Teoria 1. Conceptos basicos, expresiones algebraicas

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UNIVERSIDAD ANTONIO NARIÑO CÁLCULO DIFERENCIAL Teoria 1. Conceptos basicos, expresiones algebraicas

INTRODUCCIÓN El curso de cálculo diferencial exige como prerrequisito el conocimiento del álgebra básica, por lo cual en este taller se hace un rápido repaso de los conceptos más útiles del álgebra elemental. OBJETIVOS 1. Que el estudiante recuerde los conceptos básicos de álgebra y los pueda emplear en el cálculo diferencial. 2. Afianzar los conceptos algebraicos para aquellos estudiantes que tienen ciertas dificultades en el manejo de estos temas. METODOLOGÍA La metodología a emplear es la de trabajo cooperativo, es decir, se divide el curso en grupos de estudiantes, quienes deben resolver los ejercicios. Cada miembro del grupo hace aportes dependiendo de sus capacidades y grado de comprensión de los temas, y aprende y/o profundiza con los aportes de sus compañeros. Cuando se requiere el profesor coopera a cada grupo de trabajo o a todos, con aclaraciones, aportes, sugerencias, correcciones etc. LOGROS Un estudiante alcanzara sus logros si: 1. Realiza operaciones en ℝ. 2. Reconoce los números reales y sus propiedades. 3. Resuelve ejercicios de potenciación y radicación. 3. Dados dos o más polinomios realiza operaciones con ellos y simplifica los resultados. 4. Dado un polinomio realiza su factorización. 5. Identifica los productos notables y los resuelve con facilidad. 6. Dada una ecuación lineal o cuadrática la resuelve en forma correcta. 7. Resuelve un sistema de dos ecuaciones con dos variables. 8. Resuelve problemas con ecuaciones lineales y cuadráticas. 9. Resuelve ejercicios con fracciones algebraicas. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES (ℝ) El conjunto de los números reales está constituido por los conjuntos: Números naturales:

ℕ

Números enteros:

ℤ

Números racionales: ℚ Números irracionales: 𝕀

2 A continuación se muestra, en un diagrama de Venn su composición:

Aquí podemos observar las siguientes características entre los reales y sus subconjuntos: ℝ=ℚ∪𝕀, ℚ∩𝕀 =∅ , ℕ⊂ℤ⊂ℚ ⊂ ℝ El conjunto de los números Reales tiene dos operaciones: Suma y producto. Estas operaciones satisfacen las siguientes propiedades. i) ii) iii) iv) v) vi) vii) viii) ix) x)

Si a , b  ℝ entonces a+b  ℝ Si a , b  ℝ entonces a+b=b+a Si a, b, c  R entonces (a+b)+c=a+(b+c) Existe un elemento 0  ℝ tal que a+0=0+a=a para todo a  ℝ Para cada elemento a  ℝ, hay un elemento -a  ℝ tal que; a+(-a)=(-a)+a=0. Si a , b  ℝ entonces ab  ℝ . Si a , b  ℝ entonces ab=ba Si a, b, c  ℝ entonces (ab)c=a(bc) Existe un elemento 1  ℝ tal que a1=1a=a para todo a  ℝ 1 Para cada elemento a  ℝ, a  0 hay un elemento  a 1  ℝ tal que; a 1 1 a( a )=( a )a=1. Si a, b, c  ℝ entonces: a(b+c)=ab+ac y (a+b)c=ac+bc

Nota: El símbolo  se lee “Pertenece a…” Existe un subconjunto no vació ℝ+ de ℝ llamado el conjunto de los números reales positivos que satisfacen las siguientes propiedades: i) ii) iii)

Si a y b  ℝ+ entonces a +b  ℝ+ Si a y b  ℝ+ entonces ab  ℝ+ Si a  ℝ entonces se satisface una sola de las siguientes propiedades: a  ℝ+, a = 0 , - a  a ℝ+ (Propiedad de tricotomía)

De igual manera existe un subconjunto no vació ℝ− de ℝ llamado el conjunto de los números reales negativos, que se define así: ℝ− ={-a / a  ℝ+}. POTENCIACIÓN Definición Sea a un número real, entonces el producto de a por sí mismo n veces se escribe: a.a.a.a……..a = an donde a es la base y n es el exponente.

