1ª aula - Teoria das Estruturas

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Teoria das Estruturas

Universidade Paulista Departamento de Engenharia Civil Teoria das Estruturas Profª.: Valdir Oliveira Junior

OBJETIVOS PLANO DE ENSINO

CURSO: Engenharia Civil DISCIPLINA: Teoria das Estruturas SÉRIE: 7o Semestre CARGA HORÁRIA SEMANAL: 02 horas-aula CARGA HORÁRIA SEMESTRAL: 40 horas-aula

I - EMENTA

Estabelecimento de conceitos teóricos e aplicações práticas na análise estrutural de estruturas hiperestáticas: treliças , vigas contínuas e pórticos.

OBJETIVOS II - OBJETIVOS GERAIS

Desenvolver conceitos fundamentais da engenharia estrutural, aplicados a quaisquer materiais utilizados na construção da estrutura. Desenvolver a criatividade do aluno para a concepção de estruturas. Assegurar ao aluno o domínio dos principais processos de cálculo estrutural.

III - OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Estudar conceitos, princípios básicos e teoremas clássicos da teoria das estruturas hiperestáticas. Dimensionar os principais tipos de arcabouços estruturais. Analisar critérios de projeto estrutural, voltados para a segurança e bom desempenho das estruturas.

OBJETIVOS IV - CONTEÚDO PROGRAMÁTICO

Calculo de estruturas planas isostáticas e hiperestáticas. Grau de hiperestaticidade de estruturas. Estudo de Vigas contínuas pela Equação dos Três Momentos e pelo Processo de Cross. Principio dos trabalhos virtuais- PTV. Calculo de deslocamentos. Método das forças aplicado a vigas e pórticos hiperestáticos. Estudo de treliças hiperestáticas pelo Método das forças.

V - ESTRATÉGIA DE TRABALHO Explanação em sala de aula, com utilização de recursos audiovisuais. Apresentação de exemplos práticos ilustrando os conceitos. Trabalhos práticos e exercícios de aplicação da teoria estudada. Cálculos estruturais elaborados manualmente e com a utilização de recursos de informática.

OBJETIVOS VI - AVALIAÇÃO O desempenho do aluno será avaliado de acordo com o regulamento vigente na Universidade.

VII - BIBLIOGRAFIA Básica SUSSEKIND, J. C. “Curso de Análise Estrutural”, Editora Globo, Rio de Janeiro, 3 volumes, 1983. STAMATO, M.C. “Deslocamentos em estruturas lineares”. São Carlos, Escola de Engenharia de São Carlos - EESC, Departamento de Engenharia de Estruturas. CAMPANARI, F. A. “Teoria das Estruturas”, Editora Guanabara Dois, Rio de Janeiro, 1990. SILVA, J. F. Jr. “O Método de Cross”, Editora Mcgraw Hill do Brasil, 1975.

OBJETIVOS VII - BIBLIOGRAFIA

Complementar TIMOSHENKO, S. P.; GERE, J. E. “Mecânica dos Sólidos”, Volumes 1 e 2, Editora LTC, Rio de Janeiro, 2001. BRANCO, C. A. G. de M. “Mecânica dos Materiais”, Editora CalousteGulbelkian, Lisboa, 1995. GERE, J. M. “Mecânica dos Materiais”, Rio de Janeiro: LTC, 2003-2010. ASSAN, A.E. “Métodos energéticos e análise estrutural”, Campinas, SP, Editora a Unicamp, 1996, 124p. MENEZES, F.A. “Teoria das estruturas”, Campinas. Universidade Estadual de Campinas - UNICAMP, Faculdade de Engenharia Civil, Departamento de Estruturas, mar. 2006.

Tipos de Estruturas

ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS São estruturas que apresentam as mínimas condições de manutenção do equilíbrio estático diante da atuação de qualquer carregamento. A estrutura isostática não apresenta reserva de segurança, por isso caso ocorra o rompimento de um de seus vínculos, a estrutura se tornará hipoestática.

número de reações de apoio = número de equações de equilíbrio Exemplo:

HB

Temos: VA

3 Reações de Apoio → VA , VB e HB 3 Equações de Equilíbrio → ∑FH = 0, ∑FV = 0 e ∑Mz = 0

VB

ESTRUTURAS HIPOESTÁTICAS As estruturas hipoestáticas são aquelas que não possuem as condições mínimas de manutenção do equilíbrio estático diante da solicitação de qualquer carregamento. Este tipo de estrutura NÃO pode ser projetada, por serem inadmissíveis para as construções devido à sua INSTABILIDADE.

número de reações de apoio < número de equações de equilíbrio Exemplo:

VA

Temos: 2 Reações de Apoio → VA e VB 3 equações de Equilíbrio → ∑FH = 0 , ∑FV = 0 e ∑Mz = 0

VB

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS

As estruturas hiperestáticas são as estruturas mais freqüentes na pratica e são as que devem preferencialmente ser utilizadas. Este tipo de estrutura possui reserva de segurança, apresentando portando condições além das necessárias para manter o equilíbrio estático. Caso haja, o rompimento de um de seus vínculos, a estrutura manterá a sua estaticidade. É necessário impor condições de compatibilidade de deformação para obter mais equações e resolver o sistema.

número de reações de apoio > número de equações de equilíbrio Exemplo: HB

HA

Temos: VA

4 Reações de Apoio → VA, HA, VB e HB 3 Equações de Equilíbrio →∑FH = 0 , ∑FV = 0 e ∑Mz = 0

VB

Tipos de Apoio

Solicitações em Estruturas Isostáticas Submetidas a Diferentes Tipos de Carregamentos

ESFORÇOS SIMPLES Seja um corpo submetido a um conjunto de forças em equilíbrio:

P2

E

P3

P1, P2, P3, P4 → forças externas

P1

Seção S

D

P4

CÁLCULO DOS ESFORÇOS NA SEÇÃO S P2

a) Secciona-se o corpo por um plano que intercepta segundo uma seção S, dividindo-o em 2 partes: E e D.

P1

Seção S

E

D P4

P3

b) Para ser possível esta divisão, preservando o equilíbrio destas duas partes, basta que apliquemos, na seção S, um sistema estático equivalente ao das forças da parte retirada. P1

y

P2

my

D

Qy Qx mx

E

mz z

P3

x

z

mz Qz

Qz

mx x

Qx

P4

Qy my

y

c) Aplicando as equações de equilíbrio a qualquer das duas partes, obtêm-se os esforços atuantes nas seções.

Tipos de Esforços

ESFORÇO NORMAL Soma algébrica das componentes, na direção normal à seção, de cada uma das forças atuantes de um dos lados desta seção. O esforço normal pode ser de dois tipos: tração ou compressão.

Compressão

Tração

Convenção de Sinais: N

+ Tração

N

N

Compressão

N

ESFORÇO CORTANTE Soma vertical das componentes, sobre o plano da seção, das forças situadas em um dos lados desta seção, na perpendicular do eixo da estrutura. O esforço cortante pode ocorrer em relação ao eixo y ou em relação ao eixo z.

Esforço EsforçoCortante Cortanteem emRelação Relaçãoao aoeixo eixoy:z: Esforço Cortante Positivo

Esforço EsforçoCortante CortanteNegativo Negativo

Convenção de Sinais:

Conclusão: um esforço Q cortante Qy ou Qz, é positivoQquando, calculando pelas forças situadas do lado esquerdo da seção, tiver o sentido positivo dos eixos y e z ou, quando for calculado pelas forças situadas do lado + os sentido oposto ao sentido positivo direito da seção, tiver dos eixos y e z. Em caso contrário, o esforço cortante será negativo. Q

Esforço Cortante Positivo

Q

Esforço Cortante Negativo

MOMENTO TORÇOR Soma algébrica dos momentos das forças situadas de um dos lados desta seção em relação ao eixo normal à seção que contém o seu centro de gravidade.

Momento Torçor Positivo

Momento Torçor Negativo

Convenção de Sinais: T

+ Momento Torçor Positivo

T

T

-

Momento Torçor Negativo

T

MOMENTO FLETOR

Soma algébrica dos momentos das forças atuantes de um dos lados da seção em relação ao seu centro de gravidade. Quando ocorre o momento fletor, um dos bordos da viga sofre tração e o outro bordo sofre compressão. Assim como o esforço cortante, o momento fletor pode ocorre em torno do eixo x ou em torno do eixo y.

Momento Momento Fletor Fletor em em Relação relação ao ao eixo eixo y: z: Momento Fletor Positivo

Momento Fletor Negativo Bordo Tracionado Bordo Tracionado

Bordo Comprimido Bordo Comprimido

Bordo BordoTracionado Tracionado

m

+

BordoComprimido Comprimido Bordo

Convenção de Sinais: m

Momento Fletor Positivo

m

-

m

Momento Fletor Negativo

RESUMINDO: No caso mais geral, podemos ter os seguintes esforços simples:

a) Esforço Normal N; b) Esforços Cortantes Qy e Qz;

c) Momento Torçor T; d) Momentos Fletores my e mz

OBSERVAÇÃO IMPORTANTE: No caso de estruturas planas, que apresentem carregamentos atuantes apenas no seu próprio eixo, temos a atuação somente dos seguintes esforços:

- N → Esforço Normal ( seja de tração ou de compressão) - Qy → Esforço Cortante em relação ao eixo y - Mz → Momento Fletor em relação ao eixo z

Convenção de Sinais para a Elaboração de Diagramas

Esta é a convenção de sinais que devemos utilizar para elaborar os diagramas de esforços solicitantes.

Convenção Referente ao Sinal Positivo

Convenção Referente ao Sinal Negativo

Traçado de Diagramas em Viga Isostática Submetida a Carga Concentrada

Apresentamos uma estrutura bi apoiada, com um apoio de 20 gênero e outro de 10. A estrutura, cujo comprimento é L, está submetida a uma carga concentrada P. P

A VA = Pb L

S2

S1

B C

x

y

VB = Pa L

a

b L

Cálculo das Reações de Apoio: ∑FV =0 → VA + VB = P ∑MB = 0 → VA . L – P . b = 0, logo: VA = Pb/L ∑MA = 0 → VB . L – P . A = 0, logo: VB = Pa/L

Conferindo: VA +VB = Pb/L + Pa/L = P → OK

Calculando os esforços nas seções S1 e S2: S1

A

Cálculo dos Esforços na Seção S1: Q1 = VA =

Pb/L

→ constante

m1 = VA . x = Pb/L . x → Equação de uma reta

VA = Pb L

Q1 m1

x

Cálculo dos Esforços na Seção S2:

Q2 = VA – P = VA – ( VA + VB) = Pb/L – (Pb/L +Pa/L) = Pb/L – Pb/L – Pa/L = - Pa/L → cte m2 = VA . y – P ( y – a )= Pb/L . y – P ( y – a )→ Equação de uma reta P A VA = Pb L

S 2 Q2

S1 x

C y

m2

DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE O diagrama de esforço cortante deve ser traçado seguindo o sentido das forças atuantes na estrutura. Analisando a estrutura a partir do lado esquerdo, inicialmente temos: - No ponto A, a força cortante Pb/L para cima, - Posteriormente, no ponto C, a carga concentrada P para baixo. - E finalmente, no ponto B, a força Pa/L para cima.

Pb L

+ A

C

B

Observe que o diagrama de esforço cortante de uma estrutura submetida apenas a cargas concentradas é uma constante

Pa L

DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR Cálculo do Momento Fletor: mA = 0 e mB = 0 mC esquerda= VA. a =

Pb/L

. a = Pba/L → Equação da reta

mC direita = VB . b = Pa/L . b = Pab/L → Equação da reta

+

m máx = Pab L

Observe que o diagrama de momento fletor de uma estrutura submetida apenas a cargas concentradas é retilíneo.

Traçado de Diagramas em Viga Isostática Submetida a Carga Uniformemente Distribuída

Apresentamos uma estrutura bi apoiada, com um apoio de 20 gênero e outro de 10. A estrutura, cujo comprimento é L, está submetida a uma carga uniformemente distribuída q.

q B

A VA = qL 2

VB = qL 2 Cálculo das Reações de Apoio: ∑FV =0 → VA + VB = q . L ∑MB = 0 → VA . L – qL . L/2 = 0, logo: VA = qL/2 ∑MA = 0 → VB . L – qL . L/2 = 0, logo: VB = qL/2 Conferindo: VA +VB = qL/2 + ql/2 = qL → OK

Como não há carga horizontal atuando na barra ou mesmo carga inclinada com componente horizontal, não existem reações no eixo x. Portanto,neste caso não há diagrama de esforço normal.

DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE

Cálculo do Esforço Cortante:

DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR Cálculo do Momento Fletor:

Traçado de Diagramas em Vigas Inclinadas Submetidas a Carga Concentrada

Apresentamos uma estrutura bi apoiada com uma viga inclinada, sendo o apoio da esquerda de 20 gênero e o da direita de 10. Colocamos ainda uma carga concentrada q atuando na viga cujo comprimento é L.

B

VB cos a q

VB sen a VB

Temos: L

a A VA cos a

VA sen a VA

L=

a² + b²

VA = VB = q . L 2 Tg a = b a

DIAGRAMA DE ESFORÇO NORMAL qL sena 2

Cálculo do Esforço Normal: N(x) = -VA . sena + q . sena . x (equação da reta) p/x = 0 → NA = - qL . sena 2 p/x = L → NB = -qL . sena + q . sen a . x 2 → NB = qL . sena 2

qL sena 2

+

DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE qL . cosa 2

-

+ qL . cosa 2

Cálculo do Esforço Cortante: Q(x) = VA . cosa – q . cosa . x (equação da reta) p/x = 0 →QA = qL . cosa 2 p/x = L →QB = qL . cosa – q . cosa . x 2 →QB = -qL . cosa 2

DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR Cálculo do Momento Fletor: m(x) = VA. cos a .x – q.cos a . x . x 2 m(x) = qL . cos a .x – q.cos a . x² 2 2

+ q . cosa. L² 8

Cálculo do Momento Máximo: m máx = qL/2 . cosa . L/2 – q. cosa . ½ . (L/2)²

m máx = q. cosa . L²/4 – q. cosa . L²/8 = q.cosa . L²/8

Carga Triangular

Apresentamos uma estrutura bi apoiada, com um apoio de 20 gênero e outro de 10. A estrutura, cujo comprimento é L, está submetida a uma carga triangular.

S A

PS

VA = PL 6

P B

VB = PL 3

Cálculo das Reações de Apoio: ∑FV =0 → VA + VB = ½ . P . L ∑MB = 0 → VA . L – ½ . P . L . L/3 = 0, logo: VA = PL²/6L = PL/6 ∑MA = 0 → VB . L – ½ . P . L . 2L/3 = 0, logo: VB = PL/3 Conferindo: VA +VB = PL/6 + PL/3 = PL/2 → OK

DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE Cálculo dos Esforços na seção S: PS/x

= P/L → PS = Px/L Cortante:

QS = VA – ½ . PS . x = PL/6 – ½ . Px/L . x

S

PS = P. x L

A

VA = Pl 6

QS = PL/6 – Px²/2L → Parábola do 2º grau

PL 6

+

-

PL 3

DIAGRAMA DO MOMENTO FLETOR Cálculo do Momento Fletor: mS = PL/6 . x – ½ . PS . x . x/3 = PL/6 . x – ½ . Px/L . x . x/3

mS = PL/6 . x – PX³/6L → Parábola do 3º grau

+ 0,064PL²

m máx = 0,064PL²

Cálculo do Momento Máximo: → O momento máximo ocorre no ponto onde o cortante é nulo,

para que a seção S ocorra onde o cortante é nulo, temos: QS = PL/6 – Px²/2L = 0 → x² = L²/3 → x = 0,577 . L m máx = PL/6 . 0,577L – P.(0,577L)³/6L

m máx = 0,09622L² - 0,032PL² m máx = 0,064PL²

APLICAÇÃO A TEORIA Exercício 1 – traçar os diagramas de M; Q e N

APLICAÇÃO A TEORIA Exercício 1 – traçar os diagramas de M; Q e N Diagrama de esforço cortante – V (kN)

Diagrama de momento fletor – M (kN.M)

APLICAÇÃO A TEORIA Exercício 2 – traçar os diagramas de M; Q e N

APLICAÇÃO A TEORIA Exercício 2 – traçar os diagramas de M; Q e N Diagrama de esforço cortante – V (kN)

Diagrama de momento fletor – M (kN.M)

APLICAÇÃO A TEORIA Exercício 3 – traçar os diagramas de M; Q e N

APLICAÇÃO A TEORIA Exercício 3 – Traçar os diagramas de M; Q e N Diagrama de esforço cortante – V (kN)

Diagrama de momento fletor – M (kN.M)

APLICAÇÃO A TEORIA Exercício 4 – traçar os diagramas de M; Q e N

APLICAÇÃO A TEORIA Exercício 4 – traçar os diagramas de M; Q e N Diagrama de esforço cortante – V (kN)

APLICAÇÃO A TEORIA Exercício 4 – traçar os diagramas de M;Q e N Diagrama de momento fletor – M (kN.M)

APLICAÇÃO A TEORIA Exercícios propostos – traçar os diagramas de M;Q e N

APLICAÇÃO A TEORIA Exercícios propostos – traçar os diagramas de M;Q e N

APLICAÇÃO A TEORIA Exercícios propostos – traçar os diagramas de M;Q e N

APLICAÇÃO A TEORIA Exercícios propostos – traçar os diagramas de M;Q e N