Aula 06 - Sistemas Lineares - Definicao

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Universidade Federal da Bahia - UFBA Instituto de Matem´atica e Estat´ıstica - IME Departamento de Matem´atica

´ MAT A07 - Algebra Linear A Aula 6 - Sistemas de Equa¸c˜oes Lineares Defini¸c˜ao e Classifica¸c˜ao

Professores: Andrey Bovykin, Isaac L´azaro, Isamara Alves, Perfilino Ferreira Jr., Simone Moraes, Vinicius Mello

Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Equa¸co ˜es Lineares

˜ o linear nas vari´aveis x1 , x2 , · · · , xn , reais ou complexas, ´e uma equa¸c˜ao da Uma equac ¸a forma

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Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Equa¸co ˜es Lineares

˜ o linear nas vari´aveis x1 , x2 , · · · , xn , reais ou complexas, ´e uma equa¸c˜ao da Uma equac ¸a forma a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b,

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Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Equa¸co ˜es Lineares

˜ o linear nas vari´aveis x1 , x2 , · · · , xn , reais ou complexas, ´e uma equa¸c˜ao da Uma equac ¸a forma a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b, com a1 , a2 , · · · , an e b n´ umeros reais ou n´ umeros complexos, sendo:

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Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Equa¸co ˜es Lineares

˜ o linear nas vari´aveis x1 , x2 , · · · , xn , reais ou complexas, ´e uma equa¸c˜ao da Uma equac ¸a forma a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b, com a1 , a2 , · · · , an e b n´ umeros reais ou n´ umeros complexos, sendo: • x1 , x2 , · · · , xn s˜ao as varia ´ veis;

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Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Equa¸co ˜es Lineares

˜ o linear nas vari´aveis x1 , x2 , · · · , xn , reais ou complexas, ´e uma equa¸c˜ao da Uma equac ¸a forma a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b, com a1 , a2 , · · · , an e b n´ umeros reais ou n´ umeros complexos, sendo: • x1 , x2 , · · · , xn s˜ao as varia ´ veis; • a1 , a2 , · · · , an s˜ao os coeficientes;

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Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Equa¸co ˜es Lineares

˜ o linear nas vari´aveis x1 , x2 , · · · , xn , reais ou complexas, ´e uma equa¸c˜ao da Uma equac ¸a forma a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b, com a1 , a2 , · · · , an e b n´ umeros reais ou n´ umeros complexos, sendo: • x1 , x2 , · · · , xn s˜ao as varia ´ veis; • a1 , a2 , · · · , an s˜ao os coeficientes; • b ´e o termo independente da equa¸c˜ao.

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Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Equa¸co ˜es Lineares

˜ o linear nas vari´aveis x1 , x2 , · · · , xn , reais ou complexas, ´e uma equa¸c˜ao da Uma equac ¸a forma a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b, com a1 , a2 , · · · , an e b n´ umeros reais ou n´ umeros complexos, sendo: • x1 , x2 , · · · , xn s˜ao as varia ´ veis; • a1 , a2 , · · · , an s˜ao os coeficientes; • b ´e o termo independente da equa¸c˜ao. Exemplos: (a) As equa¸c˜ oes 2x + 4y − 3z = 5

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e x − 5y + 2z − 4t = 0 s˜ao lineares.

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Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Equa¸co ˜es Lineares

˜ o linear nas vari´aveis x1 , x2 , · · · , xn , reais ou complexas, ´e uma equa¸c˜ao da Uma equac ¸a forma a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b, com a1 , a2 , · · · , an e b n´ umeros reais ou n´ umeros complexos, sendo: • x1 , x2 , · · · , xn s˜ao as varia ´ veis; • a1 , a2 , · · · , an s˜ao os coeficientes; • b ´e o termo independente da equa¸c˜ao. Exemplos: (a) As equa¸c˜ oes 2x + 4y − 3z = 5 (b) As equa¸c˜ oes x + xy = 0 2

e

e x − 5y + 2z − 4t = 0 s˜ao lineares.

3x + y + cos z = 0 n˜ao s˜ao lineares.

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Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Equa¸co ˜es Lineares

˜ o de equa¸c˜ao linear a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b, Uma soluc ¸a

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Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Equa¸co ˜es Lineares

˜ o de equa¸c˜ao linear a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b, s˜ao n´ umeros Uma soluc ¸a α1 , α2 , · · · , αn , reais ou complexos,

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Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Equa¸co ˜es Lineares

˜ o de equa¸c˜ao linear a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b, s˜ao n´ umeros Uma soluc ¸a α1 , α2 , · · · , αn , reais ou complexos, tais que ao substituirmos x1 por α1 ,

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Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Equa¸co ˜es Lineares

˜ o de equa¸c˜ao linear a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b, s˜ao n´ umeros Uma soluc ¸a α1 , α2 , · · · , αn , reais ou complexos, tais que ao substituirmos x1 por α1 , x2 por α2 , · · · ,

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Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Equa¸co ˜es Lineares

˜ o de equa¸c˜ao linear a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b, s˜ao n´ umeros Uma soluc ¸a α1 , α2 , · · · , αn , reais ou complexos, tais que ao substituirmos x1 por α1 , x2 por α2 , · · · , xn por αn obtemos uma identidade,

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Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Equa¸co ˜es Lineares

˜ o de equa¸c˜ao linear a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b, s˜ao n´ umeros Uma soluc ¸a α1 , α2 , · · · , αn , reais ou complexos, tais que ao substituirmos x1 por α1 , x2 por α2 , · · · , xn por αn obtemos uma identidade, ou seja, a1 · α1 + a2 · α2 + · · · + an · αn = b

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´e verdadeira.

Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Equa¸co ˜es Lineares

˜ o de equa¸c˜ao linear a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b, s˜ao n´ umeros Uma soluc ¸a α1 , α2 , · · · , αn , reais ou complexos, tais que ao substituirmos x1 por α1 , x2 por α2 , · · · , xn por αn obtemos uma identidade, ou seja, a1 · α1 + a2 · α2 + · · · + an · αn = b Exemplos:   x = y = 1.  z =

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0 2 ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao 2x + 4y − 3z = 5, 1

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´e verdadeira.

Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Equa¸co ˜es Lineares

˜ o de equa¸c˜ao linear a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b, s˜ao n´ umeros Uma soluc ¸a α1 , α2 , · · · , αn , reais ou complexos, tais que ao substituirmos x1 por α1 , x2 por α2 , · · · , xn por αn obtemos uma identidade, ou seja, a1 · α1 + a2 · α2 + · · · + an · αn = b Exemplos:   x = y = 1.  z =

´e verdadeira.

0 2 ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao 2x + 4y − 3z = 5, pois 1 2 × 0 + 4 × 2 + (−3) × 1 = 8 − 3 = 5

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Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Equa¸co ˜es Lineares

˜ o de equa¸c˜ao linear a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b, s˜ao n´ umeros Uma soluc ¸a α1 , α2 , · · · , αn , reais ou complexos, tais que ao substituirmos x1 por α1 , x2 por α2 , · · · , xn por αn obtemos uma identidade, ou seja, a1 · α1 + a2 · α2 + · · · + an · αn = b Exemplos:   x = y = 1.  z =

´e verdadeira.

0 2 ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao 2x + 4y − 3z = 5, pois 1 2 × 0 + 4 × 2 + (−3) × 1 = 8 − 3 = 5

  x y  z

3

= −3 = −1 tamb´em ´e solu¸c˜ao, = −5

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Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Equa¸co ˜es Lineares

˜ o de equa¸c˜ao linear a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b, s˜ao n´ umeros Uma soluc ¸a α1 , α2 , · · · , αn , reais ou complexos, tais que ao substituirmos x1 por α1 , x2 por α2 , · · · , xn por αn obtemos uma identidade, ou seja, a1 · α1 + a2 · α2 + · · · + an · αn = b Exemplos:   x = y = 1.  z =

´e verdadeira.

0 2 ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao 2x + 4y − 3z = 5, pois 1 2 × 0 + 4 × 2 + (−3) × 1 = 8 − 3 = 5

  x y  z

= −3 = −1 tamb´em ´e solu¸c˜ao, pois = −5 2 × (−3) + 4 × (−1) + (−3) × (−5) = −10 + 15 = 5.

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Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Equa¸co ˜es Lineares

 x    y 2. z    t

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= 1 = −1 ´e solu¸c˜ao de x − 5y + 2z − 4t = 0, = −1 = 1

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Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Equa¸co ˜es Lineares

 x    y 2. z    t

= 1 = −1 ´e solu¸c˜ao de x − 5y + 2z − 4t = 0, pois = −1 = 1 1 + (−5) × (−1) + 2 × (−1) + (−4) × 1 = 6 − 6 = 0

4

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Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Equa¸co ˜es Lineares

 x    y 2. z    t

= 1 = −1 ´e solu¸c˜ao de x − 5y + 2z − 4t = 0, pois = −1 = 1 1 + (−5) × (−1) + 2 × (−1) + (−4) × 1 = 6 − 6 = 0

 x    y por´em z    t

4

= 1 = 1 n˜ao ´e solu¸c˜ao, = 1 = −1

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Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Equa¸co ˜es Lineares

 x    y 2. z    t

= 1 = −1 ´e solu¸c˜ao de x − 5y + 2z − 4t = 0, pois = −1 = 1 1 + (−5) × (−1) + 2 × (−1) + (−4) × 1 = 6 − 6 = 0

 x    y por´em z    t

= 1 = 1 n˜ao ´e solu¸c˜ao, pois = 1 = −1 1 + (−5) × 1 + 2 × 1 + (−4) × (−1) = 7 − 5 = 2 6= 0.

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Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Defini¸c˜ ao

˜ es lineares real ou complexo ´e um sistema em que todas as Um sistema de equac ¸o equa¸co˜es s˜ao lineares reais ou complexas, ou seja,

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Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Defini¸c˜ ao

˜ es lineares real ou complexo ´e um sistema em que todas as Um sistema de equac ¸o equa¸co˜es s˜ao lineares reais ou complexas, ou seja, ´e um sistema do tipo:    a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1   S:    

5

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Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Defini¸c˜ ao

˜ es lineares real ou complexo ´e um sistema em que todas as Um sistema de equac ¸o equa¸co˜es s˜ao lineares reais ou complexas, ou seja, ´e um sistema do tipo:    a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1   a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 S:    

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Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Defini¸c˜ ao

˜ es lineares real ou complexo ´e um sistema em que todas as Um sistema de equac ¸o equa¸co˜es s˜ao lineares reais ou complexas, ou seja, ´e um sistema do tipo:    a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1   a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 S: ..  .   

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Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Defini¸c˜ ao

˜ es lineares real ou complexo ´e um sistema em que todas as Um sistema de equac ¸o equa¸co˜es s˜ao lineares reais ou complexas, ou seja, ´e um sistema do tipo:    a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1   a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 , S: ..  .    am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm

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Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Defini¸c˜ ao

˜ es lineares real ou complexo ´e um sistema em que todas as Um sistema de equac ¸o equa¸co˜es s˜ao lineares reais ou complexas, ou seja, ´e um sistema do tipo:    a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1   a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 , S: ..  .    am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm • nas vari´ aveis

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Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Defini¸c˜ ao

˜ es lineares real ou complexo ´e um sistema em que todas as Um sistema de equac ¸o equa¸co˜es s˜ao lineares reais ou complexas, ou seja, ´e um sistema do tipo:    a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1   a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 , S: ..  .    am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm • nas vari´ aveis x1 , x2 , · · · , xn ,

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Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Defini¸c˜ ao

˜ es lineares real ou complexo ´e um sistema em que todas as Um sistema de equac ¸o equa¸co˜es s˜ao lineares reais ou complexas, ou seja, ´e um sistema do tipo:    a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1   a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 , S: ..  .    am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm • nas vari´ aveis x1 , x2 , · · · , xn , • com coeficientes

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Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Defini¸c˜ ao

˜ es lineares real ou complexo ´e um sistema em que todas as Um sistema de equac ¸o equa¸co˜es s˜ao lineares reais ou complexas, ou seja, ´e um sistema do tipo:    a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1   a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 , S: ..  .    am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm • nas vari´ aveis x1 , x2 , · · · , xn , • com coeficientes a11 , a12 , · · · , a1n , a21 , a22 , · · · , a2n , · · · , am1 , am2 , · · · , amn e

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Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Defini¸c˜ ao

˜ es lineares real ou complexo ´e um sistema em que todas as Um sistema de equac ¸o equa¸co˜es s˜ao lineares reais ou complexas, ou seja, ´e um sistema do tipo:    a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1   a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 , S: ..  .    am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm • nas vari´ aveis x1 , x2 , · · · , xn , • com coeficientes a11 , a12 , · · · , a1n , a21 , a22 , · · · , a2n , · · · , am1 , am2 , · · · , amn e • b1 , b2 , · · · , bm termos independentes n´ umeros reais ou n´ umeros complexos.

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Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Defini¸c˜ ao

˜ es lineares real ou complexo ´e um sistema em que todas as Um sistema de equac ¸o equa¸co˜es s˜ao lineares reais ou complexas, ou seja, ´e um sistema do tipo:    a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1   a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 , S: ..  .    am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm • nas vari´ aveis x1 , x2 , · · · , xn , • com coeficientes a11 , a12 , · · · , a1n , a21 , a22 , · · · , a2n , · · · , am1 , am2 , · · · , amn e • b1 , b2 , · · · , bm termos independentes n´ umeros reais ou n´ umeros complexos. S ´e um sistema linear com m equa¸c˜ oes e n variav´eis. 5

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Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Exemplos

Os sistemas de equa¸c˜ oes dos problemas de motiva¸c˜ao s˜ao todos de equa¸c˜oes lineares.

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Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Exemplos

Os sistemas de equa¸c˜ oes dos problemas de  5z =  6x + 8y + 2, 5x + 2y + 1, 5z = 1. S :  2x + 2y + 1, 5z =

6

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motiva¸c˜ao s˜ao todos de equa¸c˜oes lineares. 648 215 196

Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Exemplos

Os sistemas de equa¸c˜ oes dos problemas de  5z =  6x + 8y + 2, 5x + 2y + 1, 5z = 1. S :  2x + 2y + 1, 5z =

6

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motiva¸c˜ao s˜ao todos de equa¸c˜oes lineares. 648 215 ←− Aloca¸c˜ao de recursos. 196

Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Exemplos

Os sistemas de equa¸c˜ oes dos problemas de  5z =  6x + 8y + 2, 5x + 2y + 1, 5z = 1. S :  2x + 2y + 1, 5z =   3x1 8x1 2. S : 

6

− 2x2

−

x3 2x3

− −

2x4 x4

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motiva¸c˜ao s˜ao todos de equa¸c˜oes lineares. 648 215 ←− Aloca¸c˜ao de recursos. 196 = 0 = 0 = 0

Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Exemplos

Os sistemas de equa¸c˜ oes dos problemas de  5z =  6x + 8y + 2, 5x + 2y + 1, 5z = 1. S :  2x + 2y + 1, 5z =   3x1 8x1 2. S : 

− 2x2

−

x3 2x3

− −

2x4 x4

qu´ımicas.

6

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motiva¸c˜ao s˜ao todos de equa¸c˜oes lineares. 648 215 ←− Aloca¸c˜ao de recursos. 196 = 0 = 0 ←− Balanceamento de equa¸c˜oes = 0

Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Exemplos

Os sistemas de equa¸c˜ oes dos problemas de  5z =  6x + 8y + 2, 5x + 2y + 1, 5z = 1. S :  2x + 2y + 1, 5z =

6

  3x1 8x1 2. S : 

2x2

qu´ımicas.  3x1    2x1 3. S : x1    2x1

− x2 − 6x2 + x2 + 2x2

− −

motiva¸c˜ao s˜ao todos de equa¸c˜oes lineares. 648 215 ←− Aloca¸c˜ao de recursos. 196

x3 2x3

+ 3x3 − 3x3 + 3x3

− −

2x4 x4

+ −

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3x4 6x4

= 0 = 0 ←− Balanceamento de equa¸c˜oes = 0

= 0 = 0 = 0 = 0

Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Exemplos

Os sistemas de equa¸c˜ oes dos problemas de  5z =  6x + 8y + 2, 5x + 2y + 1, 5z = 1. S :  2x + 2y + 1, 5z =

6

  3x1 8x1 2. S : 

2x2

qu´ımicas.  3x1    2x1 3. S : x1    2x1

− x2 − 6x2 + x2 + 2x2

− −

motiva¸c˜ao s˜ao todos de equa¸c˜oes lineares. 648 215 ←− Aloca¸c˜ao de recursos. 196

x3 2x3

+ 3x3 − 3x3 + 3x3

− −

2x4 x4

+ −

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3x4 6x4

= 0 = 0 ←− Balanceamento de equa¸c˜oes = 0

= 0 = 0 ←− PageRank do Google. = 0 = 0

Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Exemplos

4. S :

 −x1          

7

+ x2 x2

− x3

+ x4 x4

−x1

+ x3

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− x5 x5

− x6 − x6

= = = = =

50 0 60 50 40

Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Exemplos

4. S :

 −x1          

7

+ x2 x2

− x3

+ x4 x4

−x1

+ x3

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− x5 x5

− x6 − x6

= = = = =

50 0 60 ←− Fluxo de Rede. 50 40

Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Exemplos

4. S :

 −x1          

5. S :

  

7

+ x2 x2

− x3

− x5 x5

+ x4 x4

−x1 3x −3x

+ x3 − 7y + 8y − y

− − +

8z 5z 13z

= = =

´ MAT A07 - Algebra Linear A - Semestre Letivo Suplementar - 2020

0 0 0

− x6 − x6

= = = = =

50 0 60 ←− Fluxo de Rede. 50 40

Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Exemplos

4. S :

 −x1          

5. S :

  

7

+ x2 x2

− x3

+ x4 x4

−x1 3x −3x

+ x3 − 7y + 8y − y

− − +

8z 5z 13z

= = =

´ MAT A07 - Algebra Linear A - Semestre Letivo Suplementar - 2020

− x5 x5

− x6 − x6

= = = = =

50 0 60 ←− Fluxo de Rede. 50 40

0 0 ←− moedas de Fibonacci. 0

Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Forma Matricial de um Sistema Linear

O sistema linear S se escreve matricialmente da seguinte forma:

8

´ MAT A07 - Algebra Linear A - Semestre Letivo Suplementar - 2020

Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Forma Matricial de um Sistema Linear

O sistema linear S se escreve matricialmente da seguinte forma:    S :  |

8

a11 a21 .. .

a12 a22 .. .

am1

am2 {z A

··· ··· .. .

a1n a2n .. .

···

amn

   ·  }

´ MAT A07 - Algebra Linear A - Semestre Letivo Suplementar - 2020

Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Forma Matricial de um Sistema Linear

O sistema linear S se escreve matricialmente da seguinte forma:    S :  |

8

a11 a21 .. .

a12 a22 .. .

am1

am2 {z A

··· ··· .. .

a1n a2n .. .

 

···

amn

xn } | {z }

    ·  

x1 x2 .. .

    

X

´ MAT A07 - Algebra Linear A - Semestre Letivo Suplementar - 2020

Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Forma Matricial de um Sistema Linear

O sistema linear S se escreve matricialmente da seguinte forma:    S :  |

8

a11 a21 .. .

a12 a22 .. .

am1

am2 {z A

··· ··· .. .

a1n a2n .. .

 

···

amn

xn } | {z }

    ·  

x1 x2 .. .





    =  

X

´ MAT A07 - Algebra Linear A - Semestre Letivo Suplementar - 2020

b1 b2 .. .

   , 

bm | {z } B

Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Forma Matricial de um Sistema Linear

O sistema linear S se escreve matricialmente da seguinte forma:  A a matriz dos coeficientes de S          x1 b1 a11 a12 · · · a1n     a21 a22 · · · a2n   x2   b2         S : . ·  .  =  . , com  . . . .. .. ..   ..   ..    ..     xn bm am1 am2 · · · amn   {z } | {z } | {z } | A

8

X

´ MAT A07 - Algebra Linear A - Semestre Letivo Suplementar - 2020

B

Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Forma Matricial de um Sistema Linear

O sistema linear S se escreve matricialmente da seguinte forma:  A a matriz dos coeficientes de S          x1 b1 a11 a12 · · · a1n     a21 a22 · · · a2n   x2   b2   X a matriz das vari´aveis de S       S : . ·  .  =  . , com  . . . .. .. ..   ..   ..    ..     xn bm am1 am2 · · · amn   {z } | {z } | {z } | A

8

X

´ MAT A07 - Algebra Linear A - Semestre Letivo Suplementar - 2020

B

Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Forma Matricial de um Sistema Linear

O sistema linear S se escreve matricialmente da seguinte forma:  A a matriz dos coeficientes de S          x1 b1 a11 a12 · · · a1n     a21 a22 · · · a2n   x2   b2   X a matriz das vari´aveis de S       S : . ·  .  =  . , com .  . . . .. .. ..   ..   ..    ..    B a matriz dos termos  xn bm am1 am2 · · · amn   {z } | {z } | {z } | independentes de S A

8

X

´ MAT A07 - Algebra Linear A - Semestre Letivo Suplementar - 2020

B

Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Forma Matricial de um Sistema Linear

O sistema linear S se escreve matricialmente da seguinte forma:  A a matriz dos coeficientes de S          x1 b1 a11 a12 · · · a1n     a21 a22 · · · a2n   x2   b2   X a matriz das vari´aveis de S       S : . ·  .  =  . , com .  . . . .. .. ..   ..   ..    ..    B a matriz dos termos  xn bm am1 am2 · · · amn   {z } | {z } | {z } | independentes de S A

X

A matriz ampliada do sistema S,

8

´ MAT A07 - Algebra Linear A - Semestre Letivo Suplementar - 2020

B

Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Forma Matricial de um Sistema Linear

O sistema linear S se escreve matricialmente da seguinte forma:  A a matriz dos coeficientes de S          x1 b1 a11 a12 · · · a1n     a21 a22 · · · a2n   x2   b2   X a matriz das vari´aveis de S       S : . ·  .  =  . , com .  . . . .. .. ..   ..   ..    ..    B a matriz dos termos  xn bm am1 am2 · · · amn   {z } | {z } | {z } | independentes de S A

X

B

A matriz ampliada do sistema S, indicada por M,

8

´ MAT A07 - Algebra Linear A - Semestre Letivo Suplementar - 2020

Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Forma Matricial de um Sistema Linear

O sistema linear S se escreve matricialmente da seguinte forma:  A a matriz dos coeficientes de S          x1 b1 a11 a12 · · · a1n     a21 a22 · · · a2n   x2   b2   X a matriz das vari´aveis de S       S : . ·  .  =  . , com .  . . . .. .. ..   ..   ..    ..    B a matriz dos termos  xn bm am1 am2 · · · amn   {z } | {z } | {z } | independentes de S A

X

B

A matriz ampliada do sistema S, indicada por M, ´e a matriz obtida de A incluindo uma coluna `a direita, esta constitu´ıda pelos termos independentes de S:

8

´ MAT A07 - Algebra Linear A - Semestre Letivo Suplementar - 2020

Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Forma Matricial de um Sistema Linear

O sistema linear S se escreve matricialmente da seguinte forma:  A a matriz dos coeficientes de S          x1 b1 a11 a12 · · · a1n     a21 a22 · · · a2n   x2   b2   X a matriz das vari´aveis de S       S : . ·  .  =  . , com .  . . . .. .. ..   ..   ..    ..    B a matriz dos termos  xn bm am1 am2 · · · amn   {z } | {z } | {z } | independentes de S A

X

B

A matriz ampliada do sistema S, indicada por M, ´e a matriz obtida de A incluindo uma coluna `a direita, esta constitu´ıda pelos termos independentes de S:   a11 a12 · · · a1n | b1  a21 a22 · · · a2n | b2    M= . .. .. .. ..  .  .. . . . .  am1 8

am2

´ MAT A07 - Algebra Linear A - Semestre Letivo Suplementar - 2020

···

amn

| bm

Forma Matricial de um Sistema Linear Exemplos

A forma matricial e a matriz ampliada dos sistemas de equa¸c˜oes dos problemas s˜ao:

9

´ MAT A07 - Algebra Linear A - Semestre Letivo Suplementar - 2020

Forma Matricial de um Sistema Linear Exemplos

A forma matricial e a matriz ampliada dos sistemas de equa¸c˜oes dos problemas s˜ao:       x 648 6 8 5 1.  2, 5 2 1, 5  ·  y  =  215  2 2 1, 5 z 196

9

´ MAT A07 - Algebra Linear A - Semestre Letivo Suplementar - 2020

Forma Matricial de um Sistema Linear Exemplos

A forma matricial e a matriz ampliada dos sistemas de equa¸c˜oes dos problemas s˜ao:         x 648 6 8 5 6 8 5 | 648 1.  2, 5 2 1, 5  ·  y  =  215  e M =  2, 5 2 1, 5 | 215 . 2 2 1, 5 z 196 2 2 1, 5 | 196

9

´ MAT A07 - Algebra Linear A - Semestre Letivo Suplementar - 2020

Forma Matricial de um Sistema Linear Exemplos

A forma matricial e a matriz ampliada dos sistemas de equa¸c˜oes dos problemas s˜ao:         x 648 6 8 5 6 8 5 | 648 1.  2, 5 2 1, 5  ·  y  =  215  e M =  2, 5 2 1, 5 | 215 . 2 2 1, 5 z 196 2 2 1, 5 | 196 

3 2.  8 0

9

0 0 2

   x1 −1 0 0  x2     0 −2  ·   x3  = 0 −2 −1 0 x4 



´ MAT A07 - Algebra Linear A - Semestre Letivo Suplementar - 2020

Forma Matricial de um Sistema Linear Exemplos

A forma matricial e a matriz ampliada dos sistemas de equa¸c˜oes dos problemas s˜ao:         x 648 6 8 5 6 8 5 | 648 1.  2, 5 2 1, 5  ·  y  =  215  e M =  2, 5 2 1, 5 | 215 . 2 2 1, 5 z 196 2 2 1, 5 | 196 

3 2.  8 0

9

0 0 2

   x1 −1 0 0  x2     e 0 −2  ·   x3  = 0 −2 −1 0 x4 



´ MAT A07 - Algebra Linear A - Semestre Letivo Suplementar - 2020



3 0 M= 8 0 0 2

 −1 0 | 0 0 −2 | 0 . −2 −1 | 0

Forma Matricial de um Sistema Linear Exemplos

A forma matricial e a matriz ampliada dos sistemas de equa¸c˜oes dos problemas s˜ao:         x 648 6 8 5 6 8 5 | 648 1.  2, 5 2 1, 5  ·  y  =  215  e M =  2, 5 2 1, 5 | 215 . 2 2 1, 5 z 196 2 2 1, 5 | 196 0 0 2



  −1 0 0 x1  x2 −6 3 0  · 1 −3 3   x3 2 3 −6 x4

3 2.  8 0 3  2 3.   1 2 9

   x1 −1 0 0  x2     e 0 −2  ·   x3  = 0 −2 −1 0 x4 









 0   0  =    0  0

´ MAT A07 - Algebra Linear A - Semestre Letivo Suplementar - 2020



3 0 M= 8 0 0 2

 −1 0 | 0 0 −2 | 0 . −2 −1 | 0

Forma Matricial de um Sistema Linear Exemplos

A forma matricial e a matriz ampliada dos sistemas de equa¸c˜oes dos problemas s˜ao:         x 648 6 8 5 6 8 5 | 648 1.  2, 5 2 1, 5  ·  y  =  215  e M =  2, 5 2 1, 5 | 215 . 2 2 1, 5 z 196 2 2 1, 5 | 196 0 0 2



  −1 0 0 x1  x2 −6 3 0  · 1 −3 3   x3 2 3 −6 x4

3 2.  8 0 3  2 3.   1 2 9

   x1 −1 0 0  x2     e 0 −2  ·   x3  = 0 −2 −1 0 x4 









 0   0  =    0  e 0

´ MAT A07 - Algebra Linear A - Semestre Letivo Suplementar - 2020



3 0 M= 8 0 0 2 

3  2 M=  1 2

 −1 0 | 0 0 −2 | 0 . −2 −1 | 0 −1 0 0 −6 3 0 1 −3 3 2 3 −6

| | | |

 0 0  . 0  0

Forma Matricial de um Sistema Linear Exemplos

   4.   

10

−1 0 0 0 −1





1 0 0 0 0   1 −1 1 −1 0     0 0 0 1 −1  ·   0 0 1 0 −1    0 1 0 0 0

´ MAT A07 - Algebra Linear A - Semestre Letivo Suplementar - 2020

x1 x2 x3 x4 x5 x6



      =     

50 0 60 50 40

     

Forma Matricial de um Sistema Linear Exemplos

   4.   

−1 0 0 0 −1 

  M=  

10





1 0 0 0 0   1 −1 1 −1 0     0 0 0 1 −1  ·   0 0 1 0 −1    0 1 0 0 0 −1 1 0 1 0 0 0 0 −1 0

0 0 0 0 −1 1 −1 0 0 0 1 −1 0 1 0 −1 1 0 0 0

´ MAT A07 - Algebra Linear A - Semestre Letivo Suplementar - 2020

x1 x2 x3 x4 x5 x6 | | | | |



      =      50 0 60 50 40

   .  

50 0 60 50 40

   e  

Forma Matricial de um Sistema Linear Exemplos

   4.   

−1 0 0 0 −1 

  M=   

3 5.  −3 0 10





1 0 0 0 0   1 −1 1 −1 0     0 0 0 1 −1  ·   0 0 1 0 −1    0 1 0 0 0 −1 1 0 1 0 0 0 0 −1 0

0 0 0 0 −1 1 −1 0 0 0 1 −1 0 1 0 −1 1 0 0 0

x1 x2 x3 x4 x5 x6 | | | | |

     −7 −8 x 0 8 −5  ·  y  =  0  −1 13 z 0

´ MAT A07 - Algebra Linear A - Semestre Letivo Suplementar - 2020



      =      50 0 60 50 40

   .  

50 0 60 50 40

   e  

Forma Matricial de um Sistema Linear Exemplos

   4.   

−1 0 0 0 −1 

  M=   

3 5.  −3 0 10





1 0 0 0 0   1 −1 1 −1 0     0 0 0 1 −1  ·   0 0 1 0 −1    0 1 0 0 0 −1 1 0 1 0 0 0 0 −1 0

0 0 0 0 −1 1 −1 0 0 0 1 −1 0 1 0 −1 1 0 0 0

x1 x2 x3 x4 x5 x6 | | | | |

     −7 −8 x 0 8 −5  ·  y  =  0  −1 13 z 0

´ MAT A07 - Algebra Linear A - Semestre Letivo Suplementar - 2020



      =      50 0 60 50 40

50 0 60 50 40

  e  

   .   

e



3 M =  −3 0

 −7 −8 | 0 8 −5 | 0 . −1 13 | 0

Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Solu¸c˜ ao de um Sistema Linear

˜ o de um sistema linear, real ou complexo, em n vari´aveis Uma soluc ¸a

11

´ MAT A07 - Algebra Linear A - Semestre Letivo Suplementar - 2020

Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Solu¸c˜ ao de um Sistema Linear

˜ o de um sistema linear, real ou complexo, em n Uma soluc ¸a  a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn       a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn S:       am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn

11

´ MAT A07 - Algebra Linear A - Semestre Letivo Suplementar - 2020

vari´aveis =

b1

= .. .

b2 ,

=

bm

Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Solu¸c˜ ao de um Sistema Linear

˜ o de um sistema linear, real ou complexo, em n Uma soluc ¸a  a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn       a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn S:       am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn ´e uma n-upla (λ1 , λ2 , · · · , λn ) ∈ Kn

11

´ MAT A07 - Algebra Linear A - Semestre Letivo Suplementar - 2020

vari´aveis =

b1

= .. .

b2 ,

=

bm

Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Solu¸c˜ ao de um Sistema Linear

˜ o de um sistema linear, real ou complexo, em n Uma soluc ¸a  a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn       a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn S:       am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn

vari´aveis

´e uma n-upla (λ1 , λ2 , · · · , λn ) ∈ Kn que ao substituir x1 por λ1 ,

11

´ MAT A07 - Algebra Linear A - Semestre Letivo Suplementar - 2020

=

b1

= .. .

b2 ,

=

bm

Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Solu¸c˜ ao de um Sistema Linear

˜ o de um sistema linear, real ou complexo, em n Uma soluc ¸a  a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn       a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn S:       am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn

vari´aveis =

b1

= .. .

b2 ,

=

bm

´e uma n-upla (λ1 , λ2 , · · · , λn ) ∈ Kn que ao substituir x1 por λ1 , x2 por λ2 ,

11

´ MAT A07 - Algebra Linear A - Semestre Letivo Suplementar - 2020

Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Solu¸c˜ ao de um Sistema Linear

˜ o de um sistema linear, real ou complexo, em n Uma soluc ¸a  a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn       a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn S:       am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn

vari´aveis =

b1

= .. .

b2 ,

=

bm

´e uma n-upla (λ1 , λ2 , · · · , λn ) ∈ Kn que ao substituir x1 por λ1 , x2 por λ2 , · · · ,

11

´ MAT A07 - Algebra Linear A - Semestre Letivo Suplementar - 2020

Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Solu¸c˜ ao de um Sistema Linear

˜ o de um sistema linear, real ou complexo, em n Uma soluc ¸a  a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn       a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn S:       am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn

vari´aveis =

b1

= .. .

b2 ,

=

bm

´e uma n-upla (λ1 , λ2 , · · · , λn ) ∈ Kn que ao substituir x1 por λ1 , x2 por λ2 , · · · , xn por λn todas as equa¸c˜ oes de S se verificam, ou seja,

11

´ MAT A07 - Algebra Linear A - Semestre Letivo Suplementar - 2020

Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Solu¸c˜ ao de um Sistema Linear

˜ o de um sistema linear, real ou complexo, em n Uma soluc ¸a  a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn       a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn S:       am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn

vari´aveis =

b1

= .. .

b2 ,

=

bm

´e uma n-upla (λ1 , λ2 , · · · , λn ) ∈ Kn que ao substituir x1 por λ1 , x2 por λ2 , · · · , xn por λn todas as equa¸c˜ oes de S se verificam, ou seja, a11 λ1

11

+

a12 λ2

+ ···

´ MAT A07 - Algebra Linear A - Semestre Letivo Suplementar - 2020

+

a1n λn

=

b1

X

Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Solu¸c˜ ao de um Sistema Linear

˜ o de um sistema linear, real ou complexo, em n Uma soluc ¸a  a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn       a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn S:       am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn

vari´aveis =

b1

= .. .

b2 ,

=

bm

´e uma n-upla (λ1 , λ2 , · · · , λn ) ∈ Kn que ao substituir x1 por λ1 , x2 por λ2 , · · · , xn por λn todas as equa¸c˜ oes de S se verificam, ou seja, a11 λ1 a21 λ1

11

+ +

a12 λ2 a22 λ2

+ ··· + ···

´ MAT A07 - Algebra Linear A - Semestre Letivo Suplementar - 2020

+ +

a1n λn a2n λn

= =

b1 b2

X X

Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Solu¸c˜ ao de um Sistema Linear

˜ o de um sistema linear, real ou complexo, em n Uma soluc ¸a  a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn       a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn S:       am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn

vari´aveis =

b1

= .. .

b2 ,

=

bm

´e uma n-upla (λ1 , λ2 , · · · , λn ) ∈ Kn que ao substituir x1 por λ1 , x2 por λ2 , · · · , xn por λn todas as equa¸c˜ oes de S se verificam, ou seja, a11 λ1 a21 λ1

11

+ +

a12 λ2 a22 λ2

+ ··· + ···

´ MAT A07 - Algebra Linear A - Semestre Letivo Suplementar - 2020

+ +

a1n λn a2n λn

= = .. .

b1 b2

X X

Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Solu¸c˜ ao de um Sistema Linear

˜ o de um sistema linear, real ou complexo, em n Uma soluc ¸a  a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn       a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn S:       am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn

vari´aveis =

b1

= .. .

b2 ,

=

bm

´e uma n-upla (λ1 , λ2 , · · · , λn ) ∈ Kn que ao substituir x1 por λ1 , x2 por λ2 , · · · , xn por λn todas as equa¸c˜ oes de S se verificam, ou seja,

11

a11 λ1 a21 λ1

+ +

a12 λ2 a22 λ2

+ ··· + ···

+ +

a1n λn a2n λn

= = .. .

b1 b2

X X

am1 λ1

+ am2 λ2

+ ···

+

amn λn

=

bm

X

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Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Solu¸c˜ ao de um Sistema Linear

Uma solu¸c˜ao do sistema linear S pode ser apresentada das seguintes maneiras:

12

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Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Solu¸c˜ ao de um Sistema Linear

Uma solu¸c˜ao do sistema linear S pode ser apresentada das seguintes maneiras:    x1 = λ1   x2 = λ 2 ou ..  .    xn = λ n

12

´ MAT A07 - Algebra Linear A - Semestre Letivo Suplementar - 2020

Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Solu¸c˜ ao de um Sistema Linear

Uma solu¸c˜ao do sistema linear S pode ser apresentada das seguintes maneiras:    x1 = λ1   x2 = λ 2 ou (λ1 , λ2 , · · · , λn ) ∈ Kn . ..  .    xn = λ n

12

´ MAT A07 - Algebra Linear A - Semestre Letivo Suplementar - 2020

Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Solu¸c˜ ao de um Sistema Linear

Uma solu¸c˜ao do sistema linear S pode ser apresentada das seguintes maneiras:    x1 = λ1   x2 = λ 2 ou (λ1 , λ2 , · · · , λn ) ∈ Kn . ..  .    xn = λ n ˜ o de S, O conjunto soluc ¸a

12

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Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Solu¸c˜ ao de um Sistema Linear

Uma solu¸c˜ao do sistema linear S pode ser apresentada das seguintes maneiras:    x1 = λ1   x2 = λ 2 ou (λ1 , λ2 , · · · , λn ) ∈ Kn . ..  .    xn = λ n ˜ o de S, indicado por Sol(S), O conjunto soluc ¸a

12

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Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Solu¸c˜ ao de um Sistema Linear

Uma solu¸c˜ao do sistema linear S pode ser apresentada das seguintes maneiras:    x1 = λ1   x2 = λ 2 ou (λ1 , λ2 , · · · , λn ) ∈ Kn . ..  .    xn = λ n ˜ o de S, indicado por Sol(S), ´e o conjunto de todas n-uplas O conjunto soluc ¸a (λ1 , λ2 , · · · , λn ) ∈ Kn solu¸c˜ oes de S, ou seja,

12

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Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Solu¸c˜ ao de um Sistema Linear

Uma solu¸c˜ao do sistema linear S pode ser apresentada das seguintes maneiras:    x1 = λ1   x2 = λ 2 ou (λ1 , λ2 , · · · , λn ) ∈ Kn . ..  .    xn = λ n ˜ o de S, indicado por Sol(S), ´e o conjunto de todas n-uplas O conjunto soluc ¸a (λ1 , λ2 , · · · , λn ) ∈ Kn solu¸c˜ oes de S, ou seja,  Sol(S) = λ = (λ1 , λ2 , · · · , λn ) ∈ Kn ; λ ´e solu¸c˜ao de S .

12

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Solu¸c˜ao de um Sistema Linear Exemplos

1. No problema de Aloca¸c˜ao de recursos h´a uma u ´nica solu¸c˜ao:

13

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Solu¸c˜ao de um Sistema Linear Exemplos

1. No problema de Aloca¸c˜ao de recursos h´a uma u ´nica solu¸c˜ao: 38 computadores Ligeirinho,

13

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Solu¸c˜ao de um Sistema Linear Exemplos

1. No problema de Aloca¸c˜ao de recursos h´a uma u ´nica solu¸c˜ao: 38 computadores Ligeirinho, 15 computadores C´opia fiel e

13

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Solu¸c˜ao de um Sistema Linear Exemplos

1. No problema de Aloca¸c˜ao de recursos h´a uma u ´nica solu¸c˜ao: 38 computadores Ligeirinho, 15 computadores C´opia fiel e 60 computadores Sossegado.

13

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Solu¸c˜ao de um Sistema Linear Exemplos

1. No problema de Aloca¸c˜ao de recursos h´a uma u ´nica solu¸c˜ao: 38 computadores Ligeirinho, 15 computadores C´opia fiel e 60 computadores Sossegado.

Sol(S) = {(38, 15, 60)}.

13

´ MAT A07 - Algebra Linear A - Semestre Letivo Suplementar - 2020

Solu¸c˜ao de um Sistema Linear Exemplos

1. No problema de Aloca¸c˜ao de recursos h´a uma u ´nica solu¸c˜ao: 38 computadores Ligeirinho, 15 computadores C´opia fiel e 60 computadores Sossegado.

Sol(S) = {(38, 15, 60)}. 2. No problema de Balanceamento de equa¸c˜ao qu´ımica encontramos as solu¸c˜oes dadas por:

13

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Solu¸c˜ao de um Sistema Linear Exemplos

1. No problema de Aloca¸c˜ao de recursos h´a uma u ´nica solu¸c˜ao: 38 computadores Ligeirinho, 15 computadores C´opia fiel e 60 computadores Sossegado.

Sol(S) = {(38, 15, 60)}. 2. No problema de Balanceamento de equa¸c˜ao qu´ımica encontramos as solu¸c˜oes dadas por: x3 = 3x1 , x4 = 4x1 , x2 = 5x1 , x1 vari´avel livre.

13

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Solu¸c˜ao de um Sistema Linear Exemplos

1. No problema de Aloca¸c˜ao de recursos h´a uma u ´nica solu¸c˜ao: 38 computadores Ligeirinho, 15 computadores C´opia fiel e 60 computadores Sossegado.

Sol(S) = {(38, 15, 60)}. 2. No problema de Balanceamento de equa¸c˜ao qu´ımica encontramos as solu¸c˜oes dadas por: x3 = 3x1 , x4 = 4x1 , x2 = 5x1 , x1 vari´avel livre.

 Sol(S) = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 ; x2 = 5x1 , x3 = 3x1 , x4 = 4x1 .

13

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Solu¸c˜ao de um Sistema Linear Exemplos

3. No problema da PageRank do Google encontramos as solu¸c˜oes dadas por:

14

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Solu¸c˜ao de um Sistema Linear Exemplos

3. No problema da PageRank do Google encontramos as solu¸c˜oes dadas por: x2 = 3x1 , x3 =

14

16 x1 , x4 = 4x1 , x1 vari´avel livre. 3

´ MAT A07 - Algebra Linear A - Semestre Letivo Suplementar - 2020

Solu¸c˜ao de um Sistema Linear Exemplos

3. No problema da PageRank do Google encontramos as solu¸c˜oes dadas por: x2 = 3x1 , x3 =  Sol(S) =

14

16 x1 , x4 = 4x1 , x1 vari´avel livre. 3

(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 ; x2 = 3x1 , x3 =

´ MAT A07 - Algebra Linear A - Semestre Letivo Suplementar - 2020

 16 x1 , x4 = 4x1 . 3

Solu¸c˜ao de um Sistema Linear Exemplos

3. No problema da PageRank do Google encontramos as solu¸c˜oes dadas por: x2 = 3x1 , x3 =  Sol(S) =

16 x1 , x4 = 4x1 , x1 vari´avel livre. 3

(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 ; x2 = 3x1 , x3 =

 16 x1 , x4 = 4x1 . 3

4. No problema de Fluxo de rede encontramos as solu¸c˜oes dadas por:

14

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Solu¸c˜ao de um Sistema Linear Exemplos

3. No problema da PageRank do Google encontramos as solu¸c˜oes dadas por: x2 = 3x1 , x3 =  Sol(S) =

16 x1 , x4 = 4x1 , x1 vari´avel livre. 3

(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 ; x2 = 3x1 , x3 =

 16 x1 , x4 = 4x1 . 3

4. No problema de Fluxo de rede encontramos as solu¸c˜oes dadas por: x2 = x1 + 50, x3 = x1 + 40, x4 = x6 + 50 x5 = x6 + 60, x1 e x6 vari´aveis livres.

14

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Solu¸c˜ao de um Sistema Linear Exemplos

3. No problema da PageRank do Google encontramos as solu¸c˜oes dadas por: x2 = 3x1 , x3 =  Sol(S) =

16 x1 , x4 = 4x1 , x1 vari´avel livre. 3

(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 ; x2 = 3x1 , x3 =

 16 x1 , x4 = 4x1 . 3

4. No problema de Fluxo de rede encontramos as solu¸c˜oes dadas por: x2 = x1 + 50, x3 = x1 + 40, x4 = x6 + 50 x5 = x6 + 60, x1 e x6 vari´aveis livres.  6 Sol(S) = (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ) ∈ R ; x2 = x1 + 50, x3 = x1 + 40, x4 = x6 + 50, x5 = x6 + 60 .

14

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Solu¸c˜ao de um Sistema Linear Exemplos

5. No problema das moedas de Fibonacci encontramos as solu¸c˜oes dadas por:

15

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Solu¸c˜ao de um Sistema Linear Exemplos

5. No problema das moedas de Fibonacci encontramos as solu¸c˜oes dadas por: x = 33z

15

e

y = 13z, com z vari´avel livre.

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Solu¸c˜ao de um Sistema Linear Exemplos

5. No problema das moedas de Fibonacci encontramos as solu¸c˜oes dadas por: x = 33z e y = 13z, com z vari´avel livre.  Sol(S) = (x, y , z) ∈ R3 ; x = 33z, y = 13z .

15

´ MAT A07 - Algebra Linear A - Semestre Letivo Suplementar - 2020

Solu¸c˜ao de um Sistema Linear Exemplos

5. No problema das moedas de Fibonacci encontramos as solu¸c˜oes dadas por: x = 33z e y = 13z, com z vari´avel livre.  Sol(S) = (x, y , z) ∈ R3 ; x = 33z, y = 13z . ˜ o: Observac ¸a Nos exemplos acima as solu¸c˜ oes foram apresentadas com as vari´aveis livres variando em R.

15

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Solu¸c˜ao de um Sistema Linear Exemplos

5. No problema das moedas de Fibonacci encontramos as solu¸c˜oes dadas por: x = 33z e y = 13z, com z vari´avel livre.  Sol(S) = (x, y , z) ∈ R3 ; x = 33z, y = 13z . ˜ o: Observac ¸a Nos exemplos acima as solu¸c˜ oes foram apresentadas com as vari´aveis livres variando em R. No entanto, no contexto dos problemas as vari´aveis s˜ao inteiros n˜ao negativos.

15

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Solu¸c˜ao de um Sistema Linear Exemplos

5. No problema das moedas de Fibonacci encontramos as solu¸c˜oes dadas por: x = 33z e y = 13z, com z vari´avel livre.  Sol(S) = (x, y , z) ∈ R3 ; x = 33z, y = 13z . ˜ o: Observac ¸a Nos exemplos acima as solu¸c˜ oes foram apresentadas com as vari´aveis livres variando em R. No entanto, no contexto dos problemas as vari´aveis s˜ao inteiros n˜ao negativos. ˜ o: Proposic ¸a Se um sistema de equa¸c˜ oes lineares S, em K = R ou C, tem mais do que uma solu¸c˜ao,

15

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Solu¸c˜ao de um Sistema Linear Exemplos

5. No problema das moedas de Fibonacci encontramos as solu¸c˜oes dadas por: x = 33z e y = 13z, com z vari´avel livre.  Sol(S) = (x, y , z) ∈ R3 ; x = 33z, y = 13z . ˜ o: Observac ¸a Nos exemplos acima as solu¸c˜ oes foram apresentadas com as vari´aveis livres variando em R. No entanto, no contexto dos problemas as vari´aveis s˜ao inteiros n˜ao negativos. ˜ o: Proposic ¸a Se um sistema de equa¸c˜ oes lineares S, em K = R ou C, tem mais do que uma solu¸c˜ao, ent˜ao S tem infinitas solu¸c˜ oes.

15

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Classifica¸c˜ao de Sistemas Lineares Sistemas Compat´ıveis e Sistemas Incompat´ıveis

˜ o: Dizemos que um sistema de equa¸c˜ Definic ¸a oes lineares ´e compat´ıvel

16

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Classifica¸c˜ao de Sistemas Lineares Sistemas Compat´ıveis e Sistemas Incompat´ıveis

˜ o: Dizemos que um sistema de equa¸c˜ Definic ¸a oes lineares ´e compat´ıvel quando admite alguma solu¸c˜ao.

16

´ MAT A07 - Algebra Linear A - Semestre Letivo Suplementar - 2020

Classifica¸c˜ao de Sistemas Lineares Sistemas Compat´ıveis e Sistemas Incompat´ıveis

˜ o: Dizemos que um sistema de equa¸c˜ Definic ¸a oes lineares ´e compat´ıvel quando admite alguma solu¸c˜ao. • Um sistema linear S compat´ıvel ´e poss´ıvel determinado,

16

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Classifica¸c˜ao de Sistemas Lineares Sistemas Compat´ıveis e Sistemas Incompat´ıveis

˜ o: Dizemos que um sistema de equa¸c˜ Definic ¸a oes lineares ´e compat´ıvel quando admite alguma solu¸c˜ao. • Um sistema linear S compat´ıvel ´e poss´ıvel determinado, se S admite uma u ´nica solu¸c˜ao.

16

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Classifica¸c˜ao de Sistemas Lineares Sistemas Compat´ıveis e Sistemas Incompat´ıveis

˜ o: Dizemos que um sistema de equa¸c˜ Definic ¸a oes lineares ´e compat´ıvel quando admite alguma solu¸c˜ao. • Um sistema linear S compat´ıvel ´e poss´ıvel determinado, se S admite uma u ´nica solu¸c˜ao. • Um sistema linear S compat´ıvel ´e poss´ıvel indeterminado,

16

´ MAT A07 - Algebra Linear A - Semestre Letivo Suplementar - 2020

Classifica¸c˜ao de Sistemas Lineares Sistemas Compat´ıveis e Sistemas Incompat´ıveis

˜ o: Dizemos que um sistema de equa¸c˜ Definic ¸a oes lineares ´e compat´ıvel quando admite alguma solu¸c˜ao. • Um sistema linear S compat´ıvel ´e poss´ıvel determinado, se S admite uma u ´nica solu¸c˜ao. • Um sistema linear S compat´ıvel ´e poss´ıvel indeterminado, se S admitem infinitas solu¸c˜ oes.

16

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Classifica¸c˜ao de Sistemas Lineares Sistemas Compat´ıveis e Sistemas Incompat´ıveis

˜ o: Dizemos que um sistema de equa¸c˜ Definic ¸a oes lineares ´e compat´ıvel quando admite alguma solu¸c˜ao. • Um sistema linear S compat´ıvel ´e poss´ıvel determinado, se S admite uma u ´nica solu¸c˜ao. • Um sistema linear S compat´ıvel ´e poss´ıvel indeterminado, se S admitem infinitas solu¸c˜ oes. ˜ o: Um sistema de equa¸c˜ Definic ¸a oes lineares ´e incompat´ıvel

16

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Classifica¸c˜ao de Sistemas Lineares Sistemas Compat´ıveis e Sistemas Incompat´ıveis

˜ o: Dizemos que um sistema de equa¸c˜ Definic ¸a oes lineares ´e compat´ıvel quando admite alguma solu¸c˜ao. • Um sistema linear S compat´ıvel ´e poss´ıvel determinado, se S admite uma u ´nica solu¸c˜ao. • Um sistema linear S compat´ıvel ´e poss´ıvel indeterminado, se S admitem infinitas solu¸c˜ oes. ˜ o: Um sistema de equa¸c˜ Definic ¸a oes lineares ´e incompat´ıvel quando n˜ao admite solu¸c˜ao.

16

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Sistemas Compat´ıveis e Sistemas Incompat´ıveis Exemplos

1. O sistema linear do problema de Aloca¸c˜ao de recursos ´e poss´ıvel determinado, pois tem uma u ´nica solu¸c˜ao.

17

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Sistemas Compat´ıveis e Sistemas Incompat´ıveis Exemplos

1. O sistema linear do problema de Aloca¸c˜ao de recursos ´e poss´ıvel determinado, pois tem uma u ´nica solu¸c˜ao. 2. O sistema linear do problema de Balanceamento de equa¸c˜ao qu´ımica ´e poss´ıvel indeterminado, pois tem infinitas solu¸c˜ oes.

17

´ MAT A07 - Algebra Linear A - Semestre Letivo Suplementar - 2020

Sistemas Compat´ıveis e Sistemas Incompat´ıveis Exemplos

1. O sistema linear do problema de Aloca¸c˜ao de recursos ´e poss´ıvel determinado, pois tem uma u ´nica solu¸c˜ao. 2. O sistema linear do problema de Balanceamento de equa¸c˜ao qu´ımica ´e poss´ıvel indeterminado, pois tem infinitas solu¸c˜ oes. 3. O sistema linear do problema da PageRank do Google ´e poss´ıvel indeterminado, pois tem infinitas solu¸c˜ oes.

17

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Sistemas Compat´ıveis e Sistemas Incompat´ıveis Exemplos

1. O sistema linear do problema de Aloca¸c˜ao de recursos ´e poss´ıvel determinado, pois tem uma u ´nica solu¸c˜ao. 2. O sistema linear do problema de Balanceamento de equa¸c˜ao qu´ımica ´e poss´ıvel indeterminado, pois tem infinitas solu¸c˜ oes. 3. O sistema linear do problema da PageRank do Google ´e poss´ıvel indeterminado, pois tem infinitas solu¸c˜ oes. 4. O sistema linear do problema de Fluxo de rede ´e poss´ıvel indeterminado, pois tem infinitas solu¸c˜ oes.

17

´ MAT A07 - Algebra Linear A - Semestre Letivo Suplementar - 2020

Sistemas Compat´ıveis e Sistemas Incompat´ıveis Exemplos

1. O sistema linear do problema de Aloca¸c˜ao de recursos ´e poss´ıvel determinado, pois tem uma u ´nica solu¸c˜ao. 2. O sistema linear do problema de Balanceamento de equa¸c˜ao qu´ımica ´e poss´ıvel indeterminado, pois tem infinitas solu¸c˜ oes. 3. O sistema linear do problema da PageRank do Google ´e poss´ıvel indeterminado, pois tem infinitas solu¸c˜ oes. 4. O sistema linear do problema de Fluxo de rede ´e poss´ıvel indeterminado, pois tem infinitas solu¸c˜ oes. 5. O sistema linear do problema das moedas de Fibonacci ´e poss´ıvel indeterminado, pois tem infinitas solu¸c˜ oes. 17

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Sistemas Compat´ıveis e Sistemas Incompat´ıveis Exemplos

  3x x 6. No sistema linear S :  2x Da 2a equa¸c˜ao obtemos:

18

− 4y + y + 3y

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= = =

4 6 10

Sistemas Compat´ıveis e Sistemas Incompat´ıveis Exemplos

  3x − 4y x + y 6. No sistema linear S :  2x + 3y Da 2a equa¸c˜ao obtemos: x = 6 − y .

18

´ MAT A07 - Algebra Linear A - Semestre Letivo Suplementar - 2020

= = =

4 6 10

Sistemas Compat´ıveis e Sistemas Incompat´ıveis Exemplos

  3x − 4y x + y 6. No sistema linear S :  2x + 3y Da 2a equa¸c˜ao obtemos: x = 6 − y . Substituindo na 1a equa¸c˜ao temos

18

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= = =

4 6 10

Sistemas Compat´ıveis e Sistemas Incompat´ıveis Exemplos

  3x − 4y x + y 6. No sistema linear S :  2x + 3y Da 2a equa¸c˜ao obtemos: x = 6 − y . Substituindo na 1a equa¸c˜ao temos 3x − 4y = 4

18

´ MAT A07 - Algebra Linear A - Semestre Letivo Suplementar - 2020

= = =

4 6 10

Sistemas Compat´ıveis e Sistemas Incompat´ıveis Exemplos

  3x − 4y x + y 6. No sistema linear S :  2x + 3y Da 2a equa¸c˜ao obtemos: x = 6 − y . Substituindo na 1a equa¸c˜ao temos 3x − 4y = 4 =⇒ 3(6 − y ) − 4y = 4

18

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= = =

4 6 10

Sistemas Compat´ıveis e Sistemas Incompat´ıveis Exemplos

  3x − 4y x + y 6. No sistema linear S :  2x + 3y Da 2a equa¸c˜ao obtemos: x = 6 − y .

= = =

4 6 10

Substituindo na 1a equa¸c˜ao temos 3x − 4y = 4 =⇒ 3(6 − y ) − 4y = 4 ⇐⇒ 18 − 3y − 4y = 4 ⇐⇒ 7y = 14 ⇐⇒ y = 2.

18

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Sistemas Compat´ıveis e Sistemas Incompat´ıveis Exemplos

  3x − 4y x + y 6. No sistema linear S :  2x + 3y Da 2a equa¸c˜ao obtemos: x = 6 − y .

= = =

4 6 10

Substituindo na 1a equa¸c˜ao temos 3x − 4y = 4 =⇒ 3(6 − y ) − 4y = 4 ⇐⇒ 18 − 3y − 4y = 4 ⇐⇒ 7y = 14 ⇐⇒ y = 2. Substituindo na 3a equa¸c˜ao temos

18

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Sistemas Compat´ıveis e Sistemas Incompat´ıveis Exemplos

  3x − 4y x + y 6. No sistema linear S :  2x + 3y Da 2a equa¸c˜ao obtemos: x = 6 − y .

= = =

4 6 10

Substituindo na 1a equa¸c˜ao temos 3x − 4y = 4 =⇒ 3(6 − y ) − 4y = 4 ⇐⇒ 18 − 3y − 4y = 4 ⇐⇒ 7y = 14 ⇐⇒ y = 2. Substituindo na 3a equa¸c˜ao temos 2x + 3y = 10

18

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Sistemas Compat´ıveis e Sistemas Incompat´ıveis Exemplos

  3x − 4y x + y 6. No sistema linear S :  2x + 3y Da 2a equa¸c˜ao obtemos: x = 6 − y .

= = =

4 6 10

Substituindo na 1a equa¸c˜ao temos 3x − 4y = 4 =⇒ 3(6 − y ) − 4y = 4 ⇐⇒ 18 − 3y − 4y = 4 ⇐⇒ 7y = 14 ⇐⇒ y = 2. Substituindo na 3a equa¸c˜ao temos 2x + 3y = 10 =⇒ 2(6 − y ) + 3y = 10

18

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Sistemas Compat´ıveis e Sistemas Incompat´ıveis Exemplos

  3x − 4y x + y 6. No sistema linear S :  2x + 3y Da 2a equa¸c˜ao obtemos: x = 6 − y .

= = =

4 6 10

Substituindo na 1a equa¸c˜ao temos 3x − 4y = 4 =⇒ 3(6 − y ) − 4y = 4 ⇐⇒ 18 − 3y − 4y = 4 ⇐⇒ 7y = 14 ⇐⇒ y = 2. Substituindo na 3a equa¸c˜ao temos 2x + 3y = 10 =⇒ 2(6 − y ) + 3y = 10 ⇐⇒ 12 − 2y + 3y = 10 ⇐⇒ y = −2.

18

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Sistemas Compat´ıveis e Sistemas Incompat´ıveis Exemplos

  3x − 4y x + y 6. No sistema linear S :  2x + 3y Da 2a equa¸c˜ao obtemos: x = 6 − y .

= = =

4 6 10

Substituindo na 1a equa¸c˜ao temos 3x − 4y = 4 =⇒ 3(6 − y ) − 4y = 4 ⇐⇒ 18 − 3y − 4y = 4 ⇐⇒ 7y = 14 ⇐⇒ y = 2. Substituindo na 3a equa¸c˜ao temos 2x + 3y = 10 =⇒ 2(6 − y ) + 3y = 10 ⇐⇒ 12 − 2y + 3y = 10 ⇐⇒ y = −2. Uma contradi¸c˜ao!,

18

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Sistemas Compat´ıveis e Sistemas Incompat´ıveis Exemplos

  3x − 4y x + y 6. No sistema linear S :  2x + 3y Da 2a equa¸c˜ao obtemos: x = 6 − y .

= = =

4 6 10

Substituindo na 1a equa¸c˜ao temos 3x − 4y = 4 =⇒ 3(6 − y ) − 4y = 4 ⇐⇒ 18 − 3y − 4y = 4 ⇐⇒ 7y = 14 ⇐⇒ y = 2. Substituindo na 3a equa¸c˜ao temos 2x + 3y = 10 =⇒ 2(6 − y ) + 3y = 10 ⇐⇒ 12 − 2y + 3y = 10 ⇐⇒ y = −2. Uma contradi¸c˜ao!, pois 2 6= −2.

18

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Sistemas Compat´ıveis e Sistemas Incompat´ıveis Exemplos

  3x − 4y x + y 6. No sistema linear S :  2x + 3y Da 2a equa¸c˜ao obtemos: x = 6 − y .

= = =

4 6 10

Substituindo na 1a equa¸c˜ao temos 3x − 4y = 4 =⇒ 3(6 − y ) − 4y = 4 ⇐⇒ 18 − 3y − 4y = 4 ⇐⇒ 7y = 14 ⇐⇒ y = 2. Substituindo na 3a equa¸c˜ao temos 2x + 3y = 10 =⇒ 2(6 − y ) + 3y = 10 ⇐⇒ 12 − 2y + 3y = 10 ⇐⇒ y = −2. Uma contradi¸c˜ao!, pois 2 6= −2. Portanto, S ´e um sistema incompat´ıvel. 18

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Classifica¸c˜ao de Sistemas Lineares Sistemas Lineares Homogˆeneos

˜ o: Um sistema de equa¸c˜ ˆneo Definic ¸a oes lineares ´e homoge

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Classifica¸c˜ao de Sistemas Lineares Sistemas Lineares Homogˆeneos

˜ o: Um sistema de equa¸c˜ ˆneo quando todos os termos Definic ¸a oes lineares ´e homoge independentes s˜ao iguais a zero.

19

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Classifica¸c˜ao de Sistemas Lineares Sistemas Lineares Homogˆeneos

˜ o: Um sistema de equa¸c˜ ˆneo quando todos os termos Definic ¸a oes lineares ´e homoge independentes s˜ao iguais a zero. Exemplos: 1. O sistema linear do problema de Balanceamento de equa¸c˜ao qu´ımica ´e homogˆeneo, pois os termos independentes s˜ao todos iguais a zero.

19

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Classifica¸c˜ao de Sistemas Lineares Sistemas Lineares Homogˆeneos

˜ o: Um sistema de equa¸c˜ ˆneo quando todos os termos Definic ¸a oes lineares ´e homoge independentes s˜ao iguais a zero. Exemplos: 1. O sistema linear do problema de Balanceamento de equa¸c˜ao qu´ımica ´e homogˆeneo, pois os termos independentes s˜ao todos iguais a zero. 2. O sistema linear do problema da PageRank do Google ´e homogˆeneo, pois os termos independentes s˜ao todos iguais a zero.

19

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Classifica¸c˜ao de Sistemas Lineares Sistemas Lineares Homogˆeneos

˜ o: Um sistema de equa¸c˜ ˆneo quando todos os termos Definic ¸a oes lineares ´e homoge independentes s˜ao iguais a zero. Exemplos: 1. O sistema linear do problema de Balanceamento de equa¸c˜ao qu´ımica ´e homogˆeneo, pois os termos independentes s˜ao todos iguais a zero. 2. O sistema linear do problema da PageRank do Google ´e homogˆeneo, pois os termos independentes s˜ao todos iguais a zero. 3. O sistema linear do problema das moedas de Fibonacci ´e homogˆeneo, pois os termos independentes s˜ao todos iguais a zero.

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Classifica¸c˜ao de Sistemas Lineares Sistemas Lineares Homogˆeneos

˜ o: Observac ¸a Todo sistema linear homogˆeneo admite pelo menos uma solu¸c˜ao, que ´e aquela em que todas as ˜ o trivial, ou seja, se vari´aveis s˜ao iguais a zero, esta solu¸c˜ao ´e chamada soluc ¸a

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Classifica¸c˜ao de Sistemas Lineares Sistemas Lineares Homogˆeneos

˜ o: Observac ¸a Todo sistema linear homogˆeneo admite pelo menos uma solu¸c˜ao, que ´e aquela em que todas as ˜ o trivial, ou seja, se vari´aveis s˜ao iguais a zero, esta solu¸c˜ao ´e chamada soluc ¸a  a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0       a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = 0 , S:  ..   .    am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = 0 ent˜ao

20

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Classifica¸c˜ao de Sistemas Lineares Sistemas Lineares Homogˆeneos

˜ o: Observac ¸a Todo sistema linear homogˆeneo admite pelo menos uma solu¸c˜ao, que ´e aquela em que todas as ˜ o trivial, ou seja, se vari´aveis s˜ao iguais a zero, esta solu¸c˜ao ´e chamada soluc ¸a  a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0       a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = 0 , S:  ..   .    am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = 0 ent˜ao x1 = x2 = · · · = xn = 0 ´e a solu¸c˜ao trivial de S.

20

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Classifica¸c˜ao de Sistemas Lineares Sistemas Lineares Homogˆeneos

˜ o: Observac ¸a Todo sistema linear homogˆeneo admite pelo menos uma solu¸c˜ao, que ´e aquela em que todas as ˜ o trivial, ou seja, se vari´aveis s˜ao iguais a zero, esta solu¸c˜ao ´e chamada soluc ¸a  a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0       a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = 0 , S:  ..   .    am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = 0 ent˜ao x1 = x2 = · · · = xn = 0 ´e a solu¸c˜ao trivial de S. Consequentemente, um sistema homogˆeneo ´e um sistema compat´ıvel determinado ou indeterminado. 20

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Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Sistemas Lineares Equivalentes

˜ o: Dois sistemas lineares S e S 0 s˜ao equivalentes se, e somente se, tˆem o mesmo Definic ¸a conjunto solu¸c˜ao.

21

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Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Sistemas Lineares Equivalentes

˜ o: Dois sistemas lineares S e S 0 s˜ao equivalentes se, e somente se, tˆem o mesmo Definic ¸a conjunto solu¸c˜ao. Nota¸c˜ao: S ∼ S 0 .

21

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Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Sistemas Lineares Equivalentes

˜ o: Dois sistemas lineares S e S 0 s˜ao equivalentes se, e somente se, tˆem o mesmo Definic ¸a conjunto solu¸c˜ao. Nota¸c˜ao: S ∼ S 0 . Exemplos: 1. No problema das moedas de Fibonacci os sistemas lineares:

21

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Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Sistemas Lineares Equivalentes

˜ o: Dois sistemas lineares S e S 0 s˜ao equivalentes se, e somente se, tˆem o mesmo Definic ¸a conjunto solu¸c˜ao. Nota¸c˜ao: S ∼ S 0 . Exemplos: 1. No problema das moedas  7y x   −   18  6 x 4y S: − +  6 9   y   − 6 e

21

de Fibonacci os sistemas lineares: 8z − = 0 18 5z − = 0 18 13z + = 0 18

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Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Sistemas Lineares Equivalentes

˜ o: Dois sistemas lineares S e S 0 s˜ao equivalentes se, e somente se, tˆem o mesmo Definic ¸a conjunto solu¸c˜ao. Nota¸c˜ao: S ∼ S 0 . Exemplos: 1. No problema das moedas  7y x   −   18  6 x 4y S: − +  6 9   y   − 6 e

21

de Fibonacci os sistemas lineares: 8z − = 0 18 5z − = 0 18 13z + = 0 18   3x − 7y − −3x + 8y − S0 :  − y +

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8z 5z 13z

= = =

0 0 0

Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Sistemas Lineares Equivalentes

˜ o: Dois sistemas lineares S e S 0 s˜ao equivalentes se, e somente se, tˆem o mesmo Definic ¸a conjunto solu¸c˜ao. Nota¸c˜ao: S ∼ S 0 . Exemplos: 1. No problema das moedas  7y x   −   18  6 x 4y S: − +  6 9   y   − 6 e

de Fibonacci os sistemas lineares: 8z − = 0 18 5z − = 0 18 13z + = 0 18   3x − 7y − −3x + 8y − S0 :  − y +

s˜ao equivalentes. 21

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8z 5z 13z

= = =

0 0 0

Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Sistemas Lineares Equivalentes

2. No problema da PageRank do Google os sistemas lineares:

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Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Sistemas Lineares Equivalentes

2. No problema da PageRank do Google os sistemas lineares:   x1      1   x1 3 S: 1   x1   3     1x 1 3

22

− − + +

1 x2 3 x2 1 x2 3 1 x2 3

+ − +

1 x3 2 x3 1 x3 2

=

0

=

0

+ x4

=

0

− x4

=

0

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Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Sistemas Lineares Equivalentes

2. No problema da PageRank do Google os sistemas lineares:   x1      1   x1 3 S: 1   x1   3     1x 1 3 e

22

− − + +

1 x2 3 x2 1 x2 3 1 x2 3

+ − +

1 x3 2 x3 1 x3 2

=

0

=

0

+ x4

=

0

− x4

=

0

 3x1    2x 1 S0 x  1   2x1

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− x2 − 6x2 + x2 + 2x2

+ 3x3 − 3x3 + 3x3

+ 3x4 − 6x4

= 0 = 0 = 0 = 0

Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Sistemas Lineares Equivalentes

2. No problema da PageRank do Google os sistemas lineares:   x1      1   x1 3 S: 1   x1   3     1x 1 3 e

− − + +

1 x2 3 x2 1 x2 3 1 x2 3

+ − +

1 x3 2 x3 1 x3 2

=

0

=

0

+ x4

=

0

− x4

=

0

 3x1    2x 1 S0 x  1   2x1

s˜ao equivalentes. 22

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− x2 − 6x2 + x2 + 2x2

+ 3x3 − 3x3 + 3x3

+ 3x4 − 6x4

= 0 = 0 = 0 = 0

Sistemas Lineares Equivalentes Opera¸co ˜es Elementares sobre as Equa¸co ˜es de um Sistema Linear

As opera¸c˜ oes elementares s˜ao utilizadas em sistemas lineares, com as mesmas nota¸c˜oes:

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Sistemas Lineares Equivalentes Opera¸co ˜es Elementares sobre as Equa¸co ˜es de um Sistema Linear

As opera¸c˜ oes elementares s˜ao utilizadas em sistemas lineares, com as mesmas nota¸c˜oes: OE1 Permuta¸c˜ao da i-´esima equa¸c˜ao e a j-´esima equa¸c˜ao.

23

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Sistemas Lineares Equivalentes Opera¸co ˜es Elementares sobre as Equa¸co ˜es de um Sistema Linear

As opera¸c˜ oes elementares s˜ao utilizadas em sistemas lineares, com as mesmas nota¸c˜oes: OE1 Permuta¸c˜ao da i-´esima equa¸c˜ao e a j-´esima equa¸c˜ao. Li ←→ Lj

23

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Sistemas Lineares Equivalentes Opera¸co ˜es Elementares sobre as Equa¸co ˜es de um Sistema Linear

As opera¸c˜ oes elementares s˜ao utilizadas em sistemas lineares, com as mesmas nota¸c˜oes: OE1 Permuta¸c˜ao da i-´esima equa¸c˜ao e a j-´esima equa¸c˜ao. Li ←→ Lj OE2 Substitui¸c˜ao da i-´esima equa¸c˜ao por ela multiplicada por n´ umero n˜ao nulo κ.

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Sistemas Lineares Equivalentes Opera¸co ˜es Elementares sobre as Equa¸co ˜es de um Sistema Linear

As opera¸c˜ oes elementares s˜ao utilizadas em sistemas lineares, com as mesmas nota¸c˜oes: OE1 Permuta¸c˜ao da i-´esima equa¸c˜ao e a j-´esima equa¸c˜ao. Li ←→ Lj OE2 Substitui¸c˜ao da i-´esima equa¸c˜ao por ela multiplicada por n´ umero n˜ao nulo κ. Li −→ κLi

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Sistemas Lineares Equivalentes Opera¸co ˜es Elementares sobre as Equa¸co ˜es de um Sistema Linear

As opera¸c˜ oes elementares s˜ao utilizadas em sistemas lineares, com as mesmas nota¸c˜oes: OE1 Permuta¸c˜ao da i-´esima equa¸c˜ao e a j-´esima equa¸c˜ao. Li ←→ Lj OE2 Substitui¸c˜ao da i-´esima equa¸c˜ao por ela multiplicada por n´ umero n˜ao nulo κ. Li −→ κLi OE3 Substitui¸c˜ao da i-´esima equa¸c˜ao por ela somada com a j-´esima equa¸c˜ao multiplicada por n´ umero n˜ao nulo κ.

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Sistemas Lineares Equivalentes Opera¸co ˜es Elementares sobre as Equa¸co ˜es de um Sistema Linear

As opera¸c˜ oes elementares s˜ao utilizadas em sistemas lineares, com as mesmas nota¸c˜oes: OE1 Permuta¸c˜ao da i-´esima equa¸c˜ao e a j-´esima equa¸c˜ao. Li ←→ Lj OE2 Substitui¸c˜ao da i-´esima equa¸c˜ao por ela multiplicada por n´ umero n˜ao nulo κ. Li −→ κLi OE3 Substitui¸c˜ao da i-´esima equa¸c˜ao por ela somada com a j-´esima equa¸c˜ao multiplicada por n´ umero n˜ao nulo κ. Li −→ Li + κLj

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Sistemas Lineares Equivalentes Opera¸co ˜es Elementares sobre as Equa¸co ˜es de um Sistema Linear

As opera¸c˜ oes elementares s˜ao utilizadas em sistemas lineares, com as mesmas nota¸c˜oes: OE1 Permuta¸c˜ao da i-´esima equa¸c˜ao e a j-´esima equa¸c˜ao. Li ←→ Lj OE2 Substitui¸c˜ao da i-´esima equa¸c˜ao por ela multiplicada por n´ umero n˜ao nulo κ. Li −→ κLi OE3 Substitui¸c˜ao da i-´esima equa¸c˜ao por ela somada com a j-´esima equa¸c˜ao multiplicada por n´ umero n˜ao nulo κ. Li −→ Li + κLj Teorema: Dois sistemas lineares S e S 0 s˜ao equivalentes se, e somente se,

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Sistemas Lineares Equivalentes Opera¸co ˜es Elementares sobre as Equa¸co ˜es de um Sistema Linear

As opera¸c˜ oes elementares s˜ao utilizadas em sistemas lineares, com as mesmas nota¸c˜oes: OE1 Permuta¸c˜ao da i-´esima equa¸c˜ao e a j-´esima equa¸c˜ao. Li ←→ Lj OE2 Substitui¸c˜ao da i-´esima equa¸c˜ao por ela multiplicada por n´ umero n˜ao nulo κ. Li −→ κLi OE3 Substitui¸c˜ao da i-´esima equa¸c˜ao por ela somada com a j-´esima equa¸c˜ao multiplicada por n´ umero n˜ao nulo κ. Li −→ Li + κLj Teorema: Dois sistemas lineares S e S 0 s˜ao equivalentes se, e somente se, S 0 pode ser obtido efetuando um n´ umero finito de opera¸c˜ oes elementares sobre as equa¸c˜oes de S. 23

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Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Sistemas Lineares Equivalentes

Exemplo: No problema das moedas de Fibonacci: os sistemas lineares:

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Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Sistemas Lineares Equivalentes

Exemplo: No problema das moedas de Fibonacci: os sistemas lineares:  8z = 0  3x − 7y − −3x + 8y − 5z = 0 ←− L2 → L2 + L1 S:  − y + 13z = 0

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Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Sistemas Lineares Equivalentes

Exemplo: No problema das moedas de Fibonacci: os sistemas lineares:  8z = 0  3x − 7y − −3x + 8y − 5z = 0 ←− L2 → L2 + L1 S:  − y + 13z = 0  8z = 0  3x − 7y − y − 13z = 0 ∼ S1 :  − y + 13z = 0 ←− L3 → L3 + L2

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Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Sistemas Lineares Equivalentes

Exemplo: No problema das moedas de Fibonacci: os sistemas lineares:  8z = 0  3x − 7y − −3x + 8y − 5z = 0 ←− L2 → L2 + L1 S:  − y + 13z = 0  8z = 0  3x − 7y − y − 13z = 0 ∼ S1 :  − y + 13z = 0 ←− L3 → L3 + L2  8z = 0  3x − 7y − y − 13z = 0 . ∼ S2 :  0 = 0

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Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Sistemas Lineares Equivalentes

Exemplo: No problema das moedas de Fibonacci: os sistemas lineares:  8z = 0  3x − 7y − −3x + 8y − 5z = 0 ←− L2 → L2 + L1 S:  − y + 13z = 0  8z = 0  3x − 7y − y − 13z = 0 ∼ S1 :  − y + 13z = 0 ←− L3 → L3 + L2  8z = 0  3x − 7y − y − 13z = 0 . ∼ S2 :  0 = 0 Logo, como em S2 temos y = 13z

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Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Sistemas Lineares Equivalentes

Exemplo: No problema das moedas de Fibonacci: os sistemas lineares:  8z = 0  3x − 7y − −3x + 8y − 5z = 0 ←− L2 → L2 + L1 S:  − y + 13z = 0  8z = 0  3x − 7y − y − 13z = 0 ∼ S1 :  − y + 13z = 0 ←− L3 → L3 + L2  8z = 0  3x − 7y − y − 13z = 0 . ∼ S2 :  0 = 0 Logo, como em S2 temos y = 13z e substituindo na 1a equa¸c˜ao obtemos x = 33z,

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Sistemas de Equa¸co˜es Lineares Sistemas Lineares Equivalentes

Exemplo: No problema das moedas de Fibonacci: os sistemas lineares:  8z = 0  3x − 7y − −3x + 8y − 5z = 0 ←− L2 → L2 + L1 S:  − y + 13z = 0  8z = 0  3x − 7y − y − 13z = 0 ∼ S1 :  − y + 13z = 0 ←− L3 → L3 + L2  8z = 0  3x − 7y − y − 13z = 0 . ∼ S2 :  0 = 0 Logo, como em S2 temos y = 13z e substituindo na 1a equa¸c˜ao obtemos x = 33z, portanto  Sol(S) = Sol(S1 ) = Sol(S2 ) = (x, y , z) ∈ R3 ; y = 13z e x = 33z . 24

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