3

PROPIEDADES 1. 𝑎0 = 1 , 𝑎 ≠ 0 2. 𝑎1 = 𝑎 3. 𝑎𝑛 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚 4. (𝑎𝑛 )𝑚 = 𝑎𝑛𝑚 5. (𝑎𝑏𝑐)𝑛 = 𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑐 𝑛 𝑎 𝑛

𝑎𝑛

6. [𝑏 ] = 𝑏𝑛 𝑎𝑛

7. 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛−𝑚 1

8. 𝑎−𝑛 = 𝑎𝑛 9. Si 𝑎 ≠ 0 y n es par, entonces 𝑎𝑛 > 0 10. Si 𝑎 < 0 y n es impar, entonces 𝑎𝑛 < 0

RADICACIÓN Definición. Sea n un entero positivo mayor que 1 y a un número real. Se define la raíz enésima de a como n a donde a se llama el radicando, n es el índice del radical y es el símbolo de radicación. Se presentan los siguientes casos: 1. Si a = 0 entonces

n

2. Si a > 0 entonces

n

a =0 a es el número real positivo, b, tal que b n  a

3. Si a < 0 y n es impar, entonces 4. Si a < 0 y n es par, entonces

n

n

a es el número real negativo, b, tal que b n  a

a no es un número real.

Observaciones La expresión

2

La expresión

3

La expresión

4

a se llama raíz cuadrada de a, también se escribe a se llama raíz cúbica de a a se llama raíz cuarta de a

PROPIEDADES DE RADICACIÓN 𝑛

1. √𝑥 𝑛 = 𝑥

si n es impar

𝑛

2. √𝑥 𝑛 = | 𝑥 | 𝑛

3. √ 𝑚√𝑥 =

si n es par

𝑛𝑚

√𝑥

4. 𝑛√𝑥 𝑛√𝑦 𝑛√𝑧 = 𝑛√𝑥𝑦𝑧 𝑛

𝑎

5. √ = 𝑏

𝑛

√𝑎

𝑛

√𝑏

SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES Un radical se encuentra simplificado si:

a

4

1. La cantidad subradical No tiene factores con potencias mayores que el valor del índice. Ejemplo: El radical 12x 2 y 5 No está simplificado, hay factores que se deben extraer del radical, así: 12x 2 y 5  4(3)x 2 y 2 y 2 y  4 3 x 2 y 2 y 2 y  2 xy 2 3 y (Aplicando propiedades)

2. La expresión NO es una sucesión de radicales uno dentro del otro. Ejemplo: El radical

3 xy No está simplificado, aplicando la propiedad 3, tenemos:

3 xy  8 3 xy

3. El índice del radical no es simplificable. Ejemplo: El radical 6 16x 4 y 4 No se encuentra simplificado, aplicando propiedades, tenemos: 4 6

4 6

2 3

2 3

2 3

2 3

16x y  ( 16 )( x )( y )  ( 2 )(x )( y )  (2 )(x )( y )  (2 xy)  3 (2 xy) 2  3 4 x 2 y 2 Entonces: 6 16x 4 y 4 = 3 4 x 2 y 2 6

4

4

6

6

4

6

4

6

4

OPERACIONES CON RADICALES Radicales semejantes. Dos radicales son semejantes si tienen el mismo y el mismo radicando. Suma de radicales. Sólo es posible sumar radicales semejantes. Ejemplos:

3 x  4 x  11 x =  4 x 2 50  7 18  6 8  2 5 2.2  7 32.2  6 2 2.2  2.5 2  7.3 2  6.2 2  10 2  21 2  12 2  2 Producto de radicales. Para multiplicar radicales se usa la propiedad

n

a n b n c  n abc

Ejemplo:

(3 2 x 2 )(3 4 x )(3 x )  3 8x 4  2x(3 x ) División de radicales. Para dividir radicales es usa la propiedad

n

a na  b nb

5 Ejemplo.

4n 3n

3



4n 4 1 4   3 2 n 3 3n 3n

POLINOMIOS Polinomios de variable Real (x). Un polinomio de grado n y variable real ( x ) es una expresión algebraica de la forma: p ( x)  an x n  an 1 x n 1  an  2 x n  2  .....  a2 x 2  a1 x  a0 donde los coeficientes de la variable x

