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I.1.3 Conjuntos Numéricos Numeri regunt mundum "Os números governam o mundo". PITÁGORAS Nesta seção serão apresentadas algumas característica dos seguintes conjuntos numéricos: conjunto dos números naturais (N); conjunto dos números inteiros (Z); conjunto dos números racionais (Q); e conjunto dos números reais (R).1 Em geral, tais números são resultados de procedimentos de contagem ou de medição. Deve-se ter em mente que existe o número (que representa uma quantidade, por exemplo) e um sistema utilizando símbolos diversos para representar este número, ou seja, como estes símbolos são organizados para representar tal número. Assim, devese diferenciar o número, o sistema e o símbolo utilizado. Por exemplo, existe o número sessenta (que representa a quantidade de minutos em uma hora) que é representado no Sistema Romano por LX utilizando-se os símbolos L (que equivale ao 50) e X (que equivale ao 10). Um notável sistema de representação dos números foi o desenvolvido pelo povo Maia. Tal sistema era posicional, de base 20 e contava inclusive com um símbolo para o número 0 (algo que poucos sistemas antigos possuiam). • Sistema Indo-arábico decimal: 10 • Sistema Maia: • Sistema Romano: X • Sistema Egípcio Detalhar cada um destes sistemas foge ao propósito deste texto. Uma leitura sobre os sistemas Romano, Egípcio e Indo-arábico pode ser realizada no Portal da OBMEP. Sobre o sistema Maia, clique aqui.

Conjunto dos Números Naturais (N) Consideraremos2 N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}. Destacam-se as seguintes catarcterísticas dos números naturais: • Cada número natural possui um sucessor. Por exemplo, o 1 é o sucessor do 0 e o 2 é o sucessor do 1. Números naturais diferentes possuem sucessores diferentes. • O conjunto dos números naturais é infinito. 1 2

no segundo ano ainda será visto o conjunto dos números complexos ou imaginários. alguns autores consideram que 0 ∈ / N.

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• Se n é sucessor de m, então dizemos que m é antecessor de n. O zero (0) é o único número natural que não possui antecessor3 . A notação N∗ será utilizada para representar o conjunto N∗ = N−{0} = {1, 2, 3, 4, ...}. Para os conjuntos numéricos desta seção, a utilização do ∗ após o símbolo do conjunto será sempre para indicar que o 0 foi excluído do conjunto. Subconjunto dos números pares: {0, 2, 4, 6, ...} = {2n | n ∈ N} Subconjunto dos números ímpares: {1, 3, 5, 7, ...} = {2n + 1 | n ∈ N} = {2n − 1 | n ∈ N∗ } Os números naturais podem ser representados na reta escolhendo-se um ponto para representar o 0, um segundo ponto para representar 1 que é o sucessor do zero (e assim determinando a medida da unidade) e distribuindo pontos igualmente espaçados no sentido escolhido como o de sucessão dos números (em geral da esquerda para a direita). Assim: 0

1

2

3 ...

Em N estão bem definidas as operações de adição (+) e multiplicação (× ou ·) - cujos resultados sempre são números naturais também - com suas propriedades usuais. Mas, a subtração de dois números naturais nem sempre é um número natural. Um resultado importante é: Teorema 1 (Teorema Fundamental da Aritmética -TFA). Para todo número natural n > 1, existem números primos p1 , p2 , . . . pk e n1 , n2 , . . . , nk ∈ N∗ tais que n = pn1 1 · pn2 2 · . . . · pnk k Além disso, essa decomposição é única (a menos da ordem dos fatores). Para uma discussão mais ampla sobre este teorema leia http://clubes.obmep.org. br/blog/teorema-fundamental-da-aritmetica.

Conjunto dos Números Inteiros (Z) O conjunto dos números inteiros é dado por Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}. Além de N ⊂ Z, também costumam ser destacados os seguintes subconjuntos de Z: • Inteiros não nulos: Z∗ = Z − {0} = {..., −3, −2, −1, 1, 2, 3, ...} • Inteiros não negativos: Z+ = {0, 1, 2, 3, ...} • Inteiros positivos: Z∗+ = {1, 2, 3, ...} 3

para os autores que não consideram o zero como número natural, esta característica é do número 1

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• Inteiros não positivos: Z− = {..., −3, −2, −1, 0} • Inteiros negativos: Z∗− = {..., −3, −2, −1} Dado um número inteiro n (positivo, negativo ou zero), dizemos que −n é o oposto (ou simétrico) de n. Assim, pode-se dizer que −3 é o simétrico de 3, 2 é o oposto de −2 e 0 é oposto de si próprio. Isto reflete a propriedade de que n+(−n) = 0 e condiz com a representação dos números inteiros na reta (onde n e −n estão à mesma distância de 0 porém em lados opostos - apresentando simetria em relação ao 0). Cada número inteiro possui único simétrico. . . . −3

−2

−1

0

1

2

3 ...

