Problemas resueltos de Magnetostática

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Problemas resueltos de Magnetostática. En los siguientes problemas las distribuciones de corriente que producen los campos magnéticos se encuentran en todos los casos en el vacío o aproximadamente en el aire. Debe entenderse en la ley de BIOT-SAVART por r0 al versor en la dirección de r. Leandro Prevosto 1. Demostrar que el campo magnético en el centro de una bobina rectangular conductora de N espiras muy juntas, de lados a y b, circulada por una corriente eléctrica de intensidad i, viene dada por, B = 2µ µ0Ni[a2+ b2]1/2/π πab n Donde n es el versor normal al plano de la bobina y saliente de la hoja. x

ϕi

dl θf θ

r a

ϕf b

θi

y

Ni

De la forma geométrica de la bobina, se deduce que el campo magnético generado en el centro de ésta es la doble suma de los campos producidos por los lados de la bobina. Dado el hecho que la simetría del campo magnético no nos permite inicialmente encontrar una trayectoria cerrada de integración donde B resulte constante, es decir que pueda ser extraído del integrando en la ley de AMPERE, no resulta útil aplicarla. Luego debemos calcular B a partir de la ley de BIOT-SAVART. dB = (µ µ0/4π π)i(dl× ×r0)/r2 El campo magnético se obtiene a partir de integrar en el contorno cerrado de la bobina c la expresión de BIOTSAVART. B = (µ µ0/4π π)Nic ∫ (dl× ×r0)/r2 c

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Notar en la forma anterior, que debido a que la bobina consta de N espiras muy juntas, el campo generado es muy aproximadamente la suma del campo creado por cada espira, esto es, la corriente total es Ni. El campo magnético es la doble suma de los campos creados por lados, y la integral cerrada equivale, b/2

∫

B = 2{(µ µ0/4π π)Ni

a/2

(dl× ×r0)/r

2

∫

+ (µ µ0/4π π)Ni

−b / 2

(dl× ×r0)/r2}

−a / 2

Para la integral extendida al lado b se tiene, dl× ×r0 = dl Sen(θ θ) n dl = dx r2 = (a/2)2 + x2 Y para la extendida al lado a, dl× ×r0 = dl Sen(ϕ ϕ) n dl = dy r2 = (b/2)2 + y2 Entonces se sigue, b/2

∫

B = 2{(µ µ0/4π π)Ni

Sen(θ θ)dx/((a/2)2 + x2)

−b / 2 a/2

∫

+ (µ µ0/4π π)Ni

Sen(ϕ ϕ)dy/((b/2)2 + y2)}n

−a / 2

Llevando los denominadores de forma más conveniente se tiene,

los

integrandos

a

una

b/2

∫

2

µ0/a π)Ni B = 2{(µ

Sen(θ θ)dx/(1 + (x/(a/2))2)

−b / 2 a/2

+ (µ µ0/b2π)Ni

∫

Sen(ϕ ϕ)dy/(1 + (y/(b/2))2)}n

−a / 2

Integrales que pueden resolverse fácilmente por cambio de variable, x/(a/2) = Cot(θ θ) ⇒ 2 dx = -aCosec (θ θ)dθ θ/2 Además, y/(b/2) = Cot(ϕ ϕ) ⇒ 2 dy = -bCosec (ϕ ϕ)dϕ ϕ/2 Por una conocida identidad trigonométrica, se sigue, 1 + Cot2() = Cosec2() Los extremos deben ser ajustados a las nuevas variables, luego, x = -b/2 ⇒ θ = Arccot(-b/a) = θi x = b/2 ⇒ θ = Arccot(b/a) = θf También, y = -a/2 ⇒ ϕ = Arccot(-a/b) = ϕi

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y = a/2 ⇒ ϕ = Arccot(a/b) = ϕf Reemplazando por las nuevas variables, se tiene, θf

B = - {(µ µ0/aπ π)Ni ∫ Sen(θ θ)Cosec2(θ θ)dθ θ/Cosec2(θ θ) + θi ϕf

(µ µ0/bπ π)Ni ∫ Sen(ϕ ϕ)Cosec2(ϕ ϕ)dϕ ϕ/Cosec2(ϕ ϕ)}n ϕi

Simplificando, θf

ϕf

B = - {(µ µ0/aπ π)Ni ∫ Sen(θ θ)dθ θ + (µ µ0/bπ π)Ni ∫ Sen(ϕ ϕ)dϕ ϕ }n θi

ϕi

Es conveniente reescribir los extremos de integración en función de las funciones primitivas halladas, entonces observando el esquema de la bobina vemos que, Arccot(-b/a) = θi = Arccos((-b/2)/((a/2)2 + (b/2)2)1/2) Arccot(b/a) = θf = Arccos((b/2)/((a/2)2 + (b/2)2)1/2) Arccot(-a/b) = ϕi = Arccos((-a/2)/((a/2)2 + (b/2)2)1/2) Arccot(a/b) = ϕf = Arccos((a/2)/((a/2)2 + (b/2)2)1/2) Luego, resolviendo las integrales, B = {(µ µ0/aπ π)Ni[Cos(θ θf) - Cos(θ θi)] + (µ µ0/bπ π)Ni[Cos(ϕ ϕf) - Cos(ϕ ϕi)]}n 2 B = {(µ µ0/aπ π)Ni[b/((a/2) + (b/2)2)1/2] + π)Ni[a/((a/2)2 + (b/2)2)1/2]}n (µ µ0/bπ Expresión que puede ser simplificada, B = {2 µ0 Ni/(π π(a2 + b2)1/2)(b/a + a/b)} n πab n B = 2 µ0 Ni( a2 + b2 )/π Finalmente el campo magnético en el centro de una bobina rectangular de N espiras bien juntas circuladas por una corriente i, de lados a y b vale, B = 2 µ0 Ni(a2 + b2)/π πab n 2. Una corona circular aislante cuyo espesor es despreciablemente pequeño frente a su diámetro, se encuentra cargada eléctricamente con una densidad superficial de carga uniforme σ. Si la corona rota en torno al eje z con una frecuencia ω, y los radios de la corona son b y a, con b > a, demostrar: a) El vector campo magnético B evaluado en el centro de la corona, viene dado por, B = µ0σω(b-a)/2 k b) El vector dipolar magnético m de la corona rotante cargada uniformemente, es, m = σωπ(b4-a4)/4 k

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Este problema trata el caso de una distribución de corriente eléctrica superficial, nuevamente no es útil aplicar la ley de AMPERE, ya que no podremos extraer el campo B del integrando. Debemos entonces calcular B a partir de la ley de BIOT-SAVART. Debido al carácter distribuido de la corriente eléctrica, no es posible aplicar en forma directa la ley de BIOT-SAVART deducida para circuitos filiformes de corriente. dθ θ

a

r z, k

ω dA b

σ

θ

La ley de BIOT-SAVART para una carga de magnitud dq moviéndose con una velocidad v, sabemos que es, dB = (µ µ0/4π π)dq(v× ×r0)/r2 Dado que la carga eléctrica sobre el disco se distribuye superficialmente, y dando la velocidad lineal en función del radio y la frecuencia angular de giro, se tiene, dq = σdA v = ω × -r Notar que r se orienta hacia el centro, luego, µ0/4π π)σ σdA((ω ω × -r)× ×r0)/r2 dB = (µ En forma integral es, B = (µ µ0/4π π) ∫∫ σdA((ω ω × -r)× ×r0)/r2 A

Podemos hacer, dA = rdθ θdr Luego como la carga se distribuye de modo tiene,

uniforme

se

θ = 2π r = b

B = (µ µ0 σ/4π π)

∫ ∫ θ =0

La cual obtener,

puede

rdθ θdr((ω ω × -r)× ×r0)/r2

r =a

integrarse

inmediatamente

en

θ

para

r =b

B = (µ µ0 σ/2)

∫

rdr((ω ω × -r)× ×r0)/r2

r =a

Del esquema, y recordando dirección de r, vemos que,

que

r0

es

el

versor

en

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(ω ω × -r)× ×r0 = ωrk Luego, r =b

B = (µ µ0 σ ω/2)

∫

dr k

= µ0σω(b - a)/2

k

r =a

El campo magnético creado en el centro de la corona rotante cargada de modo uniforme es, B = µ0σω(b - a)/2 k Debemos calcular ahora, el momento dipolar magnético m de la distribución de corrientes. En un circuito filiforme de contorno c que limita una superficie de área A, circulado por una intensidad de corriente i, el vector m vale, m = i A Donde A es el vector área, que en un circuito plano es normal a la superficie limitada y su sentido se obtiene por la regla de la mano derecha recorriendo el contorno en el sentido de la corriente, y su módulo es el área de dicha superficie. Podemos dar la forma vectorial, ya conocida, donde el r utilizado tiene sentido contrario al convencional, m = i/2 ∫ -r× ×dl c

Cuando la corriente es distribuida, debemos modificar la expresión anterior de modo conveniente, haciendo, i dl = i v dt = dq v Donde v es la velocidad de la dq. Luego, m = 1/2 ∫ dq(-r× ×v) q

En este caso se tiene, m = 1/2 ∫ dq(-r× ×v) = σ/2 ∫∫ dA(-r× ×v) A

q

θ = 2π r = b

m = σ/2

∫ ∫ θ =0

r =a

θ = 2π r = b

(-r× ×v)rdrdθ θ = σω/2

∫ ∫ θ =0

r3drdθ θ k

r =a

La cual puede integrarse en forma inmediata para obtener el momento dipolar magnético de la corona rotante cargada uniformemente. m = σπω(b4 - a4)/4 k 3. Un conductor cilíndrico de radio b, conduce una corriente eléctrica de densidad uniforme J hacia el lector. El conductor presenta una oquedad cilíndrica coaxial de radio a, desplazada una distancia entre ejes s. Determinar utilizando el principio de superposición el vector campo magnético B, en el

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interior del cilindro hueco, sobre el diámetro del conductor. r r'

b

k

a s El principio de superposición lineal es uno de los principios fundamentales de la física. Los campos eléctricos y magnéticos aceptan el principio de superposición, esto es, las ecuaciones de MAXWELL, son lineales en E y B. Para aplicar el principio de superposición en la resolución de este problema, consideremos inicialmente que la oquedad cilíndrica practicada en el conductor no existe y calculemos el campo magnético en un punto donde se encontraría ésta, y sobre el diámetro del conductor. Debido a la simetría de la distribución de corriente, podremos calcular el campo magnético utilizando la ley de AMPERE dado que el campo B posee simetría cilíndrica, y en consecuencia puede ser extraído del integrando en toda trayectoria circular c centrada respecto del conductor. Si hacemos que r cumpla con la condición que el contorno c pase por la región donde se encontraría la oquedad y debemos determinar B, se tiene, ∫ Bcond.dl = µ0 ∫∫ J.dA c

A (c )

Recorriendo el contorno de la circulación en el sentido antihorario, la corriente que lo atraviesa será positiva, entonces la dirección y sentido de Bcond, coincide con el versor k del esquema. Bcond = (µ µ0J/2)r k Determinemos ahora el campo magnético en el mismo punto pero considerando únicamente los efectos de la oquedad cilíndrica. Podemos pensar que la oquedad es en verdad una región cilíndrica donde la corriente circula en sentido contrario al resto del conductor, de este modo,

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el efecto neto de superposición en la oquedad es corriente nula. Sea entonces el contorno c' pero ahora centrado en la oquedad, y de un radio r' tal que pase por el punto anterior, esto es, ∫ Boqued .dl = µ0 ∫∫ J.dA c'

A ( c ')

Luego, recorriendo el contorno con igual sentido, es decir, sentido antihorario, la corriente debe ser considerada negativa puesto que posee sentido contrario al sentido indicado por la regla de la mano derecha, entonces la circulación debe ser negativa y el campo Boqued tendrá sentido contrario al anterior. Luego, el campo Boque generado únicamente por la oquedad, en realidad por la corriente que resta la oquedad, vale, Boqued = (µ µ0J/2)r'(-k) Ahora debemos sumar los campos determinados en el mismo punto interno de la oquedad y sobre el diámetro del conductor, entonces, B = Bcond + Boqued = (µ µ0J/2)(r -r') k Del esquema es claro que, r -r' = s Finalmente el campo B generado por un conductor cilíndrico con una oquedad cilíndrica paralela al eje longitudinal y separado de éste una distancia s, y circulado por una corriente eléctrica uniforme de densidad J vale, µ0J/2) s k B = (µ Es importante notar que la solución anterior un tanto simple, sólo podría haber sido obtenida no sin considerable dificultad utilizando la ley de BIOT-SAVART. 4. Se tienen dos bobinas de N espiras muy juntas de radio a recorridas por corrientes constantes de igual sentido e intensidad i, separadas una distancia igual a su radio tal como lo indica el esquema. El dispositivo señalado se denomina bobinas de HELMHOLTZ, y es utilizado para la generación de un campo magnético axial aproximadamente uniforme en una pequeña región en derredor del punto Z=a/2, puesto que allí es, dB/dz=0 y d2B/dz2=0.Determinar: a) El vector campo magnético en Z=a/2. b) Demostrar que en ese punto es dB/dz=0.

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El campo magnético producido por la disposición de las bobinas de HELMHOLTZ debe determinarse por la ley de BIOT-SAVART. α'

α

Ni

Ni dθ θ'

r'

dθ θ

a k

r

0

z

z

a

µ0/4π π)Nic ∫ (dl× ×r0)/r2 B = (µ c

El campo magnético en el punto z generado por las dos bobinas es, B = (µ µ0/4π π)Ni{ ∫ (dl× ×r0)/r2 + ∫ (dl'× ×r0')/r'2} c

c'

La dirección de los campos magnéticos diferenciales está dada por la dirección y sentido del producto vectorial (dl× ×r0) y de su equivalente primado. Es claro por la simetría de las bobinas, que eligiendo dos elementos dl o dl' diametralmente opuestos las componentes que no se encuentren en la dirección del eje z se anularán. Luego el campo se encontrará íntegramente en dirección k, y deberemos sumar las componentes creadas por las bobinas que se encuentren en esa dirección únicamente. B = (µ µ0/4π π)Ni{ ∫ dl Cos(α α)/r2 + ∫ dl' Cos(α α')/r'2}k c

c'

Donde observando el esquema se tiene, dl = a dθ θ dl' = a dθ θ' 2 2 r = (a + z2) r'2 = (a2 + (a - z)2) Cos(α α) = a/(a2 + z2)1/2 Cos(α α') = a/(a2 + (a - z)2)1/2 Entonces reemplazando en la expresión de B, se sigue,

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θ = 2π

B = (µ µ0/4π π)aNi{

∫ θ

dθ θ a/(a2 + z2)3/2

=0

θ '= 2π

+

∫ θ

dθ θ'a/(a2 + (a - z)2)3/2 }k

'= 0

B = B(z) = (µ µ0/2)a2Ni{1/(a2 + z2)3/2 + 1/(a2 + (a - z)2)3/2 }k La expresión anterior del campo B creado por las bobinas de HELMHOLTZ es válida para todo valor de z. Luego, el campo en z = a/2 vale, µ0Ni/a)8/53/2 k B = (µ Derivando respecto de z la expresión B(z), se tiene, dB(z)/dz = (µ µ0/2)a2Ni{-3z/(a2 + z2)5/2 + 3z(a - z)/(a2 + (a - z)2)5/2}k Evaluando la derivada en el punto medio sobre el eje, z = a/2, es, (dB/dz)z = a/2 = 0 Si evaluáramos la derivada segunda en z = a/2, obtendríamos idéntico resultado. (d2B/dz2)z = a/2 = 0 Las bobinas de HELMHOLTZ se utilizan frecuentemente para producir un campo magnético relativamente uniforme sobre una pequeña región del espacio enderredor del punto z = a/2. Notar que allí se anulan tanto la primera como la segunda derivada, lo que indica que la variación del campo es muy pequeña en la región central. 5. Dos conductores muy largos transportan corrientes eléctricas iguales y antiparalelas como se muestra en el dibujo. Demostrar que el módulo del vector campo magnético B en el punto P, que equidista de los conductores viene dado por, B = 2µ µ0id/π π(4R2 + d2) Determinar también su dirección y sentido Corriente saliente de la hoja

r

s

d

R P θ

k Corriente entrante a la hoja

s'

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Este problema puede ser resuelto utilizando la ley de AMPERE, puesto que el campo magnético es altamente simétrico de modo que podemos fácilmente elegir un contorno cerrado donde el campo resulta constante. Por la ley de AMPERE, ∫ B.dl = µ0 ∫∫ J.dA = µ0 ∑ i c

A( c )

i

Elegiremos los contornos de integración centrados en los conductores y de radio r con sentido de circulación positivo antihorario. Observando el esquema y de acuerdo con la regla de la mano derecha, la corriente saliente de la hoja es positiva y la entrante negativa. El campo magnético creado por la corriente saliente debe estar en dirección y sentido del versor s, puesto que debe coincidir en sentido y dirección con la tangente del contorno en todo punto recorriendo éste en el sentido adoptado, esto es, B.dl > 0. Llamando a este campo como Bs, se tiene, Bs = (µ µ0i/2π π)/((d/2)2 + R2)1/2 s Luego, el campo producido por la corriente entrante debe tener sentido contrario al adoptado para la circulación, B.dl < 0, llamando a éste como Be se tiene, µ0i/2π π)/((d/2)2 + R2)1/2 s' Be = (µ Del esquema resulta claro que el campo magnético total B estará íntegramente en la dirección del versor k, y es la suma de las componentes de los campos en esa dirección. B = (µ µ0i Cos(θ θ)/π π)/((d/2)2 + R2)1/2 k Donde, Cos(θ θ) = (d/2)/((d/2)2 + R2)1/2 Luego es, µ0id/2π π)/((d/2)2 + R2) k B = (µ B = (2µ µ0id/π π)/(d2 + 4R2) k Entonces el campo B en el punto equidistante de los conductores vale, B = 2µ µ0id/π π(d2 + 4R2) k

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