conteúdo funções - AULA 02

SAVE OFFLINE

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

Função Afim

Professor: Vitor José FUNÇÃO AFIM

Definição: A função afim, também conhecida como função do 1° grau, é uma função que para cada x ∈ R associa sempre o elemento 𝑎𝑥 + 𝑏 ∈ 𝑅, 𝑎 ≠ 0. 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏,

𝑎 ≠ 0

Exemplo: 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 2 𝑦 = −2𝑥 + 1

(𝑎 = 3, 𝑏 = 2) (𝑎 = −2, 𝑏 = 1)

Se b = 0 a função vira linear, ou seja, é um caso particular de função afim. Seu eixo sempre passa pela origem do plano cartesiano.  Gráfico: O gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑎 ≠ 0 é uma reta.

Exemplo: Gráfico da função 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟏 Tabela da função x -1

f(x) −2 ⋅ 1 + 1 = −1

0

2⋅0+1= 1

1

2⋅1+1= 3

2

2⋅2+1= 5

 Coeficientes da função afim: Sabendo que a função afim é definida por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, então; a ⇾ coeficiente angular ou declividade b ⇾ coeficiente linear (onde corda o eixo y)  Zero da função afim: O zero de uma função afim é todo número x cuja imagem é nula. Ou seja, em palavras mais brandas, iguale a equação a zero e calcule o valor de x. x é zero de y, 𝑦 = 𝑓(𝑥) , ⇔ 𝑓(𝑥) = 0 Ao resolver a equação 𝑎𝑥 + 𝑏 você notará que a raiz da função sempre corta o eixo x. Observe os exemplos.

Exemplo: Calcule o zero da função de cada função a seguir: a) 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟏 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜, 𝑓(𝑥) = 0 2𝑥 + 1 = 0 ⇒ 2𝑥 = −1 ⇒ 1 𝑥=− 2

b) 𝒈(𝒙) = 𝟑𝒙 + 𝟐 𝑔(𝑥) = 3𝑥 + 2, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜, 𝑔(𝑥) = 0 3𝑥 + 2 = 0 ⇒ 3𝑥 = −2 ⇒ 2 𝑥 = −3

𝟏

c) 𝒉(𝒙) = 𝟐 𝒙 − 𝟑 1 ℎ(𝑥) = 𝑥 − 3, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜, 2 ℎ(𝑥) = 0 1 𝑥−3=0⇒ 2 1 𝑥=3 2 𝑥 =2⋅3⇒𝑥 =6

Funções Crescentes e Decrescentes Função Crescente ⇾ Se aumenta x, y também aumenta. (∀𝑥1 , 𝑥2 )(𝑥1 < 𝑥2 ⇔ 𝑓(𝑥1 ) < 𝑓(𝑥2 )) ou (∀𝑥1 , 𝑥2 ) (𝑥1 ≠ 𝑥2 ⇒

𝑓(𝑥1 )−𝑓(𝑥2 ) 𝑥1 −𝑥2

> 0)

𝑓(𝑥1 )−𝑓(𝑥2 ) 𝑥1 −𝑥2

< 0)

Função decrescente ⇾ Se x aumenta, y diminui. (∀𝑥1 , 𝑥2 )(𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1 ) > 𝑓(𝑥2 )) ou (∀𝑥1 , 𝑥2 ) (𝑥1 ≠ 𝑥2 ⇒

Crescimento ou decrescimento da função afim: I - A função só é crescente se o coeficiente angular for positivo. II – A função é decrescente se o coeficiente angular for negativo.

𝑎 > 0 ⇒ 𝐶𝑅𝐸𝑆𝐶𝐸𝑁𝑇𝐸 𝑎 < 0 ⇒ 𝐷𝐸𝐶𝑅𝐸𝑆𝐶𝐸𝑁𝑇𝐸

Ou seja,

Sinal de uma função: Considere que temos uma função f: A ➙ B com y = f(x). Para realizarmos o estudo do sinal da função teremos que analisar para que valores de x a função é f(x) é maior que zero, igual a zero e menor que zero. Assim analisaremos o seguinte:  𝑓(𝑥) > 0  𝑓(𝑥) = 0  𝑓(𝑥) < 0 No caso da função afim já sabemos como chegar em f(x) = 0, zero da função, ou seja, 𝑥 = os valores para f(x) > 0 e f(x) < 0. 1° CASO: a > 0 Se f(x) > 0 então;

Se f(x) < 0, então;

𝑓(𝑥) < 0 ⇒ 𝑎𝑥 + 𝑏 > 0 ⇔ 𝑥 <

−𝑏 𝑎

Gráfico:

2° CASO: a < 0 Se f(x) > 0, então; 𝑓(𝑥) > 0 ⇒ −𝑎𝑥 + 𝑏 > 0 ⇒ −𝑎𝑥 > −𝑏 ⇔ 𝑥 <

𝑏 𝑎

Se (x) < 0, então; 𝑓(𝑥) < 0 ⇒ −𝑎𝑥 + 𝑏 < 0 ⇒ −𝑎𝑥 < −𝑏 ⇔ 𝑥 >

𝑏 𝑎

Exemplo: Faremos o estudo do sinal da função 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟏.

Calculando o zero da função. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1 ⇔ 𝑓(𝑥) = 0 ⇒ 2𝑥 − 1 = 0 1 𝑥= 2 Analisando o coeficiente angular (a). a = 2, então, a > 0. Logo;

−𝑏 , 𝑎

agora veremos

Inequações: Sejam as funções f(x) e g(x), cujos domínios pertencem ao conjunto dos reais (R). Chamamos de inequação qualquer uma das sentenças abaixo: 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥)

a) 2𝑥– 4 > 𝑥

b) 3𝑥 − 5 < 2

𝑥2

c) 𝑥 − 2 ≤ 𝑥−3

d) 3𝑥 + 6 ≥ 0

Faremos agora o processo de resolução de dessas inequações; 2𝑥 − 4 > 𝑥 ⇔ a) 2𝑥 − 𝑥 > 4 ⇔ , portanto, S = {x ∈ R | x > 4} 𝑥>4

7 3

b) Portanto, S = {x ∈ R | x > }

𝑥2

𝑥 − 2 ≤ 𝑥−3 ⇔ (𝑥 − 2)(𝑥 − 3) ≤ 𝑥 2 ⇔ 2 2 c) 𝑥 − 3𝑥 − 2𝑥 + 6 ≤ 𝑥 ⇔, −5𝑥 + 6 ≤ 0 ⇔ −5𝑥 ≤ −6 ⇔ 6 𝑥≥

6

portanto, S = {x ∈ R |𝑥 ≥ 5}

5

3𝑥 + 6 ≥ 0 ⇔ 3𝑥 ≥ −6 ⇔ −6 d) , portanto, S = {x ∈ R | x > 4} 𝑥≥ 3 ⇔ 𝑥 ≥ −2

Inequações equivalentes: São inequações que possuem a mesma solução. Ex: 3𝑥 + 6 > 0 ⇔ 3𝑥 > −6 ⇔ e 𝑥 > −2

𝑥+2>0⇔ , S = {x ∈ R | x >-2} 𝑥 > −2

Inequações simultâneas:

A solução é a intersecção das duas inequações. Observe o

exemplo. Ex: 3𝑥 + 2 < −𝑥 + 3 ≤ 𝑥 + 4 Para resolver um caso de inequação simultânea resolveremos, primeiro, 3𝑥 + 2 < −𝑥 + 3e logo após faremos −𝑥 + 3 ≤ 𝑥 + 4.

1)

3𝑥 + 2 < −𝑥 + 3 ⇔ 3𝑥 + 𝑥 < 3 − 2 ⇔ 4𝑥 < 1 ⇔ 1 𝑥<

2)

