1000 Problemas de Física Resueltos-1

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2017 100 Problemas de Física Resueltos

Contenidos Electricidad y Electromagnetismo Temperatura y Calor Física Cuantica Movimiento Circular Uniforme

Autor: Cliffor Jerry Herrera Castrillo 2017

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo

PRESENTADO POR Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo1

[email protected] [email protected] Celular: 8443 – 8718

Ocotal, Nueva Segovia, Nicaragua 10 de Septiembre 2017 1

Aspirante activo a máster en docencia universitaria con énfasis en investigación Docente de matemáticas y física en distintas escuelas de Nicaragua (Instituto Preuniversitario – Estelí, Colegio Inmaculada Concepción Fe y Alegría – Ocotal, Instituto Nacional de Sébaco – Sébaco) Con formación en:  Instituto Nacional de Tecnología INATEC. (2011), Ocotal, Técnico Superior en Operador de Microcomputadoras  Universidad Nacional Autónoma de Nicaragua UNAN. (2016), Estelí. Licenciado en Ciencias de la Educación con mención en Física – Matemática

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo

INTRODUCCIÓN En el presente documento se detallan la resolución paso a paso de diferentes problemas de física tanto a nivel de bachillerato, como a nivel universitario, los cuales son una recolección realizada por el autor. Se realiza este material, para que sirva a docentes de física a seleccionar diferentes problemas y presentarlos a sus estudiantes y así facilitar aprendizajes y hacer partícipe al educando de formar su propio aprendizaje. Los problemas no siguen un orden en específico, solo van detallados subtítulos para ubicar al lector. En esta primera entrega de 100 problemas resueltos de física se abordan los siguientes contenidos: Electricidad y electromagnetismo Temperatura y Calor Física Cuántica Movimiento Circular Uniforme

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo

1. Una lámina no conductora de espesor t, área A y constante dieléctrica κe es insertada entre el espacio de las placas de un capacitor plano con espaciamiento d, carga +Q y área A, como se muestra en la figura. La lámina no necesariamente está en el medio entre las placas del capacitor. Determine la capacitancia del sistema Solución: En la figura se muestra los campos en el aire y en el dieléctrico En ausencia de un dieléctrico el campo está dado por: 𝐸0 =

𝑄 𝜀

Cuando está presente el dieléctrico el campo eléctrico se expresa en la forma E =

E0 ke

La

diferencia de potencial se determina integrando el capo eléctrico a lo largo de la trayectoria recta. A

∆V = − ∫ ⃗E ⃗⃗⃗⃗ ds = −∆V0,1 − ∆Vd − ∆V0,1 B

∆V = −E0 (

La capacidad del capacitador será: d−t d−t ) − Edt − E0 ( ) 2 2

∆V = −E0 ( d − t ) −

∆V = −

ε0 t ke

Q Q (d−t)− tg A ε0 Ak e ε0

∆V = −

Q 1 [d − t (1 − )] A ε0 ke

C=

Q = |∆V|

C=

Q Q 1 A ε0 [d − t (1 − k e )]

A ε0 d − t (1 −

1 ) ke

3

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2. En el circuito de la figura, hallar la tensión V, sabiendo que la intensidad de corriente que circula por R3 es de 14 A. Datos: R1 = 5  ; R2 = 50  ; R3 = 5  ; R4 = 35 

Solución

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo 3. Dado Vo = 12 V, determinar el valor de IA en el circuito correspondiente. (use solamente las leyes elementales, Ohm y Kirchhoff)

Solución

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Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo 4. Si VR = 15 V, determinar el Vx (Hágalo usando la Ley de Ohm y Kirchhoff)

Solución

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Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo 5. A partir del circuito mostrado, determine la intensidad de Corriente I.

Solución

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo 6. Calcule las potencias de todas las fuentes del circuito

Solución

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7. Calcule las potencias de todas las fuentes del circuito

Solución

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Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo 8. Encuentre las resistencias equivalentes del siguiente circuito

Solución

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo Determine las corrientes y las resistencias en el circuito mostrado.

8

I1

I2 a

V1 30 V

V2

3

V3

Solución Circuito Equivalente 𝑅𝑒𝑞 = 𝑅2 ∥ 𝑅3 𝑅𝑒𝑞 =

(3Ω)(6Ω) 18 Ω2 𝑅2 𝑅3 = = = 2Ω 𝑅2 + 𝑅3 3Ω + 6Ω 9Ω

R1

30 V

R23

𝑅𝑒𝑞 = 𝑅1 ∥ 𝑅23 𝑅𝑒𝑞 = 𝑅1 + 𝑅23 = 8Ω + 2Ω = 10Ω

6

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo 𝐼1 =

30 𝑉 =3𝐴 10Ω

𝑉23 = (𝐼1 )(𝑅2 ∥ 𝑅3 ) = (3 𝐴)(2Ω) = 6 𝑉 𝐼2 =

𝑉2 6 𝑉 = = 2𝐴 𝑅2 3Ω

𝐼3 =

𝑉3 6 𝑉 = = 1𝐴 𝑅3 6Ω

𝑉1 = (𝐼1 )(𝑅1 ) = (8 𝐴)(3Ω) = 24 𝑉 10. Determine las corrientes y las resistencias en el circuito mostrado. 2

I1

4

I3

V1

V3

3V

5V V2

8

Solución Sistema de ecuaciones formado por las corrientes 𝐼1 + 𝐼2 − 𝐼3 = 0 𝐸1 −2𝐼1 + 8𝐼2 + 0𝐼3 = −5 𝐸2 0𝐼1 − 8𝐼2 − 4𝐼3 = −3 𝐸3 Resolver el sistema por el método de reducción 2𝐸1 + 𝐸2 2𝐼1 + 2𝐼2 − 2𝐼3 = 0 −2𝐼1 + 8𝐼2 + 0𝐼3 = −5 ____________________________ 10𝐼2 − 2𝐼3 = −5 𝐸4

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo

𝐸3 − 2𝐸4 −8𝐼2 − 4𝐼3 = −3 −20𝐼2 + 4𝐼3 = 10 ____________________________ −28𝐼2 = 7 𝐼2 = −

7 = −0,25 (𝐿𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑡𝑜𝑚𝑜 𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜) 28

Encontrar I3 sustituyendo I3 en la ecuación E4 o E3 En E3

En E4

−8𝐼2 − 4𝐼3 = −3

10𝐼2 − 2𝐼3 = −5

−8(−0,25) − 4𝐼3 = −3

10(−0,25) − 2𝐼3 = −5

2 − 4𝐼3 = −3

−2,5 − 2𝐼3 = −5

−4𝐼3 = −3 − 2

−2𝐼3 = −5 + 2,5

−4𝐼3 = −5

−2𝐼3 = −2,5

𝐼3 =

−5 −4

𝐼3 =

𝐼3 = 1,25

−2,5 −2

𝐼3 = 1,25

Encontrar I1 sustituyendo I2 Y I3 en la ecuación E1 o Sustituyendo I2 en E2 En E1

En E2

𝐼1 + 𝐼2 − 𝐼3 = 0

−2𝐼1 + 8𝐼2 = −5

𝐼1 = 𝐼3 − 𝐼1

−5 − 8𝐼2 −2 −5 − 8(−0,25) 𝐼1 = −2 −5 + 2 −3 𝐼1 = = 1,5 −2 −2

𝐼1 = 1,25 − (−0,25) 𝐼1 = 1,25 + 0,25 𝐼1 = 1,5

𝐼1 =

𝑉1 = (𝑅1 )(𝐼1 ) = (2 Ω)(1,5 𝐴) = 3 𝑉 𝑉2 = (𝑅2 )(𝐼2 ) = (8 Ω)(0,25 𝐴) = 2 𝑉 𝑉3 = (𝑅3 )(𝐼3 ) = (4 Ω)(1,25 𝐴) = 5 𝑉

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo 11. Calcular la resistencia total del circuito que se indica en el esquema

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo 12.

Hallar la resistencia total del circuito entre los extremos A y B. 



R1

R2 R3



Solución

RTotal  R1  R2  R3

RTotal  15  25  20 RTotal  60

RTotal = 

13.

Del siguiente circuito hallar la resistencia equivalente entre los extremos A y B.

R1

R2 

R3 



Solución

R1

R4 

REqui

R4 

R2 * R3 20 *15   8.6 R2  R3 20  15

REqui 

R1 * R4 10 * 8.6   4.6 R1  R4 10  8.6

REqui  4.6

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo 14.

Encuentre la resistencia equivalente del siguiente circuito Rab. R1

R3

R5







a



R2





R4

R6

b

Solución a

R1

R3







R2

R7  R5  R6 R7  10  10 R7



R7  20

b a

R1

R3







R2

R8

R8 

b

R7 * R4 20 * 20   R7  R4 20  20

R8  10

R1

a

 

R2

R9

b

R1

a

R10 

 R10

R9  R3  R8  10  10  R9  20

R2 * R9 20 * 20   R2  R9 20  20

R8  10

b

a

REquiab  R1  R10 REqui ab

b

REquiab  10  10 REquiab  20

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo 15. Encuentre las resistencias equivalentes [Rab] del siguiente circuito. 

a 

 



 

 











b

Solución

3* 6  2 3 6 R1  5  15  20 Rx 

a 

b



Rx

 





Ry



20 * 60  15 20  60 Ry  15  10  25

R2 

a 

b





 



R3



R3 

75 * Ry 75 * 25  75  Ry 100 R3  18.75

a  

b

R6

R4  R3  11.25  18.75  11.25 R4  30



30 * 20  12 30  20 R6  R5  2  12  2  14 R5 

a

REqui ab

b

14 * 26  9.1 14  26 REquiab  2.5  9.1  3.4 R7 

REquiab  15

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo 16.

Encontrar el valor equivalente de todas las inductancias que se encuentran en el siguiente circuito.

a

10 H

15 H

L1

L2 L3

20 H

b

Solución

LT  L1  L2  L3 LT  10  15  20 LT  45H  a

b LT

Se dispone de 5 bobinas cada una de ellas con los siguientes valores L1=10[H], L2=15[H], L3=20[H], L4=5[H] y L5=12[H], si se desea reemplazar por un inductor, que valor deberá tener. Cuando los 5 inductores se encuentran conectados en serie como en paralelo Solución Conexión serie: Lequi.  L1  L2  L3  L4  L5 Lequi.  10  15  20  5  12 Lequi.  62H .

Conexión paralelo 1 Lequi.



1 Lequi.

1 1 1 1 1     L1 L2 L3 L4 L5 

1 1 1 1 1     10 15 20 5 12 Lequi.  2H .

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo

Una partícula con carga A ejerce una fuerza de 2.62 μN hacia la derecha sobre una

18.

partícula con carga B cuando las partículas están separadas 13.7 mm. La partícula B se mueve recta y lejos de A para hacer que la distancia entre ellas sea de 17.7 mm. ¿Qué vector de fuerza se ejerce en tal caso sobre A? Solución F1 = F2 r̅

F1 = k e

qq qq r̅ 2 = F2 = k e r1 r22

F1 . r12 = k e qq = F2 . r22 r̅ F1 . r12 = F2 . r22 r̅ r̅ F2 . r22 = F1 . r12

r̅ F2 =

F1 . r12 r22

r r̅ F2 = F1 ( 1⁄r2 )2

r̅ F2 = (2.62 x 10−6 N ) (

13.7 x 103 m )² 17.7 x 103 m

r̅ F2 = (2.62 x 10−6 N ) ( 0.5990 ) r̅ F2 = 1.57 x 10−6 N r̅ F2 = 1.57 μ N

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo 19.

