto (3,2). La abscisa de otro punto es 4. Hallar su ordenada.

Parte V. La línea recta Llamamos línea recta al lugar geométrico de los puntos tales que tomados dos puntos diferentes cualesquiera 𝑃1 (𝑋1 , 𝑌1 ) y 𝑃2 (𝑋2 , 𝑌2 ) del lugar, el valor de la pendiente m calculado por medio de la 𝑌 −𝑌

formula 𝑚 = 𝑋2−𝑋1 ; 𝑋1 ≠ 𝑋2 resulta siempre constante. 2

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Ecuación de la recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada

Lucila Graciano Gaytán 2020

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La recta que pasa por el punto dado 𝑃1 (𝑋1 , 𝑌1 ) y tiene la pendiente m, tiene por ecuación 𝑌 − 𝑌1 = 𝑚(𝑋 − 𝑋1 ) Si tenemos las coordenadas (0,b), de la formula

𝑌 − 𝑌1 = 𝑚(𝑋 − 𝑋1 ) 𝑌 − 𝑏 = 𝑚(𝑋 − 0) 𝑌 − 𝑏 = 𝑚𝑋 𝑌 = 𝑚𝑋 + 𝑏 La recta cuya pendiente es m y cuya ordenada en el origen es b. Ejercicios. 1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (4,-1) y tiene un ángulo de inclinación de 135°. 2. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1,5) y tiene de pendiente 2. 3. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(4,2) y B(-5,7). Calcula la intercepción con los ejes X y Y. 4. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(4,1) y B(7,6). Calcula la intercepción con los ejes X y Y. 5. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(3,9) y B(7,4). Calcula la intercepción con los ejes X y Y. 6. Los vértices de un cuadrilátero son A(0,0), B(2,4), C(6,7), D(8,0). Hallar las ecuaciones de sus lados.

Lucila Graciano Gaytán 2020

Apuntes de Matemáticas Unidad Académica de Ciencias Químicas -UAZ 7. Los segmentos que una recta determina sobre los ejes X y Y son 2 y -3 respectivamente. Hallar su ecuación. Parte VI. Método de intersección con los ejes para graficar. Ejercicios. Grafique. 1. 2. 3. 4.

𝑥 − 2𝑦 + 4 = 0 2𝑥 − 𝑦 = 0 7𝑥 + 2𝑦 − 56 = 0 3𝑥 + 𝑦 + 2 = 0

Lucila Graciano Gaytán 2020