Unidade 3 – Problemas de Valores de Contorno em coordenadas retangulares

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PROBLEMAS DE VALORES DE CONTORNO Equações Diferenciais Parciais (EDP) Separáveis;

EDP’s clássicas e Problemas de Valores de Contorno; Equação do Calor, da Onda e de Laplace.

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS SEPARÁVEIS 

Primeiramente vamos definir uma EDP linear geral de 2° ordem:



Dada uma função 𝑢 = 𝑓(𝑥, 𝑦), uma EDP linear de 2° ordem tem a forma

geral:



Onde A, B, C, ... ,D são funções de 𝑥 e de 𝑦.



Quando G 𝑥, 𝑦 = 0, então a EDP linear é homogênea, se não é dita nãohomogênea.



Solucionar uma EDP é encontrar uma função 𝑢(𝑥, 𝑦) que satisfaça a EDP

em uma determinada região do plano 𝑥𝑦.

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS SEPARÁVEIS 

Não é comum encontrar problemas práticos cujo modelo na forma de EDP tenha todas as componentes da forma geral de segunda ordem.



Por isso, não será tratada a solução geral para uma EDP linear de 2° ordem, mas sim a solução de casos mais práticos.



O principal método de solução será a separação de variáveis.



Basicamente trata-se de supor que 𝑢(𝑥, 𝑦) é a composição de duas funções 𝑋(𝑥) e 𝑌(𝑦) na forma: 𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝑋(𝑥)𝑌(𝑦).



Para substituir na EDP, temos:

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS SEPARÁVEIS 

Exemplo 1: Determine a solução da EDP a seguir por meio da separação de variáveis.



Solução: Supondo que 𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝑋(𝑥)𝑌(𝑦), podemos calcular as derivadas

parciais e então substituir na EDP:



Dividindo os dois lados da igualdade por 4𝑋𝑌, temos:



Estamos supondo que o lado esquerdo não de pende de 𝑦 e que o lado

direito não depende de 𝑥. 

Como são iguais, então estas não dependem nem de 𝑥 e nem de y.

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS SEPARÁVEIS 

Exemplo 1: Solução: Isso significa dizer que as duas equações devem ser iguais a uma constante 𝜆.



Por padrão vamos utilizar a constante −𝜆.



Vamos agora analisar a resposta de EDP para os três possível valores da constante −𝜆;



Caso 1: Quando 𝜆 = 0, então as duas EDO ficam na forma:



Integrando duas vezes, chagamos a resposta:



Por multiplicação, temos:

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS SEPARÁVEIS 

Caso 2: Quando 𝜆 = −𝛼 2 , as duas EDO’s ficam na forma:



Resolvendo as duas EDO’s, temos as soluções gerais na forma:



Por multiplicação obtemos:



Caso 3: Quando 𝜆 = 𝛼 2, as duas EDO’s ficam na forma:



Resolvendo as duas EDO’s, temos as soluções gerais na forma:



Por multiplicação obtemos:

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS SEPARÁVEIS 

Classificação das EDP’s



Vamos classificar as EDP’s em três tipos: Hiperbólica, parabólica e

elíptica. 

Dada a forma geral de uma EDP de 2° a seguir:



Onde A, B, C, D, E, F e G são constantes reais, então segue a classificação:



Exemplo 2: Classifique as seguintes EDP’s.

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS SEPARÁVEIS 

Exemplo 2: Solução: a) escrevendo na forma padrão:



Podemos identificar 𝐴 = 3, 𝐵 = 0 𝑒 𝐶 = 0.



Assim 𝐵2 − 4𝐴𝐶 = 0 e A EDP é do tipo Parabólica.



b) escrevendo na forma padrão:



Podemos identificar 𝐴 = 1, 𝐵 = 0 𝑒 𝐶 = −1.