Com os números negativos no conjunto Z, também fica bem definida a subtração de números (tendo resultado no próprio conjunto). Considere as seguintes propriedades: • n·0=0 • 1·n=n • n · (a + b) = n · a + n · b • a·b=b·a Então: 0 = (−1) · 0 = (−1) · (1 + (−1)) = (−1) · (−1) + (−1) · (1) = (−1) · (−1) + (−1) Assim, para manter a consistência das propriedades de adição e multiplicação, devese ter (−1) · (−1) = 1 pois 1 é o único número inteiro que somado ao −1 resulta em 0. Segue daí, a famosa regra dos sinais para a multiplicação "− · − = +". Em geral, vale: × + -

+ + -

+

Conjunto dos Números Racionais (Q) O conjunto dos números racionais é dado por: nm o Q= m ∈ Z, n ∈ Z∗ n Observe que todo número inteiro n pode ser escrito na forma de uma fração aparente n1 = 2n = . . .. Então, podemos considerar que Z ⊂ Q e daí também N ⊂ Q. 2

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Quando uma fração é obtida de outra multiplicando-se ou dividindo-se seu numerador e denominador por um número não nulo dizemos que são frações equivalentes. 2 10 Assim, e são frações equivalentes pois a segunda foi obtida a partir da primeira 3 15 multiplicando-se numerador e denominador por 5 (ou então porque a primeira foi obtida da segunda dividindo-se seu numerador e seu divisor por 5). Também, a exemplo do que foi feito para os números inteiros, destacam-se os subconjuntos Q∗ , Q∗+ , Q∗− , Q+ e Q− . É natural considerar resultados como 72 + 47 = 67 , ou seja, dois sétimos mais quatro sétimos é igual a seis sétimos. De forma geral, vale na + nc = a+c . Daí, considerando n que multiplicar númerador e denominador por número não nulo não altera o número representado pela fração, para a soma de duas frações quaisquer, podemos considerar a·d b·c a·d+b·c a c + = + = b d b·d b·d b·d Aqui, na primeira passagem, cada fração foi substituída por uma sua fração equivalente apropriada de modo a ambas terem mesmo denominador. No conjunto dos números racionais é possível definir as 4 operações básicas com resultado no próprio Q. As operações são definidas por: Adição:

a·d+b·c a c + = b d b·d

a c a·d−b·c − = b d b·d a c a·c Multiplicação: · = b d b·d Subtração:

Divisão:

a c a d a·d ÷ = · = b d b c b·c

Com estas definições, as operações preservam as propriedades usuais em Z. E as regras de sinais da multiplicação (vista pros números inteiros) também valem para a divisão. Toda fração m ∈ Q pode ser convertida para uma representação decimal, bastando n para isto realizar a divisão de m por n. Então, ocorre apenas uma dos seguintes casos: Decimais exatos (finitos): quando o denominador da fração na sua forma irredutível só possui fatores primos 2 ou 5. Por exemplo, 18 = 0, 125 e 35 = 0, 6; Decimais periódicos ou dízimas periódicas (infinitas): quando o denominador da fração na sua forma irredutível possui algum fator primo diferente de 2 e de 5. Por exemplo, 13 = 0, 3333 . . . = 0, 3 e 61 = 0, 1666 . . . = 0, 16. Neste caso, o traço sobre alguns algarismos indica que aquela sequência se repete infinitas vezes e tem o mesmo significado da reticências (desde que fique claro qual é a sequência que se repete). A fração geratriz de um número racional decimal é uma fração ab que gere o mesmo número decimal. Assim, dizemos que 31 é uma fração geratriz do número 0, 3333 . . ..

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Exemplo 1. Obtenção de fração geratriz Para obter a fração geratriz de 1, 23456 = 1, 23456456 . . . faça: x 100x 100000x ⇒ 100000x − 100x ⇒ 99900x

= = = = =

1, 23456 123, 456 123456, 456 123456, 456 − 123, 456 123456 − 123 123456 − 123 123333 ⇒x = = 99900 99900

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

Em (2) foi multiplicado por uma potência de 10 adequada de forma que a parte periódica apareça logo "após a vírgula". Em (3) multiplicou-se por outra potência de 10 de tal modo que um período ficasse antes da vírgula. A subtração em (4) é feita 123333 é fração geratriz de para que o resultado seja igual a um número inteiro. 99900 1, 23456 = 1, 23456456 . . . e, eventualmente, pode ser simplificada. Observe a quantidade de zeros na fração final e compare com a quantidade de casas entre a vírgula e a parte periódica, e também compare a quantidade de noves com a quantidade de casas em cada período. O que pode ser dito do numerador? Exemplo 2. Aplicando o procedimento anterior ao número 0, 999 . . . = 0, 9 obtém-se:

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

x = 0, 9 10x = 9, 9 10x − x = 9, 9 − 0, 9 9x = 9 9 x= =1 9

Assim, 0, 999 . . . = 0, 9 = 1.4 Todo número racional pode ser representado na reta. Por exemplo, para representar o número 34 primeiramente observamos que 43 = 1 + 13 . Daí, 43 está entre o 1 e o 2. Divide-se então o segmento de 1 a 2 em três partes iguais (pois o denominador de 13 é três) e marca-se na primeira mrca (pois o numerador de 31 é um). Caso o número seja negativo, pode-se marcar o simétrico dele e depois fazer a reflexão pela origem. Veja na figura a seguir. 1 4 5 11 − 11 − 43 − 21 5 2 3 3 5 . . . −3

−2

−1

0

1

2

3 ...

Uma fração como 34 as vezes é representada na forma de fração mista 1 13 que significa 1 inteiro e 1/3. Deve-se ter cuidado para não confundir com 1 · 13 já que as vezes o 4

propositalmente omitiu-se aqui uma demonstração do fato, mostrando-se apenas que (considerando o procedimento correto) deve-se ter a igualdade. Converse com seu professor sobre o tema.

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sinal do produto é omitido.

Conjunto dos Números Reais (R)

. . . −3

−2

−1

1 P

0

3 ...

2

Considere a figura acima. Pelo teorema de Pitágoras, se d é a medida da diagonal do quadrado unitário, então d2 = 12 + 12 . Daí, d2 = 2. Suponhamos que d ∈ Q. Então, . Segue que: existem inteiros m e n 6= 0 tais que d = m n d2 =

m2 ⇒ m2 = d2 · n2 ⇒ m2 = 2n2 n2

Mas, se considerarmos as fatorações de m e de n vemos que do lado esquerdo da última igualdade tería-se uma quantidade par de fatores 2 e do lado direito teria-se uma quantidade ímpar (ao elevar um número ao quadrado dobramos a quantidade de fatores). E isso contradiz a fatoração única em números primos dos números naturais (ver o teorema 1 - TFA). Como tal contradição veio de afirmarmos que d seria número racional (as outras passagens não possuem erro!), então esta afirmação é falsa e portanto d ∈ / Q. Portanto, transportando o segmento da diagonal para a reta ficará determinado um ponto P que não representa um número racional. Assim, é preciso incluir mais números ao conjunto dos racionais para completar a reta. − 11 5 . . . −3

−2

−e q −2, 718 . . .

− 43 −1

− 21

1 2

0

4 3

5 3

11 5

1 √ 2 2

q 1, 414 . . .

3 ...

π q 3, 141 . . .

Vimos também que todo número racional pode ser escrito na representação decimal como uma representação finita ou com uma dízima periódica. As dízimas não periódicas são exatamente números não racionais que representam pontos na reta e a completam formando assim o conjunto dos números reais (R). Uma reta com o sistema de números reais representando seus pontos costuma ser chamada de eixo real. R = { números reais } ) Q O conjunto I = R − Q é chamado de conjunto dos números irracionais. Os números π (pi) e e (número de Euler) √ √ √ são exemplos de números irracionais. Também são números irracionais 2, 3 e 5.

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Dado x ∈ R, define-se o valor absoluto de x por:  x, quando x ≥ 0 |x| = −x, quando x < 0 Exemplo 3.√ Têm-se, pela definição que |1| = 1, |0| = 0, | − 2| = 2, |π| = π e √ | − 2| = 2. O valor absoluto de um número real x pode ser interpretado como a distância de x ao ponto 0 na reta real. Sejam a, b, c ∈ R. Então, valem as seguintes propriedades para as operações: 1. (associatividade) (a + b) + c = a + (b + c) e (a · b) · c = a · (b · c) ; 2. (comutatividade) a + b = b + a e a · b = b · a ; 3. (elemento neutro) a + 0 = a e 1 · a = a; 4. (inverso aditivo) para cada a, existe −a tal que a + (−a) = 0; 5. (inverso multiplicativo) para cada a 6= 0, existe k (também não nulo) tal que a · k = 1; 6. (distributividade) a · (b + c) = a · b + a · c; Dados dois números reais a e b, somente uma das seguintes possibilidades ocorre: ou a < b ou a = b ou a > b.

OBS.: As figuras neste texto foram produzidas utilizando-se o pacote Tikz para Latex.