Sistemas Eletricos de Potencia Cap2 Valores por unidade D Caselato

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Valores Percentuais e Por-unidade

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Exercícios Introdutórios a Sistemas Elétricos de Potência

SOBRE O AUTOR Djalma Caselato é engenheiro eletricista, com ênfase em eletrotécnica, formado pela Escola Politécnica da Universidade de São Paulo, com Mestrado e Doutorado em Engenharia na área de Sistema de Potência pela Escola Politécnica da USP. Desde sua formatura, em 1968, tem trabalhado na área de elaboração de projetos de usinas hidrelétricas e de subestações, com atuação específica na área de equipamentos elétricos de grande porte (gerador, barramento de fases isoladas, transformadores, disjuntores, seccionadoras, sistemas de excitação e reguladores de tensão). Atividade profissional internacional, nas áreas indicadas, com trabalhos desenvolvidos na Suíça, França, Alemanha, Tchecoslováquia, África do Sul, República Democrática do Congo, Angola e Moçambique. Foi pesquisador junto ao Departamento de Energia e Automação Elétricas da Escola Politécnica da USP. Como atividade didática exerceu a função de Professor Adjunto do Departamento Elétrico da Universidade de Mogi das Cruzes, de março de 1984 a janeiro de 1994, e desde maio de 1994 é responsável pelas disciplinas Sistemas de Potência I e II, Laboratório de Sistemas de Potência I e II, Subestações Elétricas e Usinas Hidrelétricas na Escola de Engenharia Mauá para o curso de engenharia eletrotécnica. O autor possui artigos publicados no Brasil e no exterior sobre projeto elétrico de subestação, sobre modernização e reabilitação de usinas hidrelétricas, sobre eficiência e limites operacionais de turbinas com velocidade ajustável em sistema de conexão unitária, sobre novo modelo de gestão de qualidade para o setor 2 energético, sobre método para cálculo do GD de hidrogeradores e sobre aspectos técnicos no prédimensionamento de grandes hidrogeradores.

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Valores Percentuais e Por-unidade

2 VALORES PERCENTUAIS E PORPOR-UNIDADE Extrato da Teoria 2.1

Definições

Valores por-unidade (p.u.) correspondem a valores relativos das grandezas elétricas; basicamente correspondem a uma mudança de escala das grandezas elétricas. O valor por-unidade corresponde à grandeza definida estipulada como unidade, para servir de termo de comparação entre grandezas da mesma natureza. Os valores das grandezas elétricas escolhidos como unitários são ditos valores de base das respectivas grandezas elétricas. Para um circuito trifásico, as relações que comandam as quatro principais grandezas elétricas (S – potência complexa; V – tensão; I – corrente elétrica e Z – impedância) são:

S = 3 VLinha . I *

(2.1)

Vfase = Z.I*

e

ou

VLinha = 3 Z I *

(2.2)

sendo que o asterisco denota o conjugado do número complexo do fasor considerado. Dessas quatro grandezas – S, V, I e Z – escolhe-se duas como base e determina-se a base das outras duas através das expressões (2.1) e (2.2), utilizando-se apenas o módulo dessas expressões, pois os valores de base são grandezas escalares. Normalmente se define a potência aparente S e o módulo da tensão de 1 linha V como valores de base. Esses valores são escolhidos arbitrariamente; porém, uma vez definidos não mudam mais. Como esses valores são sempre valores escalares, os valores dos fasores em p.u. (por-unidade) possuem sempre o mesmo argumento dos valores originais do sistema internacional. Os valores em p.u. serão representados por letras minúsculas. s

=

S S base

(2.3)

v

=

V

(2.4)

i

=

1

Vbase I I base

sendo

I base =

S base 3 V base

(sistema trifásico)

(2.5)

Valor da tensão entre duas fases quaisquer. 37

Exercícios Introdutórios a Sistemas Elétricos de Potência

z

Z

=

Z base

sendo

Z base =

2 Vbase Sbase

(2.6)

Para obter o valor em percentual é só multiplicar o valor em p.u. por 100. “Qualquer conjunto de equações pode ser expresso em por-unidade (p.u.) se os termos individuais forem divididos por quantidade base dimensionalmente equivalente, contanto que as quantidades base sejam escolhidas de forma a seguir as mesmas leis de eletricidade que as equações originais.” (Barthold, L. O.; Reppen, N. D.; Hedman, D. E.; p. 49). 2.2

Representação de transformadores em valores por-unidade

Os valores das reatâncias, em percentuais, são sempre referidos aos valores nominais do transformador.

z = Z prim

Sn S = Z sec 2n 2 V prim Vsec

( p.u.)

