RLM - TAREFA 347 - TRILHA 14 - AULA 09 - curso-161001-aula-09-grifado-e183

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Sumário 1. Introdução ...................................................................................................................................................... 4 2. Matrizes.......................................................................................................................................................... 5 2.1. Ordem de uma matriz ............................................................................................................................. 5 2.2. Elementos de uma matriz ....................................................................................................................... 5 2.3. Matrizes - representação ........................................................................................................................ 6 2.3.1. Forma Genérica ................................................................................................................................ 6 2.3.2. Lei de formação de uma matriz........................................................................................................ 6 2.4. Tipos de matrizes .................................................................................................................................... 9 2.4.1. Matriz Linha ...................................................................................................................................... 9 2.4.2. Matriz Coluna ................................................................................................................................... 9 2.4.3. Matriz Nula ....................................................................................................................................... 9 2.4.4. Matriz Retangular ............................................................................................................................. 9 2.4.5. Matriz Quadrada .............................................................................................................................. 9 2.4.6. Matriz Diagonal .............................................................................................................................. 10 2.4.7. Matriz Triangular ............................................................................................................................ 10 2.4.8. Matriz Identidade ........................................................................................................................... 11 2.4.9. Matriz Oposta ................................................................................................................................. 11 2.4.10. Matriz Transposta......................................................................................................................... 11 2.4.11. Matriz Simétrica ........................................................................................................................... 12 2.4.12. Matriz Antissimétrica ................................................................................................................... 13 2.5. Operações com Matrizes....................................................................................................................... 14 2.5.1. Igualdade de Matrizes .................................................................................................................... 14 2.5.2. Adição e Subtração de Matrizes ..................................................................................................... 14

2.5.3. Multiplicação de um Número Real por uma Matriz ....................................................................... 16 2.5.4. Multiplicação de Matrizes .............................................................................................................. 16 2.6. Matriz Inversa........................................................................................................................................ 24 2.6.1. Matriz Inversa de uma Matriz de Primeira Ordem ........................................................................ 24 2.6.2. Matriz Inversa de uma Matriz de Segunda Ordem ........................................................................ 25 3. Determinantes ............................................................................................................................................. 26 3.1. Determinante de uma Matriz Quadrada de 1ª Ordem ......................................................................... 26 3.2. Determinante de uma Matriz Quadrada de 2ª Ordem ......................................................................... 26 3.3. Determinante de uma Matriz Quadrada de 3ª Ordem ......................................................................... 27 3.4. Propriedades dos Determinantes ......................................................................................................... 30 3.5. Menor Complementar........................................................................................................................... 38 3.6. Cofator ................................................................................................................................................... 39 3.7. Teorema de Laplace .............................................................................................................................. 40 4. Sistemas Lineares ......................................................................................................................................... 44 4.1. Representação de um sistema linear na forma matricial ..................................................................... 45 4.2. Solução de um sistema linear ............................................................................................................... 47 4.3. Classificação de um sistema linear ........................................................................................................ 50 4.4. Sistemas Lineares Homogêneos ............................................................................................................ 50 4.5. Teorema de Cramer .............................................................................................................................. 51 4.6. Análise do Sistema Linear ..................................................................................................................... 53 Questões Comentadas ..................................................................................................................................... 58 Lista de Questões ............................................................................................................................................. 78 Gabarito............................................................................................................................................................ 84 Questões Complementares Comentadas ........................................................................................................ 85

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Lista de Questões Complementares ................................................................................................................ 97 Gabarito Questões Complementares ............................................................................................................ 102

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1. INTRODUÇÃO Os tópicos que estudaremos neste capitulo fazem parte da denominada Álgebra, comumente cobrada em concursos públicos nas provas de Matemática. As questões de Matrizes geralmente abordam a necessidade de montar uma matriz dada sua lei de formação, o conhecimento dos diversos tipos de matrizes (inclusive isso foi cobrado no concurso para AFRFB de 2014) e a capacidade para realizar operações entre matrizes. Por sua vez, em Determinantes, tópico com menor frequência em provas, é exigido do candidato que consiga efetuar os cálculos para obter o determinante de dada matriz independentemente de qual seja sua ordem, que tenha em mente como aplicar as diversas propriedades pertinentes ao assunto e que saiba pontos específicos, como cofator e menor complementar. Por fim, em relação a Sistemas Lineares, a cobrança das bancas é concentrada em testar a capacidade do concurseiro em solucionar o sistema apresentado, classificá-lo corretamente e analisá-lo com base no determinante da matriz incompleta e dos determinantes das matrizes das incógnitas. Fique tranquilo que juntos trabalharemos cada um desses aspectos, sempre atentos ao nosso foco: acertar as questões conforme são cobradas em concursos!

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2. MATRIZES Indo bem direto, uma matriz nada mais é que uma tabela, que serve para a organização de números, sendo limitada por colchetes (ou parênteses). Foi convencionado que as linhas de uma matriz são enumeradas de cima para baixo, ao passo que as colunas, da esquerda para a direita. A título de exemplo, considere a matriz A abaixo: 𝟑 𝑨 = [𝟐 𝟏

𝟓 𝟑 −𝟑 𝟏] 𝟒 𝟐

Linhas

Colunas

2.1. Ordem de uma matriz Um conceito que você precisa ter em mente é o de ordem de uma matriz. Ela indica o tamanho e o formato de uma matriz, determinando a quantidade de linhas e de colunas. Assim, dizemos que a matriz A do nosso exemplo inicial é de ordem (ou do tipo) 3 x 3 (três por três), porque possui 3 linhas e 3 colunas.

Não se esqueça da sequência correta: linhas x colunas. Quando estiver escrito simplesmente que uma matriz é de 2ª, 3ª ou 4ª ordem, por exemplo, ela será do tipo 2x2, 3x3 ou 4x4, respectivamente, ou seja, o número de linhas é igual ao de colunas.

2.2. Elementos de uma matriz Seja uma matriz A com m linhas e n colunas, isto é, do tipo m x n. Um elemento qualquer dessa matriz será representado simbolicamente por aij, em que os índices i e j correspondem, respectivamente, à linha e à coluna no qual se encontra tal elemento. Fica claro, portanto, que, para localizarmos os elementos das matrizes, nós precisamos de duas informações: em que linha este elemento está e em que coluna. 5

Por exemplo, o elemento a21 (leia: a, dois, um) ocupa a primeira linha e a segunda coluna da matriz. Observação: Algumas bancas, como o CESPE, chama o “elemento” de “entrada”.

2.3. Matrizes - representação Existem basicamente duas formas de representar uma matriz: REPRESENTAÇÃO DE MATRIZES Forma genérica

Lei de formação

2.3.1. Forma Genérica Uma matriz A, do tipo m x n, pode ser representada genericamente da seguinte forma: 𝑎11 𝑎21 𝑎31 ⋮ (𝑎𝑚1

𝑎12 𝑎22 𝑎32 ⋮ 𝑎𝑚2

… 𝑎1𝑛 … 𝑎2𝑛 … 𝑎3𝑛 ⋱ ⋮ … 𝑎𝑚𝑛 )

Perceba então que o elemento a31, por exemplo, é o elemento que está na terceira linha, primeira coluna.

2.3.2. Lei de formação de uma matriz Atenção total aqui! As bancas examinadoras adoram fazer questões tratando deste tópico. Muitas vezes as questões já trazem as matrizes prontas, com seus respectivos valores numéricos. Outras vezes, porém, a questão apresenta apenas uma lei de formação da matriz. Nessa situação, cabe a nós construirmos a matriz, obedecendo àquela lei. Como funciona isso? Vamos praticar, encontrando a matriz do tipo 3 x 3 que possui a seguinte lei de formação:

Veja que o nosso objetivo consiste em calcular elemento por elemento (xij) da matriz X, sempre obedecendo a essa relação apresentada. Ora, se a questão disse que se trata de uma matriz quadrada de 3ª ordem (3 x 3), seus elementos serão os seguintes:

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Tudo certo até aqui? Prossigamos! Perceba que os índices i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna do elemento que será calculado. Assim, teremos que:

Prontinho, finalizamos a construção da matriz X:

A partir daqui podemos fazer com a matriz tudo o que a questão vier a solicitar. Entretanto, nada faríamos se não soubéssemos construí-la, a partir de sua lei de formação. Veja como esse assunto já foi cobrado.

ESAF/DNIT/2013 Os elementos de uma matriz A (3 x 2), isto é, com três linhas e duas colunas, são dados por:

Em que aij representa o elemento da matriz A (3 x 2) localizado na linha i e coluna j. Então, a soma dos elementos da primeira coluna de A (3 x 2) é igual a: 7

a) 17 b) 15 c) 12 d) 19 e) 13 Comentários: O nosso objetivo consiste em saber a soma dos elementos da primeira coluna da matriz A, ou seja: a 11 + a21 + a31. Assim, nem precisaremos construir a matriz, sendo suficiente obtermos os valores desses três elementos. Logo, pela lei de formação trazida pelo enunciado, temos: 𝒂𝟏𝟏 = (1 + 1)2 = 𝟒 𝒂𝟐𝟏 = 22 + 12 = 𝟓 𝒂𝟑𝟏 = 32 + 12 = 𝟏𝟎 Perceba que para encontrar o elemento a11 calculamos (i + j)2, pois i = j, mas para os outros dois elementos calculamos i2 + j2, porque i ≠ j. Somando cada elemento, obtemos: 4 + 5 + 10 = 19 Gabarito: Letra D. QUADRIX/SERPRO/2014

Assinale a alternativa que contém os valores que devem ser colocados nas posições X, Y e Z da matriz. a) X = 8; Y = 16; Z = 32 b) X = 4; Y = 8; Z = 16 c) X = 8; Y = 16; Z = 64 d) X = 16; Y = 64; Z = 128 e) X= 16; Y = 64; Z = 256 Comentários: Seguindo o mesmo cálculo que foi utilizado para se obter os elementos contidos na 1ª, 2ª e 4ª linhas, que foi o de elevar ao quadrado os múltiplos de 2, 3 e 5, concluímos que, para a 3ª linha, teremos os quadrados de 4: X = 4 x 4 = 16 Y = 16 x 4 = 64 Z = 64 x 4 = 256 Gabarito: E.

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2.4. Tipos de matrizes Existem diversos tipos de matrizes. Veremos os principais e mais conhecidos. Lembre-se: nosso foco é a sua aprovação e não a sua especialização!!!

2.4.1. Matriz Linha É aquela formada por apenas uma linha! Veja os exemplos a seguir: a) (2 4 8) é uma Matriz Linha do tipo 1 x 3, ou seja, tem 1 linha e 3 colunas; b) (1 7) é uma Matriz Linha do tipo 1 x 2, ou seja, tem uma linha e duas colunas.

2.4.2. Matriz Coluna 4 É aquela que apresenta uma única coluna. Por exemplo, concluímos que [8] é uma Matriz Coluna, do tipo 9 3x1, ou seja, formada por 3 linhas e uma coluna.

2.4.3. Matriz Nula 0 0 0 É aquela cujos elementos são TODOS iguais a zero! Assim, temos que [0 0 0] é uma Matriz Nula de 3ª 0 0 0 Ordem.

2.4.4. Matriz Retangular É aquela cujo número de linhas é diferente do número de colunas. Por exemplo, percebemos que 2 −4 [1 0 ] é uma Matriz Retangular do tipo 3 x 2. Veja que o desenho dela forma um retângulo, daí vem o −9 3 nome.

2.4.5. Matriz Quadrada É aquela que tem o mesmo número de linhas e de colunas. Nesse sentido, temos que [ 2 x 2, chamada de Matriz Quadrada de ordem 2.

7 6 ] é uma Matriz −1 5

Aqui vou abrir um parêntese para falar de algo muito importante, que irá se repetir por várias vezes durante o tópico.

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Diagonais da Matriz Quadrada Numa matriz quadrada temos duas diagonais: a diagonal principal e a diagonal secundária. Os elementos que compõem a diagonal principal no exemplo a seguir são: 3, 5 e 2. Já a diagonal secundária é composta pelos elementos: 0, 5, 4. Observe:

Diagonal Secundária

Diagonal Principal

A diagonal principal, portanto, começa do elemento mais à esquerda na primeira linha e vai descendo para o sentido da direita. O inverso ocorre com a diagonal secundária.

Perceba que os elementos da diagonal principal possuem índices iguais, ou seja, em uma matriz de terceira ordem, são os elementos a11, a22 e a33. O que não ocorre para os elementos da diagonal secundária.

2.4.6. Matriz Diagonal É aquela matriz quadrada cujos elementos da diagonal principal são diferentes de zero, e todos os demais elementos são iguais a zero. Veja os exemplos a seguir:

2.4.7. Matriz Triangular É a matriz quadrada em que todos os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero. Veja os exemplos a seguir:

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2.4.8. Matriz Identidade É aquela cujos elementos da diagonal principal são todos iguais a 1 e os demais elementos da matriz, iguais a 0 (zero). Veja os exemplos a seguir: 1 a) [ 0

0 ] é uma Matriz Identidade de 2ª Ordem, designada por I2. 1

1 b) [0 0

0 0 1 0] é uma Matriz Identidade de 3ª Ordem, designada por I3. 0 1

Daqui a pouco, quando estudarmos operações com matrizes, veremos a importância de se reconhecer uma matriz identidade.

2.4.9. Matriz Oposta É a matriz “negativa” da matriz original. Assim, a oposta da matriz A é a matriz –A. A matriz oposta é formada invertendo todos os sinais dos elementos da matriz A. Veja o exemplo a seguir:

2.4.10. Matriz Transposta Se temos uma matriz A qualquer, diremos que a matriz transposta de A, designada por At, será aquela que resultar de uma transposição entre linhas e colunas da matriz original. Ou seja, para chegarmos à matriz transposta, tomaremos a matriz original e, nesta última, quem é linha vai virar coluna. Simples assim! 𝟓 Para exemplificar, vamos encontrar a matriz transposta de A = [ 𝟕

𝟔 ]. 𝟖

Quem é a primeira linha da matriz A? Vejamos: 𝐴=[

5 6 ] 7 8

Ela irá se tornar a primeira coluna da transposta. Logo: 𝐴𝑡 = [5 6

]

Agora, quem é a segunda linha da matriz A? Vejamos:

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𝐴=[

5 6 ] 7 8

Ela irá se tornar a segunda coluna da transposta. Logo: 𝐴𝑡 = [

5 7 ] 6 8

Na matriz transposta, quem era linha virou coluna! Perceba que a ordem da matriz transporta será a inversa da matriz original, ou seja, se a matriz original era de ordem 3x2, a da sua transposta será 2x3.

Por último, se fizermos a transposta da matriz transposta, obteremos a matriz original. Isto é: (𝑨𝒕 )𝒕 = 𝑨

2.4.11. Matriz Simétrica É aquela que é igual a sua transposta, ou seja: A = At

Dessa maneira, se fizermos a transposta de A, obteremos a própria matriz A. Veja o exemplo: 𝟏 −𝟒 𝑨 = [−𝟒 𝟑 𝟓 𝟏

𝟓 𝟏] 𝟖

Note que uma matriz simétrica deverá ser quadrada, caso contrário, a transposta terá uma ordem diferente da original, logo, não serão iguais. Outro exemplo de matriz simétrica é a matriz identidade. 𝟏 𝑰 = [𝟎 𝟎

𝟎 𝟏 𝟎

𝟎 𝟎] 𝟏

É importante destacar que a diagonal principal da matriz simétrica é chamada de eixo de simetria.

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2.4.12. Matriz Antissimétrica É a matriz quadrada em que: 𝑨𝒕 = −𝑨

Ou seja, o que determina uma matriz ser antissimétrica é o fato de que a sua transposta é igual à sua matriz oposta. Veja o exemplo: 𝟎 𝑨 = [𝟓 𝟐

−𝟓 −𝟐 𝟎 𝟔] −𝟔 𝟎

Veja como esse assunto já foi cobrado.

ESAF/RFB/2014 A matriz quadrada A, definida genericamente por A = aij, é dada por a11 = 0; a12 = - 4; a13 = 2; a21 = x; a22 = 0; a23 = (1 - z); a31 = y; a32 = 2z e, por último, a33 = 0. Desse modo, para que a matriz A seja uma matriz antissimétrica, os valores de a21, a23, a31 e a32 deverão ser, respectivamente, iguais a: a) 4; -2; -2; -2. b) 4; -2; 2; -2. c) 4; 2; -2; -2. d) -4; -2; 2; -2. e) -4; -2; -2; -2. Comentários: Uma matriz é antissimétrica quando 𝑨𝒕 = −𝑨. Vamos montar a matriz A, de acordo com os elementos descritos no enunciado: 0 𝐴 = [𝑥 𝑦

−4 2 0 1 − 𝑧] 2𝑧 0

Daí, teremos que a transposta e a oposta de A serão: 𝟎 𝑨 = [−𝟒 𝟐 𝒕

𝒙 𝟎 𝟏−𝒛

𝟎 𝟒 −𝟐 𝒚 −𝒙 𝟎 𝒛 − 𝟏] 𝟐𝒛] 𝒆 (−𝑨) = [ −𝒚 −𝟐𝒛 𝟎 𝟎

Seguindo a igualdade estabelecida, isto é, (aij)t = -aij, temos: -x = -4 ⟶ x = 4 -y = 2 ⟶ y = -2

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-2z = 1 – z ⟶ z = -1 Agora podemos determinar cada elemento da matriz: a21 = x = 4 a23 = 1 – z = 1 – (-1) = 2 a31 = y = -2 a32 = 2z = 2 x (-1) = -2 Gabarito: Letra C.

2.5. Operações com Matrizes A partir daqui estudaremos as principais operações que podem ser realizadas com as matrizes: igualdade, soma, subtração, multiplicação de um número real por uma matriz e multiplicação entre matrizes.

2.5.1. Igualdade de Matrizes Duas matrizes serão ditas iguais se tiverem o mesmo número de linhas e colunas e se todos os seus elementos foram iguais.

2.5.2. Adição e Subtração de Matrizes Para somar ou subtrair matrizes, basta fazer a operação entre os elementos que estão nas mesmas posições.

Duas matrizes só podem ser somadas ou subtraídas se possuírem o mesmo número de linhas e de colunas. Além disso, o resultado da operação será sempre uma outra matriz de mesma ordem daquelas que foram somadas/subtraídas! Veja como esse assunto já foi cobrado. ESAF/CGU/2004 Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por mij, onde "i" representa a linha e "j" a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz X = xij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B=(bij). Sabendo-se que (aij) = i2 e que bij = (i-j)2, então o produto dos elementos x31 e x13 é igual a: a) 16

b) 18

c) 26

d) 65

e) 169

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Comentários: O enunciado é claro ao afirmar que a matriz X é o resultado da soma entre as matrizes A e B. E o nosso objetivo consiste em obter o produto dos elementos x31 e x13. Assim, o caminho da resolução que adotaremos implicará sabermos quem é x31 e x13. Sabemos que: x31 = a31 + b31 Pela lei de formação da matriz A, temos: a31 = 32 = 1 Pela lei de formação da matriz B, temos: b31 =(3 – 1)2 = 4 Dessa forma, x31 = a31 + b31 = 9 + 4 = 13. Sabemos também que: x13 = a13 + b13 Pela lei de formação da matriz A, temos: a13 =12 = 1 Pela lei de formação da matriz B, temos: b13 = (1 – 3)2 = 4 Dessa forma, x13 = a13 + b13 = 1 + 4 = 5. Por fim, efetuando a multiplicação entre x31 e x13, chegamos a: 𝑥31 . 𝑥13 = 13.5 = 𝟔𝟓 Gabarito: Letra D. CETRO/PM-SP/2012 Considere a seguinte sentença envolvendo matrizes:

Diante do exposto, assinale a alternativa que apresenta o valor de y que torna a sentença verdadeira. a) 4.

b) 6.

c) 8.

d) 10.