Assim 𝐵2 − 4𝐴𝐶 = 4 > 0 e A EDP é do tipo Hiperbólica.



c) escrevendo na forma padrão:



Podemos identificar 𝐴 = 1, 𝐵 = 0 𝑒 𝐶 = 1.



Assim 𝐵2 − 4𝐴𝐶 = −4 < 0 e A EDP é do tipo Elíptica.

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS SEPARÁVEIS 

Exercício 1: Nos problemas a seguir, encontre por separação de variáveis as possíveis soluções produto das EDP’s.



Exercício 2: Classifique as seguintes EDP’s como Hiperbólica, parabólica

ou elíptica.

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS SEPARÁVEIS 

Exercício 3: Nos problemas a seguir, verifique se a EDP possui como solução a função produto indicada.



Exercício 4: A EDP a seguir está na forma generalizada, visto que seus coeficientes são funções de 𝑥 𝑒 𝑦. Desta forma, analise as regiões do plano 𝑥𝑦 em que esta pode ser classificada como Hiperbólica, parabólica ou elíptica.

EDP’S CLÁSSICAS E PCV’S 

Algumas EDP’s clássicas são apresentadas a seguir:



Equação do Calor Unidimensional:



Equação da Onda Unidimensional:



Equação de Laplace Bidimensional:



Estas EDP’s surgem com muita frequência em problemas práticos.



Para a dimensão do problema leva-se em consideração apenas a dimensão espacial.

EDP’S CLÁSSICAS E PCV’S 

Equação do Calor



Surge na teoria de fluxo de calor por condução que atravessa determinado material de difusividade térmica 𝑘.



O problema unidimensional uma barra delgada ou um fio fino.



A função 𝑢(𝑥, 𝑡) apresenta a temperatura ao longo da barra em função do tempo.



Para obter este modelo, algumas considerações são feita:

1.

O fluxo de calor dentro da barra é tomado apenas na direção de 𝑥.

2.

A superfície lateral é isolada, isto é, nenhum calor escala nas laterais.

3.

Não é gerado calor dentro fio fino;

EDP’S CLÁSSICAS E PCV’S 

Para obter este modelo, algumas considerações são feita:

4.

A barra possui distribuição de massa homogênea.

5.

O calor específico 𝛾 e a condutividade térmica 𝐾 são constantes.

 1.

Deduzindo a EDP por leis empíricas: Quantidade de calor por elemento de massa: 𝑄 = 𝛾𝑚𝑢 Onde 𝑢 é a temperatura do elemento.

2.

A quantidade de calor total 𝑄𝑡 que a travessa a secção transversal de área 𝐴 depende de 𝜕𝑢/𝜕𝑥.

O sinal − significa que o calor cresce a medida que a temperatura diminui.

EDP’S CLÁSSICAS E PCV’S 

Tomando apenas uma fatia do fio de 𝑥 até 𝑥 + Δ𝑥 , a massa total é 𝑚 = 𝜌𝐴Δ𝑥 e a quantidade de calor da fatia é:



Fluxo de calor que atravessa a fatia:



Derivando a quantidade de calor total da fatia no tempo, encontraremos também o calor total que atravessa a fatia:



Igualando as duas equações anteriores, temos:

EDP’S CLÁSSICAS E PCV’S 





No limite quando Δ𝑥 → 0, temos a seguinte EDP 𝐾 𝑢 = 𝑢𝑡 𝛾𝜌 𝑥𝑥 A constante 𝑘 = 𝐾/𝛾𝜌 é conhecida como difusividade térmica: 𝜕 2 𝑢 𝜕𝑢 𝑘 2= 𝜕𝑥 𝜕𝑡

Quando há perda de calor para o ambiente pela lateral, o problema sofre a seguinte alteração



Onde 𝑢𝑚 é a temperatura do ambiente e ℎ é a constante de convecção do calor.



Em geral, ℎ é uma função que modela a convecção do calor na superfície do material.