son números reales y los exponentes son enteros positivos. Se llama término independiente a aquel término que no contiene la variable. Cada uno de los sumandos de un polinomio se llama término del polinomio, de acuerdo al número de términos los polinomios pueden tomar distintos nombres, así: Monomio: Es un polinomio de un solo término: 3xy 3 Binomio: Es un polinomio de dos términos: 2n  5mn Trinomio: Es un polinomio de tres términos: 3ab2  b2  5a3b Los polinomios de más de tres términos no tienen un nombre particular. OPERACIONES CON POLINOMIOS Suma de polinomios. Términos semejantes. Dos términos son semejantes si la variable contiene el mismo exponente, por ejemplo los términos 2x 3 y 5x3 son semejantes, este concepto se puede extender a términos que tienen más de una variable, como por ejemplo: 4rt 4 y 2rt 4 son términos semejantes. Si dos términos son semejantes, entonces se pueden sumar aplicando la Propiedad Distributiva (Recolectiva) de los números reales, así:

2 x3  5 x3  (2  5) x3  7 x3 4 xy 2  (2 xy 2 )  4 xy 2  2 xy 2  (4  2) xy 2  2 xy 2 Resumiendo: Para sumar términos semejantes basta con sumar los coeficientes y multiplicar por la(s) misma(s) variable(s) con su(s) exponente(s). De tal manera que podemos generalizar esta operación cuando se suman más de dos términos: 3x4  4 x4  5x4  14 x4  16 x 4

La suma de dos o más polinomios consiste en construir un nuevo polinomio sumando los términos semejantes y agregando aquellos que no lo son, incluyendo los términos independientes. Ejemplo, Sumar los polinomios:

(3x3  2 x  1)  (4 x 4  5 x  7)  (8 x3  7 x 4  5 x  12) Reunimos los términos semejantes aplicando las propiedades conmutativa y asociativa:

(3x3  8 x3 )  (4 x 4  7 x 4 )  (2 x  5 x  5 x)  (1  7  12)

6

Al sumar obtenemos: 5x3  3x4  12 x  18

Nota: Recordemos que la resta de dos números reales consiste en sumar un real con el opuesto de otro. Esta definición se puede aplicar a la resta de polinomios, considerando que el opuesto de un polinomio será aquel que tiene todos sus términos con signos cambiados, así: Realizar la siguiente resta: (5 x3  3x 2  x  2)  (3x3  4 x  6) Convertimos la resta en una suma cambiando todos los signos del sustraendo (el polinomio de la derecha)

(5 x3  3x 2  x  2)  (3x3 )  4 x  6 Ahora aplicamos la propiedad asociativa suprimiendo todos los paréntesis: 5 x 3  3x 2  x  2  3x3  4 x  6

Finalmente sumamos, para obtener: 2 x3  3x 2  3x  4

Veamos una resta cuyo resultado es cero al aplicar la propiedad del opuesto (inverso aditivo): 2ab  2ab  2ab  (2ab)  0

Producto de polinomios. El producto de dos o más términos se realiza utilizando la propiedad de potenciación de números reales: a m a n  a mn

El coeficiente del producto resulta de multiplicar los coeficientes de los factores. Ejemplos: 3x 2 (2 x3 )  6 x 23  6 x5

,

 y 6 (3 y 4 )(3 y 5 )  9 y15

4 x 2 (3x 7 )( x 4 )  12 x13

,

4k 6 (3k 5 )(k 2 )  12k 13

2 x 2 y 3 (3x 4 y )( x 2 y 4 )  6 x8 y 8 , 3

1

3 1  2

n 4 (n 2 )  n 4

5

 n4

,

1

2

1 2  3

2 x 3 (4 x 3 )  8 x 3 

1

2

 8 x

1

3 p 2 (2 p 3 )  6 p 6

Generalización del producto Es posible aplicar de producto de términos para multiplicar polinomios de cualquier cantidad de términos, usando la generalización de la propiedad distributiva de números reales: (a+b)(x-y)=ax-ay+bx-by. Aquí hemos multiplicado cada uno de los términos del primer factor por los términos del segundo factor.

7 Ejemplos: ( x 2  x)(2 x3  1)  2 x5  x 2  2 x 4  x (2r  r 2 )(3r  4r 4 )  6r 2  8r 5  3r 3  4r 6 1

1

5

5

4

(a 2  a )(a 2  a 3 )  a 2  a 6  a 3  a 3

Productos especiales (Productos notables) Existen algunos productos, que por su continuo uso en álgebra y en cálculo, conviene memorizar. Estos productos son: 1. Binomio al cuadrado.

