Aula 8 - Teoria dos Conjuntos 2 - diferença, complementar e Diagrama de Venn

SAVE OFFLINE

MATEMÁTICA Frente: Matemática II

EAD – ITA/IME

Professor(a): Davi Lopes

Assunto: Teoria

dos

AULAS 06 A 08

Conjuntos II: Produto Cartesiano, Diferença, Complemento e Relações

Diferença simétrica

Resumo Teórico

A Δ B = (A – B) ∪ (B – A) A

B

Teoria dos Conjuntos II Produto Cartesiano

A∆B

A × B = {(a, b)| a ∈ A, b ∈ B}

Exemplo: A = {1, 2, 3} e B = {3, 4, 5}, então A Δ B = {1, 2, 4, 5}.

Exemplo: A = {x, y} e B = {a, b, c}. Então: A × B = {(x, a), (x, b), (x, c), (y, a), (y, b), (y, c)} B × A = {(a, x), (a, y), (b, x), (b, y), (c, x), (c, y)} Observe que, em geral, (x, y) ≠ (y, x) e A × B ≠ B × A.

Complementar de um conjunto

Dado um conjunto universo U e um conjunto A em U, definimos o complementar de A (em U) como o conjunto: AC = U – A U

Diagramas de Venn

São diagramas que, de maneira intuitiva, ajudam-nos a encontrar e comparar os resultados de operações entre conjuntos. Exemplo: B

A

A

AC Exemplo: Dado U = R e A = {x > 3}, temos AC = {x ≤ 3}.

A⊂B

A∪B

A∩B

Leis de Morgan • (A ∪ B)C = AC ∩ BC • (A ∩ B)C = AC ∪ BC

Diferença A – B = A\B = {x|x ∈ A, x ∉ B} A

A–B

B

B–A

Exemplo: A = {1, 2, 3} e B = {3, 4, 5}, então A – B = {1, 2} e B – A = {4, 5}. Observe que (A – B) ∩ (B – A) = ∅. F B O NLINE.COM.BR //////////////////

Exercícios 01. Se R = {–2, –1, 0, 1, 2}, S = {–4, –3, –2, 1} e T = {–2, 0, 1, 3, 4}, então, o conjunto (R – S) – T é igual a A) {–1, 0, 2} B) {–1, 2} C) {–1, 0, 1} D) {–1, 0} E) {–2, 1}

003.818 – 130021/18

Módulo de Estudo 02. Dados A = {a, b, c, d}, B = {a, b, d, e} e C = {b, d, f, g}, determine o conjunto X tal que X ⊂ A e A – X = B ∩ C. A) X = {a, c} B) X = {a, b} C) X = {b, c} D) X = {a, f} E) X = [a, b, c}

08. Sejam X um conjunto não vazio, A e B dois subconjuntos de X. Dadas as sentenças: I. A ∩ B = ∅ ⇔ A ⊂ BC ⇔ B ⊂ AC; II. Se X = R, A = {x ∈ X tal que x3 – 1 = 0}, B = {x ∈ X tal que x2 – 1 = 0}, C = {x ∈ X tal que x – 1 = 0}, então A = B = C; III. A\∅ = A e A\B = A(A ∩ B); IV. A\B ≠ A ∩ BC.

03. No diagrama abaixo, considere as quatro regiões I, II, III, IV disjuntas. Assinale a opção falsa: U



B

A II

III

IV I

A) (A) ∪ (B) = I + II + IV B) (A)C ∩ (B)C = I C) (A)C ∪ (B)C = I + II + III D) A ∪ (B)C = I + II + III C

C

09. Sejam A,B,C subconjuntos de R, não vazios. Dadas as igualdades: I. (A – B) × C = (A × C) – (B × C); II. (A – B) × C = (A × B) – (B × C); III. (A ∩ B) – A ≠ (A ∩ B) – B; IV. A – (B ∩ C) = (A – B) ∪ (A – C); V. (A – B) ∩ (B – C) = (A – C) ∩ (A – B).