Comentários: Mais uma vez temos um caso de soma de matrizes. Lembrando que só poderemos efetuar essa operação se as matrizes forem de mesma ordem, sendo que a soma só ocorre entre os elementos correspondentes! Na nossa questão, temos:

Perceba que y está na posição a12 da matriz A, de forma que ele só poderá ser somado com o elemento b12 da matriz B, que é igual a -3. Logo:

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Gabarito: Letra A.

2.5.3. Multiplicação de um Número Real por uma Matriz Quando tínhamos a soma/subtração, nós só podíamos fazer a operação de uma matriz com outra matriz. Não podíamos, nunca, somar uma matriz com um número real. Aqui é diferente. Agora nós podemos multiplicar uma matriz por um número real qualquer. Assim, apenas multiplicaremos o número real fornecido por cada um dos elementos da matriz, que chegaremos à matriz resultante. Por exemplo, dada a matriz A a seguir, calcule 3.A: 𝟏 𝑨=[ 𝟑 𝟏 𝟑. 𝑨 = 𝟑. [ 𝟑

𝟎 ] −𝟐

𝟎 𝟑 ]=[ −𝟐 𝟗

𝟎 ] −𝟔

2.5.4. Multiplicação de Matrizes Efetuar a multiplicação de matrizes não é o mesmo que multiplicar os elementos que estão nas mesmas posições. Isso gera muita confusão devido a ser esse o procedimento usado lá na adição e na subtração. Antes de mais nada você precisa saber que não são quaisquer duas matrizes que podem ser multiplicadas. Apenas podemos multiplicar duas matrizes se o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda. Se esse requisito for cumprido, então o produto é possível. Caso contrário, nada feito!

Só podemos multiplicar duas matrizes se o número de COLUNAS DA PRIMEIRA for igual ao número de LINHAS DA SEGUNDA. Outro aspecto muito importante é sabermos qual será a ordem da matriz resultante, ao se multiplicar duas matrizes. Por exemplo, imagine que desejamos multiplicar a matriz A, de ordem 2 x 3, com a matriz B, de ordem 3 x 4.

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MEIOS

EXTREMOS Primeiramente, precisamos verificar se o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B (“MEIOS”), a fim de constatarmos se a multiplicação é possível. Bem, visto que ambos são iguais a 3, o produto é possível sim! Agora, para determinarmos a ordem da matriz-resultado, verificaremos os “EXTREMOS”! Ela terá o mesmo número de linhas de A e o mesmo número de colunas de B.

A matriz-produto terá o número de LINHAS DA PRIMEIRA matriz e o número de COLUNAS DA SEGUNDA. Agora, vamos aprender a multiplicar duas matrizes. Dadas duas matrizes, os elementos da matriz resultante do produto dessas duas matrizes são obtidos multiplicando-se cada elemento de uma linha da primeira matriz pelo elemento correspondente na coluna da segunda matriz e somando-se os valores obtidos. Viiiixi! Não entendi nada! Calma! Quando você menos perceber, esse procedimento já estará automatizado em sua mente! Para ajudálo, preparamos um esquema passo a passo de como fazer a multiplicação de matrizes: 1º PASSO Ver se a multiplicação é possível

2º PASSO Obter a ordem da matriz-produto

5º PASSO Substituir cada elemento encontrado na matriz-produto

3º PASSO Desenhar a forma genérica da matrizproduto

4º PASSO Encontrar o valor de cada elemento da matriz-produto

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EXEMPLO Efetue a multiplicação entre as matrizes A e B: 𝑨=[

𝟕 𝟏 𝟐 𝟑 ] e 𝑩 = [𝟖] 𝟒 𝟓 𝟔 𝟗

1º e 2º PASSOS: Ver se a multiplicação é possível e obter a ordem da matriz-produto. Já sabemos que: Só podemos multiplicar duas matrizes se o número de COLUNAS DA PRIMEIRA for igual ao número de LINHAS DA SEGUNDA; A matriz-produto terá o número de LINHAS DA PRIMEIRA matriz e o número de COLUNAS DA SEGUNDA.

MEIOS

EXTREMOS

Conclusão: o produto é possível e a matriz-produto C terá a ordem 2 x 1. 3º PASSO: Desenhar a forma genérica da matriz-produto. 𝒄𝟏𝟏 𝑪 = 𝑨 𝒙 𝑩 = [𝒄 ] 𝟐𝟏

4º PASSO: Encontrar o valor de cada elemento da matriz-produto. Aqui teremos um pouco mais de trabalho e é onde a maior parte dos alunos se confundem. Apesar disso, basta que você tenha em mente que, para encontrar um elemento da matriz-produto, iremos multiplicar uma linha da primeira coluna por uma coluna da segunda matriz! No caso do nosso exemplo, para calcularmos o valor do elemento c11, multiplicaremos o elemento da primeira linha da primeira matriz pelo elemento da primeira coluna da segunda matriz.

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C1 1 1ª linha da primeira matriz

1ª coluna da segunda matriz

Ou seja: 𝑨=[

𝟏 𝟒

𝟐 𝟓

𝟕 𝟑 ] e 𝑩 = [𝟖 ] 𝟔 𝟗

𝐶11 = (1 𝑥 7) + (2 𝑥 8) + (3 𝑥 9) = 7 + 16 + 27 = 𝟓𝟎 Perceba que multiplicamos o 1º, 2º e 3º elementos da 1ª linha pelo 1º, 2º e 3º elementos da 1ª coluna, e somamos cada um desses produtos. Prosseguindo, vamos adotar o mesmo procedimento para encontrarmos agora o elemento C21. Logo:

C2 1 2ª linha da primeira matriz

1ª coluna da segunda matriz

Ou seja: 𝑨=[

𝟕 𝟏 𝟐 𝟑 ] e 𝑩 = [𝟖] 𝟒 𝟓 𝟔 𝟗

𝐶11 = (4 𝑥 7) + (5 𝑥 8) + (6 𝑥 9) = 28 + 40 + 54 = 𝟏𝟐𝟐 Assim, chegamos ao nosso resultado final, ou seja, à matriz-produto C: 𝑪=𝑨𝒙𝑩=[

𝟓𝟎 ] 𝟏𝟐𝟐

Ufa! Acostume-se, meu amigo, pois utilizaremos sempre esse caminho para fazermos o produto de duas matrizes. Com repetição, dedicação e bastante atenção, logo estará tudo dominado! Veja como esse assunto já foi cobrado.

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IDECAN/AGU/2014 Seja A uma matriz 2 x 3 e B uma matriz 3 x 2. A matriz C resultante do produto da matriz A pela B nesta ordem é uma matriz de ordem a) 2x2. b) 2 x 3. c) 3x2. d) 3x3. e) Não é possível fazer o produto. Comentários: O enunciado apresenta duas matrizes com as seguintes características: Matriz A: 2 x 3 Matriz B: 3 x 2 Em seguida, exige que descubramos a ordem da matriz C resultante do produto da matriz A pela B. Ora, sabemos que a matriz-produto terá o número de LINHAS DA PRIMEIRA matriz e o número de COLUNAS DA SEGUNDA. Ou seja: Matriz C: 2 x 2 Gabarito: Letra A. ESAF/Técnico/MPU/2004 Sejam as matrizes

e seja xij o elemento genérico de uma matriz X tal que X =(A.B)t, isto é, a matriz X é a matriz transposta do produto entre as matrizes A e B. Assim, a razão entre x31 e x12 é igual a a) 2 b) 1/2 c) 3 d) 1/3 e) 1 Comentários: Inicialmente precisamos efetuar a multiplicação entre as matrizes A e B. 1º e 2º PASSOS: Ver se a multiplicação é possível e obter a ordem da matriz-produto.

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Conclusão: o produto é possível e a matriz-produto X terá a ordem 3 x 4. 3º PASSO: Desenhar a forma genérica da matriz-produto. 𝒙𝟏𝟏 𝒙𝟏𝟐 𝑿 = 𝑨 𝒙 𝑩 = [𝒙𝟐𝟏 𝒙𝟐𝟐 𝒙𝟑𝟏 𝒙𝟑𝟐

𝒙𝟏𝟑 𝒙𝟐𝟑 𝒙𝟑𝟑

𝒙𝟏𝟒 𝒙𝟐𝟒 ] 𝒙𝟑𝟒

4º PASSO: Encontrar o valor de cada elemento da matriz-produto. Vamos tentar facilitar a nossa vida aqui! Faremos todos os cálculos já dentro da própria matriz-produto. Logo: 𝟏𝒙𝟏 + 𝟒𝒙𝟏 𝟏𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 𝟏𝒙𝟒 + 𝟒𝒙𝟑 𝟏𝒙𝟓 + 𝟒𝒙𝟒 𝑨 𝒙 𝑩 = [𝟐𝒙𝟏 + 𝟔𝒙𝟏 𝟐𝒙𝟑 + 𝟔𝒙𝟐 𝟐𝒙𝟒 + 𝟔𝒙𝟑 𝟐𝒙𝟓 + 𝟔𝒙𝟒] 𝟑𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟏 𝟑𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 𝟑𝒙𝟒 + 𝟑𝒙𝟑 𝟑𝒙𝟓 + 𝟑𝒙𝟒 𝟓 𝟏𝟏 𝟏𝟔 𝟐𝟏 𝑨 𝒙 𝑩 = [𝟖 𝟏𝟖 𝟐𝟔 𝟑𝟒] 𝟔 𝟏𝟓 𝟐𝟏 𝟐𝟕 Feita a multiplicação, a próxima etapa consiste em obter a transposta de AB, invertendo as linhas pelas colunas:

Assim, a razão entre x31

𝟓 𝟏𝟏 𝑿 = (𝑨 𝒙 𝑩)𝒕 = [ 𝟏𝟔 𝟐𝟏 e x12 é igual a:

𝟖 𝟔 𝟏𝟖 𝟏𝟓 ] 𝟐𝟔 𝟐𝟏 𝟑𝟒 𝟐𝟕

𝒙𝟑𝟏 16 = =𝟐 𝒙𝟏𝟐 8 Gabarito: Letra A. CESGRANRIO/BNDES/2007

O produto de matrizes expresso acima é a) igual a [2 −1]. b) igual a 3. c) igual à matriz identidade. d) comutativo. e) não definido. Comentários: 21

Iniciamos multiplicando as duas primeiras matrizes. 1º e 2º PASSOS: Ver se a multiplicação é possível e obter a ordem da matriz-produto.

Conclusão: o produto é possível e a matriz-produto terá a ordem 1 x 3. Em seguida, multiplicamos essa matriz (1 x 3) pela terceira matriz: 1º e 2º PASSOS: Ver se a multiplicação é possível e obter a ordem da matriz-produto.

Conclusão: o produto é possível e a matriz-produto terá a ordem 1 x 2. Pronto, aqui já conseguimos matar a questão, visto que a única alternativa que tem como resultado uma matriz do tipo 1 x 2 é a letra A. Deixamos para você a tarefa de fazer as contas para encontrar os elementos da matriz-produto. Faça isso para treinar, OK? Gabarito: Letra A.

2.5.4.1. Propriedades da Multiplicação de Matrizes Associativa: (A x B) x C = A x (B x C) Distributiva: A x (B + C) = A x B + A x C Elemento Neutro: A x I = I x A = A, em que I é a Matriz identidade. (A x B)t = Bt x At A x A-1 = I (A x B)-1 = B-1 x A-1 Veja como esse assunto já foi cobrado.

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ESAF/SEFAZ-MG/2005 A, B e C são matrizes quadradas de mesma ordem, não singulares e diferentes da matriz identidade. A matriz C é igual ao produto A Z B, onde Z é também uma matriz quadrada. A matriz Z, portanto, é igual a: a) A-1 B C b) A C-1 B-1 c) A-1 C B-1 d) A B C-1 e) C-1 B-1 A-1 Comentários: Na multiplicação de matrizes, não vale a propriedade comutativa, ou seja, a ordem em que a multiplicação é efetuada importa. A igualdade apresenta foi: 𝐶 =𝐴𝑥𝑍𝑥𝐵 Temos que isolar a matriz Z. Para tanto, nessas questões, procuramos multiplicar sempre pela matriz inversa de outras matrizes. Vamos multiplicar à esquerda, em ambos os lados da igualdade, por A-1: 𝐴−1 𝑥 𝐶 = 𝐴−1 𝑥 𝐴 𝑥 𝑍 𝑥 𝐵 Pela 5ª propriedade que aprendemos, temos que: A x A-1 = I Daí: 𝐴−1 𝑥 𝐶 = 𝐼 𝑥 𝑍 𝑥 𝐵 Pela 3ª propriedade que aprendemos, temos que a Matriz Identidade é o elemento neutro da multiplicação de matrizes. Logo: 𝐴−1 𝑥 𝐶 = 𝑍 𝑥 𝐵 Agora iremos multiplicar à direita, em ambos os lados da igualdade, por B-1: 𝐴−1 𝑥 𝐶 𝑥 𝐵 −1 = 𝑍 𝑥 𝐵 𝑥 𝐵 −1 Pela 5ª propriedade que aprendemos, temos que: B x B-1 = I Daí: 𝐴−1 𝑥 𝐶 𝑥 𝐵 −1 = 𝑍 𝑥 𝐼 𝑨−𝟏 𝒙 𝑪 𝒙 𝑩−𝟏 = 𝒁 Gabarito: Letra C.

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2.6. Matriz Inversa Você deve ter aprendido que, no caso dos números reais, existe o inverso de um número. Para as matrizes quadradas também pode existir a matriz inversa. No caso dos números, o inverso de um número é aquele que multiplicado por esse número resulta na unidade. Assim, dado um número x, dizemos que seu inverso é 1/x ou x-1. Para o inverso isso também é válido: 𝒙. 𝒙−𝟏 = 𝟏 Algo similar acontece com as matrizes; isto é, a inversa da matriz quadrada A (chamada de A-1) é uma matriz quadrada de mesma ordem de A que, multiplicada por ela, resulta na matriz identidade (I). Logo: 𝑨. 𝑨−𝟏 = 𝑨−𝟏 . 𝑨 = 𝑰

Perceba que tanto A.A-1, como A-1.A resultam na matriz identidade. Porém, tenha em mente que nem sempre será possível a existência da matriz inversa. A condição para que a matriz inversa exista é que o determinante (assunto a ser abordado mais adiante) de A seja diferente de zero. Aqui podemos estabelecer outro paralelo com os números reais. Pergunto: Sempre existe o inverso de um número? NÃO! Não existe o inverso de zero (1/0 não existe). Com as matrizes é parecido.

Todas as matrizes com determinante nulo não possuem inversa. Se A é uma matriz que não possui inversa, dizemos que A é uma matriz singular.

2.6.1. Matriz Inversa de uma Matriz de Primeira Ordem Uma matriz de primeira ordem (do tipo 1 x 1) possui apenas um elemento, de forma que a sua inversa é obtida fazendo-se o inverso desse número. Simples assim! Por exemplo, vamos encontrar a matriz inversa de B = [3]. Percebemos que a matriz B é de primeira ordem. Daí, a matriz B-1 terá como único elemento o inverso de 3. Logo: B-1 = [1/3]

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2.6.2. Matriz Inversa de uma Matriz de Segunda Ordem Existe um método mais prático de encontrarmos a matriz inversa de uma matriz de segunda ordem, mas que faz uso da teoria dos Determinantes, que veremos daqui a pouco. Por enquanto, por meio do exemplo abaixo, aprenderemos uma outra solução, utilizando apenas os conhecimentos obtidos até o presente momento. Por exemplo, vamos calcular a inversa da matriz M.

Nosso objetivo consiste em obter a matriz M-1, representada por: 𝑴−𝟏 = [

𝒂 𝒄

𝒃 ] 𝒅

Conforme a definição de matriz inversível, o produto da matriz M pela sua inversa M-1 é igual a matriz identidade. Logo: 𝑀−1 𝑥 𝑀 = 𝐼 0 𝑏 ]𝑥 [ 5 𝑑

𝑎 [ 𝑐

−1 1 0 ]= [ ] 1 0 1

Você já sabe como multiplicamos duas matrizes, daí só daremos o resultado do produto M-1 x M. Teremos: [

5𝑏 5𝑑

−𝑎 + 𝑏 1 0 ]=[ ] 0 1 −𝑐 + 𝑑

A fim de que essas duas matrizes sejam efetivamente iguais é necessário que: 5b = 1 => b = 1/5 -a+b = 0 => a = 1/5 5d = 0 => d = 0 -c+d = 1 => c = -1 Daí, a inversa da matriz M será: 𝟏/𝟓 𝑴−𝟏 = [ −𝟏

𝟏/𝟓 ] 𝟎

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3. DETERMINANTES Para cada matriz quadrada podemos associar um único número real. Esse número é chamado de determinante da matriz e é calculado conforme as regras que vamos aprender. Um determinante é, por assim dizer, como um resultado de uma matriz quadrada!

3.1. Determinante de uma Matriz Quadrada de 1ª Ordem Se a matriz é quadrada de 1ª ordem, significa que ela tem apenas uma linha e uma coluna, sendo do tipo 1 x 1. Portanto, nessa matriz só há um único elemento, de forma que seu determinante será o próprio elemento que compõe a matriz! Veja os exemplos: 1) Se A=[3], então det A = 3 2) Se B=[-1], então det B = -1

3.2. Determinante de uma Matriz Quadrada de 2ª Ordem No caso do determinante de uma Matriz Quadrada de 2ª Ordem, seu cálculo será efetuado da seguinte forma: É o produto da diagonal principal menos o produto da diagonal secundária. 𝒂 𝒃 Dessa maneira, se 𝑨 = [ ], então: 𝒄 𝒅 det A = ad - bc Fica claro, portanto, que, para o cálculo descrito, deveremos seguir os três passos seguintes:

2º passo •Multiplica os elementos da diagonal principal

1º passo

•Multiplica os elementos da diagonal secundária

•Subtrai os dois resultados

3º passo

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Veja como esse assunto já foi cobrado.

CETRO/PM-SP/2012 É correto afirmar que o determinante [

1 𝑥 ] é igual a zero para x igual a −2 4

a) 1. b) 2. c) -2. d) -1. Comentários: Meu caro aluno, acabamos de aprender que o cálculo do determinante de uma Matriz Quadrada de 2ª Ordem é efetuado por meio do produto da diagonal principal menos o produto da diagonal secundária. Aplicando isso à matriz fornecida pelo enunciado, que chamaremos de A, teremos: 𝒅𝒆𝒕 𝑨 = 1 . 4 − 𝑥 . (−2) = 𝟒 + 𝟐𝒙 Bem, foi dito pela questão que o determinante da matriz A é igual a 0. Logo: 0 = 4 + 2𝑥 ⟹ 𝒙 = −𝟐 Gabarito: Letra C.