EDP’S CLÁSSICAS E PCV’S 

Equação da Onda



Vamos tomar um fio de barbante de comprimento L, com extremidades

fixas em 𝑥 = 0 e em 𝑥 = 𝐿. 

Assuma que quando o fio começa a vibrar,

esta vibração permanece no plano 𝑥𝑢. 

Sendo 𝑢(𝑥, 𝑡) a posição de cada ponto 𝑥 do fio em função do tempo.



Para obter a EDP que rege a vibração da corda, vamos fazer algumas considerações:

1.

O fio é perfeitamente flexível;

2.

O fio possui distribuição de massa 𝜌 homogênea, isto é, 𝜌 é constante.

3.

O deslocamento 𝑢 é pequeno se comparado ao comprimento L do fio.

EDP’S CLÁSSICAS E PCV’S 

Para obter a EDP que rege a vibração da corda, vamos fazer algumas considerações:

4.

A tensão T age tangencialmente em cada ponto do fio e é a mesma em cada ponto ao longo do fio.

5.

A tensão T é grande se comparada com a gravidade.

6.

Nenhum outra força age sobre o fio.



Vamos separar uma secção do fio no intervalo [𝑥, 𝑥 + Δ𝑥].



A força total que age na vertical é aproximadamente:

EDP’S CLÁSSICAS E PCV’S 

Assumindo que



E também que



Então, pela segunda Lei de Newton, temos:





é a massa a secção de fio.

Quando Δ𝑥 → 0 e fazendo 𝑎2 = 𝑇/𝜌, temos: 2𝑢 2𝑢 𝜕 𝜕 𝑎2 2 = 2 𝜕𝑥 𝜕𝑡 Quando há forças externas:

EDP’S CLÁSSICAS E PCV’S 

Equação de Laplace



A Equação de Laplace pode ser interpretada como o modelo em regime permanente, isto é, quando 𝑢 não varia com o tempo.



Esta equação é utilizada para tratar de problemas de potencial como Eletrostático, Gravitacional

e

velocidade

em

fluidos

mecânicos; 

A equação de Laplace 2D também pode ser interpretada como a temperatura 𝑢(𝑥, 𝑦) em uma placa em regime permanente.



A Equação de Laplace se utiliza do símbolo 𝛻 2 𝑢 o qual é conhecido como Laplaciano.

EDP’S CLÁSSICAS E PCV’S 

Condições Iniciais



Para obter a solução de EDP’s em função do tempo é necessário se utilizar de condições inicial.



Quando 𝑡 = 0 , temos na verdade uma função 𝑓(𝑥)

que rege o

comportamento inicial da vibração de uma corda ou mesmo a taxa de variação no tempo de cada ponto da corda:



A figura ao lado mostra um exemplo de como ocorre

uma

condição

inicial

modelada

anteriormente. 

Podemos modelar o perfil da curva e sua derivada.

EDP’S CLÁSSICAS E PCV’S 

Condições de Contorno



Similar às condições iniciais, as condições de contorno nos permitem encontrar a solução particular para as funções de variáveis geométricas no decorrer do tempo.



Como por exemplo na equação da onda:



As extremidades do fio permanecem na posição 𝑢 = 0 pois são fixas para

todo tempo. 

Este tipo de condição de contorno é conhecida como condições de Dirichlet.



Na equação do calor, esta CC significa que a temperatura permanece 𝑢0 na extremidade 𝑥 = 𝐿.

EDP’S CLÁSSICAS E PCV’S 

Outros tipos de CC como a condição de Neumann, a qual envolve a primeira derivada:



Na equação do calor, este CC significa que na extremidade 𝑥 = 𝐿 não há

fluxo de calor, isto é, esta extremidade é isolada. 

A condição de Robin, envolve a primeira derivada e a própria função:



Na equação do calor, este CC significa que o fluxo de calor na extremidade 𝑥 = 𝐿 é diretamente proporcional à diferença de temperatura entre a barra

e o ambiente.

EDP’S CLÁSSICAS E PCV’S 

Problema de Valor de Contorno



Trata-se de uma EDP cuja solução particular é obtida através de Condições de Contorno e Condições iniciais.

EDP’S CLÁSSICAS E PCV’S 

Exercício 5: Para as situações a seguir, considere uma barra delgada de comprimento 𝑥 no intervalo 0, 𝐿 . Monte as condições de contorno para o

problema de temperatura 𝑢(𝑥, 𝑡). 1.

A extremidade esquerda permanece à temperatura nula e a direita é isolada. A distribuição inicial da temperatura ao longo da barra é dada

por 𝑓(𝑥). 2.

A extremidade esquerda permanece à temperatura sin(𝜋𝑡/𝐿) e a direita permanece na temperatura zero. Há perda de calor pela lateral da barra para o ambiente com temperatura de 0 °𝐶 . A distribuição inicial da temperatura ao longo da barra é dada por 𝑓(𝑥).

3.

As extremidades da barra são isoladas e há perda de calor pela lateral da barra para o ambiente com temperatura de 50 °𝐶. A temperatura inicial é 100 °C em toda a barra.

EDP’S CLÁSSICAS E PCV’S 

Exercício 6: Para as situações a seguir, considere fio de comprimento 𝑥 no intervalo 0, 𝐿 . Monte as condições de contorno para o problema da onda

𝑢(𝑥, 𝑡). 1.

As extremidades do fio são presas no eixo 𝑥. A posição inicial do fio é dada por 𝑥(𝐿 − 𝑥).

2.

As extremidades do fio são presas no eixo 𝑥. A posição inicial do fio é dada por sin(𝜋𝑥/𝐿).

3.

A extremidade esquerda é presa no eixo 𝑥 , mas a direita se move transversalmente de acordo com sin(𝜋𝑡). A posição inicial dos demais pontos do fio é regida pela função 𝑓(𝑥). Para 𝑡 > 0 a vibração vertical do fio é amortecida por uma força que é proporcional à velocidade instantânea.

EDP’S CLÁSSICAS E PCV’S 

Solução da Equação do Calor



Vamos solucionar o seguinte PVC:



Usando a separação de variáveis, temos que 𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝑋 𝑥 𝑇(𝑡).



Calculando as derivadas parciais e substituindo na EDP, temos:



Depois de resolver as EDO’s, vamos utilizar as condição de contorno:



O que nos leva a seguinte problema:

EDP’S CLÁSSICAS E PCV’S 

As possíveis soluções da EDO de 2° ordem são:



Para as duas primeiras soluções, as condições iniciais resultam somente na solução trivial 𝑋 𝑥 = 0.



Por isso a terceira solução é a única que se aplica nesta situação.



Substituindo as condições iniciais temos: 𝑐1 = 0 𝑒 𝑐2 sin 𝛼𝐿 = 0



Como 𝑐2 não pode ser zero, então sin 𝛼𝐿 = 0, ou 𝛼𝐿 = 𝑛𝜋 ou mesmo 𝛼 = 𝑛𝜋/𝐿.

EDP’S CLÁSSICAS E PCV’S 

A solução da EDO a seguir deve ser tomada em termos de 𝜆, os quais são conhecidos:



Os valores de 𝜆𝑛 são conhecidos como autovalores do problema e as funções que dependem dos mesmos são chamadas de autofunções.



Multiplicando as duas soluções, temos:



Estas soluções dependem de 𝑛. A combinação linear das mesmas também é solução da EDO. ∞

𝑢 𝑥, 𝑡 =

𝐴𝑛 𝑒 𝑛=1

−𝑘

𝑛 2 𝜋2 𝑡 𝐿2

sin

𝑛𝜋 𝑥 𝐿

EDP’S CLÁSSICAS E PCV’S 

Substituindo a condição inicial 𝑢 𝑥, 0 = 𝑓(𝑥), temos:



Esta expressão é idêntica à série de Fourier de uma função ímpar, onde:



Desta forma a solução particular da EDP é dada na forma:



Para o caso particular em que 𝑢 𝑥, 0 = 100, 𝐿 = 𝜋 e 𝑘 = 1, temos:

EDP’S CLÁSSICAS E PCV’S 

O Resultado gráfico pode ser realizado no MATLAB.

EDP’S CLÁSSICAS E PCV’S 

Exercício 7: Resolva a EDP do calor sujeita as seguintes condições.



Exercício 8: Suponha que no problema de propagação do calor em um fio fino, haja perda de calor pela superfície lateral para o ambiente em temperatura 0 °C. O modelo é dado na forma:



Sendo 0 < 𝑥 < 𝐿, 𝑡 > 0 e ℎ é uma constante. Determine a temperatura em cada ponto da barra sendo a distribuição inicial de temperatura 𝑓 𝑥 e as

duas barras são isoladas.

EDP’S CLÁSSICAS E PCV’S 

Exercício 9: Suponha uma barra delgada definida no intervalo [−𝐿, 𝐿] inicialmente no formato anelar, mas depois foi cortada para análise

retangular. Esta situação satisfaz o seguinte PCV:



Determine a temperatura 𝑢(𝑥, 𝑡).

EDP’S CLÁSSICAS E PCV’S 

Solução da Equação da Onda



Vamos solucionar o seguinte PVC:



Usando a separação de variáveis, temos que 𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝑋 𝑥 𝑇(𝑡).



Calculando as derivadas parciais e substituindo na EDP, temos:



Para 𝑋(𝑥), temos:

EDP’S CLÁSSICAS E PCV’S 

Das três opções, apenas para 𝜆 = 𝛼 2 as condições de contorno não provocam a solução trivial:



Substituindo as condições iniciais temos: 𝑐1 = 0 𝑒 𝑐2 sin 𝛼𝐿 = 0



Como 𝑐2 não pode ser zero, então sin 𝛼𝐿 = 0, ou 𝛼𝐿 = 𝑛𝜋 ou mesmo 𝛼 = 𝑛𝜋/𝐿.



Assim os autovalores são,



A solução geral para 𝑇(𝑡):

EDP’S CLÁSSICAS E PCV’S 

Por multiplicação temos:



Fazendo a combinação linear de todas as soluções:



Substituindo a condição inicial, temos:



Esta expressão é idêntica a série de Fourier da uma função ímpar, onde:



A última condição inicial necessita de calcular 𝜕𝑢/𝜕𝑡.

EDP’S CLÁSSICAS E PCV’S 

Assim temos:



Esta expressão é idêntica a série de Fourier da uma função ímpar, onde:



Desta forma a solução geral é dada por: ∞

𝑢 𝑥, 𝑡 = 𝑛=1

+

2 𝐿

2 𝑛𝜋𝑎

𝐿

0 𝐿

𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑓(𝑥) sin 𝑥 𝑑𝑥 cos 𝑡 𝐿 𝐿

𝑔(𝑥) sin 0

𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑥 𝑑𝑥 sin 𝑡 𝐿 𝐿

sin

𝑛𝜋 𝑥 𝐿

EDP’S CLÁSSICAS E PCV’S 

Para o caso particular onde: 𝐿 = 𝜋, 𝑎 = 1 e 2𝑥 𝜋 , 0≤𝑥< 𝜋 2 𝑓 𝑥 = 2 𝜋 (𝜋 − 𝑥), ≤ 𝑥 ≥ 𝜋 𝜋 2



Os coeficientes An e Bn são dados por: 𝑛𝜋 8 sin 2 𝐴𝑛 = 𝜋 2 𝑛2 2 cos 𝑛𝜋 − 1 𝐵𝑛 = 𝑛2 𝜋



Resultados gráficos:

𝑔 𝑥 = −1,

0≤𝑥