Aula 02 - exercícios_-_progressão_aritmética

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Questões – Aula 02 1. Considere a expressão 2x+1 + 2x-1 = 5. Então, pode-se afirmar que o valor de x que satisfaz a igualdade é: a) 0 b) 2 c) 1 d) –1 e) –2

2. Para se calcular a intensidade luminosa L, medida em lúmens, a uma profundidade de x centímetros num determinado lago, utiliza-se a lei de Beer-Lambert, dada por 𝐿

log(15)= – 0,08x Qual a intensidade luminosa L a uma profundidade de 12,5 cm? a) 150 lm b) 15 lm c) 10 lm d) 1,5 lm e) 1 lm

3. Um cientista, em seus estudos para modelar a pressão arterial de uma pessoa, utiliza uma função do tipo P(t) = A +Bcos(kt) em que A, B e K são constantes reais positivas e t representa a variável tempo, medida em segundo. Considere que m batimento cardíaco representa o intervalo de tempo entre duas sucessivas pressões máximas. Ao analisar um caso específico o cientista obteve os dados: Pressão mínima

78

Pressão máxima

120

Número de batimentos cardíacos por minuto

90

A função P(t) obtida, por este cientista, ao analisar o caso específico foi: a) P(t) = 99 +21cos(3πt) b) P(t) = 78 +42cos(3πt) c) P(t) = 99 +21cos(2πt)

d) P(t) = 99 +21cos(t) e) P(t) = 78 +42cos(t)

4. Para resolver o problema de abastecimento de água foi decidida, numa reunião do condomínio, a construção de uma nova cisterna. A cisterna atual tem formato cilíndrico, com 3 m de altura e 2 m de diâmetro, e estimou-se que a nova cisterna deverá comportar 81m3 de água, mantendo o formato cilíndrico e a altura atual. Após a inauguração da nova cisterna antiga será desativada. Utilize 3,0 como aproximação para π. Qual deve ser o aumento, em metros, no raio da cisterna para atingir o volume desejado? a) 0,5 b) 1,0 c) 2,0 d) 3,5 e) 8,0

5. Uma caixa-d’água em forma de um paralelepípedo retângulo reto, com 4 m de comprimento, 3 m de largura e 2 m de altura, necessita de higienização. Nessa operação, a caixa precisará ser esvaziada em 20 min, no máximo. A retirada da água será feita com auxílio de uma bomba de vazão constante, em que vazão é o volume do líquido que passa pela bomba por unidade de tempo. A vazão mínima, em litro por segundo, que essa bomba deverá ter ara que a caixa seja esvaziada no tempo estipulado é a) 2 b) 3 c) 5 d) 12 e) 20

6. Para comemorar o aniversário de uma cidade, a prefeitura organiza quatro dias consecutivos de atrações culturais. A experiência de anos anteriores mostra que, de um dia para o outro, o número de visitantes no evento é triplicado. É esperada a presença de 345 visitantes para o primeiro dia do evento. Uma representação possível do número esperado de participantes para o último dia é a) 3 x 345

b) (3 + 3 + 3) x 345 c) 33 x 345 d) 3 x 4 x 345 e) 34 x 345

7. Até novembro de 2011, não havia uma lei específica que punisse fraude em concursos públicas. Isso dificultava o enquadramento dos fraudadores em algum artigo específico do Código Penal, fazendo com que eles escapassem da Justiça mais facilmente. Entretanto, com o sancionamento da Lei 12.550/11, é considerado crime utilizar ou divulgar indevidamente o conteúdo sigiloso de concurso público, com pena de reclusão de 12 a 48 meses (1 a 4 anos). Caso esse crime seja cometido por um funcionário público, a pena

1

sofrerá um aumento de .

3

Disponível em: www.planalto.gov.br. Acesso em 15 ago. 2012

Se um funcionário público for condenado por fraudar um concurso público, sua pena de reclusão poderá variar de a) 4 a 16 meses. b) 16 a 52 meses. c) 16 a 64 meses. d) 24 a 60 meses. e) 28 a 64 meses.

8. Numa Avenida existem 10 semáforos. Por causa de uma pane no sistema, os semáforos ficaram sem controle durante uma hora, e fixaram suas luzes unicamente em verde ou vermelho. Os semáforos funcionam de forma independente; a probabilidade de acusar a cor verde é de

2 3

e a de acusar a cor vermelha é de

1 3

. Uma pessoa percorreu a pé toda

essa avenida durante o período da pane, observando a cor da luz de cada um desses semáforos. Qual a probabilidade de que esta pessoa tenha observado exatamente um sinal na cor verde? a)

b)

c)

d)

e)

9. Uma pessoa precisa comprar creme dental. Ao entrar em um supermercado, encontra uma marca em promoção, conforme o quadro seguinte: Creme Dental

Promoção

Embalagem nº 1

Leve 3 pague 2

Embalagem nº 2

Leve 4 pague 3

Embalagem nº 3

Leve 5 pegue 4

Embalagem nº 4

Leve 7 pague 5

Embalagem nº 5

Leve 10 pague 7

Pensando em economizar seu dinheiro, o consumidor resolve levar a embalagem de número: a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5.

