preparacion psu de matematica SM

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PSU

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Matemática

las Pruebas de Selección Universitaria, PSU DIRECCIÓN

Las PSU (Pruebas de Selección Universitaria),

EDITORIAL

Arlette Sandoval Espinola

aplicados

JEFATlJRA EDITORIAl.

para seleccionar

a los estudiantes

de razonamiento

de los postulantes

Georgina Giadrosic Reyes

son instrumentos

desde el año 2003 por las universidades

egresados de la Enseñanza Media, sobre la base de los

contenidos

Pablo Saavedra Rosas Cristian Gúmera Valenzuela

de Historia y Ciencias Sociales y de Ciencias (Biología,

Carta Frigerio Cor1és Marco Linares Rodríguez Gerardo Muñoz Díaz

el Consejo de Rectores

que ingresan a sus carreras. Las PSU miden la capacidad

EDICiÓN

del Plan de Formación

Gerieral de Lenguaje

y Comunicación,

de Matemática,

Física y Química). Las pruebas de

Lenguaje y Comunicación y Matemática deben ser rendídas Ciencias e Historia y Ciencias Sociales en forma opcional.

CoEDlClÓN

de evaluación educacional

que componen

y las de

en forma obligatoria

La PSU de Matemática ~

" ,

"

Distribución normal

289

Poligonos ...............................•....................

238

Regresión lineal

,. 3$8

Teorema de Thales

Sistemas de medición de ángulos

236

Ensayo temático 1

: 425

División de segmentos

230

Elementos secundarios del triángulo

Correlación

288

Ángulos entre rectas

Teorema de Pitágoras

35;6

Parámetros estadísticos

228

Triángulos

Conceptos básicos

Gráficos .........................................................•

',...>

Modelamiento ..

3$5

Tablas de frecuencias

227

Rectas y poligonos ..

Estadística y probabilidad

,

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C',";

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I

i El Manual

y

Números

•

Algebra y funciones

•

Geometría Estadística

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está estructurado en cuatro capítulos:

Clave PSU Matemática

•

mn·

En cada capítulo hay tres ensayos temáticos y con sus respectivas secciones de modela miento en que se analiza la clave (respuesta correcta) y los distractores de cada una de las preguntas del ensayo, lo que permitirá a los y las estudiantes conocer la estructura de los ítems yenfrentarlos de mejor forma, además de reflexionar acerca de su aprendizaje y de los errores posibles.

proporcionalidad

y probabilidad

-

Ensayo temático con instrucciones

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y preguntas similares a las que los estudiantes encontrarán

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en la PSU

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Ejercicios propuestos

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Pagina de mOdElamiento, y zl'álisis de clave y distractores

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Al finalizar los capítulos del Manual con sus respectivos solucionarios hay dos :'f·~.,.>~~:~ensayos PSU, cada uno con 75 preguntas y una hoja de respuestas similar a la de la PSU. $":.j"::~~;

Validada

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por

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Agradecimientos Los ensayos que incluye el Proyecto Clave PSU Matemática han sido validados por el Instituto los siguientes colegios, a 105 cuales agradecemos su colaboración:

INÍQ~y

o

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Ensayo PSU

Hoja de respuestas

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~,:"'==-=:'~":':'.!.':."::""":"-~f;:

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Colegio Carampangue,

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ASESOlWo!t~NTO EOUCAilVO

UlIIlTIIItLLU

1¡ 1¡ti

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Colegio Montessori, Talca

'-1·- ,==0 '--.-ceo :::=:== :::=:::=

,';.~'~".

Colegio Particular Royal American School, Maipú

:==:::=

Colegio Pumahue de Curauma, Valparaíso

:=:= glll Hi8~ ::=:= ==== ¡ji :=: ~ ;=¡:= ..=: ..-

Colegio San Anselmo, Colina Colegio San Ignacio De La Ssalle, Qulilota Colegio San Isidro, Buin Colegio San Jorge, Auca

=:==:=; ~§.

r~·l l~

-... .

"

~-» v

Colegio San José Angol, Angol Colegio San Pedro ~qlasco, Va:pa;aiso

1

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Colegio Simon Bolívar, Ouillota

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Talagante

Colegio Cristóbal Colón, Melipilia

r-r-rr-rr '!J..!Jt!i'llil.ll.''':'l.i!!lill

,.~,I1_.

iDOO en

Colegio Vichuquén,

e uricó

-,

Instituto Alemán de Osorno, Oscrno

..

.. ~~~

Instituto Sagrado Corazón de San Bernardo, San Bernardo Junior College, Aries

El Manual Clave PSU Matemática se complementa con ejercitación digital on hne, Este material amplia el trabajo realizado en el texto, refuerza los contenidos y habilidades que se desarrollan en el manual y permite profundizar la preparación para la PSU. A través de este medio se realizarán publicaciones que complementen y actualicen el libro impreso.

Criterios

de validación

estadística

en los Ensayos PSU

Con el objetivo de validar las pruebas de las áreas evaluadas se realizó un análisis psicométrico de los ítems que consiceró en su estimación de parámetros aspectos de la Teoría Clásica de Medición y Teoría de Respuesta al item (lRT), -

~ ~ ec.

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ConfirlMr.·

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l,

14 - 29

Ensayo temático 1 Modelamiento PSU

30 - 41

:'1

.1'1

O,;

Proporcionalidad

y porcentaje

42 - 53

~.;. Ensayo temático 2 Modelamiento PSU Números Complejos Ensayo temático 3 Modelamiento PSU ,~

",

-e-.

':',,~ 2'1

t"',',,1

i~;

~ ~I ...

54 - 65

66 - 77

78 - 89

••••••• 111

2. Si 3n + 1 representa a.

1. Números naturales y números enteros 3.

su antecesor:

(3n + 1) + 1 = 3n + 1 + 1 = 3n + 2

d. su sucesor par:

(3n + 1) + 2 = 3n + 1 + 2 = 3n + 3

63

b. 90

e.

'i.

!t

""

" ...•..•......• _

- 1

prima de cada número.

= 21, 21

: 3 = 7 Y 7 : 7 = 1; así: 63

= 3 ·3

• 7 = 3' • 7.

~ Se tiene que 90 : 2 = 45, 45 : 3 = 15, 15 : 3 = 5 Y 5 : 5 = 1; así: 90 = 2 .3 ·3 • 5 = 2 .3' • 5.

108 ~ Se tiene que 108 : 2 = 54, 54 : 2 = 27, 27 : 3 = 9, 9 : 3 = 3 Y 3 : 3 = 1; así: 108 = 2 • 2 • 3 .3 • 3 = 2' • 3'

a.

JL

b.

JL Existe un

e.

-L -L

d.

i .t

~ Se tiene que 63 : 3

V"/"'v'u,'-'

Escribe V o F según corresponda.

'¡\

~~""

= 3n

(3n + 1) - 2 = 3n + I - 2

la descomposición

t-"

• los números naturales que no sen primos se denominan números compuestos, excepto' el 1.

(3n + 1) - 1 = 3n + I - 1 = 3n

b. su antecesor par:

Determina

J

VV

par, determina:

e. su sucesor:

a.

4.

un número

••••••'

Los números enteros negativos son los inversos aditivos de los números naturales.

El inverso ad itivo de un número a es -a.

número entero que no es positivo ni negativo.

Si a E 7l-, entonces a'

E

7l-.

Si O < a y O> b, entonces b > a.

Ejercicios propuestos

?t ••

1. Verifica algebraicamente

cada proposición.

a.' La suma de dos números impares es un numero par. b. El producto de dos números impares es un número impar. c.

La suma de un numero par y uno impar es un número impar.

d.

El producto de un número par y uno impar es un número par.

2. Completa la siguiente tabla considerando

I

que p es impar y q es par.

~.~ "t

.$-',

21

Ejercicios resueltos 1. Verifica algebraicamente si la suma yel producto de dos números pares son números pares. Sean p y q dos números naturales n, m E N. Luego: i)

naturales

pares, entonces p = 2n y q = 2m, con

p + q = 2n + 2m = 2(n + m), y como n + m = t, con t E N, se tiene que p + q = 21. Por lo tanto, la suma de dos números naturales pares es un número par.

ii) p. q = 2n • 2m = 4nm = 2 • 2nm, y como 2nm = u, con u E N, se tiene que p , q = 2u. Por lo tanto, el producto de dos números naturales pares es un número par.

m y n, m E Z. Si a y b están escritos en notación científica, es cierto que. 1. b >a 11. b - a < la 11I. n + m< 10

24

Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales.

Marca la alternativa correcta.

1. Al redondear a la milésima el número 0,0139 y expresar dicha aproximación obtiene.

A) B) e) D) E)

Ejercicios propuestos

Solo I Solo 11 Solo I y 11 Solo I y 111 1,11Y 111

CLAVE' Matematica

(II)'1":1 3

e

-o

"8

e"

-o

?: ¡;:

J

-

',',

"

'"

GtBIl

Marca la alternativa correcta.

1. ¿Cuál es el valor de x en la ecuación 2"'" =32?

"O

15

~d

~ e,

2

~

:2'

Vl

:!) e

·8

i5 UJ

¡J>

A) .!..

=

;\ ~!

~

2.

Bl

.!.. 3

C)

1 5

D)

1.

E)

1

3

Un cultivo tiene inicialmente ocho bacterias, las cuales se duplican cada hora. ¿Cuántas horas deberán pasar para que se generen 256 de estas bacterias?

A) 2 h

B) 4 h

C) 5 h

D) 6 h

E) 6,5 h

Números

al"

I~UIIIC;I

1. Evalúa la veracidad

Ejercicios resueltos

b.

Todo número real es también un número entero.

c.

Si p es un número primo, entonces

d. 0,3 El

;i

e.

2.

Ubica en la recta numérica

el teorema de

Pitágoras, BC

=

A

16

e.

2J3

f.

fi. + 1

A)~

a. Si x es un número irracional, is qué conjunto numérico pertenece el valor de xT} Si se considera x = 1t = 3, 14159 ... , entonces x' x' es también un número irracional.

ii)

Si se considera x =

.fí,

= 1t'

i)

Fa y=.Jí ,

\1

pertenece el producto x • y?

y .JW Jl6 = 4 E Q. Por lo tanto,

Al considerar x = e se tiene que x • = = producto de dos números irracionales es un número racional.

= J3

= J30. =.J6

ii) Al considerar x e y =.fí, se tiene que x • y producto de dos números irracionales es un número irracional.

en este caso, el

I

e

mejor la ubicación

-j

ro

depende de

representa

A

" ~

.~

-o

,

l

correcta.

B)~

..

Finalmente, el conjunto numérico al que pertenece el cuadrado de un número irracional depende del número irracional que se considere como base de la potencia. b. Sean x, y E I, entonces is qué conjunto numérico

La siguiente construcción geométrica es conocida como espiral de Teodoro y representa las raices de los números naturales:

~

:'1

x' = 2. Por lo tanto; en este caso, el valor de x' es un número racional.

es un número racional.

1

Marca la alternativa

'O

·1

= 9,869 ... Por lo tanto, en este caso, el valor de

O.

Todo racional es un decimal finito.

Q.

C

o

2. Analiza las siguientes afirmaciones.

d.

rm

J2

C

A

~

B

Q

E

Para todo x y E 1, entonces x • y = k. dorde k es racional.

2.fí

f.

~;,...

J2 o

'f

J2. B

B

i

J2.

recta numérica en

h.

.J3 JS

b. c.

3° Con centro en C y radio CB, se traza un arco que intersecta la

Existe x E Z, tal que x E Q

g..,fa

fp E 1Ql.

j.

.Jí.

Aplicando

11I

Fundamenta.

f.

Si a' E R entonces a E

a. 2° Se une cero con B, formando el segmento Be.

proposiciones.

Q UZ U N

~....,

~

1° Se traza el segmento unitario AB, perpendicular a la recta numérica sobre 1.

de las siguientes

=Q

a.

"

Ubica en la recta numérica

jJl U~UIL,'¡Vllalluau

Ejercicios propuestos

10. Números irracionales

1.

y

u::>

1

"2 "5

3.

~ 3

Si x = 1A) Xl

B) 1,754

13, ccuál de las siguientes B) X - J3

C)

19 2

expresiones NO representa C) x + 1

ubicado entre 1 y 2? D)

(13 - 2.Jí)'

El

15-1 2

a un número irracional? D) (X + 1)'

E) Xl - 2x

Numeros

_

Números y proporcionalidad

!

• I

r~

11. Raíces cuadradas y cúbicas

Ejercicios propuestos

,

L ~

1,

I

! ~ l.' ~ '

2.

L9~

Simplifica las siguientes expresiones, a.

sJ2 +10J2

c.

s124 - 13 - iflli

e.

b.

-412 +3.j5 +12 +10~

d.

213+ JSO-154 - J2

f.

.J32+JSO _ 313 - Jl2 10 4 J28 +.f63- 139 - J32 +JSO

R~

g,

(.Jl8+-i98+ 500): (2J2 +J8)

h.

(-SJ3i+7.f8-2J242):J2

Resuelve las siguientes operaciones. a.

if3.

'"Ve

" 1

'0

v

O

'6 \J.J

~ 28

1

d

Js

e

4

f

.fa

~'y 15 . 13' 13 12

c.

fi+l ' 13-fi

g.

_4_ . 13+~

3 5



i5

D)

eo

-o

6

"

y:

~ ~

O o i5 cu

'di,'::..

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30

CLAVE· Maternátca

Ensayo temátk:o • PSU ...]

, .

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I

I,UIIIGIU;'

y

¡.IIUiJUlvIUIIClIIUClU

~l

13.

¿Cuántos cuartos son 2..! de .1? 2 8

9.

A) B)

C)

10.

5 64

Una persona debe ir y volver desde la ciudad A hasta la ciudad e pasando por la ciudad B. Si ha recorrido 7,5 km, que corresponden a la cuarta parte de la distancia entre A y B, Y la distancia entre B y e son dos quintos de la distancia entre A y B, «uantos kilómetros recorrerá la persona?

A)

24 km

5 16

B)

33 km

C)

42 km

5

D)

66 km

E)

84 km

4

D)

5

E)

20

Números reales

1-1 __ 3_=

14.

¿euál(es) de las siguientes proposiciones Si a E

1+_1_ 1-1 3

A) B)

C) D)

n y b E n, con a ~

11. Si a E ~ Y bE 111. Si a E

es (son) siempre verdadera(s)?

b, entonces a • b E

n.

IQ, entonces ~Ell.

j\j Y b E ';1,', entonces

E.

E IQ.

1 12

A)

Solo 1

D)

Solo 1 Y 11

1

B)

Solo 11

E)

Solo 1 y 111

6

e)

Solo 111

b

1 4

15.

1

E) 11. ¿Cuántas veces dos centésimos

son los cuatro décimos

de cien?

A)

0,05

O)

2.000

B)

0,8

E)

20.000

C)

20

de los números

P=

fi, Q = fi 4

.,

2

El orden decreciente

16.

A)

R>Q > P

B)

P>Q>R

C)

Q>R>P

O) E)

R> P > Q Q>P>R

2

Si x E IQ - {O}, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones

y R=

11. es: 2",4

representa(n)

siempre a un número irracional?

x 12. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones 1.

es (son) igual(es)

e

'0 u

'0

"O

1 e,

o Q.

~ ::>

2 '0,1

'"'"

"O

1 111. 1- 0,2

:El E o

A)

Solo 1

D)

Solo 1 y 111

B)

Solo 11

E)

1,11 ylll

C)

Solo 111

A)

Solo 1

" ~

B)

Solo 11

C)

Solo 1 y 11

:2

::;

D)

Solo 11 y 111

6"

E)

Ninguna

~

.-~,;

'O ea.

~ ~ -o

= 13

Distractores: A) En esta alternativa se cometió el error de resolver

de izquierda a derecha, sin importar el orden de las operaciones. Así, en la expresión [7 - 5 • (6 - 2 • 4)] se resolvió la sustracción entre 7 y 5 Y se obtuvo [2 • (6 - 2 • 4)]. Luego no hubo más errores de cálculo; por lo tanto, se respondió -8. B) Se cometió el mismo error que en A), pero

D) Se resolvió correctamente la expresión [7 - 5· (6 - 2·4)1 Y se obtuvo 17; sin

embargo, la expresión -6 : (-3) . 2 se calculó erróneamente al resolver primero la multiplicación, por lo que quedó-6 • (-6) = l. Así, 17 - 1 = 16. E) Al igual que en A), se cometió el error de resolver

de izquierda a derecha, sin importar el orden de las operaciones. Así, en la expresión [7 - 5 • (6 - 2 ·4)] se resolvió la sustracción entre 7 y 5 Y se obtuvo [2 • (6 - 2 • 4)]. pero además en el paréntesis se incurrió en el mismo error y se obtuvo [2 • 161. Luego no se cometieron rrás errores en el cálculo; por lo tanto, se respondió 28.

C>.

~ ~ ~ ii =

::;

=: f\

~

a

'ü

.9

uJ

'"" O. Luego: En (1), la expresión a - b puede escribirse como a + (-b), donde a < O Y (-b) o, y debido a que la suma de dos números enteros negativos es siempre menor que cero, la expresión a - b es menor que cero. Por lo tanto, (1) es siempre menor que cero.

La secuencia se muestra en la siguiente tabla: er _' ~~ •.__~~ ~., ~::-~~,_ .:.•..........,~". ....«.eL.:: 1":Z-- .:~-.: ',F Término " . :¡'",., Expresión l. • >:,-: RéSultado '-',t :v""-: ,:;- ,~ •••., -.: -~:r:{ ..,...,.,.~".~._~:~~: '~-~:'-;..-

Oistractores: B) Esta alternativa es incorrecta, ya que consideró la expresión (11), que no siempre es menor que cero. C) Esta alternativa es incorrecta, ya que consideró la expresión (1), que siempre es menor que cero, pero también la expresión (111), que siempre es mayor que cero. O) Esta alternativa es incorrecta, ya que consideró la expresión (11), que no siempre es menor que cero, y la expresión (111), que siempre es mayor que cero. E) Esta alternativa es incorrecta, ya que consideró la expresión (1), que siempre es menor que cero, pero también la expresión (11), que no siempre es menor que cero, y (111), que siempre es mayor que cero.

'-

1 1 -+23

•.

-1

2 -3·1

Al calcular 2J. de l se obtiene: 2 8

1·3+2·1 2·3

3+2 5 -=2·36

Luego, el recíproco de ~ es la fracción §.. 2°

-5

3 - 4·2

3°

4 - 5·3

-11

..

...

. ..

