guia numero 4 __ numeros irracionales

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EJE TEMÁTICO 1: NÚMEROS

CAPÍTULO 04: IRRACIONALES Y REALES GUÍA: MM04

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ngastada GUÍA N°4

praefectus

Eggert

1) RAIZ CUADRADA

La raíz cuadrada de un número es el número no negativo que, multiplicado por sí mismo, da como resultado . Se escribe como . o

Por ejemplo, 2 es la raíz cuadrada de 4 pues , por ende . Es importante notar además que a pesar de que , no podemos decir que , ya es un número negativo. La razón por la cual siempre debe tomarse el valor positivo será justificada en el capítulo de funciones.

Las raíces cuadradas de los primeros 20 números naturales y su valor se muestran a continuación:

Notemos que los números negativos no tienen raíz cuadrada, pues ningún número multiplicado por sí mismo puede dar un número negativo, lo anterior debido a la regla de los signos. Por ejemplo, la raíz cuadrada de no existe. Podemos ver que la noción de raíz cuadrada es la inversa a la noción de elevar a 2 (o elevar al cuadrado), ya que cuando se eleva al cuadrado se tiene un número y se multiplica por sí mismo para obtener un resultado, en cambio cuando se busca la raíz cuadrada de un número , se busca el número que multiplicado por sí mismo dio como resultado . Es importante tener en cuenta que, al calcular el cuadrado de un número y luego la raíz del resultado, no siempre se obtiene el número original como se muestra en el siguiente ejemplo: o

Ejemplo:

o

Ejemplo:

De lo anterior se concluye que, si se le calcula la raíz cuadrada a un número al cuadrado, se obtendrá como resultado el valor absoluto de dicho número, la idea anterior se puede expresar como:

p.gg-g

Eggert

Nota: Invirtiendo las operaciones anteriores, es decir, si primero se calcula la raíz de un número y luego el resultado se eleva al cuadrado, se debe tener cuidado con que la expresión de la raíz se indefina, es decir no se le debe calcular la raíz a un número negativo, en los siguientes ejemplos se muestra primeramente un caso dónde no se puede calcular, pero si en el segundo.

En guías posteriores se tratará el problema de las raíces negativas y cómo estas dan origen al conjunto de los números imaginarios. 2) DEFINICIÓN DE RAÍZ ENÉSIMA. En potencias se vio que es posible calcular la potencia enésima, que consiste en elevar un número a cualquier número natural , y que para ello solo bastaba con multiplicar el mismo número cuántas veces dijese el exponente, lo que se muestra a continuación:

En raíces es posible calcular la raíz enésima de un número , escrita como , que es aquel número que si se multiplica veces da como resultado , lo que puede ser anotado de la siguiente forma:

o

Ejemplo: La raíz cuarta de

o

Ejemplo: La raíz quinta de

es es

En la expresión de raíz enésima podemos nombrar los componentes, en general si es un número natural mayor que 1 y es un número real (un número cualquiera), decimos que , entonces es la raíz enésima de , y se cumplen las siguientes dos relaciones: es la raíz enésima de Además,

se llama cantidad subradical y

es el índice de la raíz.

Nótese que la raíz cuadrada es un caso particular de la definición anterior cuando el índice de la raíz es igual a dos, por convención cuando el índice de la raíz es igual a 2 este no se anota y se subentiende que ese es su valor. Lo anterior es debido a que 2 es el menor número natural con el que tiene sentido calcular una raíz, pues si el índice fuese uno, en realidad me estaría preguntando cuál es el número que multiplicado una vez por sí mismo me daría , claramente la respuesta sería el mismo .

oppidum

BEREBERE BgEggaEBBFB_

Jtg

Otra cosa importante a tener en cuenta es que cuando el índice de una raíz no es un número par, entonces la cantidad subradical puede ser un número negativo (o cualquiera en realidad), ya que esta vez no se indefine lo anterior debido a que la regla de los signos nos dice que si multiplicamos un número una cantidad impar de veces el resultado conservará el signo del número original. o

Ejemplo:

Nota: Las raíces son nombradas según su índice enunciado como número ordinal y luego su cantidad subradical. Las únicas excepciones son las de índice 2 que son llamadas raíces cuadradas y las de índice 3 que son llamadas cúbicas, lo anterior por su estrecha relación con representaciones geométricas. Ejemplos: o o o

es la raíz quinta de cuarenta y siete. es la raíz cuadrada de dos. es la raíz cúbica se quince.