10. Em 1996, uma indústria iniciou a fabricação de 6000 unidades de certo produto e, desde então, sua produção tem crescido à taxa de 20% ao ano.

Nessas condições, em que ano a produção foi igual o triplo da de 1996? (Dados: log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48) a) 1998

b) 1999 c) 2000 d) 2001 e) 2002

Resolução Comentada

1. C Trata-se de uma função exponencial com expoentes sob a forma de uma expressão. Nesse caso, aplica-se a propriedade de potências de mesma base. Assim, tem-se: 2x+1 = 2x . 21 e 2x-1 =

2𝑥 21

Então, a expressão torna-se:

2.2x +

2𝑥 2

=5

Multiplicando-se todos os termos por 2 (para eliminar o 2 do denominador. Sempre que necessário, essa “técnica” pode ser aplicada), tem-se: 4.2x + 2x = 10 5.2x = 10 2x = 2x

10 5

=2

x=1

2. D Um dos assuntos preferidos do INEP/Enem: logaritmos! Basta lembrar da definição de logaritmo, que é tão somente um expoente! Aplicando-se o valor de x à fórmula, tem-se:

𝐿

log ( )= – 0,08.12,5 15

𝐿

log (15)= – 1 Como a base do logaritmo não é apresentada, pode-se assumir que seja igual a 10. Assim, tem-se: 𝐿

log10 (15)= – 1 Aplicando-se a definição de logaritmo, vem 𝐿

10-1 = 15 𝐿 15

1

= 10

10L = 15 15

L = 10 L = 1,5 lm

3. A Função trigonométrica dentro de uma função linear… ótima ideia! Simples! Entretanto, deve-se ter em mente os valores máximo e mínimo do cosseno: +1 e –1, além do próprio conceito de função linear.

A função dada é P(t) = A + B.cos(kt), onde t é o tempo (em segundos) entre duas batidas consecutivas. O enunciado mostra, na tabela, que a pessoa em questão estava com 90 batimentos por minuto (bpm).

Assim, pode-se afirmar que: 90

90 bpm = 60= 1,5 batimentos por segundo (bps) 1

2

Então, cada batida do coração tem duração de 1,5= 3= 0,67 segundo.

Como a função cosseno é periódica (com período igual a 2π), tem-se: 2𝜋 𝑘

2

=3

2k = 6π k=

6𝜋 2

= 3π

Com base nisso, tem-se: A+B ≦ A + B.cos(3πt) ≦ A–B Para que os valores de A e B sejam determinados, aplicam-se os limites do valor do cosseno: quando cos(3πt) valer –1, A+B(–1) = pressão mínima = 78

quando cos(3πt) valer +1, A+B(+1) = pressão máxima = 120

Há, agora, um sistema de equações envolvendo A e B:

A–B = 78 A+B = 120

Pelo método da adição, tem-se: 2A = 198 ∴ A = 99 99+B = 120 ∴ B = 21

Assim, a fórmula procurada será P(t) = 99 + 21.cos(3πt).

4. C Geometria sólida… cilindros, para ser mais exato. Eis uma figura que as provas têm cobrado com frequência. Sabe-se que, em um cilindro, o volume é dado pela fórmula:

V = Sb. h, onde Sb = área da base = π.r2. Entretanto, a banca sugere usar o valor 3 para aproximação para π. Como o diâmetro é de 2 m, o raio será igual a 1. A altura h é dada como sendo igual a 3m. Então, o volume da cisterna antiga será V = 3.12.3 = 9 m3. Para atingir o volume desejado (81m3), a cisterna deverá ter raio igual a 81 = 3.r2.3 81 = 9.r2 r2 =

81 =9 9

r = 3 metros Assim, o aumento será de 3-1 = 2 metros em relação à cisterna antiga.