6

ti

'

9°

10-ll·9

-89

10°

11 - 12· lO

-109

11°

12 -13·11

-131

5

Distradores:

~! 'tf

En (11), la expresión a + b es mayor que cero si a> b; por lo tanto, con la información del enunciado no es posible asegurar que a + b siempre es menor que cero. Así. (11) no siempre es menor que cero. En (11I), se tiene que a < O Y por (1) se tiene que (a - b) < O. Debido a que el producto entre dos números enteros negativos es un número entero positivo, la expresión ala - b) > O. Por lo tanto, (111) siempre es mayor que cero.

..•• ~-JA·

l°

Resolviendo, se tiene que:

~

l+l 2

resolviendo

2

8

16

2..1.=2.,1=2 16' 4)-6

4

Por lo tanto, son cinco cuartos. [-tJ=-2+(-3)=-S Distractores:

•

B) Se cometió el error de considerar el recíproco de un número como el inverso aditivo. Así, se

~I '$

~ f,

respondió

_2. 6

ti

Distractores: A) Se calculó la diferencia entre el undécimo y décimo término; sin embargo, se cometió el error de no considerar el resultado en valor absoluto, por lo que se respondió -22.

que solo se respondió

l + l, resolviendo

,. ~ •..

B) Se calcularon erróneamente el décimo y el undécimo término de la secuencia, resolviendo de izquierda a derecha, sin considerar el orden de las operaciones. Así, para calcular el décimo término se resolvió incorrectamente 11 - 12 • 10 Y se obtuvo -10; y el undécimo término 12 - 13 ·11 resultó -11. Por lo tanto, se respondió que la diferencia en valor absoluto entre el décimo y undécimo término es l.

la suma:

2 3

.

un error en el cálculo de

cuántos cuartos son, ya que se resolvió:

2.. • l=2.. 4

64

2 I de I y se obtuvo 2.., 2 8 16 pero se omitió el cálculo de cuántos cuartos son

B) Se calculó correctamente

O) Se calculó correctamente -'-+-'-=2+3=5 1 1 2 3

.~

pero se cometió

16

E) Se cometió el error de calcular el recíproco de

~~

2..,

el resultado de la adición,

es decir, ~. 6

'!-:-' ¡;,'

¿;

21 de 1. y se obtuvo 2 8

A) Se calculó correctamente

16

C) Se cometió el error de no calcular el recíproco, ya

Se cometió el mismo error que en C), es decir, se consideró 1-109 - (-131)1 como 1-109 -1311. Así, se respondió 240.

8

Luego, para calcular cuántos cuartos son .2., se divide esta fracción por un cuarto. Así: 16

la suma:

3 -t+

1-109 - (-131)1 = 1-109 + 1311= 1221= 22

E)

2

A) Se cometió el error de calcular el recíproco de

"

Luego, la diferencia en valor absoluto entre el décimo y undécimo término es:

C) Se cometieron los mismos errores que en B), pero además se resolvió incorrectamente la sustracción al no cambiar a suma el doble signo de resta, es decir, se consideró 1-10 - (-11)1 como 1-10 -111. Así, se respondió 21.

21. l=~. l=2..

2... Además,

21. de

2

l

y se obtuvo

8

se calculó correctamente:

16

21=2.,4=2 16'4)-6

K<

~~..

4

Sin embargo, se cometió el error de interpretar incorrectamente este resultado, por lo que se respondió 5. c.

-o

E) Se cometió

0".

,

'8

::l

2

"

'O

g

2

ª"Vl

2" :;;

.;'l

el error de calcular 21. de

2.ll 2 8

l

como:

8

= 2:.l = 40 = 20. Además se omitió 2 8 2

calcular a cuántos cuartos equivalen.

~ ~ ~

:¡¡

E SI el.

j 9 "-.

.."....

36

CLAVE· Matemática

'd ••• ~~I ..... _:~_ ••

n"',

I

I~ullleru::;

""Tlfrir.

y

IJIU~UICIUrldIlUdU

1I ~

1-1

D) En la expresión __

1+_1_ 1-1

l+l 3 1 =_3_ 1+ 3 1

1+_11_1 3

Distractores: B) Se calculó erróneamente la sustracción 1-1 3

,

tanto en el numerador como en el denominador

;Ó. ;e6 1

~

~I' .r ;

3

= 40 1 50

1

1-0,2

resolverla

Distractores:

se cometió un error y se obtuvo

1

4·10 ·100

1y

Por lo tanto, la expresión en (111) es equivalente a 1,25.

Distractores:

2 ·100

Por lo tanto, se obtuvo como resultado 0,05.

3

Lasalternativas A), 8), e) y O) son incomplelas, ya que ninguna de e Ilas consideró las tres expresiones.

B) En esta alternativa se planteó erróneamente el

3

no 3, que es lo correcto. Así, se tiene: 1

_3_=i=l 1+ 1 4 4 3

:3

2

~

1-.

::J • II'I.~

'"

-o 15

" ~ ::J

'ft

~3 e, ,,:'

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:2 .',

:;¡

e o '0 '6 uJ

{j

2 • .i.. 100 100 10

-:J

e

e,

a1

CLAVE· Matemática

enunciado como:

e

-o ·ü< u' ::J -o

V1

38

_1-. Al

_1 __ 1 1- 0,2 - 0,8 = 1,25

A) En esta alternativa se planteó incorrectamente el enunciado como:

1+ _1_=1 + _1_=1 + l; sin embargo, al 1-1 3-2 1 3 3 3

.•••••

=1,25

se obtiene:

=2.000

6

C) En el denominador se calculó correctamente

l

En (11I) se propone la expresión

=40· 50

3

resolver

4

Por lo tanto, la expresión en (11) es equivalente a 1,25.

=40:--'-50

_1

S

4

_1_ = _1_=J..= 1,25 2' • 0,1 8· 0,1 0,8

so

l=l

_1

-8+13

En (11) se propone la expresión _J_l-. Al resolverla se obtiene: 2 • 0.1

1 50

i ,w6

,t

3 que esta en el numerador y en el denominador. Así,

1

Por lo tanto, la expresión en (1) es equivalente a 1,25. 4·10

pero se cometió el error de eliminar la fracción.!,

i

10

se tiene:

_l. Así, se

__ 3_=_L_1(_2)=1 1+ (-3) -2 3

1 13 -2+ 3-=-2+-=--=4 4

4

~

1+1 3

100 = 200.100=20000

100 Así, se obtiene:

~

1_1

12

_3_= 1+...L

fl: .~

__ 3_=_3_

.

En (1) se propone la expresión -2 + 31.Al resolverla se obtiene: 4

L

~'

=-'-

_1

~ ·100 10. __

¡

1

lOO

400 =400:.l=;w6 2 100 100

0,02

que es equivalente a:

E) Se resolvió correctamente:

=1.l 3 4

_1

0,4·100

_1_=_1_=1 1+ l 1+ 1 2

=1 4

de la expresión inicial y se obtuvo tiene que:

Calcular el número de veces que dos centésimos (0,02) son los cuatro décimos (OA) de cien es como resolver:

simplificar la expresión 1_1, que se encuentra 3 tanto en el numerador como en el denominador, y se obtuvo:

1

3

3 - se cometió el error de

1+_1_ 1_1 3

1-1 1 __ 3_=_3_

E) En esta alternativa se consideró erróneamente cuatro décimos de cien como 4 • 100= 400Y se obtuvo:

\.

.1>

~

~

6 O

-:;

Por lo tanto, se obtuvo como resultado 0,8. C) En estaalternativa se consideró erróneamente que cuatro décimos de cien son ~. Así, se obtuvo que: 10

4

1

lo 4.2 -=-.-=-' ...L

100

10 100

10

\;e6 ;ó -=2 \, 1

·10=20

1

Modelilf'1i~nlo ' PSII

1

I~UIIIC;IU;:'

NiTifrir.

y fJ1ufiulI..,oullalluau

11 /,.•

o::i~~~.,;',

"It'

"':\,'

Del enunciado se desprende que la cuarta parte de la distancia entre las ciudades A y S es 7,5 km; por lo tanto, la distancia entre las ciudades A y S es 7,5 km • 4 = 30 km. Además .la distancia entre las ciudades S y e son dos quintos de la distancia entre las ciudades A y S, es decir: l.30km=12km

.fi.

.fi. • ..fa=J16

P=

Distractores:

Por lo tanto, (1) no siempre es verdadera.

Fs=.J16

A) En esta alternativa se consideró erróneamente solo el tramo de ida y vuelta entre las ciudades B y es decir:

e

km

S) Enesta alternativa se consideró erróneamente que los dos quintos de la distancia entre las ciudades A y B son:

. 2..f4

.•. '-

=4, donde 4 E Q

;'

Por lo tanto, (11) no siempre es verdadera.

;t

Distractores:

~

A) Se cometió el error de considerar que 1 es mayor

:._~,

que

e) En esta alternativa se consideró erróneamente solo la distancia de ida entre las ciudades A y es decir, 42 km.

e

O) En esta alternativa, errónearnente se consideró que los dos quintos de la distancia entre las ciudades A y B es: 1.7,5km=3km 5

Luego, la distancia de ida y vuelta entre las ciudades A y e es:

e) Se cometió el error de considerar que 1 está entre y 2 ..[2. Por lo tanto, se respondió Q > R> P

fi

S) Esta alternativa es incorrecta, ya que consideró la afirmación (11), que no siempre es verdadera,

.I. puede

.fi. , se tiene: ....!..=_l_=..!EQ

(../2)'

2

Por lo tanto, (11) es falsa.

.fx

En (11I), el valor numérico de la expresión puede pertenecer al conjunto de los números racionales. Por ejemplo, si x = 4, se tiene que = 2E Q

..f4

Por lo tanto, (11I) es falsa, Distractores: Las alternativas B), C), O) Y E) consideran algunas de las expresiones de (11) o (111), que son talses. Por lo tanto, todas ellas son incorrectas.

O) Estaalternativa es incorrecta, ya que consideró las afirmaciones (1) y (11), que no siempre son verdaderas. E) Estaalternativa es incorrecta, ya que consideró la afirmación (1), que no siempre es verdadera, y la afirmación (111), que siempre es verdadera.

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2

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ur

CLAVE..Matemática

O) Se comparó correctamente, pero se cometió el error de ordenar las fracciones de manera creciente. Así, se respondió R > P > Q.

t

~ :/ :Q "

40

P.

P>Q>R.

i!!

.•••••

x=

x'

B) Se cometió el mismo error que en A), pero se ordenó de manera creciente. AsI, se respondió

"O

2 • (30 km + 3 km) = 66 km

2..[2. Así, se respondió que R> Q>

*' O, la expresión

x' representar un número racional. Por eernplo, si

~

En (111) se afirma que el cociente entre cualquier número natural y cualquier número entero negativo es un número racional. Al escribir esta dvsión como fracción, se tiene que cumple con la definición de núrneros racionales, es decir, su numerador y el denominador son números enteros (distintos de cero); por lo tanto, (111) siempre es verdadera.

siempre representará un

y el producto entre un número racional

En (11), como x

4

.fi. 2..[2,

~j

J2

distinto de cero y un número irracional es siempre un número irracional; por lo tanto, (1) es verdadera.

4

Al comparar fracciones de igual denominador, se tiene que la mayor será aquella de mayor numerador. Por lo tanto, como 1< < Q > P> R.

~.

A) Esta alternativa es incorrecta, ya que consideró la afirmación (1), que no siempre es verdadera.

30 km + 3 km = 33 km

2·2

R=_I_=..l

Distractores:

Luego, la distancia de ida y vuelta entre las ciudades A y e es:

../2 = .fi. . 2 = 2../2 2

l.7,5km=3km 5

x- ~,

4 Q=

En (1), la expresión

número irracional, ya que ella se puede escribir como

.fi.

=4, donde 4 E IQ

En (11) se afirma que la raíz cuadrada del producto de un número real y un número racional es siempre un número irracional. Sin embargo, al considerar que 2 E IR Y 8 E Q, se tiene:

5

Por lo tanto, la persona recorre 2· (30 km + 12 km) = 84 km.

12 km ·2=24

Para comparar los valores de P,Q y R se igualan los denominadores de las fracciones que representan. Así:

En (1) se afirma que el producto entre dos números irracionales distintos siempre es un número irracional. Sin embargo, al considerar E II Y ..fa E rr. se tiene:

I

Modela miento• PSU

4

I~UllltIU:'

y

¡.JlU¡.JUILIUlldlluau.

11

2. Razones y proporciones 1. Variable

'!\'

t.<

~

.~.

~l

t...

+!'~

Expresión algebraica A=a'

9j-......

OO.. O,

_%.8

labia

1 cm

1 cm'

2cm

4cm2

3cm

9 cm'

I

.

En 105 gráficos, se representan 105 .valores de ia variable independiente .. en el eje de las abscisas (eje X), y en el eje de las ordenadas (eje Y) se representan los valores de la variable dependiente.

~

~7 .g 6 ~

a

5 4~····---.

~ 3 ~ 2

~ ~

'.t~

a c b=(j ~ a-d

·él

%.

'!~1

·í

i!'

EjerCicios resueltos 1, En una urna hay fichas blancas y negras en la razón 2 : 3, Si se sabe que hay 18 fichas negras, «uéntas blancas hay?

~

i

1 2 3

Si x representa la cantidad de fichas blancas, al aplicar la propiedad

lado del cuadrado (cm)

i

1. = ~ ~ 3

:1

~l

Ejercicios propuestos 1. Identifica si las magnitudes a.

dadas a continuación

corresponden

a variables

o aconstantes.

Edad de un grupo de estudiantes de cuarto medio.

b. Temperatura de ebullición

3x

18

= 2 • 18 ~

x =~

a.

Radio y perímetro

cuál es la variable

b. ¿En qué segundo se comienza a vaciar el estanque?

c.

¿Cuántos segundos tarda en vaciarse el estanque?

independiente

2.

=> x = 12

A una reunión asisten 180 personas, de las cuales 80 son mujeres. Calcula la razón entre la cantidad hombres y el total de asistentes.

y cuál es la

total de asstentes

de

.. [

¡-Irt !l[O:. : + ...

2,4 É e Q.>

.

e

E

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~

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3. Un segmento AB de 100 cm se divide en tres partes de medidas a, by c, tales que a : b : c = 3 : 2 : 5. ¿Cuál es la longitud del segmento mayor?

-r

.r-

VI

~ g ,~ I ~

.r:

.~

Tíempo en segundos

= 100 =.2.

Así, la razón entre la cantidad de hombres y el total de asistentes es 5 : 9.

Volumen de agua en el estanque

b. Cantidad de minutos hablados por teléfono y monto cancelado.

a. ¿Cuánta agua se agrega al estanque entre los seis y ocho segundos?

se tiene

La cantidad de hombres es 180 - 80 = 100. Luego la razón pedida es:

de una circunferencia.

3. Analiza el gráfico. Luego, responde,

de proporciones

Así, son 12 las fichas blancas en la urna.

n° de hombres situaciones,

fundamental

3

del agua a nivel del mar.

2. Reconoce, en cada una de las siguientes dependiente.

b-r

.?~

-«1

o

e

o,.

La proporción

es: ~ = Q. = ~ = k, donde k es el valor de cada una de las razones. 325 5k. Además, a + b + c = 100 cm, entonces se tiene:

en notación fraccionaria

Entonces a = 3k, b

= 2k Y c =

3k + 2k + 5k Finalmente, a = 3·10 cm = 30 cm, b del segmento mayor es 50 cm.

= 2·10

= 10k =

100 cm, es decir, k = 10 cm.

cm = 20 cm y c = 5·10

cm

= 50

cm. Por lo tanto. la longitud

w

-:g

'

.•.•,

42

CLAVE' Matemática

Proccrconacac

vcorcentae

IlJumeros y proporCIOnallUdU.

~~ 11 Ejercicios propuestos

3. Dos personas se reparten una herencia de S 15.000.000 en la razón 2: 3. ¿Cuál es la menor cantidad de dinero obtenido?

1. Responde las siguientes preguntas.

A) S 10.000.000 B) S 6.000.000 C) S 5.000.000

a. Si el valor de una razón es 1.2 y el antecedente es 4. ¿cuáles el consecuente¡ b. Si el antecedente de una razón es 0,8 y el consecuente es 8, ¿cuáles el valor de la razón?

¿cuál es su perímetro?

2. Encuentra el término desconocido en cada proporción.

d

b.

.1:.! = x : 5 4:

,

.

6' 9

f. x : 0,02 = 22 : 0,6

del sueldo mayor?

.

1:

~.

.l."§,,

b

c. 9:16y3:4

20 Y 40

d

agua consumen bajo las mismas condiciones 10 personas?

~I

a. Dos socios deben repartirse S 36.000 en la razón 4 : 5. ¿Cuántodinero recibe cada uno? b. Lasmedidas de los lados de un rectángulo están en la razón 2 : 3. Si el perímetro del rectángulo es 250 m, «uál es su área?

fl

"?

';...~ .. · .l.

'~a

c. ¿Cuántomiden los ángulos interiores de un triángulo o; ~y y si son tales que cumplen a : ~ : y = 4 : 8 : 3? d. Tres números, a, b y c suman 36 y son tales que a : b : c = 2 : 3 : 4. ¿Cuáles el número mayor? e. Una herencia de S 5.600.000 se va a repartir entre cuatro hermanos en montos A, B, C y D. tales que

..

ot5J] Marca la alternativa correcta.

20 litros de agua. ¿Cuál es la capacidad de la tina?

D) 31 : 6 E) 5: 3

1.

§

'U

eo.

111.10: 11 y 22 : 20

.

;; ~i'. 1/1;: I'Q

"O

A) Solo I B) Solo 11 C) Solo I y 111

O) Solo lIy 111 E) 1,11Y 1\1

15 E

e C>.

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CLAVE· Matemática

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44

B) 1: 3 C) 1: 4

.~ 1! .º'5

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o ,. C:,~

"...

= 6x -

A) 1: 2

.I

11. l..yl:12 22

D) S 7.500.000 E) S 8.000.000

A) S 750.000 B) $ 2.250.000 C) $ 3.750.000 9. Si 3(y - 3)

2 30

E) 80 litros

¿Cuálesson las ganancias de la empresa si la menor cantidad recibida es S l.5oo.000?

2. ¿Cuál(es) de los siguientes pares de razones forma(n) una proporción?

.! y.!2.

D) 60 litros

8. Tres socios de una empresa se reparten las ganancias en montos X. Y. t, de tal forma que x: y : z = 3 : 5 : 2.

I

1. En una urna hay 15 fichas blancas, 10 fichas rojas y 6 fichas azules. ¿Cuál es la razón entre la cantidad de fichas azules y el total de fichas de la urna?

E) 21 litros

A) 20 litros B) 2SIitros C) 40 litros

•...

•.

D) 20 litros

A) la litros B) 12 litros C) ISlitros

7. la razón entre el contenido de una tina y su capacidad es 3 : 4. Se sabe que para lIenarla se necesitan otros

:\

A: B : C : O = 1 : 2 : 3 : 4. ¿Cuánto dinero redbirá cada uno'

D) S 490.000 E) $ 500.000

6. La razón de consumo de agua en un día cualquiera es de 3 litros por cada 2 personas. ¿Cuántos litros de

tt

4. Resuelve los siguientes problemas.

A) 2: 5 B) 5: 2 C) 6: 31

A) S 350.000 B) $ 400.000 C) $ 450.000

')

3. Verifica si los siguientes pares de razones forman una proporción.

12 24

E) 35 mm

5. los sueldos de dos trabajadores están en la razón 5 : 7. Si el sueldo menor es $ 350.000, ¿cual es el monto

x= x : 36

a. !2y 36

D) 40 mm

A) 140 mm B) 70mm C) 50mm

O 02 . x = .! .l

e. 0,04: 0,05 = 0,08 : x

2 6

c.

.

S 3.000.000 S 2.000.000

4. las medidas de los lados de un rectángulo están en la razón 2 : 5. Si el área del rectángulo es 1.000 rnm',

c. Si en una proporción el producto de los medios es 65, ¿cuáles el producto de los extremos?

a. 16:x=16:2

D) E)

v w

9, cen qué razón están x e y? D) 2.2 E) 3: 1

10. El dinero de dos personas está en la razón 4 : 1 y una de ellas tiene S 3.120 más que la otra. ¿Cuanto dinero tienen entre las dos? A) $].040 B) $ 3.120 C) S 4.160

D) $ 5.100 E) $ 5.200

11. Las edades de Ester y Lucía suman 48 años y están en la razón 5 : 3. ¿Cuántos años tienen, respectivamente? A) 18 Y 30 B) 28 Y 20 C) 30y 18

D) 32 Y 16 E) 36 Y 12

Prnl'X'rr.i()r~lt1ad v ocicentaip.

l~ullleIU:;

y

f-JI UfjUll,iUllalluau.

1I Ejercicios propuestos

3. Proporcionalidad ;.':" ~t2·,..'~·;)·"

1. Identifica si las variables son directamente, inversamente proporcionales o no son proporcionales.

'~

a. Tiempo que tarda una piscina en vaciarse y cantidad de desagüesque hay en ella. b. Medida del radio de un círculo y su área respectiva. c. Cantidad de trabajadores y el tiempo para cavar una zanja. d. Cantidad de kilogramos de arroz y masa respectiva. e. Altitud y temperatura. f. Cantidad de kg de porotos que se pueden comprar con $ 5.000 Y el precio de 105 porotos por kg. g. Porcentaje de descuento de un artículo y cantidad de dinero por pagar después del descuento.

~ ¡,': ,,. •

~.~

..

."';~ ~..;.

'~,,"';~

2. Resuelve los siguientes problemas.

Ejercicios resueltos

a. Si 40 niños consumen cierta cantidad de alimento en 72 días,«uántos días podrán alimentarse 90 niños con la misma cantidad? Seasume que todos comen por igual.

1. Identifica si las variables tabuladas son proporcionales. Luego, construye un gráfico que contenga los valores correspondientes. a.

b. Al calcular el cociente entre los valores correspondientes, se tiene que:

L 0,5=~=1.2=~=

4,5 =0,5=k 9

x 1 3 5 7 Entonces, las variables X e Y son directamente proporcionales. Su gráfico es: y,

b. Enun CO se pueden grabar, como máximo, 14 canciones de 5 minutos de duración cada una. ¿Cuántas canciones de 2 minutos se pueden grabar en un CD similar' c. Enun campamento de verano, 68 niños han gastado S 340.000 en 10 días. ¿Cuánto dinero gastaran, en iguales condiciones, 14 niños durante el mismo tiempo? d. Un vehículo que se desplazaa una rapidez constante de 90 km/h demora 10 horas en viajar de una ciudad a otra. ¿Cuánto tiempo tardará en recorrer el mismo trayecto otro vehículo que viaja a 120 kmjh'

Al calcular el producto entre los valores correspondientes, se tiene que:

ic.

~l

ti

e. Cinco trabajadores confeccionan 10 zapatos en 12 días. ¿Cuántoszapatos hacen dos trabajadores en el mismo tiempo' Se asume que trabajan por igual.

:;:1

f.

x • y = 1 • 8 = 2 . 4 = 4 • 2 = 6· 1,5 = 8 • 1 = 8 = k

Entonces, las variables X e Y son inversamente proporcionales. Su gráfico es

~'t

y

3. Identifica cuál de las siguientes tablas representa una proporcionalidad directa.

1f

.

Con 24 vasos se pueden llenar tres jarros de agua. ¿Cuántosjarros se pueden llenar con 120 de esos mismos vasos?

b'l'

a.~ ~

.1

4, ..

''-

o

2. Identifica si las siguientes variables son directamente proporcionales (D), inversa mente proporcionales (1) o no existe proporcionalidad (NP) entre ellas. a. _1 _ Eltiempo de lavado de un auto y lacantidadde personasque lo limpian. b. _0_ El precio fijo de un producto y la cantidad comprada de él. c. jjL La longitud del lado de un cuadrado y su área. d. _0_ Los numeradores y denominadores de fracciones equivalentes. e. jjL La edad y la estatura de una persona. 1. _0_ La cantidad de bencina y la distancia recorrida por un automóvil.

ss

ClAVE· Matemática

4

5

6

7

8

~

c.

y

a.

'1l '.

x

El gráfico de una relación directamente proporcional se puede representarpor una recta,en el primer cuadrante del plano cartesiano,que pasapor el origen; mientrasque el de una relación inversamente proporcional, por una curva, llamada hipérbola, que no intersectaa 105 ejes.

c.~

1

5!6

4. Identifica cuál de los siguientes gráficos puede modelar una relación directamente proporcional.

;1 o

2 3\ 4

·~I u·

:J U

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2

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Prooorcionalidad v ocrcentaie

t~UtlIVI

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j

j..J1\JjJVI'-'.'-".U..,""'

...•.•..•~

11 ~

4. Proporcionalidad compuesta

Marca la alternativa correcta.

1. Un ciclista pasa por el kilómetro 140 de una carretera a una rapidez constante de 60 km/h. Si su destino queda en el kilómetro 190, zen cuántos minutos llegará conservando la rapidez?

D)

A) 50 B) 60 C)72

140 E) 190

2. Sean X y 2Y cantidades directamente valor de Y1

proporcionales.

A) 15 B) 7,5 C) 7

Cuando X = 4, Y = 3, entonces si X = 10, ¿cuál es el

Ejercicios resueltos

D) S E) 3

1. En 18 días, cuatro perros consumen

*~. .~

.

.t:

3. El cuadrado

de a es inversa mente proporcional

A) 0,5 B) 1

i~·

a b y cuando a = 6, b = 2. Si a = 3, ¿cuál es el valor de b? D) 4 E) 8

C)J8

tres bolsas de alimento. ¿Para cuántos días alcanzarán ocho bolsas de alimento para tres perros?

2. En un mes, 22 trabajadores

construyen 160 m de una avenida. ¿Cuántos metros construirán 15 trabajadores en 22 días?

En la siguiente tabla se muestran los datos del problema y el tipo de proporcionalidad entre las variables involucradas:

."!" f

Se ordenan los datos en una tabla y se analiza el tipo de proporción que forma la variable longitud con cada una de las otras dos: directa

~

4. En el siguiente gráfico se muestra la relación de proporcionalidad entre las variables X e Y. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?

~

4

~.:

y

! ~~

1:: 1.

10 ,.......................

a= 10

11. a' = 25

111. ~=ª

10

a

I'

,

~:I'"

8

....

.;

A) B) C)

Solo 1 Solo 11 Solo 111

y b son directamente proporcionales de proporcionalidad?

5. Si a

A) ..!.

O) Solo I y 11 E) Solo 11y I!I

'a-l

a

:~

X

4 ·18·8=3·

? 2

B) ..!.

A) ..!. 3

O) 3

E) No se puede calcular

I

;t -o'

8c', -g" 0..

~ .c.. ~ ..~~

2

:.§ s:

El verano pasado se limpió y arregló la avenida de una ciudad en cuatro semanas, con 60 hombres trabajando. Para que este año se demoren tres cuartas partes del tiempo, La cuántos hombres se debería contratar? Se asume que todos trabajan por igual.

&. :ib=~=24 5 5

C) En esta alternativa se cometió el error de confundir la proporcionalidad Inversa con la proporcionalidad directa: por lo tanto, se calculó la constante de proporcionalidad Así, si A = 10, se tiene:

.:s j 5

valor de B, pero se cometió el error de no calcular el de B2, que es el valor que se pide.

k como: k = ~ =

B

l. 11

5'

Por lo tanto, a + b = 5,25 + 2,4 = 8,55. Así, (1) es verdadera.

k=~=>1...=lQ=>B=~ B 11 B

=55

2

Además no se calculó el valor de B'. D) En esta alternativa se cometió el mismo error que en C), pero sí se calculó el valor de B', por lo que se obtuvo 3.025.

2 E) Se cometió cualquier otro error de cálculo o de interpretación.

Mod_eiami~IO' PSU _...,.[

.1"

60 a.

CLAVE· Matemática

u..;

1~1.J1'lv'

rJ

'I(

t

1

!-"IVpV'

....•'vIO\ ..•.••••..••..•. u

Irtr.'

,~1II1I j;

Cuando dos variables son inversa mente proporcionales se cumple que el producto entre sus valores es constante. Así, en la tabla:

1

80

2

40

4

20

5

16

se tiene que 1 - 80 = 2 • 40 = 4 • 20 = 5 • 16 = 80. Distractores:

A) En la tabla de esta alternativa los valores de X aumentan y los valores de Y disminuyen; sin embargo, se cometió el error de pensar que X e Y son inversamente proporcionales, sin considerar que deben hacerlo de manera simultánea y en la misma razón. B) En la tabla de esta alternativa los valores de X y de y aumentan y disminuyen, respectivamente, en una unidad. Sin embargo, se cometió el error de pensar que solo por el hecho de que una aumenta y la otra disminuye, las variables son inversa mente proporcionales. e) En la tabla de esta alternativa los valores de X y de y mantienen un cociente constante. Sin embargo, el error cometido consiste en que se confundió el cociente con el producto. Luego, en esta tabla, X e y son directamente proporcionales. E) En la tabla de esta alternativa los valores de X y de y conservan un producto constante; sin embargo, cuando X = 1, Y = O no se tiene que su producto sea 20, como en los otros casos. Luego, X e Y no son inversa mente proporcionales.

En (1) se afirma que z es igual a 6,25. Como el gráfico representa una relación entre dos variables que son inversamente proporcionales, se tiene que Z • 8 = 5 • 10. Así, se obtiene que z = 6,25; por lo tanto, (1) es verdadera. En (11) se afirma que!

y

=

J... ; por

Del enunciado se tiene que: i) el producto ab disminuido por:

ii) que el valor de a aumente un c Ofo se representa

lo tanto, se obtiene

por:

considera la proposición (1), que es verdadera, pero no incluye la proposición (111),que también lo es. B) Esta alternativa es incorrecta, ya que considera la proposición (11),que es falsa.

iii) que el valor de b disminuya en 50 Ofo se representa por 0,5b.

~'

?f

/-100

56

D) Se cometió el mismo error que en C), pero se escribió la multiplicación en vez de la adición. Así, se tiene que:

Luego, el enunciado se representa por:

-'.5

a( 1~ + 1) - 0,5b = 0,94ab

!--"~·'I'-

1.-

1,06ab = _c_ • O,Sab 100 1,06 =

.s... 0'5 100

{

?i ~.-

(~ 100 + 1) ·0,5 = 094 ' ~ + 1= 1,88 100 c+100=188

~:' 1:-,

/ ·100

'

106=0,5c

:;i'~.,~~}~!a'(~,~ ~"l/''¡ ;¡

ZO=ro (cos(n. e) + i-senín- 8») Zk

I

*(

= r cos (e+k'3600), n

0 + 1. sen (8+k'350n ))

1. Expresa

z=

En este caso, r = ~

2. Si w =(

1,-J3).

II

(r

g.

b.

(2 + 2i)lO

e.

(-2J3 + 2i)'

h.

c.

(J3+ir

f.

(1+J3¡f

i.

=

f2 y tg(8) = 11 = 1, entonces

9= 45° o 225°, Como a = 1 Y b = 1, z está ubicado en el

l.

-: I

Jl1 + (-J3)'

Raíces cuadradas de 1 + i

c. Raíces cuartas de -1 + i

f.

Raices cúbicas de -i

8= 120' o 300"' Como a = 1 Y

=- J3,entonces

El número

8»=

2'(cos(5

. 300°) + i sen(5·

300°»=

32(cos(I.5000)

"

7(:.

1"'1"'\lr

• '.L

~ '"

:;,

__!,"

+ i· sen( 45°)

fii

""\ ~/""

representado

en forma trigo no métrica es:

6

);12 (cos( 165°)+

i· sen( 155°)) Y

, son: ' con k = 0, 1 Y2. Por lo tanto, las ralces

J2 (cos( 285°) +i· sen( 285°))

+

i sen(3000)

2. De los siguientes números,

-

cos (135° + 3k • 360°)' + 1• sen (135° + 3k . 3600))

fi (cos( 45°)

\ \.

E) -cos(3300) + i sen(3300)

+ i sen(l.5000)),

las raíces cúbicas de z = -2 + 2i.

'IE( "8

:;;

B) cos(3300) + i sen(3300)

11.

18

= .(¡

-.!.i+

.r:

~

111.

¿cuál(es) es (son) raiz cuarta de 12 (COS(135°)+ isen( 135°»)7

12(cos(123,7S0)+ isen(m,7So)) 12(cos( 200,7So)+isen( 200, 75°)) 12(COs(303,75°)+isen(303,75°))

A) Solo 1 B) Solo 11

e) Solo 111 D) Solo 1y 111

3. ¿Cuál(es) de los siguientes números

E) 1,11Y 111

complejos tiene(n) como raices cuadradas

1. -36i 11. -36 111.36i A) Solo I B) Solo 11

e) Sololyll O) Solo I y 111

E)

1,11Y 111

A

--~ '

\

A) cos(3000) - i sen(3000)

1.

En este caso, r = y 8 = 135° o 315°. Como (-2, 2) está en el segundo cuadrante, se considera 9= 135°. Las raíces cúbicas se obtienen de: Zk

~-

Marca la alternativa correcta,

D) -COS(3000) = 2 Y tg(8)=-:- ~

-

r(cosrn- e) + i senm-

3. Determina

mi.

d. Raices cuadradas de 3 +

1~2

e) cos(3300) - i sen(3300)

calcula w'.

Para calcular w', se usa la formula de De Moivre, con n = 5 Y e = 300°:

I

Por ejemplo, las raíces qumtas de - 32 son 2,ó" 2:""" 2.;,. 2,,,_ Y 2"". Luego, al graficar se tiene:

(~-1r

e.

o

lO=

(~-1ir

b. Raíces quintas de i.

2

es 2(cos(3000) + i sen(3000».

i

o

(1-13f

~~ 11'••

b = - J3, w está ubicado en el cuarto cuadrante, se considera e = 300°. Así, la forma polar es 2"". y la trigonométrica

¡

-3+31

a. Raíces cuadradas de i,

GtBIl

'~&>

í

En este caso, r =

d.

1

primer cuadrante, se considera e = 45°, Así, la forma polar es .J2", y la trigonométrica es .J2(cos( 45°) + i· sen( 45°»

I

(-1 - i)5

3. Determina.

,'i,~'

1 + i en forma polar y trigonométrica.

1

a.

2 ,,'/

Conk=0,1,2,,,.,n-l

Ejercicios resueltos

complejos.

2,

Las raíces n-ésirnas de z = a + bi son:

Fórmula de De Moivre

l

~~~;i\~'

de números

Geométricamente, las raíces n-ésimas de un complejo z son las ' coordenadas de los vértices de un polígono regular de n lados inscrito en una circunferencia de radio r centrada "n el origen del plano.

a 6,.. y 6,,0"?

i~:

.:'

\ .. j

•• 11 Si z = S - 1Si, entonces es falso que:

4.

lnsfrucdones Esta prueba consta de 16 preguntas. Cada una tiene cinco opciones, señaladas con las letras A, B, C, D y E, una sola de las cuales es la respuesta correcta.

1.

Dispones de:SS minutos para responderla .:

l.

Números imaginarios y números complejos La expresión Jp-q

1.

1

5.

es un número imaginario si:

A)

Re(z) = 5

B)

Im(z) =-15i

C) D)

(Im(z»' = 225 Im(z) = -3 Re(z)

E)

Re(z) = z + 1Si

Si a, b E lR Y (3 - a) + (2 + b)i = -3i + 5, entonces a y b son, respectivamente: A)

6 Y3

B)

2 y-S

C)

-2 y-S

Solo I

O)

-2 Y1

B)

Solo I1

E)

5 y-3

C)

Solo 111

O)

Solo 11 y 111

E)

1,11 Y 111

l. P ~q 11. p=q 111. P ~·;::j~\,tl,~~;-.;'?l::~,·-·

'-~~:...]·~!~~;~I!~~·~~;,

."0:.'; -.• : .••..

Factor común:

Ejemplo: si se tienela éxpreSi9!Í algebiaiql.28x'_+:14x2·,~;,2''':'' ._~.~ .. /'.~t,~,'}:5~··" ' .. ::'::''':)}.-¿;'.-

~'~~~i::4~~l':\:*~\1~{:prg~f~~·'":,. ...,, "...._~',',__,__.~:.

'p._"

"

.

':'

_

•

i. -},

-~.'¡.

':

'-;;;?,:,-_,"

"~ ;~

.Ias expresionesalgel>raiOlS fracdonarias son;representaciones dé la ~O!!lJa.-,donde P y Q son ~,_.~"~?~';~;:~:;~~ ~,~~:~~~~;~··:~:;~Aj¡t;? ~.;~~{~~~~S~~;~·~:~~~' ;Z::~\-~~f.t "t~.f"2;-~_.:t:~,Z:>:'r.;i·(/~~i~ú~--.'l;_.}; ~":~' .' . expresiones,algebraicas cúalquiera, ton Q *0. Por ejemplo:;:.'~~~, ;.~ =1".i; ':';i :'-;; i -. :',:. .:~

~;~--

4, se anula pa~a y';; ~,ya q~e 4 -'4';'0. 16+V . .... . .

V-

Si el denominador de la fracción algebraica es cero para algún valor de las variables, se dice que la fracción algebraica no está definida para dimos valores de las variables.

f. b' + 7b - 30 =

+ 25 =

Ejemplo: b. w' +~w+~= 6 6

g.

c. x'-x-6=

h. x'+~x-~=

la expresión

a' - 5a - 84 =

3

~ -1 ~o está definida para x = ~3 Y x = ;~ya cue (-3')2 - 9 = O Y 3' - 9 = O.

x -9·

Ejercicio resuelto

9

~i , 6 16 a +-a--= 5 25

d. z' - .2..z+~= 10 100

1. ¿Para qué valores de m la expresión

~

e. w'

¡.

+ 2w - 63 =

a,+2a-2 3

=

'. m' +4m-45 La expreslon , m -lOm+24

algebraiea

m,' + 4m - 45 se anula? ¿y para cuáles no está definida? m -lQm+ 24

se anula cuando m' + 4m - 15 = (m

+

9)(m - 5) = O

Luego, m = -9 o m = 5. ~

Marca la alternativa correcta.

Comprobación:

1. ¿Cuál es el área que puede cubrir una baldosa rectangular A) (z - 25) cm' B) (z - 25)2 cm' 2, Si un terreno rectangular terreno?

cuyas dimensiones

C) (z' - 25) cm' O) (z' - 25)' cm'

son (z - 5) cm y (z + 5) cm?

Si m = -9, se tiene que: (-9 + 9)(-9 - 5) = O· (-14) = O.

E) (z' - 5)' cm'

tiene una superfide que mide (x' + 21x + 20) m', «uáles son las dimensiones

Si m = 5, se tiene que (5 + 9)(5 - 5) = 14· O = O. del

~ ~ ~

~. K: Vr

~!

A) (x + 20) m V (x + 1) m B) (x + 5) m y (x + 4) m

C) (x + 7) m y (x + 3) m O) (x - 20) m y (x - 1) m

3. ¿Cuál es la longitud del lado de un cuadrado cuya área se puede representar (25x' - 2OX' + 4) cm'? A) (5x - 2) cm B) (5x' - 4) cm

C) (5x' - 2) cm D) (25x' - 2) cm

E) (x - 5) m y (x - 4) m con la expresión

;l

=*

§

~s, ~ ~

-o '.,:

-ti

~f

~ ~

~~ ~~

:;,

E) (25x' - 4) cm

~~ ~,~

e -." o;

u~ ~ ~ w ©

1no

·5

~

Ahora, al determinar los valores de m para los que no está definida la expresión algebraica se tiene que m'- 10m + 24 = (m - 4)(m - 6) = O =? m = 4 o m = 6. Comprobación: Si m =4, se tiene que: (4 - 4)(4 - 6) = O· (-2) = O.

V',

~ .1)

e

e

o

-e

'"y'

Si m = 6, se tiene que: (6 - 4)(6 - 6) = 2 • 0=0.

m' + 4m - 45, m' -lOm+24

5.1 Multiplicación y división de expresiones algebraicas fraccionarias

Ejercicios prepuestos l. Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas fraccionarías. p-5 4-p

a. --"

2ab c. -, ' para a = O, b = 2 Y c = -2. 3c

para p = -1.

[

1 [

4m -7 b. --, para m =-2 y n =0. 3-n 2

l2.

~ Amplificar una expresión algebraica fracá~naría consiste en multiplicarpor una misma expresión ,algebraica tanto el numerador como el denominador de lafracciónalgebraica original.

1

(x -1)(x + 2) x- 2

l'

fj,i~

i

w+l

I

b.

c. 3w- 5 Se anula para

Está definida para

Está definida para

(x-1)(x + 2) x(x + 2)

i

¡

y - y y-

4z+ 5 c. --conz>1 -- z 4

I

~

~ -

b. ~ conx< 1. x -1

!

~

x' d. -,-conxeR x +1

~

1

4

] .t:

~f v~

v "o."; j ~~

O "i:C.

0.1\

V 'ti'

;~, 11'I","

-:; o 3.

"" ""....

. •.

y-S yl +6y+5'

y' - 27 , y' + 2y 4y-12' y' +5y 1

y-S

~(yl+3y+9)-y-~

el: ~q' t.n ~~

~

(y - 5)(Y' + 3y + 9) 4(y + 1)(y + 2)

~;i

f~ ~~" ~·t .-:f. . c:~

2ey'" O.

1

~ ~

;;;1

l;y;t

L

Resuelve las siguientes operaciones entre fracciones algebraicas.

"~

4~

3

o

.

"11"

N =~;doodey* .. --< y

= ~(Y+I)'

o~

1

y

-"

]':~ ..c. .•.~

-'----

* ± 3, x *- 2,

Antes de realizar las operaciones es recomendable factorizar, luego simplificary así operar expresiones algebraicas fraccionarias más reducidas.

.;~

"'O

x-3

'doocIex

Ejercicio resuelto

..

Clasifica las siguientes expresiones algebraicas fraccionarias en mayores, menores o iguales que cero. Para ello, considera 105 datos entregados. p: ..-:;.

2.

.

Ejercicios resueltos Determina si x = 1 o x = 2 es solución de la ecuación 2x+3-x=7-x, Sise reemplaza x = 1 en el lado izquierdo de la ecuación, se obtiene: 2 • l. + 3 - 1 = 2 + 3 - 1 = 4; mientras que en el lado derecho se obtiene: 7 -1 =6. Como los resultados son distintos, se dice que x = 1 no es solución de la Ecuación, Por otra parte. al reemplazar x = 2 en el lado izquierdo de la ecuación, se obtiene: 2 • 2 + 3 - 2 = 4 + 3 - 2 = 5, Y en el lado derecho: 7 - 2 = 5. Por lo tanto. x = 2 es solución de la ecuación. ya que en ambos lados de la igualdad se obtuvo el mismo resultado.

En general, en las ecuaciones se utilizan las siguientes propiedades de las igualdades:

~2-x¡=3-x¡

Se dirá que ningún valor las hace verdaderas; por lo tanto, son falsas. Por ejemplo. si se utilizan en estos casos propiedades de la igualdad. se lIegariaa una contradicción. / + (-x) Propiedad aditiva / Neutro aditivo

x+3=x+2 x + 3 + (-x) = x + 2 + (-x)

I 3 = 2 1..

Falso

Propiedad aditiva Alsumar una misma cantidad o expresión a una ecuación, la Igualdad se mantiene. Sia. b, CE::: a = b si y solo si a+c=b+c.

3,

8

~

K~

1

'" :g'"

'"~

:J 'O

::J

'O

" ~

s:

e

e. ~

c. ~a - (~- ~a)

f.

4

3

= 5,

para a =12. 4

- 2b=6, para b = -3.

~_5

1 2 - [; - -;. para x = 2.

Representa con una ecuación los siguientes enunciados. Observa el ejemplo: El cuádruplo de un número equivale al mismo número disminuido en siete unidades.

I¡

Ecuación: si x representa al número, entonces se tiene que:

11

4x = x - 7.

:<

'iG"

Ecuación:

_._-----------------~--

c. Dos números positivos están en la razón 4 : 5 y el doble del menor es seis unidades mayor que el mayor. Ecuación:

_

¿:

e,

q

•••• _

b. 3y + 4 - 12y = 5 - (y - 3), para y = -D,S.

b. Lasuma de tres números enteros consecutivos es 456.

e -o

:;;

..

~ AA •••• ,... ••••• .:;.:

d. x' + x = 6. para x = 2.

Ecuación: __ Propiedad multiplicativa Almultiplicar por una misma cantidad o expresión no nula una ecuación. la igualdad se mantiene. Sia. b, c E 2 con c "" o: a = b si y solo si a'c=b,c

c: o

("1 Alle

a. x + 25 = 2x + 13, para x = 12.

a. Lasuma de dos números impares consecutivos es 172.

'o

11n

•

Comprueba si el valor dado para cada incógnita ~. solución de la ecuación .

3

2. ¿Son verdaderas las siguientes proposiciones? .x+3=x+2

0.5(1 - x) + 0,5(1 + x) = x

--

.

1.

1.

~

:t¡,;:::;-":

Para compró bar si un valor es' S;;1~dón de la ~;ciÓn; .~~det¡r:'~isati~':c~' I~'fg~ald~d/'s~d~be reemplazar;:;' ~ la incógnita por dicho valor y verificar que se cumpla la igualdad, ' ,::,o~.·. , ó ", ,;;, .'i'-

•

c. 14 + x - 84 = 2(x + 30)

real x:';' .l'· '1;7:··W[;.;r::

-,_.'.:' :~,,,:,;:':~;i".LM":.'-~-:t ~~·.::',~·~';~v~i.!..·:i.:.~.., :~:~ ....• ,~.:i:.~' ..

e. 9,4 + O.6Q= 2(0,3q + 4))

IOy-2=2-1Oy

~

t;:t{,~~~~g}i~~;Z~lY~WL.;: :.,.';: '.' ··:':;i?;~ numero

cuando e,l;a!~~~.~~I:in(~~~~~1,3/,~;d~ir;t,ij:1.r./ (x + 1)2 = x2 + 2X :. I eS'una identidad, ya,que es.verdadera ¡Jara' cúaIquier

2) - (z + 2) = 2z + 4

•

•

Si la igualdad eSveraaaernpara 'áíálqúiérvafof de lasi~éógñiiá

2"; 5 és

3(u

4

," ''.,;~··,~'''~·'~/i~h~-d; -~.!~~'::.~:~~~-'.' .~'::~~I:'~:~'., ..'>:',~:_~'~'-~':'' O

x=

J

\

5-a=5-a

(i) 1\,=

a=

\~_-------~ f. mX+b=a nx+c

(

'---------

De la fórmula se pueden obtener

c

a

1

=5-a.

En este caso, el denominador de la expresión resultante debe ser distinto de cero, es decir, a # -2.

J

b. y-3(a+p)=5(y-lla+p)

1

5-a x=-a+2

3

e. -=b-a

[c=

.;"':a(!:~~}2G:~)~~-a: [5 j .~0 •

(a+2).

~L)

2

a. 3a(c + 4) - a(c +b) = a(c + 7)

- . ,,:.{~-,;. .t~ .":

','

'"

Ejemplo:

literales.

--

-

X=

-..J

_~. - --_.~--

x

h

t+2

.

.y +

z

O,12S-9(V-3Z)=4(Z-Y) 5

x=

y=

(iii) t = x. - x,

t'

~

-,

Como en este caso la pregunta hace referencia a la rapidez inicial de la partícula, se utiliza la fórmula (ii). Se tiene 30m- 5m Vo = = 2,5 mIs.

Marca la alternativa

correcta.

1. Dada la ecuación 2ac - b = a - 2 + 4b, Si a = - 1 Yb = 2, «ual es el valor de e?

entonces que:

A) 7

105

B) 3,5

2. Respecto a la ecuación

2. El área (A)del siguiente trapecio es 27 cm', «uál es la medida de b?

A) -7

e) 2,5

D) -3,5

E) -7

(5 - 2k)x - 3k + J2 = O, «uál es el valor de k si x = - J? B) -3,4

C) O

D) 3,4

Ej 7

Si se despeja b de la fórmula A = a + b -h, se tiene que: 2

--a=Scm_~ A = (a + b) ,h 2 2A=(a+b).h 2A -¡;-=a+b

l :2 1 1·¡-;;h>,O / + (-a)

2A -¡;--a=b Luego, reemplazando 105 valores de a, h y A. se obtiene: b=

2·27 cm' 54 - 5cm=-cm 4,5 cm 4,5

3. c'

(P) d e un tnangu . . Io equi'1'atero es --a + b + Se cm y se sa b e que a = 4, b = 8 Y c = 1, «ua . '1 es Ia

'8 ~ o-

A) - cm

'"re ~ ~ a:

4. Si el perímetro ancho?

17

:l

d'J ~; c .•.. o· :Q ~:

9,"

17

B) -cm 12

4

s. =' _:~.

~\

- Scm =12cm - Scm = 7 cm

SI· e l' penmetro

medida de 105 lados del triángulo? 13 e) -cm 4

D)

~cm 12

E)

13 -cm 12

de un rectángulo es (8x + 4p) cm V su largo mide (3x + p) cm, «uál es la medida de su

A) (2x + 2p) cm

~

4

B) (2x + p) cm

e) (x + 2p) cm

D) (x + p) cm

E)

x

+

2

P cm

,¡¡¡ ~ i Ejercicios propuestos

1.3 Ecuaciones racionales

1. Resuelve las siguientes ecuaciones racionales y verifica la pertinencia de la solución obtenida. Una ecuaóón racional es una ecuación cuya incógnita está en el denominador de las expresiones algebraicas fraccionarias que componen la igualdad, , 1 3 p+2 1 Elemplos: = -, -:,:-'-_x-l 8 P -2p+l p-l

2x

1

x+4

x-S

a. --+--=2

b Para resolver una ecuación racional se pueden seguir los siguientes pasos:

'i.:J.. _ ~ , y+3

d. Y - 3 y+2

= _1_

Sy-l

x-2 x-4 e, --=-x-l x-S

y-3

y-3

= 1+ 5y

1° Se calcula el m.em. entre los denominadores de las fracciones algebraicas y se establecen las restricciones

para las cuales las fracciones algebraicaspresentes no están definidas,

i~i

2° Se multiplican ambos miembros de la ecuación por el m.c.m. y se simplifican las fracciones algebraicas. 3° Se resuelve la ecuación obtenida. 2 1 3 -+-=x-1 2x x 2.2x,{V1)

1.)X'(X-1)

rD

3·2j(X-1)

j

/'

-x=-S

Z- 1

2

1

z + 1 z' -

1

2.

Analiza el siguiente procedimiento. Luego, resuelve,

~,

1:

Iif' d

{ ?~

smp lCan o

4x+x-1=5(x-1) SX-1=5x-5

-+-=-•

~ '%

/·m,c.m.(x-l,2x,X)=2x(x-l)

+;f.

3

f

.~

4° Se verifica que el valor obtenido es solución de la ecuación racional. Ejemplo' ,

a+ 2 2 c. --=a' - 4 5

j+(-5x+1)

'\:

/-(-1)

,

1

1

"

"

"

Al resolver la ecuación 1+ -= =, se tiene qüe para x ;é O Y x ;é -1 es posible realizar lo siguiente: 1 5 1+x 1 1 1 1 x 1 x+ 1+ x 1 2x+l ¡-1+ --= - Y= 2x - 1,se fiene; " '. - - .' i. ...- . ';,:

.

•.

I

y=2x-l

-2

-5

-1

-3

O

-1

1

1

2

3

'r-

~

08

'r

3

- '""

!

7)

11 (19

,"----' 1._.J Sí

,.-----..

Sí

i

.:.::..1=

y+ 1

2

~

I

No

1

No

Sí

"---)

2. Analiza la siguiente información.

Luego, responde;

Un sistema de dos ecuaciones lineales tiene infinitas soluciones si gráficamente cada una de las ecuaciones se puede representar a través de una misma recta, es decir, dos rectas coincidentes.

Por ejemplo, si se tiene el siguiente sistema de ecuaciones (1) x - y = ~ ,.

cx+dy=f

Al considerar el sistema (1) x - y = 6

3

00

\

(2)

y

~---_1

o

-,

x+y=9

;~X~~,~_~':::~~ ;' -;:PararesOlver 'un sistema de dos ecuaciones linealeScon'dós incógnitaS es posibleútilizar él método de ;:,:,,~~,ó~

f~~!Jl~m~l,~~V~~~. ;' - 2° ,SeJeemplaza la epreson obtef)lpa en la otra ecuadón y se"c."" calcula el valor de la otra incógnita:' .?.'?)';: ;o~ ,p:, t .•• ;;" ..... ~-,\;~;~...__ ;-;"'_,.c '_~.,,;·c-·~-·o~·_.' •• ~~._ ,-'::" ._~-",".~'::::_íi~" 3; S~'Cal~ul~'~1~1(;r de la incóg~ita en' la ~~dÓn' I¡~~al 4°~nalrri~nte; ;e'r~mplaza en tina de las ecuadonés.del sistema elvelor obtenido y se calcula el valór de la 6tr~.i~c~gnt~>;'",; , "'"~,,,;,,:,~: ":" ' •' -"0,-

,~',;

'.,

~'I

~'-',.

~bt;~(da:"'.'

"~o

~.'

Ejemplo: al utilizar el método de igualación para resolver el sistema (1) -x + y = 8 I se tiene lo siguiente: (2) -4x+y=17 ,

;«:, .i&

(2)2x+5y=3

:,;¡;

~ \·

1° Si se multiplica la ecuación (1) por -2, se obtiene la ecuación (3) -2x - 2y = 2,

•••4

t

.~

Representación gráfica

.-r'-------

r-----

3° Se resuelve la ecuación obtenida: 8 + x = 17+ 4x / + (-x) 8=17+3x /+(':'17) -9=3x

Ejemplo: para resolver el sistema (1) x + y = -11 con el método de reducción se tiene lo siguiente:

,

1° Si seclespeja en ambasecuaciones la incóg~itay,seobtiene: y=8+x y=17+4x 0 2 Al igualar las expresiones, se tiene: 8 + x = 17 + 4x,

2° Luego, se suman las ecuaciones (2) y (3) Y se tiene:

;

~-~ \~.

:;'4

1

3

En(1),x+~=-1

1,--X -2

-1

x=--

o

Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones corresponde al punto P(-3,5),

x + 2y = - 3 -2x+y=l

-3

-¡

=:......"

'Ir

-'~ -1

-2

8

(1)

3

p( - ~. ~)-

Ejercicios propuestos

Utiliza el método de igualación para determinar la solución de cada sistema, a,

-4

Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones corresponde al punto

Ejercicios propuestos

!

/+(-~)

~/

-(-3) +v =B

-3

(2)x

ya sea (1) o (2), para obtener el valor de la incógnita x

~~.,-,-,

y=S

_.~_~_---i

4° Se reemplaza y = ~ en una de las ecuaciones del sistema,

, - '3

+ (-3)

y

- .t" a--:cs} 3' p¡ --,.• _-,i, _3_3 -'~

5

3° Se resuelve la ecuación 3y = 5 ~ Y = '3 '

- 4-,

lr:

Representación gráfica

3y=5 ,

~

4° Se reemplaza x = -3 en (1),

1,

2x + Sy = 3 +-2x-'2:y=2

.,.~~-r,

1'(-3,5)

-3=x

3 +v=B]

.

El método de reducción es otra de las formas quese utilizan para resolver sistemas de ecúaconesíneales y", consiste en:

. Otra for~~ de~esoí~~r un siste~a ~e d~s ecua~io~es li~~~I~'~on{d~s':~~6~nitases el ~ét~~~ ~e igUala~Ó~ que Se explica en lossiguientes pasos: ': :',: "'X,,,,,.:~, ::'}"!'.f.~:-:-:"'- ~,,-;. ~-"'.'-.

--

x

e

1,

Utiliza el método de reducción para determinar la solución de cada sistema,

c;'

'3+y='3

2

e, ~ + Y=3 2 4

x+

x-Y=l

2y=12

-o

§

a, 2x+1Oy=-S -3x-2y=2

e

ª'~~ ~

5

4

1 2

e, l,5x - 2,5y = 0,51 O,5x + l,5y = -0,1

~-~=1

...

5

2x 3y e -+-=-

2

~":"

5

:g ,.

~~ b. 0,2x - O,3y = 1 O, Ix + 0,6y

=2

d. -3X-SY=1\ y=2

f.

x - Sy = 1 2x+ y=-S

o:~~,.

b J

x y ---=1

, 3

4

x y -+-=1 5

d. ~+Y=1 5 4 x+y=l

f,

J2x-J3y=l J5x-J6y=-1

2

H

):

3.2.4 Método de Cramer