En las esquinas de un triángulo equilátero existen tres cargas puntuales, como se ve en la figura. Calcule la fuerza eléctrica total sobre la carga de valor 7.00 μC.

Solución Diagrama de Cuerpo Libre

Datos: q1 = 7.00 μC = 7 x 10−6 C q 2 = 2.00 μC = 2 x 10−6 C q 3 = −4.00 μC = −4 x 10−6 C r = 0.500 m

Ecuación y Solución F12 = k e F12

|q1 q 2 | 2 r12

( 7 x 10−6 C )( 2 x 10−6 C ) Nm2 = ( 9 x 10 )( ) C2 ( 0.5 m )² 9

F12

Nm2 14 x 10−12 C² = ( 9 x 10 )( ) C2 0.25 m² 9

𝐅𝟏𝟐 = 𝟎. 𝟓𝟎𝟒 𝐍

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo F31 = k e F31

|q 3 q1 | 2 r12

( 4 x 10−6 C )( 7 x 10−6 C ) Nm2 = ( 9 x 10 )( ) C2 ( 0.5 m )² 9

F31

Nm2 28 x 10−12 C² = ( 9 x 10 )( ) C2 0.25 m² 9

𝐅𝟑𝟏 = 𝟏. 𝟎𝟎𝟖 𝐍 La fuerza F12 se descompone en F1x y en F1Y F1x = ( F12 )( Cos 60 ) = ( 0.504 N )(Cos 600 ) = ( 0.504 N ) ( 0.5 ) 𝐅𝟏𝐱 = 𝟎. 𝟐𝟓𝟐 𝐍 F1y = ( F12 )(Sen 60 ) = ( 0.504 N )( Sen 600 ) F1y = ( 0.504 N ) ( 0.8660 ) 𝐅𝟏𝐲 = 𝟎. 𝟒𝟑𝟔𝟒 𝐍 La fuerza F31 se descompone en F2X y en F2Y F2x = ( F31 )( Cos 60 ) = ( 1.008 N )(Cos 600 ) F2x = ( 1.008 N ) ( 0.5 ) 𝐅𝟐𝐱 = 𝟎. 𝟓𝟎𝟒 𝐍 F2y = ( F31 )(Sen 60 ) = (1.008 N )( Sen 600 ) F2y = ( 1.008 N ) ( 0.8660 ) 𝐅𝟐𝐲 = 𝟎. 𝟖𝟕𝟐𝟗 𝐍

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo Fx = F1x + F2x Fx = 0.252 N + 0.504 N 𝐅𝐱 = 𝟎. 𝟕𝟓𝟔 𝐍 Fy = F1y + F2y Fy = 0.4364 N + (−0.8729 N) 𝐅𝐲 = −𝟎. 𝟒𝟑𝟔𝟓𝐍

F = √( Fx )² + ( Fx )²

F = √( 0.756 N )² + (− 0.4365 N )²

F = √ 0.571536 N² + 0.19053225 N² = √0.76206825 N² 𝐅 = 𝟎. 𝟖𝟕𝟐𝟗 𝐍

Tang θ =

Fy −0.4365N = = −0.57738 Fx 0.756 N

θ = Tang −1 (−0.57738 ) θ = 300

Respuesta. La fuerza Eléctrica total es de 0.8729 N

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo 20.

Dos pequeñas esferas conductoras idénticas se colocan de forma que sus centros se encuentren separados 0.300 m. A una se le da una carga de 12.0 nC y a la otra una carga de -18.0 nC. a) Determine la fuerza eléctrica que ejerce una esfera sobre la otra. b) ¿Qué pasaría si? Las esferas están conectadas mediante un alambre conductor. Determine la fuerza eléctrica entre ellas una vez que alcanzan el equilibrio.

Solución A) La fuerza es de atracción. La distancia r en la ley de Coulomb es la distancia entre los centros. La magnitud de la fuerza es:

FAB = k e

FAB = ( 9 x 109

|q A q B | 2 rAB

( 12 x 10−9 C )( 18 x 10−9 C ) Nm2 ) ( ) C2 ( 0.300 m )²

Nm2 216 x 10−18 C² = ( 9 x 10 )( ) = 2.16 x 10−5 N 2 C 0.09 m² 9

B) La siguiente carga de −6.00 x10−9 C, se dividirá la igualdad entre las dos esferas 3.00 x10−9 en cada una. La fuerza es una de repulsión y su magnitud es

FAB = k e FAB = ( 9 x 109

|q A q B | 2 rAB

( 3 x 10−9 C )( x 10−9 C ) Nm2 ) ( ) 9 x 10−7 N C2 ( 0.300 m )²

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo 21. Dos cargas puntuales se localizan en el eje 1x de un sistema de coordenadas. La carga q1 = 1.0 nC está a 2.0 cm del origen, y la carga q2 = -3.0 nC está a 4.0 cm del origen. ¿Cuál es la fuerza total que ejercen estas dos cargas sobre una carga q3 = 5.0 nC que se encuentra en el origen? Las fuerzas gravitatorias son despreciables. Solución Diagrama de Situación

Diagrama de Cuerpo Libre

Datos: q1 = 1.0 nC = 1 x 10−9 C q 2 = −3.0 nC = 3 x 10−9 C q 3 = 5.0 nC = 5 x 10−9 C r13 = 2.0 cm = 0.02 m r23 = 4.0 cm = 0.04 m Ecuación y Solución: F13 = k

F13

|q1 q 3 | 2 r13

( 1 x 10−9 C )( 5 x 10−9 C ) Nm2 = ( 9 x 10 )( ) C2 ( 0.02 m )² 9

F13 = ( 9 x 109

Nm2 5 x 10−18 C² ) ( ) C2 4 x 10−4 m²

𝐅𝟏𝟑 = 𝟏. 𝟏𝟐𝟓 𝐱 𝟏𝟎−𝟒 𝐍

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo Esta fuerza tiene una componente 1x negativa porque q3 es repelida por q1. F23 = k e

F23 = ( 9 x 109

|q1 q 3 | 2 r23

( 3 x 10−9 C )( 5 x 10−9 C ) Nm2 ) ( ) C2 ( 0.04 m )²

F23 = ( 9 x 109

Nm2 15 x 10−18 C² ) ( ) C2 16 x 10−4 m²

𝐅𝟐𝟑 = 𝟖. 𝟒𝟑𝟕𝟓 𝐱 𝟏𝟎−𝟓 𝐍 Esta fuerza tiene una componente 1x debido a que q3 es atraída hacia q2. La suma de las componentes x es

Fx = F12 + F23

Fx = ( −1.125 x 10−4 N ) + (8.4375 x 10−5 N )

Fx = −2.8125 x 10−5 N

Respuesta Como No hay componentes “y” ni “z” entonces La fuerza total sobre q3 se dirige hacia la izquierda, con magnitud de 2.8125 x 10−5 N

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo

22. Un alambre largo conduce una corriente de 6 A en una dirección de 35° al norte de un campo magnético de 0,04 T dirigido hacia el este ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de la fuerza magnética sobre cada centímetro del alambre?

I 35° B

Solución 𝐹 = 𝐼𝐿𝐵 𝑆𝑒𝑛𝜃

𝐼 = 6𝐴

𝐿 = 0,01 𝑚

𝐵 = 0,04 𝑇

𝜃 = 350

𝐹 = (6 𝐴)(0,01 𝑚)(0,04 𝑇)(𝑆𝑒𝑛 35°) 𝐹 = 1,38 . 10−3 𝑁 La fuerza está en el papel como se puede ver girando el brazo B para avanzar un tornillo hacia adentro. En dirección Norte 23.

Un alambre de 2,80 m de longitud conduce una corriente de 5,00 A en una región donde el campo magnético uniforme tiene una magnitud de 0,390 T. calcule la magnitud de la fuerza magnética sobre el alambre si el ángulo entre el campo magnético y la corriente es (a) 60°, (b) 90°, (c) 120°

Solución 𝐼 =5𝐴

𝐵 = 0,390 𝑇

𝐿 = 2,80 𝑚

𝜃(𝑎) = 60°

𝜃(𝑏) = 90°

𝐹 = 𝐼𝐿𝐵 𝑆𝑒𝑛𝜃 𝐹(𝑎) = (5 𝐴)(2,80 𝑚)(0,390 𝑇)(𝑆𝑒𝑛 60°) = 4,728 𝑁 𝐹(𝑏) = (5 𝐴)(2,80 𝑚)(0,390 𝑇)(𝑆𝑒𝑛 90°) = 5,46 𝑁 𝐹(𝑐) = (5 𝐴)(2,80 𝑚)(0,390 𝑇)(𝑆𝑒𝑛 120°) = 4,728 𝑁

𝜃(𝑐) = 120°

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo

24. ¿Qué cantidad de calor necesita absorber un trozo de cobre cuya masa es de 25 g si se encuentra a una temperatura de 8°C y se desea que alcance una temperatura final de 20°C?, si su calor especifico es de 0,093 cal/°Cg Datos

Ecuación / Solución

𝑄 =?

𝑄 = 𝑚𝐶𝑒 ∆𝑇

𝑚 = 25 𝑔

Respuesta El

trozo

de

cobre

𝑄 = (25 𝑔)(0,093 𝐶𝑎𝑙/°𝐶𝑔)(12° 𝐶) necesita 27,9 cal para

𝐶𝑒 = 0,093 𝐶𝑎𝑙/°𝐶𝑔

que

𝑄 = 27,9 𝑐𝑎𝑙

∆𝑇 = 12°𝐶

alcance

una

temperatura de 20°C

25. ¿Cuánto calor necesita absorber un trozo de hielo de 420 g para convertirse en un líquido de 20°C se encuentra a una T de -20° C? Ce = 0,505 cal/°Cg Datos

Ecuación / Solución

Respuesta

𝑄 =?

𝑄 = 𝑚𝐶𝑒 ∆𝑇

El trozo de hielo

𝑚 = 420 𝑔

𝑄 = (420 𝑔)(0,505 𝐶𝑎𝑙/°𝐶𝑔)(40°𝐶)

𝐶𝑒 = 0,505 𝐶𝑎𝑙/°𝐶𝑔

𝑄 = 8 484 𝑐𝑎𝑙

necesita: 8 484 𝑐𝑎𝑙

∆𝑇 = 20 − (−20) = 40°𝐶

Para que pase al estado liquido

26. Los rieles de una vía de tren de acero, tienen 1 500 m de longitud. ¿Con longitud tendrá cuando la temperatura aumente de 24°C a 45° C? Datos

Ecuación

𝐿𝑓 = 1500(1 + (11 𝑥 10−6 𝐶)(21° 𝐶 ))

𝐿0 = 1500 𝑚 𝐿𝑓 =? 𝑇0 = 24°𝐶 𝑇𝑓 = 45° 𝐶

Solución

𝐿𝑓 = 𝐿0 (1 + 𝛼∆𝑇)

𝐿𝑓 = 1500,3465 𝑚 Solo se dilata 0,3465 m

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo

27. En un experimento de laboratorio los ingenieros quieren saber, la temperatura en la que un cuerpo de plomo alcanza los 25,43 m de longitud, cuando inicialmente se mantiene 25,34 m a una temperatura de 26°C Datos 𝐿0 = 25,34 𝑚 𝐿𝑓 = 25,43 𝑀

Ecuación ∆𝐿 = 𝐿0 𝛼∆𝑇

𝑇0 = 26°𝐶 𝑇𝑓 =?