Todas las raíces que dan como resultado un número entero exacto, son llamadas raíces exactas, aquellas que no son las raíces inexactas, ejemplos de raíces exactas se muestran a continuación: o

Ejemplos:

El hallazgo de las raíces inexactas fue una contribución importante al desarrollo de las matemáticas, como veremos en la siguiente sección. Ejercicios: 1. ¿Cuánto es A) B)

?

2. El resultado de A) B) C) D) E)

C) D) E)

asgardianos

-7g szEEzgaELtgL

Jtg

3) NÚMEROS IRRACIONALES Teorema de Pitágoras y Números Irracionales El descubrimiento de los números irracionales se les debe a los miembros de la escuela Pitagórica (fundada por Pitágoras), ellos utilizaron conocimientos geométricos previos, en particular el Teorema de Pitágoras (que se estudiará con precisión en guías futuras), para encontrar medidas que no se podían dividir en una cantidad finita de líneas de largo finito. Para entender con mayor precisión la idea anterior se muestra el siguiente cuadrado, cuyos lados son de medida 1. De acuerdo con el Teorema de Pitágoras la diagonal del cuadrado puede calcularse como:

Luego de que los Pitagóricos determinaron que el tramo es igual al número que al multiplicarse por sí mismo es 2 (lo que hoy conocemos como raíz cuadrada de dos), quisieron determinar si ese valor efectivamente podía escribirse como una fracción irreductible, ya que todos los números conocidos hasta ese entonces sí podían hacerlo, pero tenían dificultades para encontrar los números y tal que se cumpliesen con ello. Lo que se buscaba se puede expresar como:

Como el numerador y denominador de la fracción que se buscaba debían ser números naturales , solo podían existir cuatro casos posibles, el primero donde ambos valores son pares, el segundo donde uno es par y el otro impar, el tercero al revés del anterior, y el cuarto dónde ambos son impares. Los Pitagóricos exploraron estos cuatro casos como sigue: Caso 1: Numerador y denominador pares.

pagasteis

-9g PREFERENTE oggEagggBgB

Eggert

En este caso ocurre que tanto el numerador como el denominador son pares, luego ambos son múltiplos de dos por ende la fracción no es irreductible, lo que es una contradicción a lo que se busca, por ende, se descarta que ambos sean pares. Caso 2: Numerador impar y denominador par.

Si esa fracción la elevamos al cuadrado, se obtiene que:

Si notamos la última igualdad se obtiene una contradicción, pues al multiplicar un número par por dos se obtiene necesariamente uno par, pero acá nos dice la igualdad que se obtendría uno impar lo que no es posible, por ende, la suposición de este caso es incorrecta y se descarta. Caso 3: Numerador par y denominador impar.

Si aplicamos el mismo razonamiento del caso anterior tenemos:

A diferencia del caso anterior la última igualdad no es una contradicción, así que no podemos concluir lo mismo, pero si nos fijamos bien en la segunda igualdad tenemos una multiplicación de dos números pares, luego como cada número par necesariamente es múltiplo de dos, la multiplicación de dos pares necesariamente es un múltiplo de cuatro, por ende, podemos escribir que:

Ahora sí de la última igualdad es claro que se llega a una contradicción, por lo que este caso también se desestima. Caso 4: Numerador impar y denominador impar.