3.3. Determinante de uma Matriz Quadrada de 3ª Ordem Seja a matriz A, do tipo 3 x 3: 𝑎11 𝑎 𝐴 = [ 21 𝑎31

𝑎12 𝑎22 𝑎32

𝑎13 𝑎23 ] 𝑎33

Nosso objetivo consiste em encontrar o determinante de A. Para tanto, vamos usar um procedimento conhecido como Regra Prática de Sarrus. Como funcionará, meus amigos? É muito simples! Inicialmente, iremos repetir a primeira e a segunda coluna, na ordem, após a terceira coluna:

𝑎11 𝑎 | 21 𝑎31

𝑎12 𝑎22 𝑎32

𝑎13 𝑎11 𝑎23 | 𝑎21 𝑎33 𝑎31

𝑎12 𝑎22 𝑎32

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Em seguida, multiplicamos as diagonais para a direita e somamos os valores:

𝑎11 𝑎 | 21 𝑎31

𝑎12 𝑎22 𝑎32

𝑎13 𝑎11 𝑎23 | 𝑎21 𝑎33 𝑎31

+

𝑎12 𝑎22 𝑎32

+

+

Agora multiplicamos os valores nas diagonais para a esquerda e subtraímos os valores:

𝑎11 |𝑎21 𝑎31

-

-

𝑎12 𝑎22 𝑎32

𝑎13 𝑎11 𝑎23 | 𝑎21 𝑎33 𝑎31

𝑎12 𝑎22 𝑎32

-

Por fim, basta somar as duas parcelas:

Determinante de uma Matriz Quadrada de 3ª Ordem

Veja como esse assunto já foi cobrado.

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FAFIPA/Pref Bandeirantes PR/2017 Assinale a alternativa que representa uma matriz cujo determinante é igual a 84. 3 2 5 a) (6 3 4) 5 6 4 5 1 1 b) (3 6 2) 4 5 2 4 5 3 c) (1 4 6) 2 3 5 2 1 5 d) (6 2 3) 4 5 4 Comentários: O enunciado apresenta quatro matrizes quadradas de ordem 3, cujo cálculo de seus determinantes pode ser efetuado com a aplicação da regra de Sarrus. Para isso, replicamos ao final da matriz as suas duas primeiras colunas, calculamos o produto dos termos de sua diagonal principal e de suas paralelas, somando-os, e o produto dos termos da diagonal secundária e das paralelas dela, subtraindo-os. 3 2 5 3 2 a) |6 3 4| 6 3 5 6 4 5 6 (3 × 3 × 4) + (2 × 4 × 5) + (5 × 6 × 6) − (5 × 3 × 5) − (6 × 4 × 3) − (4 × 6 × 2) = 36 + 40 + 180 – 75 – 72 – 48 = 61 5 1 1 5 1 b) |3 6 2| 3 6 4 5 2 4 5 (5 × 6 × 2) + (1 × 2 × 4) + (1 × 3 × 5) − (4 × 6 × 1) − (5 × 2 × 5) − (2 × 3 × 1) 60 + 8 + 15 – 24 – 50 – 6 = 3 4 5 3 4 5 c) |1 4 6| 1 4 2 3 5 2 3 (4 × 4 × 5) + (5 × 6 × 2) + (3 × 1 × 3) − (2 × 4 × 3) − (3 × 6 × 4) − (5 × 1 × 5) = 80 + 60 + 9 – 24 – 72 – 25 = 28 2 1 5 2 1 d) |6 2 3| 6 2 4 5 4 4 5 (2 × 2 × 4) + (1 × 3 × 4) + (5 × 6 × 5) − (4 × 2 × 5) − (5 × 3 × 2) − (4 × 6 × 1) 16 + 12 + 150 – 40 – 30 – 24 = 84 Dica: Sempre que uma questão pedir uma resposta que você tem que efetuar os cálculos de cada alternativa até encontrar a resposta, comece das últimas alternativas para as primeiras. Geralmente o examinador não dá o mole de colocar a resposta logo nas primeiras alternativas. Essa dica não funciona muito quando a prova 29

possui diferentes ordens de gabarito, porque as alternativas podem estar trocadas em relação ao padrão que o examinador as elaborou, mas mesmo assim sugerimos que siga essa dica. Note o tempo que teria poupado nesta questão se soubesse disso. Gabarito: Letras D.

3.4. Propriedades dos Determinantes A estratégia de conhecermos algumas propriedades dos determinantes, como sempre, é facilitar a nossa vida, pois algumas vezes a questão pede apenas a aplicação imediata de uma propriedade conhecida sobre determinantes. Esboçaremos a seguir as propriedades, em seguida veremos algumas questões que cobraram o conhecimento delas. - Propriedade 1: Se uma fila (linha ou coluna) de uma matriz é formada apenas por zeros, seu determinante é nulo.

1 0 3 Exemplo) 4 0 1 0

2 =0 4

- Propriedade 2: Se uma fila é proporcional (ou igual) a outra paralela, o determinante é nulo.

1 2 3 Exemplo) 4 5 2 = 0 1 2 3 - Propriedade 3: Se uma fila é combinação linear de outras paralelas, o determinante é nulo.

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- Propriedade 4: O determinante de uma matriz é igual ao de sua transposta: det A = det (At)

2 1  A=    det A = 2.3 – 1.4 = 6 – 4 = 2 4 3  2 4 t At =    det A = 2.3 – 4.1 = 6 – 4 = 2 1 3   - Propriedade 5: O determinante não se altera se a uma fila somamos outra fila paralela multiplicada por um número qualquer (Teorema de Jacobi). Exemplo)

Substituindo a 1ª coluna pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 2ª, temos:

- Propriedade 6: Se trocarmos uma fila de lugar com outra paralela, o determinante muda de sinal. Exemplo:

1 2 3 2 = 14 2 4 6 4 5

2 4 6 2 = –14, pois é o mesmo exemplo do anterior, mas com a 1ª e a 3ª linhas trocadas. 1 2 3 4 5

- Propriedade 7: Se multiplicarmos um fila por um número k, o determinante também é multiplicado por k. Exemplo:

2 1  A=    det A = 2.3 – 1.4 = 6 – 4 = 2 4 3

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2 1  B=    det B = 2.6 – 1.8 = 12 – 8 = 4 , pois como a 2ª linha de B é igual à 2ª linha de A multiplicada por 8 6   2, o determinante também será multiplicado por 2. - Propriedade 8: Se multiplicarmos uma matriz por um número k, o determinante é multiplicado por k n, em que n é a ordem da matriz. Exemplo:

2 1  A=    det A = 2.3 – 1.4 = 6 – 4 = 2 4 3  4 2 B=    det B = 4.6 – 2.8 = 24 – 16 = 8 8 6  Como multiplicamos todos os elementos de A por 2, B será 22.det A = 4.detA = 4.2 = 8. - Propriedade 9: O determinante da multiplicação de matrizes é a multiplicação dos determinantes (Teorema de Binet). Assim: det(A.B) = det A . det B Exemplo:

𝟏

- Propriedade 10: O determinante da inversa é o inverso do determinante: 𝒅𝒆𝒕𝑨−𝟏 = 𝒅𝒆𝒕𝑨 - Propriedade 11: Numa matriz triangular ou matriz diagonal, o determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Lembre que em uma matriz triangular, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero. Exemplo: Vamos calcular o determinante da matriz triangular a seguir: 2 0 |2 3 −4 5

0 2 0 0| 2 3 −7 −4 5

(2 × 3 × (−7)) + (0 × 0 × (−4)) + (0 × 2 × 5) − (0 × 2 × (−7)) − (2 × 0 × 5) − (0 × 3 × (−4)) = −42 + 0 + 0 − 0 − 0 − 0 = −𝟒𝟐

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Repare que nem precisávamos ter aplicado a Regra de Sarrus para calcular o determinante da matriz apresentada. Como ela é uma matriz triangular (ou diagonal), bastaria multiplicarmos os elementos da diagonal principal que encontraríamos o mesmo resultado. De fato: 2 × 3 × (−7) = −𝟒𝟐 Veja como esse assunto já foi cobrado.

ESAF/STN/2005 Considere duas matrizes quadradas de terceira ordem, A e B. A primeira, a segunda e a terceira colunas da matriz B são iguais, respectivamente, à terceira, à segunda e à primeira colunas da matriz A. Sabendo-se que o determinante de A é igual a x3, então o produto entre os determinantes das matrizes A e B é igual a: a) -x-6 b) -x6 c) x3 d) -1 e) 1 Comentários: Perceba que A é uma matriz quadrada de terceira ordem, assim como a matriz B. A diferença entre elas é que as colunas estão de trás para frente, ou seja, a terceira coluna de A é a primeira de B, a segunda de A é a segunda de B e, por fim, a primeira de A é a terceira de B. Assim, houve uma simples troca de colunas entre a matriz A e a matriz B. Somente a primeira coluna de A foi trocada pela terceira de B, pois as segundas colunas de cada matriz são iguais. Nesse caso, faremos uso da propriedade 6, a qual afirma que se trocarmos uma fila (linha ou coluna) de lugar com outra paralela, o determinante muda de sinal. Ou seja: 𝑫𝒆𝒕 𝑩 = −𝑫𝒆𝒕𝑨 Pelo que foi dito no enunciado, temos: 𝐷𝑒𝑡 𝐴 = 𝑥 3 𝐷𝑒𝑡 𝐵 = − 𝐷𝑒𝑡 𝐴 = −𝑥 3 Porém, o nosso objetivo consiste em obter o produto entre os determinantes das matrizes A e B. E isso já podemos calcular: 𝑫𝒆𝒕 𝑨 . 𝑫𝒆𝒕 𝑩 = 𝒙𝟑 . (−𝒙𝟑 ) = −𝒙𝟔 Gabarito: Letra B.

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ESAF/MPOG/2008 Uma matriz X de quinta ordem possui determinante igual a 10. A matriz B é obtida multiplicando-se todos os elementos da matriz X por 10. Desse modo, o determinante da matriz B é igual a: a) 10-6 b) 105 c) 1010 d) 106 e) 103 Comentários: Mais uma questão em que a aplicação direta das propriedades dos determinantes será fundamental. De fato, a matriz X é de quinta ordem e tem: 𝑑𝑒𝑡 𝑋 = 10 Além disso, o enunciado afirma que a matriz B é obtida multiplicando-se a matriz X por 10: 𝐵 = 10. 𝑋 Dessa maneira, podemos recorrer à propriedade 8, afirmando que se multiplicarmos uma matriz por um número k, o determinante é multiplicado por kn, em que n é a ordem da matriz. Logo: 𝑑𝑒𝑡 𝐵 = 105 . det 𝑋 Substituindo o valor dado para o determinante da matriz X, teremos: 𝒅𝒆𝒕 𝑩 = 𝟏𝟎𝟓 . 𝟏𝟎 = 𝟏𝟎𝟔 Gabarito: Letra D. ESAF/ATRFB/2012 Dada a matriz

, o determinante de

é igual a

a) 20. b) 28. c) 32. d) 30. e) 25. Comentários: Aprendemos em nossa aula que, para calcularmos o determinante de uma matriz quadrada de 2ª ordem, basta seguir três passos:

34

2º passo • Multiplica os elementos da diagonal principal

• Multiplica os elementos da diagonal secundária

1º passo

• Subtrai os dois resultados 3º passo

Fazendo isso para a Matriz A, teremos: det A = 2 × 1 − 1 × 0 = 2 Porém, o nosso objetivo consiste em obter o valor do determinante de A5. Já sei, professor: alguma propriedade dos determinantes vai nos socorrer. Perfeito, meu prezado aluno! Sabemos que: 𝑑𝑒𝑡 (𝐴5 ) = 𝑑𝑒𝑡 (𝐴 𝑥 𝐴 𝑥 𝐴 𝑥 𝐴 𝑥 𝐴) Daí, a propriedade 9, também conhecida como Teorema de Binet, vem afirmar que o determinante da multiplicação de matrizes é a multiplicação dos determinantes. Assim: det(A.B) = det A . det B Com isso, temos: 𝒅𝒆𝒕(𝑨𝟓 ) = 𝒅𝒆𝒕 𝑨 𝒙 𝒅𝒆𝒕 𝑨 𝒙 𝒅𝒆𝒕 𝑨 𝒙 𝒅𝒆𝒕 𝑨 𝒙 𝒅𝒆𝒕 𝑨 = 𝟐𝟓 = 𝟑𝟐 Gabarito: Letra C. ESAF/SEFAZ-SP/2009 O determinante de uma matriz 3X3 é igual a x. Se multiplicarmos os três elementos da 1ª linha por 2 e os três elementos da 2ª coluna por -1, o determinante será: a) -x2

b) -2x2

c) -2x

d) x2

e) 4x2

Comentários: Essa questão é uma aplicação direta do conteúdo da propriedade 7, que diz: Se multiplicarmos um fila por um número k, o determinante também é multiplicado por k. Inicialmente, vamos multiplicar os elementos da 1ª linha por 2. Qual a consequência disso? Ora, o determinante é dobrado. Ele valia x. Agora, vale 2x. Em seguida, multiplicamos os elementos da 2ª coluna por -1. Qual a implicação disso? Bem, o determinante também será multiplicado por -1. Logo, o determinante passa a valer -2x. Gabarito: Letra C. ESAF/ANA/2009 35

O determinante da matriz

é: a) 2bc + c – a b) 2b – c c) a + b + c d) 6 + a + b + c e) 0 Comentários: Perceba que a terceira linha é uma combinação linear das duas primeiras linhas. E o que significa “combinação linear”? Uma combinação linear significa que uma das filas da matriz é igual à soma de outras multiplicadas, cada uma, por algum número real. No caso da matriz B apresentada pelo enunciado, para encontrar a sua combinação linear, basta seguir as seguintes etapas: Multiplicamos a primeira linha por 2; Multiplicamos a segunda linha por 1 (ou seja, a segunda linha permanece intacta); Somamos esses resultados, obtendo a terceira linha. Daí, a propriedade 3 afirma que se uma fila é combinação linear de outras paralelas, o determinante é nulo. Agora, se achou complicado encontrar essa combinação linear para aplicar diretamente a propriedade 3, basta usar a regra de Sarrus que você chegará ao mesmo resultado. Gabarito: Letra E. ESAF/AFRFB/2012 As matrizes, A, B, C e D são quadradas de quarta ordem. A matriz B é igual a 1/2 da matriz A, ou seja: B = 1/2 A. A matriz C é igual a matriz transposta de B, ou seja: C = Bt. A matriz D é definida a partir da matriz C; a única diferença entre essas duas matrizes é que a matriz D tem como primeira linha a primeira linha de C multiplicada por 2. Sabendo-se que o determinante da matriz A é igual a 32, então a soma dos determinantes das matrizes B, C e D é igual a a) 6.

b) 4.

c) 12.

d) 10.

e) 8.

Comentários: O determinante da matriz A é igual a 32. Por sua vez, é dito que: 1 𝐵= 𝐴 2 Nesse sentido, a propriedade 8 diz que se multiplicarmos uma matriz por um número k, o determinante é multiplicado por kn, em que n é a ordem da matriz. Sabendo que as matrizes são de quarta ordem, teremos: 1 4 1 𝑑𝑒𝑡 𝐵 = ( ) . 𝑑𝑒𝑡 𝐴 = . 32 = 𝟐 2 16

36

Por sua vez, a matriz D tem como primeira linha a primeira linha de C multiplicada por 2. Logo: Det D = 2.det C = 2 x 2 = 4 Porém, o nosso objetivo consiste em obter a soma dos determinantes das matrizes B, C e D. Daí: det B + det C + det D = 2 + 2 + 4 = 8 Gabarito: Letra E. ESAF/STN/2013 Os elementos de uma matriz X são representados, genericamente, por xij ─ onde i representa a linha e j representa a coluna às quais o elemento xij pertence. Os valores assumidos pelos elementos da matriz A são: a11 = 1; a12 = x; a13 = -3; a21 = 2; a22 = 1; a23 = x; a31 = a; a32 = 0 e a33 = 1. De modo análogo, os elementos assumidos pela matriz B são: b11 = 2; b12 = 1; b13 = x; b21 = 1; b22 = x; b23 = -3; b31 = a; b32 = 0 e b33 = 1. Sabendose que o determinante da matriz inversa de A é igual a 1/7, então a soma entre os determinantes da matriz transposta de A e da matriz B é igual a: a) -7 b) -14 c) 14 d) 2/7 e) 0 Comentários: Seguindo a lei de formação das matrizes A e B, teremos:

Note que a matriz A é igual à matriz B exceto pela ordem da 1ª e 2ª linhas, que estão trocadas. Logo, de acordo com a propriedade 6, teremos: det A = - det B Por sua vez, a propriedade 10 afirma que o determinante da inversa é o inverso do determinante: 𝟏 𝒅𝒆𝒕𝑨 Além disso, como o determinante da matriz inversa de A é igual a 1/7, temos: 𝒅𝒆𝒕𝑨−𝟏 =

Por fim, a propriedade 4 afirma que o determinante de uma matriz é igual ao de sua transposta: det A = det (At) Com isso, temos: 𝑑𝑒𝑡 𝐴𝑡 = 𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 7

37

Porém, o nosso objetivo consiste em obter a soma entre os determinantes da matriz transposta de A e da matriz B. Logo: 𝒅𝒆𝒕 𝑨𝒕 + 𝒅𝒆𝒕 𝑩 = 𝟕 + (−𝟕) = 𝟎 Gabarito: Letra E.

3.5. Menor Complementar Dada uma matriz quadrada A, o menor complementar de um elemento de A é o determinante que se obtém quando se extraem a linha e a coluna que contêm aquele elemento. Veja como esse assunto já foi cobrado.

ESAF/MPOG/2005 O menor complementar de um elemento genérico xij de uma matriz X é o determinante que se obtém suprimindo a linha e a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz Y = yij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B = (bij). Sabendo-se que (aij ) = (i+j)2 e que bij = i2 , então o menor complementar do elemento y23 é igual a: a) 0

b) -8

c) -80

d) 8 e) 80

Comentários: Bem, a questão começa fornecendo uma definição para Menor Complementar: “O menor complementar de um elemento genérico xij de uma matriz X é o determinante que se obtém suprimindo a linha e a coluna em que esse elemento se localiza”. Com base na lei de formação das matrizes A e B, vamos calcular seus elementos:

Assim, a matriz A será:

Por sua vez, os elementos de B serão:

38

Montando a matriz B, teremos:

Além disso, o enunciado informa que a matriz Y é resultante da soma das matrizes A e B. Daí:

Ressalto que o nosso objetivo consiste em obter o menor complementar do elemento y23, que chamaremos de M23. Nesse sentido, perceba que o elemento y23 é igual a 29. Bem, o menor complementar desse elemento é o determinante que sobra depois de eliminarmos a linha e a coluna em que esse elemento está: 5 𝑌 = [13 25

10 20 34

17 29] 45

A matriz que sobra é: 5 10 [ ] 25 34 Ficamos com uma matriz do tipo 2 x 2, em que seu determinante é a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária: 𝑴𝟐𝟑 = 5 𝑥 34 − 10 𝑥 25 = 170 − 250 = −𝟖𝟎 Gabarito: Letra C.

3.6. Cofator O Cofator ou Complemento Algébrico do elemento aij de uma matriz A é um número real, indicado por Aij, cujo cálculo é realizado da seguinte forma: 𝑨𝒊𝒋 = (−𝟏)𝒊+𝒋 . 𝑴𝒊𝒋 Assim, colega, fica claro que o cofator deriva do menor complementar!

39

Note que, analisando o expoente (i+j), quando a soma da linha (i) e da coluna (j) do elemento que deu origem ao menor complementar for par, o cofator coincide com o menor complementar. Se a soma da linha e da coluna do elemento for ímpar, o cofator é o oposto do menor complementar (sinal negativo). Logo: 𝑨𝒊𝒋 = 𝑴𝒊𝒋 , 𝒔𝒆 𝒊 + 𝒋 𝒇𝒐𝒓 𝒑𝒂𝒓. 𝑨𝒊𝒋 = −𝑴𝒊𝒋 , 𝒔𝒆 𝒊 + 𝒋 𝒇𝒐𝒓 í𝒎𝒑𝒂𝒓. 2 3 Para exemplificar, na matriz 𝐴 = [4 5 1 2

1 6], calcular os cofatores: a) A11, b) A13 e c) A32. 7

Bem, o Cofator é obtido da seguinte forma: 𝑨𝒊𝒋 = (−𝟏)𝒊+𝒋 . 𝑴𝒊𝒋 a) Cálculo de A11: 𝐴11 = (−1)1+1 . 𝑀11 5 𝑨𝟏𝟏 = 1 . | 2

6 | = 1 . (5 . 7 − 6 . 2) = 𝟐𝟑 7

b) Cálculo de A13: 𝐴13 = (−1)1+3 . 𝑀13 4 5 𝑨𝟏𝟑 = 1 . | | = 1 . (4 . 2 − 5 . 1) = 𝟑 1 2 b) Cálculo de A32: 𝐴32 = (−1)3+2 . 𝑀32 2 1 𝑨𝟑𝟐 = −1 . | | = −1 . (2 . 6 − 1 . 4) = −𝟖 4 6

3.7. Teorema de Laplace A principal funcionalidade do Teorema de Laplace consiste em servir de auxílio para calcularmos o determinante de qualquer matriz quadrada, de qualquer ordem. A regra é essa: Teorema de Laplace •O determinante é igual à soma dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores.

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Talvez pareça um tanto confuso esse procedimento. Porém, na prática, não é tão complicado assim, bastando que você saiba que três passos deverão ser seguidos: 1º passo Escolher uma fila, de preferência a que tiver mais zeros. 2º passo Multiplicar cada elemento dessa fila pelo seu respectivo cofator. 3º passo O determinante será a SOMA dos valores encontrados no 2º passo.

3 2 1 Para exemplificar, dada a matriz quadrada de ordem 3, 𝐴 = [−2 1 4 ], vamos obter seu determinante 2 5 −1 usando o Teorema de Laplace. Para isso, seguiremos os três passos. 1º Passo: escolher uma fila, qualquer uma, tanto faz se linha ou coluna, de preferência a que tiver mais zeros. Já que não temos fila com o numeral 0, podemos escolher qualquer fila, de modo que optaremos pela 1ª linha. 2º passo: multiplicar cada elemento dessa fila pelo seu respectivo cofator. Inicialmente, vamos calcular cada um dos cofatores: 1 𝐴11 = (−1)1+1 . | 5

4 | = 1 . (−21) = −21 −1

−2 𝐴12 = (−1)1+2 . | 2

4 | = −1 . (−6) = 6 −1

−2 𝐴13 = (−1)1+3 . | 2

1 | = 1 . (−12) = −12 5

Agora, podemos multiplicar cada elemento da fila que escolhemos pelo seu cofator: 𝑎11 . 𝐴11 = 3 . (−21) = −𝟔𝟑 𝑎12 . 𝐴12 = 2 . 6 = 𝟏𝟐 𝑎13 . 𝐴13 = 1 . (−12) = −𝟏𝟐 3º passo: O determinante da matriz A é a SOMA dos valores encontrados no 2º passo: 𝐝𝐞𝐭 𝑨 = −63 + 12 − 12 = −𝟔𝟑 41

Veja como esse assunto já foi cobrado.

FUNDATEC/SEFAZ-RS/2014 O determinante da matriz

a) -32. b) -26. c) 14. d) 16. e) 28. Comentários: O enunciado é bem sucinto, exigindo de nós o cálculo do determinante de uma matriz de 4ª ordem. Nesse caso, recorreremos ao Teorema de Laplace. 1º passo: escolher uma fila, de preferência a que tiver mais zeros. Vamos escolher a 4ª coluna, pois é a que tem mais zeros. É claro que poderia ser qualquer outra, mas a opção que fizemos irá facilitar a nossa vida! 2º passo: multiplicar cada elemento dessa fila pelo seu respectivo cofator. O elemento a14 multiplicado pelo seu cofator resulta: 0 𝑥 𝐴14 = 0 Percebeu agora por que escolhemos a fila com mais zeros? Assim, ganhamos tempo. E tempo em prova vale muito dinheiro, que é o da sua futura remuneração. De modo similar, o elemento a24 multiplicado pelo seu cofator resulta: 0 𝑥 𝐴24 = 0 Por sua vez, o elemento a34 multiplicado pelo seu cofator resulta: 1 𝑥 𝐴34 = 1 𝑥 (−1)3+4 . 𝑀34 Em que M34 é o Menor Complementar do elemento a34, correspondendo ao determinante que se obtém suprimindo a 3ª linha e a 4ª coluna:

42

1 2 1 𝑀34 = |2 3 1| 2 1 1 𝑀34 = −2 Voltando ao cálculo, teremos: 1 𝑥 (−1)7 𝑥 (−2) = 𝟐 Por fim, o elemento a44 multiplicado pelo seu cofator resulta: 4 𝑥 𝐴44 = 4 𝑥 (−1)4+4 . 𝑀44 Em que M44 é o Menor Complementar do elemento a44, correspondendo ao determinante que se obtém suprimindo a 4ª linha e a 4ª coluna: 1 2 1 𝑀44 = |2 3 1| 2 −3 2 𝑀44 = −7 Voltando ao cálculo, teremos: 4 𝑥 (−1)8 𝑥 (−7) = −𝟐𝟖 3º passo: o determinante da matriz A é a SOMA dos valores encontrados no 2º passo: 𝒅𝒆𝒕 𝑨 = 0 + 0 + 2 + (−28) = −𝟐𝟔 Gabarito: Letra D.

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4. SISTEMAS LINEARES Antes de explicarmos este assunto, faremos um alerta: verifique se ele está realmente no programa do seu concurso, pois a maioria dos editais abrange somente as partes de matrizes e determinantes. Por exemplo, os últimos editais de Analista-Tributário da Receita Federal não cobraram este tópico, mas os de AuditorFiscal da Receita Federal cobraram. Feito o alerta, vamos aprender isso de uma vez. Entendemos por sistema linear um conjunto de equações lineares reunidas com o objetivo de se obterem soluções comuns a todas essas equações. Mas, professor, o que é uma equação linear? Boa pergunta! Uma equação linear nas incógnitas x, y, z, … é toda equação do tipo:

Os números reais a, b, c, … (os números que multiplicam as incógnitas) são chamados de coeficientes e o número k é o termo independente da equação. É importante notar que os expoentes das incógnitas devem ser todos iguais a 1 para que a equação seja considerada linear. Além disso, não é permitido o produto de duas incógnitas em algum dos termos da equação. São equações lineares:

Não são equações lineares:

Vale destacar que, quando uma equação linear apresenta o termo independente igual a zero, dizemos que se trata de uma equação linear homogênea. Veja os exemplos a seguir: a) 𝟐𝒙 + 𝒚 − 𝒛 = 𝟎 → É uma equação linear homogênea. b) 𝟒𝒙 + 𝒚 + 𝟑 = 𝟎 → Não é uma equação linear homogênea, já que o seu termo independente é igual a -3, que obviamente é diferente de zero! Por fim, podemos afirmar que a equação linear possui solução, que corresponde a uma sequência ou ênupla ordenada de números reais, pois substituindo esses valores na equação linear temos uma sentença verdadeira.

44

Para exemplificar, suponha que num estacionamento há carros e motocicletas, num total de 90 veículos. A soma das rodas desses veículos é 210. Determinar a quantidade de carros e de motocicletas. Com base nas informações do enunciado, podemos montar um sistema linear. De fato, sejam x e y, respectivamente, as motocicletas e os carros, obtemos a seguinte equação: 𝑥 + 𝑦 = 90 (I) Além disso, considerando que as motocicletas têm duas rodas e o carros têm quatro, podemos escrever a equação: 2𝑥 + 4𝑦 = 210 (II) Desse modo, as equações I e II formam o seguinte sistema linear: 𝒙 + 𝒚 = 𝟗𝟎 { 𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝟐𝟏𝟎 Logo à frente teremos condições de obter a solução desse sistema, que nos fornecerá o número de automóveis e de motocicletas no estacionamento.

4.1. Representação de um sistema linear na forma matricial Todo sistema linear pode ser escrito na forma matricial, bastando separar seus componentes por uma matriz. De fato, sejam: A: matriz dos coeficientes; X: matriz das incógnitas; B: matriz dos termos independentes. Daí, teremos:

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𝑨. 𝑿 = 𝑩 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟑𝟏 … [𝒂𝒎𝟏

𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟐𝟐 𝒂𝟑𝟐 … 𝒂𝒎𝟐

𝒂𝟏𝟑 𝒂𝟐𝟑 𝒂𝟑𝟑 … 𝒂𝒎𝟑

… 𝒂𝟏𝒏 𝒙𝟏 𝒃𝟏 … 𝒂𝟐𝒏 𝒙𝟐 𝒃𝟐 … 𝒂𝟑𝒏 . 𝒙𝟑 = 𝒃𝟑 … … … … … 𝒂𝒎𝒏 ] [𝒙𝒏 ] [𝒃𝒎 ]

Matriz dos Coeficientes

Matriz das Incógnitas

Matriz dos Termos

Veja o exemplo a seguir, em que aproveitaremos para mostrar a você como construir a matriz incompleta e a matriz de cada variável de um sistema linear, as quais serão de fundamental importância para a resolução de diversas questões. Para exemplificar, vamos representar na forma matricial, discriminando sua matriz incompleta e matriz de cada variável, o sistema a seguir:

{

𝑥 + 𝑦 = −2 2𝑥 + 3𝑦 = 4

Forma matricial

1 [ 2

1 𝑥 −2 ].[ ] = [ ] 3 𝑦 4

Coeficientes de x

Coeficientes de y

Termos independentes

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Matriz incompleta = [ Matriz de x = [

1 1 ] 2 3

−2 1 ] 4 3

Para obtê-la, basta substituir na matriz incompleta os coeficientes de x pelos termos independentes. 1 −2 Matriz de y = [ ] 2 4 Para obtê-la, basta substituir na matriz incompleta os coeficientes de y pelos termos independentes.

4.2. Solução de um sistema linear Existem dois métodos bem conhecidos para solucionar sistemas de equações:

Método da Adição

Tornar os coeficientes de uma das incógnitas com o mesmo módulo, mas de sinais contrários, a fim de eliminar essa incógnita no momento que se faz a soma

Método da Substituição

Isolar uma das incógnitas em uma das equações para depois substituir na outra equação

Solução de um sistema linear

Por exemplo, vamos encontrar a solução do sistema:

Primeiro, resolveremos pelo método da adição. Multiplicaremos os coeficientes e o termo independente da segunda equação por 3. Logo: {

3𝑥 − 3𝑦 = 6 −3𝑥 + 12𝑦 = 21

Somando, membro a membro, as duas equações, a variável x será eliminada e ficaremos apenas com a seguinte equação: −3𝑦 + 12𝑦 = 27 Resolvendo essa equação, teremos: 𝒚=𝟑

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Substituindo o valor de y encontrado em uma das equações, encontraremos x: 3𝑥 − 3.3 = 6 3𝑥 = 15 𝒙=𝟓 Portanto, o sistema apresenta uma única solução: x=5 e y=3. Podemos representar a solução pelo par ordenado: (5, 3). Agora, vamos determinar a solução do sistema de equações:

Agora aplicaremos o método da substituição. O primeiro passo consiste em isolar uma das incógnitas em uma das equações. Então, vamos isolar a incógnita x na primeira equação: 𝑥 + 2𝑦 = 5 ⟹ 𝑥 = 5 − 2𝑦 (I) No segundo passo, substituiremos (I) na segunda equação do sistema, a fim de encontrarmos o valor de y: 4𝑥 + 6𝑦 = 0 ⟹ 4. (5 − 2𝑦) + 6𝑦 = 0 ⟹ 20 − 8𝑦 + 6𝑦 = 0 ⟹ −2𝑦 = −20 ⟹ 𝒚 = 𝟏𝟎 Substituindo y em (I), obtemos: 𝑥 = 5 − 2.10 = 5 − 20 ⟹ 𝒙 = −𝟏𝟓 Portanto, o sistema apresenta uma única solução: (-15, 10). Veja como esse assunto já foi cobrado.

ESAF/ANAC/2016 Dado o sistema de equações lineares

a soma dos valores de x e y que solucionam o sistema é igual a a) 4. b) 6.

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c) 5. d) 7. e) 3. Comentários: O sistema apresentado no enunciado é o seguinte: {

2𝑥 + 3𝑦 = 10 3𝑥 + 5𝑦 = 17

Na primeira equação, vamos multiplicar todos os seus termos por 2: {

4𝑥 + 6𝑦 = 20 3𝑥 + 5𝑦 = 17

Agora, podemos subtrair as duas equações: (4𝑥 − 3𝑥) + (6𝑦 − 5𝑦) = 20 − 17 ⟹ 𝑥 + 𝑦 = 3 Dessa forma, soma dos valores de x e y que solucionam o sistema é igual a 3. Gabarito: Letra E. FJG/Pref-RJ/2002 Seja (x,y,z) a solução do sistema:

O valor de (x.y.z) é igual a: a) 6 b) 6,5 c) 7,0 d) 7,5 Comentários: Sejam a, b e c os inversos de, respectivamente, x, y e z. Faremos isso para simplificarmos os cálculos, por que ninguém merece fazer vários cálculos com 1/x, 1/y e 1/z, né? Daí, as equações do sistema fornecido pelo enunciado ficarão: 3 2 4 𝑎+𝑐 = 3

𝑎+𝑏 =

7 {𝑎 + 𝑏 − 𝑐 = 6 Substituindo o valor da soma entre a e b na terceira equação, teremos: 49

7 3 7 3 7 𝟏 ⟹ −𝑐 = ⟹𝒄= − = 6 2 6 2 6 𝟑 Substituindo o valor de c que acabamos de encontrar na segunda equação, teremos: (𝑎 + 𝑏) − 𝑐 =

4 1 4 4 1 ⟹𝑎+ = ⟹𝒂= − =𝟏 3 3 3 3 3 Por fim, substituindo o valor de a que encontramos na primeira equação, obteremos: 𝑎+𝑐 =

3 3 3 𝟏 ⟹ 1+𝑏 = ⟹ 𝒃= −1= 2 2 2 𝟐 Pronto, já temos o valor de a, b e c. No entanto, a questão pede o valor do produto entre x, y e z. Logo: 𝑎+𝑏 =

x = 1/a = 1

y = 1/b = 2

z = 1/c = 3

x.y.z=1.2.3=6 Gabarito: Letra A.

4.3. Classificação de um sistema linear A classificação de um sistema linear é realizada de acordo com o número de soluções que o sistema possui. Logo: SISTEMA LINEAR Possível

Impossível - SI

(Admite solução)

(Não admite solução)

Determinado - SPD

Indeterminado - SPI

(Uma única solução)

(Infinitas soluções)

Para quem nunca estudou este assunto, pode parecer um pouco estranho que um sistema linear não possua soluções (impossível) ou que possua infinitas soluções (possível e indeterminado). Porém, as questões que resolveremos ajudará você a entender bem o funcionamento disso. Cuidado para não confundir essas duas palavras, mas é só pensar no sentido de cada uma para não fazer confusão.

4.4. Sistemas Lineares Homogêneos Dizemos que um sistema linear é homogêneo se os termos independentes de TODAS as equações são iguais a 0. Veja alguns exemplos:

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Observe que ao substituirmos as incógnitas por zero, teremos uma solução para o sistema. Tal solução é chamada de nula, trivial ou imprópria. Assim, todo sistema linear homogêneo é sempre possível. Em breve aprenderemos a classificá-lo em determinado ou indeterminado.

4.5. Teorema de Cramer O Teorema de Cramer nos ensina um método muito prático para encontrarmos a solução de um sistema de equações. Assim, segundo Cramer: 𝒙=

𝑫𝒙 𝑫

,

𝒚=

𝑫𝒚 𝑫

,

𝒛=

𝑫𝒛 𝑫

Em que: D: matriz incompleta do sistema; Dx: matriz da incógnita x; Dy: matriz da incógnita y; Dz: matriz da incógnita z. Vale salientar que, para aplicar o Teorema de Cramer, é necessário que o sistema linear tenha o número de equações igual ao número de incógnitas e que o determinante da matriz incompleta seja diferente de zero. Veja como esse assunto já foi cobrado.

ESAF/DNIT/2013 A soma dos valores de x e y que solucionam o sistema de equações

é igual a: 51

a) 6

b) 4

c) 3

d) 2

e) 5

Comentários: A matriz incompleta do sistema é formada pelos coeficientes das incógnitas x e y: [

1 2 ] 2 1

O determinante da matriz incompleta será: 𝒅𝒆𝒕 = 1.1 − 2.2 = −𝟑 Já as matrizes da incógnita x e da incógnita y são obtidas a partir da matriz incompleta, substituindo a coluna dos coeficientes da incógnita a qual se está construindo a matriz pelos termos independentes do sistema: 7 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑥 = [ 5

2 ] → 𝐷𝑥 = −3 1

1 7 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑦 = [ ] → 𝐷𝑦 = −9 2 5 Podemos aplicar o Teorema de Cramer para encontrar a solução do sistema, uma vez que o determinante da matriz incompleta é diferente de zero: 𝑫𝒙 −𝟑 = =𝟏 𝑫 −𝟑 𝑫𝒚 −𝟗 𝒚= = =𝟑 𝑫 −𝟑 Assim, a solução do sistema é (1, 3), sendo classificado como possível e determinado (SPD). 𝒙=

No entanto, a questão busca saber a soma dos valores de x e y. Logo: 𝒙+𝒚 =1+3= 𝟒 Gabarito: Letra B. ESAF/AFRFB/2012 Considere o sistema de equações lineares dado por:

Sabendo-se que o sistema tem solução única para r ≠ 0 e r ≠ 1, então o valor de x é igual a a)

b)

c)

d)

e)

Comentários: Essa é uma questão muito simples, que exige de você a aplicação direta do Teorema de Cramer. Perceba que o exercício busca saber tão somente o valor da incógnita x. Ora, de acordo com Cramer, temos que: 𝒙=

𝑫𝒙 , 𝑫

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Logo, só precisamos calcular o valor da matriz incompleta e da incógnita x:

E assim ficamos com:

Gabarito: Letra E.

4.6. Análise do Sistema Linear A presente análise de sistemas lineares que veremos agora tem por objetivo nos auxiliar a classificar um sistema de acordo com o resultado do determinante da matriz incompleta e dos determinantes das matrizes das incógnitas. Assim, teremos: 1) O sistema será possível e determinado se o determinante da matriz incompleta for diferente de zero. 2) O sistema será possível e indeterminado se o determinante da matriz incompleta E os determinantes das matrizes das incógnitas forem iguais a zero. 3) O sistema será impossível se o determinante da matriz incompleta for igual a zero e pelo menos um dos determinantes das matrizes das incógnitas for diferente de zero.

SISTEMA LINEAR

Colega, essa análise é de suma importância, conforme veremos nas questões a seguir. Portanto, guarde bem o esquema:

SPD

D≠0

SPI

D = Dx = Dy ... = 0

SI

D = 0 e existe algum Di ≠ 0

E se o sistema for homogêneo? Vocês disseram que iríamos aprender a classificá-lo em determinado ou indeterminado! Obrigado por nos lembrar! Ora, já vimos que um sistema linear homogêneo sempre admite solução.

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Portanto, temos duas possibilidades: ser possível e determinado ou ser possível e indeterminado. A fim de tirar essa dúvida, basta calcular o valor do determinante da matriz incompleta. Daí: Sistema Linear Homogêneo SPD

SPI

D≠0

D=0

Veja como esse assunto já foi cobrado.

ESAF/STN/2013 Dado o sistema de equações lineares

é correto afirmar que: a) o sistema não possui solução. b) o sistema possui uma única solução. c) x = 1 e y = 2 é uma solução do sistema. d) o sistema é homogêneo. e) o sistema possui mais de uma solução. Comentários: A matriz incompleta do sistema é formada pelos coeficientes das incógnitas x e y: [

2 4 ] 3 6

O determinante da matriz incompleta será: 𝒅𝒆𝒕 = 2.6 − 4.3 = 𝟎 As matrizes da incógnita x e da incógnita y são obtidas a partir da matriz incompleta, substituindo a coluna dos coeficientes da incógnita a qual se está construindo a matriz pelos termos independentes do sistema: 6 9 2 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑦 = [ 3 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑥 = [

4 ] → 𝐷𝑥 = 0 6 6 ] → 𝐷𝑦 = 0 9

Com isso, obtemos que: 𝑫 = 𝑫𝒙 = 𝑫𝒚 = 𝟎

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Acabamos de ver que, quando isso acontece, é porque o sistema é possível e indeterminado (SPI), possuindo mais de uma solução. Gabarito: Letra E. ESAF/AFRFB/2009 Com relação ao sistema,

onde 3 z + 2 ≠ 0 e 2 x + y ≠ 0 , pode-se, com certeza, afirmar que: a) é impossível. b) é indeterminado. c) possui determinante igual a 4. d) possui apenas a solução trivial. e) é homogêneo. Comentários: Talvez você ache este sistema um pouco estranho. E é mesmo! Sem contar que ele causa uma “ilusão de ótica”, pois parece que só tem duas equações e três incógnitas. Mas isso não é verdade! Perceba que na segunda linha do sistema há duas equações. Conseguiu enxergar isso no sistema? Vou dar uma mãozinha: 2𝑥 − 𝑦 =1 3𝑧 + 2 𝑧+1 =1 {2𝑥 + 𝑦 Precisamos agora desenvolver essas duas equações, a fim de representarmos nosso sistema na forma matricial. Vamos fazer isso primeiro com a segunda equação: 2𝑥 − 𝑦 =1 3𝑧 + 2 "Multiplicando em cruzado", teremos: 2𝑥 − 𝑦 = 3𝑧 + 2 ⟹ 𝟐𝒙 − 𝒚 − 𝟑𝒛 = 𝟐 Vamos fazer o mesmo com a terceira equação: 𝑧+1 = 1 ⟹ 𝑧 + 1 = 2𝑥 + 𝑦 ⟹ 𝟐𝒙 + 𝒚 − 𝒛 = 𝟏 2𝑥 + 𝑦 Reescrevendo o sistema: 𝒙+𝒚+𝒛=𝟏 {𝟐𝒙 − 𝒚 − 𝟑𝒛 = 𝟐 𝟐𝒙 + 𝒚 − 𝒛 = 𝟏 Chegou a hora de escrever o sistema na forma matricial:

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𝑥 1 1 1 1 [2 −1 −3] . [𝑦] = [2] 2 1 −1 𝑧 1 O determinante da matriz incompleta será, usando nosso querido Sarrus: 1 1 1 1 1 [2 −1 −3] 2 −1 2 1 −1 2 1 𝑑𝑒𝑡 = 1. (−1). (−1) + 1. (−3). 2 + 1.2.1 − 1.2. (−1) − 1. (−3). 1 − 1. (−1). 2 = 1 − 6 + 2 + 2 + 3 + 2 𝒅𝒆𝒕 = 𝟒 Vamos aproveitar para classificar o sistema. Bem, o determinante da matriz incompleta resultou num valor diferente de zero. O que isso significa? Quer dizer que o sistema é possível e determinado! Gabarito: Letra C. ESAF/CGU/2008 Considerando o sistema de equações lineares

pode-se corretamente afirmar que a) se p = -2 e q ≠ 4, então o sistema é impossível. b) se p ≠ -2 e q = 4, então o sistema é possível e indeterminado. c) se p = -2, então o sistema é possível e determinado. d) se p = -2 e q ≠ 4, então o sistema é possível e indeterminado. e) se p = 2 e q = 4, então o sistema é impossível. Comentários: Para que o sistema seja possível e determinado, o determinante da matriz incompleta deve ser diferente de 0. 1 | 2

−1 |≠0 𝑝

1 × 𝑝 − 2 × (−1) ≠ 0 ⟹ 𝒑 ≠ −𝟐 Para que o sistema seja possível e indeterminado, esse determinante deve ser igual a 0, ou seja, p = -2 ; e, além disso, os determinantes das incógnitas devem ser iguais a 0. Vamos pegar o caso de x2: 1 2 | |=0 2 𝑞 𝑞−4=0⟹𝒒=𝟒 Assim, o sistema é possível e indeterminado se p = −2 e q = 4. Perceba que até aqui ainda não encontramos uma de nossas conclusões entre as alternativas. Vamos prosseguir, então, com a análise do sistema. Para que o sistema seja impossível, o determinante dos coeficientes deve ser igual a 0, ou seja, p = −2; e o determinante de qualquer uma das variáveis deve ser diferente de 0, ou seja, q ≠ 4.

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Gabarito: Letra A. ESAF/CGU/2001 Um sistema de equações lineares é chamado "possível" ou "compatível" quando admite pelo menos uma solução, e é chamado de "determinado" quando a solução for única e de "indeterminado" quando houver infinitas soluções. A partir do sistema formado pelas equações, X - Y = 2 e 2X + WY = Z, pode-se afirmar que se W = -2 e Z = 4, então o sistema é: a) impossível e determinado b) impossível ou determinado c) impossível e indeterminado d) possível e determinado e) possível e indeterminado Comentários: De acordo com o enunciado, teremos o seguinte sistema:

Vamos calcular cada um dos determinantes relacionados a esse sistema:

Que interessante! Os determinantes da matriz incompleta e das incógnitas foram todos iguais a zero. Temos certeza que você já sabe qual a consequência disso! Claro! Isso indica que o sistema é possível e indeterminado. Perfeito, meu amigo! Gabarito: Letra E.

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QUESTÕES COMENTADAS 1. CESPE/CBM DF/2011 Um importante algoritmo para a resolução de problemas que envolvem matrizes (por exemplo, resolução de sistemas lineares, cálculo da matriz inversa, determinantes etc.) consiste em efetuar operações elementares sobre as linhas da matriz. Essas operações incluem multiplicação de uma linha da matriz por um número não nulo; adição a uma linha de um múltiplo de outra linha; permutação de linhas. Com relação a essas 1 0 −2 operações, considere a matriz B obtida da matriz 𝐴 = (2 −1 −2) depois de efetuada a seguinte sequên2 −1 −1 cia de operações elementares: substituição da linha 3 pela linha 3 menos a linha 2; substituição da linha 2 pela linha 2 menos duas vezes a linha 1. Com base nessas informações, julgue o item que se segue, acerca da matriz B. Na linha 3 da matriz B, há apenas um elemento nulo. Comentários: Vamos obter a matriz B por meio das operações propostas. Primeiramente, temos: 1 0 −2 𝐴 = (2 −1 −2) 2 −1 −1 Substituição da linha 3 pela linha 3 menos a linha 2 1 0 −2 −1 −2 𝐴2 = ( 2 ) 2 − 2 −1 − (−1) −1 − (−2) 1 0 −2 𝐴2 = (2 −1 −2) 0 0 1 Substituição da linha 2 pela linha 2 menos duas vezes a linha 1 1 0 −2 𝐵 = (2 − 2 × (1) −1 − 2 × (0) −2 − 2 × (−2)) 0 0 1 1 0 −2 𝐵 = (0 −1 2 ) 0 0 1 Veja que na linha 3 da matriz B há dois elementos nulos. Esse resultado poderia ter sido concluído na primeira substituição, pois a segunda operação em nada altera a terceira linha. Gabarito: ERRADO.

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2. CESPE/PC-DF/2013 Considere que a empresa X tenha disponibilizado um aparelho celular a um empregado que viajou em missão de 30 dias corridos. O custo do minuto de cada ligação, para qualquer telefone, é de R$ 0,15. Nessa situação, considerando que a empresa tenha estabelecido limite de R$ 200,00 e que, após ultrapassado esse limite, o empregado arcará com as despesas, julgue o item a seguir. Considere que, em uma nova missão, o preço das ligações tenha passado a depender da localidade, mesma cidade ou cidade distinta da de origem da ligação, e do tipo de telefone para o qual a ligação tenha sido feita, celular, fixo ou rádio. As tabelas abaixo mostram quantas ligações de cada tipo foram feitas e o valor de cada uma:

Tabela I: número de ligações realizadas por tipo de telefone

Tabela II: preço de cada ligação, em reais 0,20 0,50 3 1 ] for a matriz formada pelos dados da tabela I, e 𝐵 = [0,15 0,30] for 1 3 0,20 0,20 a matriz formada pelos dados da tabela II, então a soma de todas as entradas da matriz A × B será igual ao valor total das ligações efetuadas. 6 Nessas condições, se 𝐴 = [ 7

Comentários: O preço total a ser pago seria dado pelo seguinte: Mesma cidade: 𝟔 × 𝟎, 𝟐𝟎 + 𝟑 × 𝟎, 𝟏𝟓 + 𝟏 × 𝟎, 𝟐𝟎 = 𝟏, 𝟖𝟓 Cidades diferentes: 𝟕 × 𝟎, 𝟓 + 𝟏 × 𝟎, 𝟑𝟎 + 𝟑 × 𝟎, 𝟐𝟎 = 𝟒, 𝟒0 Total: 1,85 + 4,40 = 𝑅$ 6,85 Porém, na multiplicação de matrizes, vamos ter que: 0,20 0,50 3 1 ] × [0,15 0,30] 1 3 0,20 0,20 𝟔 × 𝟎, 𝟐𝟎 + 𝟑 × 𝟎, 𝟏𝟓 + 𝟏 × 𝟎, 𝟐𝟎 6 × 0,5 + 3 × 0,30 + 1 × 0,20 =[ ] 7 × 0,20 + 1 × 0,15 + 3 × 0,20 𝟕 × 𝟎, 𝟓 + 𝟏 × 𝟎, 𝟑𝟎 + 𝟑 × 𝟎, 𝟐𝟎 6 [ 7

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=[

𝟏, 𝟖𝟓 4,10 ] 2,15 𝟒, 𝟒𝟎

Vemos que apenas a diagonal principal possui valores condizentes com o anterior, enquanto a diagonal secundária seria cobranças cruzadas, isto é, cobrar o preço de ligações de mesma cidade para ligações em cidades diferentes, e vice e versa. Assim, o valor total das ligações efetuadas será o traço da matriz, isto é, a soma dos elementos da diagonal principal. Não se trata da soma de todos os elementos da matriz. Gabarito: ERRADO. 3. CESPE/SEDF/2017 2 0 Considerando a matriz 𝐴 = [4 10 0 2 Se 𝐶 = [𝐶𝑖𝑗 ], 1 ≤ i , j ≤ 3, tal que 𝐶

10 20], julgue o próximo item. 40 = 𝐴2 , então 𝐶23 – 𝐶22 > 500.

Comentários: Temos que: 𝐶 = 𝐴2 =𝐴×𝐴 2 [4 0

0 10 2 0 10 20] × [4 10 2 40 0 2

10 20] 40

Note que não precisamos obter a matriz inteira, mas sim os elementos 𝐶23 e 𝐶22 . Obtenção de 𝑪𝟐𝟐

Logo, 𝐶22

? 2 0 10 2 𝟎 10 [𝟒 𝟏𝟎 𝟐𝟎] × [4 𝟏𝟎 20] = [? 0 2 40 0 𝟐 40 ? = 𝟒 × 𝟎 + 𝟏𝟎 × 𝟏𝟎 + 𝟐𝟎 × 𝟐 = 140

? ? (𝟒 × 𝟎 + 𝟏𝟎 × 𝟏𝟎 + 𝟐𝟎 × 𝟐) ?] ? ?

Obtenção de 𝑪𝟐𝟑 2 [𝟒 0

0 𝟏𝟎 2

10 2 0 𝟐𝟎] × [4 10 40 0 2

? ? 𝟏𝟎 𝟐𝟎] = [? 140 𝟒𝟎 ? ?

? (𝟒 × 𝟏𝟎 + 𝟏𝟎 × 𝟐𝟎 + 𝟐𝟎 × 𝟒𝟎)] ?

Logo, 𝐶23 = 𝟒 × 𝟏𝟎 + 𝟏𝟎 × 𝟐𝟎 + 𝟐𝟎 × 𝟒𝟎 = 1.040 Portanto, 𝐶23 − 𝐶22 = 1040 − 140 = 𝟗𝟎𝟎. Trata-se de um número maior do que 500. Gabarito: CERTO.

60

4. CESPE/SEDF/2017 2 0 10 Considerando a matriz 𝐴 = [4 10 20], julgue o próximo item. 0 2 40 0 𝑥 −7 𝑧 ] e a matriz 𝐴 + 𝐵 for simétrica, então 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0. Se 𝐵 = [1 0 𝑦 10 0 Comentários: Primeiramente, vamos determinar 𝐴 + 𝐵. 2 0 𝐴 + 𝐵 = [4 10 0 2 2+0 = [4 + 1 0+𝑦 2 = [5 𝑦

0 10 1 ] + [ 20 𝑦 40

𝑥 0 10

−7 𝑧 ] 0

0 + 𝑥 10 − 7 10 + 0 20 + 𝑧 ] 2 + 10 40 + 0 𝑥 3 10 20 + 𝑧] 12 40

A matriz transposta de (𝐴 + 𝐵) é: 2 (𝐴 + 𝐵)𝑇 = [𝑥 3

5 10 20 + 𝑧

𝑦 12] 40

Uma matriz é dita simétrica quando ela for igual a sua transposta. Como (𝐴 + 𝐵) é simétrica, vamos fazer a igualdade (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐵)𝑇 . 2 [5 𝑦

𝑥 10 12

3 2 20 + 𝑧] = [𝑥 40 3

5 10 20 + 𝑧

𝑦 12] 40

Com a igualdade das matrizes, temos: 𝑥=5 𝑦=3 12 = 20 + 𝑧 → 𝑧 = −8 Logo, 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 5 + 3 − 8 = 0. Gabarito: CERTO.

61

5. CESPE/IFF/2018 3 𝑘 Considere que k seja um número real e que o determinante da matriz 𝐵 = [ ]seja igual a 27. Nesse caso, 3 9 3 −1 se 𝐴 = [ ]então o determinante da matriz B − A, será igual a: 9 6 a) 30. b) 0. c) 3. d) 6. e) 10. Comentários: O determinante de B é dado pelo produto dos termos da diagonal principal menos o produto dos termos da diagonal secundária: det 𝐵 = 3 × 9 − 𝑘 × 3 27 = 27 − 3𝑘 𝑘=0 Logo, a matriz B é dada por: 𝐵= [

3 0 ] 3 9

A matriz 𝐵 − 𝐴 é: 3 0 3 −1 ]−[ ] 3 9 9 6 3 − 3 0 − (−1) =[ ] 3−9 9−6 0 1 =[ ] −6 3 Novamente, para calcular det(𝐵 − 𝐴), devemos realizar produto dos termos da diagonal principal e subtrair o produto dos termos da diagonal secundária: 𝐵−𝐴=[

det(𝐵 − 𝐴) = 0 × 3 − (1 × (−6)) det(𝐵 − 𝐴) = 6 Gabarito: Letra D. 6. CESPE/SEDF/2017 2 Considerando a matriz 𝐴 = [4 0 A matriz A é inversível.

0 10 10 20], julgue o próximo item. 2 40

Comentários:

62

Precisamos ter em mente que uma matriz quadrada A é invertível se, e somente se, det(A)≠0. Para calcular o determinante de A, replicamos ao final da matriz suas duas primeiras colunas, calculamos o produto dos termos de sua diagonal principal e de suas paralelas, somando-os, e o produto dos termos da diagonal secundária e das paralelas desta, subtraindo-os:

Assim, o determinante da matriz vale −80 + 800 + 80 = 800. Como o determinante não é nulo, a matriz é inversível. Gabarito: CERTO. 7. CESPE/SEDF/2017 2 Considerando a matriz 𝐴 = [4 0

0 10 10 20], julgue o próximo item. 2 40

1

Se 𝐵 = 2 𝐴, então o determinante de B é maior que 200. Comentários: Na questão anterior, obtivemos que o determinante de A é 800. Note que, com esse dado podemos aplicar a seguinte propriedade para obter o determinante de B: Se multiplicarmos uma matriz por um número 𝒌, o determinante é multiplicado por 𝒌𝒏 , em que 𝒏 é a ordem da matriz Sabemos que a matriz A é de ordem 3, pois trata-se de uma matriz quadrada 3 × 3. Logo: 1 det 𝐵 = det 𝐴 2 1 3 = ( ) × det 𝐴 2 1 = × 800 8 = 100 Logo, o determinante de B é menor do que 200. Gabarito: ERRADO. 8. CESPE/SEDU-ES/2012 2 −1 Considerando as matrizes[1 0 2 2

5 3 4], [3 0 3

0 0 1 0 0] e [0 0 0 0

0 0 1 0], julgue o item a seguir: 0 5 63

Como [𝑑𝑒𝑡 𝐵]² = 𝑑𝑒𝑡 𝐵, então 𝑑𝑒𝑡 𝐵 = 1. Comentários: Lembre-se que se uma fila (linha ou coluna) de uma matriz é formada apenas por zeros, seu determinante é nulo. Isso significa que det 𝐵 = 0 e (det 𝐵)2 = 02 = 0. Gabarito: ERRADO. 9. CESPE/SEDU-ES/2012 2 −1 Considerando as matrizes[1 0 2 2

5 3 4], [3 0 3

0 0 1 0 0] e [0 0 0 0

0 0 1 0], julgue o item a seguir: 0 5

É correto afirmar que det[𝐴 × 𝐵 × 𝐶] = det 𝐵. Comentários: Lembre-se que se uma fila (linha ou coluna) de uma matriz é formada apenas por zeros, seu determinante é nulo. Isso significa que det 𝐵 = 0 e (det 𝐵)2 = 02 = 0. Podemos aplicar o teorema de Binet para mais de duas matrizes, isto é? det[𝐴 × 𝐵 × 𝐶] = det 𝐴 × det 𝐵 × det 𝐶 Como det 𝐵 = 0, temos que: det[𝐴 × 𝐵 × 𝐶] = det 𝐴 × 0 × det 𝐶 det[𝐴 × 𝐵 × 𝐶] = 0 Logo, a assertiva está correta, pois det[𝐴 × 𝐵 × 𝐶] = det 𝐵 = 0. Gabarito: CERTO. 10. CESPE/SEDU-ES/2012 2 −1 Considerando as matrizes[1 0 2 2 O det 𝐴2 = 196.