Ejercicios propuestos 1. Utiliza el método de Cramer para determinar la solución de cada sistema.

;"

I

e,

M=

8

.1Y=

La solución del sistema es:

'!t

"$

",

--~.

L

I ...':(:'

~

HUU"\

M=

M=

Ii

!@..=

@..=

i

=

I

1

@..=

1 j'

t"y

La solución del sistema es:

La solución del sistema es:

l=--d,

b. 1,5x- O,6y = 1

~~ -+ ~ -;'t,:

-2x+3y=-1

',;:

I

.1Y=

~ ;-~1J 'ii-

J5x+ 2y= 1

.JlOx + 3.J2y= 1

(

..

i

4

4

!. ~,

3

1 3 -x--y=1

J ~;

1

2

c. -x+-y=2

a, x + 2y= 11 2x+y=3

-----,-----.-/

5

f,

-x+4y=10 2 1

2

4

5

-x--y=l

O, 2x'- 0,3y = 2

-2x+3y~ 20.!~

-

,,,

, Utilizando lo anterior, es posible obtener las soluciones de un sistema de ecuaciones 'de la forma

::~'~::I

d~la siguiente maner:

ed

x x =A =

:'~f::'/'

M=

M=

@..=

!1;í=

;D.Y=

.1y=

~y=

La solución del sistema es

La solución del sistema es:

".;

Cua,~do ~A= 0, no es

d _ be a

.1

M= @..=

';':.

¡

' posible utilizar el método de Cramer.

La solución del sistema es:

Este método se conoce como el método de Cramer para resolver sistemas d~ ecuaciones lineales.

---,------ -

, ~::

Ejercicio resuelto

2. Analiza cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones. Luego, responde,

1, Determina la solución del sistema 8x + 3y= 51 utilizando el método de Cramer, 3x+4y=1

,

iad l si

(8 3J

(5

Las rnatnces asocia as a sistema son: A = 3 4; X = 1

!Je

y=(~

~)

Luego, al calcular los determinantes, se tiene que: M=8·4-3·3

• Antes de resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de Cramer, es recomendable ordenar las ecuaciones. Por ejemplo. al ordenar el sistema: 3 5x - 2y=-

.1Y=8·1-S·3

.1X = 5·4 - 3·1

=23

2

=-7

=17

-y + 5 = x

(1) -3x+py=q "':', C:, -o,

8.'

-6/ ~~'

Por lo tanto: x=-=-' .1A

17

23'

!J.Y

y=-=--, M

7

Resulta

23

Finalmente, la solución del sistema de ecuaciones corresponde al punto

5x-2y=-

p(.!2 _2.1, \23'

23}

3 2

x+y=5

12x+ 4y = 10

~l

~'R .• :;;'~, ~t ~w ~'

(2)

(p-l)x + y=q 3x+(p+ l)y=6

-=

~

~~

lO, "O',

'

.1X

- ._---

a, ¿Para qué valores de p y q, respectivamente, el sistema (1) tiene una única solución? ¿y para qué valores no tiene solución?

~ b. ¿Para qué valores de p y q, respectivamente, el sistema (2) tiene infinitas soluciones' ¿y para qué valores tiene una única solución'

,g'Ja

:.a- -.:~ uJ";

5x

h.

c. 7x+4';?:3.x 3

f. x' - (2x -1) :O~{(P>O

· I E illillIlli!:

Ejercicios resueltos 1. Completa la resolución de cada inecuación. Luego, representa el conjunto solución en la recta numérica.

a.

-x+9>2+2x -3x+9>2 -3x>-7 x O). Resolviendo las inecuaciones y grafkando el conjunto solución, se tiene:

/+(-2x) /+(-9)

--

/\ Q>O) v (P_;-i;;!':.:0;~;.{~7~"·':: ' ~r'~.2':../·;"~.-~.¡.I .-: '" 1° Se féSlfelVeri'cada tína'de Ias·in·eruacion'es I.nvoludadas: .'1~':··l'"~ "",o •.

:._ ';",~,;"'~~f!i..",,~! ..

Y-.-~~~.:.:,,: __

1~'

A

b. Si la suma de dos números enteros impares consecutivos es, a lo más, 56, «uáles son los mayores números enteros que cumplen dicha condición?

.~~

~

$"

1 .JJ

.,':

,

/',;,.<

'~._.•,-< .:. (1) -4X~ 2:53 !x·/ + (-2- '1)

•• '

.•

x+l>-x-8

.': ,

.••••

/+(x-l)

2x > -9 l

1

~1.i;:~~«;:~~:i1~f,~;~~.I.f~~" 1

,

x~-5

f -' -;.i ~

x>--

-. [-~'+1

r :

.' 9

2

~

2

.L,o

En este caso, la solución de la inecuadón con valor absoluto corresj)(lllderc\11 la"iiltersecdón dé las :i:,,;,¿ soluciones de (1) (2). . '.• '. "'~::i" .: . ,.). '; -. ::,' r' Ejemplo: ~X+lO¡;;'15 1\ -x+,.0c

~~

""

(1)

1. Elsueldo que recibe una persona fluctúa entre S 375.000 Y S 550.000. Si mensualmente considera un gasto

que varía entre S 160.000 Y S 180.000, ahorrando el resto, «uáles son el monto mínimo y el máximo que puede ahorrar mensualmente?

:-:.-:~ .: -.,-. (:',\\(J ..

'

.: (2)

Para calcular el monto mínimo que puede ahorrar mensualmente se tiene que:

.Ós:

de

(1) x + 180.000 ~ 375.000

En este caso, la solución de la inecuación con valor absoluto ~orres¡)ond~ráa iat~iÓn 1aS~I~cion~ de (1) y (2). '. '. . ,', ',." Ejemplo: 13x- al ~ -2 3x - a:5 2v 3x- 8~ -2 . ":", ... "': /\,..,/.'

~::,:~:'\':k"'!:tc"("'." .., "o'

I

.,,""',

Mientras que para calcular el monto máximo que puede ahorrar mensualmente se tiene que:

'

3

.

Donde x representa el monto que puede ahorrar mensualmente . 'O

'"

."

-,:;:

j~

• ~.::'

x + 160.000 S 550.000

Así, resolviendo (1) x + 180.000~ 375.0001,de (1) se tiene que x ~ 195.000 Y de (2), x :5 390000, que son los (2) x + 160.000:5550.000

e

Así.13x-81 ~ -2 es verdadero Para Q¡¡¡iquierXE lR, ya que !xl ~ . -. -

(2)

. 1 •• "

,.. 3x:510 v 3x~6 . . fo x:5- v x~2

o.~~

.;.~,

~~ -"---:~-, ~~

.,-.:~.

,~-'-...""-,_

c{.

1 ~ ,e o.

Resuelve las siguientes inecuadones, luego. grsfica su conjunto solución. b. 10,2x- 11> 1

::;' v.>_

c. 12x+ ~+ 2 :5 ~

4

montos mínimo y máximo que puede ahorrar la persona mensualmente.

e ~

i!>.

E¡ercicios propuestos

a. 15x+%I~ O

•

Luego la solución, está dada por.

(2) ~+ 1> ~(x +8)

-5x:51 / {-~)

fu.1Qs siguientes~?-;": :::.~.

1.

' ",

>.,~~'

-9

~:

" .""

losint~rv~i~ solu~ión de I~sinecuaciones' que

_ :~:c~y::;~~~~e~~e:~~'-:·:~2,.,~>o.~.::,;,~.Y,: . '.' .:, ~'.. .• " '~: se ti~ne'eISiguiente'siSterrtá'de in'eeuaClones(1)-4x"+2~ n x' r.Ó. . (2) j('+ l>~(X ~8)

,'.'-. ··~~~;l~~~;> ..·~ 2? A) ,-

:

• J¡ I

D)~

:;

lfI~:

(1) por si sola

.

~I

(1) m = 1

A)

+oo[ H. +oo[ ]-oo,-H [-2,

(1) tiene más de 6 años

es el valor de x - y?

-2

B)

-2[

00,

Si la edad en años de Bárbara es un múltiplo de 6, es posible determinar su edad sabiendo que:

2x+y=l1 A)

° pertenece a B.

1.

-1 x - 1.

11. L, no se nterserte con la recta- - + - = 1. 2 8 111. (0, -1) pertenece a la recta L,. A)

Dado el conjunto B = {x E lR/ -2 < x::; 6}, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

D)

Cada una por si sola, (1) o (2)

.1)'

Se requiere iníorrnarion adicional

-o

B)~

"'!:\ .0.

E)

'ií Ul

(1,

idl

C)

:

,

I

."2

"2

L. ,

E)

=-; -= 1

1

1

1

,

1

*

'; !" 1C

-'-' O) En esta alternativa, solo se resolvió la ecuación: x-

7

Sea x la incógnita que representa el precio del computador. Luego, como este fue rebajado

Es decir, se calculó el precio original del

en -,2 es deci eor. -2.x, se tiene que este u'l'timo estai dad a o

7

por x--x.

7

2

5x+2-3x 3x-2 ----=-5 5

computador, que corresponde a la incógnita x, es decir, S 315.000, Y no se calculó la rebeia en el precio.

2x+2=3x-2 • /s

5

7

E) En este caso se consideró que los

Aderné emas, se sa b e que: x - -25xx = - = 225.000 7 7

corresponden

Ahora, si se resuelve la ecuación: ~ x = 225.000 7

que: - x = 225.000 7 x = 787.500

/.7

5x = 1575.000

1

l :':

5

S 315.000

S 90.000

- $ 225.000 =

Distractores: En este caso se cometió un error al considerar que S 225.000 representaba el precio original x aumentado

en -,2 es deci eor, que: 7

3.x

x+

l :': 2

5x 2 - 3x 30·-+30·--=30·-235

= 225000

7

7 9

27x=-32

Entonces el precio de venta será Finalmente, la rebea fue de:

C) Al igual que en la alternativa A), se resolvió la ecuación:

x+

3. x = 225.000 7 9x - = 225.000 7

7

i :-

9

x = 175.000 Luego, se consideró este valor como el monto que correspondía a la rebaja del precio del computador.

Luego, al aplicar la propiedad distributiva para 10(2 - 3x) y 6(3x - 2), se comete un error al calcular solo el producto por los primeros términos que estén en el paréntesis, obteniéndose lo siguiente: 75x + 20 - 3x = 18x - 2 72x+20=18x-2/+(-20)+(-18x) 54x = -22

/.-

1

S

x=--

\

54

8.000

~,.

~

Si se representa por x la cantidad de monedas de total guardado. Luego, como le faltan 15 monedas para tener $ 6.500, es decir, x + 15 monedas de S 100 corresponde a S 6.500, es posible plantear la siguiente ecuación: lOOx+ 15 ·100 = 6.500

1 +(-1.500) 1 1,100

x =50

CLAVE C

Al despejar x de la ecuación se tiene: (3a + 4b) = 7bx 3a+4b 7b

S 100 que Daniela guarda, 100x representaría el monto

lOOx = 5.000

la cantidad de monedas de por 5, entonces 50· 5 = 250.

x=--

CLAVE A

l00x + 1.500 = 6.500

E) En esta alternativa, S IDO se multiplicó

~j~

¡v ,~~ $.¡;

O) En este caso, solo se calculó la cantidad de monedas de $ 100 que Daniela tenia: 50.

5

2x + 2 = 3x - 21+ (-3x) + (-2) -x=-4 l· (-1) x=4

54 22

3x-2 = __

Luego, se obtiene lo siguiente:

;

Distractores: B) En esta alternativa, después de multiplicar por 30, se obtiene 15 • 5x + 10(2 - 3x) = 6(3x - 2)

1

Finalmente, Daniela tendria 16 monedas de $ 500.

5x+2-3x

1

27

S 175.000.

$ 225.000 - $ 175.000 = S 50.000

'. siguiente manera:

,

¡.100

100

primero se comete un error al escribirla de la / + (-20) + ( -18x)

32

x=--

l00x=8.ooo

+ 1.500

x=80

63

27

x = 175.000

= 6500

x=--

3x - 2 E) A partir. di"e a ecuaclon -5x + --2 - 3x = __ , 2 3 5

/.-

lOOx + 1.500 - 1500

8

x=-

75x + 20 - 30x = 18x - 12

/.

C) Al sumar (-1.500) en ambos lados de la ecuación: 100x + 1.500'" 6.500, se cometió un error de signos y se obtuvo:

63

3x - 2

45x + 20 = 18x - 12

6.500 : 500 = 13

1

63x=8/·-

15· Sx + 10(2 - 3x) = 6(3x - 2)

= 225.000

B) En este caso se cometió un error al asumir que la cantidad de dinero que Daniela tenía guardado es $ 6500. Luego, el número de monedas de $ 500 se obtiene de la siguiente manera:

45x + 18x + 20 - 20 = 18x -18x -12 + 20

Para resolver la ecuación es posible amplificar por el mínimo común múltiplo entre 2, 3 Y 5, que es 30, y se obtiene lo siguiente:

Resolviendo esta ecuación:

2.x

O) En el procedimiento que se lleva a cabo para resolver la ecuación se comete un error al sumar (-18x) y (-20) en ambos miembros de la ecuación, obteniéndose:

CLAVE A

7

5

2x=3x~x=0

$ 787500 - $ 225.000 = $ 562500

e

Distractores:

Luego, se cancelan en ambos miembros de la ecuación los números 2 y -2, asumiendo que tienen los mismos signos, obteniendo:

7

Entonces, la cantidad de monedas de $ 500 se obtiene al dividir la cantidad de monedas de $ 100 por 5, es decir, 50: 5 = ID. Finalmente, la cantidad de monedas de $ 500 son 10.

2x+2=3x-2

'.i;;•••. ~1

Entonces, la rebaja en este caso sería de $ 562.500, ya que

x = 315.000 Por lo tanto, el precio original del computador es $ 315.000. Y la rebaja del precio es $ 90.000, ya que

3. x

7 a $ 225.000. Luego, se tiene

2

A)

. 5x 2-3x e) En este caso, al sumar las expresiones - y __ 2 3 se comete un error, obteniendo:

3.x = 225000

Para responder de manera correcta esta pregunta, primero se puede analizar cada una de las proposiciones por separado y determinar si entregan suficiente información por si solas. Al considerar válida la condición (1), no es posible determinar el valor, ya que x depende del valor de b. Por lo tanto, la condición (1) por sí sola no es suficiente para determinar el valor numérico de x. Al considerar válida la condición (2), tampoco es posible determinar el valor numérico de x pues depende del valor de a.

't't-,.'2'·",,'?' 12-' • .,

-

'C

11111 Por lo tanto, la condición (2) por si sola no es suficiente para determinar el valor numérico de x. Si ahora se consideran (l) y (2) de manera simultánea, se conocen los valores de a y b, respectivamente. Luego, es posible determinar el valor numérico de x en la ecuaciónplanteada. Finalmente, considerando (1) y (2) juntas, es posible determinar el valor de x.

Al distribuir p(l + qx) se cometió un error al no multiplicar por p los dos términos del paréntesis, obteniéndose p + qx. p+qx=s-x

IJ

qx+x=5-p /.--

1

(q+ 1)

5-p x=q+1

"~·"--;;i~~"íf~W\iPCf¡r.~r~;;¡¡ 1Ii:.II)~!L'{~~~~,~~'~K~

5- x

p(l+qx)= p+pqx=5-x

I+(-p)+x

pqx+x=s-p x(pq + 1) = 5 - p

1

l : (pq + 1)

5-p pq+ 1

x= ._-

Luego, al no considerar el signo de -(1 + qx) al lado derecho de la igualdad, se produce un error, obteniéndose:

-p-pqx=5-x

I+p+x

A) Enel procedimiento que se lleva a cabo para resolver la ecuación se tiene que: p=-

S-x /·(l+qx) 1+ qx

p( 1+ qx) = 5 - x p+pqx=s-x

/ +(-p)+x

Al no sumar la incógnita x a ambos lados de la igualdad se comete un error y se obtiene lo siguiente: pqx=5-p x(pq)

=5

5-p pq

x=~

B) En esta alternativa, al resolver la ecuación, se tiene

que: p=-

x(-pq+l)=s+p

~J {,o

1

l· (-pq+1)

'1 ~~'. 1-2-1 ,,2x>-3 3

"x>--

2

]-oo,~[.n ]-~,~oo[

=~_

Gráficamente, se tiene que _~

C) Al no aplicar correctamente la propiedad de valor absoluto en 12x + 11 > 2, se obtiene solo: 3r 2x + 1 < - 2 => X E ] , 2L

-00 - -! .

-~

~1

CLAVE O

Al resolver la inecuación con valor absoluto 12x+ 11> 2 utilizando las propiedades del valor absoluto, es posible afirmar lo siguiente:

"

2x+12

2x2-1

2x < - 3

v

2x>1

x-

7

1 2

2

se obtiene x < _3., que corresponde al intervalo XE

2x+1 2.

x4-6

+

Gráficamente, se tiene que:...

Ahora, si se considera válida la condición (2), la edad debe ser menor que 24, es decir, podría ser: 0, 6, 12

T.

x+6>4-6x

x+6x>-2-12

X E ]~,

Par lo tanto, la condición (2) por sí sola no es suficiente para responder la pregunta.

es incorrecto, ya que este número no satisface la desigualdad.

5-6x

2x + 1> 2 =>

Por lo tanto, la condición (1) por sí sola no es suficiente para responder la pregunta.

Cuya representación es:

Al comparar las opciones B), C), D) Y E) con la clave, resultan ser incompletas o incorrectas al no considerar 1, o bien incluir 11 o 111.

A) En este caso, se cometió un error al no considerar el valor absoluto de la inecuación, obteniéndose:

Gráficamente, esta solución se puede representar por

:~m --

E) Al incluir 105 extremos de los intervalos

. la slgulecte .. ] 23[] 2'1 [ ,se obtiene -00, -

y

+00

representación gráfica:

La solución corresponde al intervalo

J-oo,-fl.

]-00, - %[ U ]~, +o{ ~

Gráficamente, este se puede representar de la siguiente manera:

=-----1

-1

I

"2

-t7C "_.,j~J

•.•_~;" •••••.•• nC11

-

Ejercicios propuestos 1. Analiza la siguiente información. Luego, identifica cuál(es) de los diagramas representa(n) una función.

1. Función

f

Una manera de representar una función es mediante diagramas ~~: ..;~;i~:.~::~;;!~~;~i~~~{g1t~}:-~:'~~~l~jf~~t":L~~ :~~/· .•i~~;~::~~:l;¡,

.,",,~~k~;}·~~,i;:(~~;r~;~~~'ff~~:~·¡~&;tZ~/i~: ,:,.,',~' ,,~:i.::'~~~'/r~"~;0g~:':~;0:¡::C',,;i;r;~,~3¡~ ':~

del

yse

~ El conjunto de laspreímágenes sellania Dominio de f denotarf por DoIT1(f);" mientras 'que el •":'~ Jónjimto (fe las,ir)lágen~ (le f se ilar)la Recorrido de f y se denotará pór Reé(f)': éS iJri 'stbconj(jñto~e . '.' "'_,_, ..{;.

'l':t;.,~'..4.)':';"

•

", 'Ejemplo: lá'rn~aidá

,

~_::".'I;.;it'_}:~:}~:-~:t:';{'f->"

.' ', ;,

,':

..•

~

"

esfera y su volumen

'def-radío'¡ deuna

. '/:

que

v se pueden

B.' '::', .

relacionar utilizando la funciÓn

~:',~: 4' '.•'~.: ~" ~.', :;'~"",~, ',:{::; ~,-, ' . .:-·~·:;:;"!,,.,·,f:';"':~:>':,;>';~' '.: 'r~;- ..,~.:-: Ver) = -nr3• En este caso, r corresponde a la variable independiente y V a levariable dependiente; en. :, '",' 3 :, '>, o

,

','

'otras palabras, el volumen de la esfera depende de la medida de su radio, "

•

'

l

,

•

'

=A= {1,;'-3'-4}

!

3

Rec(0=B={-2,-3,~

.':

,i,,' ", '(:;_'-~''''':'';;::,-.:':·..:':':'·J'';'~·~':';':':'J/,··,V,.!i -;'-_

A~B

4,1

i,'i' ''F.~, '~;

a,

,.

~,'

.~.

A

h

b.

8

C.~~~~~1 -1\ ,O

"•

'"

,~

Ejercicios resueltos • Si f: A ~ B es una función:

Al valorizar la expresión algebraica que representa a g es posible reconocer las imágenes de cada elemento del dominio. De esta manera, se tiene que:

s-» = (-1)'

+ 1 = 1 + 1 =2

g(l)

= l' + 1

= 1+ 1=2

g(2) = 2' + 1 = 4 + 1 = 5

g(O) = O' + 1 = O + 1 = 1

Por lo tanto, Rec(g) = {1, 2. 5},

2. ¿Cómo se puede representar

-1, O,l}~ lR. definida

la función h: {-~,