𝑇𝑓 =

𝐿𝑓 − 𝐿0 + 𝑇0 𝛼𝐿0

Solución 𝑇𝑓 =

25,43 𝑚 − 25,34 𝑚 + 26°𝐶 (29 𝑥 10−6 𝐶°−1 )(25,34 𝑚) 𝑇𝑓 = 148,47°𝐶

28. Una lámina de Cobre tiene una superficie de 100 cm2 a una temperatura de 0°C. si se incrementa la temperatura a 30°C ¿De cuánto es el área final? Datos

Ecuación

𝐴𝑓 = 100 𝑐𝑚2 [1 + (0,000034°𝐶 −1 )(30°𝐶)]

𝐴0 = 100 𝑐𝑚2 ∆𝑇 = 300 𝐶 𝐴𝑓 =?

Solución

𝐴𝑓 = 𝐴0 (1 + 𝛽∆𝑇)

𝐴𝑓 = 100,1 𝑐𝑚2 El área aumenta 0,1 cm2

29. Juan llena el tanque de combustible de su carro, el cual tiene una capacidad de 60 l, lo llena por la mañana a una temperatura de 10°C, y lo deja estacionado sobre los rayos solares, a medida que pasa el día, en el momento más caluroso, la temperatura llega a 40°C ¿De cuánto es la variación en el volumen de la gasolina? Sabiendo que el coeficiente de dilatación es 9,6 x 10-4 0C Datos

Ecuación

𝐴𝑓 = 60 𝑙[1 + (9,6 𝑥 10−6 °𝐶)(30°𝐶)]

𝑉0 = 60𝑙 𝑇0 = 10° 𝐶 𝑇𝑓 = 40°𝐶

Solución

𝑉𝑓 = 𝑉0 (1 + 𝛾∆𝑇)

𝐴𝑓 = 61,729 𝑙, ∆𝑉 = 1,728 𝑙

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo 𝑉𝑓 ? ∆𝑉 =? 30.

Un gas ha sido comprimido por vía isotérmica desde el volumen V1 = 8 l hasta el volumen V2 = 6 l. el aumento de la presión ha sido ∆P = 4 Kp ¿Cuál era la presión inicial p1? 𝑇 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑉1 = 8 𝑙 𝑉2 = 6 𝑙 ∆𝑃 = 4 𝐾𝑝

𝑃1 𝑉1 𝑃2 𝑉2 = 𝑇1 𝑇2

𝑷𝟐 = 𝑷𝟏 + 𝟒 𝑲𝒑

𝑃1 𝑉1 = 𝑃2 𝑉2

(𝑃1 + 4 𝐾𝑝) 6 𝑙 𝑃1 = 8𝑙 𝑃1 = (𝜌1 + 4 𝐾𝑝) 0,75 𝑃1 = 0,75 𝑃1 + 3 𝑘𝑝 𝑃1 − 0,75 𝑃1 = 3 𝑘𝑝 0,25 𝑃1 = 3 𝑘𝑝 𝑃1 =

𝑃1 (8 𝑙) = (𝑃1 + 4 𝐾𝑝) 6 𝑙 𝑃1 8 𝑙 = 𝑃1 6 𝑙 + 24 𝐾𝑝 𝑙 𝑃1 8 𝑙 − 𝜌1 6 𝑙 = 24 𝐾𝑝 𝑙 𝑃1 2 𝑙 = 24 𝐾𝑝 𝑙 𝑃1 =

24 𝐾𝑝 𝑙 2𝑙

𝑃1 = 12 𝑘𝑝

3 𝑘𝑝 0,25

𝑃1 = 12 𝑘𝑝

31. ¿Cuál será la energía cinética media de las moléculas del Argón si la temperatura del gas es de 17°?

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo 32. Las bombas de vacío modernas permiten disminuir la presión hasta 1,3 . 1010 Pa (1012 mm Hg) ¿Cuántas moléculas de gas hay en 1 m3 a esa presión si la temperatura es de 27° C?

33.

¿En qué porcentaje aumenta la velocidad cuadrática media de las moléculas de agua que hay en nuestra sangre si la temperatura aumenta de 37° C a 40°?

34. La velocidad cuadrática media de la molécula de un gas que se encuentra a 100° C de temperatura es de 540 m/s. determinar la masa de la molécula.

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo 35.

La altura del pico Lenin de las montañas del Pamir es de 7 134 m. La presión atmosférica a esta altura es de 3,8 . 104 Pa. Determinar la densidad del aire en la cima del pico a 0° C, si su densidad en las condiciones normales es de1,29 kg/m3

36.

Determinar la temperatura del gas que se encuentra en un recipiente cerrado, si la presión de dicho gas aumenta en un 0,4% de la presión inicial al calentarse 1° K

37. ¿A que es igual el volumen de un mol de gas de gas perfecto en condiciones normales?

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo 38. La densidad de cierta sustancia gaseosa es de 2,5 kg/m3 a la temperatura de 10° C y a la presión atmosférica normal. Hallar la masa molar de dicha sustancia

39.

En una botella de 0,03 m3 de capacidad hay un gas a 1,535 . 106 Pa de presión y 445° C de temperatura ¿Qué volumen ocuparía este gas en condiciones normales.

40. Expresar la velocidad cuadrática media de las moléculas por medio de la constante universal de los gases y de la masa molar.

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo 41. En una botella hay un gas a 15° C de temperatura ¿Cuántas veces menor se hará la presión de dicho gas si el 40% de él se deja salir de la botella y, al mismo tiempo, la temperatura desciende a 8° C?

42. Una masa de nitrógeno evoluciona en el ciclo de la figura siendo su presión en el punto A 500 K Pa y su volumen 0,002 m3 suponga que el gas se comportó como ideal. Calcule la P, V y T en los puntos B, C y calcule el trabajo realizado por el gas al comprimirse en el punto B, C

Solución

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo

43. Un gas que se halla a la presión P = 105 Pa, se expande isobáricamente realizando un trabajo A = 25 J ¿Cuánto disminuye el volumen del gas?

44.

A un sistema termodinámico se le transmite una cantidad de calor de 200 J. ¿Cómo varia su energía interna si, al mismo tiempo, el sistema realiza un trabajo de 400 J?

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo 45. La barra de un martillo de picar se mueve a base de aire comprimido. La masa de aire que hay en el cilindro varia durante la carrera del embolo desde 0,1 hasta 0,5 g. considerando constantes la presión del aire en el cilindro y la temperatura (27° C). Determinar el trabajo que realiza el gas durante una carrera del embolo. La masa molar M = 0,029 kg/mol

46.

Calcule el aumento de la energía interna de 2 kg de hidrogeno si su temperatura se eleva isobáricamente 10° K. El calor especifico del hidrogeno a presión constante es igual a 14 kj/kg °K

47.

¿Qué cantidad de calor es necesaria para elevar en 100 K por vía isocora la temperatura de 4 kg de helio?

48.

Al expandirse isotérmicamente un gas ha realizado un trabajo de 20 J. ¿Qué cantidad de calor de calor le fue cedida al gas?

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo 49.

Hallar la densidad de un gas que está sometido a una presión de 1,5 . 106 Pa, sabiendo que la velocidad cuadrática media de sus moléculas es 328 m/s Datos

𝑃 = 1,5 . 106 𝑝𝑎 𝑚 𝑣 = 328 𝑠

Ecuación

Solución

1 𝑃𝑣 2 3 3𝑃 𝜌= 2 𝑣

3(1,5 . 106 𝑝𝑎) 𝜌= (328 𝑚/𝑠)2

𝜌=

𝜌 =?

𝜌=

4 500 000 𝑝𝑎 = 41,82 𝑘𝑔/𝑚3 107 584 𝑚2 ⁄𝑠 2

50. Cuál es la densidad de un gas que ejerce una presión 1,8 . 106 Pa, si la velocidad de las moléculas del gas es 45 m/s Datos 𝑃 = 1,8 . 106 𝑝𝑎 𝑚 𝑣 = 45 𝑠

Ecuación 1 𝑃𝑣 2 3 3𝑃 𝜌= 2 𝑣

𝜌=

𝜌 =?

51.

Solución 𝜌= 𝜌=

3(1,8 . 106 𝑝𝑎) (45 𝑚/𝑠)2

3 240 000 𝑝𝑎 = 1 600 𝑘𝑔/𝑚3 2 025 𝑚2 ⁄𝑠 2

Sea W = W(t) su peso en kilogramos, el día t de una dieta. Su usted consume C calorías cada día y su cuerpo quema EW calorías por día, donde E representa las calorías por kilogramo, entonces la ecuación

𝑑𝑊 𝑑𝑡

= 𝑘(𝐶 − 𝐸𝑊) modela su

velocidad de cambio de peso (Esta ecuación expresa que su velocidad de cambio de peso es proporcional a la diferencia entre las calorías consumidas y las calorías quemadas, siendo k la constante de proporcionalidad) 𝐶

𝐶

a. Demuestre que 𝑊 = 𝐸 + (𝑊0 − 𝐸) 𝑒 𝑘𝐸𝑡 es una solución de la ecuación, donde 𝑊0 = 𝑊(0) es su peso al comienzo de su dieta. b. Dada la solución del apartado (a), ¿Qué sucede a W(t) cuando 𝑡 → 𝑥? c. Si Wo = 80 kg, E = 45 cal/kg, k = 1/7875 kg/cal y C = 2 500 cal/día, ¿Cuánto tardará en perder 10 kg? ¿Cuánto para 15 kg? ¿Y para 20 kg? ¿Qué sugieren sus respuestas a cerca del proceso de pérdida de peso?