(a  b) 2  (a  b)(a  b)  a 2  ab  ab  b 2  a 2  2ab  b 2 (a  b) 2  (a  b)(a  b)  a 2  ab  ab  b 2  a 2  2ab  b 2

2. Suma por diferencia de dos cantidades.

(a  b)(a  b)  a 2  ab  ab  b 2  a 2  b 2

(a  b)(a  b)  a 2  b 2

3. Binomio al cubo:

(a  b)3  (a  b)(a  b)(a  b)  (a  b) 2 (a  b)  (a 2  2ab  b2 )(a  b)  a3  a 2b  2a 2b  2ab2  ab2  b3  a3  3a 2b  3ab2  b3 (a  b)3  (a  b)(a  b)(a  b)  (a  b) 2 (a  b)  (a 2  2ab  b2 )(a  b)  a3  a 2b  2a 2b  2ab2  ab2  b3  a3  3a 2b  3ab2  b3

4. Binomio de la forma ( x  y ) n

8

Al desarrollarlo obtenemos el polinomio: x n  an 1 x n 1 y  an  2 x n  2 y 2  an 3 x n 3 y 3  ........  a1 xy n 1  y n . Obsérvese que el primer

termino corresponde a x n y el ultimo corresponde a y n , los demás términos están escritos de manera que el exponente de x disminuye en tanto que el exponente de y aumenta. Los coeficientes se pueden obtener a través del triángulo de pascal:

NOTA: El triángulo de Pascal se construye por filas, así: La primera fila se forma con un solo elemento: el 1 La segunda fila con un par de unos colocados a lado y lado del uno inicial La tercera se forma sumando los dos unos de la fila anterior colocando dicha suma entre los dos anteriores y agregando un uno al comienzo de la fila y otro al final Las filas siguientes se obtienen también sumandos los números de la fila anterior con la misma disposición y agregando un uno al comienzo y otro al final Ejemplo: Desarrollar el binomio ( x  3)5 El primer término corresponde a variable x con exponente 5, es decir, x 5 y el último término será 35. Como el grado de este polinomio es 5 debemos usar el cuarto renglón del triángulo de Pascal para los coeficientes. De esta forma obtenemos:

( x  3)5  x5  5x 4 (3)  10 x3 (32 )  10 x 2 (33 )  5 x(34 )  35  x5  15x 4  90 x3  270 x 2  405 x  243 5. Binomio ( x  a)( x  b)

( x  a)( x  b)  x 2  bx  ax  ab  x 2  (a  b) x  ab

( x  a )( x  b)  x 2  (a  b) x  ab

Factorización de polinomios. En matemáticas básicas es fundamental realizar el proceso de convertir ciertos polinomios en productos. Este procedimiento se llama factorización. Los casos de factorización que se estudian comúnmente son aquellos que conducen a los productos notables tratados con anterioridad. Nota: Un polinomio está completamente factorizado si no contiene factores que se puedan factorizar.

9 A continuación estudiamos los casos de factorización más comunes. 1. Factor común. En este caso existe un factor (factor común) que se repite en cada uno de los términos del polinomio dado. Ejemplo, en el polinomio p 3  2 p 2  5 p existe un factor común que es p, para factorizarlo expresamos el polinomio como un producto utilizando la propiedad recolectiva de los números reales, así:

p 3  2 p 2  5 p  p( p 2  2 p  5) Otros ejemplos: 4

1

3

1

3

2

3x 5  2 x 5  5 x 5  x 5 (3x 5  2  5 x 5 )

4k 4  12k 3  36k 2  4k 2 (k 2  3k  9) a 2b2  3a 2b  6a 2b3  7a 2b4  a 2b(b  3  6b2  7b3 ) Para comprobar que la factorización es correcta basta con multiplicar aplicando la propiedad distributiva Factorización del menos uno Existe un factor común muy importante, este factor es el menos uno (- 1 ) que es muy usado en algunos procedimientos de cálculo. Entonces a este procedimiento lo llamaremos factorización del menos uno Ejemplo: Dada la expresión a – b , podemos en ella factorizar el menos uno, para obtener: a – b = - 1( b – a ) = -( b – a )

x2 1 Otro ejemplo: Simplificar la expresión 1 x x 2  1 ( x  1)( x  1)  Si factorizamos el numerador obtenemos: como se puede observar no 1 x 1 x es posible simplificar, pero si factorizamos el menos uno en el factor (x – 1) del numerador tenemos: = −(𝑥 + 1) = −𝑥 − 1

