Relacoes e Funcoes Algebricas

SAVE OFFLINE

MATEMÁTICA Relações

e

Funções Algébricas

01. Qual é o par ordenado que representa cada um dos pontos do gráfico?

C

A → (3; 1) F → (–2; –2)

B

D

1

E –2 –4 –3

–1 F –3 G

 B → 0;

4 3 2 J 1

A I

4 x

–1 2 3 –2

7   H → (4, –3) 2

 D → −4; 

5  3     I →  2 ; 0 2

–4

Resolução:

a) (2; –3)

y

3

   3 ; − 1  c)  2 

(– d)

 −7   G → 0; 2 

 −5 ; C →  2

5   ; − 4 b)  2



5   2

E → (–3; 0) J → (0; 0)

H

02. Represente graficamente os pontos:

Resolução:

y

A → B → C → D → E → F → G → H → I → J →

1

2; 0)

1

e) (0; –p)

  −2; − 7  f)  3   3   ; 2 g)  2   3   ; 0 h)  2 

(–3; i)

3)

j) (0; –

2)

G

2

I

D –4

–3

–2

H –1

1 –1

C

2

3

4

x

J –2 F –3 –4

E

A B

matcol0210-R

CPV

MATEMÁTICA

2 03. Determine o valor de a sabendo que P [a . (4 + a); 3 . (1 + a)]



tem a abscissa igual à metade da ordenada. Diga em qual quadrante se localiza o ponto P.

Resolução: Se a abscissa é igual à metade da ordenada, então: a (4 + a) =

3(1 + a ) 2

Þ

8a + 2a2 = 3 + 3a

a1 = 1/2 Þ 2a2 + 5a – 3 = 0 Þ a2 = – 3 Se a =

9  P =  4 ;

1 então 2

Se a = – 3

04. São dados os pontos A (2a + b; 1 – b) e B (2; –3). Se A º B então determine o valor de (a + b) . (a – b).



9  o  2  está no 1 quadrante.

P = (– 3; – 6) está no 3o quadrante.

então

Resolução: 2a + b = 2 cuja solução é Se A ≡ B então   1 − b = − 3

a = −1  b = 4

Logo (a + b) (a – b) = a2 – b2 = 1 – 16 = – 15

 a + 2 1 − a  ; 05. Represente o ponto – P   em um gráfico,  3 2  sabendo que suas coordenadas são simétricas.

Resolução: Se as coordenadas são simétricas então: a+ 2 1− a =− 3 2

Þ

2a + 4 = – 3 + 3a

Þ

a = 7

Logo P = (3; – 3) e seu gráfico é: 3

–3

06. Sendo A = {1; 2}, B = {4} e C = {0; 2; 4}, escreva os conjuntos:

Resolução: a) {(1; 4), (2; 4)}

a) A x B

b) {(4; 0), (4; 2), (4; 4)}

b) B x C

c) {(0; 1), (0; 2), (2; 1), (2; 2), (4; 1), (4; 2)}

c) C x A d) A x A = A2

d) {(1; 1), (1; 2), (2; 1), (2; 2)}

e) B x B = B2

e) {(4; 4)}

f) C x C =

CPV

matcol0210-R

P

C2

f) {(0; 0), (0; 2), (0; 4), (2; 0), (2; 2), (2; 4), (4; 0), (4; 2), (4; 4)}

MATEMÁTICA 07. Sendo A = {3}, B = {2; 3} e C = {1; 2; 3}, represente graficamente os produtos:

a) A x C

3

Resolução: a) b) 3 3 2

2

b) B x B

1

c) C x B d) A x A f) C x C

3

2

3

e) B x A

c) d) 3

3

2

1

2

3

3

e) f) 3

3 2 1

2

08. Dados A = {x Î  / –2 £ x £ 3} e B = {y Î  / 1 £ y < 3} faça o gráfico de:

a) A x B

3

1

3

2

Resolução: a) b) 3

3

b) A x A c) B x A d) B x B

1 3

–2

3

–2 –2

c) d) 3

3 1 1

3

1

3

–2

matcol0210-R

CPV

MATEMÁTICA

4 09. Dados os conjuntos:

Resolução:



A = {x Î  / –4 < x £ 8}



B= x∈ /



C = {x Î  / –4 £ x < 4}



determine as relações:

{

Os conjuntos são:

}

A = {– 3; – 2; – 1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} B = {0; 2; – 2; 4; – 4; 6; – 6; 8; – 8; 10; – 10; 12; – 12} C = {– 4; – 3; – 2; – 1; 0; 1; 2; 3}

x ∈  ∧ x ≤ 12 2

e as relações são:



a) R: A → B / y =

x2



b) R: B → C / y =

x-2 4



c) R: C → A / y =

2x − 1 x +1

a) R = {(– 3; 8), (– 2; 0), (– 1; – 6), (0; – 10), (1; – 12), (2; – 12), (3; – 10), (4; – 6), (5; 0), (6; 8)}

– 3x – 10

b) R = {(– 2; – 1), (2; 0), (6; 1), (– 6; – 2), (10; 2), (– 10; – 3)} c) R = {(– 4; 3), (– 2; 5), (0; – 1), (2; 1)}

10. Dados os intervalos A = [–1; 5] e B = [–7; 5] represente graficamente:

a) R = { (x; y) Î A x B / y = 3 – 2x }

Resolução:

b) R = { (x; y) Î B x A / y £ x } Resolução:

5 5

5

–1

–7

–1

5

–7

11. Dados os conjuntos:

Resolução: Os conjuntos são:



A = {x Î  / –4 < x £ 8}



B= x∈ /



C = {x Î  / –4 £ x < 4}



determine as relações:



a) R: A → A / y = x3

a) R = {(– 1; – 1), (0; 0), (1; 1), (2; 8)}



b) R: B → B / y = | x + 2 |

b) R = {(0; 2), (2; 4), (– 2; 0), (4; 6), (– 4; 2), (6; 8), (– 6; 4), (8; 10), (– 8; 6), (10; 12), (– 10; 8), (– 12; 10)}



c) R: C → C / y =

CPV

{

matcol0210-R

}

x ∈  ∧ x ≤ 12 2

4 x

A = {– 3; – 2; – 1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} B = {0; 2; – 2; 4; – 4; 6; – 6; 8; – 8; 10; – 10; 12; – 12} C = {– 4; – 3; – 2; – 1; 0; 1; 2; 3} e as relações são:

c) R = {(– 4; – 1), (– 2; – 2), (– 1; – 4), (2; 2)}

MATEMÁTICA

5

12. Dados os intervalos A = [–1; 5] e B = [–7; 5] represente graficamente:

a) R = { (x; y) Î A x A / y ³ 3 Ù x > 2 }

Resolução:

b) R = { (x; y) Î B x B / y = x2 – 4x } Resolução:

5

5 3 –1

–7 –1

–1

5

2

0

2

4

5

–4 –7

13. Dada a relação R: Z → Z / x2 + y2 = 25:

a) represente seu gráfico; b) determine seu domínio; c) determine sua imagem.



Resolução:



a) 5

14. Seja uma relação R definida pela sentença y = x2 – 4x – 5. Represente-a num gráfico nos seguintes casos em que R é uma relação de:

a) A = {x Î  / –2 £ x £ 6} em B = {y Î  / –9 £ y £ 7}



b) A = {x Î  / –2 £ x £ 6} em B = {y Î  / –9 £ y £ 7}



Resolução:

3

–5

–4 –3

y

y a) b)

4

7

7

3

4

5

1

–3 –4

2 3

4

5

1

6 x

–2 –1

2 3

4

5

6 x

–2 –1

–5

b) D = {– 5; – 4; – 3; 0; 3; 4; 5}

–5

–5

–8

–8

–9

–9

c) Im = {– 5; – 4; – 3; 0; 3; 4; 5}

O gráfico são pontos.

O gráfico é uma curva chamada parábola.

matcol0210-R

CPV

MATEMÁTICA

6

15. Sendo A = {x Î N / x ≤ 100} determine D (R) e Im(R) sendo R : A ® A / y = x2 .

Resolução: Se y = x2 então x = 0 e teremos y = 02 = 0; para x = 1, y = 12 = 1; para x = 2, y = 22 = 4;... Obviamente, os pares serão (0; 0), (1; 1), (2; 4), (3; 9), (4; 16), (5; 25), (6; 36), (7; 49), (8; 64), (9; 81), (10; 100). Para x > 10 não encontraremos y Î A. Logo D(R) = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} e Im(R) = {0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100}

16. Determine o domínio e a imagem da relação

12 R: * ® * / y = x

Resolução: Na relação y =

12 , y só será inteiro para x

x = ± 1, x = ± 2, x = ± 3, x = ± 4, x = ± 6 e x = ± 12, e valerá, respectivamente: y = ± 12, y = ± 6, y = ± 4, y = ± 3, y = ± 2 e y = ± 1 Logo D(R) = Im(R) = {± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6; ± 12}

17. Determine o domínio e a imagem da relação

 2   R = ( x , y) ∈  x  / y = x − 2  

Resolução: Note: se x = 2 então não existirá y Î .

se x ≠ 2 então sempre existirá y ≠ 0.

Logo D(R) = {x Î  / x ≠ 2} ou D(R) =  – {2} e Im(R) = {y Î  / y ≠ 0} ou Im = *

18. Sendo R :  ®  / y = 2 x - 10 uma relação real, determine D (R) e Im(R).

Resolução: Note: 2x – 10 ≥ 0 Þ com isso teremos y ≥ 0

x ≥ 5,

Logo: D(R) = {x Î  / x ≥ 5} ou

D(R) = ] – ∞; 5] e

Im(R) = {y Î  / y ≥ 0} ou Im(R) = 

CPV

matcol0210-R

MATEMÁTICA

7

19. Dadas as relações:

R = { (x; y) Î  x  / | x | + | y | = 3 }



a) faça a representação gráfica;



b) determine o domínio;



Resolução:



Resolução:

3



D(R) = {– 3; – 2; – 1; 0; 1; 2; 3}

2



D(S) = {– 12; – 6; – 4; – 3; – 2; – 1; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 12}



c) determine a imagem.



Resolução:

e

S = { (x; y) Î  x  / | x . y | = 12 }

1 –3

–2

–1

1

2

3

–1 –2 –3

R

Im (R) = {– 3; – 2; – 1; 0; 1; 2; 3} Im (S) = {– 12; – 6; – 4; – 3; – 2; – 1; 1; 2; 3; 4; 6; 12}

S

matcol0210-R

CPV

MATEMÁTICA

8

20. Construa o gráfico da relação R:  ® , definida por y = 2x + 3.

Resolução: y

3

x

-3 2

O gráfico é uma reta.

21. Quais são os pares de R: A ® B / y = x - 1 sendo A = {0; 1; 2; 5} e B = {0; 1; –1; 2; –2} ?

Resolução: Se x = 0 então y =

0 – 1 Þ $/ y Î B

Se x = 1 então y =

1–1 = 0

Se x = 2 então y =

2–1 = 1

Se x = 5 então y =

5–1 = 2

Logo R = {(1; 0), (2; 1), (5; 2)}

22. Sendo R a relação acima, escreva R–1.

Resolução: R–1 = {(0; 1), (1; 2), (2; 5)}

23. Dados A = {a Î N / a £ 5} e B = {b Î N / b £ 10 }

determine R : A ® B / y = 2x–1 e R–1.

Resolução: Se x = 0 então y = 2–1 =

1 2

e yÏB

Se x = 1 então y = 20 = 1 Se x = 2 então y = 21 = 2 Se x = 3 então y = 22 = 4 Se x = 4 então y = 23 = 8 Se x = 5 então y = 24 = 16 e y Ï B Logo R = {(1; 1), (2; 2), (3; 4), (4; 8)} R–1 = {(1; 1), (2; 2), (4; 3), (8; 4)}

CPV

matcol0210-R

MATEMÁTICA 24. Diga, justificando, se é função cada uma das relações f (x): A ® B definidas a seguir. Considere: A = {–2; 0; 1; 3; 4; 6}, B = {b Î Z / –12 £ b £ 12}

a) f (x) = 3 –2x



Resolução:



f (– 2) = 3 – 2 f (0) = 3 – 2 . f (1) = 3 – 2 . f (3) = 3 – 2 . f (4) = 3 – 2 . f (6) = 3 – 2 .



Logo, f (x) = 3 – 2x é uma função de A em B pois a cada x Î A corresponde um, e somente um, y Î B.



b) f (x) = (2 + x) . (x – 2)



Resolução:



f (– 2) = (2 – 2) f (0) = (2 + 0) . f (1) = (2 + 1) . f (3) = (2 + 3) . f (4) = (2 + 4) . f (6) = (2 + 6) .



Logo, não é função pois x = 6 não tem imagem em B.



c) f (x) =



Resolução:



−2 + 2 f (– 2) = = 0 − 2− 2



f (1) =

1+ 2 = – 3 1− 2

f (3) =

3+ 2 = 5 3− 2



f (4) =

4+ 2 = 3 4− 2

f (6) =

6+ 2 = 2 6− 2



Logo, f (x) =



pois a cada x Î A corresponde um, e somente um, y Î B.

25. Considere a relação y = 20 + 16x – 4x2. Diga, justificando, se ela é uma função quando definida em: a) NxN b) x c) x

. (– 2) = 7 0 = 3 1 = 1 3 = –3 4 = –5 6 = –9

Resolução:

a) b) c)

. (– 2 – 2) = 0 (0 – 2) = – 4 (1 – 2) = – 3 (3 – 2) = 5 (4 – 2) = 12 (6 – 2) = 32 (y = 32 não existe em B)

x+2 x−2

9

Não é função, pois para x = 6 (por exemplo) temos y = 20 + 96 – 144 = – 28 que não é natural. É função, pois cada x Î Z tem uma única imagem y Î Z. É função, pois cada x Î  tem uma única imagem y Î .

26. A relação f: N* ® N* / y =

x3 - x é função? Justifique. x



Resolução:



Não. Note que para x = 1 temos y = 0 que não pertence a N*.

27. A relação y = 8 – x, definida em  x , é uma função? Justifique.

Resolução:



Não. Note que para x > 8 temos y < 0 que não são naturais.

28. A relação y = 10 – 3x, definida em  x , é uma função? Justifique. 0+ 2 f (0) = = –1 0− 2

x+ 2 é uma função de A em B x− 2



Resolução:



Sim. A cada x Î Z corresponde um único y Î Z.

29. A função f (x) = 2x – x2 é definida para quais valores de  x ?

Resolução:



É definida para {x Î N / x ≠ 3} pois f (3) = 23 – 32 = – 1 não pertence aos naturais.

matcol0210-R

CPV

MATEMÁTICA

10

30. Determine o domínio de cada uma das funções reais abaixo:

Resolução: a) D = 

a) f (x) = 2x

b) D = {x Î  / x ≠ 2}



2 x-2 c) f (x) = | x |

c) D = 



d) f (x) =

x–2

e) D = 



e) f (x) = –x2



f) f (x) =



g) f (x) = 2 – 3x



h) f (x) = x2 – 4



i) f (x) =



j) f (x) = 2x



b) f (x) =

d) D = {x Î  / x ≥ 2} f) D =  g) D = 

x2 + 2

h) D =  i) D = {x Î  / x ≤ 0} j) D = 

–2x

31. Seja a função real, assim definida:  3, se x < − 2  f ( x ) = −x , se − 2 ≤ x ≤ 1   x 2 , se x ≥ 1 

Então, determine o valor de:



a) f (1) . f (–4)



b) f (0) –2 . f (2)



c) f (3) : f (–3)



d) f [ f (–1) ]

Resolução: a) f (1) . f (– 4) = 12 . 3 = 3 b) f (0) – 2 . f (2) = – 0 – 2 . 22 = – 8 c) f (3) : f (– 3) = 32 : 3 = 3 d) f [f (– 1)] = f [– (– 1)] = f [1] = 12 = 1

32. Construa o gráfico das funções: a) f (x) = 2



b) f (x) = –2x





Resolução:

Resolução:

y

y

2

2

0

x

0

–1

–2

CPV

matcol0210-R

1

x

MATEMÁTICA

11



c) f (x) = 6x – x2



f) f (x) = | 2x – 5 |



Resolução:



Resolução:

y

y 9 8

5 3

5

1 0 3

0

x

6

1

2

3

x

4

–7



d) f (x) = 2x



Resolução:



g) f (x) = x2 – 6x + 5



Resolução: y

5

y 8 0

3

1

5

x

4 –4

2 1 –3

–2

0

–1

2

1



e) f (x) = x2 – 4



Resolução:

3

x



x+4 h) f (x) = 2 − x



Resolução:

y

2

y 5

–4

●

●0

●

assíntotas

● 2 x

–1

● ●

–2

0

2

x

● ●

–4

matcol0210-R

CPV

MATEMÁTICA

12

i) f (x) = x3 + x2 – 9x – 9



Resolução:

y

●

–3

●



j) f (x) =



Resolução:

25 - x 2

3

0

–1●

–9

●3

●

x

–15 –16

●

3

–5 –4 –3

0

●

●

●

y 5 ● 4

● ●

3

4

● 5

●

Observação: As curvas obtidas apresentam os seguintes nomes:

a) reta paralela ao eixo x b) reta passando pela origem c) parábola d) exponencial e) parábola f) par de retas concorrentes g) parábola h) hipérbole i) parábola cúbica j) semielipse (esta, em particular, uma semicircunferência, pois os focos coincidem)

33. Determine o domínio e a imagem das funções do exercício 32.

Resolução: a) D =  e Im = {2} b) D =  e Im =  c) D =  e Im = {y Î  / y ≤ 9} d) D =  e Im = +* e) D =  e Im = {y Î  / y ≥ – 4} f) D =  e Im = + g) D =  e Im = {y Î  / y ≥ – 4} h) D = {x Î  / x ≠ 2} e Im = {y Î  / y ≠ – 1} i) D =  e Im =  j) D = [– 5; 5] e Im = [0; 5]

CPV

matcol0210-R

x