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo Solución

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo

52. Un objeto de 2,0 kg se levanta desde el piso hasta una mesa que está a 30 cm sobre éste. ¿En cuánto aumenta la masa del sistema, que consta de la Tierra y el objeto, debido a este incremento en su EP? ∆𝑚 =

∆𝐸0 𝑚𝑔ℎ = 2 𝑐2 𝑐

Solución (2,0 kg)(9,8 𝑚/𝑠 2 )(0,3 𝑚) 5,88 𝑘𝑔 𝑚2 /𝑠 2 ∆𝑚 = = = 6,5333 𝑥 10−17 𝑘𝑔 16 2 2 (3,00 𝑥 108 𝑚/𝑠)2 9 𝑥 10 𝑚 /𝑠 ≈ 6,5 𝑥 10−17 𝑘𝑔 Respuesta La ∆𝑚 es de 6,5 𝑥 10−17 𝑘𝑔 53. Determine la energía requerida para dar a un electrón una rapidez de 0,90 la de la luz, partiendo del reposo. 𝐸𝐶 = (𝛾𝑚 − 𝑚) 𝑐 2 Solución

𝐸𝐶 = (𝛾𝑚 − 𝑚) 𝑐 2 =

=[

1

√1 −

(0,90)2

1 𝑣 √ [ 1 − (𝑐 )

2

− 1 𝑚𝑐 2 ]

− 1] [(9,11 𝑥10−31 𝑘𝑔) (3,00 𝑥 108 𝑚/𝑠)2 ]

1 =( − 1) (8,199 𝑥 10−14 𝐾𝑔 𝑚2 /𝑠 2 ) = (1,29)(8,199 𝑥 10−14 𝐾𝑔 𝑚2 /𝑠 2 ) 0,4356 = 1,061𝑥10−13 𝐽 = 0,663 MeV

Respuesta: La energía requerida para dar vida a un electrón es de 1,061𝑥10−13 𝐽 = 0,663 MeV

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo 54. El Sol irradia energía uniformemente en todas direcciones. En la posición de la Tierra (𝑟 = 1,50 𝑥 1011 𝑚), la radiación del Sol es de 1,4 𝑘𝑊/𝑚2 . ¿Qué cantidad de masa pierde el Sol por día debido a la radiación? Á𝑟𝑒𝑎 = 4𝜋𝑟 2 ∆𝑚 =

∆𝐸0 𝑐2

Solución El Área es: Á𝑟𝑒𝑎 = 4𝜋𝑟 2 = 4𝜋(1,50 𝑥 1011 𝑚)2 = 4𝜋(2,25 𝑥 1022 𝑚2 ) = 2,8274 𝑥 1023 𝑚2 ≈ 2,83𝑥 1023 𝑚2 A través de cada metro cuadrado de esta área, la energía que el Sol irradia por segundo es de 1,4 𝑘𝑊/𝑚2. Por lo tanto la radiación total del Sol por segundo es 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑊 𝑊 = (á𝑟𝑒𝑎) (1400 2 ) = (2,83𝑥 1023 𝑚2 ) (1400 2 ) = 3,96 𝑥 10 26 𝑊 𝑠 𝑚 𝑚 La energía irradiada en un día (86400 𝑠) es 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎/𝑑í𝑎 = (3,96 𝑥 10 26 𝑊)(86400 𝑠/ 𝑑í𝑎 ) = 3.42 𝑥 1031 𝐽/ 𝑑í𝑎 La masa perdida por día es: ∆𝑚 =

∆𝐸0 3.42 𝑥 1031 𝐽/ 𝑑í𝑎 3.42 𝑥 1031 𝐽/ 𝑑í𝑎 = = = 3,8 𝑥 1014 𝑘𝑔/𝑑í𝑎 𝑐2 (3,00 𝑥 108 𝑚/𝑠)2 (9 𝑥 1016 𝑚2 /𝑠2 )

Para comparación, la masa del Sol es ≈ 2 𝑥 1030 𝑘𝑔 Respuesta El sol pierde 3,8 𝑥 1014 𝑘𝑔/𝑑í𝑎 debido a su radiación.

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo

55. El muón positivo (𝜇 + ), una partícula inestable, existe en promedio durante 2,20 𝑥 10−6 𝑠 (medidos en su propio marco de referencia) antes de desintegrarse. a. Si un muón positivo se desplaza con una rapidez de 0.900𝑐 con respecto al laboratorio, ¿qué vida media se mide en el laboratorio? b. ¿Qué distancia media, medida en el laboratorio, recorre la partícula antes de desintegrarse? Solución Si un muón positivo se desplaza con una rapidez de 0.900𝑐 con respecto al laboratorio, ¿qué vida media se mide en el laboratorio? 𝛾=

1 √1 − (0,900)2 𝛾=

=

1 √1 − 0,81

1 = 2,2941 0,4358 𝑡 = 𝛾𝜏

𝑡 = (2,2941)(2,20 𝑥 10−6 𝑠 ) 𝑡 = 5,04702 𝑥 10−6 ≈ 5,05𝑥 10−6 𝑠 Respuesta: Si un muón positivo se desplaza con una rapidez de 0.900𝑐 con respecto al laboratorio, la vida media en que se mide el laboratorio es de 5,05𝑥 10−6 𝑠 ¿Qué distancia media, medida en el laboratorio, recorre la partícula antes de desintegrarse? 𝑑=𝑣𝑡 𝑑 = (0,900)(3,00 𝑥 108 𝑚/𝑠)(5,05𝑥 10−6 𝑠) = 1363,5 = 1,3635 𝑘𝑚 Respuesta: La distancia media, medida en el laboratorio que recorre la partícula antes de desintegrase es de 1,3635 𝑘𝑚

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo

56.

Se sincronizan cuidadosamente dos relojes atómicos. Uno permanece en Nueva York y el otro se carga en un avión que viaja a una rapidez promedio de 250 m/s y luego regresa a Nueva York. Cuando el avión regresa, el tiempo trascurrido en el reloj que quedó es de 4,00 h. ¿Cuál será la diferencia de lectura entre los dos relojes, y cuál de ellos mostrará el tiempo transcurrido más corto? (Sugerencia: Dado que 𝑢 ≪ 𝑐, se puede simplificar √1 − 𝑢2 ⁄𝑐 2 mediante una expansión de binomio)

Solución ¿Cuál será la diferencia de lectura entre los dos relojes, y cuál de ellos mostrará el tiempo transcurrido más corto? √1 − 𝑢2 ⁄𝑐 2 = (1 − 𝑢2 ⁄𝑐 2 )1/2 ≈ 1 −

𝑢2 +⋯ 2𝑐 2

(∆𝑡 − ∆𝑡0 ) = (1 − √1 − 𝑢2 ⁄𝑐 2 ) (∆𝑡) 𝑢2 = 2 ∆𝑡 2𝑐 =

(250 𝑚/𝑠)2 (4 ℎ)(3600) 2(3,00 𝑥 108 𝑚/𝑠)2

=

62 500 𝑚2 ⁄𝑠 2 14 400 𝑠 2(9 𝑥 1016 𝑚2 ⁄𝑠 2 )

= (3,4722 𝑥 10−13 )(14 400 𝑠) ⇒ (∆𝑡 − ∆𝑡0 ) = 5 𝑥 10−9 𝑠 Respuesta: El reloj en el avión muestra el tiempo transcurrido más corto

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo

57.

Se crea un muón a 55,0 km de altura sobre la superficie terrestre (medida en el marco de la tierra). La vida media de un muón, medida en su propio marco en reposo, es de 2,20 𝑥 10−6 𝑠 ; el muón en cuestión tiene esta vida. En el marco del muón la Tierra se dirige hacia éste con una rapidez 0,9860 c. c. En el marco del muón, ¿Cuál es su altura inicial respecto a la superficie terrestre? d. En el marco del muón, ¿Cuánto más se acerca la tierra durante la vida del muón? ¿Qué fracción de la altura original del muón, medida en el marco de éste, representa esa distancia? e. En el marco de la Tierra, ¿Cuál es la vida del muón? En el marco de la Tierra, ¿Qué distancia recorre el muón durante su vida? ¿Qué fracción de la altura original del muón en el marco de la Tierra representa esta distancia? 𝛾=

1 √1 − (𝑢⁄𝑐)2

=

1 √1 − (0,9860 )2

=

1 √1 − 0,972196

= 5,9971 ≈ 6

Solución En el marco del muón, ¿Cuál es su altura inicial respecto a la superficie terrestre? 𝑙=

𝑙=

𝑙0 𝛾

55,0 𝑘𝑚 = 9,1666 𝑘𝑚 ≈ 9,17 𝑘𝑚 6

Respuesta: La altura inicial respecto a la superficie terrestre es de 9,17 km en el marco del muón En el marco del muón, ¿Cuánto más se acerca la tierra durante la vida del muón? ¿Qué fracción de la altura original del muón, medida en el marco de éste, representa esa distancia? 𝑑 = 𝑢 ∆𝑡

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo 𝑑 = (0,9860 c)(3,00 𝑥 108 𝑚/𝑠)(2,20 𝑥 10−6 𝑠 ) 𝑑 = 650,76 𝑚 = 0,65076 𝑘𝑚 ≈ 0,651 𝑘𝑚 ⇒%=

𝑑 0,651 𝑘𝑚 = = 0,071 𝑥 100 = 7,1% ℎ 9,17 𝑘𝑚

Respuesta: En el marco del muón, la tierra se acerca 0,651 km durante la vida del muón. Esa distancia representa el 7,1% En el marco de la Tierra, ¿Cuál es la vida del muón? En el marco de la Tierra, ¿Qué distancia recorre el muón durante su vida? ¿Qué fracción de la altura original del muón en el marco de la Tierra representa esta distancia? ∆𝑡 = ∆𝑡0 𝛾 ∆𝑡 = (2,20 𝑥 10−6 𝑠 )(6) ∆𝑡 = 1,32 𝑥 10−5 𝑠 𝑑 ᾿ = 𝑢 ∆𝑢 𝑑᾿ = (0,9860 c)(3,00 𝑥 108 𝑚/𝑠)(1,32 𝑥 10−5 𝑠) 𝑑 ᾿ = 3 904,56 𝑚 = 3,90456 𝑘𝑚 ≈ 3,90 𝑘𝑚 ⇒%=

𝑑 ᾿ 3,90 𝑘𝑚 = = 0,71 𝑥 100% = 7,1% ℎ᾿ 55,0 𝑘𝑚

Respuesta: En el marco de la tierra la vida del muón es de 1,32 𝑥 10−5 𝑠 y este recorre una distancia 3,90 𝑘𝑚 durante su vida y esa distancia representa el 7,1%

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo 58. Un rayo cósmico crea una partícula inestable en las capas altas de la atmósfera. La partícula viaja en línea recta hacia la superficie terrestre con una rapidez de 0,99540 c respecto a la Tierra. Las mediciones de un científico que se halla en reposo en la superficie terrestre le indican que la partícula se creó a una altura de 45,0 km. f. Medido por el científico, ¿Cuánto tiempo tarda a partícula en recorrer 45,0 km que la separan de la superficie terrestre? g. Con base a la fórmula de contracción de la longitud, calcule la distancia del punto donde se creó la partícula a la superficie terrestre medida en el marco de la partícula. h. En el marco de la partícula, ¿Cuánto tiempo tarda la partícula en viajar del punto donde se creó a la superficie terrestre? Calcule se tiempo por medio de la fórmula de dilatación del tiempo y también a partir de la distancia calculada en el inciso (b). ¿Concuerdan los dos resultados? Solución Medido por el científico, ¿Cuánto tiempo tarda a partícula en recorrer 45,0 km que la separan de la superficie terrestre? 𝑡=

𝑡=

𝑑 𝑣

(45,0 𝑘𝑚 )(1 000) 45 000 𝑚 = = 1,51 𝑥 10−4 𝑠 (0,99540 )(3,00 𝑥 108 𝑚/𝑠) 298 620 000 𝑚/𝑠

Respuesta: La partícula tarda 1,51 𝑥 10−4 𝑠 en recorrer 45,0 km Con base a la fórmula de contracción de la longitud, calcule la distancia del punto donde se creó la partícula a la superficie terrestre medida en el marco de la partícula. 𝛾=

1 √1 − (0,99540 c)2 ℎ᾿ =

=

1 = 10,4377 ≈ 10,44 0,0958

ℎ 45,0 𝑘𝑚 = = 4,31 𝑘𝑚 𝛾 10,44

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo Respuesta: La distancia del punto donde se creó la partícula a la superficie terrestre medida en el marco de la partícula es de 4,31 𝑘𝑚 En el marco de la partícula, ¿Cuánto tiempo tarda la partícula en viajar del punto donde se creó a la superficie terrestre? Calcule se tiempo por medio de la fórmula de dilatación del tiempo y también a partir de la distancia calculada en el inciso (b). ¿Concuerdan los dos resultados? ℎ᾿ 4,31 𝑘𝑚 (1 000) 4 310 𝑚 𝑡= = = = 1,44 𝑥 10−5 𝑠 𝑣 (0,99540 c)(3,00 𝑥 108 𝑚/𝑠) 298 620 000 𝑚/𝑠 Y 𝑡 1,51 𝑥 10−4 𝑠 = = 1,44 𝑥 10−5 𝑠 𝛾 10,44 Respuestas:

 La partícula tarda 1,44 𝑥 10−5 𝑠 en viajar del punto donde se creó a la superficie terrestre

 Los resultados están de acuerdo “son iguales” pero la vida de las partículas se dilata en el marco de la tierra.