5. E E por falar em geometria sólida… paralelepípedo retângulo reto é outra figura (literalmente) presente em muitas provas do Enem. Dadas as dimensões, c = 4, l = 3, h = 2, tem-se que o volume será de: V = c.l.h = 4.3.2 = 24 m3 O tempo para o esvaziamento total foi estipulado em 20 minutos, o que faz com que seja necessário calcular a vazão (em litros/segundo). Mas é nesse detalhe que a banca mostra a que veio! O volume é calculado em metros cúbicos, mas a banca pede a vazão em litros/segundo. Basta lembrar que 1 m3 = 1000 l. Então, a capacidade da caixa-d’água é de 24.1000 = 24000 litros. Como 20 minutos equivalem a 20.60 = 1200 segundos, tem-se que a vazão mínima (em litros/segundo) será de: vazão =

24000

1200

= 20

6. C Questão simples e direta! Se o número de visitantes triplica a cada dia, tem-se: DIA 1: 345 DIA 2: 3. 345 DIA 3: 3.3.345 = 32.345

DIA 4: 3.3.3.345 = 33.345 7. C Mais uma questão simples, mas que merece atenção! A citada Lei 12.550/11 prevê pena de reclusão de 12 a 48 meses para quem divulgar o 1

conteúdo de concursos públicos, sendo a pena aumentada em um terço (3) se esse crime for cometido por funcionário público. 1

1

Então, nesse caso, a pena passa a ser de 12 meses + 3 a 48 meses+ 3. 1

1

Ou seja, 12 + 3.12= 12 + 4 = 16 meses a 48 + 3.48= 48 + 16 = 64 meses. 8. A Probabilidade de novo! Mais um tema recorrente... Quando funcionam corretamente, os semáforos apresentam a seguinte probabilidade:

de ficar verde : pvd =

2

1 e de ficar vermelho: pvm = . 3 3

De acordo com a teoria das probabilidades, p vd + pvm = 1 (ou seja, 100% de certeza de o semáforo estar no verde OU no vermelho) No caminho percorrido há 10 semáforos. Então, a probabilidade de que UM esteja na cor verde será calculado como sendo

10 2 1 9 10 P(vd) = 𝐶 . .( ) , onde 𝐶 é o número de combinações desejadas (UM sinal verde em 1 3 3 1 2

10),3é a probabilidade de o sinal estar verde e

1 9

( ) 3

é a probabilidade de os outros 9 sinais

estarem vermelhos. Assim, tem-se 2 1 9 2 1 2 P(vd) = 10. .( ) = 10. .( 9 )= 10. 10 3 3 3 3 3

9. A Questão polêmica, que induz facilmente ao erro. Muitos iriam pensar que a opção da embalagem n° 5 seria a ideal (e mais barata), pois “vem mais embalagens”…

Contudo, deve-se prestar atenção à relação entre o número de embalagens pagas e que estão sendo levadas. Assim, faz-se necessário estudá-las caso a caso.

CASO I: leve 3 e pague 2 3 = 1,5 2

CASO II: leve 4 e pague 3 4 = 1,33 3

CASO III: leve 5 e pague 4 5 = 1,25 4

CASO IV: leve 7 e pague 5 7 = 1,4 5

CASO V: leve 10 e pague 7 10 = 1,43 7

Com base no que foi calculado, percebe-se que a melhor opção (mais econômica) é a opção da embalagem n° 1.

10. E Indo calmamente, por partes, tem-se: No ano de 1996, 6000 unidades; com crescimento de 20% a.a., vem: 1997 = 6000 + 20% de 6000 = 6000 +

20

.6000 = 6000 + 1200 = 7200 100

Fazendo-se “na mão” pode-se chegar a um resultado de maneira relativamente rápida (porém trabalhosa). Assim, recomenda-se aplicar a teoria de juros compostos, que diz

M = C.(1+i)t, devidamente adaptada, uma vez que não se trata de valores monetários. Então, a produção (o “montante”) terá que ser o triplo do ano de 1996, ou seja, 3.6000 = 18000. A produção inicial (“capital”) diz respeito ao valor de 1996, 6000 unidades. Colocando-se os valores na fórmula, tem-se 18000 = 6000.(1+0,2)t 18000 = 1,2t 6000

3 = 1,2t Como o problema pede justamente o ano em que essa produção ocorre, a variável a ser calculada é o t. Entretanto, por se tratar se um expoente, deve-se aplicar logaritmo! Assim, tem-se log 3 = log 1,2t De acordo com os dados fornecidos pela banca, log 3 = 0,48. 0,48 = log 1,2t Aplicando-se as propriedades de logaritmo, 0,48 = t.log 1,2 Mudando-se os dois termos de lado, t.log 1,2 = 0,48 Transformando-se o 1,2 em fração decimal e usando-se outra propriedade, 12

t.log 10= 0,48 t.[log 12 – log 10] = 0,48 t.[log (3.4) – log 10] = 0,48 t.[log 3 + log 4 – log 10] = 0,48 Como 4 = 22, tem-se que log 4 = log 22 = 2.log 2. Então, t.[0,48 + 2.0,3 – 1] = 0,48 t.[0,48+0,6-1] = 0,48 t.0,08 = 0,48

t=

0,48 0,08

Multiplicando-se o denominador e o numerador da fração por 100,

t=

48 = 6 anos. 8

Assim, a produção irá ocorrer 6 anos após o ano de 1996, ou seja, em 2002.