4422-MSG09-T Áreas y Volumen Conos y Pirámides (7%)

SAVE OFFLINE

MATEMÁTICA MSG09-T

Eje Temático: G E O M E T R Í A Unidad: ÁREAS Y VOLUMENES CONOS Y PIRÁMIDES

Material Segundo Año Enseñanza Media

2

CONCEPTO 1 CONO RECTO

A

Es el sólido generado al rotar un triángulo rectángulo en torno a uno de sus catetos

A = vértice o cúspide g = generatriz

g

h

OB = r = radio basal

Observación: El triángulo AOB es rectángulo, luego se cumple: g2 = r2 + h2

h= C(O, r) altura = base circular

r

B

O

h = altura

ÁREA CONO RECTO g

Es la suma del área de la base y el área del manto.

CONO

2r

Área Basal : r2 Área Manto : rg Área Total : r2 + rg

r

EJEMPLO DESARROLLADO

El área total de un cono de radio basal 5 cm y altura mide 12 cm es Solución: Primero se debe calcular g g2 = r2 + h2 g2 = 52 + 122 g2 = 25 + 144 g2 = 169 / g = 13

Segundo se reemplaza en la fórmula: Área Total = r2 + rg = 52 + 513 = 25 + 65 = 90

01

02

Si la generatriz de un cono mide 37 cm y el radio mide 12 cm, entonces la altura mide A) B) C) D) E)

¿Cuál es el área total de un cono recto, si la altura mide 15 cm y la generatriz mide 17 cm?

25 cm 1513 cm 45 cm 35 cm 36 cm

A) B) C) D) E)

3

200 184 144 100 72

    

cm2 cm2 cm2 cm2 cm2

CONCEPTO 2 VOLUMEN CONO RECTO

A

Es un tercio del producto entre el área basal y su altura.

Volumen =

A = vértice o cúspide

r  h

g = generatriz

g

h

2

OB = r = radio basal

3 r

O

h= C(O, r) altura = base circular

B h = altura

EJEMPLO DESARROLLADO

La figura muestra un cono recto, de acuerdo a los datos, ¿cuál es el volumen? Solución: Se debe calcular la altura: h2 + 32 = 52 h2 = 25 – 9 h2 = 16 / h= 4

3 cm

Con la altura volumen:

V

determina

el

  r2  h   32  4   12 cm3 3 3

Si el área basal de un cilindro recto es 4 cm2 y la altura es el triple del radio, entonces el volumen del cilindro es

¿Cuál es el volumen de cono cuya altura y radio basal miden 3 cm cada uno? A)

3 cm3 6 cm3 9 cm3 27 cm3 Se requiere información adicional

A) B) C) D) E)

4 A)

se

02

01

A) B) C) D) E)

5 cm

8 cm3 12 cm3 24 cm3 48 cm3 96 cm3

CONCEPTO 3 PIRÁMIDE

A

Pirámide de base cuadrada La base es un cuadrado y sus caras son cuatro triángulos isósceles. FORMA ÁREA VOLUMEN Área TotalNOMBRE = 2ag + a2 1 2 Volumen Pirámide = a ·h 3 2 1 2 PIRÁMIDE RECTA Pirámide de altura h con base no cuadrada2ag + a a ·h BASE CUADRADA = apotema 3 Área Total = suma de las caras + área base g 1 lateral Volumen Pirámide =  área base · h 3

g

h

a a A : vértice o cúspide g: apotema lateral a: lado h: altura

EJEMPLO DESARROLLADO

A

Para la pirámide de base cuadrada de la figura adjunta, el lado mide 8 cm, y su altura mide 10 cm, entonces la apotema lateral mide

h

g a

Solución: 2

 a Se debe calcular la apotema aplicando el teorema de Pitágoras: h2     g2 2

a

2

8 102     g2  102  42  g2  100  16  g2  116  g2 , entonces g  116 . 2

02

01 20a2 El volumen de una pirámide es cm3 y el 3 A) perímetro de su base cuadrada es 8a cm. ¿Cuál es la longitud de la altura de dicha pirámide?

Una pirámide de base hexagonal regular, cuyos lados miden 3 cm, y con una altura de 12 cm tiene un volumen

5 A) cm 4 B) 2 cm C) 4 cm D) 5 cm E) 10 cm

5 A)

A)

162 3 cm3

B)

54 3 cm3

C)

96 3 cm3

D) E)

27 3 cm3 16 cm3

EJERCICIOS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE 01

02

Si la generatriz de un cono mide 8 cm y su radio basal es 5 cm, entonces su área total mide

¿Cuál es el volumen de un cono cuya altura mide 10 cm y el radio 6 cm?

A) 45 cm2 B) 40 cm2 C) 65 cm2 D) 130 cm2 E) Otro valor

A) 0,12 cm3 B) 1,2 cm3 C) 12 cm3 D) 120 cm3 E) 240 cm3

03

04

Si el área lateral de un cono es 135 cm2 y su generatriz es 15 cm, entonces el área basal es

Una pirámide de base cuadrada de lado 6 cm con una altura de 15 cm, tiene un volumen de

A) 9 cm2 B) 3 cm2 C) 18 cm2 D) 27 cm2 E) 81 cm2

A) B) C) D) E)

6

180 cm3 150 cm3 540 cm3 150 cm3 10 cm3

06

05

Para una pirámide de base cuadrada de lado 6 cm con una altura de 15 cm, su apotema lateral mide

¿Cuál es el área total de una pirámide de base cuadrada de lado 6 cm con una altura de 15 cm?

A) 3 29 cm

A) 36  36 26 cm2

B)

B) 36  36 29 cm2

230 cm

C) 3 26 cm D) 4 cm E) 16 cm

C) 36  9 26 cm2 D) 36 26 cm2 E) 36  72 29 cm2

07

08

El radio basal y la altura de un cono recto miden respectivamente, 5 cm y 12 cm. ¿Cuál es el área del manto de este cono?

Se desea pintar el manto de dos conos de tránsito iguales. Sus radios basales miden 12 cm y sus generatrices miden 45 cm. ¿Cuál es la superficie a pintar?

A) 65 cm2 B) 90 cm2 C) 180 cm2 D) 200 cm2 E) 270 cm2

A) 540 cm2 B) 1.080 cm2 C) 270 cm2 D) 540 cm2 E) 2.160 cm2

7

09

10

Si el radio basal de un cono recto aumenta en un 20% y su altura disminuye en 10%, entonces su volumen aumenta en

En la figura radio mide completo es cónica mide depósito?

A) 129,6% B) 29,6% C) 2,96% D) 0,296% E) No se puede calcular

A) B) C) D) E)

11

m3 m3 m3 m3 m3

12

Una empresa fabrica señales marítimas, las cuales tienen la forma de la figura adjunta. Si deben llenarse con un líquido especial, ¿cuántos litros de este líquido deben utilizarse para llenar 1000 señales? (Considere  =3) A) B) C) D) E)

72 144 188 288 540

se representa un depósito cuyo 12 m. La altura del estanque 24 m y la altura de la sección 9 m. ¿Cuál es área lateral del

1.782 2.916 2.480 4.379 5.346

lt lt lt lt lt

La figura muestra un lápiz que está formado por un cilindro y un cono de radio 3 mm. Si g = 5 mm, ¿cuál es el volumen del lápiz? (considere  = 3)

70 mm 18cm

9 cm

g

A) B) C) D) E)

8

1.260 1.890 1.920 1.926 1.935

mm3 mm3 mm3 mm3 mm3

13

14

Si un cono y un cilindro tienen el mismo radio e igual sus volúmenes, entonces ¿cuál(es) de las aseveraciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)

En la figura adjunta, la pirámide EFGIP está inscrita en el hexaedro regular. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

El cono y el cilindro tienen igual área lateral Ambos tienen la misma área basal La altura del cono es el triple de la altura del cilindro

I) II)

Solo I Solo II Solo I y II Solo II y III I, II y III

III)

La diferencia entre el cubo y la pirámide es volumen de la pirámide. El volumen del cubo es volumen de la pirámide. El área del cubo es tres de la pirámide.

volumen del el doble del tres veces el veces el área P

A) B) C) D) E)

15

Solo Solo Solo Solo Solo

I II I y II I y III II y III

G

I E

F

16

¿Cuál es la razón entre el volumen de un cono inscrito en una pirámide de base cuadrada y el volumen de la pirámide?

La generatriz de un cono forma un ángulo de 60° con su radio basal que mide 5 cm. Entonces, el volumen es 250 cm3 125 B) 3 cm3 3 C) 1000 cm3 100 D)  cm3 3 E) Otro valor

A) :4 B) :1 C) :2 D) 4 : 1 E) 2 : 3

A)

9

RESPUESTAS Págs.

Ejemplos

1

2

3

D

A

4

C

A

5

D

B

EJERCICIOS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE PÁGINA N° 6

1.

C

5.

C

9.

B

13.

D

2.

D

6.

A

10.

E

14.

C

3.

E

7.

A

11.

B

15.

A

4.

A

8.

B

12.

D

16.

B

10