~~~=~+TI

2

x 3 2

Representación gráfica h(x)

--

2'(-~)+3=0

-1

2·(-1)+3=1

O

2·0+3=3

1

2·1+3=5

l

I I

, L.....1

,~~._--;~-,~=-~ ---'--:"-r¡ x

: JI o ,_,,_, I 2_..__ l._ .J_......l-

Para funciones en las que el dominio es un conjunto infinito de puntos, la tabla se utilizará para identificar solo algunos de ellos,

CLAVE· Matemática

2

o

I ft

4

1

,

2x + 3 x+5

-5 €' Dormf), ya que si x = -5, el denominador es cero, iv) Si y E 8, entonces puede tener una, ninguna o varias preimágenes. Por ejemplo, considerando f IR~ ~. U {O} definida por f(x) = x', y = 9 tiene como preimágenes a x, = 3 Y x, = -3, ya que 3' = (-3)' = 9,

o

~

I

~

2. Calcula el valor de cada expresión, Para ello, considera f(x) reales,

iii) Para todo elemento x del Dom(f), la lunción está definida. Por ejemplo

~l~t-=L~ f:·_l.~ r= -~,¡-t-'2.. -!_-:-~.~~~~~ '-t-+ '-'---, 1-

178

ii) La Imagen de cada elemento x E A es única, es decir, ningún elemento del dominio tiene más de una imagen

Slf(x)=-;

En este caso, es posible representar la función en una tabla o en un gráfico, Tab la

i) Todo elemento del conjunto de partida A tiene imagen,

0,2 0,3

1,

ti

1. ¿Cuál es el recorrido de g: {-1, 0,1, 2} ~B, definida por g(x) = X' + 17

lo

= 4x -

~

Sí I

a. 1(2) + 3g(O) - h(l) =

Si f \ g son Iunoones definidas en :., ron e E : .. entonces se tiene que:

b. (f

i)

+

g)(I) - (h- g)(I) =

(f:±:

~

1, g(x) = x' + 1 Y h(x) = _x -, todas ellas x+3

g)(x) = f(xl

:±: g(x)

ii) (e- f)(x) = c • f(x)

~ Jfí .~.

0,4 l

iii) (f· gl(x) ,

,f:,

.

g(x) '"

= f(xl

O\ . s»

f(x)

IV) 1- i\X) = -

c. ( ~ }3) + (h- 0(0) =

g)

g(x)

'g~.

~,

~ifY

3. Representa gráficamente las siguientes funciones, Para ello, considera que f: N ~ Z está definida por f(x) = x + 4 Y g: IR ~ IR, por g(x) = -x + 4,

19

~-T:-=~~E=~f'~: ~:-~,~

'8~ "i! ]li 0..01.. Q1d:~

í

::t--.r---i::t,

,91' ':;,i .g~,

'-ª=l~-,.==---=--=t:

1--'--1

--,.--,-, ..-".------;-

;,¡

~

:1 :1,' :' ~~ Ui;,'

(Dl +o4{,'

~~ü~o

8IE±±=:

~~~-~--=* ~'~~~~:

Funciones

: 1\111 Ejercicios propuestos

2. Función lineal, afín y constante 1.;.:'-"

.

~.

1. Clasifica cada una de las siguientes funciones definidas en IR. Para ello, escribe lineal, afín o constante. a. f(x) = 1 - 2x ~

x

y=3x

-3 -2 -1

3· (-3) =-9 3·(-2)=-6 3· (-1) =-3 3·0=0 3·1=3 3·2=6 3·3=9

° 1 2 3

b. g(x) = 10x

c.

Función: -----

~ Función: -----

h(x) = ~ - 1 ~ Función: ----

d. w(x) =-x

~

Función:

_

2-x e. k(x) = 3

~

Función:

_

f. z(x) = 45

~

Función:

.

4

!"~

2. Representa gráficamente las siguientes funciones definidas en :R. b. h(x) = -l.3x

~:=>~E~~f!-x:~f~' ' ;:~~~'

a. g(x) = 3 Observaciones:

-.-----~--

;

i) Algebraicamente, se puede comprobar que una función f: IR -t IR es lineal si cumple con lo siguiente: f(k • x + y) = k • f(x) + f(y).

... '----

.-. -~.-.-y '1'

~...•._ ..'.-_._.- -_.

_.,_._-~

,._---..

.- ~ ...··t-,·

.- - ~.....

~

ii) S~k = 1, la función lineal f(x) = k • x se escribe como f(x) = x, y se denomina función identidad. ~

Una función f: lR. -e R, definida por f(x) = mx + n con (m, n ~ O), recibe el nombre de función afln. Por ejemplo, sea h: R x -3 -2 -1

° 1

2 3

~

-t

r-~~-'~.~~-. ·J8

IR, definida por h(x) = -x + 5.

y=-x+5

i:.

-(-3)+5=8 -(-2)+5=7 -(-1)+5=6 0+5=5 -1+5=4 -2 + 5 = 3 -3 + 5 = 2

.

¡

i

••

7

:

-,

I

•

-.

, -~---'

1 Su representación gráfica corresponde a ura recta con pendiente m que intersectaal eje Y en el punto (O, n).

!

:

1- -

.-"

f---

.- .

..

1

--_.__. ~

rm

~

• - _.0_0._

•

-,

Ejercicios resueltos 1. Determina las raíces o soluciones de las siguientes ecuaciones: . --x

Marca la alternativa correcta

S 500 como tarifa fija y S 200 por cada 150 metros recorridos. ¿Qué función representa el cobro de un viaje respecto a la distancia recorrida?

.

200 + 5(X) 150

Y =-x

B) Y = 2ool~1

ISO

+ 500

184

el AVF - M"tAm~ti,,;¡

2a

x = '2a

D) y = 200[ 150x] + 500

C) S 4.600 D) S 5.000

=O

c.

x'+6x-8=0

2 -1

9+ms ---=--=12

9+15

9 - ms --=-=-3 2

9 -15 2

2

2

E) Y = 2001500x] + 150

2. Si se cobran $ 600 al usar un estacionamiento por menos de una hora y $ 800 por cada hora o fracción adicional, «uánto se cobra por usar el estacionamiento cinco horas y 30 minutos? A) S 3.800 B) $ 4.000

4x - 21

-(-9) + ~(-9)' - 4 ·1· (-36)

-b + ~b' - 4ac X =_........:._-I

C) Y=200[1~]+5oo

xC +

a. En la ecuación x' - 9x - 36 = O es posible identificar que a = l. b = -9 Y c = - 36. Luego. aplicando la fórmula general. se tiene que:

1. Un taxista cobra

A)

b.

a. x' - 9x - 36 = O

E) $ 5.400

~ ~

Para comprobar si

XI

-b - ~b' - 4ac

=

-(-9)- )(-9)' - H· (-36) 2 -1

= 12 Y X, = -3 son soluciones de la ecuación se reemplazan estos valores en la igualdad.

Para x = 12, se tiene que: 12' - 9· 12 - 36 = 144 - 108 - 36 = O. Para x = -3, se tiene que: (-3)' - 9 • (- 3) - 36 = 9 + 27 - 36 = O.

FllncinnA~

H

•

1111 3. Analiza el siguiente procedimiento.

b. También es posible resolver una ecuación cuadrática factonzando. Por ejemplo, para obtener [as raíces x, = -7 Y X,= 3, la ecuación Xl+ 4x - 21 = O se puede factorizar como:

1

Xl + 4x - 21= O {:::}(x + 7)(x - 3) = O {:::} x+7=0 {:::} x=-7

v x=3

.

J) x -y =-7-3=-21 , " ..

11)

I

c

-x 1 =-.a I

b 4 X +y =-7+3=-4y--=--=-4,yaquex , " al'

I

ii) x, + Xl = -

a b

( Restricciones: x '# 1 Y x

6x-18+x'-4X+3=6x-6 xl+2x-1S=6x-6

ii~ Factorización: a(x - x,)(x - x,) = O

(ompletación de cuadrados de [a expresión y = axl + bx + c.

x' + 6x - 8 + 31 - 3' = O Xl + 2 - 3x - 8 + 3' - 31 = O

iJ(1 +lx+c=D

Xl +2.3x+3'-8-31

X

=0

1

1+(-&)+6

,

4±.J52 --=-

-(-4)±~(-4)1-4-1.(-9)

x

2·1

4±j4:]3

2

2

i(2±Ji3) i

4±2J13 2

1

2±

..Ji3

l-

a

/ +( ta J

b e +-x+-=O

a

)

-1)

xl-4x-9=0

c. Para determinar las soluciones de raíces de [a ecuación Xl+ 6x - 8 = O, es posible utilizar [a completación de cuadrados.

* 3.

,

6(x - 3)+(x - 3)(x -l)=6(x

b

+x =--. , a

,

60(x-l)

yí+t=~

i) x,' Xl =¡;

c

-21 y-=-=-21,yaquex a 1

1

I

,i(X-3)(X-l)

6(X-3)JV1}

c

Además:

1

X-=-¡+'6 =x=3 1- 6(x - 3)(x -1)

• Si XI Y X,son las soluciones de la ecuación axl + bx + c = O, entonces se cumple [o siguiente:

v x-3=0

Luego, resuelve.

a

a. ~

x-2-'2=-

5

x-2

b.

x - 2. 2x - 3

1

1--' =--

10

x

c. 2+--=-2x+l

+5

3

2x-l

(x + 3)1 - 17 = O Xl +~x+(~)l a 2a

(X+3)1 =17 X+3=±.J17 x=-H

X + ~)' ( 2a

.JI7

Finalrnente.x, = -3 + Jli y x, = -3 -.J17 son [as soluciones de Xl+ 6x - 8 = O.

.:

a

1 factorizando

=(~)' 2a

l = b - 4ac 4al

l x + ~ = ±Jb - 4ac 2a 4al -b- Jb x=---, 2a l

Ejercicios propuestos

4. Resuelve las siguientes ecuaciones. Para ello, utiliza la fórmula general.

y resolviendo

-

4ac

y

1

2a

v~t

lOx- 5x =0

e. 2(x - 3)' = x(x - 1)

b. x'-10x

d.

x' + 16x + 64 = O

f.

2.

x' - ~=O

;t~

36

A[ resolver la ecuación x' - 10= O se obtiene [o siguiente:

a.

x'-16=0

c.

1 RR

1":1 AIIF.

Mo,pm:\tir.

d.

d. -x' + 2x + 48 = O

h. (x - 2)' - 4 = O

k. x' + 10x + 11 = O 1.

3x' + 5x - 2 = O

Marca la alternativa correcta. de la ecuación 3x' - 2x + q = O es 64, ¿cuál es el valor de q? B) S

C) 3

O) -5

E) -6

Dada la ecuación 9x' - skx + 1 = 0, ¿cuál(es) debe(n) ser el (los) valones) de k para que [a ecuación tenga dos raíces iguales? ±~ 5

B)

±~ 6

C) 36

O) 25

E)

+~ S

¿Para qué valor de b las soluciones de Xl+ bx + 27 = O son positivas y una es el triple de la otra? B) 9

C) 3

D) -9

E) -12

4. la edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. En 24 años más, la edad del padre será el doble de la

del hijo. ¿Cuántos años tiene actualmente cada uno?

JlO

Luego, x, =

O,25xl - ~=O 4

JlO y x, =-.JlQ

A) 5 Y 25 años

~ e. 4xl + 9 =0

~ b. 234 - 2xl = 34

g. Xl+ 29 = 2(2 - Sx)

A) 12

1 + 10

Xl = 10 x= ±

c. x' + 5 = O

A) 3.

~

5x(x - 2) = 3(30 - x)

x'+2x.fi=6

:i("

Luego, resuelve las ecuaciones planteadas.

=O

j.

A) 6

i '.~~

Xl -10

f.

1. Si el discriminante

~: -,

"

x(3x - 4) + 5(2 + x) = 2(3x + 4)

b. 5x'+ 10x+ 1 =0

~.~

c.

2. Analiza el siguiente procedimiento.

1.

I:m

= -b-~

x

a. Xl + 8x + 16 = O =O

e. x' = 12x

/ despejando y resolviendo

1. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado mediante factorización. l

a. 3x' - 2x - S = O

4xl + 100 =0

f.

x'

B) 6 Y 36 años

C) 24 Y 48 años

D) 12 Y 24 años

E) 8 Y 64 años

5. Determina el valor de q en 5xl - (3q + 2)x + (7q - 5) = 22 para que el producto de sus raíces sea 20. A)

15

B) 127

C) ~7 7

O) ~

E) 7

t:7

+ ~_lS

2-4 Funciones

11

• Ejercicios propuestos

6. Función cuadrática

1_ Analiza la información del recuadro, Luego, representa gráficamente cada función. Una función f: IR ~ lR es una funóón cuadrátíca si tie~~ la forma f(x) = ax' + bx + e, con a, b, c ~ lR Y a oF- O. Su representación gráfica es una parábola en la que es posible identificar lo siguiente: . ~

Eje de simetría: x = ~ ~ 2a

~ Intersección con el eje Y en y = c. ," .- .

~

b 4ac-bl) Vértice: V --, -( 2a4a

~ Intersección con el eje X en x, ' .

:',','

-b+~b'-4ac 2a

f(x) = ax' En este caso, el eje Y corresponde al eje de simetria de la parábola. Su vértice es el punto (O, O), que es la intersección de la parábola con el eje X e Y.

-b-~

y en x,

f(x)

2a

Ejemplo: considerando la función f(x) = x' + Sx + 6, se tiene que a = 1, b = 5 Y (= 6, Luego: ~

Eie si b le dee slmetna:x=--=--=--

~

. (b'4ac-~~) Vértice: V -- -za' 4a

~

Intersección con el eje Y en y = c = 6.

~

Intersecciones con el eje X en: -5+J5'-4.\.6

x,

S

2·\'

-5+ 1

X=-' I

2'

x, =-2;

4-1

(S =V ----

4

. . vl-~ _~' véruce: 2' ,)

••

o •••

= (x + 4)2

_

-3 2·2

-(-3)+J(-3}"-4.2.1 -'-~-'-..:.-~-2·2 -(-3)-J(-3)'-4'2.\=3-Ji=3.=~ 2·2

b. g(x) = -x'

____

, __

, __ .__

.-:1

.'1

•

•x

I

SI a > O, eJvértice de la parábola es el punto

T

" ~~! 2. Utiliza la siguiente información para representar algebraicamente cada enunciado, Luego, grafica cada

función en un mismo plano cartesiano, a. Función cuadrática f con a = 3, trasladada 0,5 unidades hacia la derecha y una unidad hacia ebeje respecto de f(x) = x'.

J =v (34'-81)

'X 1

4 =-=\ 4

-.

3-!

t

5

,

2

, _. -> "

T

__

--

-

o

-;

---

-- o

~

-

-

__ .;-.

••••••

...:..

'---:

_.~

:

o

b. Función cuadrática g con a = ~ , trasladada 2 unidades hacia la 2 izquierda y 3 hacia arriba respecto de f(x) = x-. . ,-

'"

~

_._

1 •

-_ ..

2 -=§

,'- -,

- --- y

~~:-= =,:::--=-,:i::=:--:-.-:I-;-:' ': ... _.

r'

._,_L-_; '-1

,-

x~

é- una fLrc.C-'i gi.\1

3

-,' 't' ,. " ,. -.

·1

4

1

Si a < O, eJvértice de la parábola es el punto cuya ordenada es el valor rnáxrno de la función (abierta hacia abeio). _,. i: :"2.

---2

4

Xi

Respectoa la representación gráfica de la función f(x) = eX.' + bx + e, es posible aíirmar lo siguiente:

3 4

3+Ji = -4

d. ¡(x) = (x - 5)' + 3

+ \

mtersecnoncon eí eie x (-2. O) y (-l. O)

cuya ordenada es el valor minimo de la función (abierta hacia arriba)

Intersecciones con el eje X en:

•..•

c. i(x) _

:-__ !-l. __ .- __Y"

;/T-2\

1

Intersección con el eje Y en y = \.

• M O, corresponderá al gráfico de f(x) = axl, desplazado vertical mente en e unidades hacia arriba.

54 Y

2(.\ 'S 24.1.6_52) =V --

. x,

2 ·1

5

= ax' + e

, __

o

••

¡- ...- "-1-

-1 . _

e es ;::si:;!e

Iceltlf cer 10 ~¡gLJe~:e:

S, ¡al < !, e: grá;Kc de g se dilata con respecto al gíaf,co ce :a fLnción f(xl = x.

s, ¡al>

--,- ._.-.--- ..

_-----<

C~j2Ó2~-:.a

= ~\. - ~\ -

..

t ~=j~~J¿~~~~~~

l. e: grá:ico de g se contrae con respecto al gráfico ce la ícnoon f(x) = x .

FllnrionfS

1f

,t

•••

111

3. Analiza la siguiente información.

Luego, responde.

7. Función raíz cuadrada

los ceros de una función cuadrática de la forma f(x) = ax' + bx + c son aquellos valores de x tales que f(x) = O Y se pueden determinar gráficamente encontrando las intersecciones de la parábola que representa la función con el eje X. Para determinarlos algebraicamente se iguala a cero la expresión ax' + bx + c. luego, se resuelve la ecuación resultante. A partir del signo del discriminante Il= b' - 4ac, es posible concluir lo siguiente: Si ,1.> O, la función tiene dos ceros reales, es decir, la parábola intersecta en dos puntos al eje X. Si ,1.= O, la función tiene un cero, es decir, la parábola intersecta solo en un punto al eje X. Si ,1.< 0, la función no tiene ceros en ]R, es decir, la parábola no intersecta al eje X.

a.

¿Cuántos ceros en lR tiene la función f(x) = X' + l? iSu representación

gráfica intersecta a alguno de los ejes

coordenadosl b. ¿Es cierto que la función f(x) = c.

X' + 6x + 9 definida en

R no tiene ceros en 1!{7 Justifica tu respuesta.

¿Para qué valor( es) de k la función f(x) = X' - 8x + k + 3 no tiene ceros en IR?

4. Determina el vértice, el eje de simetría y los ceros de cada una de las funciones. luego, cada plano cartesiano. a.

b. h(x)=x'_-x+-

f(x) = -2x' + 3x - 1

4

esboza un gráfico en

Ejercicio resuelto

4

~~;=r~t+m~ rH=;~ll~~--:f~ 3

9

:,--;

!! :t

. I

l'

,

'.. .x-,

.x.

L ~;=~_ ... t'F-=i:7 l~~:..:_-;-:-:_. __+ _.~~ __ ~

~~~~it4~~ r--1-,:-1

~

Marca la alternativa

1. Si h(x) = El dominio

B) 5 m

3.

La altura en metros de un saltador la función del saltador

h(t)= -

f1 + 21+ 4.

Si el trampolín

y el tiempo que demora

olímpico

ion

("""\le

.•• A•••••..••..••• .:..: •.••••

B) 6 m y 2 s

(O =

v) I(x') = f(xt

[ - ~, + oo[ y Rec(!) = [e. +oo[

Si a < O, Dom (1) = }oo,

D) 125m en cualquier

~

E) 18,75 m

instante t en segundos está dada por

-

~]v

~

~,

D) 5 m y 2 s

E)6myls

I ~. ~~~

I

I

t

I

¡

'i ;jl' '%'

=1

respectivamente?

C) 6my3s

ii) f(l) = 1

E¡emplos: Rec(1) = [e, +oo[

f(40) = f( 4 . 10) =

1 I •

~ I

T I

I

!

y

¡ I

i

! I I -l.-

1.....-- ~

I I

p/¡

I I !

o

I ? f I I i

,¡;::¡o

=f4.JIO

a una

-Fx.

'~~ .~~

A) 5 m y 3 s

i) 1(0\ = O

. ) f ( --x " _ I(x) y) fWl

Observación: el gráfico que representa a la función h corresponde traslación del gráfico de I(x) =

de una flecha viene dada por la

las

IV

Si f(x) = Jax + b + c; con a. b, c E lR se tiene:

E) 1.296 cm'

está a 4 m sobre el nivel de la piscina, ¿cuál es la altura máxima

en alcanzarla,

definida por: f(x) = se cumplen siguientes propiedades:

iii) I(x • y) = f(x) • f(y) También es posible utilizar la siguiente información:

Si a > O, Dom

D) 364 cm'

C) 6,25 m de trampolín

Fx.

como I!{' U

¡;-.;2 -

'

2. La altura en metros con respecto al tiempo t en segundos de la trayectoria función I(t) = -f + 51. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la flecha?

A) 25 m

es posible representarlo

72 cm?

C) 324 cm'

B) 36 cm'

• Paralafunciónf~·U{O}-?R·U{O}

y su recorrido?

{O} o x ~O. Entonces, para h(x) = 1, se tiene que x + 2 ;?O, es decir, x ~-2. Por lo tanto, Dom(h) = [-2, +00[. Además, se tiene que Rec(h) = [-1, +00[.

• de perímetro

..fx

de la función f(x) =

correcta.

1. ¿Cuál es el área máxima de un rectángulo

A) 18cm'

Jx + 1 -1, «uál es su dominio

= f(4) • f(IO)

t( ~ J = ~ f(9') =

= ~

J9i =9"~

= :~~~ =

(19)'

= f(9)'

x

I :

I

I Fllnr.innp.s

1G

•••

i(",.,

I¡

\1\

8. Función potencia ~~~?~~~~.~~·~~s;¡~~r~~~rl~~\~:*~~::::ff~;~-·~~~~:~~/t:.:-.~;>~::?;p~';: -.

Ejercicios propuestos

~.:.j.>-(

1.

:.:

~Lá funCión pofenciarlR

.::.

'.

;•.

~tE

:~"}"1t~,

41R está definida por:f(x) =.ax", con a eR -;-".{O}y n e N para n> 1.

[:':i;;~!~~%;~~~~J;f~~~1~~~~r;~~~~'~~~t~~~ ·-j.~~f~~~:-;;:' i;~:':'·:'J':>;:.r~. /'1

.f~-.~~&J{1:~.J;~, ·0· ..• ""':.'

g(x) =

,.",

\~j:-'.,Yj;'·

¡;-3

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I/

'1

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1/

\.

~ ••.•

I I

I

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/1j'1'f(x):"x 2 ¡

",' ,

I

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¡,

~}

i

I

I

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I

l' ,

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¡

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•

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"

!

-2

f± i'

I 'LJ ~ ... ~. ,:

I

3

------t ./,

;

..-·--·-..-

------3~-----

,¡---~-~

____

~ Dna fuiición es par si f(x) =f(-x) 'Ix e Dorntf); mientras Que es impar si fe-x) = -f(x) 'Ix

b. (Qué diferencias y qué semejanzas hay entre los gráficos de las cinco funciones representadas?

Observaciones:

f(x) =

)3X

Dom(n =

Dom(w)=

Rec(!) =

Rec(h) =

Rec(w) =

-7

B c;;; IR, definida por g(x) =

El gráfico que representa a la función g intersectaal ele X en el punto (-2, O)

b.

x = - 3 no pertenece al conjunto A = Dom(g). .__ .,

d. _.

4. Analiza la siguiente información. Luego, resuelve las ecuaciones y compruébalas.

"

"!!e,

-e

" i IIJ

1-x=16 -x=lS

/+(-1) H-1)

('1

t\\IC

J5x + 3= 12 _ "~,, •.•...• ......,,;.;,..'1

-

Parala función h. se tiene que h(-xl = 2(-x)' = -2x' = -h(x) Por lo tanto, he-x) = -híx). es decir, la función h es impar.

i "$1 ~ '.:1

b.

F:4 = )8 - 2x

c.

~=J2x

Existenfunciones que no son pares ni impares Por elemplo. la función w ? -> :.::. definida por w(x) = x + \ Además, la función nula f: ? --'>::;;., definida por 1(\) = O es par e Impar.

1

f(x)

g(x)

x -2 .

-(-2)' = -(-8) = 8

(-2+ 1)'=(-1)'=-1

-1

_(_1)' = -(-1) = 1

(-1 + l)'=()l=O

O

-(-O)' = O

(0+1)'=1'=1

1

-1'=-1

(1 + 1)'=2'=8

2

-2' =-8

(2+ 1);=3'=27

lIT

x = -15 a.

Parala función g se tiene que g(-x) = Se-x)' = Sx' = g(x). Por lo tanto, g(x) = g(-x), es decir, g es una función par.

-

!l.

Más adelante se mostrará que la función f(x) = x' es la función inversa de g(x) = ,fx .

-

2. Representa en el plano cartesiano las funciones f(x) = -x' y g(x) = (x + 1)' definidas en lR.

:~I

_

ií) Si n es un número impar,la función fex) = ax" es una función impar y su representación gráfica es simétrica respecto al punto (O, O).

1. Demuestra que la función g(x) = Sx' es par y la función h(x) = 2x' es impar.

¡;en dos unidades haciaarriba y

._. Para y = 0,5 no existe una preimagen a travésde la función g.

Fx=4 /( )'

I

Ejercicios resueltos

._ El recorrido de la lunción g corresponde al conjunto de los números realespositivos. El gráfico de g es una traslación del gráfico de f(x) = una hacia la izquierda.

e.

Dom(l).

"

¡.

.¡;:;2 + 1. Escribe verdadero o lalso.

a,

c. __

E

.!:-

Dom(h) =

Sea g: A c;;; IR

_

•

í) Si n es un número par, la función f(x) = ax" es una fundón par y su representación gráfica es simétrica respecto al eje Y.

c. w(x) = 2Jx - 1

h(x)=~

b.

+1

-

...J1.

a. ¿En qué puntos se intersectan los gráficos de 1 y j7 LV los de h y w?

a.

10'/

..• -----... ----

--,-~2+·

t

2. Escribeel dominio y el recorrido de las siguientesfunciones reales.Luego,esbozasusgráficos en el plano catesiano.

3.

21

-

x

,~I ~ -

'~.

.;j

4-

Fllnri(lnP~

1q

••• ,,-~.-

1111 i

Ejercicios propuestos

J

._ •.•• - ••~_

."

9. Función exponencial

1. Completa las siguientes tablas. luego, realiza un bosquejo del gráfico correspondiente.

a.

I

x

b.

g(x) = x2 + 1

x

I

-2

Una función f: IR ---t1R+ es una función exponencial si tiene la forma f(x) = ¡¡l, con a E lR: - {1} ..

c.

I

x'

i

4

I ¡

h(x) = --1

X

-1

-2

-2

O

-1

-1

1

O

O

2

1

1

2

2

1

f(x)=-x 2

Propiedades de la función exponencial

4

Representación gráfica

f: IR ---t1R', donde f(x) = a', cumple con lassiguientes propiedades:

O feO)= 1

iii) f(x - y) = :~~~

ii) f(x + y) = f(x) • f(y)

iv) f(n. x) = (f(x»" (n

E Z)

Ejemplo: sea f: IR ---t1R·, definida por f(x) = 4', entonces: i) f(O) =4°= 1

'¡II,IIIIIt.¡lr,III¡-¡---r-¡

ii) f(x+y)

::r

11

"" 111,

-~'H'ff.

i 1 I ¡

LlJ' rTl--1-t-

~x)

f(y)

--1

,

-2

x

iv) f(n· x) = 4"' = (4')' = (f(x»"

1-+-.,,;

¡

f(x-y,=~ 4'-' =-=_ 4' 4'

-F-1~- H~IT.í i

'-r--r-¡-i

=4>+Y=4"4Y=f(x).f(y)

-2

, i

.. l

Ejercicio resuelto 2. Analiza el siguiente gráfico. luego, responde.

-'!:-iiCIv I

I

\1

1. Representa algebraica y gráficamente la siguiente situación.

·,-F!--;-'~-'rtt= ¡-l;-- • t j : ~ . o\-;

-

.1..•.

,

-l-

¡

Un grupo de 5 estudiantes decide realizar una campaña para reunir alimentos no perecibles. Estaconsiste en que en una primera etapa cada uno de los estudiantes debe invitar a participar a 2 personas. de tal manera de crear una cadena de ayuda. Luego. en una segunda etapa. las dos personas contactadas deben invitar a otras 2 yasi sucesivamente.

.

Considerando que la cadena se inicia con los 5 estudiantes, se tiene

1

Primera etapa: 5 • 2 ~ 5 • 2 = 10 personas Segunda etapa: 5·2 • 2 ~ 5 • 2' = 20 personas. Terceraetapa: 5 • 2 • 2 • 2 ~ 5 ·2' = 40 personas. -4

En este caso, la función f: IR -7 IR', definida por f(x) = 5 • 2', permite modelar la relación que hay entre las distintas etapas y la cantidad de personas contactadas en cada una de ellas. Sin embargo, para la situación descrita el Dom(!) = N U {O}.

~3

e

~

a. ¿Cuántospuntos de intersección tienen los gráficos de las funciones f y g7 LY h Y f? b. ¿Qué ocurre con el gráfico de f a medida que x aumenta? c. ¿Qué ocurre con el gráfico de h a medida que x disminuye7 LY con el gráfico de g7

.

'~ª . !?

x

~

::>

~

:.o'

•

"

:;;; o

ti-

d. ¿Cuáles el valor mínimo que toma la función h? ¿y la función g7

O

1

O, el gráfico que representa a la función g corresponde a una traslación en c unidades verticalmente hacia arriba del gráfico de la función f(x) = a'.

I

\

j

¡

I j

I1

I

~t-'ii'Tr ' l' ~.,'

,

I

,

xl

(

l~

,

I

~

i .

I!

. I

--~I:

2

:5

5

4

6

7

8

9

i I

!

I

X

,

I

I

;

i' 1

1

! I

-'-~-r-r-! !:

!

r=;+=,

.

~----_-4.----------.~---

.'

----_. __ .. ---~-----------_.

..

..

.=~__..'

-'.00' ._

_

• -=-.x _

_

I

II

"

I

fTI

! I ¡l·

, :

! !

II:IIII!I:~·---_·_'

i:

.::::±:=i:J

e -o

,..

7'

:;

~I ~ ~ r:: 'i)'

o

I

,ii;

i~' I\\.fe'

••A •..••••••••••••

.:. •..• ,.. ••

.. _ •. C .. _

• __

L__ . .

fadorizando

I'~

8

= 56.~

7' = 49 7'

:;¡

O

,...,

I

7' + 7'" = 56

7'.~=56 7

'x

o.

~'

10':::

~~~-~=-:1ti=:

_

-o

;

-:-+ -.

7'(1 + 1") = 56

11.. I

o

Si f es una función exponencial definida por: f(x) = ty (b '" 1 Y b > O), entonces se cumple la siguiente propiedad: b' = by (:=} x = y. Utilizando esta propiedad, es posible resolver ecuaciones exponenciales. Ejemplo:

i

t

I

4. Analiza la siguiente información. Luego, resuelve.

------~... ~--_ •. _- -------~----

r . 1

!

:-..·--l-;--~-·-

_

c. ¿Cuál es el conjunto de partida y cuál el de llegada de la función para la situación descrita?

d. Esboza en el plano cartesiano la función para la situación descrita considerando c.

,._,--.--"' r;1

-----------¡..-._---._~._---.---._--;-.

--------------------------------._--------------

-- .• -

,_ _ ._- _ _._

__ __ __ _---..

_.-

,

w(x) = 3'+ 0,2--

•.

I

-.

1

,

.L-. __ ' _

t

'

;-;---11--1d.

:.:~~=~~.'::-_-=~~~' ~~J=-~

b. Determina una función potencia, definida en los números reales, que modele la situación.

,

! I

.

"C

---_ .._--_._-

I

I

__ o. - _." .. _"

50

Población (cantidad de bacteñas)

I

c.

1 L~=-:-+-v::==~:-~~~ ! ! h =~-·H--j.::= ----- :Oot-

l. h_.~ 1

¡ I

! i

l'

I

b. g(x) = 1,5' - 3 ~,---, '---,----

Reproducción de la población de bacterias

o

!

T"

t

I

! I

I

~: -h'- :H-1--; .~j- ;

a. Completa la tabla.

Tiempo (minutos)

I i I!I~

I

I .

. ¡ , : _I_'_.'_-i-

i

Gertas bacterias presentes en un cuerpo se reproducen exponencialmente, duplicando su población cadaun minuto.

- ----_.

.,"

I'.I

I

T

+

a. f(x)=2'+5

!

el enunciado. Luego, resuelve.

---------~------

Luego, grafica las funciones.

I

~

-

=7

2

8

I igualando I aplicando

bases propiedad

x=2 a. 7',-2 b.

=1

3'" - 3' = 2

c. 2'" + 2' + 2'" = 7 d. 3'+3'"

+ 3'" = 117

Funciones

19

EjerciCios propuestos

10. Función logarítmica

1. Completa la siguiente tabla que contiene funciones reales. luego, responde. Si a E lR' - (1l, se define la función logarítmica en base a f: lit'

--t

R tal que f(x) = log,x.

Propiedades de la función logarltmica .

_

f: lit· --t lR, definida por f(x) propiedades:

= log,x.

1

1

256

64

x

Representación gráfica

Función

1

cumple con las siguientes

1 16

16

64

256

f(x) = log/ y=log,x

g(x)=bg/

a> \

i) f(l)=O

4

ii) f(x· y) = f(x) + f(y) 3

ii~ {~)

a. ¿Cuáles el dominio y cuál el recorrido de la función fl ¿y de la función g7

X

= f(x) - f(y) y=log,'

iv) f(X") = nf(x)

b. ¿Quéocurre con las imágenes de f a medida que x aumenta? ¿y con las imágenes de g7

O f(y).

••

l.§. 1::

~

~

300

\00 ,

b.

la función g(x) = log(x + 2) - 3 es una función creciente.

c.

Si h(x) = log x, entonces (-1, 5) pertenece al gráfico de h.

d. _.

Si w(x) = lag 36x, entonces (O, 1) pertenece al gráfico de w.

I

\O

20

30

;0

\O

60

70

3C

90

100 X

3. Representa en el plano cartesiano las siguientes funciones logarítmicas.

g"

i) f(I)=200-logl=200-0=0 logy) = 200 • logx + 200 - logy = f(x)

+

f(y)

Si la basees diez, Sé esmbe: lag x logx

iii) {~ ) = 200 .IOg( ~ ) = 200 - (logx -Iogy) = 200 -logx - 200 -Iogy = f(x) - f(y)

b. h(x) = lag. x

a. f(x) = log;x e

iv) f(x") = 200· 10g(X")= 200 - (n - logx) = n - (200, logx) = nf(x)

I

,

..)1

Paraverificar las propiedades de la función logarítmica,es posible realizarlo siguiente:

+

la función f(x) = -Iogx es decreciente en R

. 100

Tiempo (meses)

ii) f(x - y) = 200 - log(x - y) = 200 - (Iogx

a.

•

t1

- --~í--"'---:-

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I

j

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I

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14-

.

I-'! -----;1--..LL i

I~--tl.

I - ..- ---,

~

L__ L.LL L-L.L .-L..-LLl._

I

1

I ~_L~--l-+-;_ Ir, 1 l.

1

...LL

__-i-Ir-

- ~i

i

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~

--;--

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I--l--I-

I I

L--.I. 1.]_ I

11.11

¡ 1. I i ~I

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II? I I.L'

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'w'':.

1 QA

rl Al/r=

•

M.lom;';r.

Funciones ~

!

•••

1:1

4. Analiza la siguiente información. luego, grafica las funciones dadas.

I

11. Composición de funciones

Para graficar una función de la forma g(x) = log,x + c, con c E IR, es posible considerar lo siguiente: Si c > O, el gráfico que representa a la función g corresponde a una traslación en c unidades verticalmente hacia arriba con respecto al gráfico de f(x) = log,x.

Seanf Y g funciones tales que f: A slR -? B sR y g: C s B -? O s R. entonces se define la funóón (g o O: A s IR -? O s IR donde (g o O(x) = g(l(x» con x E A Y g(l(x» E D.

Si c < O, el gráfico que representa a la función g se desplaza c unidades verticalmente hacia abajo con respecto al gráfico de I(x) = log,x. a. f(x) = log,x - 1

l :'

i

i

;----

.:

~1

1:

i ¡ I

I

¡

gol ¡-, ---,

!--r-~-l-r'i r-t~Y---:¡-'--¡--f-' 1

1

'4+=+='" 1: ;'11".:1

¡

I

¡

_.~. •

¡

,!

:

:;

LL:..J.~'+ " , -, i --r

¡

" 'g' !

.

',; 1;

Luego, Dom(g o f)

.-~~-r_----!-

= A Y Rec(g o O s

Ejemplo: sea 1: IR -? IR. definida por f(x) = 2x + 3 Y g: [-1, +co[ entonces se tiene lo siguiente:

' , .1 ~

----¡-f----n'1 ~-~ x., ----t------,----

~j

(g o Q(x)=g(l(x»=

g(2x + 3)

-

_.

__-o.,

••.•.••

~

__

.__

...:...

~

._

•• _.

__

•

~_

[-2, +oo[ s IR _

••

I

y.

-'- _ . __-e-

---~-~~l~~-'-

-

;

IR· U {O}

gof y-

;._ ..

g [-1, + =l s IR _

~

,

._

lR: U {O}. definida porg(x) =,¡;:;¡,

=.J2x + 3+ 1= J2x + 4

d, w(x) = log" x + '2

b, g(x) = log,x + 2 - -

__

-?

f.

-_.--~_.~_!

\...-J..,...

O,

. 1 -- ------i

r+-:--+ ~J"= -;--:"---,--~-~~:--:-=-~.~;------~ T~~-~~-=--·~ ~:::~-=l--._---=-=~-~-¡ ----=-~----~ -t------:--- ---' -- ---:-_____ . . =-=-:l:::-:-===L-=~.

'------r----,--¡

g _DslR

~

c. h(x)=log,x+1

:~!-~--p=r r-r T I

1-;- t-I

f AsIR_CsBsR

luego, Dom(go f) sIR y Rec(g o f) s IR' U {O}.

-

-

-;-·~~T~--~-~~-_·_.

--_.-+_._--

-p._-------

___ ---

: __ ~ _~._ x -.0- ..-

Ejercicio resuelto

x

-----i----

1. ~ ...

.

_ .•.

_.- -- ---

,--t

-

Si f: iR f(x)

-7

= X'

[1, +oo[ Y g: iR - {O} -..?R son funciones definidas por

+ I Y g(x) =

3., équé x

expresión algebraica representa a la

función (f o g)(x)?

S. Analiza la siguiente información. luego, resuelve.

---------

Si f es una función logaritmica definida por f(x) = log,x con a E IR' - {1}, entonces se cumple la siguiente propiedad: log/ = log,y ~ x = y. Utilizando esta propiedad, es posible resolver ecuaciones logarítmicas,

5x + 10 = 8 .

.'

::¡;"

-s

I '~ " e o.

]

ti .,¿:

w:;:

r(x) = 3',2,

f.

f(x) = 2x'

+3

2. Determina en cuál de los siguientes gráficos están representadas una función y su inversa.

iil

'0

¡ ..../

I

d.

-e:

I ~-

a.-tr.,~-;~: ·.·D ..¡:-: II ~

-:._-~

b.

c.

'-'---j

--4

....

2

! .•..•. 0

xl .~_.L __ .i~_iJ -'- ~_.- 1

........ -;-----

-_._-_.

~ x

:...._~_L __.4_.~~ 1

~-_

~

. __

i

>.

Funciones

2r

4.

Instrucciones

,,'

Sea la función real f(x) = 1 - x. Con respecto a su gráfico, lcuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

'1)

1.

Estaprueba consta de 23 preguntas. Cada una tiene cinco opciones, señaladas con las letras A. B, C, D y E. una sola de las cuales es la respuesta correcta.

2.

Dispones de 45 minutos para responderla.

l. . Pasapor el punto A(Q, O). 11. Esuna recta paralela a la recta y = -x. 111. Intersectaal eje X en el punto 8(0, 1).

Concepto de función 1.

¿Cuál(es) de 105 siguientes diagramas representa(n) una función? f

l.

1

11.

Gt€J OO ~3

7

6

7

4

8

9

8

9

A)

Solo I

D)

Solo IVlll

B)

Solo 11

E)

1,11 Y 111

2

6

3

9

5.

-? R

Solo 11 y 111

E)

1,11 Y 111

e)

Solo I y 11

De acuerdo al gráfico de la figura, «uáltes) de las siguientes igualdades es (son) verdadera(s)?

.......... ?l.y

11. 3·1(-2) - 1(0) = 2·1(2) 111. 1(-2) -1(1)=1(2)

.

-1(-1) -)

-1

o

,

Solo 111

Si g: lR

D)

Solo 111

1. 1(-1) +1(1)=1(0)

Función lineal, afín y constante 2.

Solo 11

B)

Función delinida por tramos

'G=®~3

O~'5

C)

f

111.

A)

Y se tienen algunos de sus valores en la siguiente tabla: 5 -)

-1

o o

-1

-2

A)

Solo I

D)

Solollylll

B)

Solo 11

E)

1,11 Y 111

e)

Solo I y 11

Función parte entera -3

-4

6.

4

Una empresa internacional de encomiendas tiene camiones con una capacidad de 2 toneladas cada uno. Excluyendo el caso de que no haya carga que transportar, «uél de los siguientes gráficos representa mejor al menor número de camiones respecto a las toneladas (ton) de carga que se quiere transportar?

(Qué tipo de lunción podría ser g? A)

Función afln

B)

Función lineal

C)

Función identidad

D) E)

A)

Función constante Función valor absoluto

.I. j

CMódad di! C4fl'iorIes sqUn londadasdtúlrg.

i,

Sea 1: [ % a, 6a] -? lR. definida por f(x)

A)

[-153, -ta]

= 2a -

3x con a E IR ya> 1. ¿Cuáles el recorrido de f?

D)

[-20a, -%a]

!!

[-20a,-~a]

j

:í,

(1 s l.

C)

[-I~~a]

~.'

~; I 11 'I 1 11. f(10)=2 111. Dom(f) = [1,

~(')

Solo 1

B)

Solo 111

¡~Ir~ .

I~~I' i I

e)

Solo 1 y 11

D)

Solo I y 111

E)

1,11 Y 111

I

'

I

+oo[

r.

1), entonces es

"1

!i

o

A)

= lollt,(x -

2

I

.

I

:

l'

• I

4

6

x:

I

_2~~i~~I

~

-T~

Composición de funciones Función exponencial 21. 17.

18.

A)

300· n

B)

300· 2n

C)

300·2"

D)

300·2(n-l)

E)

300. 2n-'

(1) por sísola

C)

Ambas juntas, (1) Y (2)

D)

Cada una por sí sola, (1) 0(2)

E)

Se requiere información adicional

Función logaritmica 19.

La función definida por f(x) = logx con c E lR- - {l} es una función creciente si:

c>O (2) c > 1

(1)

?1 O

A)

(1) por sí sola

B)

(2) por sí sola

C) D)

Ambas juntas, (1) Y(2) Cada una por sí sola, (1) o (2)

E)

Se requiere información adicional

~I AVF• M"tem;\tic"

O

C)

6 18

Función invectiva y sobreyectiva 22.

Respecto de la función f: lR -7 [-1,00[, definida por f(x) = 2x' - 12x + 17, «uál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera? A)

(2) a = 2

(2) por sí sola

-6

B)

E)

(1) f(2) = 6

B)

A)

«uál es el valor de 2(f o g)(6) + (g o f)(6)? .

D) 12

Sea f(x) = x' + 2 con a E Z. Se puede determinar f(s) si:

A)

Si f(x) = 6 + 3x y g(x) =~, 3

Cierto tipo de bacteria genera otra idéntica al cabo de una hora. Si inicialmente un organismo tenía 300 de estas bacterias, «uántas bacterias se reproducen a la hora n?

B)

Dom(f)=~' Rec(0 =~.

C)

La función es inyectiva

D)

La función es sobreyectiva

E)

Su gráfico es abierto hacia abajo

Función inversa

~~ ]" ~: K; ~~

a1 .~ ~~ B~

23.

Sea f: lR - (-S) -7lR - {l}, definida por f(x) = x - 4. Entonces la función inversa de f es: x+S A) f"(x) = 4 - ~ D) f"(x) = 4x + 5 x+» B)

f"(x)=~

C)

f"(x) = Sx - 4 x-l

i~

~i 21

11

x-4

x-l

E)

¡-'(x)

= 5x+

4 1- x

~~

•:.

gl

~

Ensayo temático. PSU -'

••

D1~t~1~1~~~~~?~~vED~2rf~:~f~~f~ 11'!z~~:-3;~~ i~·~~'~!.~XcIÁY~~~~·~l~'!:-:~~:~ ~~ : IIÉ~~ffJi~~f:I$'!E ~~~i}2?t~~2~:] 11:::. é·:E~!1,3~.·::'~il~·~IAYE:t\_.~:~r41;trz Para identificar cuál(es) diagrama(s) representa(n) una función, es necesario reconocer que una función relaciona elementos de dos conjuntos. Además, todos los elementos del conjunto de partida deben estar relacionados con un solo elemento del conjunto de llegada. En (1) se puede observar que todos los elementos del conjunto de partida están relacionados con un solo elemento del conjunto de llegada. El hecho de que este elemento del conjunto de llegada sea el mismo no contradice la definición de función, así como tampoco lo hace el que elementos del conjunto de llegada no tengan una preimagen. Por lo tanto, el diagrama de (1) representa una función. En (11) es posible afirmar que no se trata de una función, ya que hay elementos del conjunto de partida que no están relacionados con el conjunto de llegada Por lo tanto, el diagrama de (11) no representa una función. En (111), así como en (1), se puede observar que todos los elementos del conjunto de partida están relacionados con un solo elemento del conjunto de llegada. Por lo tanto, el diagrama de (111) representa una función. Distractores: A)

C)

E)

Estaalternativa es incompleta, pues solo considera que el diagrama representado en (111) representa una función y no el de (1). Estaalternativa es íncorrecta. pues considera que los tres diagramas representados corresponden a una función; sin embargo, se sabe que la opción (11) no lo es.

g(5) =-5

g(-2) = 2

g(l) =-1

g(-3) =3

g(O) =0

g(-4) =4

La función f(x) = 2a - 3x, con a E R ya> 1, es una función afín, cuyo gráfico es una recta.Además, se

Rec(!)= [f(6a), {~a)]

Por otro lado, g(x) = -x es una función lineal, ya que: g(x + y) = -(x + y) = -x + (-y) = g(x) + g(y)

ii)

g(k • x) = -k . x ~ k· (-x) = k • g(x)

A)

C)

E)

=[-I6a,-~a]

Estaalternativa corresponde a una función afín; sin embargo, por los valores de la tabla se tiene que g(O) = o, y el gráfico de una función afín no pasa por el origen del plano cartesiano (O, O) Luego, g no es una función afín.

En (11) se afirma que la recta que representa a f es paralela a la recta de ecuación y = -x. Esta afirmación es correcta, ya que las pendientes de ambas rectasson iguales y sus coeficientes de posición son distintos. Por lo tanto, esta afirmación es verdadera.

Distractores: B)

Se cometió un error al evaluar ( ~a ). 3

9

2

2

.

calculando soI0-3· -a = - -a. Luego, se tiene

Estaalternativa corresponde a la función identidad, pero no a los valores de la tabla, ya que la función identidad no altera el valor de la variable, es decir, f(x) = x. Luego, g no es la función identidad.

que Rec(!)= [-160, - ~a

Estaalternativa corresponde a una función constante, la que tiene por recorrido un solo valor, es decir, f(x) = b, Y observando la tabla, -5, 2, -1, 3, O Y 4 pertenecen al recorrido de g, Luego, g no es una función constante. Estaalternativa corresponde a la función valor absoluto g(x) = Ixl. cuyo recorrido son valores mayores o iguales a cero. Sin embargo, observando la tabla, se tiene que hay imágenes menores que cero. Por lo tanto, g no es la función valor absoluto.

En (1) se afirma que el gráfico de f pasa por el origen del plano cartesiano, el punto A(O, O). Sin embargo, como f es una función afín, la recta que la representa no pasa por A(O,O). Por lo tanto, esta afirmación es falsa.

=[2a-I8a,2a-~a]

C)

D)

n= 1.

= [ 2a- 3 • 6a, 2a- 3 • ~ a]

Distractores:

J

Al evaluar la expresión ( ta). no se multiplicó por 3 la expresión ~a, entonces se obtuvo 2

al' Por o tanto, se tiene que 2a- -3 a = -r-. 2 2 Rec(!)=[ -16a+ D) c:

-o

"8

e" ~ '"'""

'O

Al calcular f(6a), se cometió un error al reducir la expresión 2a - 18a, por lo que se obtuvo como resultado -20a. Luego, se tiene que Rec(O= [ -2oa, - ~ a

'O ..

P-

I

e'l !:i\

I

s:

~

,~

E)

En (111) se menciona que el punto de intersección entre el eje X y la recta que representa a f es B(O, 1); sin embargo, este punto. que efectivamente pertenece a la recta, no es el que intersecta al eJeX. ya que es el que mtersecta al eje Y El punto correcto es P(I, O) Por lo tanto. esta atirrnaoón es falsa Distractores: B)

Estaalternativa es incorrecta, ya que considera que 8(0, 1) es el punto de intersección entre la recta que representa a f y el eje X, y este punto ni siquiera pertenece al eje X.

C)

Estaalternativa es incorrecta, pues entre sus opciones considera correcto que la recta que representa a f pesa por A(O, O); sin embargo, esta afirmación es falsa, ya que feO) = - t "O.

D)

Estaalternativa es incorrecta, pues entre sus opciones considera correcta la opción (tll) y esta opción, que fue fundamentada en B), es falsa.

E)

Estaalternativa es incorrecta, pues considera que las tres afirmaciones son correctas; sin embargo, ya se justificó que solo (11) es verdadera.

J J

I

f(x) = mx + n, con m, n;c O Donde, m es la pendiente de la recta Que representa gráficamente a la función afín y n es la ordenada del punto de intersección de la recta y el eje Y. Además, en el caso de f(x) = 1 - x, es posible identificar que su pendiente es m = -1 Y su coeficiente de posición es

decreciente, el recorrido está dado por:

la función que podría representar los valores de la tabla es g(x) = -x.

i)

Una función afín puede ser representada algebraicamente por la expresión:

tiene que Dom(!) = [~a, 6a] Y como la función es

g(-I)=1

Estaalternativa es incompleta, pues solo considera que el diagrama (1) representa una función y no el (111). Estaalternativa es incorrecta. pues considera que el diagrama representado en (11) corresponde a una función, y este es el único que no lo es.

B)

Como el dominio de g es R, y se tiene que:

Se cometieron los errores mencionados en B) y D), obteniendo entonces: Rec(!)= [-2oa, - ~a}

-~ ~

CLAVE· Matemática

Modelamiento• PSU

1J!mm;.z,~,· Para responder correctamente esta pregunta es necesario interpretar el gráfico. De él se puede observar que: f(2) = f(-2) = feO) = 2 f(l) = f(-I) = 1 En (1) se afirma: f( -1) + f(l) = feO). Luego:

valores extremos de cada intervalo; por ejemplo, del gráfico se desprende que para transportar 2 toneladas de carga se necesitan 2 camiones, lo que es incorrecto.

Para graficar la función que relaciona el número de camiones con las toneladas de carga que debe transportar, se puede construir una tabla considerando intervalos de tonelaje. Por ejemplo, menor o igual a dos toneladas, mayor a dos toneladas y menor o igual a cuatro toneladas, etc., lo que se resume en la siguiente tabla:

Distraclores: A)

Esta alternativa es incompleta, pues solo considera la afirmación (1) y no las afirmaciones (11) y (\11).

B)

Esta alternativa es incompleta, pues solo considera la afirmación (11) y no las afirmaciones (\) y (lil).

--·¡.""".~.~~~""""~",""'_';¡;=,,,"",~O' Para que ~ sea una raíz de kx'

En (111) se afirma: f( -2) - f( 1) = f(2) - f( -1). Luego • f(-2)-f(1)=2-1=1

-J:

-3

(x)=-jxj

-3

27

=--

16

::;"

fJ'l~

~ .g.

Luego, la afirmacion es verdadera .

'ti lIJ'

a Modelamiento • PSU

2

-

." 11111

B)

Al despejar el valor de k, resulta

kx'+5x-6=0

11 ~¡{~~~if.~S~~{~:f:.~::.

. :. ,

.. .

OA Y OB. los ángulOs se leen

e~sentido

En la figura, OB es bisedriz del y que es paralela a L, ya L,. Luego, al identificar los ángúlos correspondientes, se tiene que el ángulo de medida a + 13 es opuesto por el vértice al ángulo de medida . Por lo tanto, a + J3= lb.

L, ••

t,

&

L. L~

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L..

~'I o;

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