5 3 4], [3 0 3

0 0 1 0 0] e [0 0 0 0

0 0 1 0], julgue o item a seguir: 0 5

Comentários: Para evitar ter que calcular a matriz 𝐴2 , podemos utilizar o teorema de Binet. Temos que det 𝐴2 = det(𝐴 × 𝐴). Pelo teorema de Binet:

64

𝐝𝐞𝐭(𝑨 × 𝑨) = 𝐝𝐞𝐭 𝑨 × 𝐝𝐞𝐭 𝑨 = (det 𝐴)2 Note, portanto, que det 𝐴2 = (det 𝐴)2 . Vamos calcular o determinante de A. Pela regra de Sarrus: 2 −1 5 2 |1 0 4| 1 2 2 0 2

−1 0 2

det 𝐴 = (2 × 0 × 0) + ((−1) × 4 × 2) + (5 × 1 × 2) − (5 × 0 × 2) − (2 × 4 × 2) − ((−1) × 1 × 0) det 𝐴 = 0 − 8 + 10 − 0 − 16 + 1 det 𝐴 = −13 Logo: det 𝐴2 = (det 𝐴)2 = (−13)2 = 196 Gabarito: CERTO. 11. CESPE/IBAMA/2013 Considere que A e B sejam matrizes distintas, de ordem 2 × 2, com entradas reais e, em cada matriz, três das quatro entradas sejam iguais a zero. Além disso, considere também que A × A = B × B = A × B = O, em que O é a matriz nula, isto é, a matriz em que todas as entradas são iguais a zero. Nesse caso, necessariamente, A = O ou B = O. Comentários: As principais informações (requisitos) fornecidas pelo enunciado, relativas às matrizes A e B, são:  Distintas;  Quadradas;  Do tipo 2 x 2; Em cada uma delas, três das quatro entradas são iguais a 0. Observação: Lembra que lá no início do tópico, no item 2.2, dissemos que o CESPE gosta de chamar os elementos de entradas? A melhor estratégia será utilizarmos um contraexemplo, a fim de verificar a correção do item. Sejam as matrizes A e B dadas por:

Concorda que as matrizes A e B satisfazem todos os quatro requisitos apresentados? Pois bem, agora vamos verificar se a igualdade A x A = B x B = A x B = O, em que O é matriz nula, é satisfeita.

65

Lembre que:

Isso significa que, de fato, A x A = B x B = A x B = O, apesar de termos estabelecido que A ≠ O e B ≠ O. Então não há a obrigatoriedade de A ou B serem iguais a zero, pois supomos A e B diferentes de zero e encontramos A x A = B x B = A x B = O. Gabarito: ERRADO. 12. CESPE/SERPRO/2013

Com referência às matrizes X e Y mostradas acima, em que x e y são números reais adequados, julgue o próximo item. A proposição “Se x é um número natural e x ≠ 1, então, para esse valor de x, a matriz X é inversível” é verdadeira. Comentários: A primeira coisa a se analisar é o determinante da matriz X. Para tanto, podemos aplicar a regra de Sarrus. 1 1 |𝑥 𝑥 𝑥 1

−1 1 2 |𝑥 1 𝑥

1 𝑥 1 det 𝑋 = (1 × 𝑥 × 1) + (1 × 2 × 𝑥) + ((−1) × 𝑥 × 1) − (1 × 𝑥 × 1) − (1 × 2 × 1) − ((−1) × 𝑥 × 𝑥)

66

det 𝑋 = 𝑥 + 2𝑥 − 𝑥 − 𝑥 − 2 + 𝑥 2 det 𝑋 = 𝑥 2 + 𝑥 − 2 Para a matriz X ser inversível, 𝐝𝐞𝐭 𝑿 deve ser diferente de zero. Vamos analisar os casos em que det 𝑋 = 0: esses serão os casos em que a matriz X não é inversível. det 𝑋 = 0 𝑥2 + 𝑥 − 2 = 0 𝑥=

−1 ± √12 − 4 × 1 ∗ (−2) 2×1 −1 ± √9 2 −1 ± 3 𝑥= 2 𝑥1 = 1 ; 𝑥2 = −2 𝑥=

Veja que, considerando 𝑥 um número natural, é necessário apenas que 𝑥 seja diferente de 1 para que a matriz seja inversível. Logo, a assertiva está correta. Gabarito: CERTO. 13. CESPE/PETROBRAS/2008 Se A é uma matriz quadrada invertível, então a) det [A × AT] = [det A]², em que AT é a matriz transposta da matriz A. b) det [A + A] = 2 × det A. c) det A + det AT = 0. d) det [A + A-1] = 0. e) det A = det A-1. Comentários: Vamos comentar cada uma as alternativas. a) det [A × AT] = [det A]², em que AT é a matriz transposta da matriz A. CORRETO. Pelo teorema de Binet, temos que: det(𝐴 × 𝐴𝑇 ) = det 𝐴 × det 𝐴𝑇 Note que o determinante da matriz da matriz A é igual ao determinante de A (det 𝐴 = det 𝐴𝑇 ). Logo: det(𝐴 × 𝐴𝑇 ) = det 𝐴 × det 𝐴 = (det 𝐴)2 b) det [A + A] = 2 × det A. ERRADO. Se a matriz A tiver ordem 𝑛, temos que: 67

det[𝐴 + 𝐴] = det 2𝐴. = 2𝑛 det 𝐴 c) det A + det AT = 0. ERRADO. Como o determinante da matriz da matriz A é igual ao determinante de A (det 𝐴 = det 𝐴𝑇 ), temos: det 𝐴 + det 𝐴𝑇 = det 𝐴 + det 𝐴 = 2 det 𝐴 d) det [A + A-1] = 0. ERRADO. Essa propriedade que envolve a soma de uma matriz A com a sua inversa não existe. Para tanto, podemos apresentar um contraexemplo. Suponha 𝐴 = 𝐼2 , ou seja, que A é uma matriz identidade de ordem 2. 1 0 ) 0 1 A inversa da matriz identidade é a própria matriz identidade, isto é, 𝐴−1 = 𝐼2 . Nesse caso: 𝐴=(

𝐴 + 𝐴−1 = 2𝐼2 O determinante de 𝐴 + 𝐴−1 é, portanto: det(𝐴 + 𝐴−1 ) = det 2𝐼𝑛 = 22 det 𝐼𝑛 = 22 × 1 =4 e) det A = det A-1. ERRADO. O determinante da inversa de A é o inverso do determinante de A, isto é: det 𝐴−1 =

1 det 𝐴

Gabarito: Letra A. 14. CESPE/Pref. São Cristóvão/2019 Com relação a sistemas lineares e análise combinatória, julgue o próximo item. Para a matriz

tem-se que det(A) = -1 e, consequentemente, A é uma matriz inversível.

Comentários: A matriz A é 4×4. Para calcular o seu determinante, devemos utilizar o Teorema de Laplace.

68

Passo 1: Escolher uma fila, de preferência a que tiver mais zeros Vamos escolher a segunda coluna, pois é a fila que apresenta o maior número de zeros.

Passo 2: Multiplicar cada elemento dessa fila pelo seu respectivo cofator Em seguida, devemos obter o produto de cada elemento dessa fila escolhida pelo respectivo cofator. Como os elementos das linhas 1,3 e 4 da segunda coluna são zero, esses produtos serão zero: 𝑎12 𝐴12 = 0 × 𝐴12 = 0 𝑎32 𝐴12 = 0 × 𝐴32 = 0 𝑎42 𝐴12 = 0 × 𝐴42 = 0 Para o elemento da segunda linha, temos o seguinte produto 𝑎22 × 𝐴22 : 𝑎22 × 𝐴22 1 −1 1 2+2 (−1) = 1× × |0 1 1| 1 0 1 1 −1 1 = |0 1 1| 1 0 1 Aplicando a Regra de Sarrus, temos: 1 −1 1 1 |0 1 1| 0 1 0 1 1

−1 1 0

(1 × 1 × 1) + ((−1) × 1 × 1) + (1 × 0 × 0) − ((−1) × 0 × 1) − (1 × 1 × 0) − (1 × 1 × 1) 1 + (−1) + 0 − 0 − 0 − 1 = −1 Logo, 𝑎22 × 𝐴22 = −1.

69

Passo 3: O determinante será a soma dos valores encontrados no passo 2 Logo, o determinante pretendido é: det 𝐴 = 𝑎12 𝐴12 + 𝑎22 × 𝐴22 + 𝑎32 𝐴12 + 𝑎42 𝐴12 det 𝐴 = 0 + (−1) + 0 + 0 det 𝐴 = −1 Finalizando a questão, perceba que, de fato, det 𝐴 = −1. Como A é uma matriz quadrada com determinante diferente de zero, necessariamente ela é inversível. Gabarito: CERTO. 15. CESPE/BANESE/2004 As quantidades de agências, postos de atendimento e caixas eletrônicos de um banco satisfazem às seguintes condições:  A soma do número de agências com o de postos de atendimento e o de caixas eletrônicos é igual a 346;  A diferença entre a quantidade de caixas eletrônicos e a de agências é igual a 10 vezes o número de postos de atendimento;  O número de caixas eletrônicos menos 50 é igual a três vezes a soma entre o número de agências e o número de postos de atendimento.

Com base nessas informações, julgue o item subsequente. Representando por x, y e z as quantidades de agências, postos de atendimento e caixas eletrônicos desse 𝑥 1 1 1 346 banco, respectivamente, e por B a matriz [1 10 −1], tem-se que 𝐵 × [𝑦] = [ 0 ]. 𝑧 3 3 −1 50 Comentários: Para resolver o problema, vamos montar o sistema linear, transformá-lo em um problema matricial para, em seguida, verificar se as matrizes correspondem às apresentadas.  A soma do número de agências com o de postos de atendimento e o de caixas eletrônicos é igual a 346.

Nesse caso, temos 𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟑𝟒𝟔.  A diferença entre a quantidade de caixas eletrônicos e a de agências é igual a 10 vezes o número de postos de atendimento.

Temos (𝑧 − 𝑥) = 10𝑦. Logo, 𝒙 + 𝟏𝟎𝒚 − 𝒛 = 𝟎.  O número de caixas eletrônicos menos 50 é igual a três vezes a soma entre o número de agências e o número de postos de atendimento.

70

Temos 𝑥 − 50 = 3(𝑥 + 𝑦). Logo: 𝑧 − 50 = 3𝑥 + 3𝑦 𝟑𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝒛 = −𝟓𝟎 Logo, temos o seguinte sistema linear: 𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟑𝟒𝟔 { 𝒙 + 𝟏𝟎𝒚 − 𝒛 = 𝟎 𝟑𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝒛 = −𝟓𝟎 Se quisermos representar o sistema na forma 𝐵𝑋 = 𝐶, devemos ter: 𝟏 𝑩 = [𝟏 𝟑

𝒙 𝟏 𝟏 𝟑𝟒𝟔 𝒚 𝟏𝟎 −𝟏] ; 𝑿 = [ ] ; 𝑪 = [ 𝟎 ] 𝒛 𝟑 −𝟏 −𝟓𝟎

Note que o sistema linear obtido, quando escrito em forma matricial, difere do apresentado pela assertiva no elemento da terceira linha da matriz C dos coeficientes. Gabarito: ERRADO. 16. CESPE/Pref. São Cristóvão/2019 Com relação a sistemas lineares e análise combinatória, julgue o item. Para todo sistema linear da forma 𝐴𝑋 = 𝐵, em que A é uma matriz quadrada m × m, X e B são matrizes colunas m × 1, e 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 0, o sistema não tem solução. Comentários: Veja que A é a matriz incompleta do sistema. Ao afirmar que det 𝐴 = 0, pode-se recair em 2 casos:

SISTEMA LINEAR

 Sistema Possível e Indeterminado (SPI): infinitas soluções; ou  Sistema Impossível (SI): nenhuma solução.

SPD

D≠0

SPI

D = Dx = Dy ... = 0

SI

D = 0 e existe algum Di ≠ 0

Logo, a assertiva está incorreta, pois não necessariamente o sistema não tem solução.

71

Gabarito: ERRADO. 17. CESPE/CGE-MG/2009/Adaptada Em um concurso estadual, foram aprovados x candidatos, que serão distribuídos para trabalharem em y cidades do estado. Na hipótese de serem encaminhados 2 candidatos para cada cidade, sobrarão 70 candidatos para serem distribuídos. Entretanto, no caso de serem encaminhados 3 candidatos para cada cidade, será necessário convocar mais 40 candidatos classificados nesse concurso. Para determinação dos valores x e y, obtém-se um sistema linear de duas equações com incógnitas x e y. A ele está associada uma matriz M, formada pelos coeficientes das variáveis das suas equações. Assinale a opção correta a respeito da solução desse sistema. a) A matriz M tem determinante diferente de zero. b) O sistema é homogêneo. c) O sistema é compatível e indeterminado. d) A matriz M é não-inversível. Comentários: Na hipótese de serem encaminhados 2 candidatos para cada cidade, 2y candidatos estarão empregados e sobrarão 70 candidatos para serem distribuídos. Dessa forma, tem-se: 2𝑦 + 70 = 𝑥. No caso de serem encaminhados 3 candidatos para cada cidade, 3y candidatos estariam empregados. Porém, como será necessário convocar mais 40 candidatos, tem-se: 3𝑦 = 𝑥 + 40. Assim, para determinação dos valores x e y, obtém-se um sistema linear de duas equações com incógnitas x e y a seguir:

A matriz M, formada pelos coeficientes das variáveis das suas equações é:

Vamos analisar as alternativas e marcar a CORRETA conforme solicitado no enunciado.

72

A) A matriz M tem determinante diferente de zero. CORRETA. O determinante de uma matriz 2x2 é calculado pelo produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária.

Logo, a matriz M tem determinante diferente de zero. B) O sistema é homogêneo. INCORRETA. Um sistema linear é homogêneo quando os termos independentes de todas as equações são iguais a zero. Na primeira equação, o termo independente é 70 e, na segunda, 40. C) O sistema é compatível e indeterminado. INCORRETA. De acordo com a Regra de Cramer, sistemas normais (mesmo número de equações e incógnitas e determinante diferente de zero) é compatível e determinado. Da alternativa A, tem-se que 𝑑𝑒𝑡𝑀 = 1. D) A matriz M é não-inversível. INCORRETA. Para que uma matriz quadrada possua inversa, seu determinante deve ser diferente de zero. Da alternativa A, tem-se que 𝑑𝑒𝑡𝑀 = 1. Letra A. 18. CESPE/PM-DF/2008 Julgue o seguinte item com relação a geometria do plano cartesiano, modelos periódicos e modelos lineares. Considere o seguinte sistema de equações lineares homogêneo.

Nesse caso, é correto afirmar que, se α = -1 ou se α = - 2, então esse sistema só admite a solução x = y = z = 0. Comentários: Um Sistema Linear Homogêneo sempre admite ao menos uma solução, denominada solução trivial, em que todas as incógnitas são zero. Para o caso em questão, 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 = 0 é uma solução. O que se quer determinar é para quais casos esse sistema admite somente a solução trivial, ou seja, queremos determinar quando ele é um Sistema Possível Determinado (SPD).

73

Sistema Linear Homogêneo SPD

SPI

D≠0

D=0

Para o sistema admitir solução única, o determinante da matriz incompleta deve ser diferente de zero. Vamos então verificar em quais casos de α esse determinante é zero. 1 𝐷 = |α 1

α −2 1 1| −1 −1

Para calcular o determinante, utilizaremos a regra de Sarrus. 1 |α 1

α −2 1 α 1 1 |α 1 −1 −1 1 −1

𝐷 = (1 × 1 × (−1)) + (α × 1 × 1) + ((−2) × α × (−1)) − ((−2) × 1 × 1) − (1 × 1 × (−1)) − (α × α × (−1))

𝐷 = −1 + α + 2α + 2 + 1 + α2 𝐷 = α2 + 3α + 2 Para o determinante ser igual a zero, devemos ter: α2 + 3α + 2 = 0 α=

−3 ± √32 − 4 × 1 × 2 2 α=

−3 ± 1 2

α1 = −1 ; α2 = −2 Veja que para α1 = −1 ou α2 = −2 o determinante da matriz incompleta é zero e, portanto, para caso do Sistema Linear Homogêneo, temos um Sistema Possível Indeterminado. Logo, se α = -1 ou se α = - 2, então esse sistema admite infinitas soluções, não somente x = y = z = 0. Gabarito: ERRADO.

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19. CESPE/PETROBRAS/2008/Adaptada 𝑥 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝜇 Considerando que A seja a matriz formada pelos coeficientes do sistema { , que 𝑊 = (𝑦) e 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑣 𝜇 que 𝑍 = ( ) assinale a opção correta. 𝑣 a) Se as componentes de Z forem nulas e o determinante de A for igual a zero, então o sistema terá infinitas soluções. b) O sistema pode ser representado matricialmente por AZ = W. c) O determinante de A é igual a ad + bc. d) A substituição dos elementos c e d, da segunda linha A, por 2a e 2b, respectivamente, o determinante da nova matriz será igual a 4ab. e) O determinante de A ser diferente de zero, não é condição necessária nem suficiente para que a matriz A seja equivalente por linhas à matriz identidade de ordem 2. Comentários: 𝑥 Primeiramente, note que o sistema linear em questão apresenta a matriz das incógnitas 𝑊 = (𝑦) e a matriz 𝜇 dos termos independentes 𝑍 = ( ). A matriz dos coeficientes é dada por: 𝑣 𝑎 𝑏 𝐴=( ) 𝑐 𝑑 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝜇 Definidas as matrizes, o sistema { pode ser representado por: 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑣 𝐴𝑊 = 𝑍 Vamos avaliar as alternativas: a) Se as componentes de Z forem nulas e o determinante de A for igual a zero, então o sistema terá infinitas soluções. CORRETO. Se as componentes de Z forem nulas, teremos um sistema homogêneo. Sabemos que esse tipo de sistem será sempre possível, podendo ser determinado ou indeterminado. Como det 𝐴 = 0, temos um sistema possível indeterminado. Sistema Linear Homogêneo SPD

SPI

D≠0

D=0

b) O sistema pode ser representado matricialmente por AZ = W. ERRADO. Acabamos de ver que o sistema é representado por 𝐴𝑊 = 𝑍. Isso porque, ao multiplicarmos 𝐴𝑊, obtemos 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝜇 𝜇 ( ), que deve ser igual a 𝑍 = ( ) para que tenhamos o sistema { . 𝑣 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑣

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c) O determinante de A é igual a ad + bc. ERRADO. 𝑎 𝑏 Para calcular o determinante de ( ), devemos realizar o produto dos elementos da diagonal principal e 𝑐 𝑑 subtrair do produto dos elementos da diagonal secundária. Isto é, o determinante em questão é 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐. d) A substituição dos elementos c e d, da segunda linha A, por 2a e 2b, respectivamente, o determinante da nova matriz será igual a 4ab. ERRADO. Ao realizar a substituição, a matriz A fica: 𝑎 2𝑎

(

𝑏 ) 2𝑏

Lembre-se que se uma fila é proporcional (ou igual) a outra paralela, o determinante é nulo. A segunda linha corresponde à primeira linha multiplicada por 2. Logo o determinante é nulo. Gabarito: Letra A. 20. CESPE/Pref. SL/2017 Um sistema linear de 4 equações e 4 incógnitas pode ser escrito na forma matricial como AX = B, em que A é a matriz, de ordem 4 × 4, dos coeficientes da equação; X é a matriz coluna, de ordem 4 × 1, das incógnitas da equação e B é a matriz coluna, de ordem 4 × 1, dos termos independentes da equação. Com referência a essas informações, assinale a opção correta. a) Se 𝑋1, 𝑋2 e 𝑋3 forem matrizes, de ordem 4 × 1, que são soluções distintas da referida equação matricial, então o determinante de A será igual a zero. b) Se a matriz A tiver exatamente duas linhas iguais, então o sistema terá exatamente duas soluções distintas. c) Se todos os elementos da matriz B forem iguais a zero e o determinante de A for igual a zero, então o sistema não terá solução. d) Se uma matriz C, de ordem 4 × 1, possuir dois elementos positivos e dois negativos e for tal que 𝐴𝐶 = 𝐵, então o determinante de A será diferente de zero. e) Se o determinante da matriz A for igual a zero, então A terá pelo menos duas linhas iguais. Comentários: Temos um sistema linear da forma 𝐴𝑋 = 𝐵.  𝐴 é a matriz dos coeficientes 4×4;  X é a matriz coluna 4×1 das incógnitas;  B é a matriz coluna 4×1 dos termos independentes. a) Se 𝑿𝟏 , 𝑿𝟐 e 𝑿𝟑 forem matrizes, de ordem 4 × 1, que são soluções distintas da referida equação matricial, então o determinante de A será igual a zero. CORETO.

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Note que a alternativa nos diz que o sistema apresenta mais de uma solução. Nesse caso, temos um Sistema Possível Indeterminado (SPI) com infinitas soluções. Para isso ocorrer, necessariamente det 𝐴 = 0, pois caso o determinante não fosse nulo teríamos um Sistema Possível e Determinado (SPD). b) Se a matriz A tiver exatamente duas linhas iguais, então o sistema terá exatamente duas soluções distintas. ERRADO. Se a matriz A tiver duas linhas iguais, teremos um determinante nulo, ou seja, o sistema pode ser:  Sistema Possivel Indeterminado (SPI) → Infinitas soluções  Sistema Impossível (SI) → Nenhuma solução. Não há que se falar em "exatamente duas soluções" quando se trata de sistemas lineares. Ou temos apenas uma solução, ou temos infinitas soluções ou não se tem solução. c) Se todos os elementos da matriz B forem iguais a zero e o determinante de A for igual a zero, então o sistema não terá solução. ERRADO. Se todos os elementos da matriz B forem iguais a zero, estamos tratando de um Sistema Homogêneo, que sempre admite a solução trivial (todas as incógnitas são zero). 𝐴𝑋 = 𝐵 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎14 𝑥 0 𝑎21𝑎22 𝑎23 𝑎24 𝑦 [𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 ] × [ 𝑧 ] = [0] 31 32 33 34 0 𝑎41𝑎42 𝑎43 𝑎44 𝑤 0 Em uma Sistema Homogêneo, quando det 𝐴 = 0, temos necessariamente um Sistema Possível Indeterminado (com infinitas soluções). d) Se uma matriz C, de ordem 4 × 1, possuir dois elementos positivos e dois negativos e for tal que 𝑨𝑪 = 𝑩, então o determinante de A será diferente de zero. ERRADO. Quando temos uma matriz 𝐶 que satisfaz o sistema linear 𝐴𝑋 = 𝐵, isso significa que 𝐶 é uma solução do sistema. Nesse caso, podemos ter  Um Sistema Possível Determinado (SPD), cuja única solução é 𝑋 = 𝐶; ou  Um Sistema Possível Indeterminado (SPI), no qual uma das infinitas soluções é 𝑋 = 𝐶. Como podemos estar diante de um SPD ou de um SPI, não sabemos de det 𝐴 ≠ 0 (SPD) ou det 𝐴 = 0 (SPI). Apenas sabemos que não se trata de um Sistema Impossível (SI), pois temos ao menos uma solução. e) Se o determinante da matriz A for igual a zero, então A terá pelo menos duas linhas iguais. ERRADO. A afirmação acima é falsa porque podemos ter det 𝐴 = 0 sem que tenhamos linhas iguais. Esse é o caso, por exemplo, em que se tem uma fila que é combinação linear de outras filas paralelas (propriedade 3). Gabarito: Letra A.

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LISTA DE QUESTÕES 1. CESPE/CBM DF/2011 Um importante algoritmo para a resolução de problemas que envolvem matrizes (por exemplo, resolução de sistemas lineares, cálculo da matriz inversa, determinantes etc.) consiste em efetuar operações elementares sobre as linhas da matriz. Essas operações incluem multiplicação de uma linha da matriz por um número não nulo; adição a uma linha de um múltiplo de outra linha; permutação de linhas. Com relação a essas 1 0 −2 operações, considere a matriz B obtida da matriz 𝐴 = (2 −1 −2) depois de efetuada a seguinte sequên2 −1 −1 cia de operações elementares: substituição da linha 3 pela linha 3 menos a linha 2; substituição da linha 2 pela linha 2 menos duas vezes a linha 1. Com base nessas informações, julgue o item que se segue, acerca da matriz B. Na linha 3 da matriz B, há apenas um elemento nulo.

2. CESPE/PC-DF/2013 Considere que a empresa X tenha disponibilizado um aparelho celular a um empregado que viajou em missão de 30 dias corridos. O custo do minuto de cada ligação, para qualquer telefone, é de R$ 0,15. Nessa situação, considerando que a empresa tenha estabelecido limite de R$ 200,00 e que, após ultrapassado esse limite, o empregado arcará com as despesas, julgue o item a seguir. Considere que, em uma nova missão, o preço das ligações tenha passado a depender da localidade, mesma cidade ou cidade distinta da de origem da ligação, e do tipo de telefone para o qual a ligação tenha sido feita, celular, fixo ou rádio. As tabelas abaixo mostram quantas ligações de cada tipo foram feitas e o valor de cada uma:

Tabela I: número de ligações realizadas por tipo de telefone

Tabela II: preço de cada ligação, em reais

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0,20 0,50 3 1 ] for a matriz formada pelos dados da tabela I, e 𝐵 = [0,15 0,30] for 1 3 0,20 0,20 a matriz formada pelos dados da tabela II, então a soma de todas as entradas da matriz A × B será igual ao valor total das ligações efetuadas. 6 Nessas condições, se 𝐴 = [ 7

3. CESPE/SEDF/2017 2 0 Considerando a matriz 𝐴 = [4 10 0 2 Se 𝐶 = [𝐶𝑖𝑗 ], 1 ≤ i , j ≤ 3, tal que 𝐶

10 20], julgue o próximo item. 40 = 𝐴2 , então 𝐶23 – 𝐶22 > 500.

4. CESPE/SEDF/2017 2 0 10 Considerando a matriz 𝐴 = [4 10 20], julgue o próximo item. 0 2 40 0 𝑥 −7 𝑧 ] e a matriz 𝐴 + 𝐵 for simétrica, então 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0. Se 𝐵 = [1 0 𝑦 10 0 5. CESPE/IFF/2018 3 𝑘 Considere que k seja um número real e que o determinante da matriz 𝐵 = [ ]seja igual a 27. Nesse caso, 3 9 3 −1 se 𝐴 = [ ]então o determinante da matriz B − A, será igual a: 9 6 a) 30. b) 0. c) 3. d) 6. e) 10.

6. CESPE/SEDF/2017 2 Considerando a matriz 𝐴 = [4 0 A matriz A é inversível.

0 10 10 20], julgue o próximo item. 2 40

79

7. CESPE/SEDF/2017 2 Considerando a matriz 𝐴 = [4 0

0 10 10 20], julgue o próximo item. 2 40

1

Se 𝐵 = 2 𝐴, então o determinante de B é maior que 200. 8. CESPE/SEDU-ES/2012 2 −1 Considerando as matrizes[1 0 2 2

5 3 4], [3 0 3

0 0 1 0 0] e [0 0 0 0

0 0 1 0], julgue o item a seguir: 0 5

Como [𝑑𝑒𝑡 𝐵]² = 𝑑𝑒𝑡 𝐵, então 𝑑𝑒𝑡 𝐵 = 1.

9. CESPE/SEDU-ES/2012 2 −1 Considerando as matrizes[1 0 2 2

5 3 4], [3 0 3

0 0 1 0 0] e [0 0 0 0

0 0 1 0], julgue o item a seguir: 0 5

É correto afirmar que det[𝐴 × 𝐵 × 𝐶] = det 𝐵.

10. CESPE/SEDU-ES/2012 2 −1 Considerando as matrizes[1 0 2 2 2 O det 𝐴 = 196.

5 3 4], [3 0 3

0 0 1 ] e [ 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0], julgue o item a seguir: 0 5

11. CESPE/IBAMA/2013 Considere que A e B sejam matrizes distintas, de ordem 2 × 2, com entradas reais e, em cada matriz, três das quatro entradas sejam iguais a zero. Além disso, considere também que A × A = B × B = A × B = O, em que O é a matriz nula, isto é, a matriz em que todas as entradas são iguais a zero. Nesse caso, necessariamente, A = O ou B = O.

80

12. CESPE/SERPRO/2013

Com referência às matrizes X e Y mostradas acima, em que x e y são números reais adequados, julgue o próximo item. A proposição “Se x é um número natural e x ≠ 1, então, para esse valor de x, a matriz X é inversível” é verdadeira. 13. CESPE/PETROBRAS/2008 Se A é uma matriz quadrada invertível, então a) det [A × AT] = [det A]², em que AT é a matriz transposta da matriz A. b) det [A + A] = 2 × det A. c) det A + det AT = 0. d) det [A + A-1] = 0. e) det A = det A-1. 14. CESPE/Pref. São Cristóvão/2019 Com relação a sistemas lineares e análise combinatória, julgue o próximo item. Para a matriz

tem-se que det(A) = -1 e, consequentemente, A é uma matriz inversível.

15. CESPE/BANESE/2004 As quantidades de agências, postos de atendimento e caixas eletrônicos de um banco satisfazem às seguintes condições:  A soma do número de agências com o de postos de atendimento e o de caixas eletrônicos é igual a 346;  A diferença entre a quantidade de caixas eletrônicos e a de agências é igual a 10 vezes o número de postos de atendimento;  O número de caixas eletrônicos menos 50 é igual a três vezes a soma entre o número de agências e o número de postos de atendimento.

81

Com base nessas informações, julgue o item subsequente. Representando por x, y e z as quantidades de agências, postos de atendimento e caixas eletrônicos desse 𝑥 1 1 1 346 banco, respectivamente, e por B a matriz [1 10 −1], tem-se que 𝐵 × [𝑦] = [ 0 ]. 𝑧 3 3 −1 50

16. CESPE/Pref. São Cristóvão/2019 Com relação a sistemas lineares e análise combinatória, julgue o item. Para todo sistema linear da forma 𝐴𝑋 = 𝐵, em que A é uma matriz quadrada m × m, X e B são matrizes colunas m × 1, e 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 0, o sistema não tem solução. 17. CESPE/CGE-MG/2009/Adaptada Em um concurso estadual, foram aprovados x candidatos, que serão distribuídos para trabalharem em y cidades do estado. Na hipótese de serem encaminhados 2 candidatos para cada cidade, sobrarão 70 candidatos para serem distribuídos. Entretanto, no caso de serem encaminhados 3 candidatos para cada cidade, será necessário convocar mais 40 candidatos classificados nesse concurso. Para determinação dos valores x e y, obtém-se um sistema linear de duas equações com incógnitas x e y. A ele está associada uma matriz M, formada pelos coeficientes das variáveis das suas equações. Assinale a opção correta a respeito da solução desse sistema. a) A matriz M tem determinante diferente de zero. b) O sistema é homogêneo. c) O sistema é compatível e indeterminado. d) A matriz M é não-inversível.

18. CESPE/PM-DF/2008 Julgue o seguinte item com relação a geometria do plano cartesiano, modelos periódicos e modelos lineares. Considere o seguinte sistema de equações lineares homogêneo.

Nesse caso, é correto afirmar que, se α = -1 ou se α = - 2, então esse sistema só admite a solução x = y = z = 0.

82

19. CESPE/PETROBRAS/2008/Adaptada 𝑥 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝜇 Considerando que A seja a matriz formada pelos coeficientes do sistema { , que 𝑊 = (𝑦) e 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑣 𝜇 que 𝑍 = ( ) assinale a opção correta. 𝑣 a) Se as componentes de Z forem nulas e o determinante de A for igual a zero, então o sistema terá infinitas soluções. b) O sistema pode ser representado matricialmente por AZ = W. c) O determinante de A é igual a ad + bc. d) A substituição dos elementos c e d, da segunda linha A, por 2a e 2b, respectivamente, o determinante da nova matriz será igual a 4ab. e) O determinante de A ser diferente de zero, não é condição necessária nem suficiente para que a matriz A seja equivalente por linhas à matriz identidade de ordem 2.

20. CESPE/Pref. SL/2017 Um sistema linear de 4 equações e 4 incógnitas pode ser escrito na forma matricial como AX = B, em que A é a matriz, de ordem 4 × 4, dos coeficientes da equação; X é a matriz coluna, de ordem 4 × 1, das incógnitas da equação e B é a matriz coluna, de ordem 4 × 1, dos termos independentes da equação. Com referência a essas informações, assinale a opção correta. a) Se 𝑋1, 𝑋2 e 𝑋3 forem matrizes, de ordem 4 × 1, que são soluções distintas da referida equação matricial, então o determinante de A será igual a zero. b) Se a matriz A tiver exatamente duas linhas iguais, então o sistema terá exatamente duas soluções distintas. c) Se todos os elementos da matriz B forem iguais a zero e o determinante de A for igual a zero, então o sistema não terá solução. d) Se uma matriz C, de ordem 4 × 1, possuir dois elementos positivos e dois negativos e for tal que 𝐴𝐶 = 𝐵, então o determinante de A será diferente de zero. e) Se o determinante da matriz A for igual a zero, então A terá pelo menos duas linhas iguais.

83

GABARITO 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

ERRADO. ERRADO. CERTO. CERTO. LETRA D. CERTO. ERRADO.

8. ERRADO. 9. CERTO. 10. CERTO. 11. ERRADO. 12. CERTO. 13. LETRA A. 14. CERTO.

15. ERRADO. 16. ERRADO. 17. LETRA A. 18. ERRADO. 19. LETRA A. 20. LETRA A.

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QUESTÕES COMPLEMENTARES COMENTADAS 1. FCC/TRT 11ª Região/2017 Sejam A e B duas matrizes quadradas de ordem 2 em que 2 𝑛2 ] e 𝐵 = [3𝑚 − 2 2𝑛] 𝐴 = [ 2𝑚 2 −5 5𝑛 𝑚 − 6𝑚 𝑛 + 6 Se A = B, então considerando os valores reais de m e n que tornam verdadeira esta igualdade, verifica-se que mn é igual a

a) 3

b) 4

c) 2

d) 6

e) 1

Comentários: O enunciado informa que A = B. Então, concluímos que os elementos correspondentes das duas matrizes são iguais entre si: a11 = b11 m2 = 3m − 2 m2 − 3m + 2 = 0 Agora, aplicamos a fórmula de Bhaskara:

Igualamos os outros dois termos: a21 = b21 m2 − 6m = −5 Pela igualdade anterior, já sabemos que os dois candidatos a valor de m são 2 e 1. Testando ambos, vemos que a única possibilidade que permite fazer a21 = b21 é m = 1. Continuando com o próximo par: a12 = b12 n2 = 2n n × (n − 2) = 0 n′ = 0 , n′′ = 2 Finalizando com os últimos termos: a22 = b22 n2 + 6 = 5n De acordo com a última igualdade, podemos testar os valores 0 e 2. Daí, notamos que o único que garante a22 = b22 é n = 2. 85

Portanto, temos que m.n = 1 × 2 = 2. Gabarito: Letra C. 2. FCC/TRT 11/2017 Se A é uma matriz quadrada de ordem 2 tal que 𝐴 = [ transposta de A é igual a

1 3 ], então o determinante da inversa da matriz 2 1

a) −0,20 b) −0,40 c) −0,25 d) −0,50 e) −1,00 Comentários: Inicialmente, calculamos o determinante de A: det A = 1 × 1 − 3 × 2 = −5 O determinante da transposta é igual ao determinante da matriz original, ou seja, det At = −5. Vamos chamar essa transposta de matriz B. B = At det B = −5 Em seguida, queremos o determinante da inversa da transposta, ou seja, o determinante de B−1: det B−1 = 1 / det B =1 / (−5) = −0,2 Gabarito: Letra A. 3. ESAF/CGU/2001 A matriz S = sij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B=(bij). Sabendo-se que (aij ) = i2 +j2 e que bij = 2.i.j, então: a soma dos elementos s31 e s13 é igual a: a) 12 b) 14 c) 16 d) 24 e) 32 Comentários: A matriz S é resultante da soma das matrizes A e B. O nosso objetivo consiste em saber a soma dos elementos s31 e s13. Assim, nem precisaremos construir a matriz, sendo suficiente obtermos os valores desses elementos. Logo, pela lei de formação trazida no enunciado, temos: 𝒔𝟑𝟏 = 𝑎31 + 𝑏31 = (32 + 12 ) + 2.3.1 = 10 + 6 = 𝟏𝟔

86

𝒔𝟏𝟑 = 𝑎13 + 𝑏13 = (12 + 32 ) + 2.1.3 = 10 + 6 = 𝟏𝟔 Somando cada elemento, obtemos: 16 + 16 = 32 Gabarito: Letra E. 4. ESAF/CGU/2002 De forma generalizada, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por m ij, onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz S = s ij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma entre as matrizes A = (aij) e B = (bij), ou seja, S = A + B. Sabendo-se que (aij) = i2 + j2 e que bij = (i + j)2, então a soma dos elementos da primeira linha da matriz S é igual a: a) 17 b) 29 c) 34 d) 46 e) 58 Comentários: A matriz S é resultante da soma das matrizes A e B. O nosso objetivo consiste em calcular a soma dos elementos da primeira linha da matriz s: s11, s12 e s13. Assim, nem precisaremos construir a matriz, sendo suficiente obtermos os valores desses elementos. Logo, pela lei de formação trazida no enunciado e sabendo que as matrizes envolvidas são de terceira ordem, temos: 𝒔𝟏𝟏 = 𝑎11 + 𝑏11 = (12 + 12 ) + (1 + 1)2 = 2 + 4 = 𝟔 𝒔𝟏𝟐 = 𝑎12 + 𝑏12 = (12 + 22 ) + (1 + 2)2 = 5 + 9 = 𝟏𝟒 𝒔𝟏𝟑 = 𝑎13 + 𝑏13 = (12 + 32 ) + (1 + 3)2 = 10 + 16 = 𝟐𝟔 Somando cada elemento, obtemos: 6 + 14 + 26 = 46 Gabarito: Letra D. 5. ESAF/SEFAZ-MG/2005 Considere duas matrizes de segunda ordem, A e B, sendo que B = 21/4 x A. Sabendo que o determinante de A é igual a 2-1/2, então o determinante da matriz B é igual a: a) 21/2

b) 2

c) 2 -1/4

d) 2 -1/2

e) 1

Comentários: A propriedade 8 nos diz que se multiplicarmos uma matriz por um número k, o determinante é multiplicado por kn, em que n é a ordem da matriz. Visto que a matriz é de 2ª ordem, temos: 𝐝𝐞𝐭 𝑩 =

1 2 (24 ) 𝑥 det 𝐴

=

1 2 (24 ) 𝑥

1

2−2 87

Quando temos uma potência elevada a outra potência, mantemos a base e multiplicamos os expoentes. Logo: 1

1

det 𝐵 = 22 𝑥 2−2 Quando temos uma multiplicação entre duas potências de mesma base, mantemos a base e somamos os expoentes. Logo: 𝐝𝐞𝐭 𝑩 = 𝟐𝟎 = 𝟏 Gabarito: Letra E. 6. ESAF/CGU/2008 Genericamente, qualquer elemento de uma matriz Z pode ser representado por zij, onde "i" representa a linha e "j" a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz A = (aij), de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes X = (xij) e Y=(yij). Sabendo-se que (xij) = i1/2 e que yij = (i-j)2, então a potência dada por (a22)a12 e o determinante da matriz X são, respectivamente, iguais a: a)

e2

b)

e0

c)

e1

d) 2 e 0

e)

e0

Comentários: Usando as leis de formação das matrizes X e Y, teremos:

Com isso, chegamos a:

Dessa forma, já temos condições de calcular o valor de:

Ora, isso já seria suficiente para marcarmos a alternativa D, porém, para treinarmos, vamos calcular o determinante da matriz X. Nesse caso, a matriz X (de acordo com a sua lei de formação) será: 1 1 1 𝑋 = [√2 √2 √2] √3 √3 √3 Seguindo o procedimento que aprendemos, o determinante da matriz X será: 𝟏 𝟏 [√𝟐 √𝟐 √𝟑 √𝟑

-

-

-

𝟏 𝟏 𝟏 √𝟐] √𝟐 √𝟐 √𝟑 √𝟑 √𝟑

+

+

+ 88

det 𝑋 = (1. √2. √3) + (1. √2. √3) + (1. √2. √3) − (1. √2. √3) − (1. √2. √3) − (1. √2. √3) 𝐝𝐞𝐭 𝑿 = 𝟎 Gabarito: Letra D. 7. ESAF/CGU/2008 Qualquer elemento de uma matriz X pode ser representado por xij, onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. A partir de uma matriz A (aij), de terceira ordem, constrói-se a matriz B(bij), também de terceira ordem, dada por:

Sabendo-se que o determinante da matriz A é igual a 100, então o determinante da matriz B é igual a: a) 50

b) -50

c) 0

d) -100

e) 100

Comentários: Perceba que, para chegar à matriz B, partindo da matriz A, houve apenas uma troca entre as posições da primeira e da terceira linhas. A propriedade 6 nos diz que se trocarmos uma fila de lugar com outra paralela, o determinante muda de sinal. Assim, o determinante de B será: 𝒅𝒆𝒕 𝑩 = − 𝒅𝒆𝒕 𝑨 = −𝟏𝟎𝟎 Gabarito: Letra D. 8. ESAF/STN/2000 Uma matriz quadrada X de terceira ordem possui determinante igual a 3. Sabendo-se que a matriz Z é a transposta da matriz X, então a matriz Y = 3 Z tem determinante igual a a) 1/3

b) 3

c) 9

d) 27 e) 81

Comentários: A propriedade 4 dos determinantes afirma que o determinante de uma matriz é igual ao de sua transposta: det A = det (At) Logo, a matriz Z tem determinante igual ao determinante de X: det 𝑍 = det 𝑋 = 3 Por sua vez, a matriz Y é igual a: 𝑌 = 3𝑍 Além disso, de acordo com a propriedade 8, temos: det 𝑌 = 3𝑛 𝑥 det 𝑍

89

Visto que as matrizes são de 3ª ordem, teremos: det 𝑌 = 33 𝑥 det 𝑍 ⟹ det 𝑌 = 27 𝑥 3 = 81 Gabarito: Letra E. Observação: O gabarito oficial da ESAF foi a letra D. No entanto, não vimos motivo para tal entendimento, nem ninguém entendeu na época. 9. ESAF/MF/2009 Seja uma matriz quadrada 4 por 4. Se multiplicarmos os elementos da segunda linha da matriz por 2 e dividirmos os elementos da terceira linha da matriz por -3, o determinante da matriz fica: a) Multiplicado por -1. b) Multiplicado por -16/81. c) Multiplicado por 2/3. d) Multiplicado por 16/81. e) Multiplicado por -2/3. Comentários: De acordo com a propriedade 7 dos determinantes, sabemos que se multiplicarmos uma fila por um número k, o determinante também é multiplicado por k. Visto que o enunciado afirma que os elementos da segunda linha da matriz são multiplicados por 2, então o determinante fica dobrado. Assim, se D0 for o determinante inicial e D1 for o determinante após efetuada essa operação, temos: 𝐷1 = 2 × 𝐷0 Em seguida, a questão diz que os elementos da terceira linha da matriz são divididos por -3 (ou: multiplicase por -1/3), resultando no determinante D2. Daí: 1 1 𝟐 𝑫𝟐 = − × 𝐷1 = − × 2 × 𝐷0 = − × 𝑫𝟎 3 3 𝟑 Logo, em relação ao determinante original, houve uma multiplicação por -2/3. Gabarito: Letra E. 10. ESAF/MF/2012 2 3 2 4 Dadas as matrizes 𝐴 = [ ]e𝐵 =[ ], calcule o determinante do produto A . B. 1 3 1 3 a) 8 b) 12 c) 9 d) 15 e) 6 Comentários: De acordo com a propriedade 9 (Teorema de Binet), sabemos que o determinante da multiplicação de matrizes é a multiplicação dos determinantes: det (A.B) = det A . det B Cálculo do determinante de A: 𝐝𝐞𝐭 𝑨 = 2 × 3 − 3 × 1 = 𝟑

90

Cálculo do determinante de B: 𝐝𝐞𝐭 𝑩 = 2 × 3 − 4 × 1 = 𝟐 Logo: 𝐝𝐞𝐭(𝑨. 𝑩) = 𝟑 × 𝟐 = 𝟔 Gabarito: Letra E. 11. FJG/Pref RJ/2002 O valor do determinante

é: a) – 40 b) – 30 c) – 20 d) - 10 Comentários: O enunciado é bem sucinto, exigindo de nós o cálculo do determinante de uma matriz de 4ª ordem. Nesse caso, recorreremos ao Teorema de Laplace. 1º passo: escolher uma fila, de preferência a que tiver mais zeros. Vamos escolher a 2ª coluna, pois é a que tem mais zeros. É claro que poderia ser qualquer outra, mas essa opção facilitará a nossa vida. 2º passo: multiplicar cada elemento dessa fila pelo seu respectivo cofator. O elemento a12 multiplicado pelo seu cofator resulta: 0 × 𝐴12 = 0 De modo similar, o elemento a22 multiplicado pelo seu cofator resulta: 0 × 𝐴22 = 0 Por sua vez, o elemento a32 multiplicado pelo seu cofator resulta: 5 × 𝐴32 = 5 × (−1)3+2 . 𝑀32 Em que M32 é o Menor Complementar do elemento a32, correspondendo ao determinante que se obtém suprimindo a 3ª linha e a 2ª coluna: 4 2 𝑀32 = [ 4 6 −2 3

−1 0] 2 91

𝑀34 = 8 Voltando ao cálculo, teremos: 5 × (−1)5 × 8 = −𝟒𝟎 Finalizando, o elemento a42 multiplicado pelo seu cofator resulta: 0 × 𝐴42 = 0 3º passo: o determinante da matriz A é a SOMA dos valores encontrados no 2º passo: 𝒅𝒆𝒕 𝑨 = 0 + 0 + (−40) + 0 = −𝟒𝟎 Gabarito: Letra A. 12. ESAF/SEFAZ-PI/2001 Se o sistema formado pelas equações: {

𝑝𝑦 + 𝑥 = 4 𝑦−𝑥 =𝑞

tem infinitas soluções, então o produto dos parâmetros “p” e “q” é igual a: a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 10 Comentários: Vamos reescrever o sistema apenas para que as incógnitas x e y fiquem na sequência a que estamos acostumados: {

𝑥 + 𝑝𝑦 = 4 𝑥 − 𝑦 = −𝑞

Lembre que para um sistema ter infinitas soluções, ele precisa ser possível e indeterminado. E, para que isso ocorra, é necessário que: D = Dx = Dy = 0 Vamos, então, calcular os determinantes relacionados a este sistema: 𝑥 4 1 𝑝 [ ] . [𝑦 ] = [ ] −𝑞 1 −1 𝑫 = −𝟏 − 𝒑 𝑫𝒙 = −𝟒 + 𝒑𝒒 𝑫𝒚 = −𝒒 − 𝟒 Igualando esses três resultados a zero, obteremos: 0 = −1 − 𝑝 → 𝒑 = −𝟏 0 = −4 + 𝑝𝑞 → 𝑝𝑞 = 4

92

0 = −𝑞 − 4 → 𝒒 = −𝟒 Gabarito: Letra A. 13. ESAF/MPU/2004 𝒂𝒙 − 𝒚 = 𝟎 Com relação ao sistema { de incógnitas x e y, é correto afirmar que o sistema 𝒙 + 𝟐𝒂 = 𝟎 a) tem somente a solução trivial para todo valor de a. b) tem solução não trivial para dois e somente dois valores distintos de a. c) tem solução não trivial para um único valor real de a. d) tem solução não trivial para uma infinidade de valores de a. e) é impossível para qualquer valor real de a. Comentários: Da segunda equação já concluímos que: 𝒙 = −𝟐𝒂 Substituindo esse valor na primeira equação, obtemos:

Portanto, o sistema possui solução não-trivial para uma infinidade de valores de a. Gabarito: Letra D. 14. ESAF/MPU/2004 Um sistema de equações lineares é chamado “possível” ou “compatível” quando admite pelo menos uma solução; é chamado de “determinado” quando a solução for única, e é chamado de “indeterminado” quando houver infinitas soluções.

Assim, sobre o sistema formado pelas equações em que a e b são as incógnitas, é correto afirmar que a) se m≠0 e a=2, qualquer valor de b satisfaz o sistema. b) se m=0, o sistema é impossível. c) se m=6, o sistema é indeterminado. d) se m≠0 e a≠2, qualquer valor de b satisfaz o sistema. e) se m≠0 e m≠6, o sistema é possível e determinado. Comentários:

93

A matriz incompleta do sistema é formada pelos coeficientes das incógnitas a e b: [

𝑚 2

3𝑚 ] 𝑚

O determinante da matriz incompleta será: 𝒅𝒆𝒕 = 𝑚2 − 6𝑚 As matrizes da incógnita a e da incógnita b são obtidas a partir da matriz incompleta, substituindo a coluna dos coeficientes da incógnita a qual se está construindo a matriz pelos termos independentes do sistema: 0 3𝑚 ] → 𝐷𝑎 = −12𝑚 4 𝑚 𝑚 0 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑏 = [ ] → 𝐷𝑏 = 4𝑚 2 4 Um primeiro caso que devemos considerar é quando o determinante da matriz incompleta é igual a 0. Vejamos o que ocorre nessa situação: 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑎 = [

𝑫=𝟎 𝑚2 − 6𝑚 = 0 −(−6) ± √(−6)2 − 4.1.0 𝑚= 2.1 6±6 𝑚= 2 𝒎 = 𝟔 𝒐𝒖 𝒎 = 𝟎 Assim, quando m ≠ 6 e m ≠ 0 teremos que o sistema é possível e determinado. Gabarito: Letra E. 15. FGV/Paulínia/2016 3𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 + 𝑑 No sistema linear { 𝑎 + 𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 3𝑑

= 43 = 39 o valor de a é = 35 = 33

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 Comentários: Inicialmente, somamos todas as equações:

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Podemos dividir cada termo por 6: a + b + c + d = 25 Agora, subtraímos essa equação da primeira equação:

Dividimos cada termo por 2, obtemos a = 9. Gabarito: Letra E. 16. FUNDATEC/SEFAZ-RS/2014 2 1 1 2 0 Sendo 𝐴 = [3 1 ], o cofator do elemento a23 da matriz transposta de A multiplicado 2 ]e𝐵 = [ 4 −3 1 −1 −1 pelo determinante da matriz inversa de B corresponde a: a) -3 b) 1/6 c) 1/4 d) 1/2 e) 2 Comentários: Vamos chamar de At a matriz transposta de A: 2 3 1 𝐴𝑡 = [1 1 −1] 1 2 −1 Por sua vez, o cofator do elemento a23 da matriz transposta de A é: 𝑨𝟐𝟑 = (−𝟏)𝟐+𝟑 𝑴𝟐𝟑 Em que M23 é o Menor Complementar do elemento a23, correspondendo ao determinante que se obtém suprimindo a 2ª linha e a 3ª coluna: 2 3 𝑀23 = [ ] 1 2 𝑀23 = 1 Voltando ao cálculo, teremos: (−1)5 . 1 = −𝟏 Já o determinante da matriz inversa de B, de acordo com a propriedade 10, é: 95

det(𝐵 −1 ) =

1 det 𝐵

Vamos calcular o determinante da matriz B: 𝐝𝐞𝐭 𝑩 = 2 𝑥 (−3) − 0 𝑥 4 = −𝟔 𝟏 𝟔 O nosso objetivo consiste em obter o produto entre o cofator do elemento a23 da matriz transposta de A e o determinante da matriz inversa de B: 𝐝𝐞𝐭(𝐁 −𝟏 ) = −

1 𝟏 𝑨𝟐𝟑 𝒙 𝐝𝐞𝐭(𝑩−𝟏 ) = (−1) 𝑥 (− ) = 6 𝟔 Gabarito: Letra B.

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LISTA DE QUESTÕES COMPLEMENTARES 1. FCC/TRT 11/2017 Sejam A e B duas matrizes quadradas de ordem 2 em que 2 𝑛2 ] e 𝐵 = [3𝑚 − 2 2𝑛] 𝐴 = [ 2𝑚 2 −5 5𝑛 𝑚 − 6𝑚 𝑛 + 6 Se A = B, então considerando os valores reais de m e n que tornam verdadeira esta igualdade, verifica-se que mn é igual a

a) 3 b) 4 c) 2 d) 6 e) 1

2. FCC/TRT 11/2017 Se A é uma matriz quadrada de ordem 2 tal que 𝐴 = [ transposta de A é igual a

1 3 ], então o determinante da inversa da matriz 2 1

a) −0,20 b) −0,40 c) −0,25 d) −0,50 e) −1,00

3. ESAF/CGU/2001 A matriz S = sij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B=(bij). Sabendo-se que (aij ) = i2 +j2 e que bij = 2.i.j, então: a soma dos elementos s31 e s13 é igual a: a) 12 b) 14 c) 16 d) 24 e) 32

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4. ESAF/CGU/2002 De forma generalizada, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por m ij, onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz S = s ij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma entre as matrizes A = (aij) e B = (bij), ou seja, S = A + B. Sabendo-se que (aij) = i2 + j2 e que bij = (i + j)2, então a soma dos elementos da primeira linha da matriz S é igual a: a) 17 b) 29 c) 34 d) 46 e) 58

5. ESAF/SEFAZ-MG/2005 Considere duas matrizes de segunda ordem, A e B, sendo que B = 21/4 x A. Sabendo que o determinante de A é igual a 2-1/2, então o determinante da matriz B é igual a: a) 21/2 b) 2 c) 2 -1/4 d) 2 -1/2 e) 1

6. ESAF/CGU/2008 Genericamente, qualquer elemento de uma matriz Z pode ser representado por zij, onde "i" representa a linha e "j" a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz A = (aij), de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes X = (xij) e Y=(yij). Sabendo-se que (xij) = i1/2 e que yij = (i-j)2, então a potência dada por (a22)a12 e o determinante da matriz X são, respectivamente, iguais a: a)

e2

b)

e0

c)

e1

d) 2 e 0 e)

e0

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7. ESAF/CGU/2008 Qualquer elemento de uma matriz X pode ser representado por xij, onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. A partir de uma matriz A (aij), de terceira ordem, constrói-se a matriz B(bij), também de terceira ordem, dada por:

Sabendo-se que o determinante da matriz A é igual a 100, então o determinante da matriz B é igual a: a) 50 b) -50 c) 0 d) -100 e) 100

8. ESAF/STN/2000 Uma matriz quadrada X de terceira ordem possui determinante igual a 3. Sabendo-se que a matriz Z é a transposta da matriz X, então a matriz Y = 3 Z tem determinante igual a a) 1/3

b) 3

c) 9

d) 27 e) 81

9. ESAF/MF/2009 Seja uma matriz quadrada 4 por 4. Se multiplicarmos os elementos da segunda linha da matriz por 2 e dividirmos os elementos da terceira linha da matriz por -3, o determinante da matriz fica: a) Multiplicado por -1. b) Multiplicado por -16/81. c) Multiplicado por 2/3. d) Multiplicado por 16/81. e) Multiplicado por -2/3.

10. ESAF/MF/2012 2 Dadas as matrizes 𝐴 = [ 1 a) 8

3 2 4 ]e𝐵 =[ ], calcule o determinante do produto A . B. 3 1 3

b) 12 c) 9

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d) 15 e) 6

11. FJG/Pref RJ/2002 O valor do determinante

é: a) – 40 b) – 30 c) – 20 d) - 10

12. ESAF/SEFAZ-PI/2001 Se o sistema formado pelas equações: {

𝑝𝑦 + 𝑥 = 4 𝑦−𝑥 =𝑞

tem infinitas soluções, então o produto dos parâmetros “p” e “q” é igual a: a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 10

13. ESAF/MPU/2004 𝒂𝒙 − 𝒚 = 𝟎 Com relação ao sistema { de incógnitas x e y, é correto afirmar que o sistema 𝒙 + 𝟐𝒂 = 𝟎 a) tem somente a solução trivial para todo valor de a. b) tem solução não trivial para dois e somente dois valores distintos de a. c) tem solução não trivial para um único valor real de a. d) tem solução não trivial para uma infinidade de valores de a. e) é impossível para qualquer valor real de a.

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14. ESAF/MPU/2004 Um sistema de equações lineares é chamado “possível” ou “compatível” quando admite pelo menos uma solução; é chamado de “determinado” quando a solução for única, e é chamado de “indeterminado” quando houver infinitas soluções.

Assim, sobre o sistema formado pelas equações em que a e b são as incógnitas, é correto afirmar que a) se m≠0 e a=2, qualquer valor de b satisfaz o sistema. b) se m=0, o sistema é impossível. c) se m=6, o sistema é indeterminado. d) se m≠0 e a≠2, qualquer valor de b satisfaz o sistema. e) se m≠0 e m≠6, o sistema é possível e determinado.

15. FGV/Paulínia/2016 3𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 + 𝑑 No sistema linear { 𝑎 + 𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 3𝑑

= 43 = 39 o valor de a é = 35 = 33

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

16. FUNDATEC/SEFAZ-RS/2014 2 1 1 2 0 Sendo 𝐴 = [3 1 ], o cofator do elemento a23 da matriz transposta de A multiplicado 2 ]e𝐵 = [ 4 −3 1 −1 −1 pelo determinante da matriz inversa de B corresponde a: a) -3 b) 1/6 c) 1/4 d) 1/2 e) 2

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GABARITO QUESTÕES COMPLEMENTARES 1. 2. 3. 4. 5. 6.

LETRA C. LETRA A. LETRA E. LETRA D. LETRA E. LETRA D.

7. LETRA D. 8. LETRA E. 9. LETRA E. 10. LETRA E. 11. LETRA A. 12. LETRA A.

13. LETRA D. 14. LETRA E. 15. LETRA E. 16. LETRA B.

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