−𝑥 + 3 ≤ 𝑥 + 4 ⇔ −𝑥 − 𝑥 ≤ 4 − 3 ⇔ −2𝑥 ≤ 1 ⇔ 𝑥≤−

4

𝟏

1 2

𝟏

S = {x ∈ R |− 𝟐 ≤ 𝒙 < 𝟒}

Exercícios Resolvidos: 01. O saldo de contratações no mercado formal no setor varejista da região metropolitana de São Paulo registrou alta. Comparando as contratações deste setor no mês de fevereiro com as de janeiro deste ano, houve incremento de 4 300 vagas no setor, totalizando 880 605 trabalhadores com carteira assinada. Suponha que o incremento de trabalhadores no setor varejista seja sempre o mesmo nos seis primeiros meses do ano. Considerando-se que y e x representam, respectivamente, as quantidades de trabalhadores no setor varejista e os meses, janeiro sendo o primeiro, fevereiro, o segundo, e assim por diante, a expressão algébrica que relaciona essas quantidades nesses meses é: a) y = 4 300x b) y = 884 905x c) y = 872 005 + 4 300x d) y = 876 305 + 4 300x e) y = 880 605 + 4 300x Resolução: Pela simples definição de uma função afim a resposta do exercício tem este formato: f(x) = ax + b , sendo f(x) = y , a = valor inicial de trabalhadores e b = incremento. O incremento é sempre o mesmo (4300). Porém, o valor inicial de trabalhadores que devemos considerar é o valor que havia antes do mês de janeiro. Logo, 880605 – 8600 = 872005 Portanto, y = 872005 + 4300x Resposta: C

02. Uma operadora de telefonia celular oferece o seguinte plano no sistema pós-pago: valor fixo de R$ 60,00 por mês para até 80 minutos de ligações locais e, para cada minuto excedente, será cobrado o valor de R$ 1,20. Se P é o valor a ser pago em um mês e t o total de minutos utilizados em ligações locais, qual a expressão que permite calcular, em reais, a conta de uma pessoa que utilizou o telefone por mais de 80 minutos? a) P = 1,20t + 60 b) P = 1,20t –60 c) P = 1,20t –36 d) P = 1,20t + 36 e) P =1,20t –96 Resolução: P = 1,20Te + 60, onde Te é o tempo excedente. Te = t – 80, onde t é o tempo total das ligações. Logo, P = 1,20Te + 60 P = 1,20(t-80)+ 60 P = 1,20t – 1,20*80 + 60 P = 1,20t – 96 + 60 P = 1,20t – 36 Resposta: C

ATIVIDADE 1) (ENEM/2014) Em Economia, costuma-se representar o consumo mensal C de uma família por uma função linear C = c0+ c1Y, em que c0é o consumo independente da renda, c1é a chamada propensão ao consumo e Y é a renda mensal da família. Uma determinada família possui a seguinte função consumo: C = 500 + 0,8Y. Nesse caso, ela possui um gasto de R$ 500,00, independente da renda, e propensão ao consumo de 0,8. Nessa família, a renda mensal provém somente dos salários do pai e da mãe, que são, respectivamente, R$ 3 000,00 e R$ 4 000,00. Qual o consumo mensal dessa família? a)R$ 2 900,00. b)R$ 3 300,00. c)R$ 3 700,00. d)R$ 6 100,00. e)R$ 6 600,00.

2) (ENEM-2010) Em fevereiro, o governo da Cidade do México, metrópole com uma das maiores frotas de automóveis do mundo, passou a oferecer à população bicicletas como opção de transporte. Por uma anuidade de 24 dólares, os usuários têm direito a 30 minutos de uso livre por dia. O ciclista pode retirar em uma estação e devolver em qualquer outra e, se quiser estender a pedalada, paga 3 dólares por hora extra. Revista Exame. 21 abr. 2010.A expressão que relaciona o valor f pago pela utilização da bicicleta por um ano, quando se utilizam x horas extras nesse período é: a)f(x) = 3x b)f(x) = 24 c)f(x) = 27 d)f(x) = 3x + 24 e)f(x) = 24x + 3 3) (UEPA-2011) Uma fábrica apresenta um gasto fixo de R$ 11 000 na produção de papel reciclado e R$ 0,06 na produção de cada folha. O gráfico que representa o custo total que a fábrica tem por mês na produção de folha de papel reciclado será: a)Uma curva que passa pela origem do sistema de coordenadas. b)Uma reta de origem no ponto (0, 11 000). c)Uma reta de origem no ponto (6 600, 11 000). d)Uma reta de origem no ponto (11 000, 327). e)Uma reta de origem no ponto (6, 11 000). 4) (Enem-2017) Os congestionamentos de trânsito constituem um problema que aflige, todos os dias, milhares de motoristas brasileiros. O gráfico ilustra a situação, representando, ao longo de um intervalo definido de tempo, a variação da velocidade de um veículo durante um congestionamento.

Quantos minutos o veículo permaneceu imóvel ao longo do intervalo total analisado? a)4 b)3 c)2 d)1 e)0

5) (Enem-2016) Um reservatório com água por uma torneira e um ralo faz a drenagem da água desse reservatório. Os gráficos representam as vazões Q, em litros por minuto, do volume de água que entra no reservatório pela torneira e do volume que sai pelo ralo, em função do tempo t, em minutos.

Em qual intervalo de tempo, em minuto, o reservatório tem vazão constante de enchimento? a)De 0 a 10. b)De 5 a 10. c)De 5 a 15. d)De 15 a 25. e)De 0 a 25.

Gabarito: 1–d

2–d

3–b

4–c

5–b

Mais exercícios: (Projeto medicina) https://bit.ly/32orhn1

VIDEO AULAS Clique nas imagens para assistir uma aula sobre Função Afim do canal “Equaciona com Paulo Pereira”.

“Viver é arriscar tudo. Caso contrário você é apenas um pedaço inerte de moléculas montadas aleatoriamente à deriva onde o universo te sopra.”

Rick Sanchez

Função Quadrática

Professor: Vitor José

FUNÇÃO QUADRÁTICA Função quadrática, também conhecida como função do segundo grau, é expressada por. 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐, sendo 𝑎 ≠ 0. Se a = 0 a função passa ser uma função afim. Os coeficientes a, b, c são números reais. Exemplos: 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 4𝑥 + 3, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 = 1, 𝑏 = −4 𝑒 𝑐 = 3 𝑓(𝑥) = − 𝑥² + 2𝑥 + 4, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 = −1, 𝑏 = 2 𝑒 𝑐 = 4 𝑓(𝑥) = 3𝑥² – 4𝑥, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 = 3, 𝑏 = −4 𝑒 𝑐 = 0  Gráfico: O gráfico de uma função quadrática é, sempre, uma parábola.

A sua concavidade é, sempre, determinada pelo valor de a. Se a > 0, a concavidade é voltada para cima. Se a < 0, a concavidade é voltada para baixo.

Raízes da função: As raízes, ou zeros, da função quadrática são determinadas pela fórmula de Bháskara. Ou seja, para quais valores de x a expressão 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 é igual a zero (𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0). Uma função quadrática possui apenas duas raízes. Cada raiz intercepta o eixo as abscissas (eixo x). Fórmula de Bháskara: 𝑥=

−𝑏 ± √∆ 2⋅𝑎

𝛥 = 𝑏2 − 4 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑐

Exemplos: 1) 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 3𝑥 + 2 1° passo: Calcular o Delta (Δ). 𝛥 = 𝑏2 − 4 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑐 ⇒ 𝛥 = (−3)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 2 ⇒ 𝛥=9−8⇒ 𝛥=1 2° passo: Calcular as raízes. 𝑥= 𝑥′ = 𝑥′′ =

−𝑏±√𝛥

2⋅𝑎 −(−3)+√1

2⋅1 −(−3)−√1 2⋅1

⇔ 𝑥′ = ⇒ 𝑥′ =

−𝑏+√𝛥

2⋅𝑎 3+1 2 3−1

, 𝑥′′ =

−𝑏−√𝛥 2⋅𝑎

4

⇒ 𝑥′ = 2 ⇒ 𝑥′ = 2 2

⇒ 𝑥′′ = 2 ⇒ 𝑥′′ = 2 ⇒ 𝑥′′ = 1 𝑃𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑥′ = 2 𝑥′′ = 1

Número de raízes: O número de raízes de uma função quadrática depende do valor do Delta (Δ). As raízes cortam, ou tocam, o eixo das abscissas (eixo x). 1) Se Δ > 0 (positivo), há duas raízes reais e distintas (diferentes). 2) Se Δ = 0, há duas raízes reais, porém, coincidentes (iguais). 𝑥′ = 𝑥′′ =

−𝑏 2⋅𝑎

3) Se Δ < 0 (negativo), não há raiz real. Existe sim raízes neste caso, porém, estão fora do nosso campo de estudo.

Vértice da parábola(V): Se a > 0, a concavidade é para cima e um ponto de mínimo (V). Se a < 0, a concavidade é para baixo e um ponto de máximo (V). Independente dos casos ( a > 0 ou a < 0), as coordenadas do vértice da parábola são: −𝑏 𝛥 𝑉=( ,− ) 2⋅𝑎 4⋅𝑎

Imagem: A imagem da função 𝑦 = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 , 𝑎 ≠ 0, é o conjunto dos valores que y pode assumir. Logo, temos duas possibilidades; 1° possibilidade: a > 0 −𝛥