Calcule la energía de un fotón de luz azul de 550 𝑛𝑚 de longitud de onda.

59. Solución

Datos

Ecuación

Solución 𝐸=

(6,63 𝑥 10−34 𝐽. 𝑠)(3 𝑥 108 𝑚/𝑠) 5,5 𝑥 10−7 𝑚

𝜆 = 550 𝑛𝑚 𝑐 = 3 𝑥 108 𝑚/𝑠 ℎ = 6,63 𝑥 10−34 𝐽. 𝑠 𝐸 =?

𝐸 = 3,61 𝑥 10−19 𝐽

ℎ𝑐 𝐸 = ℎ𝑓 = 𝜆 =

3,61 𝑥 10−19 𝐽 = 2,2562 𝑒𝑉 1,60 𝑥 10−19 𝐽/𝑒𝑉

Respuesta

La energía del fotón es de: 2,2562 𝑒𝑉

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo 60. Calcule la energía para un fotón de luz de longitud de onda de 450 𝑛𝑚 en el aire (o en el vacío) Datos

Ecuación

𝐸=

𝜆 = 450 𝑛𝑚 𝑐 = 3 𝑥 108 𝑚/𝑠 ℎ = 6,63 𝑥 10−34 𝐽. 𝑠

Solución

ℎ𝑐 𝐸 = ℎ𝑓 = 𝜆

(6,63 𝑥 10−34 𝐽. 𝑠)(3 𝑥 108 𝑚/𝑠) 4,5 𝑥 10−7 𝑚 𝐸 = 4,42 𝑥 10−19 𝐽

𝐸 =? 4,42 𝑥 10−19 𝐽 = = 2,7625 𝑒𝑉 1,60 𝑥 10−19 𝐽/𝑒𝑉

Respuesta

La energía del fotón en el aire (o en el vacío) es de: 2,7625 𝑒𝑉

61. Para romper un enlace químico en las moléculas de piel humana y por tanto causar una quemadura de sol, se requiere una energía de fotón de aproximadamente 3,55 𝑒𝑉. ¿A qué longitud de onda corresponde esta energía? Datos

Ecuación

Solución

𝜆= 𝐸 = 3,55 𝑒𝑉 𝑐 = 3 𝑥 108 𝑚/𝑠 ℎ = 6,63 𝑥 10−34 𝐽. 𝑠 𝜆 =?

𝐸 = ℎ𝑓 = ℎ𝑐 𝜆= 𝐸

Respuesta

(6,63 𝑥 10−34 𝐽. 𝑠)(3 𝑥 108 𝑚/𝑠) (3,55 𝑒𝑉)(1,60 𝑥 10−19 𝐽/𝑒𝑉)

ℎ𝑐 𝜆

350 𝑛𝑚 la luz −25

𝜆=

1,98 𝑥 10 𝐽𝑚 −19 5,65 𝑥 10 𝐽

𝜆 = 3,50 𝑥 10−7 𝑚 ≈ 350 𝑛𝑚

ultravioleta causa este tipo de quemaduras

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo 62. Una estrella gigante roja radia con una longitud de onda pico de 650 𝑛𝑚 ¿Cuál es aproximadamente la temperatura en la superficie de esta estrella? (Use la ley desplazamiento de Wien) Datos

Ecuación

Solución

𝜆𝑝 𝑇 = 2,90 𝑥 10−3 𝑚 𝑘 𝜆𝑝 = 650 𝑛𝑚

𝑇=

𝑇 =?

2,90 𝑥 10−3 𝑚 𝑘 𝜆𝑝

𝑇=

Respuesta

2,90 𝑥 10−3 𝑚 𝑘 6,5 𝑥 10−7 𝑚

La temperatura aproximada en la superficie de la estrella es de: 𝑇 = 4 461,53 𝑘

𝑇 = 4 461,53 𝑘

63. La fusión de trabajo de metal de sodio es de 2,3 𝑒𝑉. ¿Cuál es la longitud de onda más grande de la luz que puede producir emisión de fotoelectrones en el sodio? Datos

Ecuación

Solución

Respuesta

En el umbral, la energía del fotón es exactamente igual a la energía que se requiere para desprender a un electrón del metal, ésta es la función de trabajo 𝐸 = 𝑊𝑚𝑖𝑛 = 2,3 𝑒𝑉 𝑐 = 3 𝑥 108 𝑚/𝑠 ℎ = 6,63 𝑥 10−34 𝐽. 𝑠

ℎ𝑐 𝜆 ℎ𝑐 𝜆= 𝑊𝑚𝑖𝑛

𝜆=

𝑊𝑚𝑖𝑛 =

10−34 𝐽. 𝑠)(3

108

(6,63 𝑥 𝑥 𝑚/𝑠) (2,3 𝑒𝑉)(1,60 𝑥 10−19 𝐽/𝑒𝑉)

La longitud de onda más grande de la luz que puede producir emisión

𝜆=

𝜆 =?

10−25 𝐽𝑚

1,98 𝑥 3,68 𝑥 10−19 𝐽

fotoelectrones en el sodio es de: 540 𝑛𝑚

𝜆 = 5,4 𝑥 10−7 𝑚 ≈ 540 𝑛𝑚

64. Se disparan rayos x de longitud de onda incidente 0,250 𝑛𝑚 de un bloque de material. Los rayos x dispersados se observan con un ángulo de 450 en relación con el haz incidente. Calcule la longitud de onda. (efecto Compton) Datos

Ecuación

𝜆 = 0,250 𝑛𝑚

ℎ = 6,63 𝑥 10−34 𝐽. 𝑠

𝑚𝑒 = 9,11 𝑥 10−31 𝑘𝑔

𝜗 = 450

𝑐 = 3 𝑥 108 𝑚/𝑠

𝜆᾿ =? Solución 𝜆᾿ = 𝜆 +

ℎ (1 − 𝐶𝑜𝑠 𝜗) 𝑚𝑒 𝑐

de

𝜆᾿ = 𝜆 +

ℎ (1 − 𝐶𝑜𝑠 𝜗) 𝑚𝑒 𝑐

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo 𝜆᾿ = 0,250 𝑥 10−9 +

6,63 𝑥 10−34 𝐽. 𝑠 (1 − 𝐶𝑜𝑠 (450 )) (9,11 𝑥 10−31 𝑘𝑔)(3 𝑥 108 𝑚/𝑠)

𝜆᾿ = 0,250 𝑥 10−9 +

6,63 𝑥 10−34 𝐽. 𝑠 (0,2928) 2,73 𝑥 10−22 𝑘𝑔 𝑚/𝑠

𝜆᾿ = 0,250 𝑥 10−9 + 7,10 𝑥 10−13 𝜆᾿ = 2,5071 𝑥 10−10 ≈ 0,25071 𝑛𝑚 Respuesta La longitud de onda es de: 0,25071 𝑛𝑚

65. (Efecto fotoeléctrico para el sodio) Una superficie de sodio se ilumina de 400 𝑛𝑚 de longitud de onda. La fusión del trabajo para el metal de sodio es 2,46 𝑒𝑉. Encuentra a. La energía cinética máxima de los fotoelectrones emitidos. b. La longitud de onda de corte para el sodio. Datos 𝜆 = 400 𝑛𝑚 ℎ = 6,63 𝑥 10−34 𝐽. 𝑠 𝑐 = 3 𝑥 108 𝑚/𝑠 𝑒 = 1,6 𝑥 10−19 𝐶

Ecuación / Solución a.

La energía cinética máxima de los fotoelectrones emitidos 𝑐 𝐸 = 𝑊 + 𝐸𝑐𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟ó𝑛 → 𝐸𝑐𝑚á𝑥 = 𝐸 − 𝑊 = ℎ − 𝑊 𝜆

𝐸=

(6,63 𝑥 10−34 𝐽. 𝑠)(3 𝑥 108 𝑚/𝑠) − 2,46 𝑒𝑉 400 𝑥 10−9 𝑚

𝐸=

1,989 𝑥 10−25 𝐽 𝑚 − 2,46 𝑒𝑉 400 𝑥 10−9 𝑚

𝐸 = 4,9725 𝑥 10−19 𝐽 − 2,46 𝑒𝑉

𝐸=

4,9725 𝑥 10−19 𝐽 − 2,46 𝑒𝑉 1,60 𝑥 10−19 𝐽/𝑒𝑉

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo

𝐸 = 0,64 𝑒𝑉 ≈ 1,0365 10−19 𝐽

b.

La longitud de onda de corte para el sodio

𝜆0 =

𝜆0 =

ℎ𝑐 𝑊

(6,63 𝑥 10−34 𝐽. 𝑠)(3 𝑥 108 𝑚/𝑠) (2,46 𝑒𝑉)(1,60 𝑥 10−19 𝐽/𝑒𝑉)

𝜆0 = 5,05 𝑥 10−7 𝑚 ≈ 505 𝑛𝑚 Respuestas a.

La energía cinética máxima de los fotoelectrones emitidos es de 1,0365 10−19 𝐽

b.

La longitud de onda de corte para el sodio es de 505 𝑛𝑚

66.

Un electrón está confinado entre dos paredes impenetrables con una separación de 0.200 𝑛𝑚. Determine los niveles de energía para los estados 𝑛 = 1,2 𝑦 3. i. Encuentre la rapidez del electrón en el estado 𝑛 = 1

Datos Masa del electrón (𝑚𝑒 ) = 9,11 × 10−31 𝑘𝑔. Separación (𝐿) = 0.200 𝑛𝑚. Niveles de energía (𝐸𝑛 ) =? Solución Como la energía mínima corresponde al estado fundamental, que es el estado de energía mínima para cualquier sistema, la menor energía de una partícula en la caja es diferente de cero, según la mecánica cuántica, la partícula nunca puede estar en reposo.

