Karen Adriana Marquez Villadiego - GUIA DE ALGEBRA 4º PERIODO

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Institución Educativa Lácides C. Bersal Guías de aprendizaje en casa

“Estudiar es un quehacer exigente en cuyo proceso se da una sucesión de dolor y placer, de sensación de victoria, de derrota, de dudas y alegría. Pero por lo mismo estudiar implica la formación de una disciplina rigurosa que forjamos en nosotros mismos, en nuestro cuerpo consciente” Paulo Freire. Grado Grupo

OCTAVO

Jornada

MAÑANA Asignatura

ALGEBRA

Fecha entrega

OCTUBRE NOVIEMBRE

Nombre del Docente GRISELDA ROBLES Competencia: Comunicación – Razonamiento – Resolución Objetivo de Aprendizaje / REALIZA FACTORIZACIONES DE BINOMIOS, TRINOMIOS Y POLINOMIOS Indicador de desempeño

Metodología: Para el desarrollo de la guía de aprendizaje, se deben tener en cuenta los siguientes aspectos: Deben trascribir las actividades en su cuaderno de algebra. Repasar cada tema junto con los ejemplos en cada uno de ellos. Después de los temas encontraran una actividad la cual deben desarrollar. La guía es para resolverla durante el mes de octubre. Las inquietudes presentadas durante el desarrollo de la guía las atenderé por medio de llamadas o por mi número personal (WhatsApp) 3106856792. Las actividades las envían por WhatsApp.

Actividades de aprendizaje Actividades de apropiación del conocimiento (conceptualización y teorización) CONCEPTO DE FACTORIZACION Factorizar un número es expresarlo como producto de dos o más factores. Por ejemplo, el número 60 se puede escribir como: 60 = 12 x 5 o 60 = 5 x 4 x 3 o 60 = 22 x 3 x 5. Luego, la factorización de un número es expresar el número como producto de factores primos. Para el caso de 60, se tiene 60 = 2 x 2 x 3 x 5. A los números que se pueden expresar como producto de factores primos diferentes a él, se les llama números compuestos. Al igual que los números compuestos, existen polinomios compuestos. Es decir, polinomios que se pueden expresar como producto de polinomios más simples. Este proceso se denomina factorización de polinomios. Factorizar un polinomio, significa descomponerlo en factores primos que son polinomio, diferentes a él. Un polinomio compuesto se define como el polinomio que se puede expresar como el producto de dos o más factores. Así, todo polinomio compuesto es divisible entre cada uno de los factores. Por ejemplo, el polinomio m2 + m – 20 se factoriza como m2 + m – 20 = (m + 5)(m - 4), por tanto m2 + m – 20 es divisible entre m + 5 y entre m – 4.

Institución Educativa Lácides C. Bersal Guías de aprendizaje en casa Todo polinomio cuyos únicos factores son el 1 y él mismo, se le llama polinomio primo. Por ejemplo, el polinomio X + Y + 5 es un polinomio primo, ya que no es posible expresarlo como el producto de dos o más polinomios, siendo sus únicos factores el número 1 y la expresión X + Y + 5. FACTORIZACION DE MONOMIOS La factorización de un monomio consiste en expresarlo como el producto de dos o más monomios. Por ejemplo, 7m4 se puede factorizar así: 7m4 = (7m).(m3) En algunos casos, un monomio puede tener más de una factorización. Por ejemplo, el monomio7m4 ; también se puede expresar como: 7m4 = (7m2).(m2) (VER VIDEO YOU TUBE) FACTOTIZACION POR FACTOR COMUN Algunos polinomios tienen una expresión común en cada uno de sus términos, esta puede ser numérica o literal (variable). A esta expresión se le denomina factor común. La factorización de un polinomio por factor común está relacionada con la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma. Por ejemplo, para factorizar el polinomio ax + ay, la variable a es el elemento común en cada uno de los términos, por lo tanto a es el factor común de los términos ax y ay. La factorización de este polinomio se expresa así: ax + ay = a(x + y) FACTOR COMUN MONOMIO El factor común monomio es el producto del máximo común divisor de los coeficientes de todos los términos por las variables comunes de todos los términos con sus respectivos exponentes mínimos. Para factorizar un polinomio por factor común monomio, es necesario realizar los siguientes pasos: Primero, se halla el factor común, considerando sus características. Segundo, se divide cada termino del polinomio dado entre el factor común extraído. Por último, se escribe el factor común y, dentro de un paréntesis, se escriben los resultados de cada división. Por ejemplo; factorizar la expresión 3x2 – 6x3 y Primero, se determina el factor común, en este caso es 3x2 ya que e3 es el mcd de 3 y 6, y x2 es la variable común con menor exponente en los dos términos del binomio. Segundo, se realizan las divisiones de cada termino entre 3x2 así: 3x2 ÷ 3x2 = 1