(2.7)

Sendo: Sn

Potência aparente nominal do transformador. Esta potência é a potência máxima para a qual o transformador está projetado para trabalhar em regime contínuo sem exceder os valores de temperatura previstos em norma.

Zprim Impedância do transformador referida ao primário. Zsec Impedância do transformador referida ao secundário. Vprim Tensão nominal de linha do primário do transformador. Vsec Tensão nominal de linha do secundário do transformador na condição em vazio, quando o transformador é alimentado com tensão primária nominal. O modelo de representação do transformador é o da figura 2.1, a seguir, quando as grandezas estão em p.u.:

O modelo do transformador é simplificado para um sistema de potência, com a não consideração do circuito magnetizante, pois a corrente desviada por esse circuito é demasiadamente pequena em face da energia em jogo no sistema de potência. O diagrama fica, então, conforme a figura 2.2:

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Valores Percentuais e Por-unidade

Como a relação de transformação é 1:1, é usual apresentar, ainda, a seguinte simplificação – figura 2.3:

2.3

Representação de transformadores com três enrolamentos em valores por-unidade

Sn

Potência aparente nominal do transformador. Esta potência de um dos enrolamentos do transformador é a potência máxima para a qual esse enrolamento está projetado para trabalhar em regime contínuo sem exceder os valores de temperatura previstos em norma.

Vprim Tensão nominal do enrolamento primário do transformador, para a qual o transformador foi projetado. Vsec Tensão nominal do enrolamento secundário do transformador, na condição em vazio, quando o transformador é alimentado com tensão primária nominal. Vter

Tensão nominal do enrolamento terciário do transformador na condição em vazio, quando o transformador é alimentado com tensão primária nominal.

X12

Tensão de curto-circuito quando o transformador é alimentado pelo primário, com o secundário em curtocircuito e o terciário em aberto (ou reatância com o secundário em curto-circuito e o terciário em aberto).

X13

Tensão de curto-circuito quando o transformador é alimentado pelo primário, com o terciário em curtocircuito e o secundário em aberto (ou reatância com o terciário em curto-circuito e o secundário em aberto).

X23

Tensão de curto-circuito quando o transformador é alimentado pelo secundário, com o terciário em curtocircuito e o primário em aberto (ou reatância com o terciário em curto-circuito e o primário em aberto).

Um modelo, em p.u., que pode representar muito bem o transformador com três enrolamentos é o da figura 2.5:

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Exercícios Introdutórios a Sistemas Elétricos de Potência

x12 = xp + xs x13 = xp + xt

(2.8)

x23 = xs + xt Do conjunto dessas três equações, resultam: xp =

1 (x12 + x13 − x 23 ) 2

(2.9)

xs =

1 (x12 + x 23 − x13 ) 2

(2.10)

xt =

1 (x13 + x 23 − x12 ) 2

(2.11)

2.4

Representação de banco de transformadores monofásicos em valores por-unidade

Sejam três transformadores monofásicos com as mesmas características, e com potência individual S1f, ligados em estrela com o neutro aterrado no primário e no secundário, conforme mostrado na figura 2.6.

Nesta condição, a potência e a tensão do banco de transformadores monofásicos formando um trifásico ficam: S3f = 3 x S1f

(2.12)

VL = √3 . Vf

(2.13)

O valor da reatância de cada transformador é, em p.u.:

x1f

 V1f    V  1fb   = S1f S1fb

2

(2.14)

Para o banco trifásico, a reatância em p.u. vale:

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Valores Percentuais e Por-unidade

2

x 3f

3 Vf  VL    V  3 Vf Lb  = = S 3f 3 × S1f 3 × S1fb S3fb

2

=

 V1f    V   1fb  = x 1f S1f S1fb

(2.15)

Em p.u., a reatância do transformador monofásico é igual à reatância do banco de transformadores, formando um trifásico. Esta assertiva vale para qualquer tipo de ligação dos transformadores. 2.5

Representação de máquinas rotativas em valores por-unidade

Legenda da figura 2.7: e:

f.e.m – força eletromotriz –, se gerador, e f.c.e.m. – força contra-eletromotriz, se motor, atrás da reatância

v:

tensão nos terminais do gerador

x:

reatância por fase do gerador

2.6

Representação de linha de transmissão

2.6.1

Linha curta

Sendo Z = R + j X 2.6.2

Linha média

Os valores de Z e de Y são obtidos a partir dos cálculos que levam em consideração o perfil da torre que sustenta os cabos e das características desses cabos. Esses valores são multiplicados pelo comprimento da linha.