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo Es importante destacar que la energía potencial es igual a 0 y los niveles de energía cinética son proporcionados por la siguiente ecuación: ℎ2 𝐸𝑛 = ( ) 𝑛2 8𝑚𝐿2 Por lo tanto cuando 𝑛 = 1 el nivel de energía es: 𝐸1 = (

(6,63 × 10−34 𝐽 ∙ 𝑠)2 ) (12 ) (8)(9,11 × 10−31 𝑘𝑔)(0.200 × 10−9 𝑚)2

4,39569 × 10−67 𝐽2 ∙ 𝑠 2 𝐸1 = ( ) (1) (7,28 × 10−30 𝑘𝑔)(4 × 10−20 𝑚2 ) 4,39569 × 10−67 𝐽2 ∙ 𝑠 2 𝐸1 = ( ) (1) (7,288 × 10−30 𝑘𝑔)(4 × 10−20 𝑚2 ) 4,39569 × 10−67 𝐽2 ∙ 𝑠 2 𝐸1 = ( ) (1) 2.9152 × 10−49 𝑘𝑔𝑚2 𝐸1 = (1,51 × 10−18 𝐽)(1) = 1,51 × 10−18 𝐽 Pasando esta energía a electro volts resultará: 𝐸1 =

(1,51 × 10−18 𝐽)(1𝑒𝑉) 1,60 × 10−19 𝐽 𝐸1 = 9.43𝑒𝑉

Cuando 𝑛 = 1 entonces se tiene la mínima energía, y se denomina energía en estado. Para calcular la energía de estado para los niveles 𝑛 = 2 𝑦 3 se puede utilizar la ecuación 𝐸𝑛 = 𝑛2 𝐸1 . 𝐸2 = (2)2 𝐸1 = 4(9,43𝑒𝑉) = 37,72𝑒𝑉 𝐸3 = (3)2 𝐸1 = 9(9,43𝑒𝑉) = 84,87𝑒𝑉

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo a) Para encontrar la rapidez del electrón se resuelve la expresión clásica para la energía cinética para la rapidez de la partícula. 1

𝐾 = 2 𝑚𝑒 𝑢2 En esta ecuación se debe de tener en cuenta que la energía cinética 𝐾 es igual 1

a la energía del sistema 𝐸𝑛 por tanto 𝐾 = 2 𝑚𝑒 𝑢2 = 𝐸𝑛 . 𝐸𝑛 = 2𝐸𝑛 = 𝑚𝑒 𝑢2 ,

2𝐸𝑛 𝑚𝑒

2𝐸𝑛

= 𝑢2 , √

𝑚𝑒

1 𝑚 𝑢2 2 𝑒

= 𝑢, Al realizar la sustitución la rapidez da:

√

2(1,51 × 10−18 𝐽) =𝑢 9,11 × 10−31 𝑘𝑔

√

3,02 × 10−18 =𝑢 9,11 × 10−31 𝑘𝑔 √3,32 × 1012 = 𝑢

𝑢 = 1820724,696𝑚/𝑠 La

rapidez

que

posee

el

electrón

el

su

primer

estado

es

igual

a

𝑢 = 1820724,696𝑚/𝑠 , lo que corresponde a un 0,6% en comparación con la velocidad de la luz. 67.

Una partícula de masa 𝑚 está confinada a una caja unidimensional entre 𝑥 = 0 y 𝑥 = 𝐿. Encuentre el valor esperado de la posición 𝑥 de la partícula en el estado caracterizado por el número cuántico 𝑛.

Datos Masa = 𝑚. Posición = 𝑥.

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo El enunciado se enfoca en una partícula cuántica en una caja y en el cálculo del valor esperado de 𝑥. ∞

2

𝑛𝜋𝑥

Como 〈𝑥〉 = ∫−∞ ѱ∗ 𝑥ѱ𝑑𝑥 y ѱ𝑛 (𝑥) = √𝐿 𝑠𝑒𝑛 (

𝐿

) ambas ecuaciones se combinan y los

límites de la integral −∞ a ∞ se reducen a la integral de 0 a 𝐿 porque la función de onda ѱ = 0. 2

𝐿

2 𝑛𝜋𝑥 〈𝑥〉 = ∫ 𝑥 [√ 𝑠𝑒𝑛 ( )] 𝑑𝑥 𝐿 𝐿 0

𝐿

2 𝑛𝜋𝑥 〈𝑥〉 = ∫ 𝑥 𝑠𝑒𝑛2 ( ) 𝑑𝑥 𝐿 𝐿 0

𝐿

2 𝑛𝜋𝑥 〈𝑥〉 = ∫ 𝑥 𝑠𝑒𝑛2 ( ) 𝑑𝑥 𝐿 𝐿 0

Como 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 =

1−𝑐𝑜𝑠2𝑥 2

𝑛𝜋𝑥

al realizar la sustitución resulta que 𝑠𝑒𝑛2 (

entonces la integral se reduce a: 𝐿 𝑛𝜋𝑥 1 − 𝑐𝑜𝑠2 ( 𝐿 ) 2 〈𝑥〉 = ∫ 𝑥 ( ) 𝑑𝑥 𝐿 2 0

𝐿 𝑛𝜋𝑥 2 1 𝑐𝑜𝑠2 ( 𝐿 ) 〈𝑥〉 = ∫ 𝑥 ( − ) 𝑑𝑥 𝐿 2 2 0

𝐿 𝑛𝜋𝑥 𝑐𝑜𝑠2 ( 𝐿 ) 2 𝑥 〈𝑥〉 = ∫ − 𝑥 𝑑𝑥 𝐿 2 2 0

𝐿 𝐿 𝑛𝜋𝑥 𝑐𝑜𝑠2 ( 𝐿 ) 2 𝑥 〈𝑥〉 = ∫ 𝑑𝑥 − ∫ 𝑥 𝑑𝑥 𝐿 2 2 0

0

𝐿

1−𝑐𝑜𝑠2(

)=(

2

𝑛𝜋𝑥 ) 𝐿

)

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo 𝐿

2 𝑥2 1 𝑛𝜋𝑥 〈𝑥〉 = [ − [∫ 𝑥𝑐𝑜𝑠2 ( ) 𝑑𝑥]] 𝐿 4 2 𝐿 0

𝐿

Para la evaluación de la integral ∫0 𝑥𝑐𝑜𝑠2 ( 𝐿

𝑛𝜋𝑥 𝐿

) 𝑑𝑥 se utiliza la

𝐿

integración por partes ∫0 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫0 𝑣𝑑𝑢 donde 𝑢 = 𝑥 𝑑𝑥 y 𝑛𝜋𝑥

𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠2 (

𝐿

Integración por partes 𝑢 se deriva y 𝑑𝑣 se integra. 𝑢 = 𝑥 𝑑𝑥.

) 𝑑𝑥. Al sustituir resulta:

𝐿 𝑛𝜋𝑥 𝑛𝜋𝑥 𝑠𝑒𝑛2 ( ) 𝑠𝑒𝑛2 ( ) 2 𝑥2 1 𝐿 −∫ 𝐿 𝑑𝑥)] 〈𝑥〉 = [ − (𝑥 𝐿 4 2 2𝑛𝜋/𝐿 2𝑛𝜋/𝐿 0

𝑑𝑢 = 𝑑𝑥. 𝑛𝜋𝑥

𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠2 (

𝐿 𝑛𝜋𝑥 𝑠𝑒𝑛2 ( 𝐿 ) 2 𝑥2 1 1 𝑛𝜋𝑥 〈𝑥〉 = [ − (𝑥 − ∫ 𝑠𝑒𝑛2 ( ) 𝑑𝑥)] 𝐿 4 2 2𝑛𝜋/𝐿 2𝑛𝜋/𝐿 𝐿 0

𝐿

) 𝑑𝑥.

𝑛𝜋𝑥 𝑠𝑒𝑛2 ( 𝐿 ) 𝑣= 2𝑛𝜋/𝐿

𝑛𝜋𝑥 𝑛𝜋𝑥 𝑠𝑒𝑛2 ( 𝐿 ) 𝑐𝑜𝑠2 ( 𝐿 ) 2 𝑥2 1 1 〈𝑥〉 = [ − (𝑥 − (− ))] 𝑛𝜋 𝐿 4 2 2𝑛𝜋/𝐿 2𝑛𝜋/𝐿 2 𝐿 𝑛𝜋𝑥 𝑛𝜋𝑥 𝑠𝑒𝑛2 ( 𝐿 ) 𝑐𝑜𝑠2 ( 𝐿 ) 2 𝑥2 1 〈𝑥〉 = [ − (𝑥 + )] 𝑛𝜋 2 𝐿 4 2 2𝑛𝜋/𝐿 4( 𝐿 ) 𝑛𝜋𝑥 𝑛𝜋𝑥 𝑠𝑒𝑛2 ( 𝐿 ) 𝑐𝑜𝑠2 ( 𝐿 ) 2 𝑥2 〈𝑥〉 = [ − 𝑥 − ] 4𝑛𝜋 𝑛𝜋 2 𝐿 4 8 ( ) 𝐿 𝐿 Al evaluarla de 0 a 𝐿 la integral resulta: 𝑛𝜋𝐿 𝑛𝜋𝐿 𝑛𝜋0 𝑛𝜋0 𝑠𝑒𝑛2 ( 𝐿 ) 𝑐𝑜𝑠2 ( 𝐿 ) 𝑠𝑒𝑛2 ( 𝐿 ) 𝑐𝑜𝑠2 ( 𝐿 ) 2 𝐿2 02 〈𝑥〉 = [( − 𝐿 − )−( −0 − )] 4𝑛𝜋 4𝑛𝜋 𝑛𝜋 2 𝑛𝜋 2 𝐿 4 4 8( 𝐿 ) 8( 𝐿 ) 𝐿 𝐿 2 𝐿2 〈𝑥〉 = [ ] 𝐿 4

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo 〈𝑥〉 =

𝐿 2

Este resultado indica que la posición de la partícula 𝑥 está en el centro de la caja para todos los valores de los números cuánticos principales 𝑛. 68.

Un electrón está en un pozo cuadrado de potencial con profundidad infinita de ancho 𝑙 = 1.00 × 10−10 𝑚. Si el electrón está en el estado fundamental, ¿cuál es la probabilidad de encontrarlo en una región de ancho ∆𝑥 = 1.01 × 10−12 𝑚 en el centro del pozo (en 𝑥 = 0.50 × 10−10 𝑚)?

Datos Ancho del pozo (𝑙) = 1.00 × 10−10 𝑚 Ancho de la región (∆𝑥) = 1.01 × 10−12 𝑚 Centro del pozo (𝑥) = 0.50 × 10−10 𝑚 La probabilidad de encontrar una partícula en una pequeña región de ancho 𝑑𝑥 es |ѱ|2 𝑑𝑥. La función de onda para el estado fundamental es: 2 𝜋𝑥 ѱ(𝑥) = √ 𝑠𝑒𝑛 𝑙 𝑙 Como se observa en la figura la curva para 𝑛 = 1 muestra que ѱ es aproximadamente constante cerca del centro del pozo, por tanto se puede evitar una integral 𝑑𝑥 y se establece que 𝑑𝑥 ≈ ∆𝑥. Para encontrar la probabilidad primero se elevaran al cuadrado ambos términos de la ecuación. 2

2 𝜋𝑥 2 𝜋𝑥 (ѱ)2 ∆𝑥 = (√ 𝑠𝑒𝑛 ) ∆𝑥 → ѱ2 ∆𝑥 = 𝑠𝑒𝑛2 [ ] ∆𝑥 𝑙 𝑙 𝑙 𝑙

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo Se sustituyen los datos. 2 𝜋(0.50 × 10−10 𝑚) 2 ѱ ∆𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 [ ] 1.01 × 10−12 𝑚 −10 −10 1.00 × 10 𝑚 1.00 × 10 𝑚 2

ѱ2 ∆𝑥 = 2 × 1010 𝑠𝑒𝑛2 [1,6]1.01 × 10−12 𝑚 ѱ2 ∆𝑥 = 0,02 Por lo tanto, la probabilidad de encontrar al electrón en esta región en el centro del pozo es del 2%. Teniendo en cuenta que (∆𝑥) = 1.01 × 10−12 𝑚 es el 1% del ancho del pozo (𝑙) = 1.00 × 10−10 𝑚 el resultado del 2% es según la física cuántica. Desde el punto de vista clásico el electrón podría estar en cualquier parte de la caja por lo tanto la probabilidad sería del 1%.

69.

Para el cobre metálico, determine a) la energía de Fermi, b) la energía promedio de los electrones y c) la rapidez de los electrones en el nivel de Fermi (lo que se conoce como rapidez de Fermi).

a) Para encontrar la energía de Fermi en el cobre se debe de tener en cuenta los siguientes datos: Masa del cobre 𝑚 = 63.5 × 10−3 𝑘𝑔 Densidad de la masa del cobre 𝜌𝐷 = 8,9 × 103 𝑘𝑔/𝑚3 Número de electrones 𝑁 = 1𝑚𝑜𝑙 para el cobre es igual a 6,02 × 1023 . Masa del electrón 𝑚𝑒 = 9,1 × 10−31 𝑘𝑔. Constate de Planck ℎ = 6,63 × 10−34 𝐽 ∙ 𝑠 Para calcula la energía con los datos proporcionados se debe de tener en cuenta las siguientes ecuaciones.

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo 𝑔(𝐸) =

8√2𝜋𝑚𝑒 ℎ3

𝑁

𝐸

𝐸1/2 Y 𝑉 = ∫0 𝐹 𝑔(𝐸)𝑑𝐸 .

Combinando ambas ecuaciones resulta: 𝐸𝐹

𝑁 8√2𝜋𝑚𝑒 1/2 =∫ 𝐸 𝑑𝐸 𝑉 ℎ3 0

𝐸𝐹

𝑁 8√2𝜋𝑚𝑒 = ∫ 𝐸1/2 𝑑𝐸 𝑉 ℎ3 0

𝑁 8√2𝜋𝑚𝑒 𝐸𝐹 3/2 𝑁 16√2𝜋𝑚𝑒 𝐸𝐹 3/2 = → = 𝑉 ℎ3 3/2 𝑉 3ℎ3 Despejando 𝐸𝑓 se calcula la energía de Fermi. 2

3 𝑁 3ℎ3 𝑁 3ℎ3 = 𝐸𝐹 3/2 → 𝐸𝐹 = √( ) 𝑉 16√2𝜋𝑚𝑒 𝑉 16√2𝜋𝑚𝑒

3

𝐸𝐹 = √(

𝑁 3 2 ℎ2 ) 𝑉 𝜋 8𝑚𝑒

𝑁

Como no se conoce el valor de 𝑉 se deberá de calcular(𝑉 = 𝑚/𝜌𝐷 . 𝑁 𝑁 = 𝜌 𝑉 𝑚 𝐷 𝑁 6,02 × 1023 𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜𝑛𝑒𝑠 8,9 × 103 𝑘𝑔 𝜌 =( )( ) 𝑚 𝐷 63.5 × 10−3 𝑘𝑔 𝑚3

𝑁 𝜌 = 8,4 × 1028 𝑚−3 𝑚 𝐷 Este resultado es el número de electrones de conducción por unidad de volumen en el cobre. Con este dato ya se puede encontrar la energía de Fermi.

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo 3 3 2 (6,63 × 10−34 𝐽 ∙ 𝑠)2 𝐸𝐹 = √(8,4 × 1028 𝑚−3 ∙ ) ∙ 𝜋 8(9,1 × 10−31 𝑘𝑔)

3

𝐸𝐹 = √6,4 × 1057 𝑚−3 ∙

4,4 × 10−67 𝐽2 ∙ 𝑠 2 7,3 × 10−30 𝑘𝑔

𝐸𝐹 = 1,9 × 1019 𝑚−1 ∙ 6,0 × 10−67 𝐽2 ∙

𝑠2 𝑘𝑔

𝐸𝐹 = 1,1 × 10−18 𝐽 Expresada en electro volts es igual a: 1,1 × 10−18 𝐽 ∙ 1𝑒𝑉 𝐸𝐹 = → 𝐸𝑓 = 7,2𝑒𝑉 1,60 × 10−19 𝐽 La energía del estado en el nivel de Fermi, llama energía de Fermi, 𝐸𝐹 para el cobre es de 1,1 × 10−18 𝐽 = 7,2𝑒𝑉. 3 b) La energía promedio de los electrones está dada por la ecuación 𝐸̅ = 5 𝐸𝐹 , como ya se

conoce la energía de Fermi entonces solo se sustituye. 𝐸̅ =

3 ∙ 7,2𝑒𝑉 → 𝐸̅ = 4,3𝑒𝑉 5

La energía promedio es de 4,3𝑒𝑉 = 6,9 × 10−19 𝐽 para el cobre. c) Para calcular la rapidez de los electrones en el nivel de Fermi se debe de tener en cuenta que la energía que se calculó en el inciso a es la energía cinética, por tanto la rapidez 1

estará dada por la ecuación 𝐸 = 2 𝑚𝑣 2 donde 𝐸 = 𝐸𝐹 y 𝑚 = 𝑚𝑒 . Al despejar la ecuación para resulta:

𝑣=√

2𝐸𝐹 2(1,1 × 10−18 𝐽) →𝑣=√ 𝑚𝑒 9,1 × 10−31 𝑘𝑔

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo 𝑣 = 1,6 × 106 𝑚/𝑠 La rapidez de los electrones será de 1,6 × 106 𝑚/𝑠 lo que corresponde a un 0,53% en comparación con la velocidad de la luz. 70. El núcleo 64Zn tiene una energía de 559,09 MeV use la formula semiempirica de energía para generar una estimación teórica de enlace para este núcleo. Los datos a utilizar son: a) Para el núcleo 64Zn, 𝑍 = 30, 𝑁 = 34 y 𝐴 = 64. b) Constantes: 𝐶1 = 15,7𝑀𝑒𝑉. 𝐶2 = 17,8𝑀𝑒𝑉. 𝐶3 = 𝑂, 71𝑀𝑒𝑉 𝐶4 = 23,6𝑀𝑒𝑉. c) Ecuación del enlace total (fórmula semi empírica) 2

𝐸𝑏 = 𝐶1 𝐴 − 𝐶2 𝐴3 − 𝐶3

𝑍(𝑍 − 1) 1

𝐴3

− 𝐶4

(𝑁 − 𝑍) 𝐴

Luego se procede a resolver sustituyendo las constantes y datos. 2

𝐸𝑏 = 15,7𝑀𝑒𝑉 × 64 − 17,8𝑀𝑒𝑉 × (64)3 − 𝑂, 71𝑀𝑒 𝐸𝑏 = 1004,8𝑀𝑒𝑉 − 285𝑀𝑒𝑉 − 154𝑀𝑒𝑣 − 5,9𝑀𝑒𝑉. Respuesta: 𝐸𝑏 = 556𝑀𝑒𝑉.

30(30 − 1) 1 (64)3

− 23,6𝑀𝑒𝑉

(34 − 30) 64

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo 71. Unos protones se colocan en un campo magnético con dirección 𝑧 y 2,30 T de magnitud. a) ¿Cuál es la diferencia de energías entre un estado con la componente 𝑧 de un protón de cantidad de movimiento angular espín paralela al campo, y uno con la componente anti paralela al campo? b) Un protón puede hacer una transición de uno a otro de esos estados, emitiendo o absorbiendo un fotón de energía igual a la diferencia de energías entre los dos estados. Calcule la frecuencia y la longitud de onda de ese fotón. Análisis Se supone que el campo magnético tiene la dirección de z positiva, y que el momento 1

magnético del protón tiene la misma dirección que su espín 2. Si la componente z del espín ⃗ , 𝜇𝑍 es igual al valor positivo; si la componente z del espín es opuesta a está alineada con 𝐵 ⃗ entonces es el negativo de ese valor. La energía de interacción en cualquier caso es 𝑈 = 𝐵 −𝜇𝑍 𝐵 y la diferencia de energía [lo que buscamos en el inciso a)] es la diferencia entre los valores de U para las dos orientaciones de espín. La frecuencia y la longitud de onda del fotón se determinan con las ecuaciones 𝐸 = ℎ𝑓 =

ℎ𝑐 𝜆

.

Solución. a) Cuando la componente Z de S (y de 𝝁⃗ ) es paralela al campo de energía. 𝑈 = −|𝜇𝑍 |𝐵 𝑈 = −(2,7928)(3,152 × 10−8 𝑒𝑉)(2,30𝑇) 𝑈 = 2,025 × 10−7 𝑒𝑉 Cuando las componentes son anti paralelas al campo de energía es 2,025 × 10−7 𝑒𝑉 y la diferencia de energía entre las dos es: ∆𝐸 = 2(2,025 × 10−7 𝑒𝑉) = 4,05 × 10−7 𝑒𝑉 ℎ = 6,626 × 10−34 𝐽 ∙ 𝑠 Si esta energía por segundo se expresa en electro volts se tendrá que:

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo

ℎ=

(6,63 × 10−34 𝐽 ∙ 𝑠)(1𝑒𝑉) 1,60 × 10−19 𝐽

ℎ = 4,14375 × 10−15 𝑒𝑉 ∙ 𝑠 b) La frecuencia y la longitud de onda del fotón correspondiente son: 𝑓=

∆𝐸 ℎ

4,05 × 10−7 𝑒𝑉 𝑓= 4,14375 × 10−15 𝑒𝑉 ∙ 𝑠 𝑓 = 9,8 × 107 𝐻𝑧 Como 1𝑀𝐻𝑧 = 1 × 106 𝐻𝑧 entonces 9,8 × 107 𝐻𝑧es igua a: 97,9 𝑀 𝐻𝑧 (9,8 × 107 𝐻𝑧)(1𝑀𝐻𝑧) 𝑓= 1 × 106 𝐻𝑧 𝑓 = 98𝑀𝐻𝑧 𝜆=

𝑐 𝑓

3 × 108 𝑚/𝑠 𝜆= 9,8 × 107 𝑠 −1 𝜆 = 3,06𝑚 El protón es una partícula de espín con un momento magnético, de manera que su energía depende de la orientación de su espín en relación con un campo magnético aplicado. 72. Calcule el nivel mínimo de energía para una partícula en una caja, si la partícula es un electrón, y la caja mide 5.0 × 10−10 𝑚 en su interior, es decir, es un poco mayor que un átomo. Datos: ℎ = 6,63 × 10−34 𝐽𝑠 𝑚 = 9,1 × 10−31 𝑘𝑔 Masa del electrón. 𝑙 = 5,0 × 10−10 𝑚

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo Ecuación: ℎ2 𝐸= 8𝑚𝑙 2 𝐸=

(6,63 × 10−34 𝐽𝑠 )2 8(9,1 × 10−31 𝑘𝑔)(5,0 × 10−10 𝑚)2 𝐸 = 2,4 × 10−19 𝐽 𝐸 = 1,5 𝑒𝑉

El mínimo de energía que presenta una partícula en una caja que mida 5.0 × 10−10 𝑚 es de 1,5 𝑒𝑉 lo que equivale a 2,4 × 10−19 𝐽. 73. Calcular cuántos fotones pos segundo emite una bombilla de 100𝑤. La longitud de onda visible es de 𝜆~6000𝐴. Datos 𝐼 = 100𝑤, como 1𝑤 = 1𝐽/𝑠 entonces 100𝑤 = 100𝐽/𝑠. 𝜆~6000𝐴, teniendo en cuenta que 1𝐴 es igual a 0,1𝑛𝑚 entonces 6000𝐴 = 600𝑛𝑚 Solución El número de fotones está dado por 𝑛𝐸 = 𝐼, como no se conoce el valor de 𝐸 se deberá de calcular, para lo cual se utiliza la siguiente ecuación 𝐸 = ℎ𝑐/𝜆. 𝐸=

(6,63 × 10−34 𝐽 ∙ 𝑠)(3 × 108 𝑚/𝑠) 600 × 10−9 𝑚 1,989 × 10−25 𝐽 ∙ 𝑠 ∙ 𝑚/𝑠 𝐸= 600 × 10−9 𝑚 𝐸 = 3,315 × 10−19 𝐽

Como ya se tiene el valor de la energía se calculará el número de fotones, para lo cual se debe de despejar la siguiente ecuación.