y - 6x3 y ÷ 3x2 = - 2xy

Por último, se escribe la factorización de los monomios así: 3x2 – 6x3 y = 3x2 (1 – 2xy) FACTOR COMUN POLINOMIO En algunas expresiones algebraicas existen factores comunes que no son monomios sino polinomios, sin embargo, el proceso de factorización es similar. Estas expresiones se caracterizan porque se puede observar en ellas, más de un elemento común en cada término que la compone. EJEMPLO: en el polinomio a(x + 1) + b(x + 1) hay dos términos separados por el signo +, a(x + 1) y b(x + 1), en el cual (x + 1) es el factor común. Para factorizar esta clase de expresiones algebraicas por factor común polinomio se realizan los siguientes pasos:  Primero, se extrae el factor común de los términos de la expresión, teniendo en cuenta que dicho factor está compuesto por más de un monomio.  Segundo, se divide cada término de la expresión dada por el factor común extraído.

Institución Educativa Lácides C. Bersal Guías de aprendizaje en casa  Tercero, se escribe la factorización de la expresión propuesta. Al realizar las divisiones respectivas entre el factor común, se obtiene: a(x + 1) ÷ (x + 1) = a y b(x + 1) ÷ (x + 1) = b De esta manera la factorización es: (x + 1) (a + b). EJEMPLOS: 1.- factorizar los siguientes polinomios por factor común monomio. a. 18p3 q4 + 3pq2 – 6p2 q3 Solución: el factor común es 3pq2 ya que 3 es el mcd de 3, 6 y 18, y pq2 es la parte literal que está presente en todos los términos del polinomio dado. Luego, la factorización del polinomio dado es: 18p3 q4 + 3pq2 – 6p2 q3 = 3pq2 (6p2q2 + 1 - 2pq) b. 2/3 m6 + 4/3 m5 Solución: el factor común es 2/3 m5 , debido a que el mcd de 2/3 y 4/3 es 2/3, y la variable común con menor exponente es m5 , que está presente en los dos términos. Las divisiones 2/3 m6 ÷ 2/3 m5 = m y 4/3 m5 ÷ 2/3 m5 = 2 Por lo tanto, la factorización de la expresión es: 2/3 m6 + 4/3 m5 = 2/3 m5 (m + 2) 2.- factorizar por factor común polinomio. a. x(y + 2) + (y + 2) En el polinomio x(y + 2) + (y + 2) el factor común polinomio es (y + 2). Por lo tanto, la factorización del polinomio es: x(y + 2) + (y + 2) = (y + 2)(x + 1). b. 5p3 r2 (x - y) + 7m2 n (x - y) – ab(x - y) En la expresión. 5p3 r2 (x - y) + 7m2 n (x - y) – ab(x - y), (x – y) es el factor común polinomio de los términos 5p3 r2 (x - y), 7m2 n (x - y) , y - ab(x - y), por tanto, la factorización de la expresión es: 5p3 r2 (x - y) + 7m2 n (x - y) – ab(x - y) = (x - y)( 5p3 r2 + 7m2 n – ab) FACTOR COMUN POR AGRUPACION DE TERMINOS En ocasiones, algunos polinomios no se pueden factorizar por factor común, sin embargo, si es posible factorizar el polinomio realizando agrupaciones iguales de términos para obtente un factor común en cada agrupación. Para factorizar un polinomio por agrupación de términos, la expresión dada debe tener las siguientes características:  El polinomio debe tener una cantidad par de términos  Al agrupar los términos deben contar con un factor común. Para realizar la factorización por agrupación de términos es necesario realizar los siguientes pasos:  Primero, se agrupan los términos que tengan factor común.  Segundo, se extrae el factor común de cada agrupación y se factoriza. Si los términos formados cuentan con un factor común polinomio, se factoriza como factor común polinomio.  Finalmente, se factoriza como factor común polinomio.

Institución Educativa Lácides C. Bersal Guías de aprendizaje en casa EJEMPLOS Factorizar los siguientes polinomios. a. am + bm + an + bn Al factorizar el polinomio am + bm + an + bn , se tiene: am + bm + an + bn = (am + an) + (bm + bn) = a(m +n) + b(m + n) = (m + n) (a +b) Por tanto, am + bm + an + bn = (m + n) (a +b).

Se agrupan los términos. Se factoriza cada paréntesis por factor común. Se factoriza por factor común polinomio.

b. 3xy – 6x + 5my – 10m El polinomio tiene una cantidad par de términos, por tanto, se pueden agrupar los términos que tienen factores comunes. 3xy – 6x + 5my – 10m = (3xy – 6x) + (5my – 10m) Se agrupan los términos = 3x(y -2) + 5m(y - 2) Se extrae el factor común de cada agrupación = (y - 2)(3x + 5m) Se factoriza por factor común polinomio. Luego, 3xy – 6x + 5my – 10m = (y - 2)(3x + 5m). FACTORIZACION DE LA DIFERENCIA DE CUADRADOS En el estudio de los productos notables se observó la suma de dos términos multiplicada por su diferencia corresponde al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término, es decir, (a + b)(a - b) = a2 – b2. Esto indica que la diferencia de dos cuadrados se puede escribir como el producto de dos factores. Para identificar cuando un binomio es la diferencia de dos cuadrados, se debe verificar que cumple las siguientes condiciones:  Debe tener dos términos, separados por el signo menos.  Los dos términos deben estar elevados al cuadrado, es decir se les puede hallar la raíz cuadrada exacta. La expresión 9x2 – 36 es un binomio que forma una diferencia de cuadrados, en él se puede observar que sus términos se encuentran separados por el signo menos y que al calcular sus raíces cuadradas resultan ser exactas. 9x2 = 3x 36 = 6 La factorización de la diferencia de cuadrados se efectúa de la siguiente manera:  Primero, se determina la raíz cuadrada de los términos del binomio.  Luego, se escribe la diferencia de cuadrados como el producto de la suma de las raíces cuadradas por la diferencia de las mismas. La diferencia de cuadrados se factoriza como la suma de las raíces cuadradas de los dos términos por la diferencia de la raíz cuadrada de los dos términos. a2 – b2 = (a + b)(a - b).

Institución Educativa Lácides C. Bersal Guías de aprendizaje en casa EJEMPLOS Factorizar los siguientes binomios. a. X4 - 81 El binomio X4 - 81 es una diferencia de cuadrados. Para su factorización se determinan las raíces cuadradas de X4 y 81, que son x2 y 9, respectivamente. Luego se escribe la suma y la diferencia entre estas raíces. La factorización es : X4 - 81 = (x2 + 9)(x2 - 9). b. 9 a2 – 16b6 Para factorizar se buscan las raíces de los dos términos y se expresa como La suma por la diferencia de las raíces cuadradas de los términos. 9a2 = 3a 16b6 = 4b3 2 La factorización es: 9 a – 16b6 = (3a + 4b3 )( 3a - 4b3)

FACTORIZACION DE LA SUMA Y LA DIFERENCIA DE CUBOS. A partir del estudio de los cocientes notables, se tiene: a 3 + b3

a3 - b3 2

2

= a2 + ab + b2

= a - ab + b 3

3

3

a +b

3

a -b

Además, como las expresiones anteriores con cocientes exactos en cada una de ellas se verifica: a 3 + b3

= (a + b) ( a2 - ab + b2 )

a 3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2 )

Es decir, la suma o la diferencia de cubos perfectos, se puede expresar como el producto de dos factores. FACTORIZACION DE LA SUMA DE CUBOS La expresión de la forma x3 + a3 se denomina suma de cubos y en ella se identifican las siguientes características:  Sus términos tienen igual signo.  Cada uno de sus términos tienen raíz cubica exacta. La suma de cubos se descompone en dos factores, el primer factor contiene la suma de las raíces cubicas de cada termino y el segundo factor es un trinomio cuyos términos son el cuadrado de la primera raíz cubica, menos el producto de las raíces cubicas, más el cuadrado de la segunda raíz cubica, es decir: x 3 + a3 = (x + a) ( x2 - xa + a2 ). EJEMPLOS Factorizar los siguientes binomios: a. m3 + 8 El binomio m3 + 8 es la suma de los cubos, esto es, m3 = m y 8 = 2. Luego, su factorización es el producto de dos factores. El primer factor contiene la suma de las raíces cubicas de los términos del binomio y el segundo factor es un trinomio cuyo primer término es el cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, más la segunda raíz al cuadrado, es decir: m3 + 8 = (m2 + 2)(m – 2m + 22).

Institución Educativa Lácides C. Bersal Guías de aprendizaje en casa b. 27x3 + 8y6z9 27x3 = 3x 8y6z9 = 2y2z3 Se extrae la raíz cubica de cada termino (3x + 2y2z3 ) (3x)2 - (3x) (2y2z3) + (2y2z3 )2 Se factoriza por suma de cubos. = (3x + 2y2z3) (9x2 – 6xy2z3 + 4y4z6) Se resuelven las operaciones. Por lo tanto 27x3 + 8y6z9 = (3x + 2y2z3 )(9x2 – 6xy2z3 + 4y4z6)

FACTORIZACION DE LA DIFERENCIA DE CUBOS La expresión de la forma x3 – a3 se llama diferencia de cubos y ella se identifican las siguientes características:  Sus términos tienen diferente signo.  A cada uno de sus términos se le puede sacar raíz cubica exacta. La diferencia de cubos se descompone en dos factores, el primer factor contiene la resta de las raíces cubicas de cada termino, el segundo factor es un trinomio cuyos términos son el cuadrado de la primera raíz cubica, más el producto de las raíces cubicas, más el cuadrado de la segunda raíz cubica, así: x 3 - a3 = (x - a) (x2 + xa + a2 ) EJEMPLOS Factorizar cada binomio a. 1 – 27r3s9 1=1 27r3s9 = 3 rs3 se extrae la raíz cubica de cada termino. Luego, el primer factor es la diferencia de las raíces cubicas (1 - 3 rs3 ). El segundo factor es el cuadrado de 1 más el producto de 1 y 3 rs3 más el cuadrado de 3 rs3. 1 – 27r3s9 = (1 - 3 rs3 ) (1 +3 rs3 + 9r2s6 ) b. m3 - 64 m3 = m (m - 4) (m2 + 4m + 42) (m - 4) (m2 + 4m + 16)

64 = 4 Se extrae la raíz cubica de cada termino. Se factoriza. Se realiza las operaciones.

FACTORIZACION DE TRINOMIO Cuando los polinomios tienen tres términos es posible factorizarlos según sean sus características. Por ello, es importante analizar como es el trinomio y factorizarlo de manera adecuada. Hay tres clases de trinomios: Los trinomios cuadrados perfectos Los trinomios de la forma x2n + bxn + c Los trinomios de la forma ax2n + bxn + c

Institución Educativa Lácides C. Bersal Guías de aprendizaje en casa FACTORIZACION DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Un trinomio ordenado con respecto a una de sus variables es un trinomio cuadrado perfecto cuando cumple con las siguientes características: El primer y el tercer términos son cuadrado perfectos, es decir, se le puede hallar la raíz cuadrada exacta. El segundo término, es el doble producto de las raíces cuadradas perfectas del primer y el tercer término. El primer y tercer términos siempre son positivos, el segundo término puede ser positivo o negativo. La factorización de un trinomio cuadrado perfecto se realiza como el cuadrado de la suma o la diferencia de dos términos. es decir, cuando el trinomio esta ordenado se factoriza asi: a. Si el segundo término es positivo, se eleva al cuadrado la suma de las raíces cuadradas del primer y tercer término. b. Si el segundo término es negativo, se eleva al cuadrado la resta de las raíces cuadradas del primer y tercer términos. La factorización de un trinomio cuadrado perfecto es: X2 + 2xy + y2 = (x + y)2 o, X2 - 2xy + y2 = (x - y)2 Por ejemplo, el polinomio ordenado 4 a2 + 4ab + b2 es un trinomio perfecto, ya que se puede hallar la raíz cuadrada de su primer y tercer término así: 4 a2 = 2a b2 = b El segundo término que es 4ab, equivale a multiplicar 2 por las raíces halladas anteriormente. Es decir: 4ab = 2. 2a . b El primer y tercer término son positivos y el segundo término es positivo. La factorización del trinomio 4 a2 + 4ab + b2 = (2 a + b)2 EJEMPLO Factorizar los siguientes trinomios si es posible. a. 9x2 - 6xy + y2 Es un trinomio cuadrado perfecto, ya que 3x y y son las raíces cuadradas del primer y tercer términos. El segundo término es 2 * 3x * y = 6xy La factorización es 9x2 - 6xy + y2 = (3x - y)2 . FACTORIZACION DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION Y SUSTRACCION En algunos trinomios para los cuales su primer y tercer términos son cuadrados perfectos y su segundo término no es el doble producto de las raíces cuadradas de estos, es posible sumar y restar un término de tal manera que el trinomio dado se convierta en un trinomio cuadrado perfecto. A este proceso se le denomina completar el cuadrados, para factorizar estos se realiza lo siguiente: Primero, se halla la raíz cuadrada del primer y tercer términos. Segundo, se multiplican por dos las raíces cuadradas obtenidas anteriormente, para determinar cuál debe ser el segundo termino de un trinomio que sea cuadrado perfecto. Luego, se busca un término semejante, de tal forma que sumado con el segundo término que tiene el trinomio dé como resultado el nuevo término para que sea trinomio cuadrado perfecto. Se suma y se resta este término semejante al trinomio dado. Después, se factoriza el trinomio cuadrado perfecto. Por último, se factoriza la diferencia de los cuadrados resultantes.

Institución Educativa Lácides C. Bersal Guías de aprendizaje en casa EJEMPLOS Encontrar el término que se debe sumar y restar a cada trinomio, para que se convierta en trinomio cuadrado perfecto. 4 a4 + 3 a2 b2 + 9b4 4 a4 = 2 a2 b4 = 3 b2 Se halla la raíz cuadrada del primer y tercer términos. 2 2 2 2 2 * (2 a ) (3 b ) = 12 a b Se halla el doble producto de las raíces. 12 a2 b2 - 3 a2 b2 = 9 a2 b2 Se halla el término que se va a sumar y restar. Por lo tanto, el término a sumar y restar es 9 a2 b2 . x4 – 6 x2 y2 + 25 y4 x 4 = x2 y4 = 5 y2 Se halla la raíz cuadrada del primer y tercer términos. 2 2 2 * (x ) (5 y ) = 10 x2 y2 Se halla el doble producto de las raíces 2 2 2 2 2 2 10 x y – (– 6 x y ) = 16 x y Se halla el término que se va a sumar y restar. Por lo tanto, el término a sumar y restar es 16 x2 y2 1. factorizar los siguientes trinomios. a. x4 + 3x2 + 4 x4 = x2 =2 2 2 2 * (x ) (2) = 4 x 4x2 – 3x2 = x2 x4 + 4x2 + 4 - x2 (x2 + 2)2 - x2 (x2 + 2) + x (x2 + 2) – x (x2 + x + 2)( x2 - x + 2)

Se halla la raíz cuadrada del primer y tercer términos Se halla el doble producto de las raíces Se halla el término que se va a sumar y restar Se suma y resta x2 Se factoriza por trinomio cuadrado perfecto. Se factoriza por diferencia de cuadrado. Se eliminan signos de agrupación y se ordena.

Institución Educativa Lácides C. Bersal Guías de aprendizaje en casa Actividades A Desarrollar

ACTIVIDAD 1. Determina cuales de los siguientes polinomios son primos o compuestos. Explica tu respuesta. a. b. c. d.

7x2 y 4x2 + y 12w3 z5 X4 – 5y

______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________

2. Escribe tres formas de factorizar cada monomio. a. b. c. d. e.

16x4 b2 8x 2y 24m3 n2 4xm 90m6 n4

3. Escribe V, si la afirmación es verdadera o F, si es falsa. Justifica tu respuesta. a. b. c. d.

No existen polinomios que tengan una expresión algebraica común. ( ) Todos los factores comunes de un polinomio son monomios. ( ) No es posible que el coeficiente de un factor común sea un número racional. ( ) Para factorizar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener una cantidad par de términos. ( )

4. Relaciona cada polinomio con su factor común. a. b. c. d. e. f.

7 x2 - 14 4 x3 - 12x2 21x5 – 35x3 - 14x2 9 x3y2 – 72 x2y3 – 54xy 5x4 y5 z3 – 100 x3 y6 z4 -6x3 y + 36x2 y2 – 42 x2 y3

1. 9xy 2. 6x2y 3. 5x2 y5 z3 4. 7 5. 4x2 6. 7x2

5. Factoriza cada expresión por agrupación de términos. a. b. c. d. e.

3x – y2 + 2y2 z – 6xz 4 m2 – 6mn – 8m + 12n x2 - 2x2 y + x2 z2 – z2 + 2z2 y - z2 y2 2 a2 c – 5 a2 d + 15bd – 6bc x 3 + x + x 2 + 1 + a2 + a 2 x 2

Institución Educativa Lácides C. Bersal Guías de aprendizaje en casa 6. Observa la figura y resuelve. a

b

c

x+1

a. Escribe el polinomio que representa el área de la figura. b. Expresa el polinomio que representa el área en forma factorizada.

7. Factoriza los siguientes polinomios. a. b. c. d.

9m + 18 3n + 15 5y + 40 4x2 + 32x

e. 2ab + 2ac + 2ad f. 10y3 – 5y2 + 10y g. 5y7 + 15y2 + 10y h. 11y - 33

8. Responde. Explica con un ejemplo. a. ¿Cómo se distinguen los trinomios cuadrados perfectos? b. ¿Cuáles son los pasos para factorizar un trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción?

9. Marca con una X que expresión corresponde a un trinomio cuadrado perfecto. a. y2 + 14y + 49 b. 81x2 – 32xy + 4y2 c. 169 + x2 - 26x d. m2 - 30m + 225 10. Realiza la factorización de cada uno de los siguientes trinomios. a. 144 + 9 a12 + 23 a6 b. Y4 + 100 – 45 y2 c. 68x8 + 74x4 + 49 d. 9 x2 + 6x + 1 e. 16 - 40m2 + 25m4

Institución Educativa Lácides C. Bersal Guías de aprendizaje en casa CONSULTA Consultar los siguientes casos de factorización. a. Los trinomios de la forma x2n + bxn + c b. Los trinomios de la forma ax2n + bxn + c

NOTA: VER LOS VIDEOS QUE APARECEN EN YOU TUBE SOBRE LOS CASOS DE FACTORIZACION. CONSULTAR EN TEXTOS (ALGEBRA DE BALDOR).

Rubrica de Evaluación / Criterio de evaluación / Forma de Evaluación  Se establecen reglas de responsabilidad en la entrega de diferentes valoraciones.  Los estudiantes entregaran las actividades desarrolladas durante el tiempo estipulado.  El docente colgará una evaluación en la página virtual Google Classroom. /WhatsApp.  Se atenderán preguntas e inquietudes de acuerdo al horario de clase.  La actividad de algebra será entregada el 16 de octubre.  Elaborar un video de 2 a 3 minutos explicando un ejemplo de cada uno de los casos de factorización que consultaron.  Entrega de la consulta y el video, 5 de noviembre.  Si las actividades las haces antes de la fecha estipulada puedes enviarlas. Nota: El horario escolar va de 7 a.m a 12. 30 pm

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