Im = { y ∈ R | 𝑦 ≥ 4⋅𝑎}

2° possibilidade: a < 0 −𝛥

Im = { y ∈ R| 𝑦 ≤ 4⋅𝑎}

Exemplo: Imagem de 𝑓(𝑥) = 2𝑥² − 8𝑥 + 6 𝛥 = 𝑏² − 4𝑎𝑐 = 16 𝑎>0⇒𝑎=2 −𝛥 = −2 4⋅𝑎 Portanto, Im(f) = {y ∈ R | y ≥ -2 } Sinal da função quadrática: Considerando a função 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 ≠ 0, vamos determinar para que valores de x o valor de y = f(x) é maior que zero, igual a zero ou menor que zero. Após resolver o Δ teremos alguns casos: 1° caso: Δ > 0 Sabemos que nesse caso a função possui duas raízes distintas, logo o gráfico é cortado em dois pontos. Assim, o sinal da função é indicado no gráfico abaixo:

a>0

𝑦 > 0 ⇔ (𝑥 < 𝑥1 𝑜𝑢𝑥 > 𝑥2 ) 𝑦 < 0 ⇔ 𝑥1 < 𝑥 < 𝑥2

a 0 ⇔ 𝑥1 < 𝑥𝑥2 𝑦 < 0 ⇔ (𝑥 < 𝑥1 𝑜𝑢𝑥 > 𝑥2 )

2° caso: Δ = 0 Sabemos que quando o discriminante (Δ) é nulo as duas raízes se coincidem. Logo, o gráfico apenas toca o eixo das abscissas em um único ponto. a>0

a 0, ∀𝑥 ≠ 𝑥1 ∄ 𝑥 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑦 < 0

𝑦 < 0, ∀𝑥 ≠ 𝑥1 ∄ 𝑥 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑦 > 0

3° caso: Δ < 0 Sabemos que quando o discriminante (Δ) é negativo, menor que zero, não há uma solução real para a função. Portanto, o gráfico não corta o eixo das abscissas.

a>0

a 0, ∀𝑥 ∄ 𝑥 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑦 < 0

𝑦 < 0, ∀𝑥 ∄ 𝑥 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑦 > 0

Inequação 2° grau: As inequações do 2° grau são resolvidas com o teorema de Bháskara. O resultado da inequação é feito com base na analise do estudo do sinal da função. Observe o exemplo: Exemplo 01: Resolva 𝟑𝒙² + 𝟏𝟎𝒙 + 𝟕 < 𝟎 2

𝛥 =𝑏 −4⋅𝑎⋅𝑐 ⇔ 𝛥 = 102 − 4 ⋅ 3 ⋅ 7 𝛥 = 100 − 84 ⇔ 𝛥 = 16

S = {x ∈ R |

−7 3

𝑥= 𝑥1 = 𝑥2 =

−10±√16

2⋅3 −10+4 6 −10−4 6

⇒𝑥=

⇒ 𝑥1 =

⇒ 𝑥1 =

−6

−10±4 6

⇒ 𝑥1 = −1

6 −14 6

⇒

⇒ 𝑥1 =

−7 1

< 𝑥 < −1}

Exercícios Resolvidos: 1) (UFRGS – 2018) As raízes da equação 𝟐𝒙² + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 são 3 e − 4. Nesse caso, o valor de b - c é a) −26. b) −22. c) −1. d) 22. e) 26.

Resolução: Como 3 e -4 são raízes da funções, então: 2 ⋅ 32 + 𝑏 ⋅ 3 + 𝑐 = 0(1) 𝑒 2 2 ⋅ (−4) + 𝑏 ⋅ (−4) + 𝑐 = 0(2) (1)18 + 3 ⋅ 𝑏 + 𝑐 = 0 ⇒ 3𝑏 + 𝑐 = −18(1′) (2)32 − 4𝑏 + 𝑐 = 0 ⇒ (−4𝑏 + 𝑐 = −32) ⋅ (−1) ⇒ 4𝑏 − 𝑐 = 32(2′) Se somarmos 1’ com 2’ teremos; 3𝑏 + 𝑐 = −18 4𝑏 − 𝑐 = 32 Assim, c é igual a; 3 ⋅ 𝑏 + 𝑐 = −18 ⇒ 3 ⋅ 2 + 𝑐 = −18 ⇒ 𝑐 = −18 − 6 ⇒ 𝑐 = −24 Portando, 𝑏 − 𝑐 = 2 − (−24) = 26 Resposta E. 02 (Enem – 2013) A parte interior de uma taça foi gerada pela rotação de uma parábola em torno de um eixo z, conforme mostra a figura.