-gEfggsggaa-g-

gegEB§gBEgBfB

33GBP

Siguiendo el procedimiento de los dos casos anteriores, elevando al cuadrado obtenemos:

Claramente la última igualdad es una contradicción por lo que la suposición original de este caso tampoco es correcta. Luego de explorar los cuatro casos anteriores los pitagóricos se dieron cuenta de que no puede existir la fracción . Se dijo entonces que era un número inconmensurable o inmedible porque no podemos tomar una unidad de medida y dividirla en partes que quepan exactamente en ella. Ya que no hay una fracción que lo represente, es un número que no pertenece a los números racionales, por lo tanto, es irracional. Posteriormente se demostraría que toda raíz cuadrada de un número natural, o bien es un número natural (raíz exacta) o necesariamente es irracional (raíz inexacta). Con el tiempo se descubrió que todas las raíces inexactas son números irracionales, algunos ejemplos de ellas son: o

Ejemplos:

Círculo, Circunferencia y el Número Pi Existen números irracionales que no pueden ser expresados con raíces inexactas, llamados números trascendentes. Uno de los más importantes es , que relaciona la medida del diámetro de una circunferencia con su perímetro, o el área de un círculo con su cuadrado circunscrito, como se muestra en la figura. El escriba Ahmes, en Egipto, estimó su valor en el papiro Rhind, que data del siglo XVI a.C. Para ello consideró un cuadrado cuyo lado mide 9 unidades, y lo dividió en 81 partes. Luego cortó esquinas de lado 3 unidades para construir un polígono de 8 lados. Se puede ver que el área del polígono corresponde a 18 cuadraditos menos que el cuadrado grande, es decir, 81 – 18 = 63 cuadraditos, y su área es un poco menor que la del círculo. Por lo tanto, Ahmes estimó que el área del círculo sería de 64 cuadraditos. Se cree que Ahmes también notó que dicha división en cuadrícula era arbitraria a las dimensiones del círculo y por ende siempre podía hacerla, por lo que concluyó que la razón entre las áreas del círculo y el cuadrado era una constante. Más aún el cuadrado circunscrito a la circunferencia podía dividirse en cuatro cuadrados más pequeño cuyo lado fuera exactamente el radio de la circunferencia (en este caso ), y dicha razón también debía ser una constante, que calculó como:

agasajos

Otras culturas, como los griegos y los chinos obtuvieron aproximaciones aún más cercanas utilizando métodos similares. Aunque tuvieron que pasar muchos años para comprender que dicha constante en realidad era un número irracional y que las razones calculadas como la de Ahmes eran solo una aproximación racional del número. Más aún luego se demostró que el área de un círculo y su radio no pueden ser ambas cantidades racionales, al menos una de ellas debe ser irracional, lo mismo pasa con el radio y el perímetro. Hoy en día las súper computadoras han sido capaces de calcular con una precisión de 10 billones de decimales, sin embargo, para matemáticas comunes su aproximación por truncamiento a los cuatro decimales es suficiente para la mayoría de las aplicaciones, dicho valor es de:

Otros dos números irracionales importantes dentro de la matemática son el número de Euler y la razón áurea , cuyos valores son y La diferencia entre ellos, aparte de su valor, es que el primero es trascendente y el segundo no. Hasta el día de hoy más números irracionales se descubren (trascendentes y no), inclusive existen algunos descubiertos que se creen irracionales, pero aún no se halla forma de demostrar que efectivamente lo sean. 4) NÚMEROS IRRACIONALES EN LA RECTA NUMÉRICA Y ORDEN Aproximaciones de los números irracionales Al dividir un número natural por otro el resultado puede ser un número natural, un decimal finito, un decimal periódico o uno semiperiódico, pero un número irracional tiene infinitas cifras decimales sin periodo. Lo anterior tiene sentido pues si un irracional tuviese periodo o semiperiodo, necesariamente podría escribirse como fracción según las reglas que se tienen para convertir números decimales a fracción. Como los irracionales no pueden ser expresados como fracción, la única forma exacta de escribirlos es utilizando símbolos, o escribir parte de sus decimales, utilizar puntos suspensivos o el signo de aproximación , como se muestra a continuación:

Aunque no podamos saber con precisión el valor de un número irracional, es importante siempre tener una aproximación de su valor, en el caso de las raíces es posible hacerlo a través de aproximaciones sucesivas, a continuación, se muestra un ejemplo con raíces cuadradas, pero la misma metodología puede ser usada con raíces de cualquier índice.

progesterona

Jtg

Supongamos que queremos encontrar una aproximación para el valor de entonces los cuadrados perfectos menor y mayor cercanos a 54, que son entonces .

, buscaremos y ,

Vemos que está entre 7 y 8, probamos ahora con valores intermedios, en este caso con el promedio de ambos 7,5. , entonces Probamos con el promedio entre 7 y 7,5; 7,25 , entonces Probamos ahora con el promedio entre 7,25 y 7,5 que es 7,375 , entonces Con esto hemos encontrado una aproximación sucesiva de tres decimales.

Irracionales en la recta numérica La idea de aproximar una raíz no fue siempre una idea que agradara mucho a los matemáticos, hubo diversos intentos por tratar de posicionar perfectamente a las raíces entre los demás números. El matemático griego Teodoro de Cirene, (465 a.C – 398 a.C) creó la construcción geométrica denominada Espiral de Teodoro de Cirene. Comienza con un triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos miden 1 unidad, y sucesivamente se construyen más triángulos rectángulos tomando un cateto de medida 1 y el otro es la hipotenusa del triángulo anterior. La Espiral de Teodoro de Cirene es útil para ubicar raíces en la recta numérica en su posición exacta, por ejemplo, supongamos que queremos posicionar mediante los siguientes pasos. Paso 1: Se ubica el 0 en la recta numérica, y se define la unidad. Luego se construye un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1, con vértices en el 0 y el 1. Con un compás, se copia la medida de la hipotenusa del triángulo, con centro del compás en 0 traza un arco de circunferencia intersecando la recta numérica. Se obtiene así .

asparagáceas

Paso 2: Se construye ahora un triángulo rectángulo de catetos de medida hipotenusa sobre la recta. Así se obtiene .

y , y se copia su

Paso 3: Repitiendo sucesivamente estos pasos, se construye

.

Se observa que: Si se comparan raíces de igual índice y de cantidad subradical no negativa, aquella que tenga la mayor cantidad subradical es la raíz de mayor valor también. Si la cantidad subradical es negativa, entonces los índices deben ser un número impar, nuevamente quién tenga la cantidad subradical mayor es la mayor raíz (en el sentido de la recta numérica). Finalmente, si se quieren comparar raíces que tengan distinto índice, estas deben ser primeramente igualadas en este para luego comparar sus cantidades subradicales, proceso que se verá en detalle en la guía de raíces.

perpetuaba

BEBOP

Ejercicios:

1. ¿Cuál (es) de las siguientes expresiones es(son) verdaderas? I) II) III) A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III 2. ¿Cuál de los siguientes números es un número racional que está ubicado entre ? A) B) C) D) E) 3. Respecto del número irracional

, ¿qué afirmación(es) es (son) verdadera(s)?

I) Puede representar la medida de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1 cada uno. II) Corresponde a una solución de la ecuación = 2 III) Es un número irracional comprendido entre 2 y 3. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo II y III

agotamos

EBBFzEEBEEJ

5) EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES

BEBER

El conjunto de los números irracionales es aquel que contiene todos los números irracionales, en él están contenidos todas las raíces inexactas, todos los números trascendentes (como ), y otros que resultan de operar irracionales puros con racionales, como el número áureo . Todos los números irracionales tienen en común que no pueden ser escritos como una fracción con numerador y denominador enteros, ya que tienen infinitos decimales que no presentan un periodo, o lo que es igual, no siguen un patrón. Una forma de expresar este conjunto es la siguiente:

Análogamente se puede escribir como:

Nota: A veces para denotar el conjunto de los números irracionales se utiliza el símbolo en lugar de para no confundir el conjunto de los irracionales con el de los números imaginarios (que veremos más adelante). 6) EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES Y LA CLAUSURA DE LOS CONJUNTOS Como has visto en guías anteriores, en ocasiones es necesario ampliar los conjuntos numéricos para poder dar solución a situaciones y problemas. Así, para poder contar, primero se crearon los números naturales , y luego los naturales con el cero, forman el conjunto de los números cardinales .