2. Trinomio cuadrado perfecto. Se llama así al trinomio que al factorizarse se convierte en un binomio al cuadrado. Un trinomio se reconoce como "trinomio cuadrado perfecto" si dos de sus términos son cuadrados perfectos, es decir, cada uno es el resultado de elevar una expresión al cuadrado y el otro término es el doble producto de dichas expresiones (sin elevar al cuadrado). Los dos términos del binomio al cuadrado son los valores correspondientes a los cuadrados perfectos, es decir, si el trinomio es: 𝑝2 + 2𝑝𝑞 + 𝑞2entonces el binomio es (𝑝 + 𝑞)2

p 2  2 pq  q 2

10

( p  q)2

( x  w) 2 Veamos otros ejemplos: n2  2mn  m2 es un trinomio cuadrado perfecto porque tiene dos cuadrados perfectos: n 2 y m2 el otro término: 2mn es el doble producto de n y m

De tal manera que su factorización es: n 2  2mn  m 2  (n  m) 2 Factorizar el trinomio: 4k 2  12ky  9 y 2

4k 2  12ky  9 y 2  (2k )2  2(2k )(3 y )  (3 y ) 2  (2k  3 y) 2 3. Diferencia de cuadrados. Es la factorización cuyo resultado es el producto notable suma por diferencia de dos cantidades

a 2  b 2  (a  b)(a  b) Ejemplos:

4t 2  1  (2t )2  12  (2t  1)(2t  1)

h 2  1  (h  1)(h  1)

n 2  m2  (n  m)(n  m) 4. Suma y diferencia de cubos.

a3  b3  (a  b)(a 2  ab  b 2 ) a3  b3  (a  b)(a 2  ab  b 2 ) Ejemplos:

p3  q3  ( p  q)( p 2  pq  q 2 ) c3  d 3  (c  d )(c 2  cd  d 2 ) 5. Factirización de una suma o diferencia de potencias Para n impar 𝒙𝒏 − 𝒚𝒏 = (𝒙 − 𝒚)(𝒙𝒏−𝟏 + 𝒙𝒏−𝟐 𝒚 + 𝒙𝒏−𝟑 𝒚𝟐 + 𝒙𝒏−𝟒 𝒚𝟑 + … … . +𝒙𝒚𝒏−𝟐 + 𝒚𝒏−𝟏 ) 𝒙𝒏 + 𝒚𝒏 = (𝒙 + 𝒚)(𝒙𝒏−𝟏 − 𝒙𝒏−𝟐 𝒚 + 𝒙𝒏−𝟑 𝒚𝟐 − 𝒙𝒏−𝟒 𝒚𝟑 + … … . −𝒙𝒚𝒏−𝟐 + 𝒚𝒏−𝟏 )

Ejemplos: 𝑥 5 − 32 = 𝑥 5 − 25 = (𝑥 − 2)(𝑥 4 + 2𝑥 3 + 22 𝑥 2 + 23 𝑥 + 24 ) = (𝑥 − 2)(𝑥 4 + 2𝑥 3 + 4𝑥 2 + 8𝑥 + 16)

11

𝑥 5 + 32 = 𝑥 5 + 25 = (𝑥 + 2)(𝑥 4 − 2𝑥 3 + 22 𝑥 2 − 23 𝑥 + 24 ) = (𝑥 + 2)(𝑥 4 − 2𝑥 3 + 4𝑥 2 − 8𝑥 + 16) Para n par Se convierte la expresión en diferencia de cuadrados o atmbién en suma de cubos o diferencia de cubos, según el caso. Ejemplos: 𝒙𝟒 − 𝒚𝟒 = (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 )(𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 ) = (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 )(𝒙 + 𝒚)(𝒙 − 𝒚) 𝒙𝟔 + 𝒚𝟔 = (𝒙𝟐 )𝟑 + (𝒚𝟐 )𝟑 = (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 )(𝒙𝟒 − 𝒙𝟐 𝒚𝟐 + 𝒚𝟒 ) 6. Factorización por agrupación. En algunos casos es necesario agrupar dos o más términos para factorizar. Veamos:

a3  a 2  a  1  a 2 (a  1)  (a  1)  (a  1)(a 2  1)  (a  1)(a  1)(a  1)  (a  1)2 (a  1) Ejemplos:

s 4  s3  s  1

Agrupamos el polinomio como dos binomios, así: ( s 4  s 3 )  ( s  1) Ahora factorizamos el primer binomio (factor común): s 3 ( s  1)  ( s  1) Tenemos de nuevo un factor común y se obtiene: ( s  1)( s 3  1) Aunque ya existe una factorización, aún no es completa, observemos que el segundo binomio es factorizable (diferencia de cubos):