A função real que expressa a parábola, no plano cartesiano da figura, é dada pela lei 𝒇(𝒙) =

𝟑 𝟐

𝒙² – 𝟔𝒙 + 𝑪, onde C é a medida da altura do líquido contido na taça, em

centímetros. Sabe-se que o ponto V, na figura, representa o vértice da parábola, localizado sobre o eixo x. Nessas condições, a altura do líquido contido na taça, em centímetros, é a) 1. b) 2. c) 4. d) 5. e) 6.

Resolução: Pela imagem, percebemos que a parábola toca em apenas um ponto o eixo das abscissas. Portanto, pelo nosso conhecimento, deduzimos que suas raízes são reais e iguais, ou seja, Δ = 0. 𝛥 = 0 ⇔ 𝛥 = 𝑏2 − 4 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑐 = 0 ⇔ 𝑏2 − 4 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑐 = 0 Sabemos que a = 3/2, b = -6 , então; 3 (−6)2 − 4 ⋅ ⋅ 𝑐 = 0 ⇒ 36 − 6 ⋅ 𝑐 = 0 ⇒ 6𝑐 = 36 ⇒ 2 36 𝑐= ⇒𝑐=6 6 Resposta E. ATIVIDADE 1) (ENEM-2017) A igreja de São Francisco de Assis, obra arquitetônica modernista de Oscar Niemeyer, localizada na Lagoa da Pampulha, em Belo Horizonte, possui abóbadas parabólicas. A seta na Figura 1 ilustra uma das abóbadas na entrada principal da capela. A figura 2 fornece uma vista frontal desta abóbada, com medidas hipotéticas para simplificar os cálculos.

Qual a medida da altura H, em metro, indicada na Figura 2? a) 16/3 b) 31/5 c) 25/4 d) 25/3 e) 75/2 2) (ENEM-2013) A temperatura T de um forno (em graus centígrados) é reduzida por um sistema a partir do instante de seu desligamento (t = 0) e varia de acordo com a expressão 𝑻(𝒕) = −𝒕𝟐𝟒 + 𝟒𝟎𝟎, com t em minutos.

Por motivos de segurança, a trava do forno só é liberada para abertura quando o forno atinge a temperatura de 39ºC. Qual o tempo mínimo de espera, em minutos, após se desligar o forno, para que a porta possa ser aberta?

a) 19,0 b) 19,8 c) 20,0 d) 38,0 e) 39,0 3) (ENEM-2014) Um professor, depois de corrigir as provas de sua turma, percebeu que várias questões estavam muito difíceis. Para compensar, decidiu utilizar uma função polinomial f, de grau menor que 3, para alterar as notas da prova para notas y = f(x), da seguinte maneira:  A nota zero permanece zero.  A nota 10 permanece 10.  A nota 5 passa a ser 6. A expressão da função y = f(x) a ser utilizada pelo professor é 1

7

a) 𝑦 = − 12 𝑥 2 + 5 𝑥 1

b) 𝑦 = − 10 𝑥 2 + 2𝑥 1

7

c) 𝑦 = 24 𝑥 2 + 12 𝑥 4

d) 𝑦 = 5 𝑥 + 2 e) 𝑦 = 𝑥 4) (ENEM-2016) Uma padaria vende, em média, 100 pães especiais por dia e arrecada com essas vendas, em média, R$ 300,00. Constatou-se que a quantidade de pães especiais vendidos diariamente aumenta, caso o preço seja reduzido, de acordo com a equação: 𝒒 = 𝟒𝟎𝟎 − 𝟏𝟎𝟎𝒑, na qual q representa a quantidade de pães especiais vendidos diariamente e p, o seu preço em reais. A fim de aumentar o fluxo de clientes, o gerente da padaria decidiu fazer uma promoção. Para tanto, modificará o preço do pão especial de modo que quantidade a ser vendida diariamente seja a maior possível, sem diminuir a média de arrecadação diária na venda desse produto. O preço p, em reais, do pão especial nessa promoção deverá estar no intervalo:

a) R$ 0,50 ≤ p < R$ 1,50 b) R$1,50 ≤ p < R$ 2,50 c) R$ 2,50 ≤ p < R$ 3,50 d) R$ 3,50 ≤ p