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Exercícios Introdutórios a Sistemas Elétricos de Potência

2.6.3

Linha longa

sendo: Z e = Z c • senh(γ • L) =

(

Z • senh Z • Y • L Y

)

(2.16)

Ye 1 L Y L  = • tanh(γ • ) = • tanh  Z × Y •  2 Zc 2 Z 2 

(2.17)

Comprimento da linha: L Impedância da linha em ohm/km: Z Admitância da linha em S/km:

Y

Constante de propagação da linha: γ = Z • Y = α + j β

(2.18)

Constante de atenuação da linha: α Constante de fase da linha: β Impedância característica da linha: Z c =

2.7

Z Y

(2.19)

Mudança de bases

Trata-se de mudar os valores em p.u. de uma base velha para valores em p.u. de uma base nova: Impedância:

2.8

z ( pu ) = z ( pu ) base velha ×

2 V base velha

Sbase velha

×

S base nova 2 V base nova

(2.20)

Representação de transformadores quando há choque de bases

Para um sistema de potência, a base de potência tem que ser a mesma para toda rede. A tensão escolhida num ponto deverá refletir-se em todo o sistema, de acordo com a relação de transformação dos transformadores existentes na rede. Pode acontecer, quando o sistema é malhado, que a tensão base de um lado do transformador não corresponda a tensão do outro pela relação de transformação do respectivo transformador:

Vb1

Tensão de base no primário do transformador

Vb2

Tensão de base no secundário do transformador 42

Valores Percentuais e Por-unidade

Vn1

Tensão nominal no primário do transformador

Vn2

Tensão nominal no secundário do transformador

Para uma situação de choque de bases, a condição encontrada no desenvolvimento de uma solução é: Vb1 Vn1 ≠ (2.21) V b 2 Vn 2

v1 =

V1 Vb1

e

v2 =

V2 V •V 1 = 1 n2 • Vb 2 Vn1 Vb 2

(2.22)

Multiplicando e dividindo o segundo membro da equação anterior por Vb1, tem-se v2 =

V1 Vb1 Vn 2 v • • = v 1 • n2 = v 1 • α Vb1 Vn1 Vb 2 v n1

sendo:

Vn 2 Vb 2 v n2 α= = V v n1 n1 Vb1

(2.23)

(2.24)

A representação em diagrama fica:

Vantagens e aplicações dos valores por-unidade •

Na maioria dos casos, os transformadores são modelados na relação de 1:1, o que facilita sobremaneira o cálculo da passagem dos valores de corrente e de tensão do primário para o secundário ou vice-versa.

•

Há uma maior sensibilidade por parte do engenheiro ao avaliar a queda de tensão num trecho da rede.

•

Os valores de tensão calculados em p.u. são da mesma ordem de grandeza nos vários pontos do sistema de potência.

•

Os valores de impedâncias de máquinas de mesma grandeza de potência são praticamente iguais em valores por-unidade.

Exercícios resolvidos

2.1 Para o circuito monofásico da figura 2.14, com a carga operando na condição nominal, calcular o valor da tensão nos terminais do gerador.

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Exercícios Introdutórios a Sistemas Elétricos de Potência

Solução:

Escolha da base: Sbase = 1,5 kVA e Vbase = 200 V. Z base =

zlinha =

2 V base 200 2 = = 26,67 ohm S base 1500

0,4 + j 1,2 = 0,015 + j 0,045 p.u. 26,67

e = (0,015 + 0,045) i + 1 / 0º Como a corrente que circula no circuito tem o valor nominal, tem-se: i=

s 1 = ∠ − 36,9º = 1 ∠ − 36,9º p.u. v 1

Resulta, então: e = 1,039 + j 0,027 p.u.

ou

E = e • 200 = 207,8 + j 5,4 (V)

2.2 Para o circuito trifásico da figura 2.15, determinar a corrente e a potência complexa na barra A’ para as condições de carga nominal.

Solução:

A potência aparente de base deve ser a mesma para o sistema todo. Valores base: Barra A
Vbase = 13,8 kV e Sbase = 70 MVA Trecho A até B
Vbase = 230 kV e Sbase = 70 MVA Trecho C até D
Vbase = 230 • 88 = 92 kV e Sbase = 70 MVA 220 Condição da carga:

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Valores Percentuais e Por-unidade

s=

35 = 0,5 p.u. 70

e

v=

80 = 0,8696 p.u. 92

*

s i =   = 0,5750 ∠ − arc cos(0,8) = 0,5750 ∠ − 36,87 0 p.u. v

Transformador de 70 MVA
como as bases adotadas coincidem com os valores nominais do transformador, resulta que o valor em p.u. da impedância do transformador não se altera. Portanto: z = 0,03 + j 0,10 p.u. Linha A – B: Z base =

z=

2 Vbase 230 2 = = 755,7143 Ω S base 70

27,8 + j 110 = 0,0368 + j 0,1456 p.u. 755,7143

Transformador de 45 MVA z = (0,027 + j 0,09) •

2202 70 • = 0,0384 + j 0,1281 p.u. 45 2302

Linha C – D: Z base =

z=

2 Vbase 92 2 = = 120,9143 Ω S base 70

4,1 + j 18,7 = 0,0339 + j 0,1547 p.u. 120,9143

A seguir, constrói-se o diagrama unifilar em p.u., como na figura 2.16:

Na barra A’: v = (0,03 + j 0,10 + 0,0368 + j 0,1456 + 0,0384 + j 0,1281 + 0,0339 + j 0,1547) x 0,8696 / 0°

(0,5750 / - 36,87°) +

v = 1,1159 + j 0,1951 p.u. multiplicando por 13,8 kV, resulta: V = 15,3994 + j 2,6924 kV Sendo i = 0,5750 ∠ − 36,87º • 70000 = 1683,99 ∠ − 36,87º A 3 × 13,8

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Exercícios Introdutórios a Sistemas Elétricos de Potência

A potência complexa é: s = v • i* = (1,1159 + j 0,1951)•(0,5750 / + 36,87°) = 0,4460 + 0,4747 j p.u. S = 70 • s = 31,22 + j 33,23

MVA

2.3 Fazer o diagrama de impedâncias da rede da figura 2.17, em p.u.

Dados: Equipamento

Potência nominal

Tensão nominal

Impedância equivalente

Gerador 1

7 MVA

4,16 kV

j 0,20 p.u.

Gerador 2

12 MVA

6,9 kV

j 0,21 p.u.

Gerador 3

9,5 MVA

6,9 kV

j 0,19 p.u.

Transformador T1

8 MVA

4,16 – 37 kV

0,020 + j 0,10 p.u.

Transformador T2

15 MVA

6,9 – 34,5 kV

0,025 + j 0,10 p.u.

Transformador T3

10 MVA

6,9 – 34,5 kV

0,019 + j 0,09 p.u.

Linha B4 – B5

-----

-----

28 + j 120 Ω

Linha B5 – B6

-----

-----

32 + j 130 Ω

Linha B7 – B8

-----

-----

25 + j 110 Ω

Linha B8 – B5

-----

-----

28 + j 118 Ω

Solução:

Adotam-se valores de base escolhidos arbitrariamente: Sbase = 15 MVA (para a rede toda), Vbase = 4,16 kV (no gerador 1). Primeiro, indicam-se os valores de base da tensão para cada trecho do diagrama unifilar, conforme mostrado na figura 2.18. A partir do gerador G1, com 4,16 kV, caminha-se pela rede e, cada vez que se passa por um transformador, o valor de base da tensão muda, de acordo com a relação de tensão do respectivo transformador. Gerador G1 x = 0,20 ×

(4,16)2 × 7

15 = 0,4286 p.u. (4,16)2

Gerador G2 46

Valores Percentuais e Por-unidade

x = 0,21×

(6,9)2 ×

15 = 0,2282 p.u. (7,4)2

12

Gerador G3 x = 0,19 ×

(6,9)2 ×

15

(7,4)2

9,5

= 0,2608 p.u.

A figura 2.18 mostra os valores de base de tensão em cada trecho da rede:

Transformador T1

(4,16)2 ×

x = (0,020 + j 0,10) ×

8

15 = (0,0375 + j 0,1875) p.u. (4,16)2

Transformador T2 x = (0,025 + j 0,10) ×

(6,9)2 × 15

15 = (0,0217 + j 0,0869) p.u. (7,4)2

Transformador T3 x = (0,019 + j 0,09) ×

(6,9)2 × 10

15

(7,4)2

= (0,0248 + j 0,1174) p.u.

Trecho B4 – B5 x = (28 + j 120) ×

15

(37)2

= (0,3068 + j 1,3148) p.u.

Trecho B5 – B6 x = (32 + j 130) ×

15

(37)2

= (0,3506 + j 1,4244) p.u.

Trecho B7 – B8 x = (25 + j 110) ×

15

(37)2

= (0,2739 + j 1,2053) p.u.

Trecho B8 – B5 x = (28 + j 118) ×

15 = (0,3068 + j 1,2929) p.u. (37)2

Após o cálculo das impedâncias na nova base, constrói-se o diagrama de impedâncias, em p.u., como na figura 2.19:

47

Exercícios Introdutórios a Sistemas Elétricos de Potência

2.4 Dada a rede a seguir – figura 2.20, pede-se: a) O diagrama de impedâncias; b) A corrente de circulação e a potência fornecida pelo gerador quando a carga estiver operando nas condições nominais; c) As correntes e as tensões, e a potência fornecida pelo gerador quando a carga estiver com 0,5 MVA, fp = 0,85 e V = 34,5 kV.

Solução:

a) Elaboração do diagrama de impedâncias Este exercício corresponde ao típico conflito de choque de bases. Escolhe-se arbitrariamente o valor do gerador como base: Gerador
6,6 kV e 2 MVA. Os demais valores das tensões de base ficam como mostra a figura 2.21. No transformador instalado entre as barras 004 e 002 existe um conflito de base. Dessa forma, esse transformador deve ser substituído por sua impedância de curto-circuito referida aos valores de base, em série com um (auto)transformador ideal, tendo como relação de transformação: 1:α = 1:

v n2 v n1

(2.25)

conforme as expressões (2.22), (2.23) e (2.24); sendo, então: v n2 =

34,5 = 0,9583 36

e

v n1 =

13,8 = 1,0455 13,2

48

Valores Percentuais e Por-unidade

Logo:

α=

0,9583 = 0,9166 1,0455

A figura 2.22, a seguir, mostra a instalação do autotransformador com relação 1:α.

Os valores dos parâmetros em p.u. para a figura 2.22 são: Linha 001 – 005: z=

(3 + j 8) × 2 = 0,1377 + j 0,3673 (6,6)2

Transformador T1 x = 0,08 ×

(6,6)2 × 1,5

2

(6,6)2

= 0,1067

z12 = z + x = 0,1377 + j 0,4740

49

Exercícios Introdutórios a Sistemas Elétricos de Potência

Transformador T2 z13 = j 0,07 ×

(6,6)2 1,7

×

2

(6,6)2

= j 0,0824

(1 + j 4) × 2 = 0,0115 + j 0,0459 (13,2)2

z 34 =

Transformador T3 zT = j 0,08 ×

(13,8)2 × 1,8

2

(13,2)2

= j 0,0972

O diagrama de impedâncias fica como mostrado na figura 2.23:

b) Cálculo da corrente de circulação, quando a carga estiver operando nas condições nominais Cálculo da corrente da carga nas condições nominais: 1 in =

33

2 = 0,5455 ∠ − 31,79º 36

Pela figura 2.23 deste exercício, têm-se: v1 – vb = i2 (0,1377 + j 0,4740) v1 – (vb / α) = i1 (j 0,824 + 0,0115 + j 0,0459 + j 0,0972) = i1 (0,0115 + j 0,9671) i1

α

+ i2 = in = 0,5455 ∠ − 31,79º

Sendo vb = (33 / 36) = 0,9167 p.u. e

α = 0,9166

Para solucionar o exercício através de um programa computacional que opere com matrizes, escrevem-se as equações acima em forma matricial: - vb

-0,1967

- vb / α = -1,0001 in

0,4639-j0,2870

0 = 0,0115 + j 0,9671 1/α

0,1377+j 0,4740

-1

i1

0

-1

i2

1

0

v1

Donde resulta: 50

Valores Percentuais e Por-unidade

i1

0,1285 – j 0,0646

i2

= 0,3235 – j 0,2169

v1

1,0641 + j 0,1235

(p.u.)

Pela topologia da rede, a corrente que sai do gerador é igual à corrente da carga. Portanto, s = v1. in* = (1,0641 + j 0,1235)x(0,5455 / 31,79º) = 0,4579 + 0,3630 j

p.u.

S = 2 x s = 0,9158 (MW) + j 0,7261 (Mvar) = 1,1687 / 38,41º MVA c) Cálculo das correntes, das tensões e da potência fornecida pelo gerador, quando a carga estiver com 0,5 MVA, fp = 0,85 e V = 34,5 kV. Cálculo da corrente da carga com as condições impostas pelo problema:

0,5 in =

34,5

2 = 0,2609 ∠ − 31,79º 36

Pela figura 2.23, tem-se: v1 – vb = i2 (0,1377 + j 0,4740) v1 – (vb / α) = i1 (j 0,824 + 0,0115 + j 0,0459 + j 0,0972) = i1 (0,0115 + j 0,9671) i1

α

+ i2 = in = 0,2609 ∠ − 31,79º

Sendo vb = (34,5 / 36) = 0,9583 p.u. e

α = 0,9166

Para solucionar o exercício através de um programa computacional que opere com matrizes, escrevem-se as equações acima em forma matricial: 0

- vb

- vb / α = 0,0115 + j 0,9671

0.1377+j 0,4740

-1

i1

0

-1

i2

0

v1

1/α

in

Donde resultam: I1

0,0586 - j 0,0019

i2

= 0,1582 – j 0,1353

v1

1,0026 + j 0,0563

(p.u.)