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo 𝑛𝐸 = 𝐼 → 𝑛 =

𝑛=

𝐼 𝐸

100𝐽/𝑠 3,315 × 10−16 𝐽

𝑛 = 3,016 × 1020 𝑓𝑜𝑡𝑜𝑛𝑒𝑠/𝑠 74. Un paquete de electrones es acelerado mediante una diferencia de potencial de 50 000𝑉 y posteriormente lanzado contra una placa de plomo para producir rayos 𝑋 por bremsstra hlung. Determine la longitud de onda mínima de los rayos 𝑋 que se pueden obtener con este montaje. Para solucionar este problema se debe de tener en cuenta que 1𝑉 es igual a 1𝑒𝑉. Por lo tanto en 50 000 𝑉 hay 50 000𝑒𝑉. Por lo tanto esta energía en Joule es igual a: 𝐸=

50 000𝑒𝑉 × (1,60 × 10−19 𝐽) 1𝑒𝑉 𝐸 = 8 × 10−15 𝐽

Como se tiene el valor de la energía se procede a calcular la longitud de onda mínima, la cual está dada por la siguiente ecuación. 𝜆=

ℎ𝑐 𝐸

(6.63 × 10−34 𝐽 ∙ 𝑠)(3 × 108 𝑚/𝑠) 𝜆= 8 × 10−15 𝐽 𝜆 = 2,48625 × 10−11 𝑚 La longitud de onda mínima de los rayos 𝑋 será de 2,48625 × 10−11 𝑚 lo que es equivalente a 0,024862𝑛𝑚.

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo

75. Demostrar las equivalencias entre unidades. 1𝑠 = 1,519 𝑥 1021 𝑀𝑒𝑉 −1 . 1𝑓𝑚 = 5,068 𝑥 10−3 𝑀𝑒𝑉. Datos: ћ = 1,055 × 10−34 𝐽 ∙ 𝑠 1𝑓𝑚 = 1 × 10−15 𝑚 Ecuaciones: 𝐸 = ℏ/𝑡 𝐸 = ℏ𝑐/𝜆 Solución: a) Para calcular la primera equivalencia se utiliza la siguiente ecuación 𝐸 = ℏ/𝑡. 1,055 × 10−34 𝐽 ∙ 𝑠 𝐸= 1𝑠 𝐸 = 1,055 × 10−34 𝐽 Convirtiendo esta energía a electrón volts resulta: 1,055 × 10−34 𝐽 × 1𝑒𝑉 𝐸= 1,60 × 10−19 𝐽 𝐸 = 6,59375 × 10−16 𝑒𝑉 Como un 𝑀𝑒𝑉 = 1 × 106 𝑒𝑉 entonces se tiene una energía de: 𝐸=

6,59375 × 10−16 𝑒𝑉 × 1𝑀𝑒𝑉 1 × 106 𝑒𝑉

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo 𝐸 = 6,5937510−22 𝑀𝑒𝑉 Como la relación está en 𝑀𝑒𝑉 −1entonces se divide 1 entre la energía. 𝐸 −1 =

1 = 1,516587448 × 1021 𝑀𝑒𝑉 −1 −22 6,5937510 𝑀𝑒𝑉

b) Para el cálculo de la energía para la segunda equivalencia se debe de tener en cuenta que un fermi 𝑓𝑚 es igual a 1 × 10−15 𝑚. 𝐸 = (1.055 × 10−34 𝐽 ∙ 𝑠)(3 × 108 𝑚/𝑠)/1 × 10−15 𝑚 𝐸=

3,165 × 10−26 𝐽 ∙ 𝑚 1 × 10−15 𝑚

𝐸 = 3,165 × 10−11 𝐽 Convirtiendo esta energía a electro volts resulta: 3,165 × 10−11 𝐽 × 1𝑒𝑉 𝐸= 1,60 × 10−19 𝐽 𝐸 = 197 812 500𝑒𝑉 En mega electro volts es: 𝐸=

197 812 500𝑒𝑉 × 1𝑀𝑒𝑉 1 × 106 𝑒𝑉

𝐸 = 197,8125 × 1013 𝑀𝑒𝑉 Como la equivalencia esta elevada a un exponente negativo entonces el resultado será: 𝐸 −1 =

1 = 5,0552 × 10−3 𝑀𝑒𝑉 −1 197,8125 × 1013 𝑀𝑒𝑉

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo

76. Determine la longitud de onda de Broglie para un protón que se mueve tres veces la velocidad del sonido. Solución

77. En un microscopio electrónico se aplica una diferencia de potencial de 20 KV para acelerar los electrones, determine la longitud de onda de los fotones de rayos X de igual energía que dichos electrones

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo

78.

Un cuerpo que describe una trayectoria circular de 1 m de radio pasa por la misma posición 30 veces por minuto

Averigua: a) El período. b) La frecuencia. c) La velocidad angular. d) La velocidad tangencial. e) La aceleración centrípeta.

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo 79.

Un volante de 50 cm de radio gira a razón de 60 vueltas/min. Calcula:

a) La frecuencia. b) El período. c) La velocidad en un punto de la periferia del volante. d) La aceleración centrípeta.

80. Una rueda de 1m de radio gira a razón de 120 r.p.m. (vueltas/minuto). Calcula: a) La frecuencia, el período y la velocidad angular. b) La velocidad lineal y la aceleración centrípeta de un punto de la periferia de la rueda.

81.

Un ciclista da vueltas por un circuito circular de 10 m de radio, con una velocidad constante de 10 m/s. Calcula la aceleración centrípeta, la frecuencia y el período del movimiento.

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo 82.

Una piedra se ata a una cuerda de 50 cm de longitud y se hace girar describiendo circunferencias, con una frecuencia de 3 vueltas por segundo. Calcula: a) La velocidad angular en rad/s y en r.p.m. b) La aceleración centrípeta a que está sometido la piedra y la fuerza centrípeta, si su masa es 200 g.

83.

Las ruedas de un coche tienen 70 cm de diámetro. Calcula la frecuencia y la aceleración centrípeta de un punto de la periferia cuando el coche marcha a 54 km/h.

84.

Las ruedas de un coche de carreras giran a 1800 r.p.m. Calcula la velocidad lineal del automóvil en km/h, sabiendo que las ruedas tienen un diámetro de 70 cm.

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo 85. Calcula el período en los siguientes movimientos circulares: a) La velocidad es de 2 m/s y el radio 1m. b) La frecuencia es de 10 Hz. c) Da 10 vueltas cada segundo. d) Describe media vuelta en 30 min

86. Un tiovivo cuya plataforma tiene un radio de 5 m, da una vuelta cada 15 s. Calcula: a) La velocidad angular en rad/s. b) La velocidad lineal en un punto situado en el borde de la plataforma. c) La posición angular a los 5 s.

87.

¿Cuál es la velocidad angular en rad/s de una rueda que gira a 300r.p.m?.

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo 88. Un punto se mueve en una circunferencia de radio 5m con movimiento circular uniforme. Calcular su velocidad, sabiendo que cada 5s recorre un arco de 2m. Calcular también su velocidad angular

89.

Una partícula recorre una circunferencia con movimiento circular uniforme, siendo 120º el ángulo girado en cada minuto. Calcular la velocidad angular de la partícula en rad/s.

90. Un disco gira a 45 r.p.m. Calcular las velocidades lineal y angular de los puntos que distan 1 cm del centro de giro

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo 91.

Siendo 30 cm. el radio de las ruedas de un coche y 956 las revoluciones que dan por minuto, calcular:

a) La velocidad angular de las ruedas en rad/s. b) La velocidad del coche en m/s y en Km/h

92. Si un cuerpo recorre una circunferencia de radio 80 cm. a razón de 0,4 rad/s. Determinar: a) El período del movimiento circular b) La velocidad en m/s c) El número de vueltas que da por minuto

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo 93.

Un tren eléctrico da vueltas por una pista circular de 50 m de radio con una velocidad constante de 10 cm/s. Calcular: a) La velocidad angula b) El período y la frecuencia c) El número de vueltas que dará en 10 s.

94.

Un disco de 60 cm. de diámetro gira a 72 r.p.m. Calcular: a) El período b) La velocidad angular c) La frecuencia d) La velocidad lineal en un punto de la periferia.

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo 95.

Un disco gira a razón de 45 r.p.m. Si su radio es de 1 decímetro ¿cuál será la velocidad lineal de un punto de su periferia?

96. ¿Cuánto mide un arco que comprende un ángulo de 1, 5 radianes si el radio de la circunferencia mide 10 m

97. ¿A qué ángulo corresponde un arco de 6m si el radio de la circunferencia a que pertenece mide 2 decímetros?

98.

¿Qué tiempo empleará un volante en dar 5000 vueltas si gira a razón de 6,28x103 rad/s.

Elaborado Por: Lic. Cliffor Jerry Herrera Castrillo

99.

Un jugador de Volibol playa lanza la pelota con una vo de 20 m/s con una inclinación de 450 con relación a la horizontal, estando la pelota en el aire por un espacio de 5 seg ¿Calcule la velocidad de la pelota en el plano horizontal?

Datos

Ecuación

𝑣0 = 20 𝑚/𝑠 𝛼 = 450

𝑣𝑥 = 𝑣0 . 𝐶𝑜𝑠 𝛼

Solución

Respuesta

𝑣𝑥 = (20 𝑚/𝑠)(𝐶𝑜𝑠 45)

La velocidad alcanzada

𝑣𝑥 = 1,14 𝑚/𝑠

por la pelota será de 1,14 𝑚/𝑠

𝑣𝑥 =?

100.

Una avioneta que despega del aeropuerto internacional de Nicaragua

Augusto César Sandino con una velocidad de 15 000 m/s, con un ángulo de inclinación con relación a la horizontal de 470 a. ¿Cuánto tiempo en minutos demorará en aterrizar en la laguna de Perlas? b. ¿Cuál es el tiempo de subida hasta alcanzar la máxima altura? Datos

Ecuación

𝑣0 = 15000 𝑚/𝑠 𝛼 = 470 𝑔 = 9,8 𝑚/𝑠 𝑡𝑣 =? 𝑡 =?

2

Solución 𝑡𝑣 =

2𝑣0 𝑆𝑒𝑛 𝛼 𝑡𝑣 = 𝑔 𝑡 = 2𝑡𝑣

2(15000𝑚/𝑠) 𝑆𝑒𝑛 47 9,8 𝑚/𝑠 2 𝑡𝑣 = 2235,4 𝑠 𝑡𝑣 = 37,25 𝑚𝑖𝑛 𝑡 = 18,625

Respuesta El tiempo de vuelo de la avioneta es de 3,73 𝑚𝑖𝑛