( s  1)( s  1)( s 2  s  1) por lo tanto, finalmente el resultado es:

s 4  s3  s  1  s 3 (s  1)  ( s  1)  ( s  1)( s3  1)  ( s  1)( s  1)( s 2  s  1)  ( s  1) 2 ( s 2  s  1) 6. Trinomio de la forma x2  mx  n Esta factorización conduce al producto notable de la forma ( x  a)( x  b) donde m  a  b y n  ab .Es decir, que para factorizar este trinomio debemos encontrar dos números cuyo producto sea n y su suma m. Ejemplos:

x 2  6 x  8  ( x  4)( x  2)

,

x 2  2 x  48  ( x  8)( x  6)

r 2  13r  30  (r  10)(r  3) 7. Caso particular: Trinomio de la forma kx 2  mx  n

(k  1)

En este caso el coeficiente de x no es uno por lo cual se trata de un caso particular del trinomio x 2  mx  n El procedimiento para esta factorización consiste en multiplicar y dividir por k de tal manera que el coeficiente k se integre a la variable x y así se convierta en el trinomio x 2  mx  n del cual ya conocemos sus factorización.

12 Ejemplo: (10k ) 2  31(10k )  140 (10k  35)(10k  4)   10 10 5(2k  7)(10k  4) 5(2k  7)2(5k  2)   (2k  7)(5k  2) 10 10

10k 2  31k  14 

8. Factorización completando el trinomio cuadrado perfecto (por adición y sustracción). Algunos polinomios permiten ser factorizados sumando y restando un mismo término, de manera que se completa un trinomio cuadrado perfecto, luego la expresión se convierte en una diferencia de cuadrados, la cual es fácil de factorizar. Ejemplo: t 4  t 2  1 para completar un trinomio cuadrado perfecto debemos sumar y restar t 2 , así: t 4  t 2  t 2  t 2  1 Sumando y conmutando, tenemos: t 4  2t 2  1  t 2

Ahora factorizamos (trinomio cuadrado perfecto): t 4  2t 2  1  t 2  (t 2  1) 2  t 2 Finalmente, factorizamos la diferencia de cuadrados: (t 2  1  t )(t 2  1  t ) Conclusión:

t 4  t 2  1  (t 2  1  t )(t 2  1  t ) Otro ejemplo: La ecuación de una circunferencia con centro en (h , k) y radio r es: (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟 2 Dada la ecuación: 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 + 𝑦 = 5 complete un trinomio cuadrado perfecto para x y otro para y luego obtenga los binomios al cuadrado que representen la ecuación de la circunferencia de manera que se evidencie el centro y el radio Solución: 𝑥 2 − 2𝑥 + ________ + 𝑦 2 + 𝑦 + ________ = 5 1

1

𝑥 2 − 2𝑥 + 1 + 𝑦 2 + 𝑦 + (2)2 = 5 + 1 + 4 1

25

2

4

(𝑥 − 1)2 + (𝑦 + )2 =

1

Centro de la circunferencia: (1, − 2)

25

5

radio: √ 4 = 2

13 EXPRESIONES NO POLINÓMICAS Las expresiones no polinómicas son de la forma: 1

3𝑥 −2 + 2𝑥 3 − 4𝑥𝑦

;

√2𝑥 + 𝑦 − 3𝑥 − 2𝑦

;

4𝑎 𝑎4

− 3𝑎−2

Las operaciones con estas expresiones se realizan de la misma forma como se hizo con los polinomios. Las propiedades de potenciación también se conservan.

FACTORIZACIÓN DE EXPRESIONES CON POTENCIAS FRACCIONARIAS Ejemplos: 3

1

5

7

1. Factorice la expresión 3a 4  6a 4  12 a 4  9a 4 Observamos que hay un factor común 1

que es 3a 4 de manera que la solución es: 1 4

2 4

4 4

6 4

1 4

1 2

3 2

3a (a  2  4a  3a )  3a (a  2  4a  3a ) 1 5

2 5

3 5

4 5

1 5

2. Factorice la expresión 4 x  3x  2 x  3x  2 x aquí el factor común es x así que la factorización nos queda así: 1 5

1 5

2 5

3 5

4 5

x (4  3x  2 x  3x  2 x )