La necesidad de representar cantidades menores que cero, y hacer siempre posible la sustracción motivó la creación del conjunto de los números enteros . En él se incluyen los números naturales y sus opuestos aditivos.

Luego, la necesidad de dividir motivó la ampliación a los números racionales incluyen a los enteros y a sus inversos multiplicativos.

, que a la vez

fogata

A diferencia de los conjuntos anteriores, en el conjunto no existe la noción de sucesor o de antecesor, es decir, no es posible hablar de un único número que viene antes o después de un número dado. Además, el conjunto de los números racionales es denso, es decir, entre dos números racionales distintos cualesquiera (por ejemplo, y , con ) siempre es posible encontrar un número racional , de modo que . Sin embargo, hemos aprendido a lo largo de esta guía que los números racionales no agotan todas las posibilidades ni permiten resolver todos los problemas, ya que existen los números irracionales . A diferencia de los conjuntos anteriores, en donde cada uno contenía a sus predecesores, el conjunto de los irracionales es disjunto del conjunto de los racionales, es decir, no comparten ningún elemento. Lo anterior motivo a crear un conjunto que contuviese a todos los números conocidos y así se dio origen al conjunto de los números reales .A continuación, se muestra un diagrama con la relación existente entre los conjuntos.

Notas: Podemos ver que existe un área que rodea los conjuntos y esa área en realidad no tiene ningún elemento, es decir, no existen elementos reales que no sean racionales o irracionales. El símbolo representa la unión de los conjuntos. Para terminar esta guía hablaremos de la propiedad de clausura de los conjuntos de números. La clausura es una propiedad que, pueden o no, cumplir los conjuntos numéricos, y hace referencia a que, si tomamos dos elementos cualesquiera del conjunto y utilizamos una operación entre ellos, particularmente suma o multiplicación, el resultado de esa operación sea un elemento del mismo conjunto. Si el resultado se mantiene dentro del conjunto para cualquier par de elementos (números) que se tomen entonces se dice que dicho conjunto cumple con la propiedad de clausura, o lo que es igual, que el conjunto es cerrado, para la operación que se escogió testear. Por ejemplo, el conjunto de los números reales es cerrado tanto para la suma como para la multiplicación, ya que si tomo cualquier par de valores reales la suma de ellos siempre será un número real, lo mismo pasa con la multiplicación. Es importante notar que la resta es la suma de un opuesto aditivo y la división la multiplicación de un inverso multiplicativo, por eso no se consideran como operaciones para testear el conjunto. La razón precisamente de la creación del conjunto de los números reales era crear un conjunto que fuese cerrado tanto para la suma como para la multiplicación, lo anterior tiene importantes implicancias en matemáticas más avanzadas.

EEEEBB_ Ágapes

BEBER

Es interesante entonces tantear la clausura de los conjuntos que componen los números reales, en particular de los números racionales, pero más aún de los números irracionales. Luego de poco pensar es fácil ver que el conjunto de los racionales también es un conjunto cerrado para la suma y la multiplicación, teniendo en cuenta que no se puede dividir por cero, ya que se estaría multiplicando por el inverso multiplicativo de cero que ya hemos visto no está definido. Sin embargo, el conjunto de los números irracionales no es un conjunto cerrado ni para la suma ni la multiplicación, es fácil ver lo anterior tomando los siguiente dos ejemplos Ejemplo 1: Tomamos los números irracionales

y

y los sumamos:

Vemos que en este caso la suma de dos racionales es un número racional, cero, por ende, el conjunto no es cerrado para la suma. Ejemplo 2: Tomamos los números irracionales

y

y lo multiplicamos:

Vemos que la multiplicación de dos números irracionales es claramente un número racional, uno, por ende el conjunto no es cerrado para la multiplicación tampoco. Respecto de las operaciones entre números racionales e irracionales se cumple con certeza, lo expresado a continuación:

Por otro lado, las operaciones siguientes son de resultado incierto dependiendo de los irracionales que se elijan:

_gEEnEajg-_

referirse 7)

BEBED

EJERCICIOS

1. ¿Cuál(es) de los siguientes enunciados es(son) siempre verdadero(s), con I) II) III)

?

es irracional si m y n son reales. es irracional si m y n son racionales. es real si m y n son racionales

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo II y III E) I, II y III

2. ¿Qué tipo de número es

boratos

A) Un número entero. B) Un número decimal finito. C) Una fracción impropia. D) Un número decimal periódico. E) Un número decimal infinito no periódico.

3. Sea

el conjunto de los números racionales, el conjunto de los números irracionales y el conjunto de lo número reales. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdaderas? I) II) III) A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo II y III

4. A partir de los datos de la figura, ¿cuál(es) de las siguientes medidas, expresadas en centímetros, representa(n) un número irracional? I) II) III) A) Sólo III B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

-Bog---Ftgg

BEEBpEaEEEEZ 5. Sea

Dimag io

un número racional. De las siguientes expresiones, ¿cuál(es) representa(n) siempre a un número irracional? I) II) III) A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III

6. Si

es un número irracional, entonces, ¿cuál(es) de las afirmaciones siguientes es (son) siempre verdadera(s)? I)

es positivo

II)

es racional

III)

es racional

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III

7. Sean

y

, ¿cuál de las siguientes expresiones pertenece a

A) B) C) D) E)

8. Sabiendo que el número irracional una aproximación por redondeo de A) B) 3,141 C) D) E)

?

¿Cuál de las siguientes alternativas muestra a la milésima?

rzgebirge

BEBOP

9. Sabiendo que el número irracional

¿Cuál de las siguientes alternativas muestra una aproximación por truncamiento de a la centésima? A) B) C) D) E)

10. Dado los números reales

, ¿cuál de las siguientes alternativas

muestra a estos números ordenados de manera creciente? A) B) C) D) E)

11. En la recta numérica, P y Q son dos números reales. ¿En qué lugar de la recta numérica se ubica el cociente Q: P? A) A la izquierda del 0 B) Entre 0 y P C) Entre P y Q D) Entre Q y 1 E) A la derecha de 1

12. ¿Cuál de los siguientes números reales está entre 0 y 1 en la recta numérica? A) B) C) D) E)

apagamiento

arapetarse 13. ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)

BEBOP

I) Al dividir dos números irracionales el cociente es irracional. II) Al multiplicar un número real con un número racional, el producto es racional. III) Al sumar dos números irracionales, la suma es un número real. A) Sólo II B) Sólo III C) I y III D) II y III E) Ninguna es correcta

14. ¿A qué conjunto numérico pertenece el número

?

I) II) III) A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III

15. ¿Cuál de los siguientes números es entero? A) B) C) D) E)

16. El número

es

A) Racional B) Entero C) Irracional D) Cero E) No está definido

izquierda

17. Si

, ¿cuál de los siguientes números multiplicado por

resulta un número racional?

I) II) III) A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III

18. ¿Cuál(es) de las operaciones siguientes resulta(n) un número irracional? I) II) III) A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo II y III

19. Si

son números enteros, entonces la expresión

representa un número entero si:

(1) es múltiplo de . (2) es un cuadrado perfecto. A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

20. Se puede determinar si el número es un número irracional si: (1) tiene un desarrollo decimal infinito. (2) su parte decimal no presenta un periodo. A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional