Apostila de Matemática Financeira - Gepro-14

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MBA em Gerenciamento de Projetos Agliberto Alves Cierco

MATEMÁTICA FINANCEIRA João Paulo Franco De Abreu, Mestre [email protected]

Diretor Rubens Mario Wachholz Vice-Diretor Stavros Xanthopoylos Diretor da Rede Management Silvio Roberto Badenes de Gouvêa Diretora de Soluções Educacionais Mary Kimiko Guimarães Murashima Diretoria de Gestão Acadêmica Maria Alice da Justa Lemos Direção Serviços Compartilhados Gerson Lachtermacher

FGV Management Diretor da Rede FGV Management Silvio Roberto Badenes de Gouvêa Diretor dos Núcleos RJ, SP e DF Paulo Mattos de Lemos

[email protected]

www.fgv.br/fgvmanagement @fgvmanagement

Sumário

1. PROGRAMA DA DISCIPLINA

1

1.1 EMENTA 1.2 CARGA HORÁRIA TOTAL 1.3 OBJETIVOS 1.4 CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 1.5 METODOLOGIA 1.6 CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO 1.7 BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA CURRICULUM VITAE DO PROFESSOR

1 1 1 1 2 2 2 2

2. MATERIAL COMPLEMENTAR

3

2.1 CAPITULO 1 – RELAÇÃO FUNDAMENTAL E TAXAS DE JUROS 2.2 CAPITULO 2 – REGIME DE JUROS SIMPLES 2.3 CAPITULO 3 – REGIME DE JUROS COMPOSTOS 2.4 CAPITULO 4 – SERIES UNIFORMES DE PAGAMENTOS 2.5 CAPITULO 5 – SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO 2.6 CAPITULO 6 – MÉTODOS DE ANALISE DE FLUXOS DE CAIXA 2.7 CAPITULO 7 – DESCONTO

3 11 13 28 43 55 63

3. LISTA DE EXERCÍCIOS

68

3.1 LISTA A 3.2 LISTA B 3.3 LISTA C 3.4 LISTA D 3.5 LISTA E 3.6 REVISÃO DE ARITMÉTICA & DICAS DA CALCULADORA

68 71 78 83 92 95

ii

1

1. Programa da disciplina

1.1 Ementa Juros simples. Juros compostos. Taxas de juros (reais, efetivas e equivalentes). Descontos simples e compostos. Amortização de empréstimos. Conceitos de equivalência e fluxo de caixa. Valor Presente Líquido, Taxa Interna de Retorno, Payback (simples e descontado). Taxa de atratividade (custo de oportunidade).

1.2 Carga horária total 24 horas de aula.

1.3 Objetivos Estimular o aluno a: * Entender a linguagem do mercado financeiro. * Adquirir capacidade para tomada de decisão financeira. * Desenvolver a pratica dos cálculos que os administradores utilizam para tomar suas decisões no dia a dia do mercado.

1.4 Conteúdo programático Programa de aulas: Juros simples: Conceito de juros simples. Desconto de duplicatas. Desconto de títulos. Valor de face e valor de mercado. Juros compostos: Conceito de juros compostos. Valor do dinheiro no tempo. Valor presente e valor futuro. Equivalência de taxas de juros e equivalência de fluxos de caixa. Períodos de Capitalização. Taxas Anuais, mensais e diárias. Taxas nominais e efetivas. Taxas pré e pós-fixadas. Equivalência de fluxos de caixa. Perpetuidades e anuidades. Series uniformes. Perpetuidades. Fluxos não uniformes. Taxa real, pré e pós-fixada. Sistemas de amortização. Sistema Price, SAC, SAA, Tabela Price. Calculo do saldo devedor. Equivalência.

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2 Analise de Investimentos: Valor presente liquido e taxa interna de retorno. Taxa de desconto. Desconto de duplicatas no simples. Payback. Taxa de atratividade. Exercícios e casos de aplicação à realidade das empresas no dia a dia do mercado.

1.5 Metodologia Aulas teóricas expositivas intercaladas com sessões de exercícios de aplicação pratica.

1.6 Critérios de avaliação Prova: peso 70% Individual, escrita, sem consulta, podendo usar calculadora financeira. Trabalho: peso 30% Composto por trabalho de pesquisa e listas de exercícios. Resolver os exercícios das listas A, B, C e D, que estão no final desta apostila. Pode fazer o trabalho em grupo de até no máximo 5 alunos. Data da entrega é a data da prova. A resolução dos exercícios na prova e nos exercícios PODE ser usando a formula OU a maquina de calcular.

1.7 Bibliografia recomendada MENDONÇA Luiz Geraldo, BOGGIS George Joseph, GASPAR Luiz Alfredo, HERINGER Marcos Guilherme. Matemática Financeira 10ª ed. Rio de Janeiro: Editora FGV, 2013.

PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática Financeira: Objetiva e Aplicada. Editora Saraiva 7ª edição, 2014

Curriculum vitae do professor João Paulo Abreu é aluno do Doutorado em Administração de Empresas na École Supérieure de Commerce de Rennes. Mestre em Finanças pelo IBMEC-RJ, MBA pela Fundação Getúlio Vargas (FGV), pós-graduado em Engenharia Legal na PUC-Rio, Engenheiro Mecânico pela Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro (PUCRJ). Foi Engenheiro nas empresas Shell, e General Electric (GE), atualmente Analista de Investimentos na NSG Capital.

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3

2. Material complementar

2.1 CAPITULO 1 – RELAÇÃO FUNDAMENTAL E TAXAS DE JUROS VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO - VDT Qualquer valor monetário (um Real por exemplo) vale mais HOJE do que este mesmo valor monetário no mês que vem, ou no ano que vem. Porque? Porque você pode aplicar HOJE estes recursos e ganhar juros com esta aplicação. Se você somente receber estes valores no futuro perderá o possível resultado desta aplicação. Por exemplo: Suponha que você tem duas alternativas A) Receber R$1.000,00 hoje. B) Receber R$1.000,00 daqui a 30 dias. É a mesma coisa? Tanto faz? Vejamos; Alternativa A) Recebendo R$1.000,00 hoje você poderá (na hipótese mais simples e conservadora) aplicar na caderneta de poupança (que paga um retorno de 0,7% ao mês). Você terá então ao final de 30 dias R$1.000,00 mais os juros de R$7,00. Alternativa B) Se você receber estes mesmos R$1.000,00 ao final de 30 dias terá somente os R$1.000,00. Você terá perdido os R$7,00. Por esta razão dizemos e podemos afirmar que existe valor do dinheiro no tempo – VDT.

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4 O QUE É MATEMÁTICA FINANCEIRA? A Matemática Financeira é uma ferramenta de auxílio à tomada de decisão financeira ótima. As decisões financeiras ótimas são aquelas que visam à maximização da riqueza dos investidores. Qual é o fundamento (princípio) da Matemática Financeira? Existe o valor do dinheiro no tempo. Um real hoje vale mais do que um real no futuro. Partindo da premissa de que existem aplicações financeiras disponíveis (poupança, CDB), podemos aplicar um real hoje e, então, no futuro, teremos um real mais os juros dessa aplicação. Os juros remuneram a aplicação do dinheiro ao longo do tempo. Exemplo: Se você pode aplicar R$ 100,00, a uma taxa de juros de 10% ao mês, ao final de um mês de aplicação você terá R$ 110,00. Conclusão: R$ 100,00, hoje, eqüivalem a R$ 110,00, daqui a um mês. R$ 100,00, hoje, NÃO são a mesma coisa que R$ 100,00, daqui a um mês. Receber R$ 100,00, hoje, vale mais do que receber R$ 100,00, daqui a um mês. Exemplos de aplicação desse princípio: 1) Suponha que você esteja vendendo um equipamento por R$ 100,00. Você recebe duas propostas: a proposta “A” é um pagamento à vista de R$ 100,00 e a proposta “B” é um pagamento de R$ 105,00 daqui a um mês. O que é melhor? Receber R$ 100,00, hoje, ou receber R$ 105,00, daqui a um mês? Resposta: Se a taxa de juros para aplicações é 10% ao mês, você deve preferir receber os R$ 100,00 à vista (proposta “A”), pois poderá aplicá-los e, em um mês, terá R$ 110,00, que é mais do que os R$ 105,00 da proposta “B”. 2) Suponha que você esteja vendendo um equipamento por R$ 100,00. Você recebe duas propostas: a proposta “X” é um pagamento à vista de R$ 100,00 e a proposta “Y” é um pagamento de R$ 120,00 daqui a um mês. O que é melhor? Receber R$ 100,00, hoje, ou receber R$ 120,00, daqui a um mês? Resposta: Se a taxa de juros para aplicações é 10% ao mês, você deve preferir receber os R$ 120,00 daqui a um mês (proposta “Y”), pois, se aceitar a proposta “X” (R$ 100,00, hoje) e os aplicar, você terá, ao fim de um mês, R$ 110,00, que é menos do que estaria recebendo pela proposta “Y”.

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5 Do que trata a Matemática Financeira? A Matemática Financeira trata dos cálculos que nos permitem manipular valores financeiros (dinheiro) ao longo do tempo, com o objetivo de fazer comparações consistentes entre diferentes alternativas de investimentos. Qual é o objetivo deste curso de Matemática Financeira? Apresentar aos alunos o fundamento teórico acompanhado da metodologia para efetuar cálculos financeiros e, simultaneamente, oferecer um treinamento prático, em nível executivo, por meio de exemplos numéricos, resolvidos em conjunto com uma série de exercícios propostos, com as respectivas soluções e respostas. Na prática, para que serve a Matemática Financeira? Para calcular o valor de uma prestação; para calcular o saldo devedor de um financiamento; para decidir qual o melhor financiamento dentre vários; para saber se um determinado investimento vai dar lucro ou prejuízo; para saber se é melhor alugar ou comprar um equipamento; para saber quanto você deve poupar mensalmente para atingir um determinado objetivo; para saber o lucro que você vai obter em uma operação financeira; para determinar a viabilidade econômica de um projeto de investimento; para saber quanto tempo um projeto demora para dar lucro; para saber quanto você deve ter hoje para cobrir gastos futuros; para saber quanto você deve cobrar de juros para ter lucro; para determinar qual é a taxa de juros real e efetiva que você está pagando ou recebendo; para determinar a rentabilidade de um investimento; para escolher qual é o melhor investimento.

Assim sendo:  a transformação do valor do dinheiro no tempo só pode ser feita a partir da fixação dos juros, ou seja, do custo do dinheiro ao longo desse tempo; 

pode-se dizer que a existência da Matemática Financeira, com todas as suas fórmulas e fatores, prende-se, exclusivamente, à existência do custo do dinheiro no tempo;



se não existisse o valor do dinheiro no tempo ou se as taxas de juros fossem zero, valores à vista seriam iguais a valores a prazo;



dada a importância dos juros dentro do contexto da Matemática Financeira, eles serão estudados detalhadamente no decorrer do curso.

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6 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UM FLUXO DE CAIXA O movimento de dinheiro (fluxo de caixa) pode ser representado graficamente para facilitar a comunicação da seguinte forma $180

t=0

$130

t=2

t=1

$200

t=3

$240

JUROS CAPITAL E MONTANTE Operações financeiras envolvem dois valores. O primeiro identifica a quantia que um das partes (tomador) necessita. O segundo define o valor a ser devolvido à outra parte (credor) ao termino do prazo da operação. Exemplo: Você vai investir $200,00 em um fundo que remunera a taxa de 30% ao ano. Quanto você terá em 1 ano? Calculo dos Juros Juros = VP x Taxa de Juros = 200 x 0,3

= 60

t=0

t=1

VP $200

$200 $60 $260

VP Juros VF

Conclusão: VF = VP + Juros Conseqüentemente VP = VF – Juros Consequentemente Juros = VF – VP Podemos também escrever com outras palavras VF é o montante obtido ao final da aplicação VP é o principal investido Então podemos escrever Montante = Principal + Juros

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7 CAPITALIZAÇÃO É o ato de adicionar os rendimentos da aplicação ou empréstimo, os JUROS, ao principal. Podemos calcular os JUROS de 2 formas; Simples ou Composta. No regime de Juros Simples os juros de cada período são sempre calculados sobre o capital inicial (principal). No regime de Juros Compostos os juros de cada período são sempre calculados sobre o saldo de cada período (montante). a) Juros Simples: No regime de juros simples, o valor dos juros a serem pagos é definido no inicio da operação financeira (tomada de empréstimo ou aplicação). O valor dos juros simples é calculado, uma única vez, sobre o capital inicial (principal) no inicio da operação financeira. E enquanto durar a operação financeira os juros permanecem constantes e não são novamente recalculados. Independente se o montante da operação aumentou ou diminuiu ao longo do tempo. Por esta razão a aplicação do regime de juros simples é muito limitada e tem um mínimo de sentido apenas no curtíssimo prazo. b) Juros Compostos: No regime de juros compostos, o valor dos juros a serem pagos a cada período são calculados sobre o saldo devedor atualizado da operação, a cada período. Por esta razão a aplicação do regime de juros compostos é universal e suas operações e seus cálculos podem ser realizados com o auxilio de calculadoras financeiras.

Vejamos em mais detalhes a) Juros Simples: Nessa categoria, os juros de cada período são sempre calculados em função do capital inicial. (Juros simples são aqueles calculados em função do capital inicial.) Ou seja os Juros Simples são calculados uma única vez sobre principal investido, no inicio da aplicação. Exemplo: Considere um poupador que colocou em CDB R$ 100,00, fazendo uma aplicação que lhe renderá juros simples com taxa de 10% a.a. Qual será o saldo, ao final de 4 anos? Ano

1 2 3 4

Saldo início do ano R$100,00 R$110,00 R$120,00 R$130,00

Taxa juros 10% 10% 10% 10%

Base para cálculo R$100,00 R$100,00 R$100,00 R$100,00

Juros do período R$10,00 R$10,00 R$10,00 R$10,00

Saldo final do ano R$110,00 R$120,00 R$130,00 R$140,00

( ( ( (

próx. ano) próx. ano) próx. ano) final)

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8 Nesse caso, é importante realçar que o banco X sempre aplicou a taxa de juros de 10% a.a. sobre o capital inicial de R$ 100,00 e nunca permitiu que o aplicador retirasse os juros de cada período. Assim, apesar de os juros estarem à disposição do banco, eles nunca foram remunerados. Caso o banco permitisse ao aplicador a retirada dos juros, ainda que continuasse a não remunerar os juros remanescentes, o poupador passaria a ter uma entrada nova de capital, por conta da eventual aplicação que pudesse fazer com os juros recebidos. Nesse caso, o poupador estaria recebendo 10% mais a taxa de remuneração sobre a aplicação dos juros e essa não mais seria uma situação de juros simples. b) Juros Compostos: Nessa categoria, os juros de cada período são calculados sempre em função do saldo existente no início de cada respectivo período. Exemplo: Considere um poupador que colocou em CDB R$ 100,00, fazendo uma aplicação que lhe renderá juros compostos com taxa de 10% a.a. Qual será o saldo, ao final de 4 anos? Ano

1 2 3 4

Saldo início do ano R$100,00 R$110,00 R$121,00 R$133,10

Taxa juros

Base para cálculo R$100,00 R$110,00 R$121,00 R$133,10

10% 10% 10% 10%

Juros do período

Saldo final do ano R$110.00 R$121.00 R$133.10 R$146.41

R$10,00 R$11,00 R$12,10 R$13,31

Visualização da evolução de valor $1.000,00 aplicado por 10 anos, a uma taxa de 10% ao ano, com Capitalização Simples e com Capitalização Composta. Podemos montar um gráfico que mostra a evolução ao longo do tempo de um capital aplicado a Juros Simples VERSUS o mesmo capital aplicado a Juros Compostos.

Juros Simples e Juros Compostos 2500

Juros Compostos 2000

Juros Simples 1500

1000 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

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9 Conclusões interessantes deste capitulo 1 Só existem cinco perguntas: Como podemos observar só existem quatro variáveis: i = taxa de juros; VP = valor presente; VF = valor futuro e n = número de períodos ou prazo da operação. Assim sendo, só existem cinco tipos básicos de pergunta que podemos formular. Todas as questões relativas a juros simples podem ser reduzidas a essas questões básicas: 1. 2. 3. 4. 5.

Qual Qual Qual Qual Qual

é o valor futuro VF, dados VP, i, n? é o valor presente VP, dados VF, i, n? é o número de períodos (prazo da aplicação), dados VP, i, VF? é a taxa de juros da aplicação i, dados VP, VF, n? são os juros da aplicação: Juros = VP x i x n, dados VP, i, n?

A receita de bolo A atenção na leitura dos enunciados dos problemas (ou exercícios) e a correta identificação do que é que se pede são as chaves para resolver qualquer problema. A maior dificuldade enfrentada pelos que iniciam os estudos de Matemática Financeira talvez seja o problema do Português! Uma Palavra Importante Por experiência em sala de aula podemos dizer que os maiores problemas são: Português Financeiro: Leitura atenta e entendimento do enunciado dos problemas Dedo torto: Digitação errada dos números na maquina. A pessoa quer digitar o numero 8 e digita o numero 9. Repete o problema e faz o mesmo erro. Olho que não vê: A pessoa olha o numero 5.000 e lê o numero 5. OBRIGAÇÃO FUNDAMENTAL DO EXECUTIVO FINANCEIRO O executivo financeiro deve obrigatoriamente investir todos os recursos financeiros disponíveis, pois existe o VDT. O executivo financeiro deve deixar parado no caixa, em espécie, sem aplicação, apenas o mínimo estritamente necessário para as operações. A simples disponibilidade de uma aplicação financeira (tal como a caderneta de poupança) implica que o executivo financeiro estará perdendo a oportunidade de aplicar os recursos eventualmente disponíveis e não aplicados. Toda e qualquer oportunidade perdida tem um custo muito alto. Fazendo analogias: Cozinheiro – Todo cozinheiro sabe que deve guardar os perecíveis na geladeira e também sabe que deve lavar as mãos para não contaminar os alimentos. Medico – Todo medico sabe que deve desinfetar as mãos e usar luvas para não contaminar os pacientes. Executivo Financeiro – Todo executivo financeiro sabe que existe o VDT e portanto não pode deixar recursos financeiros sem estarem devidamente aplicados.

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10 EXERCÍCIOS DE AQUECIMENTO: Relação Fundamental (Cap 1) 1) Suponha que você deveria pagar hoje R$ 100,00 para quitar uma dívida junto ao departamento de crédito de uma loja. A única multa por atraso no pagamento é calculada a juros simples, com uma taxa de 10% ao ano sobre a dívida não paga no vencimento. Se você não pagar essa dívida, quanto estará devendo em 3 anos?

2) Se você aplicar hoje R$ 100,00 em um Certificado de Depósito Bancário (CDB) que paga juros compostos, com uma taxa de 10% ao ano, quanto terá em 3 anos?

3) Em uma operação de aplicação financeira Sr. José aplicou $10.000,00. Pagou-se ao Sr. José $2.000,00 a titulo de juros ao final de 1 ano. Qual é a taxa de juros anual que esta operação rende?

4) Você investiu $25.000,00 e recebeu ao final de 1 ano $32.500,00. Qual é o valor dos juros e qual é a taxa de juros anual desta aplicação.

1) 2) 3) 4)

Resposta: Resposta: Resposta: Resposta:

Você estará devendo R$ 130,00. Você terá R$ 133,10. A taxa de juros é 20% ao ano. Os juros são $7.500,00 e a taxa de juros é 30% ao ano.

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2.2 CAPITULO 2 – REGIME DE JUROS SIMPLES Partindo do CONCEITO:

Valor Futuro = Valor Presente + Juros

Definindo os JUROS no regime SIMPLES como sendo o produto do valor principal (VP) vezes a taxa de juros (i) vezes o prazo (n): Juros = VP . i . n A fórmula que relaciona valor presente VP, taxa de juros i, prazo n e o valor futuro VF é: VF = VP + VP . i . n ou seja: VF = VP ( 1 + i . n ) EXEMPLO Você quer investir $100,00, por um prazo de 4 anos a uma taxa de juros de 10% ao ano Suponha que você quer saber o VF no final do quarto período. Podemos usar a formula? Solução

VF = VP ( 1 + i n ) VF = 100 ( 1 + (0,1) 4 ) VF = 100 ( 1 + (0,4)) VF = 100 ( 1,4) = 140 Resposta: O VF ao final do quarto será $140,00.

EXERCÍCIOS DE AQUECIMENTO – Juros Simples (Cap 2): 1) Se você aplicar, hoje, R$ 100,00 em um título de renda fixa que pague juros simples, com uma taxa de 15% ao ano, quanto deverá valer a aplicação em 1 ano? e em 2 anos?

2) Suponha que você deveria pagar hoje R$ 100,00 para quitar uma dívida junto ao departamento de crédito de uma loja. A única multa por atraso no pagamento é calculada a juros simples, com uma taxa de 20% ao ano sobre a dívida não paga no vencimento. Se você não pagar essa dívida, quanto estará devendo em 3 anos?

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12 3) Professor Julião recebeu $1.000,00 e aplicou a juros simples (taxa de 2% ao mês) antes de entrar de férias. Ao voltar das férias prof. Julião encontrou um saldo de $1.060,00. Quanto tempo ele esteve de férias?

4) Suponha que você queira aplicar R$ 100,00 a uma taxa de 10% ao mês pelo prazo de 1 mês. Quanto você deverá receber de juros?

1) Resposta: anos. 2) Resposta: 3) Resposta: 4) Resposta:

Sua aplicação vai valer R$ 115,00 em um ano e R$ 130,00 em dois Você estará devendo R$ 160,00. Professor Julião tirou 3 meses de férias. Os juros que você deve receber totalizam R$ 10,00.

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2.3 CAPITULO 3 – REGIME DE JUROS COMPOSTOS Partindo do CONCEITO:

Valor Futuro = Valor Presente + Juros

A fórmula que relaciona valor presente VP, taxa de juros i, prazo n e o valor futuro VF quando a capitalização é composta é: VF = VP (1 + i )n ou seja:

VF = VP ( 1 + i )n

INTRODUÇÃO AO USO DA CALCULADORA FINANCEIRA HP 12 C  Liga e Desliga (botão no canto inferior esquerdo)  Casa Decimais (tecla f seguida do numero de casa decimais)  Ponto e Vírgula (ligar a máquina segurando a tecla do ponto)  Fazendo 2 + 3 = 5 (ordem reversa)  Trocando os sinais (tecla CHS)  Teclas: Brancas, Azuis e Amarelas (teclas f & g)

EXEMPLO Você vai aplicar $1.000,00 em um fundo de RENDA FIXA que paga uma taxa de 20% ao ano. Quanto você vai poder sacar desta aplicação ao final de 2 anos? Solução:

Formula VF = VP ( 1 + i ) n VF = 1.000 ( 1 + 0,2 ) VF = 1.000 ( 1,2 ) 2 VF = 1.000 ( 1,44) VF = 1.440

2

Calculadora 1000 VP 20 i 2 n 0 PMT FV = ? =

Resposta: Você vai poder sacar $1.440,00 ao final de 2 anos.

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14 EXERCÍCIOS DE AQUECIMENTO – Juros Compostos (Cap 3): 1) Suponha que você tenha pedido emprestados R$ 1.000,00, hoje, para pagar esse empréstimo com juros de 10% ao ano, capitalizados de forma composta. Qual será o valor de sua dívida em 1 ano?

2) Suponha que você tenha pedido emprestados R$ 1.000,00, hoje, para pagar esse empréstimo com juros de 10% ao ano, capitalizados de forma composta. Qual será o valor de sua dívida em 2 anos?

3) Suponha que você tenha pedido emprestados R$ 1.000,00, hoje, para pagar esse empréstimo com juros de 10% ao ano, capitalizados de forma composta. Qual será o valor de sua dívida em 3 anos?

4) Suponha que você tenha pedido emprestados R$ 1.000,00, hoje, para pagar esse empréstimo com juros anuais, capitalizados de forma composta. Supondo que você deva pagar, para quitar o empréstimo, R$ 1.210,00, daqui a 2 anos, qual é a taxa de juros que incide sobre esse empréstimo? Dica: Não se esqueça de colocar na maquina VP com sinal diferente do VF

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15 5) Aplicação em Titulo do Governo Federal. O Governo Federal emitiu hoje um titulo com valor de $1.000.000,00 a ser pago no prazo de 1 ano. A taxa de Juros é 12,5% ao ano, na data da emissão deste titulo. Qual deve ser o valor presente para negociação deste titulo hoje no mercado? Se a taxa subir ou descer o que acontece com o valor deste titulo no mercado?

Resposta 1): O valor da dívida será de R$ 1.100,00. Resposta 2): O valor da dívida será de R$ 1.210,00. Resposta 3): Podemos concluir que R$ 1.331,00 é o valor equivalente a R$ 1.000,00, aplicados durante 3 anos a uma taxa de 10% ao ano. Por quê? Porque, se aplicarmos R$ 1.000,00, durante 3 anos, a uma taxa de 10% ao ano, teremos R$ 1.331,00. Resposta 4): A taxa de juros é de 10% ao ano. Resposta 5): O valor deste titulo hoje é $888.888,88.

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16 EQUIVALÊNCIA DE TAXAS DE JUROS CAPITALIZAÇÃO SIMPLES Fórmulas de equivalência no tempo: I mensal x 12 = I anual Ou: im x 12 = ia Onde: im é a taxa de juros mensal e ia é a taxa de juros anual. Tratando-se de Juros Simples, a equivalência é, de fato, simples. Por exemplo: se você tem uma taxa mensal de 1%, a taxa semestral equivalente é simplesmente 1% x 6 = 6%. Observe: tratando-se de Juros Simples, o que ocorre é uma simples proporcionalidade. Você pode efetuar os cálculos por regra de três, se quiser. Generalizando: Taxa mensal (im) para taxa anual (ia) ia = im x 12 Taxa mensal (im) para taxa semestral (is) is = im x 6 Taxa diária (id) para taxa mensal (im) im = id x 30 Taxa anual (ia) para taxa mensal (im) im = ia / 12 Taxa mensal (im) para taxa diária (id) id = im / 30

CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA Fórmulas de equivalência no tempo: (1 + im)12 = (1 + ia) Onde: im é a taxa de juros mensal e ia é a taxa de juros anual. Observe: tratando-se de Juros Compostos, o que ocorre NÃO é uma simples proporcionalidade. Você NÃO pode efetuar os cálculos por regra de três. Generalizando: Taxa mensal (im) para taxa anual (ia): (1 + im)12 = (1 + ia) Taxa mensal (im) para taxa semestral (is): (1 + im)6 = (1 + is) Taxa diária (id) para taxa mensal (im): (1 + id)30 = (1 + im) E assim sucessivamente.

Exemplo A: Calculando taxas equivalentes, utilizando a fórmula: Se você quiser encontrar, por exemplo, a taxa composta anual equivalente a 1% com juros compostos ao mês, deve realizar as seguintes operações: A fórmula para conversão é: (1 + im)12 = (1 + ia) substituindo os valores: (1 + 0,01)12 = (1 + ia) calculando: (1,01)12 = (1 + ia) 1,12682503 = 1 + ia 1,12682503 – 1 = ia invertendo os lados: ia = 0,12682503 = 12,6825% ao ano

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17 Na prática: Podemos calcular, de modo bastante simples, taxas equivalentes de juros compostos, utilizando a calculadora financeira: Se você quiser encontrar, por exemplo, a taxa anual composta equivalente a 1% com juros compostos ao mês com auxílio da calculadora: tecle 100 PV  porque utilizando 100 torna-se mais fácil interpretar o montante; digite 1 i  que é a taxa mensal de juros, expressa no enunciado; digite 12 n  para repetir 12 vezes a taxa mensal; digite 0 PMT  pois não existe nenhum depósito ou retirada antes de t =12; FV = ? = – 112,6825 Em resumo: quem investiu 100 e tem 112,6825, ganhou 12,6825% ao ano.

Exemplo B: Qual é a taxa mensal equivalente a 12% ao ano, no regime simples e no regime composto? Solução:

100 PV – 112 FV 12 n 0 PMT i = ? = 0,9488% Resposta: a) Regime simples: 1% ao mês. b) Regime Composto: 0,9488% a mês

Exemplo C: Qual é taxa de inflação anual se a taxa mensal se mantiver estável em 4% ao mês pelos próximos 12 meses. Solução:

100 PV 12 n FV = ? = – 160,10 Resposta: 60,10% a.a.

4 0

i PMT

Exemplo D: Você paga prestações anuais a uma taxa de 32% a.a. Você quer trocar para prestações mensais. Qual seria a taxa de juros equivalente mensal? Solução:

100 PV 12 n i = ? = 2,3406% Resposta: 2,3406% a.m.

– 132 FV 0 PMT

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18 EXERCÍCIOS DE AQUECIMENTO – Equivalência de Taxas de Juros: 1) Qual é a taxa semestral composta equivalente a uma taxa mensal de 1%? Resposta 1): A taxa de juros semestral equivalente é de 6,15201506% a s.

2) Qual é a taxa diária equivalente a uma taxa mensal com capitalização composta de 2% ao mês? Resposta 2): A taxa diária composta equivalente é de 0,06603 % a.d.

3) Qual é a taxa diária equivalente a uma taxa mensal com capitalização simples de 2% ao mês? Resposta 3): A taxa diária simples equivalente é de 0,066666% a.d.

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19 4) Susana deverá pagar $13.800,00 daqui a 9 meses. Suponha que a única aplicação disponível pague juros com capitalização simples a uma taxa de 10% ao ano. Qual deve ser a quantia que Susana deverá investir, hoje, nesta aplicação para dispor da quantia necessária daqui a 9 meses? Resposta 4): Susana deve investir hoje $12.837,21.

5) Você consultou dois bancos para analisar qual deles cobra uma taxa de juros no cheque especial menor. O banco A cobra uma taxa de juros simples de 2% ao mês. O banco B cobra uma taxa de juros composta de 2% ao mês. Qual banco cobra mais e qual cobra menos? Considere um saldo devedor de $1.000,00 durante 15 dias. Quanto o cliente pagara de juros no banco A e no banco B ? Resposta 5): O banco A cobra juros mais caros. O banco A cobra $10,00 de juros. O banco B cobra $9,95 de juros.

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20 TAXA NOMINAL e TAXA EFETIVA A nomenclatura das taxas de juros não é difícil, basta sabermos o que cada uma significa. Neste capitulo veremos as suas definições e teremos alguns exemplos e exercícios. Taxas Nominais são as taxas expressas para um período inteiro, que pode ou não coincidir com o período da capitalização. Devemos fazer a equivalência das taxas nominais para o seu período de capitalização pela proporcionalidade dos Juros Simples. Exemplo: Desta forma um taxa nominal de 24% ao ano com capitalização mensal significa que a taxa efetiva é 2% ao mês. Desta forma uma taxa nominal de 12% ao ano com capitalização mensal significa que a taxa de juros efetiva é 1% ao mês.

Taxa Efetiva é a taxa que nos fornece o valor dos juros produzidos a serem efetivamente pagos ou recebidos. Se temos uma taxa de 1% ao mês com capitalização mensal temos uma taxa efetiva de 1% ao mês. Se desejarmos obter a taxa equivalente anual devemos fazer a equivalência para o novo período de capitalização no regime composto. Exemplo: A taxa anual equivalente a 1% ao mês com capitalização mensal é 12,6825% ao ano, efetivos. Taxas Nominais são transformadas em taxas efetivas sendo levadas para o período de capitalização no regime de capitalização simples: Taxa Mensal x 12 = Taxa Anual Taxa Mensal x 6 = Taxa Semestral Resumo: Taxa NOMINAL não pode ser usada em nossas contas, pois é dada em um período e a capitalização em outro. Taxa EFETIVA é a taxa pronta para ser usada em nossas contas

Convertendo Nominal em Efetiva e vice versa Taxas Nominais Taxas Efetivas em em Taxas Efetivas Taxas Efetivas

Regime SIMPLES

Regime COMPOSTO

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21 EXEMPLO Qual é a taxa efetiva que obteremos se aplicarmos $100,00 a uma taxa nominal de 24% ao ano com capitalização mensal por um período de um ano? Solução: Primeiro devemos trazer a taxa nominal para o período de capitalização no regime de capitalização simples Taxa efetiva mensal: 24% / 12 = 2% ao mês efetivos Segundo devemos calcular normalmente a aplicação PV = 100,00 I = 2% N = 12 meses PMT = 0 FV = -126,8242 Resposta: Obteremos uma taxa efetiva anual de 26,8242% .

EXERCÍCIOS DE AQUECIMENTO – Taxas Nominais e Efetivas 1) Você quer comprar um imóvel avaliado em $200.000,00. Você vai dar de entrada $80.000,00 e financiar a diferença em 10 anos com prestações mensais, iguais, a uma taxa de juros de 24% ao ano. Qual é o valor de cada prestação?

2) Calcular a taxa efetiva anual para uma taxa anunciada da seguinte forma: * Taxa de 3% ao mês para calculo de prestações mensais*

3) A caderneta de poupança em seu contrato apresenta uma taxa de juros de 6% ao ano. Esta é uma taxa nominal ou uma efetiva? Qual seria a taxa efetiva mensal? E qual seria a taxa efetiva anual paga pela caderneta de poupança?

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22 4) Prestação da Casa Própria. Você quer comprar um imóvel avaliado em $200.000,00. Você vai dar de entrada $80.000,00 e financiar a diferença em 10 anos com prestações semestrais, iguais, a uma taxa de juros de 24% ao ano. Qual é o valor de cada prestação?

5) Você trabalha no banco. A taxa de juros do cheque especial é 7% a.m. cobrada mensalmente. Qual seria a taxa de juros NOMINAL anual e EFETIVA anual do cheque especial? Qual destas taxas você usaria para fazer os anúncios do banco?

Resposta Resposta Resposta aa. Resposta Resposta clientes

1): A prestação mensal é R$2.645,77 2): Taxa efetiva anual é 42,576% anuais 3): A taxa efetiva mensal é 0,5% ao mês. A taxa efetiva anual é 6,17% 4): A prestação semestral é $ 16.065,45 5): Nominal 84%, Efetiva 125,22%. Usar taxa mais baixa para atrair

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23 TAXAS DE JUROS REAL, PREFIXADA E PÓS-FIXADA Taxas de Juros REAL Toda aplicação financeira paga uma determinada taxa efetiva (taxa i) de retorno ao investidor. Entretanto a taxa real de retorno é menor devido aos efeitos da inflação. A formula que relaciona taxa de retorno aparente, taxa real e taxa de inflação é a seguinte: (1 + taxa Real) (1 + Taxa Inflação ) = (1 + Taxa i ) O significado de taxa de juros real pode ser melhor compreendido a partir dos conceitos e taxas apresentados a seguir. Todas as taxas referem-se a um mesmo período. Exemplo: Num determinado período seu salário de $1.000,00 foi reajustado em 50%. Sabendo-se que a inflação no mesmo período foi de 40%, em quanto aumentou ou diminuiu seu poder de compra do salário (ganho ou perda real) no período, em termos de taxa e valor? Solução: Dados do problema; I = 50% , inflação = 40%. ( 1 + taxa Real) ( 1 + Taxa Inflação ) = ( 1 + Taxa i ) ( 1 + taxa Real) ( 1 + 0,4 ) = ( 1 + 0,5 ) Taxa Real = 0,0714 = 7,14% Em outras palavras; Seu salário de $1.000,00 passou a ser $1.500,00 Para poder comprar $1.000,00 em bens agora você necessita de $1.400,00 O ganho Real foi de 1.500 – 1.400 = 100,00

Taxas de Juros Prefixada e Pós-fixada As operações de mercado podem ser classificadas em: a) operações de renda fixa (títulos ou fundos por exemplo) b) operações de renda variável (ações por exemplo). Uma operação de renda fixa pode ser Prefixada ou Pós-fixada Renda Prefixada O aplicador e o devedor conhecem, no dia da transação a taxa de retorno e também o valor do titulo no dia do resgate (encerramento). Renda Pós-fixada O aplicador e o devedor só conhecerão no dia da liquidação (encerramento) da transação a taxa de retorno e também o valor do titulo. Geralmente uma parte fixa mais uma parte variável indexada.

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24 Exemplo A: Um investidor vai ao BANCO BETUMES e se depara com as seguintes alternativas de taxas de juros para aplicação de um capital por um período (1 ano): a) Taxa Prefixada efetiva de 24% ao ano b) Taxa Pós-fixada de 6,5% ao ano real mais a inflação do ano Qual a melhor aplicação? Pré? ou Pós? Resposta: Não sabemos. Depende da taxa de inflação que vier a ocorrer no futuro. Somente vamos saber de verdade qual é a melhor taxa quando soubermos qual terá sido a inflação do período. Exemplo B: Continuação do exemplo A. Considere que inflação deste período (1 ano) seja 17,5% ao ano Solução: Considerando aplicação PRÉ-FIXADA O investidor vai receber 24% Considerando aplicação PÓS Fixada O investidor vai receber (1+0,065)*(1+0,175) o que significa 25,13% ao ano. Resposta: O investidor deve optar pela taxa PÓS-FIXADA Alternativamente Posto que o Banco considera alternativas as duas taxas. Vamos calcular qual a taxa de inflação que o Banco implicitamente esta usando em seus cálculos ao oferecer como alternativas equivalentes estas duas taxas. Os números do banco ( 1 + taxa Real) ( 1 + Taxa Inflação ) = ( 1 + Taxa i ) ( 1 + 0,065) ( 1 + Taxa Inflação ) = ( 1 + 0,24 ) Taxa Inflação prevista pelo banco = 16,43% Ou seja se a inflação deste período futuro ficar abaixo de 16,43% (previstos pelo banco) terá sido melhor aplicar em prefixado. Caso contrario em pós-fixado. No jargão do mercado a taxa efetiva de um aplicação em renda fixa prefixada é chamada taxa aparente

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25 Resumindo: Para o APLICADOR decidir entre taxa PRÉ e taxa PÓS Taxa de Inflação Menor

Taxa Prevista de Inflação

PRÉ

Taxa de Inflação Maior PÓS

Exemplo: Um investidor vai ao BANCO e se depara com as seguintes alternativas de taxas de juros para aplicação de um capital por um período: a) Taxa Prefixada efetiva de 16% ao ano b) Taxa Pós-fixada de 10% ao ano real mais a inflação do ano Considerando que a taxa de inflação na verdade seja de 6% este ano. Qual a melhor aplicação? Pré? ou Pós? Solução a) Vamos calcular quanto vamos receber se aplicarmos em Pré-fixado; Vamos receber 16% ao ano b) Vamos calcular quanto vamos receber se aplicarmos em Pós-fixado; Vamos receber (1+0,10)*(1+0,06) o que significa 16,6% ao ano. Resposta Vamos receber mais se aplicarmos em Pós Fixado.

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26 EXERCÍCIOS DE AQUECIMENTO – Taxas Real, Prefixada e Pós-fixada 1) No período de um ano seu salário de $2.000,00 foi reajustado em 10%. Sabendo-se que a inflação no ano foi de 12%, em quanto aumentou ou diminuiu seu poder de compra do salário (ganho u perda real) no período, em termos de taxa e valor?

2) Um investidor se depara com as seguintes alternativas de taxas de juros para aplicação de um capital por um período: Taxa efetiva prefixada de 12% a.a ou alternativamente Taxa pós-fixada Real de 4% ao ano. Considerando que a inflação deste ano seja de 7,5%, qual seria a melhor alternativa, pré ou pós?

3) No período de um ano seu salário de $3.000,00 foi reajustado em 12%. Sabendo-se que a inflação no ano foi de 8%, em quanto aumentou ou diminuiu seu poder de compra do salário (ganho ou perda real) no período, em termos de taxa e valor?

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27 4) Um investidor se depara com as seguintes alternativas de taxas de juros para aplicação de um capital por um período: Taxa efetiva prefixada de 14% a.a ou alternativamente Taxa pós-fixada Real de 6% ao ano. Considerando que a inflação este ano seja 8%, qual a melhor alternativa, pré ou pós?

Resposta 1): Taxa Real = – 1,786% (negativa). A perda Real foi de – $40,00 Resposta 2): A melhor alternativa é investir em prefixado, pois a aplicação préfixada estará pagando 12% e a aplicação pós-fixada estará pagando 11,80% ao ano. Resposta 3): Taxa Real = 3,7%. O ganho Real foi de $120,00 Resposta 4): A melhor alternativa é investir em pós-fixado, pois no pré-fixado você receberá 14% ao ano e no pós-fixado você recebera 14,48% ao ano.

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2.4 CAPITULO PAGAMENTOS

4

–

SERIES

UNIFORMES

DE

SERIES DE PAGAMENTOS 4.1 – Anuidades (pagamentos iguais) 4.2 – Perpetuidades 4.3 – Fluxos não Uniformes 4.4 – Pagamentos Balão – Pagamentos Intermediários 4.1 – Anuidades (pagamentos iguais): Uma anuidade consiste numa série uniforme de pagamentos (ou recebimentos) iguais e sucessivos feitos ao final de cada período de tempo. Pode ser uma mensalidade, semestralidade ou anuidade. Exemplo a: Suponha que você deposite $100,00 hoje e mais $100,00 a cada final de ano durante 3 anos em uma poupança que rende 10% ao ano. Quanto você poderá retirar ao final destes três anos? Nesse caso, o nosso interesse é calcular o Valor Futuro desta anuidade. Solução: T=0 t=1 t2 t=3 100 100 100 100 3 2 VF = PV (1+i) + PMT (1+i) + PMT (1+i) + PMT VF = 100 x 1,13 + 100 x 1,12 + 100 x 1,1 + 100 = 464,10 Ou alternativamente fazendo na calculadora obtemos N=3 Pmt =100 VP = 100 i = 10% aa VF = 464,10 Resposta: O valor futuro desta anuidade é $464,10

Exemplo b: Suponha que você precise retirar $100,00 a cada final de ano durante 3 anos em uma poupança que rende 10% ao ano. Quanto você precisa ter hoje depositado nesta poupança? Nesse caso, o nosso interesse é calcular o Valor Presente desta anuidade. Solução: T=0 t=1 t2 t=3 VP = ? – 100 – 100 – 100 2 VP = PMT / (1+i) + PMT / (1+i) + PMT / (1+i)3 VP = 100 / 1,1 + 100 / 1,12 + 100 / 1,13 = 248,68 Ou alternativamente fazendo na calculadora obtemos N=3 Pmt = – 100 VF = 0 i = 10% aa VP = 248,68 Resposta: O valor presente desta anuidade é $248,68

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29 Exemplo c: Suponha que você emprestou $2.000,00 hoje e emprestou mais $100,00 a cada final de ano durante 3 anos ao seu cunhado. Vocês acertaram um taxa de juros de 10% ao ano. Quanto você deverá receber ao final destes três anos? Nesse caso, o nosso interesse é calcular o Valor Futuro desta anuidade. Solução: T=0 t=1 t2 t=3 –2.000 –100 –100 –100 VF = PV (1+i)3 + PMT (1+i)2 + PMT (1+i) + PMT VF = 2.000 x 1,13 + 100 x 1,12 + 100 x 1,1 + 100 = 2.993,00 Ou alternativamente fazendo na calculadora obtemos N=3 Pmt = – 100 VP = – 2.000 i = 10% aa VF = 2.993,00 Resposta:

O valor futuro desta anuidade é $2.993,00

Exemplo d: Suponha que você deposite $2.000,00 hoje na sua poupança, que rende 10% ao ano. Suponha agora que você vai retirar $100,00 a cada final de ano durante 3 anos. Quanto você poderá ainda retirar ao final destes três anos? Nesse caso, o nosso interesse é calcular o Valor Futuro desta anuidade. Solução: T=0 t=1 t2 t=3 2.000 –100 –100 –100 VF = PV (1+i)3 – PMT (1+i)2 – PMT (1+i) – PMT VF = 2.000 x 1,13 – 100 x 1,12 – 100 x 1,1 – 100 = 2.331,00 Ou alternativamente fazendo na calculadora obtemos N=3 Pmt = – 100 VP = 2.000 i = 10% aa VF = 2.331,00 Resposta:

O valor futuro desta anuidade é $2.331,00

FÓRMULAS PARA RESOLVER ANUIDADES PARA QUEM NÃO GOSTA DE USAR CALCULADORA: PV = PMT { [(1 + i)n - 1] / i (1+ i)n } PMT = PV { i (1+ i)n / [(1 + i)n - 1] } FV = PMT { [(1 + i)n - 1] / i } PMT = FV { i / [(1 + i)n - 1] } n = Log (FV / PV) / Log (1+i) Onde: i é a taxa de juros composta, n é o período de duração do financiamento ou empréstimo.

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30 EXERCÍCIOS DE AQUECIMENTO – Prestações (Cap 4.1) 1) Você quer trocar seu auto velho por um auto novo. Seu auto velho foi avaliado em $12.000,00 o auto novo custa $32.000,00. Você pode financiar a diferença em 12 prestações iguais mensais com uma taxa de juros de 1,99% am. Qual é o valor da prestação ?

2) Qual é o Valor Presente de um conjunto de 15 pagamentos (anuidades) no valor de $13.000,00 cada uma. A taxa de desconto é 25% ao ano.

3) Torradeira CARVÃOZINHO é a melhor. Compre a sua torradeira a vista por $200,00, ou a prazo com $80,00 de entrada e o restante em 4 pagamentos mensais iguais com uma taxa de juros de 2,50% ao mês. Qual é o valor de cada prestação ?

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31 4) Você lê o seguinte anuncio: “AutoBOM a vista por $23.000,00. Ou com 40% de entrada e mais 24 prestações de $830,00, com juros de 2% ao mês.” É propaganda enganosa?

5) Você vai comprar uma TV na loja. O preço da TV a vista é $640,00. Você pode comprar esta TV financiada em 3 prestações iguais dando como entrada no ato da compra apenas $200,00. Sabendo que taxa de juros é 17,27% ao mês qual é o valor de cada prestação?

Resposta 1): O valor da prestação é $ 1.890,03 Resposta 2): O Valor Presente é $50.170,41 Resposta 3): O valor da prestação é $31,89 Resposta 4) : SIM é enganosa pois a taxa de juros cobrada é 3,17%. Ou então de outra forma, SIM é enganosa pois com a taxa de 2% a.m. a prestação deveria ser $729,00. Ou então podemos checar pela prestação e veríamos que a prestação deveria ser de $729,62. Por esta razão podemos afirmar que a propaganda é enganosa. Resposta 5): O valor da prestação é $200,00 mensais

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32 4.2 – Perpetuidades: Perpetuidade é um conjunto de pagamentos (ou recebimentos ) que não acabem mais, São pagamentos periódicos que duram para sempre, não tem prazo para terminar. Por isto chamamos perpetuidade. Obviamente em uma perpetuidade o investimento fica investido para sempre. Vejamos: Considere que você investe $100.000,00 em uma aplicação perpetua que paga 10% ao ano. Você vai receber a cada ano, em perpetuidade, $10.000,00 a titulo de juros. Pois $100.000 x 10% = $10.000 É uma perpetuidade. Obviamente o dia que você retirar os $100.000,00 da aplicação vai deixar de receber os juros de $10.000,00. É uma escolha, pois a esta taxa de 10% ao ano, $100.000 hoje na mão é equivalente a um fluxo de $10.000 em perpetuidade. Então podemos dizer que receber $10.000,00 periodicamente, em regime de perpetuidade é a mesma coisa que ter hoje na Mão o valor presente de $100.000,00 , considerando uma taxa para aplicação de 10% ao ano.

A FORMULA A formula que relaciona este investimento a valor presente (hoje) com o pagamento dos fluxos em perpetuidade é VP = FC1 / i

Resumindo: já aprendemos a calcular o Valor Presente de: Um único pagamento futuro VP = FCn / ( 1 + i )n Diversos pagamentos futuros VP = Σt=1t=n FC’s/(1+i) n Perpétuos pagamentos futuros VP = FC1 / i

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33 EXEMPLOS NUMÉRICOS a) Você quer alugar um imóvel. O imóvel esta avaliado em $100.000,00. A taxa de retorno para alugueis nesta região é 0,5% ao mês. Calcular o aluguel. Solução: VP = FC1 / i 100.000 = FC1 / 0,005 FC1 = 500,00 Resposta: O aluguel mensal é $500,00

b) Você vai alugar um imóvel. O aluguel é $1.000,00. A taxa de retorno para alugueis nesta região é 1,0% ao mês. Qual deve ser o valor deste imóvel? Solução: VP = FC1 / i VP = 1.000 / 0,01 VP = 100.000,00 Resposta: O valor deste imóvel hoje é $100.000,00

c) O seu imóvel esta avaliado em $200.000,00. Você consegue alugar facilmente no mercado por $1.000,00. Qual é a taxa de retorno que você esta obtendo? Solução: VP = FC1 / i 200.000 = 1.000 / i i = 1.000 / 200.000 = 0,005 = 0,5% ao mês Resposta: A taxa de retorno deste imóvel é 0,5% ao mês.

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34 EXERCÍCIOS DE AQUECIMENTO – Perpetuidade 1) Um imóvel vale $150.000,00. A taxa de retorno é 1% ao mês. Qual é o valor do aluguel mensal? Resposta 1): O Valor do aluguel mensal é $1.500,00 mensais

2) Um titulo publico, perpétuo, paga ao investidor juros mensais de $1.000,00. A taxa de retorno deste titulo é 2% ao mês. Qual é o VP deste titulo? Resposta 2): Valor de mercado é $50.000,00

3) Um imóvel comercial esta alugado por $2.000,00 mensais. A taxa de retorno para aluguel é 1% ao mês. Qual é o valor de mercado deste imóvel? Resposta 3): Valor de mercado é $200.000,00

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35 4) Este exercício é para demonstrar a relação entre pagamentos periódicos e o seu valor a vista. a) Qual o valor do investimento a ser feito hoje em uma aplicação que renda juros de taxa de 20% ao ano para poder retirar $100.000,00 ao final de um ano e mais nada. b) Qual o valor do investimento a ser feito hoje em uma aplicação que renda juros de taxa de 20% ao ano para poder retirar $100.000,00 ao final do primeiro e depois mais outra retirada idêntica ao final do segundo ano. c) Qual o valor do investimento a ser feito hoje em uma aplicação que renda juros de taxa de 20% ao ano para poder retirar $100.000,00 ao final do primeiro, segundo, terceiros e quarto ano. d) Qual o valor do investimento a ser feito hoje em uma aplicação que renda juros de taxa de 20% ao ano para poder retirar $100.000,00 ao final de oito anos consecutivos. e) Qual o valor do investimento a ser feito hoje em uma aplicação que renda juros de taxa de 20% ao ano para poder retirar $100.000,00 ao final de dezesseis anos consecutivos. f) Qual o valor do investimento a ser feito hoje em uma aplicação que renda juros de taxa de 20% ao ano para poder retirar $100.000,00 ao final de quarenta anos consecutivos. E quanto seria necessário investir hoje, para retirar $100.000,00 ao final de cada ano por 100 anos e finalmente caso seja retirar $100.000,00 ao final de cada ano por 1.000 anos.

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36 Solução 4): Vamos calcular os Valor Presente das seguintes anuidades que apresentam número de períodos distintos e crescentes. Suponha um PMT de $100.000,00 e uma taxa de desconto de 20% por ano: Vamos resolver com auxilio de uma calculadora financeira.

a) b) c) d) e) f) g) h) i)

Numero de Períodos 1 ano 2 anos 4 anos 8 anos 16 anos 40 anos 100 anos 1.000 anos 10.000 anos

Fluxo de Caixa

Valor Presente

100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000

VP VP VP VP VP VP VP VP VP

= = = = = = = = =

83.333,33 152.777,78 258.873,46 383.715,98 472.956,05 499.659,81 500.000,00 500.000,00 500.000,00

Observe quando o prazo se torna muito longo o valor presente se aproxima do valor presente da perpetuidade. Observe que o Valor Presente de uma Perpetuidade tende para um determinado valor, que é dado pela seguinte formula: VP = FC1 / i.

Em nosso exemplo: VP = FC1 / i VP = 100 / 0,2 VP = 500 Se a perpetuidade apresentar uma TAXA de crescimento constante " g " , esta TAXA de crescimento deve ser incorporada na formula, que passa a ser: VP = FC1 / (i – g) Estas formulas são importantes na avaliação de empresas, pois se supõe que uma muitas empresas possam ter duração indeterminada, e portanto, apresentam fluxos de caixa em condições perpetuidade.

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37 4.3 – Fluxos não Uniformes: Uma anuidade tem como característica básica o fato de ser uma série constante de pagamentos (ou recebimentos). Muitas vezes, no entanto, nos deparamos com uma serie de pagamentos que são diferentes ao longo do tempo, que não tem relação entre si, especialmente na análise de fluxos de caixa de projetos de investimento de empresas. Exemplo numérico: Considere que você tem a receber o seguinte fluxo de recursos (dinheiro) nos próximos períodos. T=0 0

t=1 294.000

t=2 616.000

t=3 938.000

Calculando o Valor Presente de um fluxo não uniforme pela formula O Valor Presente de um fluxo não uniforme pode ser calculado achando-se o Valor Presente de cada fluxo individualmente, e somando-se depois todos os valores encontrados. Supondo uma taxa de juros de 20% por período, temos: T=0 t=1 t=2 t=3 0 294.000 616.000 938.000 VP (FC1) = FC1/ (1+i)1 = 245.000,00 VP (FC2) = FC2/ (1+i)2 = 427.777.78 VP (FC3) = FC3/ (1+i)3 = 542.824,07 Total (t=0) = 245.000,00 + 427.777,78 + 542.824,07 = 1.215.601,85

Calculando o Valor Presente de um fluxo de caixa não uniforme na calculadora Alternativamente podemos utilizar a calculadora financeira, ou mesmo a planilha Excel para automatizar os cálculos necessários. Considere o mesmo fluxo anterior. O procedimento passo a passo para HP 12c envolve o uso das teclas azuis, que são acessadas sempre que se digita a tecla “g” , é o seguinte: 1 2 3 4 6 7

0 294.000 616.000 938.000 20

g g g g i f

CFo CFj CFj CFj NPV

Obtemos então 1.215.601,85

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38 4.4 – Pagamentos Balão – Pagamentos Intermediários: É também encontrado, eventualmente, nos pagamentos das mensalidades e anuidades alguns pagamentos intermediários com valores mais elevados. Estes pagamentos visam atender as necessidades, perfis, ou características, dos fluxos de caixa dos credores e devedores. Por exemplo; Um tomador de financiamento para a compra de um automóvel gostaria de usar integralmente o pagamento do décimo terceiro salário, todos os anos, para acelerar o pagamento da divida. Então as prestações do seu financiamento incluirão a cada 12 meses uma prestação maior, coincidindo com o recebimento do décimo terceiro salário. Fazendo desta forma ao invés de financiar em 48 meses, este indivíduo poderia quitar o financiamento, por exemplo, em 36 meses. E melhor de tudo pagando as mesmas prestações mensais. Chama-se a este pagamentos anuais extras de “intermediária”. Por exemplo; Uma construtora financia a venda de imóveis residenciais novos ainda em construção. Quando o imóvel fica pronto, na hora da entrega das chaves, a construtora cobra um pagamento maior, chamado de pagamento para entrega das chaves, (pagamento balão), depois continuam as prestações menores, já com o comprador morando no imóvel.

Exemplo numérico Considere que você tem um financiamento de casa própria onde você deve pagar 60 prestações mensais e sucessivas no valor de $950,00 cada. Alem destas você deve pagar a cada 6 meses uma intermediária no valor de $4.000,00. A taxa de juros é 1% ao mês. Qual é o valor presente do financiamento? Solução Calculo do VP das mensais Pmt = 950 mensais FV = 0 Pergunta-se PV = ? Calculo do VP das semestrais Pmt = 4.000 semestrais FV = 0 Pergunta-se PV = ?

N = 60 meses I = 1% ao mês

N = 10 semestres I = 6,15201506% ao semestre

Somando o VP das duas sequências de pagamentos obtemos Resposta: Valor presente do financiamento é $71.936,76

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39 Conceito de Equivalência Dois ou mais fluxos de caixa são equivalentes, a uma determinada taxa de juros, se seus valores presentes (PV) forem iguais. A equivalência de fluxos de caixa é sempre analisada no regime de juros compostos. É importante ressaltar que a equivalência de fluxos de caixa depende, necessariamente, da taxa de juros usada para descontar os fluxos a fim de se obter seus valores presentes. Assim, se dois ou mais fluxos de caixa são equivalentes a uma determinada taxa de juros, essa equivalência deixará de existir se a taxa de juros for alterada. Exemplo numérico Considere que você tenha dois fluxos de caixa distintos conforme abaixo. Determinar se eles são equivalentes. Considere uma taxa de juros de 8% ao período. Primeiro FC: t1 = R$ 0,00; t2 = R$ 0,00 ; t3 = R$ 0,00 ; t4 = R$ 1360,49 Segundo FC: t1 = R$ 80,00 ; t2 = R$ 80,00; t3 = R$ 80,00 ; t4 = R$1.080,00 Calculando o PV FC1: 0 g CF0 0 g CFj 0 g CFj 0 g CFJ 1360,49 g CFj 8 i f NPV = 1000,00 Calculando o PV FC2: 0 g CF0 80 g CFj 80 g CFj 80 g CFJ 1080,00 g CFj 8 i f NPV = 1000,00 Logo podemos concluir que ambos os fluxos de caixa são equivalentes.

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40 EXERCÍCIOS DE AQUECIMENTO FLUXOS NÃO UNIFORMES 1) Qual é o Valor Presente de um conjunto de 15 pagamentos (anuidades) no valor de $13.000,00 cada uma. A taxa de desconto é 25% ao ano.

2) Um projeto obtém como retorno liquido das Operações um fluxo de caixa constante e perpetuo no valor de $4.000,00 anuais. Qual é o Valor Presente deste retornos? Considere a taxa de desconto como sendo 18% ao ano.

3) Qual é o Valor Presente do seguinte fluxo de caixa anual ? T=0 t=1 t=2 t=3 t=4 120 200 730 120 440 Considere que a taxa de desconto seja 12% ao ano.

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41 4) Considerando a taxa de desconto de 4%, calcular o Valor Presente dos seguintes Fluxos de Caixa: Data 0 1 2 3 Fluxo de Caixa 0 8.820,00 17.920,00 25.900,00

5) Qual é o Valor Presente do seguinte fluxo de caixa anual ? T=0 t=1 t=2 t=3 t=4 150.000 245.000 427.777,78 542.824,07 0,00 Considere que a taxa de desconto seja 20% ao ano.

6) Qual é o Valor Presente do seguinte fluxo de caixa anual ? T=0 t=1 t=2 t=3 t=4 245.000 0,00 542.824,07 0,00 Considere que a taxa de desconto seja 20% ao ano.

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42 7) Qual é o Valor Presente do seguinte fluxo de caixa anual ? T=0 t=1 t=2 t=3 0 60.000 80.000 420.000 Considere que a taxa de desconto seja 18% ao ano.

8) Qual é a taxa semestral composta equivalente a uma taxa mensal de 1%?

9) Considere que você tem um financiamento de casa própria onde você deve pagar 72 prestações mensais e sucessivas no valor de $400,00 cada. Alem destas você deve pagar a cada 6 meses uma intermediária no valor de $3.000,00. A taxa de juros é 1,5% ao mês. Qual é o valor presente do financiamento?

Resposta 1): O Valor Presente é $50.170,41 Resposta 2): O VP é $22.222,22 Resposta 3): O VP é $1.245,56 Resposta 4): O VP é 48.073,82. Resposta 5): O VP é $965.368,87 Resposta 6): O VP é $518.300,96 Resposta 7): O VP é $363.927,18 Resposta 8): A taxa de juros semestral equivalente é de 6,15201506% a s. Resposta 9): Valor presente do financiamento é $38.652,39 Pois o VP (mensais) é 17.537,86 e o VP (anuais) é 21.114,52.

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2.5 CAPITULO 5 – SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO Conceitos Gerais O processo de quitação de um empréstimo consiste em efetuar pagamentos periódicos (prestações) de modo a liquidar o saldo devedor Amortização é a parte da prestação que serve para reduzir o principal de uma dívida, já que a outra parte equivale aos juros. Podemos dizer que cada prestação é composta de uma parte para amortização da dívida e outra parte para pagar os juros dessa mesma dívida. Prestação é o pagamento periódico que fazemos para liquidar um empréstimo ao longo do tempo, composta de Juros mais Amortização. Amortização do Principal + Juros do Período = Prestação Sistema de Amortização é um sistema qualquer pelo qual são calculadas as prestações para amortização de um empréstimo. Em outras palavras, os sistemas de amortização são as diferentes maneiras pelas quais se torna possível o pagamento de um empréstimo. Sistemas de Amortização 1- Sistema PRICE também é conhecido como Sistema Francês de amortização. 2- Sistema SAC é o sistema onde as amortizações são constantes. 3- Sistema SAA é o sistema de amortização americano. Pagamento Final. 1- Sistema PRICE também é conhecido como Sistema Francês de amortização. Sua característica principal é apresentar prestações iguais. É bastante utilizado nos financiamentos comerciais (crédito direto ao consumidor - CDC), financiamentos imobiliários, dentre outros. (Richard Price, matemático inglês século XVIII) Exemplo: Um empréstimo de $100.000,00 será pago pelo sistema de amortização francês em 5 prestações mensais postecipadas. A taxa e juros é 5% a.m. Mês 0 1 2 3 4 5

Prestação 0,00 23.097,48 23.097,48 23.097,48 23.097,48 23.097,48

Juros 0,00 5.000,00 4.095,13 3.145,01 2.147,38 1.099,88

Amortização 0,00 18.097,48 19.002,35 19.952,47 20.950,10 21.997,60

Saldo devedor 100.000,00 81.902,52 62.900,17 42.947,70 21.997,60 0,00

Período de Carência a) É o período onde não se paga o principal, apenas os juros são pagos. Após o período de carência inicia-se pagamento do principal. b) É o período onde nada é pago. Após o período de carência inicia-se pagamento do principal e dos juros.

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44 Exemplo 1 – Carência do Principal: Um empréstimo de $100.000,00 será pago pelo sistema de amortização francês em 5 prestações mensais postecipadas. A taxa de juros é 5% a.m. Considere um período de carência de 2 meses, pagando apenas os juros. Mês 0 1 2 3 4 5 6 7

Prestação 0,00 5.000,00 5.000,00 23.097,48 23.097,48 23.097,48 23.097,48 23.097,48

Juros 0,00 5.000,00 5.000,00 5.000,00 4.095,13 3.145,01 2.147,38 1.099,88

Amortização 0,00 0,00 0,00 18.097,48 19.002,35 19.952,47 20.950,10 21.997,60

Saldo devedor 100.000,00 100.000,00 100.000,00 81.902,52 62.900,17 42.947,70 21.997,60 0,00

Exemplo 2 – Carência de Juros e do Principal: Um empréstimo de $100.000,00 será pago pelo sistema de amortização francês em 5 prestações mensais postecipadas. A taxa e juros é 5% a.m. Considere um período de carência de 2 meses, não pagando nada, carência de juros e do principal. Mês 0 1 2 3 4 5 6 7

Prestação 0,00 0,00 0,00 25.464,97 25.464,97 25.464,97 25.464,97 25.464,97

Juros 0,00 0,00 0,00 5.512,50 4.514,88 3.467,37 2.367,37 1.212,61 Soma

Amortização 0,00 0,00 0,00 19.952,47 20.950,09 21.997,60 23.097,48 24.252,36 110.250,00

Saldo devedor 100.000,00 105.000,00 110.250,00 90.297,53 69.347,44 47.349,84 24.252,36 0,00

TABELA PRICE Trata-se de um caso particular do sistema de amortização francês, e que a taxa de juros é fornecida em termos nominais (na pratica, é dada em termos anuais) e as prestações tem período menor que aquele a que se refere a taxa de juros (em geral as amortizações são em bases mensais) Exemplo: Um empréstimo de $100.000,00 será pago pelo sistema de amortização francês em 4 prestações mensais postecipadas. A taxa e juros é 72% a.a. A taxa efetiva é 6% a.m. Mês 0 1 2 3 4

Prestação 0,00 28.859,15 28.859,15 28.859,15 28.859,15

Juros 0,00 6.000,00 4.628,45 3.174,61 1.633,54 Soma

Amortização 0,00 22.859,15 24.230,70 25.684,54 27.225,61 100.000,00

Saldo devedor 100.000,00 77.140,85 52.910,15 27.225,61 0,00

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45 CALCULO DO SALDO DEVEDOR, NO SISTEMA PRICE, EM 2 PASSOS: Passo 1: Fornecer as informações para calculadora. Passo 2: Fornecer a data e pedir o Saldo Devedor, FV. Exemplo: Um empréstimo de $100.000,00 será pago pelo sistema de amortização francês em 4 prestações mensais postecipadas. A taxa e juros é 72% a.a. Calcular o SD (saldo devedor) no fim do período 3. Passo 1 – Calculo da prestação PRICE PV = -100.000 FV = 0 N=4 I = 6% PMT = 28.859,15

Passo 2 – Fornecer para a calculadora a data do Saldo Devedor Digitar 3 >>>> N Obtemos o Saldo Devedor: FV = 27.225,61

EXERCICIO Há 2 anos você trocou seu auto velho (avaliado em $12mil) por um auto novo ($30mil). Na época você financiou a diferença pelo sistema PRICE (prestações mensais) em 4 anos com uma taxa de juros de 2,99% a.m. Qual é o seu saldo devedor hoje ? Resposta: SD = 12.055,61

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46 2- Sistema SAC é o sistema onde as amortizações são constantes. Lembrar que a amortização do principal é uma parte da prestação, enquanto a outra parte corresponde aos juros do período.

Receita para calcular a prestação SAC: a) Calcular a amortização de cada período b) Calcular o saldo devedor de cada período após a amortização c) Calcular os juros do período d) Calcular a prestação somando os juros MAIS a amortização

Exemplo: Um empréstimo de $100.000,00 será pago pelo sistema SAC em 5 prestações mensais. A taxa de juros é 5% a.m. Calcular as prestações Mês 0 1 2 3 4 5

Amortização 0,00 20.000,00 20.000,00 20.000,00 20.000,00 20.000,00 Soma

Saldo devedor 100.000,00 80.000,00 60.000,00 40.000,00 20.000,00 0,00 100.000,00

Juros 0,00 5.000,00 4.000,00 3.000,00 2.000,00 1.000,00

Prestação 0,00 25.000,00 24.000,00 23.000,00 22.000,00 21.000,00

EXERCICIO Um financiamento de $120.000,00 será pago pelo sistema SAC em 6 prestações anuais. A taxa de juros é 10% a.a. Calcular as prestações

Resposta As prestações dos próximos 6 anos são respectivamente $32.000,00, $30.000,00, $28.000,00, $26.000,00, $24.000,00 e $22.000,00

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47 3- Sistema SAA é o sistema de amortização americano. Sistema SAA é o sistema que tem período de carência da Amortização e tem pagamento no Final. Essa modalidade é utilizada em: papéis de renda fixa com renda paga periodicamente, letras de câmbio com renda mensal, certificados de depósito com renda mensal, trimestral etc. Sistema SAA Período de Carência – DUAS possibilidades a) É o período onde apenas os juros são pagos. Após o período de carência iniciase pagamento do principal. b) É o período onde nada é pago. Após o período de carência inicia-se pagamento do principal e dos juros. COM o pagamento periódico de juros é o sistema onde somente o pagamento de juros é realizado ao final de cada período e, ao final do prazo do empréstimo, pagase, além dos juros do último período, também o principal do principal. SEM o pagamento periódico de juros é o sistema onde o financiamento é pago, de uma única vez, ao final de dado prazo. Os juros são incorporados à aplicação ao final de cada período (mês ou ano), porem não pagos. Exemplo: Calcular as prestações de um empréstimo de $1.000.000,00 a ser pago em 4 anos, a juros efetivos de 6% a.a., pelo sistema de amortização americano. Apresentar a planilha completa do sistema de amortização americano, com carência somente do principal e TAMBEM com carência do principal & dos juros. Solução: a) Inicialmente vamos calcular carência somente do principal Ano Amortização Saldo devedor Juros Prestação 0 0,00 1.000.000,00 1 0,00 1.000.000,00 60.000,00 60.000,00 2 0,00 1.000.000,00 60.000,00 60.000,00 3 0,00 1.000.000,00 60.000,00 60.000,00 4 1.000.000,00 0,00 60.000,00 1.060.000,00 Soma 1.000.000,00 b) Agora vamos calcular com carência do principal & dos juros Ano Amortização Saldo devedor Juros Prestação 0 0,00 1.000.000,00 1 0,00 1.060.000,00 0,00 0,00 2 0,00 1.123.600,00 0,00 0,00 3 0,00 1.191.016,00 0,00 0,00 4 1.191.016,00 0,00 71.460,96 1.262.476,96

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48 EXERCÍCIOS DE AQUECIMENTO – Sistemas de Amortização (Cap 5): 1) Você teve de efetuar, junto a sua instituição bancária, um empréstimo no valor de R$ 2.000,00, com uma taxa de juros de 4% ao ano, para cobrir despesas hospitalares emergenciais. Calcule o valor das prestações anuais que liquidariam esse empréstimo em 4 anos, usando o sistema PRICE.

2) Você abriu uma poupança com R$ 3.000,00 e, a partir de então, ao final de cada mês, você depositou mais R$ 400,00 durante 18 meses. Assumindo que a taxa de juros da poupança seja de 1% ao mês, quanto você poderá retirar ao final do décimo oitavo mês?

3) Você abriu uma poupança com R$ 4.800,00 e, a partir de então, você retirou ao final de cada mês, R$ 300,00, durante 15 meses. Assuma que a taxa de juros da poupança seja de 0,8% ao mês. Quanto você poderá retirar da poupança, ao final do décimo quinto mês?

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49 4) Calcular as prestações mensais do sistema SAC para um empréstimo de $36.000,00 a ser pago em 4 prestações com uma taxa de juros de 4% ao mês.

5) Você deve pagar um empréstimo de R$ 30.000,00 (que você recebeu hoje) pelo sistema de amortização com pagamento final. Em outras palavras, trata-se daquele sistema onde você capitaliza juros e paga todos eles mais o principal, de uma só vez, no final do prazo do empréstimo. Assuma que o prazo do empréstimo foi de 3 anos e que a taxa de juros composta adotada foi de 20% ao ano. Qual deve ser o valor das prestações?

6) Você deve pagar um empréstimo de R$ 50.000,00 pelo sistema de amortização com pagamento periódico anual de juros. Em outras palavras, trata-se daquele sistema onde você paga, a cada ano, apenas os juros, não amortizando nada do principal, e, ao final, no último período, você paga os juros do período mais o principal. Assuma que o prazo do empréstimo foi de 3 anos e que a taxa de juros composta adotada foi de 15% ao ano. Qual deve ser o valor das prestações?

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50 7) Você deve pagar um empréstimo de R$ 20.000,00 pelo sistema de amortização conhecido como sistema Price. Em outras palavras, trata-se daquele sistema onde você paga prestações idênticas, a cada ano, até a amortização total do empréstimo. Assuma que o prazo do empréstimo foi de 3 anos e que a taxa de juros composta adotada foi de 15% ao ano. Qual deve ser o valor das prestações PRICE anuais? Qual deve ser o valor das Prestações pelo sistema SAC ?

Respostas: 1) Pelo sistema PRICE, as prestações são constantes. Calculando o valor de cada uma é de R$ 550,98. 2) Você poderá retirar R$ 11.434,34 ao final do décimo oitavo mês. 3) Você poderá retirar R$ 648,45 ao final do décimo quinto mês. 4) O valor de cada uma das prestações pode ser dado pelo seguinte quadro: Período t=0 t=1 t=2 t=3 t=4 Prestação 0,00 10.440 10.080 9.720 9.360 5) O valor de cada uma das prestações pode ser dado pelo seguinte quadro: Período t=0 t=1 t=2 t=3 Prestações 0,00 0,00 0,00 R$ 51.840,00 6) O valor de cada uma das prestações pode ser dado pelo seguinte quadro: Período t=0 t=1 t=2 t=3 Prestações 0,00 R$ 7.500,00 R$ 7.500,00 R$ 57.500,00 7) O valor de cada uma das prestações pode ser Período t=0 t=1 Prestações PRICE 0,00 $ 8.759,54 Prestações SAC 0,00 $ 9.666,66

dado pelo seguinte quadro: t=2 t=3 $ 8.759,54 $ 8.759,54 $ 8.666,66 $ 7.666,66

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51 CORREÇÃO MONETÁRIA – CM A correção monetária foi criada para corrigir as distorções geradas pela inflação e, desta forma, diminuir os riscos de um investimento. Assim, os investidores tem uma maior proteção de seus ativos, uma vez que podem indexar os valores através de um índice que, a critério, represente menor risco de perda monetária. Exemplos de Indexadores: CDI, TR, TJLP, IGP-M e outros Formula para calcular prestações com cláusula de Correção Monetária Primeiro calculamos a prestação Segundo adicionamos a Correção Monetária acumulada para cada parcela Exemplo: Um empréstimo de $100.000,00 será pago pelo sistema de amortização francês em 5 prestações mensais postecipadas. A taxa e juros é 5% a.m. Considere que foi estipulada uma clausula de correção monetária de acordo com a variação do IGP-M Taxa de variação mensal do IGP-M Mês Variação IGP-M 1 1,2% 3 0,8% 5 1,0%

2 4

1,3% 0,6%

Fazendo inicialmente as contas SEM correção Monetária Mês Prestação Juros Amortização Saldo devedor 0 0,00 0,00 0,00 100.000,00 1 23.097,48 5.000,00 18.097,48 81.902,52 2 23.097,48 4.095,13 19.002,35 62.900,17 3 23.097,48 3.145,01 19.952,47 42.947,70 4 23.097,48 2.147,38 20.950,10 21.997,60 5 23.097,48 1.099,88 21.997,60 0,00 Soma 100.000,00 Fazendo inicialmente as contas COM correção Monetária Mês Prestação SEM Correção Prestação Corrigida 0 0,00 0,00 1 23.097,48 23.097,48 * (1 + 0,012) = 23.374,65 2 23.097,48 23.374,65 * (1 + 0,013) = 23.678,52 3 23.097,48 23.678,52 * (1 + 0,008) = 23.867,95 4 23.097,48 23.867,95 * (1 + 0,006) = 24.011,16 5 23.097,48 24.011,16 * (1 + 0,01) = 24.251,27 Observação: Nosso exemplo acima foi meramente ilustrativo pois a legislação em vigor somente permite indexação para contratos com prazos superiores a 1 ano.

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52 EXERCÍCIOS DE AQUECIMENTO – Correção Monetária

1) Um empréstimo de $1.400.000,00 será pago pelo sistema de amortização francês em 6 prestações mensais postecipadas. A taxa e juros é 2% a.m. Considere que foi estipulada uma clausula de correção monetária de acordo com a variação do IGP-M . Determinar o valor de cada prestação corrigida. Taxa de variação mensal do IGP-M Mês Variação IGP-M 1 0,7% 2 0,6% 3 0,8% 4 0,6% 5 0,7% 6 0,5%

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53 ESTUDO DE CASO 2) O Banco Federal concedeu um empréstimo de $1000,00 por 4 anos a uma taxa de juros i = 10% a.a. Calcular as prestações anuais para cada um dos sistemas de amortização, desmembrando Juros e Amortização

SAA – SISTEMA AMERICANO – Pagamento Final (carência do principal) Período Amortização Juros Prestação Saldo Devedor t=1 t=2 t=3 t=4

PRICE – SISTEMA FRANCES – PRICE (prestações constantes) Período Amortização Juros Prestação Saldo Devedor t=1 t=2 t=3 t=4

SAC – SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES CONSTANTES Período Amortização Juros Prestação t=1 t=2 t=3 t=4

Saldo Devedor

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54 Resposta 1 PV = 1.400.000 N=6 I = 2% FV = zero Pmt = ? A sua prestação sem Correção Monetária seria = R$ 249.936,14

Mês 0 1 2 3 4 5 6

Prestação SEM Correção 0,00 249.936,14 249.936,14 249.936,14 249.936,14 249.936,14 249.936,14

Resposta 2 SAA Período Amortização Juros Prestação Saldo Devedor PRICE Período Amortiz Juros Prestação S Devedor SAC Período Amortização Juros Prestação Saldo Devedor

t=1 0 100 100 1.000

t=1 215,47 100,00 315,47 784,53

t=1 250 100 350 750

Prestação Corrigida 0,00 249.936,14 * (1 + 0,007) 251.685,69 * (1 + 0,006) 253.195,81 * (1 + 0,008) 255.221,37 * (1 + 0,006) 256.752,70 * (1 + 0,007) 258.549,97 * (1 + 0,005)

= = = = = =

251.685,69 253.195,81 255.221,37 256.752,70 258.549,97 259.842,72

t=2 0 100 100 1.000

t=3 0 100 100 1.000

t=4 1.000 100 1.100 0

t=2 237,02 78,45 315,47 547,50

t=3 260,72 54,75 315,47 286,79

t=4 286,79 28,68 315,47 0,00

t=2 250 75 325 500

t=3 250 50 300 250

t=4 250 25 275 0

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2.6 CAPITULO 6 – MÉTODOS DE ANALISE DE FLUXOS DE CAIXA VALOR PRESENTE LIQUIDO & TAXA INTERNA DE RETORNO Estudaremos agora duas aplicações muito importantes da Matemática Financeira. São dois critérios para analise de projetos: VPL e TIR. VPL significa Valor Presente Líquido. VPL de um projeto de investimento é a diferença aritmética entre quanto vale e quanto custa o projeto de investimento. Para o mundo financeiro Valor é quanto você recebe, Custo é quanto você paga, sempre na data zero, isto é o seu valor presente.. O VPL é a medida do lucro ou do prejuízo de um projeto de investimento. O VPL deve ser maior do que zero para que um projeto seja considerado viável. Isto significa que o valor do projeto tem que ser maior do que o custo do projeto. Se um projeto custa mais do que vale, o investidor não deve investir nesse projeto, pois a diferença será um prejuízo. Se por outro lado um projeto vale mais do que custa, o investidor deve investir, pois a diferença será o seu lucro. Exemplo O projeto XINGU custa hoje $2.000.000,00. O valor presente do projeto XINGU é $2.800.000,00. Qual é o VPL do projeto XINGU? Você faria este investimento? Solução: Não precisamos calcular o VP pois o enunciado já fornece o valor como sendo $2.800.000,00. Não precisamos calcular o Investimento hoje pois o enunciado já fornece o custo como sendo $2.000.000,00 VPL = Valor - Custo = 2.800.000,00 – 2.000.000,00 = 800.000,00 Resposta: VPL = $800.000,00. Sim você faria o investimento pois o VPL é positivo. TIR significa Taxa Interna de Retorno. TIR é a taxa de retorno que um projeto fornece ao seu investidor. Se a TIR de um projeto é maior do que a taxa do custo do capital investido no projeto, o investidor deve investir, pois o projeto retorna uma taxa suficiente para pagar o capital do projeto. A diferença para mais significa que o investidor terá lucro. Se por outro lado a TIR for menor do que a taxa do custo do capital investido, o investidor não deve investir, pois estará pagando mais do que consegue receber. Exemplo O Projeto XAVANTE, custa $100,00 na data zero (hoje) e promete pagar um único pagamento de $140,00 daqui a 1 ano. Calcule a TIR do projeto XAVANTE. T=0 t=1 – 100 140 Por simples observação podemos concluir que TIR = 40% Resposta: A TIR do projeto XAVANTE é 40%

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56 Nas máquinas financeiras, geralmente, tanto o VPL como a TIR estão representados respectivamente por suas siglas em inglês: NPV (Net Present Value) e IRR (Internal Rate of Return). Na calculadora HP 12C estas funções (VPL e TIR) são acessadas pela sequência das teclas “f ” NPV e “f ” IRR, respectivamente. Onde “f ” é a tecla amarela.

EXEMPLOS 1) O projeto XINGU custa hoje $2.000.000,00. O valor presente operacional do projeto XINGU é $2.800.000,00. Qual é o VPL do projeto XINGU ? Você faria este investimento? Solução: Não precisamos calcular o VP pois o enunciado já fornece o valor como sendo $2.800.000,00. Não precisamos calcular o Investimento hoje pois o enunciado já fornece o custo como sendo $2.000.000,00 VPL = Valor - Custo = 2.800.000,00 – 2.000.000,00 = 800.000,00 Resposta: VPL = $800.000,00. Sim você faria o investimento pois o VPL é positivo.

2) Uma empresa deseja projetar se será bom investir em um terreno. Para isto devera analisar o fluxo e caixa de investimento (convencional) no terreno, sendo o investimento inicial de $10.000,00. Devido a localização do terreno, estima-se que será possível vende-lo após 4 anos por $11.000,00. Sabendo-se que a taxa mínima de atratividade desta empresa é 13% ao ano, e que estão previstas entradas de caixa relativas ao aluguel do terreno por terceiros apresentadas na tabela a seguir  Ano 1 2 3 4  Entradas 500 450 550 0,00 (sem alugar) Calcular o VPL deste projeto. Determine se investir neste projeto é atraente para a empresa ou não. Solução: T=0

t=1 500

t=2 450

t=3 550

t=4 11.000

– 10.000 VPL = Valor Presente das ENTRADAS – Valor Presente das SAIDAS VPL = – 2.077,42 (negativo) Resposta: Este projeto proporcionará prejuízo e por esta razão deve ser rejeitado.

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57 3.a) Considere o Projeto X, que custa $1.000,00 na data zero e promete pagar um único pagamento de $1.300,00 em 1 ano. Calcule a TIR deste projeto X. Solução: t=0 t=1 – 1.000 1.300 Por simples observação podemos concluir que TIR = 30% Projeto X na Calculadora – 1.000 g Cfo 1.300 g Cfj então > f IRR = 30% 3.b) Suponha agora que a taxa de juros que financia o projeto X seja i = 35% ao ano. O projeto é viável ? Solução: t=0 t=1 – 1.000 1.300 Com esta taxa de juros estaremos devendo -$1.350 em t=1. O projeto é inviável. Conferindo o VPL. Vamos calcular o VPL usando a taxa de 35% ao ano – 1.000 g Cfo 1.300 g Cfj 35% i então > f NPV = – 37,04 (negativo = prejuízo) 3.c) Suponha agora que a taxa de juros que financia o projeto X seja i = 22% ao ano. O projeto é viável ? Solução: t=0 t=1 – 1.000 1.300 Com esta taxa de juros estaremos devendo -$1.220 em t=1. O projeto é viável sim. Conferindo o VPL. Vamos calcular o VPL usando a taxa de 22% ao ano – 1.000 g Cfo 1.300 g Cfj 22% i então > f NPV = 65,57 (positivo = lucro) Conclusão IMPORTANTE: TIR deve ser maior que taxa de desconto (taxa de retorno), para que o projeto seja viável. 3.d) Suponha agora que a taxa de juros que financia o projeto X seja i = 30% ao ano. OU seja a taxa de custo de capital (i) é igual a taxa TIR que já calculamos antes. Este projeto é viável com esta taxa de custo de capital ? Solução: t=0 t=1 – 1.000 1.300 Com esta taxa de juros estaremos devendo -$1.300 em t=1. O projeto empata ! Conferindo o VPL. Vamos calcular o VPL usando a taxa de 30% ao ano – 1.000 g Cfo 1.300 g Cfj 30% i então > f NPV = 0,00 Conclusão IMPORTANTE: TIR é a taxa de desconto que faz o VPL ser igual a zero.

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58 4) Você quer investir no Projeto Genesis que vai demandar investimentos de $1.000,00 em t=0 e $1.200,00 em t=1. Você prevê a recuperação destes investimentos com os resultados líquidos dos próximos dois anos, $1.800,00 em t=2 e $2.000,00 em t=3. Considerando que a taxa do custo do capital que vai financiar este projeto 14% ao ano, calcular o VPL deste projeto. Solução: Desenhando os fluxos de caixa do projeto Genesis. T=0 t=1 t=2 t=3 -1.000 -1.200 1.800 2.000 Podemos agora colocar na calculadora financeira – 1.000 g CFo – 1.200 g Cfj 1.800 g Cfj 2.000 g Cfj 14% i então > f NPV = + 682,35 Resposta: O VPL do projeto Genesis é $682,35. VPL positivo significa lucro.

5) O projeto KIKIKO demanda investimentos de $1.000,00 hoje e promete pagar um fluxo perpetuo de resultados igual a $15,00 mensais. Determinar a TIR deste projeto. Solução: Desenhando os fluxos de caixa do projeto KIKIKO. T=0 t=1 t=2 t=3 t= -1.000 15 15 15 15 Perpetuidade não é resolvida na calculadora. VAMOS fazer usando a formula. Lembre que TIR é a taxa que faz o VPL ser zero. Formula do VPL Formula do VP de uma perpetuidade Substituindo na formula do VPL:

VPL = VP – Io VP = FC1 / i VPL = (FC1 / Tir) – Io

Substituindo os valores VPL = (15 / Tir) – 1.000 = 0 (15 / Tir) – 1.000 = 0 (15 / Tir) = 1.000 15 / 1.000 = Tir Tir = 1,5% ao mês Resposta: A TIR do projeto KIKIKO é 1,5% ao mês.

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59 PAYBACK SIMPLES O critério do PayBack Simples serve para medir quanto tempo um projeto demora para pagar aos investidores o capital investido. Sem remuneração alguma do capital. PayBack Simples = Simplesmente o numero de Fluxos e Caixa (períodos) a valores de face que um projeto leva para pagar seus custos de implantação. * Payback Simples

* Não deve ser usado

Exemplo: Seja um investimento na área de agricultura. O projeto custa $2.000.000 para ser implantado hoje e promete pagar uma sequência e fluxos de caixa durante cinco anos e então encerrar atividades. Qual é o período Payback Simples deste projeto? t=0 t=1 t=2 t=3 t=4 t=5 -2.000.000 500.000 600.000 900.000 1.800.000 1.900.000 PS = Período necessário para recuperar investimento inicial (A valor de face) = 3 anos Observação: Este critério não serve para nossas analises pois não considera o valor do dinheiro no tempo. PAYBACK DESCONTADO O critério do Payback descontado serve para medir quanto tempo um projeto demora para pagar aos investidores o capital investido. Incluindo a remuneração do capital. Payback Descontado = O numero de Fluxos e Caixa (períodos) a valores descontados que um projeto leva para pagar seus custos de implantação. Exemplo: Considere um projeto na área de turismo, com uma taxa Kp = 12% ao ano, que apresente um custo inicial para sua implantação de $3.500,00 e que apresente a perspectiva de retorno abaixo, determine o PD deste projeto: t=0 t=1 t=2 t=3 t=4 t=5 -3.500,00 1.100,00 1.210,00 1.331,00 1.464,10 1.610,51 Solução: FC absoluto: FC descontado:

-3500,00 -3500,00

Payback Descontado = (discretos)

1100,00 982,14

4 anos

1210,00 964,60 se

FC’s

1331,00 947,39 do

1464,10 1610,51 930,46 913,84

projeto

são

periódicos

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60 Taxa Mínima de Atratividade Para a tomada de decisão utiliza-se uma taxa de juros denominada TMA – Taxa Mínima de Atratividade. A TMA representa o mínimo que um investidor se propõe a ganhar quando faz um investimento. É formada a partir de três componentes que fazem parte do chamado “Cenário Econômico Financeiro”. TMA = CUSTO DE OPORTUNIDADE + RISCO DO NEGÓCIO + LIQUIDEZ DO NEGÓCIO Custo de Oportunidade É o custo da melhor alternativa de investimento perdida, ou proterida. É o ponto de partida que representa a remuneração que teríamos pelo nosso capital caso não o aplicássemos em nenhuma das alternativas analisadas. Risco do Negócio O ganho tem que remunerar o risco inerente a adoção de uma nova alternativa de investimento. Relação risco x retorno. Quanto maior o risco, maior será o retorno exigido pelo investidor. Liquidez É a facilidade, a velocidade, com que conseguimos sair de uma posição no mercado e assumir outra.

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61 EXERCÍCIOS DE AQUECIMENTO – VPL, TIR, Payback, e TMA (Cap 6): 1) Sua empresa tem a oportunidade de investir num projeto com vida útil de 7 anos e os seguintes fluxos de caixa: Investimento inicial $35.000,00, receitas de $12.000,00 a cada um dos 4 primeiros anos, receitas de $15.000,00 a cada um dos 3 últimos anos, alem disto considere também preço de venda (valor terminal) ao final de 7 anos de $20.000,00. Considere que a taxa de retorno adequada aos projetos da sua empresa (TMA) como sendo 20% ao ano. Calcular a TIR. O projeto é viável?

2) Um amigo oferece a você um projeto de investimento onde você devera investir $10.000,00. Quando você calculou o valor presente desse projeto descobriu que seu valor hoje é $13.500,00. Qual é o VPL deste projeto ? Você investiria ?

3) Você trabalha em uma grande corporação. Você é a pessoa que decide em sua empresa. Hoje cedo, na reunião semanal, alguns executivos lhe apresentaram um projeto que requer investimentos da ordem de $20.000.000,00. Os lucros líquidos esperados deste projeto são da seguinte forma: $4.800.000,00 em t=1 ano (final do primeiro ano), $7.500.000,00 em t=2 anos e finalmente $9.600.000,00 em t=3 anos. A partir desta data o projeto é encerrado nada mais havendo a receber. Considerando que a taxa mínima de atratividade desse projeto seja 12% ao ano, qual será sua decisão? Investir ou não? Qual é o VPL deste projeto?

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62 4 a) Ana Matilde Maria, atriz de teatro, esta pensando em investir suas economias em um teatro próprio. Ela tem uma proposta para comprar um teatro por $250.000,00 à vista. Durante três anos ela espera receber resultados (lucros) de: $60.000,00 ao final do primeiro ano, $80.000,00 ao final do segundo ano e, finalmente, $120.000,00 no final do terceiro ano. Ao final do terceiro ano, Ana Maria pretende vender o teatro por $300.000,00. Considere que a taxa adequada para seus cálculos seja 18% ao ano. Qual deve ser a decisão de Ana Maria ? Investir ou não? Qual é o VPL deste projeto?

4 b) Ana Matilde (do exercício anterior) fica preocupada com a notícia de que talvez perca um dos seus grandes patrocinadores. O impacto desta possível perda de receita seria de 20% sobre os resultados operacionais líquidos esperados para as operações ano após ano. E agora Ana Maria vai em frente ou Não? Qual é o novo VPL?

5) O projeto MASTER demanda investimentos de $2.000,00 hoje e promete pagar um fluxo perpetuo de resultados igual a $45,00 mensais. Determinar a TIR deste projeto.

Resposta 1): Sim você pode investir. A TIR é 33,91% a.a., e portanto superior a TMA. Resposta 2): Sim você deve investir. O VPL é positivo $3.500,00. Você terá um lucro que vale, hoje, $3.500,00. Resposta 3): Não investir, o VPL é negativo. VPL = - $2.902.241,25 Resposta 4 a): SIM, Ana Maria deve investir. VPL = $113.927,18 Resposta 4 b): SIM, Ana Maria pode seguir em frente. VPL = $77.659,60 Resposta 5): A taxa TIR do projeto Master é 2,25% ao mês Matemática Financeira

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2.7 CAPITULO 7 – DESCONTO CONCEITO  As empresas em suas operações normais concedem prazos de 30, 60 ou 90 dias para seus clientes fazerem os pagamentos.  Consequentemente as vezes ficam sem recursos em caixa para pagarem, luz, tel, fornecedores, folha….  Por esta razão é comum, empresas no mercado, realizarem desconto de duplicatas, para anteciparem recebimentos futuros.  Estudaremos dois tipos de operações de desconto efetivamente adotados no mercado; o desconto simples por fora e o desconto composto por dentro.

DESCONTO COMPOSTO Este é o calculo que fizemos o tempo todo em nosso curso. Usamos a formula : VF = VP ( 1 + i )n Exemplo de mercado: Uma duplicata com valor de face de $1.000,00 e prazo de vencimento de 2 meses é descontada à taxa composta de 4% am. Determine o valor descontado deste titulo. Solução: Dados valor Futuro = 1.000 o prazo de 2 meses e taxa de 4% podemos fazer: VP = VF / (1 + i)n VP = 1.000 (1 + 0,04)2 = 924,56 Valor a ser creditado hoje em troca do direito creditório (duplicata) $924,56

DESCONTO SIMPLES Operações de desconto de duplicatas e títulos no MERCADO são feitas no regime SIMPLES. Tanto no comercio como na indústria é freqüente operarmos com desconto simples quando fazemos desconto de duplicatas. De modo geral, uma operação de desconto visa estabelecer o valor presente pelo qual determinado ativo – que apresenta um valor numa data futura, o valor futuro – pode ser negociado hoje. Fórmula para desconto simples: VP = VF – Juros VP = VF – VF . i . n Exemplo de mercado: Uma duplicata com valor de face de $1.000,00 e prazo de vencimento de 2 meses é descontada à taxa simples de 4% am. Determine o valor descontado deste titulo. Solução: Dados valor Futuro = 1.000 o prazo de 2 meses e taxa de 4% podemos fazer: VP = VF (1 – i . n) VP = 1.000 (1 – 0,04 x 2) VP = 1.000 – 80 = 920 Valor do desconto = $80,00 Valor Presente do titulo descontado = $920,00

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64 Exemplo de mercado: Vamos verificar agora quanto o agente financiador esta recebendo como taxa de retorno por fazer este desconto de duplicata do exemplo anterior. Solução: Quem esta investindo $920,00 para receber em 2 meses $1.000,00, esta recendo efetivamente a seguinte taxa de juros compostos: PV = – 920 N= 2 FV = 1.000 PMT = 0 I= ??? Resposta: A taxa de retorno é 4,26% ao mês. O que você pode concluir disto?

DESCONTO SIMPLES – COM VÁRIOS TÍTULOS (BORDERÔ) Na pratica não se opera com um titulo isoladamente. Em geral, desconta-se um conjunto de títulos com prazos de vencimento distintos. Exemplo de mercado: Para cobrir o caixa da sua empresa você quer descontar o borderô a seguir. A taxa de desconto simples é 4,5% ao mês. Hoje é 20 de Janeiro.

BORDERÔ DE DESCONTO Duplicata 1 2 4 6 7 9 11

Sacado Indústria X Casas Y Jose Silva Sebastião Dias Mercadinho Vai Vai Casas X Y Z

Praça RJ BH Cuiabá RJ RJ Belém Recife

Vencimento 20 fevereiro 20 fevereiro 20 março 20 março 20 abril 20 abril 20 abril

Valor ($) $1.000,00 $2.000,00 $1.500,00 $2.000,00 $6.000,00 $4.000,00 $3.300,00

Solução PRIMEIRO Reunindo em grupos com a mesma data de vencimento Prazo 30 dias 60 dias 90 dias Valor Acumulado $3.000,00 $3.500,00 $13.300,00 SEGUNDO Descontando a 4,5% ao mês Prazo 30 dias Valor Acumulado $3.000,00 Juros $135,00 Valor Descontado $2.865,00 Total a receber hoje $17.554,50

60 dias $3.500,00 $315,00 $3.185,00

90 dias $13.300,00 $1.795,50 $11.504,50

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65 Vamos verificar agora quanto o agente financiador esta recebendo como taxa de retorno por fazer este desconto de duplicata do exemplo 1 (anterior) Solução: Calculo da Taxa efetiva composta que o banco Giro esta recebendo - 17.554,50 g CFo 3.000,00 g CFj 3.500,00 g CFj 13.300,00 g CFj então > f IRR obtemos TIR = 4,919% a m Resposta: A taxa de retorno é 4,919% ao mês. O que você pode concluir disto? Exemplo de mercado: Uma factoring descontou três duplicatas (vide tabela abaixo) para uma casa comercial. A taxa de desconto simples por fora cobrada pela factoring foi de 5% a.m. Pede-se A) O valor que a factoring vai creditar hoje para a casa comercial (mês comercial). B) A taxa efetiva de retorno mensal (mês comercial) com capitalização composta da operação de desconto realizada pela factoring. Relação das duplicatas descontadas: Nº Nome do Duplicata Sacado 1 Lojas A 2 Casas XYZ 3 Móveis ABC

Prazo de Vencimento 30 dias 60 dias 90 dias

Valor R$ 2.000,00 R$ 1.000,00 R$ 1.800,00

Solução A) O valor que a factoring vai creditar hoje para a casa comercial. Descontando a 5% ao mês Prazo Valor Desconto Liquido a creditar 1 mês 2.000,00 100,00 1.900,00 2 meses 1.000,00 100,00 900,00 3 meses 1.800,00 270,00 1.530,00 Total 4.330,00 Resposta: O valor a creditar hoje, descontados os Juros simples é de $4.330,00 B) A taxa efetiva de retorno mensal (mês comercial) com capitalização composta da operação de desconto realizada pelo banco. - 4.330 g Cfo 2.000 g Cfj 1.000 g Cfj 1.800 g Cfj f IRR Resposta: Obtemos 5,46% ao mês como taxa de retorno efetiva

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66 EXERCÍCIOS DE AQUECIMENTO – DESCONTO SIMPLES (Cap 7): 1) Você vendeu hoje uma mercadoria a um cliente por R$ 10.000,00, com pagamento acertado para daqui a 2 meses (60 dias). O problema é que você precisa de dinheiro hoje para fechar a folha de pagamentos de sua firma. Você decide ir ao banco Forte e descontar a duplicata relativa à essa venda. Suponha que o gerente do banco Forte lhe informe que a taxa para desconto simples está fixada em 3% ao mês, a juros simples. Quanto você vai receber, se descontar essa duplicata?

2) Seu banco opera cobrando taxas de juros (efetivos) de 4% ao mês. Você é a pessoa (o cara ou a cara) de marketing. Qual a taxa de juros simples que você vai colocar em seus anúncios para descontos de 3 meses?

3) Seu banco opera cobrando taxas de juros (efetivos compostos) de 5% ao mês. Você é a pessoa (o cara ou a cara) de marketing. Qual a taxa de juros simples que você vai colocar em seus anúncios para descontos de 4 meses?

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67 4) Você é o cliente e foi ao banco para descontar, hoje, uma promissória no valor de face (valor escrito na promissória) de R$ 20.000,00, com vencimento para daqui a 2 meses. O banco lhe creditou, hoje, em sua conta, R$ 18.000,00, em virtude da operação de desconto. Qual é a taxa de desconto bancário simples em questão?

5) Você trabalha em um banco comercial. Um cliente solicita para você descontar um borderô com duplicatas no valor de $20.000 e vencimento para daqui a 2 meses. Você trabalha com uma taxa para desconto simples de 5% ao mês. Quanto você vai creditar na conta do cliente hoje? Qual será sua taxa de retorno (composta) sobre esta operação?

RESPOSTAS Resposta 1): Você vai receber R$ 9.400,00. Resposta 2): A taxa para desconto simples é 3,70% Resposta 3): A taxa é 4,4% para desconto simples Resposta 4): A taxa de desconto bancário é de 5% ao mês. Resposta 5): Você devera creditar na conta do cliente hoje $18.000,00. A taxa de retorno composta é 5,41% ao mês.

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3. LISTA DE EXERCÍCIOS APLICAÇÃO a REALIDADE das EMPRESAS

3.1 Lista A 1) Você tem hoje R$ 10.000,00 e deseja aplicá-los para obter o valor da entrada de um carro, no valor de R$ 26.000,00. Assim, pretendendo ter um total (juros mais principal) equivalente a esse valor, em uma aplicação que paga uma taxa de juros simples de 40% ao ano. Quanto tempo você deve deixar seu dinheiro aplicado para obter a entrada do automóvel? Resposta: Você deve deixar seu dinheiro aplicado por 4 anos para obter o valor da entrada do carro novo.

2) D. Neide morreu de inveja de sua vizinha, que adquiriu uma geladeira duplex. Qual é o valor que D. Neide deve investir hoje, para ter, ao final de 5 anos, R$ 1.500,00, para comprar uma geladeira tão bonita quanto a de sua vizinha? Considere que a taxa de juros compostos que você usou é de 10% ao ano. Resposta: D. Neide deverá investir hoje R$ 931,38, para conseguir sua geladeira.

3) Você precisa ter R$ 17.760,00, daqui a quatro anos, para conseguir comprar um Fiat Palio. Quanto você deve depositar, hoje, no banco, sabendo que a taxa de juros simples que o banco usa para remunerar seus depositantes é de 12% ao ano? Resposta: Você deve depositar hoje R$ 12.000,00, para conseguir no futuro seu carro novo.

4) Você deseja investir na carreira de piloto de corridas e tem hoje (t=0) R$ 1.000.000,00, para aplicar a uma taxa de 15% ao ano. Quanto você terá depois de 4 anos dessa aplicação? Resposta: Você terá R$ 1.749.006,25 para investir em sua nova carreira.

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69 5) Você precisa se especializar, porque o mercado de trabalho é muito competitivo. Para isso, deseja fazer alguns cursos de Gerência de Vendas e Marketing Direto, que terão início dentro de 2 meses, na FGV, e que custam, aproximadamente R$ 1.200,00 (o conjunto de cursos). Se você aplicar R$ 3.000,00, durante esses dois meses, com uma taxa de juros simples de 20% ao mês, você obterá o suficiente, apenas com os rendimentos, para participar dos dois cursos? Ou seja, qual é o valor dos juros (somente os juros) que você obterá? Resposta: Sim, você poderá pagar os cursos apenas com o valor dos juros, pois obterá R$ 1.200,00 depois da aplicação. 6) Você e seu marido (ou sua esposa) estão planejando sua festa de bodas de ouro, que irá se realizar daqui a 10 anos. Suponha que você tenha R$ 2.000,00 hoje e, se investir na poupança de determinada instituição, terá, em 10 anos, R$ 5.187,50. Qual é a taxa anual que essa instituição está pagando para sua aplicação? Dica: quando usar a calculadora, não se esqueça de colocar VP e VF com sinais diferentes. Resposta: A taxa anual de juros que a instituição está pagando é de 10%.

7) Qual é o valor dos juros que você obterá, se aplicar os R$ 3.000,00 que recebeu como prêmio pela publicação de um artigo num jornal, por 2 meses, a uma taxa de juros compostos de 20% ao mês? Resposta: Você obterá R$ 1.320,00 de juros.

8) O dono de um jornal, sendo um profissional de visão, aplicou R$ 222.000,00 a juros compostos pelo período de 14 anos a uma taxa de 20% ao ano, para expandir seu negócio. Qual o valor futuro obtido após essa aplicação? Resposta: O valor futuro obtido pelo dono do jornal é de R$ 2.850.298,99.

9) D. Mary abriu uma poupança no valor de R$ 180,00. Essa aplicação, contudo, caiu no esquecimento. Dez anos depois, D. Mary recebeu uma correspondência do banco em que essa poupança fora aberta, comunicando que o saldo do investimento era de R$ 360,00. Qual a taxa de juros compostos que levou essa aplicação em t=0 a valer R$ 360,00 em 10 anos? Dica: quando usar a calculadora, não se esqueça de utilizar VP e VF com sinais diferentes. Resposta: A taxa de juros é de 7,177% ao ano.

10) Maria quer comprar um automóvel popular. Os preços dos automóveis populares têm-se mantido estáveis no mercado há muitos anos. Suponha que Maria queira comprar o automóvel daqui a três anos. Considere que Maria precise de ter R$ 15.000,00 para poder comprar o automóvel. Sabendo que a caderneta de poupança vai remunerar seus depósitos a uma taxa de juros anual de 19% ao ano, durante os próximos três anos, qual é o valor que Maria deve depositar, hoje, na poupança para que, daqui a três anos, ela possa comprar o automóvel? Resposta: Maria deve depositar na poupança R$ 8.901,24.

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70 11) Suponha que você aplicou R$ 100,00 a uma taxa de 10% ao mês por 1 mês. Qual deverá ser o valor futuro que você vai receber ao final da aplicação? Resposta: O valor futuro é R$ 110,00.

12) Um de seus sonhos mais antigos é realizar um cruzeiro durante o Réveillon. A Rhapsody oferece cruzeiros de 7 dias e 6 noites, passando pelo Rio de Janeiro, por Jurerê, Ilhabela, Parati e Búzios, a partir de R$ 1.260,00. Imagine que você tenha hoje (t=0) R$ 1.000,00 para aplicar a juros simples, com uma taxa de 10% ao ano. Será que, depois de três anos, você terá o valor necessário para realizar esse sonho? Resposta: Você terá R$ 1.300,00, o suficiente para realizar sua tão desejada viagem, e ainda vão sobrar R$ 40,00 (1.300,00 – 1.260,00 = 40,00).

13) Dr. Onofre decidiu comprar instrumentos cirúrgicos e resolveu financia-los por um ano. Quatro lojas foram consultadas. As taxas oferecidas sempre no regime simples, foram as seguintes, abaixo, informe qual a mais favorável. a) Loja A: 17,00% ao ano b) Loja B: 4% ao trimestre c) Loja C: 0,04% ao dia d) Loja D: 1,10% ao mês Resposta: A melhor taxa é mais baixa, 0,03667% é a taxa ao dia da Loja D

14) Seja um capital de R$ 320.000,00 aplicado a juros simples por 6 meses a uma taxa de 2% am. Determinar os Juros e o Montante ao final do mês 6. Resposta: Ao final do mês 6 os Juros serão de R$ 38.400,00 e o Montante de R$ 358.400,00.

15) Denilton quer comprar uma automóvel que vai custar $52.000,00 daqui a 9 meses. Quanto Denilton deve investir, hoje, em uma aplicação que pague juros simples a uma taxa de 14% ao ano para poder comprar seu automóvel ? Resposta: Denilton deve aplicar hoje $47.058,82

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3.2 Lista B 1) Nakato Nobuki, artista japonês, pretende sacar da sua poupança $24.000,00 ao final de 5 anos. O senhor Nobuki deposita anualmente $1.500,00 na poupança e tem hoje um saldo de $8.000,00. Qual deve ser a taxa de juros da poupança para que Nobuki atinja seus objetivos? Resposta: A taxa deve ser 12,45% ao ano

2) O Sr. Laerte Fernandes deseja fazer uma aplicação financeira, a juros compostos de 18,5% a.m., de forma que possa retirar R$ 50.000,00, ao final do 4º mês e R$ 70.000,00 ao final do 12º mês, para comprar gado em um leilão. Qual o menor valor da aplicação que permitiria essas retiradas? Resposta: A aplicação mínima seria de R$ 34.487,07.

3) Marcos tem $120.000,00 e pretende investir em um fundo de renda fixa. Durante os próximos 3 anos Marcos vai depositar mais $2.000,00 anuais neste fundo. Marcos gostaria de ter ao final dos 3 anos um saldo de $145.000,00 no fundo. Qual deve ser a taxa de juros composta do fundo para que Marcos possa atingir seu objetivo? Resposta: A taxa deve ser 4,95 % ao ano

4) Quanto Antônio deve aplicar anualmente em uma poupança onde ele já tenha um saldo inicial de $34.000,00 para que possa obter um saldo de $120.000,00 em 6 anos. Considere que a taxa de juros com capitalização composta é 10% ao ano. Resposta: Antônio deve aplicar $7.746,23 anualmente

5) Quanto Oscar Tolla deve aplicar anualmente em uma poupança onde já tenha um saldo inicial de $23.000,00 para que possa obter um saldo de $80.000,00 em 4 anos. Considere que a taxa de juros com capitalização composta é 15% ao ano. Resposta: Oscar Tolla deve aplicar $7.965,13 anualmente

6) Francisco da Mata, professor de Filosofia, investiu os R$ 250.000,00 que obteve de lucro com o sucesso de vendas de seu livro de auto-ajuda, em uma aplicação que rende juros com capitalização composta a uma taxa de 14% ao ano. Logo após a aplicação, o professor embarcou em uma longa viagem pelo Oriente. Após alguns anos, ao retornar para sua terra, o professor encontrou um saldo de R$ 370.386,00 em sua aplicação. Quanto tempo o professor ficou viajando? Resposta: O professor viajou por 3 anos.

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72 7) Sônia quer dispor de $13.000,00 após 5 meses. Sônia tem hoje na poupança $4.500,00 e pretende depositar mais $1.000,00 mensais. Qual é a taxa de juros que Sônia precisa receber sobre seus depósitos para atingir seus objetivos. Resposta: A taxa deve ser 9,21% ao mês

8) Você negociou hoje junto ao banco um empréstimo de forma a ser pago através de um conjunto de 8 prestações mensais sucessivas. As primeiras 3 prestações são no valor de $3.300,00 cada uma. As 5 ultimas prestações são no valor de $3.000,00 cada uma. Considere que a taxa de juros é 1,1% ao mês Qual é o valor desse empréstimo hoje? Resposta: O Valor do empréstimo é $23.734,83

9) Você vendeu seu veleiro e colocou, hoje, os R$ 100.000,00 obtidos com a venda em uma aplicação financeira que remunera seus depósitos com juros compostos a uma taxa de 18% ao ano. Quanto tempo você deverá esperar para ter R$ 318.547,39 e poder ter o barco dos seus sonhos? Resposta: Você deverá esperar 7 anos.

10) Pedro tem hoje na poupança $12.000,00. Pedro pretende depositar mensalmente mais $600,00 durante 36 meses e gostaria de ter em sua poupança $50.000,00 ao final deste tempo. Qual é a taxa de juros que a poupança deve remunerar Pedro para que ele atinja seu objetivo ? Resposta: A taxa deve ser 1,59 % ao mês

11) Quanto você deve aplicar mensalmente em uma poupança onde você já tenha um saldo inicial de $17.000,00 para que possa obter um saldo de $130.000,00 em 14 meses. Considere que a taxa de juros com capitalização composta é 1% ao mês. Resposta: Você deve aplicar $7.389,83 mensalmente

12) Quanto Vanessa da Silva deve aplicar anualmente em uma poupança onde já tenha um saldo inicial de $16.000,00 para que possa obter um saldo de $40.000,00 em 3 anos. Considere que a taxa de juros com capitalização composta é 14% ao ano. Resposta: Vanessa deve aplicar $4.737,56 anualmente

13) Ruy Castro quer saber quanto deverá ter na poupança, hoje, para garantir o pagamento, até o final, de seu curso de pós-graduação, que deverá durar 24 meses e cuja mensalidade é de R$ 800,00. Considere que a poupança paga uma taxa de juros de 0,8% ao mês. Resposta: O Sr. Castro deverá ter R$ 17.406,24.

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73 14) O proprietário de um cavalo de corridas está muito feliz: seu animal acabou de vencer seu primeiro derby, recebendo o prêmio de R$ 30.000,00. Se ele aplicar essa quantia em um fundo de renda fixa, por 2 meses, a uma taxa de juros compostos de 4% ao mês, qual será o valor dos juros que ele receberá pela aplicação? Resposta: O proprietário receberá R$ 2.448,00 de juros.

15) Você se interessou por um aparelho de DVD que se encontrava em exposição na vitrine de uma loja de eletrodomésticos. Junto ao preço do aparelho, a loja anunciava uma taxa de juros de 2% ao mês para financiamento em prestações mensais.Qual é a taxa anual de juros, para o calculo de prestações anuais, equivalente a 2% ao mês, cobrada pela loja? Resposta: A taxa anual de juros da loja e que é equivalente a 2% ao mês é 26,824% aa.

16) Uma anuidade consiste numa série de pagamentos (ou recebimentos) iguais e sucessivos feitos ao final de cada período de tempo. Suponha que você deposite $1.000 anualmente durante 3 anos em uma poupança que rende 10% ao ano. Quanto você terá ao final destes três anos? Resposta: O Valor Futuro é 3.310,00

17) Qual é o Valor Presente de um conjunto de 4 anuidades no valor de $1.200,00 cada uma. A taxa de desconto é 15% ao ano. Resposta: O Valor Presente é $3.425,97

18) Qual é o Valor Presente de um conjunto perpetuo de pagamentos anuais no valor de $100.000,00 cada um. Considere a taxa de desconto como sendo 20% ao ano. Resposta: O Valor Presente desta perpetuidade é $500.000,00

19) Qual é a taxa efetiva, mensal e anual, que obteremos se aplicarmos $2.345,87 a uma taxa nominal de 36% ao ano com capitalização mensal ? Resposta: A taxa efetiva mensal é 3% ao mês, e a taxa efetiva anual é 42,576%.

20) Um titulo de renda fixa emitido pelo governo federal esta pagando uma taxa nominal de 19,60% ao ano com capitalização mensal. Qual é a taxa efetiva anual? Resposta: A taxa efetiva anual é 21,46% 21) Você tem hoje $4.000,00 aplicados. Você quer retirar $2.000,00 por mês durante os próximos 4 meses, sem deixar saldo algum. Qual deve ser a taxa desta aplicação? Resposta: A taxa desta aplicação é i = 34,90%

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74 22) Você precisa ter R$ 100.000,00 daqui a seis anos, para fazer frente a este pagamento pré-fixado: a compra de sua casa. Quanto você deve depositar hoje em uma poupança de pagamentos anuais, sabendo que a taxa de juros que esta poupança paga é de 12% ao ano? Resposta: Você deve depositar R$ 50.663,11 na poupança.

23) Virgulino Seresteiro é músico e vai aplicar, hoje, R$ 14.000,00 em uma aplicação que paga juros com capitalização composta, para financiar, no futuro, a produção de seu primeiro CD. Suponha que a taxa de juros seja de 15% ao ano. Quanto tempo Virgulino deverá deixar os R$ 14.000,00 aplicados para ter R$ 32.382,85? Resposta: Virgulino deverá esperar 6 anos.

24) A empresa KATAPUM deve pagar nos próximos meses os seguintes valores: Data t=1 t=2 t=3 t=4 Impostos 1.240 2.340 3.450 3.240 Data Prestações Banco A

t=1 1.200

t=2 1.200

t=3 1.200

t=4 1.200

Data Prestações Banco B

t=1 1.430

t=2 1.430

t=3 1.100

t=4 1.100

Considere que a taxa de juros que você tem para aplicação financeira seja 2% ao mês. Determine quanto você precisaria ter hoje, aplicados, para poder pagar estas contas nos próximos meses. Resposta: Precisamos ter hoje $19.107,58.

25) Você abriu uma poupança com $4.800,00 e desde então retirou, ao final de cada mês, $400,00 durante 15 meses. Assuma a taxa de remuneração da poupança como 0,8% ao mês. Quanto você terá na poupança ao final do décimo quinto mês? Resposta: $938,54 fazer deposito *) E se você retirar $1.000,00 (ao invés de $400,00), quanto terá na poupança ao final do décimo quinto mês? Resposta: $10.460,43 fazer deposito. **) E se você retirar $100,00 (ao invés de $400,00) quanto terá na poupança ao final do décimo quinto mês? Resposta: $3.822,41 fazer saque 26) Qual é a taxa mensal equivalente a uma taxa composta anual de 60% ? Resposta: A taxa de juros mensal equivalente é de 3,99% a m.

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75 27) Qual é a taxa mensal equivalente a uma taxa anual de 360% no regime de capitalização simples? Resposta: A taxa mensal equivalente é de 30% a m.

28) Qual é a taxa mensal equivalente a uma taxa anual de 360% no regime de capitalização composta? Resposta: A taxa de juros mensal equivalente é 13,56% a m.

29) Qual é a taxa mensal equivalente a uma taxa composta anual de 54% ? Resposta: A taxa de juros mensal equivalente é de 3,66% a m.

30) Você trabalha no banco. A taxa de juros do cheque especial é 7% a.m. cobrada mensalmente. Qual seria a taxa de juros NOMINAL anual e EFETIVA anual do cheque especial? Qual destas taxas você usaria para fazer os anúncios do banco? Resposta: Nominal 84%, Efetiva 125,21%. Usaria a taxa mais baixa para atrair clientes

31) Você NÃO trabalha no banco. Você quer um empréstimo. O banco A anuncia taxas de juros de 48% a.a. para pagamentos mensais. O banco B anuncia taxa de 54% a.a. para pagamento anual. Qual banco cobra juros menores? Resposta: O banco A cobra 4% ao mês, banco B cobra 3,66% ao mês.

32) Uma operação realizada no banco ITAU em 31/12/2001 e terminada em 31/12/2003 tratou de um empréstimo de R$ 1.000,00. A taxa de juros pactuada no contrato foi de 10% ao ano, capitalizados de forma composta, anualmente. O valor para pagamento do empréstimo foi de R$ 1.210,00 na data do vencimento (31/12/2003). Qual foi o valor dos juros pagos por este contratado realizado com o banco? Resposta: Os juros serão de R$ 210,00.

33) Você tem R$1.000, 00, porém precisa comprar uma máquina que custa o dobro. Felizmente, os preços estão estáveis há muitos anos. Isso significa que você pode fazer uma aplicação financeira a juros compostos e, daqui a 1 ano, poderá comprar sua máquina pelo mesmo preço. Qual é a taxa de juros anual para aplicação, que resolverá seu problema? Resposta: A taxa de juros que resolve seu problema é de 100% ao ano.

34) Você tem hoje R$ 100,00, para aplicar a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano. Quanto terá daqui a dois anos? Resposta: Você terá daqui a 2 anos R$ 121,00.

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76 35) Qual o montante acumulado (valor futuro) em 6 anos, a uma taxa de 10% a.a., no regime de juros compostos, a partir de um principal inicial de R$ 100,00? Resposta: Você terá daqui a 6 anos R$ 177,15.

36) Qual o principal que deve ser aplicado hoje (valor presente), para se ter acumulado um total de R$ 1.000 daqui a 12 meses, no regime de juros compostos, a uma taxa de 3% ao mês? Resposta: Você deve aplicar hoje R$ 701,38.

37) Você leu o seguinte texto em um documento de um banco. Caderneta de Poupança paga taxa de juros de 6% ao ano. Determine as seguintes taxas: Taxa efetiva mensal Taxa efetiva anual Resposta: Taxa efetiva mensal é 0,5% ao mês Taxa efetiva anual é 6,17% ao ano

38) Você leu o seguinte texto em um documento de um banco. Financie sua moto em prestações mensais com taxa de 3% ao mês Determine as seguintes taxas: Taxa efetiva mensal Taxa efetiva anual Resposta: Taxa efetiva mensal é 3% ao mês Taxa efetiva anual é 42,576% ao ano

39) Você investiu $1.000,00 em um titulo de renda fixa do Banco VIGOR. Trata-se de um titulo com vida total de 2 anos (prazo de maturidade). A taxa de juros na época era 9% ao ano. Ao final do primeiro ano o titulo deve pagar os juros de $90,00 e ao final do segundo ano alem dos juros de $90,00 também o valor do principal. Hoje faz exatamente 1 ano que você investiu neste titulo. A taxa de juros do mercado hoje é 12% ao ano. A informação que consta em seu extrato periódico do banco Vigor segue a lei e explicita o valor do fundo com marcação a mercado. Qual é valor deste titulo hoje em seu extrato? Resposta: O valor deste titulo hoje com marcação a mercado (para venda ao mercado) é $973,21.

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77 40) Você consultou dois bancos para decidir sobre um empréstimo a era pago em prestações mensais. O banco A cobra uma taxa Nominal de 120% ao ano. O Banco B cobra uma taxa efetiva de 125,22% ao ano. Qual banco esta cobrando uma taxa mensal menor ? Resposta: O banco B esta cobrando uma taxa efetiva mensal menor. O banco B esta cobrando uma taxa mensal efetiva de 7% ao mês. O banco A esta cobrando uma taxa mensal efetiva de 10% ao mês.

41) Você consultou dois bancos para analisar qual deles cobra uma taxa de juros no cheque especial menor. O banco A cobra uma taxa de juros simples mensal de 2% ao mês. O banco B cobra uma taxa de juros composta mensal de 2% ao mês. Qual banco cobra mais e qual cobra menos? Considere um saldo devedor de $1.000,00 durante 15 dias. Quanto o cliente pagara de juros no banco A e no banco B ? Resposta O banco A cobra juros mais caros. O banco A cobra $10,00 de juros. O banco B cobra $9,95 de juros.

42) Você usou seu cheque especial este mês. Você ficou no vermelho (devendo) $1.200,00 durante 12 dias. Quanto você vai pagar de juros? Informações adicionais; O banco cobra uma taxa de juros simples mensal de 3% ao mês. Resposta: Você vai pagar de juros R$14,40.

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3.3 Lista C 1) Uma distribuidora está oferecendo remuneração a uma taxa de juros de 2% a.m. nos seguintes papéis de sua carteira: Prazo de resgate: Valor do resgate: 3 meses R$ 1.000,00 6 meses R$ 2.000,00 9 meses R$ 3.000,00 Um determinado investidor deseja investir nos três papeis (um de cada), nas condições oferecidas. Qual é o Valor Presente (data de hoje) deste investimento? Não considere outras taxas, comissões, nem impostos. Resposta: O valor do cheque que o investidor deverá fazer será de R$ 5.228,54.

2) Suponha que você tem um financiamento de casa própria onde você deve pagar 72 prestações mensais e sucessivas no valor de $1.200,00 cada. Alem destas você deve pagar a cada 6 meses uma intermediária no valor de $7.000,00. A taxa de juros é 1% ao mês. Qual é o valor presente do financiamento? Resposta: Valor presente do financiamento é $119.581,35

3) Uma TV esta anunciada da seguinte maneira: “Oportunidade compre sua TV no valor de $800,00 em 4 parcelas iguais de $200,00 ( 0, 30, 60 e 90 dias), sem juros ou então a vista com 20% de desconto” Pergunta-se: É propaganda enganosa? Qual seria a taxa real de juros cobrada? Resposta: É propaganda enganosa. A taxa de juros cobrada é 17,27% ao mês.

4) Uma empresa que comercializa pneus e rodas investiu em pesquisa e desenvolvimento, contraindo muitas dívidas. Em 30/03/XX, essa empresa deseja liquidar uma nota promissória de R$ 100.000,00, vencida há 12 meses, e ainda antecipar a liquidação de uma nota promissória de R$ 500.000,00, que tem 21 meses a decorrer até seu vencimento, para pagar sua dívida. Calcule o valor do pagamento a ser feito nessa data, para liquidar as duas notas promissórias, levando-se em consideração uma taxa de juros compostos de 2% ao mês e admitindo que todos os meses tem 30 dias. Não considere a existência de multa sobre a nota vencida, nem descontos excepcionais sobre a antecipação do pagamento das notas não vencidas. Resposta: O pagamento a ser feito para quitar a dívida é de R$ 456.712,08.

5) Um titulo de renda fixa emitido pelo governo federal esta pagando uma taxa nominal de 16,80% ao ano com capitalização mensal. Qual é a taxa efetiva anual? Resposta: A taxa efetiva anual é 18,1559%

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79 6) Você comprou faz 8 anos uma imóvel cujo valor era $120.000,00. Você deu como entrada $40.000,00 e financiou o restante em prestações mensais pelo sistema PRICE em 15 anos com uma taxa de juros nominal de 24% ao ano. Você quer vender seu imóvel hoje. Qual é o seu saldo devedor? Resposta: O Saldo devedor deve ser $66.730,08, se você estiver em dia com as prestações.

7) Suponha que você tem um financiamento de casa própria onde você deve pagar 48 prestações mensais e sucessivas no valor de $2.200,00 cada. Alem destas você deve pagar a cada 6 meses uma intermediária no valor de $5.000,00. A taxa de juros é 1,2% ao mês. Qual é o valor presente do financiamento? Resposta: Valor presente do financiamento é $109.297,09

8) Uma maquina de lavar esta anunciada da seguinte maneira: . “Compre sua lavadora com $1.200,00 em 5 vezes (0, 30, 60 90 e 120 dias) iguais e sem juros ou a vista com 30% de desconto”. É propaganda enganosa? Qual seria a taxa real de juros cobrada? Resposta: É propaganda enganosa. A taxa de juros cobrada é 21,86% ao mês.

9) Suponha que você tem um financiamento de casa própria onde você deve pagar 84 prestações mensais e sucessivas no valor de $1.200,00 cada. Alem destas você deve pagar a cada 6 meses uma intermediária no valor de $4.000,00. A taxa de juros é 1,3% ao mês. Qual é o valor presente do financiamento? Resposta: O valor presente do financiamento é $93.981,86

10) Você pretende tirar 8 meses de licença sem vencimentos. Considere que sua poupança remunera seus depósitos a uma taxa de 10% ao mês. Quanto você deverá ter em sua poupança hoje, para que possa realizar retiradas mensais de R$ 6.500,00, ao final de cada mês de sua licença? Resposta: Você deverá ter hoje R$ 34.677,02.

11) Uma firma de advocacia deseja fazer uma aplicação financeira, a juros compostos de 2% a.m., de forma que possa retirar R$ 10.000 no final do sexto mês e R$ 20.000 no final do décimo-segundo mês, para comprar celulares para seus novos funcionários. Qual o menor valor da aplicação que permite a retirada desses valores nos meses indicados? Resposta: O valor mínimo da aplicação é de R$ 24.649.57.

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80 12) O balanço da NKG rolamentos publicado em 31/12/2003 nos jornais mostra os seguintes fluxos de caixa . Determine o valor atual do fluxo de caixa abaixo, para uma taxa de juros compostos de 3% a.m. Mês 0 = +8.000 Mês 4 = –3.000 Mês 1 = +2.000 Mês 5 = –2.000 Mês 2 = –5.000 Mês 6 = –4.000 Mês 3 = +3.000 Resposta: O valor atual do fluxo de caixa apresentado é de R$ 233,58 positivo.

13) César Petronius investidor romano negociou hoje um empréstimo com investidores gregos. Este empréstimo foi negociado de forma a ser pago através de um conjunto de 10 prestações mensais sucessivas. As primeiras 4 prestações são no valor de $2.600,00 cada uma. As 6 ultimas prestações são no valor de $4.100,00 cada uma. Considere que a taxa de juros é 1,3% ao mês Qual é o valor desse empréstimo hoje? Resposta: O Valor do empréstimo é $32.404,77

14) Um projeto de montar uma fabrica de latas de alumínio para envasamento de refrigerantes tem uma vida útil projetada de 3 anos. As vendas a cada ano são de 1 milhão de unidades no primeiro ano, 1,5 milhões no segundo ano e 2 milhões de latas no terceiro ano. O preço de venda de cada lata é $0,95 centavos pelos próximos três anos. Os Custos variáveis são de $0,03 centavos por unidade. Os custos fixos anuais são de 500.000,00 por ano todos os custos são considerados constantes pelos próximos três anos. Assuma que a taxa de desconto (taxa do custo de capital do projeto) seja 20% ao ano, e que a taxa do IR (Imposto de Renda) seja 30% sobre os lucros anuais. Considere que todas as receitas e despesas ocorrem sempre ao final de cada ano. Qual é o Valor Presente deste projeto? Em outras palavras qual é o Valor Presente de todos os resultados líquidos (Lucros) deste projeto? (cap 4.3) Resposta: O Valor Presente deste projeto é $1.215.601,85

15) Uma determinada quantidade de títulos de Renda Fixa (Titulo emitido pelo governo por exemplo) foi colocado no mercado 2 anos atrás por $1.000,00. Este titulo paga aos investidores juros prefixados anualmente durante sua vida útil. A taxa de juros na época do lançamento do titulo (há 2 anos) era 10% ao ano. O prazo de maturidade (vida econômica) deste titulo é 4 anos, quando o principal será devolvido ao investidor com os juros do ultimo período. Títulos de renda fixa podem ser livremente negociados no mercado (vendidos a outros investidores) a qualquer tempo. Em caso de venda as responsabilidades do emitente (governo) continuam as mesmas isto é pagar anualmente aos investidores (detentores do titulo) os juros fixados na época do lançamento. Hoje a taxa de juros no mercado é 15% ao ano para títulos de $1.000,00 com 2 anos de maturidade. Qual é o valor que este titulo deve ter hoje no mercado? Resposta: O valor do titulo hoje em condições de equilíbrio de mercado é $918,71

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81 16) Um empréstimo foi negociado hoje de forma a ser pago através de um conjunto de 8 prestações mensais sucessivas. As primeiras 4 prestações são no valor de $2.300,00 cada uma. As 4 ultimas prestações são no valor de $4.200,00 cada uma. Considere que a taxa de juros é 1,2% ao mês Qual é o valor desse empréstimo hoje ? Resposta: O Valor do empréstimo é $24.478,49

17) Você quer saber quando deve poupar para ter uma aposentadoria tranqüila. Pelo seu ponto de vista $8.000,00 mensais serão suficientes para você se aposentar com conforto. Você não tem nada na poupança hoje. Assuma que não existe inflação. Você pretende trabalhar pelos próximos 28 anos antes de pedir aposentadoria. Considerando a idade que você tem hoje e a sua expectativa media de vida, você conclui que deve viver como aposentado uns 20 anos. Suponha que você não pretenda deixar herança alguma. Se a taxa de juros da poupança for de 0,8% ao mês, quanto você devera depositar todo mês durante sua vida profissionalmente ativa para alcançar seus objetivos? Resposta: Você devera depositar $503,34 mensalmente

18) Você é analista de credito. Sr. Mané é seu cliente. A analise do cadastro do Sr. Mané mostra que a prestação máxima que ele é capaz de pagar é $82,50 ao mês. Assuma que a taxa de juros para empréstimos é 3% am. O prazo para este tipo de empréstimo é 12 meses. Qual é o limite de credito que você pode conceder a Seu Mané hoje? Resposta: Você pode conceder a seu Mané $821,21

19) Você concedeu o empréstimo a Sr. Mané. Dois meses depois, Sr. Mané não pagou nenhuma prestação !!! Afirma que no máximo poderia pagar uma prestação mensal de $45,00. Quer um refinanciamento. Deste jeito Sr. Mané vai demorar quanto tempo para pagar sua dívida ? Resposta: A projeção é para 30 meses

20) Calcular a taxa efetiva mensal para uma taxa anunciada da seguinte forma: * Taxa de 24% ao ano para calculo de prestações mensais* Resposta: Taxa efetiva mensal é 2% mensais

21) Calcular a taxa efetiva mensal para uma taxa anunciada da seguinte forma: * Taxa de 36% ao ano para calculo de prestações mensais* Resposta: Taxa efetiva mensal é 3% mensais

22) Qual é a taxa efetiva mensal que obteremos se aplicarmos $1.412,78 a uma taxa nominal de 12% ao ano? Resposta: A taxa efetiva mensal é 1% ao mês.

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82 23) Você trabalha em uma grande fabrica de escovas. Seus clientes são muitos e você sempre lhes concede prazo para que possam pagar suas contas. Supondo que você desconte uma duplicata no valor de R$15.000,00, com vencimento para daqui a 3 meses, junto a um banco que cobre uma taxa de desconto (simples) a uma taxa de 2% ao mês, quanto você deve receber hoje do banco ao realizar essa operação? Resposta: Você deve receber hoje R$ 14.100,00.

24) Sua taxa efetiva contratada para cheque especial é 8% ao mês. Você fica devedor em $100,00 por 10 dias. Quanto vai ser cobrado de juros e levado a debito em sua conta? E se fossem 30 dias. Quanto te seria cobrado? Calcule os juros considerando Cap. Simples Resposta: $2,66 (10 dias) e $8,00 (30 dias)

25) Sua taxa efetiva contratada para cheque especial é 8% ao mês. Você fica devedor em $100,00 por 10 dias. Quanto vai ser cobrado de juros e levado a debito em sua conta? E se fossem 30 dias. Quanto te seria cobrado? Calcule os juros considerando Cap. Composta Resposta: Os Juros são respectivamente $2,60 e $8,00

26) O projeto PILOT demanda investimentos de $150.000,00 hoje e promete pagar um fluxo perpetuo de resultados líquidos igual a $300,00 mensais. Determinar a TIR deste projeto. Resposta: A taxa TIR do projeto PILOT é 0,2% ao mês.

27) O projeto ANSWER demanda investimentos de $327.800,00 hoje e promete pagar um fluxo perpetuo de resultados líquidos igual a $6.360,00 mensais. Determinar a TIR deste projeto. Resposta: A taxa TIR do projeto ANSWER é 1,94% ao mês.

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3.4 Lista D 1) Você esta analisando se vale a pena investir no projeto Omega que promete pagar aos seus investidores uma seqüência de fluxos de caixa da seguinte forma: $1.200,00 em t=1 ano, $3.200,00 em t=2 anos e finalmente $4.500,00 em t=3 anos. O custo necessário para implementar este projeto, hoje, é $3.000,00. Considerando que a taxa de desconto adequada aos fluxos de caixa do projeto Omega seja 15% ao ano, qual é sua decisão? Investe ou não? Qual é o VPL deste projeto? Resposta: SIM Investiria. VPL = $3.421,96

2) O projeto Makau custaria $1.600.000,00 caso você decidi-se implementa-lo hoje. O projeto Makau promete pagar $880.000,00 em t=1 ano, $670.000,00 em t=2 anos e 950.000,00 em t=3 anos. O custo do capital que pode financiar este projeto é 20% ao ano. Qual é sua decisão? Investe ou não? Qual é a TIR (taxa interna de retorno) do projeto Makau? Resposta: SIM Investiria. IRR = 25,80% ao ano.

3) Você deve decidir se sua firma investe ou não no projeto Gênesis que promete dar como retorno uma seqüência de fluxos de caixa da seguinte forma: $1.800,00 em t=1 ano, $4.200,00 em t=2 anos e finalmente $5.600,00 em t=3 anos. O custo necessário para implementar este projeto, hoje, é $9.000,00. Considerando que a taxa de desconto adequada aos fluxos de caixa do projeto Gênesis seja 8% ao ano, qual é sua decisão? Investe ou não? Qual é o VPL deste projeto? Resposta: SIM Investiria. VPL = $712,95

4) Você deve decidir se investe ou não investe no projeto Alfa cujo custo, hoje, é $150.000,00. O projeto Alfa tem uma projeção de lucros líquidos futuros esperados da seguinte forma: $62.000,00 em t=1 ano, $74.200,00 em t=2 anos e finalmente $85.600,00 em t=3 anos. Considerando que a taxa de desconto adequada aos fluxos de caixa do projeto Alfa seja 12% ao ano, qual é sua decisão? Investe ou não? Qual é o VPL deste projeto? Resposta: SIM Investiria. VPL = $25.437,32

5) Você é o responsável pelas decisões de um grupo de investidores. Você deve decidir se investe ou não, hoje, $1.000.000,00 no projeto Beta. O retorno deste projeto é através de uma seqüência de fluxos de caixa líquidos ao longo do tempo da seguinte forma: $280.000,00 em t=1 ano, 460.000,00 em t=2 anos e finalmente 580.000,00 em t=3 anos. Considere que a taxa de desconto adequada aos fluxos de caixa do projeto Beta seja 17% ao ano. Qual é sua decisão? Investe ou não? Qual é o VPL deste projeto ? Resposta: NÃO Investiria. VPL = - $62.512,60

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84 6) O projeto Gama custaria $1.200.000,00 caso você decidi-se implementa-lo hoje. O projeto Gama promete pagar $480.000,00 em t=1 ano, $670.000,00 em t=2 anos e 820.000,00 em t=3 anos. O custo do capital que pode financiar este projeto é 20% ao ano. Qual é sua decisão? Investe ou não? Qual é a TIR (taxa interna de retorno) do projeto Gama? Resposta: SIM Investiria. IRR = 26,66% ao ano.

7) Um vídeo K-7 esta anunciado por $450,00 em 5 vezes (0, 30, 60 90 e 120 dias) sem juros ou a vista com 25% de desconto. É propaganda enganosa? Qual seria a taxa real de juros cobrada? Resposta: É propaganda enganosa. A taxa de juros cobrada é 16,87% ao mês.

8) O projeto King Kong custaria $1.280.000,00 caso você decidi-se implementa-lo hoje. O projeto King Kong promete pagar $820.000,00 em t=1 ano, $460.000,00 em t=2 anos e 330.000,00 em t=3 anos. O custo do capital que pode financiar este projeto é 20% ao ano. Qual é sua decisão? Investe ou não? Qual é a TIR (taxa interna de retorno) do projeto King Kong? Resposta: NÃO Investiria. IRR = 14,88% ao ano.

9) O projeto ABC custaria $600.000,00 caso você decidi-se implementa-lo hoje. O projeto ABC promete pagar $380.000,00 em t=1 ano, $670.000,00 em t=2 anos e 120.000,00 em t=3 anos. O custo do capital que pode financiar este projeto é 20% ao ano. Qual é sua decisão? Investe ou não? Qual é a TIR (taxa interna de retorno) do projeto ABC? Resposta: SIM Investiria. IRR = 47,95% ao ano.

10) Um secador de esta anunciado por $50,00 em 5 vezes (0, 30, 60 90 e 120 dias) sem juros ou a vista com 15% de desconto. É propaganda enganosa? Qual seria a taxa real de juros cobrada? Resposta: É propaganda enganosa. A taxa de juros cobrada é 8,86% ao mês.

11) Análises financeiras do projeto da fábrica de lâmpadas ILUMINAR indicam que seu valor é de R$ 4.000.000,00. Se você decidir ir adiante com esse projeto, o custo total para colocar essa fábrica em operações (terrenos, máquinas, equipamentos, estoques, capital de giro etc.) é de R$ 3.200.000,00. Qual é o VPL desse projeto? Você investiria nele? Sim ou não? Por quê? Resposta: O VPL é de R$ 800.000,00. Desse modo, você deveria investir, pois o VPL é positivo.

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85 12) Você e seus sócios têm um projeto empresarial: pretendem montar uma firma para administrar rodovias “privatizadas”. Sua intenção é entrar em uma licitação pública para ganhar o direito de administrar uma rodovia estadual por um determinado período. A taxa de retorno desejada por você e seus sócios é de 18% ao ano. A TIR desse projeto de firma para administrar rodovias é de 16% ao ano. Você investiria nesse projeto? Sim ou não? Por quê? Resposta: Você não deveria investir, porque a TIR é menor que o custo do capital.

13) Está sendo oferecido aos diretores de sua empresa uma proposta de investimento em um show de música popular brasileira. Os melhores artistas estarão presentes e haverá intensa cobertura da mídia. Expressa em números, a proposta é a seguinte: um investimento up front (à vista) no valor de R$ 1.000.000,00 deve ser feito e haverá um recebimento líquido (lucro líquido), daqui a um mês, no valor de R$ 1.400.000,00. Você somente investe em negócios que rendam pelo menos 20% ao mês. Pergunta-se: você investiria ou não? Por quê? Qual é a TIR desse projeto? Qual é o VPL desse projeto? Resposta: Sim. Você deveria investir, pois a TIR (40%) é maior que a taxa necessária para pagar aos investidores. O VPL desse projeto é R$ 166.666,66.

14) Suponha que você tem um financiamento de casa própria onde você deve pagar 60 prestações mensais e sucessivas no valor de $3.200,00 cada. Alem destas você deve pagar a cada 6 meses uma intermediária no valor de $8.000,00. A taxa de juros é 1,4% ao mês. Qual é o valor presente do financiamento? Resposta: Valor presente do financiamento é $181.345,48

15) Uma fábrica de pipocas foi colocada à venda por R$ 200.000,00. Seus analistas financeiros avaliaram hoje essa fábrica em R$ 380.000,00. É um bom negócio? Você vai investir? Qual é o VPL desse investimento, se você comprar a fábrica de pipocas? Resposta: O VPL é R$ 180.000,00. Assim, você deveria investir, o VPL é positivo.

16) Você acredita que negócios com postos de gasolina devam render pelo menos 30% ao ano ao sobre o capital investido. O posto de gasolina GASOL está à venda. Seus analistas, em visitas ao posto, avaliaram que a TIR do postos GASOL é de 20% ao ano. Pergunta-se: esse é um bom negócio? Você investiria nele? Sim ou não? Por quê? Resposta: Esse não é um bom negócio. Investir nele não seria aconselhável, porque a TIR é menor (20%) que a taxa necessária para pagar aos investidores (30%).

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86 17) O dono de uma pizzaria quer saber o valor presente, hoje (t=0), de um contrato de fornecimento de pizzas que lhe proporcionara 4 fluxos de caixa, no valor de R$ 850,00, em t=1, t=2, t=3 e t=4, respectivamente. Considere que a taxa apropriada para desconto é de 8% por período de tempo. Qual é o valor presente deste contrato? Resposta: O valor presente do contrato é de R$ 2.815,31.

18) Qual é o VPL de um projeto de implantação de sistema, que custa R$ 2.350,00 e “paga” 4 fluxos de caixa no valor de R$ 850,00, em t=1, t=2, t=3 e t=4, respectivamente. Considere que a taxa apropriada para desconto é de 8% por período de tempo. Resposta: O VPL é de R$ 465,31.

19) Qual é a TIR de um projeto de criação de rãs que visa suprir a demanda dos restaurantes de uma pequena cidade, ao custo de R$ 2.350,00 e “pagando” 4 fluxos de caixa no valor de R$ 850,00, em t=1, t=2, t=3 e t=4, respectivamente? Resposta: A TIR do projeto é de 16,605%.

20) Qual é a TIR do projeto pesquisa de um novo fixador de batom que será utilizado por uma determinada empresa de cosméticos? O projeto promete pagar R$ 4.500,00 em t=1, R$ 5.400,00 em t=2 e R$ 3.200,00 em t=3. Seu custo de implementação é de R$ 6.000,00. Resposta: A TIR do projeto é de 55,158 %.

21) A companhia de produtos esotéricos Lumen Novum está à venda por R$ 8.200.000,00. Os fluxos de caixa líquidos, após taxas e impostos, que a firma promete pagar a seus proprietários no futuro é de R$ 1.400.000,00 por ano, pelos próximos 20 anos de sua vida útil. Considerando que a taxa de desconto para essa firma seja de 10% ao ano, qual é o VPL dessa operação de venda, se levada a cabo pelos valores mencionados acima? Você investiria nesse projeto? Resposta: O VPL corresponde a R$ 3.718.989,21. Sim, investiria.

22) Seu projeto é investir na rede de Petshop Cave Canem, que deve pagar três fluxos de caixa: R$ 1.100,00 em t=1, R$ 1.200,00 em t=2 e R$ 1.331,00, em t=3. Após o terceiro ano, a firma não paga mais nenhum fluxo de caixa, não vale nada, nem tem valor terminal. A Cave Canem está à venda por R$ 3.000,00. Qual é a TIR dessa firma? Supondo que o custo do capital para financiar o projeto seja de 12% ao ano, vale a pena investir no projeto? Resposta: A TIR do projeto é de 9,85%, por isso você não deveria investir nele.

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87 23) Suponha que você tenha R$ 2.000,00 hoje e, se investir em uma instituição bancária, terá, em 2 anos, R$ 2.400,00. Qual é a taxa de juros simples anual que essa instituição está pagando para sua aplicação? Resposta: A instituição está pagando uma taxa de 10% ao ano.

24) Suponha que você tenha R$ 2.000,00 hoje e, se investir em determinada instituição, terá, em 2 anos, R$ 2.420,00, para viajar pela primeira vez de avião. Qual é a taxa que essa instituição está pagando para sua aplicação? Dica: quando usar a calculadora, não se esqueça de utilizar VP e VF com sinais diferentes. Resposta: A taxa de juros dessa instituição é de 10%.

25) O Dr. Roberto é advogado e acabou de aplicar os R$ 112.000,00, que recebeu pela defesa de uma importante causa, na caderneta de poupança. Suponha que a caderneta pague a seus investidores uma taxa de 12% ao ano com capitalização composta. Quanto tempo o Dr. Roberto deverá esperar, para ter um saldo de R$ 140.492,80 na poupança? Resposta: O Dr. Roberto deverá esperar 2 anos.

26) Você tem hoje $4.000,00 aplicados. Você quer retirar $2.000,00 por mês durante os próximos 4 meses, você quer ter ainda um saldo final para emergências de $1.500,00. Qual deve ser a taxa desta aplicação? Resposta: A taxa desta aplicação é i = 41,36%

27) Você tem hoje $4.000,00 aplicados. Você quer retirar $2.000,00 por mês durante os próximos 4 meses, você não se importa de entrar no cheque especial e usar todo o limite de $1.800,00 Qual deve ser a taxa desta aplicação? Resposta: A taxa desta aplicação é i = 24,77%

28) O Banco Master negociou um empréstimo hoje de forma a ser pago através de um conjunto de 12 prestações mensais sucessivas. As primeiras 4 prestações são no valor de $1.300,00 cada uma. As 8 ultimas prestações são no valor de $2.200,00 cada uma. Considere que a taxa de juros é 1,4% ao mês Qual é o valor desse empréstimo hoje? Resposta: O Valor do empréstimo é $20.669,23

29) Suponha que você tenha pedido emprestados R$ 1.000,00, hoje, para pagar esse empréstimo com juros de 10% ao ano, capitalizados de forma composta. Supondo que você deva pagar, para quitar o empréstimo, R$ 1.210,00, na data do vencimento, qual é o prazo desse empréstimo? Dica: Para resolver este problema pela formula você deve lembrar que Lg An = n Lg(A) Resposta: O prazo do empréstimo é de 2 anos.

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88 30) A alta administração do banco onde você trabalha determinou que as taxas (simples) para desconto de promissórias ou duplicatas sejam de 9% ao mês. Você recebe seu primeiro cliente do dia e ele quer descontar uma duplicata no valor (valor de face) de R$ 13.000,00, com vencimento para daqui a 2 meses. Quanto você deve creditar hoje na conta do cliente, caso decida realizar a operação? Resposta: Você deve creditar hoje R$ 10.660,00.

31) Você está em dúvida. Investir ou não investir $8.500.000, hoje, em um novo projeto, eis a questão. Este projeto deve trazer benefícios à sua empresa, através de uma seqüência de fluxos de caixa líquidos ao longo do tempo, da seguinte forma: $2.600.000,00 em t=1 ano, $3.700.000,00 em t=2 anos e finalmente $5.800.000,00 em t=3 anos. Considere que a taxa de desconto adequada aos fluxos de caixa deste projeto seja 18% ao ano. Qual é sua decisão? Investe ou não? Qual é o VPL deste projeto ? Resposta: NÃO Investiria. VPL = - $109.268,72

32) Um projeto de irrigação, em uma área muito seca, tornaria a terra mais produtiva aumentando o retorno financeiro em áreas plantadas. Este projeto custaria $2.500.000,00, caso você decida implementá-lo hoje. O lucro proveniente deste projeto é esperado de ser $1.200.000,00 ao final do primeiro ano, $1.400.000,00 ao final do segundo ano e $1.500.000,00 ao final do terceiro ano. A partir do terceiro ano o projeto estará obsoleto e será simplesmente abandonado não tendo mais nenhum valor econômico. A CEF pode financiar este projeto a uma taxa de 16% ao ano. Qual é sua decisão? Investe ou não? Qual é a TIR (taxa interna de retorno) do projeto de irrigação ? Resposta: SIM, investiria. A taxa de retorno é superior à taxa do custo do capital do projeto. O custo do capital é 16%, enquanto o retorno é 28,20%. TIR = 28,20% ao ano.

33) Dr. Pedro deve decidir se investe ou não investe no projeto ALFA cujo custo, hoje, é $6.200.000,00. O projeto ALFA tem uma projeção de lucros líquidos futuros esperados da seguinte forma: $1.280.000,00 em t=1 ano, $2.440.000,00 em t=2 anos e finalmente $4.240.000,00 em t=3 anos. Considerando que a taxa de desconto adequada aos fluxos de caixa do projeto ALFA seja 18% ao ano, qual é a esperada decisão do Dr. Pedro? Investirá ou não? Qual é o VPL deste projeto? Resposta: NÃO. Dr. Pedro não deverá investir. VPL (é negativo) = $782.289,33 34) Um projeto de investimento custa hoje $100.000,00. Este projeto deve dar como resultado um lucro líquido ao investidor de $121.000,00 ao final de 1 ano. Considere que a taxa de juros que você deve usar para descontar a valor presente o resultado (fluxo de caixa) deste projeto seja 10% ao ano. Qual é o VPL deste projeto ? Você investiria ou não investiria ? Resposta: O VPL é $10.000,00. Sim você deve investir pois vai receber por este investimento um lucro liquido de $10.000,00.

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89 35) Você trabalha em uma factoring. Um cliente solicita para você antecipar recebíveis no valor de $240.000 a vencer daqui a 3 meses. Você trabalha com uma taxa para desconto simples de 4% ao mês. Quanto você vai creditar na conta do cliente hoje? Qual será sua taxa de retorno (composta) sobre esta operação? Resposta: Você devera creditar na conta do cliente hoje $211.200,00. A taxa de retorno composta é 4,35% ao mês.

36) Você trabalha em uma factoring. Um cliente solicita para você antecipar recebíveis no valor de $80.000 a vencer daqui a 4 meses. Você trabalha com uma taxa para desconto simples de 6% ao mês. Quanto você vai creditar na conta do cliente hoje? Qual será sua taxa de retorno (composta) sobre esta operação? Resposta: Você devera creditar na conta do cliente hoje $60.800,00. A taxa de retorno composta é 7,10% ao mês.

37) Você trabalha em uma factoring. Um cliente solicita para você antecipar recebíveis no valor de $120.000 a vencer daqui a 3 meses. Você trabalha com uma taxa para desconto simples de 3% ao mês. Quanto você vai creditar na conta do cliente hoje? Qual será sua taxa de retorno (composta) sobre esta operação? Resposta: Você devera creditar na conta do cliente hoje $109.200,00. A taxa de retorno composta é 3,19% ao mês.

38) Uma factoring descontou quatro duplicatas (vide tabela abaixo) para uma casa comercial. A taxa de desconto simples por fora cobrada pelo banco foi de 4,2% a.m. (mês comercial). Pede-se A) O valor que a factoring vai creditar hoje para a casa comercial. B) A taxa efetiva de retorno mensal (mês comercial) com capitalização composta da operação de desconto realizada pelo banco. Relação das duplicatas descontadas: Nº Nome do Prazo de Duplicata Sacado Vencimento Valor 011 Lojas Abel 21 dias R$ 5.000,00 025 Casas XYZ 38 dias R$ 7.000,00 031 Móveis ABC 55 dias R$ 9.000,00 039 Botequim 72 dias R$ 11.000,00 Resposta: Líquido pago ao lojista R$29.678,80. A taxa mensal é 4,48% ao mês.

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90 39) Você quer investir $500.000,00 em uma carteira de investimentos. Você pretende investir em 3 projetos A, B e C. O projeto A projeta resultados (fluxos de caixa líquidos) de: $60.000,00 ao final do primeiro ano, $80.000,00 ao final do segundo ano e, finalmente, $120.000,00 no final do terceiro ano. O projeto B projeta resultados (fluxos de caixa líquidos) de: $180.000,00 ao final do segundo ano e $140.000,00 no final do terceiro ano. O projeto C projeta resultados (fluxos de caixa líquidos) de: $200.000,00 no final do terceiro ano. Considere que a sua TMA seja 20% ao ano. Determinar o VPL e a TIR desta carteira. Resposta: NPV = – 3.240,74 e IRR = 19,68 %

40) O projeto Tupinambá custaria $8.800,00, caso você decida implementá-lo hoje. O projeto Tupinambá promete pagar $3.420,00 em t=1 ano, $4.680,00 em t=2 anos e $1.530,00 em t=3 anos. Qual é a TIR (taxa interna de retorno) do projeto Tupinambá ? Resposta: A TIR do projeto Tupinambá é 5,16%.

41) O professor Mourão tem a oportunidade de retirar os recursos que tem em uma aplicação financeira no banco W, para investir no projeto musical “Rock of the Year”. O projeto é para investir $1.000,00 hoje e receber ao final de um ano $1.200,00. Você recebe atualmente em sua aplicação financeira no banco W uma taxa de 24% ao ano. Mourão deve ou deve investir no projeto do Rock ? Qual é a TIR deste projeto ? Resposta: A TIR é 20%. Não investir, pois Mourão está recebendo mais no banco W.

42) Sylvio Silva foi convidado por seus amigos para investir em um projeto que tem 2 anos de vida economicamente útil. Silva, se quiser investir, deverá aplicar $400.000,00. Os seus amigos informam que Silva deverá receber como lucro $280.000,00 em t=1 ano e $270.000,00 em t=2 anos, quando o projeto termina, não fornecendo nenhum outro resultado. Não existe valor residual algum deste projeto. Para tomar sua decisão, você quer saber qual é a taxa de retorno anual que vai obter. Em outras palavras, qual é a TIR (taxa interna de retorno) do projeto ? Resposta: Você devera receber uma taxa de 24,30% ao ano.

43) Um equipamento tem valor a vista de R$ 8.000,00 e será financiado em 6 prestações mensais, iguais e postecipadas (end mode). A taxa de juros é 3% am . A primeira parcela devera ser paga em 90 dias após a compra. Determinar o valor das prestações Resposta: As prestações serão de R$ 1.566,72 cada uma.

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91 44) Uma poupança de R$ 85.000,00 foi investida na compra de um imóvel avaliado em R$ 190.000,00. O saldo do valor da compra do imóvel foi financiado em 4 meses, com o primeiro pagamento em 30 dias. O banco ofereceu ao cliente duas alternativas de pagamento do saldo; a) pelo sistema de amortização constante (sac) ou b) pelo sistema de amortização Frances (price). Ambas a uma taxa de 3% ao mês. O cliente optou pelo plano no qual havia menor pagamento de juros. Determinar a diferença entre o total de juros a serem pagos em cada financiamento, SAC ou PRICE. Resposta: A diferença dos juros entre um sistema e o outro sistema é de R$ 116,36 no total

45) Uma loja de eletrodomésticos estabelece que seus artigos são financiados em12 prestações mensais, iguais, sucessivas e postecipadas, com taxas de juros de 2,00% ao mês, efetiva. Em recente promoção, a loja liberou o pagamento das 2 ultimas prestações. Determinar o valor percentual do desconto sobre o preço a vista. Resposta: O desconto (equivalente) sobre o preço a vista é de 15,06%.

46) Um imóvel com valor a vista de R$ 120.000,00 esta sendo totalmente financiado em um prazo de um ano mediante o pagamento de 12 prestações mensais e adicionalmente, mais 2 prestações semestrais de mesmo valor. Estes pagamentos tem as seguintes características a- As prestações mensais são sucessivas e iguais a R$ 9.500,00 ocorrendo a primeira prestação 30 dias após a venda do terreno. b- As 2 parcelas semestrais, no valor de R$ 13.000,00 cada, serão incorporadas na sexta e na décima segunda prestação. Determinar a taxa de juros mensal, que efetivamente esta sendo cobrada pela financiadora desse terreno. Resposta: A taxa de juros deste financiamento é 2,28% ao mês. 47) Você quer comprar uma área rural para abrir ruas, recortar o terreno e vender vários lotes de terrenos. Em outras palavras você quer implantar o condomínio Alfa Rural. Você prevê que devera investir inicialmente $100.000,00 (data zero) para adquirir o terreno e depois investir outros $200.000,00 em benfeitorias, no final do primeiro ano (t=1). Sua projeção é faturar $120.000,00 com a venda dos lotes durantes os próximos 6 anos (de t=2 ate t=7). Considerando que a taxa do custo do capital que vai financiar este projeto 16% ao ano, calcular o VPL deste projeto. Resposta: O VPL do projeto Alfa Rural é $108.765,78. VPL positivo significa lucro.

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3.5 Lista E 1) Um lojista coloca na vitrine um fogão de 6 bocas com o seguinte cartaz: "Pechincha: R$ 420,00. Em apoio ao novo plano econômico do governo, vendemos sem juros! Só hoje! Pague em 3 parcelas iguais (0, 30 e 60 dias) sem juros ou à vista com 30% de desconto." Fiscais do PROCON levaram o lojista, poucas horas depois, para prestar depoimento na delegacia, sob a acusação de propaganda enganosa. Você concorda com os fiscais do PROCON? Sim ou não? Prove! Resposta: A propaganda é, de fato, enganosa, porque o lojista está cobrando juros, apesar de afirmar o contrário. A taxa de juros cobrada é 51,08% ao mês!

2) Considere que a taxa de juros para financiamento ao consumidor está girando em torno de 3% ao mês e essa é a taxa cobrada por seu cartão de crédito, para o financiamento de suas despesas. Você deseja fazer o seguro de seu automóvel importado e o corretor lhe oferece um seguro que pode ter o prêmio pago, à vista, no valor de R$ 12.000,00 (em dinheiro ou cheque), a prazo financiando com seu cartão de credito ou, então, pelo financiamento direto da seguradora em 4 parcelas (1+ 3 mensais) iguais, no valor de R$ 3.130,00. Se você decidir fazer o seguro, qual será sua melhor forma de pagamento, caso não tenha condições de pagá-lo à vista? Isto é, você pagará com cartão ou pelo financiamento direto da seguradora? Resposta: Você deve escolher o plano da seguradora.

3) Você quer saber quanto deve poupar mensalmente durante um ano para poder tirar ferias e gastar $10.000,00 por mês durante sua licença de 3 meses que pretende tirar daqui a um ano. Suponha que você pretenda pagar suas despesas durante as ferias com cartão de credito. Seu cartão de credito vence sempre no final de cada mês. A taxa de juros da poupança remunera seus depósitos a uma taxa de 1% ao mês. Você não tem nada na sua poupança hoje. Resposta: Você devera poupar mensalmente $2.318,93

4) Você quer saber quanto deve poupar mensalmente durante dois anos para então poder tirar ferias e gastar $12.000,00 por mês durante suas ferias que devem durar 4 meses. Suponha que você pretenda pagar suas despesas durante as ferias com cartão de credito. Seu cartão de credito vence sempre no final de cada mês. A taxa de juros da poupança remunera seus depósitos a uma taxa de 0,9% ao mês. Você não tem nada na sua poupança hoje. Resposta: Você devera poupar mensalmente $1.760,92

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93 5) Você quer saber quando deve poupar para ter uma aposentadoria tranqüila. Pelo seu ponto de vista $2.000,00 mensais serão suficientes para você se aposentar com conforto. Você não tem nada na poupança hoje. Assuma que não existe inflação. Você pretende trabalhar pelos próximos 25 anos antes de pedir aposentadoria. Considerando a idade que você tem hoje e a sua expectativa media de vida, você conclui que deve viver como aposentado uns 20 anos. Suponha que você não pretenda deixar herança alguma. Se a taxa de juros da poupança for de 1% ao mês, quanto devera depositar todo mês durante sua vida profissionalmente ativa para alcançar seus objetivos? Resposta: Você precisa poupar mensalmente durante estes 25 anos $96,68

6) Para fazer reformas em suas instalações, uma empresa fez uma dívida com um banco de investimentos que deverá ser liquidada em dois pagamentos, sendo o primeiro de R$ 150.000,00, no final do décimo segundo mês, e o segundo de R$ 250.000,00, no final do decimo oitavo mês. Sabendo-se que nesses dois valores já foram computados juros compostos a uma taxa de 2% a.m., determine: a) o valor que deve ser pago ao banco para a quitação imediata da dívida; b) os valores de dois pagamentos iguais, no final do sexto e do décimo segundo meses, que poderiam ser aceitos pelo banco como uma reformulação da dívida, à mesma taxa de juros. Resposta: O valor para a quitação imediata da dívida é de R$ 293.313,82 e o valor dos dois pagamentos iguais é de R$ 174.959,75.

7) Um banco de investimentos deseja realizar um empréstimo para uma determinada empresa, que deseja participar ativamente da campanha de preservação do mico-leão-dourado. Essa empresa deverá liquidar o empréstimo no final do nono mês, pelo valor de R$ 1.304.773,18. Determine o valor que deve ser abatido no ato da contratação, uma vez que a empresa deseja limitar esse pagamento final em R$ 1.200.000,00, sabendo-se que o banco opera no regime de juros compostos, à taxa de 3% a.m. Resposta: O valor a ser abatido no ato da contratação é de R$ 80.299,91.

8) Você tem um titulo de renda fixa (uma debênture, bond), lançada inicialmente em 31 janeiro de 2002, com valor de face (face value) de R$ 1.000,00, que pague 14% a.a. (cupom com vencimento todo dia 30 de janeiro, último dia do ano de aplicação), com um prazo de maturidade para 20 anos (maturidade é para 30 de janeiro de 2022). Suponha que, na época do lançamento, as taxas para papéis de semelhante risco eram também 14% a.a. Este titulo (debênture) paga, portanto, R$ 140,00 a cada ano e R$ 1.140,00, no final do vigésimo ano. Agora, você está em 31 de janeiro de 2012 e as taxas de mercado para papéis com risco equivalente estão fixadas em 12% a a . A qual valor esse titulo, hoje, deverá estar sendo negociada no mercado? Resposta: Esse titulo, hoje, deverá estar sendo negociada no mercado a R$ 1.113,00.

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94 9) Você quer comprar uma BMW, modelo 2005. O preço de mercado dessa BMW é R$ 100.000,00, ou seja, você pode comprar esse automóvel por R$ 100.000,00 à vista. Contudo, você também poderá financiar sua compra. Pagando R$ 30.000,00 de entrada, qual seria o valor de sua prestação, se você financiasse essa compra em 3 meses, com prestações iguais (sistema PRICE), com uma taxa de juros de 13,70% ao mês? Resposta: R$ 30.000,00 por cada um dos próximos 3 meses.

Continuação do exercício anterior. O lojista, que está vendendo a BMW do exemplo (exercício 9 lista E) anterior resolveu colocar no ar a seguinte propaganda: "Você pode comprar sua BMW, modelo 2005, no valor de R$ 120.000,00, sem juros, em 4 pagamentos de R$ 30.000,00, da seguinte forma: em zero, 30, 60 e 90 dias." Além disso, o lojista mostra as contas, para “provar” que não está cobrando juros: "4 x R$ 30.000,00 = R$ 120.000,00." Pergunta-se: tal propaganda é enganosa? Resposta: Sim, trata-se de é propaganda enganosa, visto que o lojista está cobrando juros, apesar de afirmar o contrário. A taxa de juros cobrada é de 13,70% ao mês!

10) Um lojista coloca na vitrine uma TV de 52 polegadas, com o seguinte cartaz: "Pechincha: R$ 2.400,00. Em apoio ao novo plano econômico do governo, vendemos sem juros! Só hoje! Pague em 3 parcelas iguais (0, 30 e 60 dias, mais nada), sem juros ou à vista, com 30% de desconto." Fiscais do PROCON levaram o lojista poucas horas depois para prestar depoimento na delegacia, sob a acusação de propaganda enganosa. Você concorda? Sim ou não? Como e por quê? Prove. Resposta: Sim, trata-se de propaganda enganosa. visto que o lojista está cobrando juros, apesar de afirmar o contrário. A taxa de juros cobrada é de 51,08% ao mês!

11) Calcular a TIR do projeto de investimento na compra de uma empresa. Você deverá investir inicialmente em t=0 $3.000,00 e investir em t=1 mais $4.000,00. Em t=2 e t=3 o projeto ainda não poderá dar nenhum retorno. Em t=4 você poderá finalmente vender a empresa por $10.000,00. Considerando que o seu custo de oportunidade do capital é 12% ao ano, determinar (usando a TIR) se este projeto é viável. A unidade de tempo aqui utilizada é anos. Resposta: Calculamos e obtivemos a TIR igual a 10,92% aa. Concluímos que o projeto é inviável pois é menor do que a taxa do custo do capital.

12) Para um principal de R5.050,00, calcular a taxa de juro simples mensal, sabendo-se que o montante é de R 5.600,00, aplicado em dois meses. Resposta: A taxa de juros simples mensal é 5,4455% a.m.

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3.6 REVISÃO CALCULADORA

DE

ARITMÉTICA

&

DICAS

DA

MATEMÁTICA, resolvendo expressões: Primeiro resolvemos dentro dos parêntesis, depois fora Primeiro fazemos as contas de multiplicar e dividir depois as de soma e subtração. Quando mudamos um numero para o outro lado do sinal de igual mudamos seu sinal. Se é negativo vira positivo. Se esta multiplicando passa dividindo, e vice versa. ARREDONDAMENTO E CASAS DECIMAIS Para você fazer os cálculos deve usar TODAS as casas decimais. Arredondamento deve ser feito para 2 casas decimais apenas na resposta. Arredondar números para ainda fazer as contas leva a erros. Na pratica você deve usar tantas casas decimais quantos forem os algarismos dos números envolvidos nos problemas. Exemplo 1: Considere que você vai multiplicar $1.000,00 por um terço (1/3). Se $1.000,00 tem 6 algarismos decimais você deve calcular o seu UM TERCO com 6 casas decimais, pelos menos. Tente fazer com menos casas decimais, duas ou três casas, por exemplo, e você vai verificar que não vai chegar na resposta certa que é $333,33

Exemplo 2: Considere que você vai receber 1/3 de uma receita financeira. A receita financeira pé $1.000.000,00. A conta correta é 1/3 = 0,333333333333333333 Fazendo as contas você deverá obter 333.333,333333 Arredonde na hora da resposta e você vai receber $333.333,33 Considere agora arredondar 1/3 para 0,33 Fazendo as contas você vai receber $330.000,00. Viu a diferença ? Exemplo 3: Lembra da CPMF cuja alíquota era 0,38%? Vamos calcular quanto de CPMF você deveria pagar sobre uma movimentação financeira de $1.000.000,00. Correto, sem arredondar: CPMF = $1.000.000,00 x 0,0038 = $3.800,00 Errado, arredondando a CPMF para 2 casas decimais antes de fazer as contas: CPMF = $1.000.000,00 x 0,00 = $0,00

Fluxo de Caixa significa fluxo de dinheiro O fluxo de caixa da poupança para a conta do poupador é Juros O fluxo de caixa da editora para o autor de um livro é Direito Autoral O fluxo de caixa do inquilino para o proprietário do imóvel é aluguel. O fluxo de caixa das ações para seus acionistas é o dividendo. O fluxo de caixa é o nome genérico para fluxo de dinheiro

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96 NOMENCLATURA 1 a) Problema explicita que a capitalização é no regime simples, os juros são simples. b) Problema explicita que a capitalização é no regime composto, os juros são compostos. c) Problema NÃO explicita qual é o regime de capitalização, os juros são compostos.

NOMENCLATURA 2 a) Academicamente falando; Quando uma variável não é explicitada seu valor é zero. b) No mercado; Você deve conhecer todas as variáveis, quando não souber pergunte!

NOMENCLATURA 3 TMA = Taxa Mínima de Atratividade é a taxa de retorno mínima que interessa a um investidor receber. Pode ser por exemplo a taxa de retorno que o investidor tem a oportunidade de receber se investir em outro projeto similar.

Manual Genérico para Calculadoras Financeiras: Convenção das Maquinas Calculadoras Financeiras: T=0 T=1 T=2 T=3 PV PMT PMT PMT Calculo do VPL CFo CFj CFj CFj CFj Nj (se houver repetição) i (Taxa) NPV

......

T=n PMT FV

Calculo da TIR: CFo CFj CFj CFj CFj Nj (se houver repetição) Não precisa colocar a Taxa IRR

Manual para HP 48 G: Solve >> Solve Finance >> OK >> Colocar P / Y = 1

USANDO A CALCULADORA HP 12 C Manual para HP 12 C: Mudando a visualização do numero de Casas Decimais na HP 12 C: Escolha o numero X de casas decimais que você quer visualizar em seu visor teclando a tecla “f” seguido do numero das casa decimais que pretende ver.

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97 Trocando o ponto por vírgula no visor da HP 12 C: Desligue a maquina. Aperta a tecla do ponto, mantenha a tecla ponto apertada enquanto você liga a maquina. Pronto foi trocado o ponto pela vírgula. Se você repetir o processo invertemos novamente a vírgula pelo ponto. Fazendo uma conta simples na RPN na HP 12 C: Notação Reversa Polonesa; você fornece para a maquina calculadora primeiro os números (1, 2, 3, 4, ...) e somente depois o operador ( + , – , X , / ). Por exemplo, para fazer a conta 2 + 3 = 5, digite na seqüência: 2 Enter 3 +

O visor vai mostrar: 5

Mudando o sinal de um numero na HP 12 C: Insira o numero desejado e logo a seguir pressione a tecla CHS Mensagem de ERROR 5, na HP 12 C: Esta mensagem de erro indica que você esta tentando colocar Depósitos e Retiradas com o mesmo sinal. Mensagem de ERROR 7, na HP 12 C: Esta mensagem de erro indica que você esta tentando calcular a TIR e errando nos sinais. Obtendo os Juros e Amortização de um financiamento PRICE na HP 12 C Passo 1: Dar as informações sobre o financiamento para a calculadora Passo 2: Digitar Digitar Digitar

1 f x>> 7% ao ano Tecla n >> 60 dias Tecla PV >> 1300 Tecla f seguido da Tecla i, obtemos no visor – 15,17 O valor dos juros é 15,17. Se após isto você teclar MAIS (+) estes juros serão somados ao PV e você terá o VF.

CONTAS EM PERÍODOS FRACIONÁRIOS COM A HP 12 C Teclando STO >> EEX vai aparecer a letra “c” no visor. Quando surge a letra “c” no visor, a calculadora financeira faz as contas (quando existem períodos fracionários) da parte fracionária no regime composto. Quando não aparece a letra “c” no visor, a calculadora financeira faz as contas (quando existem períodos fracionários) da parte fracionária no regime simples.

DICA PARA NÃO ERRAR NOS SINAIS As calculadoras usam o mesmo padrão que os bancos comerciais usam na elaboração de seus extratos. SINAL Positivo (+) Entrada Crédito Receita Recebimento Depósitos Aporte

SINAL Negativo (–) Saída Debito Despesa Pagamento Retiradas Saques

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99 DICA PARA NÃO ERRAR NO ZERO COLOCANDO ZERO NA CALCULADORA Quando uma variável for ZERO, você deve colocar o ZERO na calculadora. Pois a calculadora tem MEMORIA que guarda números, na hora do calculo a calculadora vai usar o novo numero que você inserir ou numero que estiver na memória. Não colocar o ZERO (quando a variável for ZERO), equivale a atravessar a rua sem olhar. As vezes da certo, as vezes não. EQUIVALÊNCIA DE TAXAS DE JUROS CAPITALIZAÇÃO SIMPLES Fórmulas de equivalência no tempo – Juros Simples: I mensal x 12 = I anual Ou: im x 12 = ia Onde: im é a taxa de juros mensal e ia é a taxa de juros anual. Tratando-se de Juros Simples, a equivalência é, de fato, simples. Por exemplo: se você tem uma taxa mensal de 1%, a taxa semestral equivalente é simplesmente 1% x 6 = 6%. Observe: tratando-se de Juros Simples, o que ocorre é uma simples proporcionalidade. Você pode efetuar os cálculos por regra de três, se quiser. Generalizando: Taxa mensal (im) para taxa anual (ia) ia = im x 12 Taxa mensal (im) para taxa semestral (is) is = im x 6 Taxa diária (id) para taxa mensal (im) im = id x 30 Taxa anual (ia) para taxa mensal (im) im = ia / 12 Taxa mensal (im) para taxa diária (id) id = im / 30

CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA Fórmulas de equivalência no tempo – Juros Compostos: (1 + im)12 = (1 + ia) Onde: im é a taxa de juros mensal e ia é a taxa de juros anual. Observe: tratando-se de Juros Compostos, o que ocorre NÃO é uma simples proporcionalidade. Você NÃO pode efetuar os cálculos por regra de três. Generalizando: Taxa mensal (im) para taxa anual (ia): (1 + im)12 = (1 + ia) Taxa mensal (im) para taxa semestral (is): (1 + im)6 = (1 + is) Taxa diária (id) para taxa mensal (im): (1 + id)30 = (1 + im) E assim sucessivamente.

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100 Prova de Matemática Financeira FOLHA DE FORMULAS Relação Fundamental;

Valor Futuro = Valor Presente + Juros

Formulas de equivalência no tempo: Juros Compostos (1+ia) = (1+im)12 (mensal para anual) (1+is) = (1+im)6 (mensal para semestral) (1+id)360 = (1+im)12 (mensal para diária) Juros Simples im x 12 = ia im x 6 = is

(mensal para anual) (mensal para semestral)

PARA QUEM NÃO GOSTA DE USAR CALCULADORA FINANCEIRA: Valor Futuro = Valor Presente + Juros Juros Simples: FV = PV (1+ in) ou seja PV = FV / (1+ in) n Juros Compostos: FV = PV (1 + i) ou seja PV = FV / (1 + i)n Perpetuidade: VP = FC1/i Desconto de duplicatas a juros simples:

PV = FV – FV i n

Formulas para series uniformes de pagamentos: PV = PMT { [(1 + i)n - 1] / i (1+ i)n } PMT = PV { i (1+ i)n / [(1 + i)n - 1] } FV = PMT { [(1 + i)n - 1] / i } PMT = FV { i / [(1 + i)n - 1] } Formula do VPL: VPL = VP dos recebimentos – VP dos Investimentos Valor Presente de um conjunto de Fluxos de Caixa: VP =  FCt / (1 + i)t Taxas Real, Taxa Aparente e Taxa de inflação (1 + taxa Real) (1 + Taxa Inflação ) = (1 + Taxa i ) Prestação = Juros + Amortização Receita para calcular a prestação SAC: a) Calcular a amortização de cada período b) Calcular o saldo devedor de cada período após a amortização c) Calcular os juros do período d) Calcular a prestação somando os juros MAIS a amortização Formula para calcular prestações com cláusula de Correção Monetária Primeiro calculamos a prestação Segundo adicionamos a Correção Monetária acumulada para cada parcela

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101 CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO Prova: peso 70% Individual, escrita, sem consulta, podendo usar calculadora financeira. Trabalho: peso 30% Composto por trabalho de pesquisa e listas de exercícios. Resolver os exercícios das listas A, B, C e D, que estão no final desta apostila. Pode fazer o trabalho em grupo de até no máximo 5 alunos. Data da entrega é a data da prova. A resolução dos exercícios na prova e nos exercícios PODE ser usando a formula OU a maquina de calcular.

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