Guía - Antiderivadas - Fracciones parciales y sustituciones trigonométricas

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Gu´ıa. Antiderivadas, fracciones parciales y sustituciones trigonom´ etricas Problema 1. Calcule antiderivadas. Z √ 2 3x − 5 (i) dx. x4 Z x+2 (ii) dx. 2 x +x−6 Z x2 + 1 (iii) dx. (x − 2)3 Z 2x2 √ dx. (iv) x2 + 4 Z √ 2 x +1 dx. (v) x Z 2x (vi) dx. x2 − 6x + 13 Z x3 + 3x − 2 (vii) dx. (x − 1)2 (x + 3) Z √ (viii) 4 − 7x2 dx.

siguientes

Z

9x2 dx. (x + 2)(x2 − 2x + 10)

Z

243x5 − 162x3 − 9x + 32 dx. 8(3x − 1)3

(ix) (x) Z (xi)

(x2 Z

(xii)

las

x+1 dx. − 4x + 8)3/2

8x5 − 25x2 − 26x + 13 dx. 3(2x + 1)2 (x2 − 2x + 2)

Z (xiii)

√

(x + 3)2 dx. −x2 − 6x − 7

Problema 2. Encuentre una funci´on real derivable f tal que  1  si x > 2  2 x −1 0 f (x) = 2   x si x < 2. x2 + 1 y que adem´as cumpla con f (2) = 0. Problema 3. Calcule

Sea a ∈ R una constante. Z √ x2 + a2 dx.

Problema 4. Sea a ∈ R una constante. Calcule Z 1 dx. I= x2 + 2ax + 2a2 Problema 5. Encuentre una funci´on real derivable f cuya recta tangente en cada punto x3 (x, f (x)) tenga pendiente √ y cuyo 2  x + 4 2 gr´afico pase por el punto 0, . 3 Problema 6. Despu´es de t a˜ nos de transplantado un ´arbol, ´este crecer´a a raz´on 4t + 9 de metros por a˜ no. Si hoy el (t + 2)2 (t + 1) a´rbol mide 50 cm y lo transplantamos, ¿cu´anto medir´a luego de 10 a˜ nos?

Respuestas Problema 1. (3x2 − 5)3/2 (i) + C. 15x3 1 4 (ii) ln |x − 2| + ln |x + 3| + C. 5 5 4 5 (iii) ln |x − 2| − − + C. x − 2 2(x − 2)2 x + √ x2 + 4 √ (iv) x x2 + 4 − 4 ln + C. 2   √ √ (v) x2 + 1 + ln |x| − ln 1 + x2 + 1 + C.  
x−3 (vi) 3 arctan + ln x2 − 6x + 13 + C. 2 (vii) x −

1 11 + ln |x − 1| 2(x − 1) 8

19 ln |x + 3| + C. 8 √ ! x√ 2 7 (viii) x + C. 4 − 7x2 + √ arcsen 2 2 7   x−1 (ix) 2 ln |x + 2| − arctan 3
7 + ln x2 − 2x + 10 + C. 2 −

(x)

3 3 9 1 2 x + x2 − ln |3x − 1| + 8 16 3 3(3x − 1) −

1 + C. 2(3x − 1)2

(xi)

3x − 10 √ + C. 4 x2 − 4x + 8

(xii)

1 2 2 1 1 x + x + ln |2x + 1| − 3 3 2 2x + 1 +3 arctan(x − 1) + C.

x + 3√ 2 (xiii) − −x − 6x − 7 + arcsen 2



x+3 √ 2



+C. Problema 2.    1 3x − 3   ln si x ≥ 2 2 x+1 f (x) =   x − 2 − arctan(x) + arctan(2) si x < 2. Problema 3. √ a2 x√ 2 2 2 2 x + a + ln x + x + a + C. 2 2 Problema 4. 1 Si a = 0, entonces I = − + C. x   1 x+a Si a 6= 0, entonces I = arctan + C. a a Problema 5. f (x) =

x2 √ 2 8√ 2 x +4− x + 4 + 6. 3 3

Problema 6. ≈ 3.11 metros.

FVC.