Pela topologia da rede, a corrente que sai do gerador é igual a corrente da carga. Portanto, s = v1. in* = (1,0026 + j 0,0563)x(0,2609 / 31,79º) = 0,2146 + 0,1503 j

p.u.

S = 2 x s = 0,4292 (MW) + j 0,3006 (Mvar) = 0,5240 / 35,0º MVA 2.5 Construir o diagrama de impedâncias, em p.u., da rede da figura 2.24, dados os valores constantes da tabela a seguir: Equipamento

Potência nominal

Tensão nominal

Impedância equivalente

Gerador G1 = G2 = G3

60 MVA

13,8 kV

j 0,20 p.u.

Transformador T1 = T2 = T3

60 MVA

13,8 – 230 kV

j 0,11 p.u.

51

Exercícios Introdutórios a Sistemas Elétricos de Potência

Equipamento

Potência nominal

Tensão nominal

Impedância equivalente

Transformador T4

150 MVA

230 – 34,5 kV

j 0,12 p.u.

Transformador enrolamentos)

T5

(três 50 MVA (primário)

230 – 69 – 138 kV j x12 = j 11% (p/ 50 MVA) (prim – terc – sec.) j x13 = j 10% (p/ 50 MVA) 25 MVA (secundário) 25 MVA (terciário)

Transformador T6

15 MVA

j x23 = j 10% (p/ 50 MVA) 138 – 34,5 kV

j 0,09 p.u.

Linhas

Impedâncias longitudinais (Ω/km)

Susceptâncias transversais (S/km)

Linha 001 – 007 (180 km)

0,1 + j 1,20

5,5 x 10

Linha 001 – 004 (80 km)

0,08 + j 1

5 x 10

Linha 005 – 006 (90 km)

0,09 + j 1,1

4,8 x 10

Linha 008 – 003 (25 km)

0,06 + j 0,64

2 x 10

-6

-6 -6

-6

Solução:

Escolhem-se como valores de base: S = 60 MVA e a tensão do gerador G1. A rede com as indicações das tensões de base fica como mostrada na figura 2.25.

52

Valores Percentuais e Por-unidade

Geradores G1 = G2 = G3
x = 0,20 p.u. Transformadores T1 = T2 = T3
x = 0,11 p.u. 2 Transformador T4
x = 0,12 × 230 × 60 = 0,048 p.u. 2

150

230

Transformador T5
x = 0,11 × 60 = 0,1320 p.u. 12 50

x13 = 0,10 × x12 = 0,10 ×

60 = 0,12 p.u. 50

60 = 0,12 p.u. 150

De acordo com as expressões (2.9), (2.10) e (2.11), resultam: x p = 1 (0,1320 + 0,12 − 0,12) = 0,0660 p.u. 2 xs =

1 (0,1320 + 0,12 − 0,12) = 0,0660 p.u. 2

xt =

1 (0,12 + 0,12 − 0,1320) = 0,0540 p.u. 2

Transformador T6
x = 0,09 × 60 = 0,36 p.u. 15 Linha 001 – 007 A partir das expressões (2.16) e (2.17) calculam-se os parâmetros para essa linha considerada longa. Portanto: Ze = 16,737 + j 208,44 Ω

e

Ye = j 0,0010 S

Donde resulta, em p.u.:

z e = (16,737 + j 208,44) ×

60 = 0,0190 + j 0,2364 p.u. 230 2 53

Exercícios Introdutórios a Sistemas Elétricos de Potência

Ye = j 0,00000113 p.u. Linha 001 – 004 Analogamente, têm-se: Ze = 6,332 + 79,577 j

-4

e

Ω

Ye = 4,011 x 10 j

S

Donde resulta, em p.u.: ze = 0,00718 + j 0,0903 p.u.

e

ye = j 0,00000045 p.u.

Linha 005 – 006 Resultam: Ze = 7,985 + j 98,300 Ω Sendo Z b =

-4

e

138 2 = 317,4 60

Ye = j 4,335 x 10

S

Ω resulta

ze = 0,0252 + j 0,310 p.u.

e

ye = j 0,00000137 p.u.

Linha 008 – 003 Resultam: Ze = 1,4979 + j 16 Ω Sendo Z b =

69 2 = 79,35 60

e

-5

Ye = j 5 x 10

S

Ω resulta

ze = 0,0189 + j 0,2016 p.u.

e

ye = j 0,00000063 p.u.

O diagrama de impedâncias da rede aparece na figura 2.26.

54

Valores Percentuais e Por-unidade

Exercícios Propostos

2.6 Para um sistema monofásico, são adotados como valores de base Sb = 250 kVA e Vb = 460 V. Determinar a corrente e a impedância de base para esse sistema. 2.7 Para um sistema trifásico, são adotados como valores de base Sb = 100 MVA e Vb = 138 kV. Determinar a corrente, a impedância e a admitância de base. 2.8 Um transformador possui a reatância igual a 9% na base Sb = 50 MVA e Vb = 230 kV (lado de alta tensão). Determinar o valor dessa reatância em p.u. na nova base Sb = 250 MVA e Vb = 245 kV (lado de alta tensão). 2.9 Uma determinada carga trifásica ligada em estrela, do tipo Z = R + jX, consome a potência complexa de S = 150 + j 90 MVA na tensão 13,2 kV. Determinar a impedância equivalente em p.u. na base Sb = 100 MVA e Vb = 13,8 V. 2.10 Uma determinada carga trifásica ligada em triângulo, do tipo Z = R + jX, consome a potência complexa de S = 75 + j 45 MVA na tensão de 14,4 kV. Determinar a impedância equivalente em p.u. na base Sb = 100 MVA e Vb = 13,8 V. 2.11 Um motor de indução possui as seguintes características com base nos valores nominais do motor (em kVA e em kV):

Tensão nominal (kV)

6,6

Rendimento nominal (%)

87,6

Fator de potência nominal (%)

85,67

Resistência R (%)

2,25

Rs (%)

1,5

Xr (%)

15

Xs (%)

20,8

Potência nominal no eixo (kW)

728

Determinar a) O circuito equivalente conforme o diagrama da figura 2.27, com os valores em p.u., considerando as seguintes bases: Sb = 1200 kVA e Vb = 7,2 V. b) A potência elétrica consumida pelo motor, em p.u e em kW, e o fator de potência, dados a tensão nos terminais do motor igual a 6,4 kV e o escorregamento s = 3,49%.

2.12 Um transformador trifásico com três enrolamentos é submetido aos ensaios de curto-circuito para determinação das reatâncias xp, xs e xt na base 1500 kVA. As características nominais do transformador são: 55

Exercícios Introdutórios a Sistemas Elétricos de Potência

•

enrolamento primário: 13800 V, 1500 kVA;

•

enrolamento secundário: 2400 V, 750 kVA;

•

enrolamento terciário 460 V, 750 kVA.

Calcular xp, xs e xt, conhecendo os resultados dos ensaios apresentados na tabela a seguir, não considerando os valores de resistências do enrolamento: Ensaio

Enrolamento excitado

Enrolamento curto-circuitado

Tensão aplicada, volts

Corrente no enrolamento excitado, amperes

1

1

2

229,6

31,4

2

1

3

229,6

31,4

3

2

3

138,73

31,4

2.13 Um transformador trifásico com três enrolamentos é submetido a ensaios para determinar as reatâncias xp, xs e xt na base 30 MVA (desprezar a resistência). O primário e o secundário são ligados em triângulo e o terciário em estrela com neutro acessível. As características principais são: Potência do enrolamento primário e secundário 30 MVA, e a tensão de cada enrolamento 13,8 kV; o terciário possui potência igual a 60 MVA e tensão 138 kV. Os ensaios realizados foram:

•

Com o secundário em curto-circuito e o terciário em aberto, a tensão aplicada no primário foi de 1593,3 V e a corrente lida de 1255 A;

•

Com o terciário em curto-circuito e o secundário em aberto, a tensão aplicada no primário foi de 1552,7 V e a corrente lida de 1255 A;

•

Com o terciário em curto-circuito e o primário em aberto, a tensão no secundário foi de 1752,7 V e a corrente lida de 1255 A.

2.14

Dada a rede da figura 2.28, desenhar o diagrama de impedâncias utilizando como base o gerador G1.

Equipamento

Potência nominal

Tensão nominal

Impedância equivalente

Gerador 1

95 MVA

13,8 kV

j 0,20 p.u.

Gerador 2

85 MVA

13,8 kV

j 0,21 p.u.

Gerador 3

9,5 MVA

6,9 kV

j 0,19 p.u.

13,8 – 138 kV

j 0,11 p.u.

Transformadores T1 = 100 MVA T2 = T3 =T4

56

Valores Percentuais e Por-unidade

Equipamento

Tensão nominal

Impedância equivalente

Transformadores T5 = 10 MVA T6

6,9 – 138 kV

j 0,09 p.u.

Linha LT1

-----

-----

j 10 Ω

Linha LT2

-----

-----

j 11 Ω

Linha LT3

-----

-----

j 14,5 Ω

2.15

Potência nominal

Dada a rede da figura 2.29, desenhar o diagrama de impedâncias utilizando como base o gerador G1.

Equipamento

Potência nominal

Tensão nominal

Impedância equivalente

Gerador G1

25 MVA

13,8 kV

j 0,22 p.u.

Gerador G2

30 MVA

13,8 kV

j 0,23 p.u.

Gerador G3

9,5 MVA

6,6 kV

j 0,19 p.u.

Motor M3

25 MVA

13,2 kV

j 0,20

Motor M4

28 MVA

13,2 kV

J 0,22

Transformadores T1 = T2 30 MVA

14,4 – 145 kV

j 0,09 p.u.

Transformadores T3 = T4 28 MVA

138 – 13,8

j 0,09 p.u.

Transformador T5

10 MVA

6,9 – 138 kV

j 0,07 p.u.

Linha LT12

-----

-----

j 10 Ω

Linha LT14 = LT23

-----

-----

j 11 Ω

Linha LT25 = LT35

-----

-----

j 14,5 Ω

2.16

Dada a rede da figura 2.30, desenhar o diagrama de impedâncias utilizando como base o gerador G1.

57

Exercícios Introdutórios a Sistemas Elétricos de Potência

Equipamento

Potência nominal

Tensão nominal

Impedância equivalente

Gerador 1

45 MVA

13,8 kV

j 0,22 p.u.

Gerador 2

25 MVA

13,8 kV

j 0,23 p.u.

Transformador T1

45 MVA

14,4 – 142 kV

j 0,095 p.u.

Transformador T2

28 MVA

138 – 13,8 kV

j 0,085 p.u.

Transformadores T3 = T4 30 MVA

138 – 13,8 kV

j 0,08 p.u.

Motor Síncrono M3 = M4

28 MVA

13,8 kV

j 0,22 p.u.

Linha LT12

-----

-----

j9Ω

Linha LT14

-----

-----

j 10 Ω

Linha LT23

-----

-----

j 11 Ω

2.17 Dada a rede da figura 2.28 e os dados da tabela abaixo, desenhar o diagrama de impedâncias utilizando como base o gerador G1. Equipamento

Potência nominal

Tensão nominal

Impedância equivalente

Gerador 1

100 MVA

14,4 kV

j 0,20 p.u.

Gerador 2

200 MVA

13,8 kV

j 0,21 p.u.

Gerador 3

50 MVA

13,8 kV

j 0,23 p.u.

Transformador T1

50 MVA

14,4 – 230 kV

j 0,11 p.u.

Transformador T2

50 MVA

13,8 – 230 kV

j 0,11 p.u.

Transformador T3

100 MVA

13,8 – 245 kV

j 0,11 p.u.

Transformador T4

100 MVA

13,8 – 240 kV

j 0,11 p.u.

Transformador T5

25 MVA

16 – 230 kV

j 0,09 p.u.

Transformador T6

25 MVA

13,8 – 230 kV

j 0,09 p.u.

Linha LT1

-----

-----

j 10 Ω

Linha LT2

-----

-----

j 11 Ω

Linha LT3

-----

-----

j 14,5 Ω

2.18

Um transformador trifásico de 7500 kVA (potência do primário) com quatro enrolamentos possui as 58

Valores Percentuais e Por-unidade

seguintes reatâncias na base 7500 kVA: x12 = 11%; x13 = 11,5%; x14 = 10%; x23 = 12%; x24 = 11% e x34 = 11,5%. Determinar as reatâncias xp; xs; xt e xq, segundo o modelo da figura 2.31.

Bibliografia

Barthold, L. O.; Reppen, N. D.; Hedman, D. E. Análise de Circuitos de Sistemas de Potência – Curso de Engenharia em Sistemas Elétricos de Potência. Série P.T.I. 2. ed. Santa Maria – RS: UFSM, 1983. 10v. Oliveira, C. C. B.; Schmidt. H. P.; Kagan, N.; Robba, J. E. Introdução a Sistemas Elétricos de Potência – Componentes Simétricas. 2. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 1996. 467p. Stevenson Jr., W. W. Elementos de Análise de Sistemas de Potência. 2. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 1986. 458p.

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