04. (A ∪ B)C é sempre igual a A) (A)C ∪ (B)C B) (A)C ∩ (B)C C) (B)C D) ∅ E) A ∩ B



05. A parte hachurada no gráfico representa A

B

A) A ∩ (B ∪ C) B) (A ∩ B) ∪ C C) (A ∪ B) ∩ C D) A ∪ (B ∩ C) E) (A ∪ B)∆C

11. Sejam E, F, G, H subconjuntos não vazios de R. Considere as afirmações: I. Se (E × G) ⊂ (F × H), então, E ⊂ F e G ⊂ H; II. Se (E × G) ⊂ (F × H), então, (E × G) ∪ (F × H) = F × H; III. Se (E × G) ∪ (F × H) = F × H, então, (E × G) ⊂ (F × H).

06. Sejam A,B,C subconjuntos de um conjunto universo U. Considere as afirmações: I. A\(B ∩ C) = (A\B) ∪ (A\C); II. (A ∩ C)\B = A ∩ BC ∩ C; III. (A\B) ∩ (B\C) = (A\B)\C.



É (são) verdadeira(s) A) apenas I. B) apenas II. C) apenas I e II. D) apenas I e III. E) todas.

//////////////////

É(são) verdadeira(s) A) apenas I. B) apenas II. C) apenas II e III. D) apenas I e II. E) I, II, III.

12. Seja U um conjunto não vazio com n elementos, n ≥ 1. Seja S um subconjunto de P(U), com a seguinte propriedade: “Se A, B ∈ S, então, A ⊂ B ou B ⊂ A”. O número máximo de elementos que S pode ter é A) 2(n – 1) B) n/2, se n é par, e (n + 1)/2, se n for ímpar. C) n + 1 D) 2n – 1 E) 2n – 1 + 1

07. Sejam A,B,C subconjuntos do conjunto dos números reais. Então, podemos afirmar que A) (A ∩ B)C = AC ∩ BC B) (A ∪ B)C = AC ∪ BC C) se A ⊂ B, então AC ⊂ BC D) (A ∩ B) ∪ CC = (AC ∪ C)C ∩ (BC ∪ C)C E) A ∪ (B ∪ C)C = (A ∪ BC) ∩ (A ∪ CC) F B O NLINE.COM.BR

Podemos garantir que A) II e IV são verdadeiras. B) I e V são verdadeiras. C) III e IV são verdadeiras. D) I e IV são verdadeiras. E) I e III são verdadeiras.

10. Se A, B, C forem conjuntos satisfazendo n(A ∪ B) = 23, n(B – A) = 12, n(C – A) = 10, n(B ∩ C) = 6 e n(A ∩ B ∩ C) = 4, então, n(A), n(A ∪ C), n(A ∪ B ∪ C) formam, nessa ordem, A) uma progressão aritmética de razão 6. B) uma progressão aritmética de razão 2. C) uma progressão aritmética de razão 8, de primeiro termo 11. D) uma progressão aritmética de razão 10, de último termo 31. E) uma progressão geométrica.

C



Pode-se afirmar que está(ão) correta(s) apenas A) I e III B) I, II e IV C) III e IV D) II, III e IV E) II

2

003.818 – 130021/18

Módulo de Estudo 13. Dos n alunos de um colégio, cada um estuda pelo menos uma das três matérias: Matemática, Física e Química. Sabe-se que 48% dos alunos estudam Matemática, 32% estudam Química e 36% estudam Física. Sabe-se, ainda, que 8% dos alunos estudam Física e Matemática, enquanto 4% estudam as três matérias. Os alunos que estudam apenas Química e Física mais aqueles que estudam apenas Matemática e Química totalizam 63 estudantes. Determine n. 14. Prove que, dados três conjuntos arbitrários X, Y, Z, então, X ∩ (Y ∆ Z) = (X ∩ Y) ∆ (X ∩ Z). 15. Sejam os conjuntos P1, P2, S1, S2 tais que (P2 ∩ S1) ⊂ P1, (P1 ∩ S2) ⊂ P2 e que (S1 ∩ S2) ⊂ (P1 ∪ P2). Demonstre que (S1 ∩ S2) ⊂ (P1 ∩ P2).

Gabarito 01

02

03

04

05

B

E

C

A

D

06

07

08

09

10

B

A

C

E

D

11

12

13

14

15

E

C

–

–

–

– Demonstração.

SUPERVISOR/DIRETOR: DAWISON SAMPAIO – AUTOR: DAVI LOPES – DIG.: RENAN OLIVEIRA – REV.: SARAH

Anotações

003.818 – 130021/18

3

F B O N L I NE .C O M . B R //////////////////