5-Conjuntos Ordenados
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Conjuntos Ordenados
Elementos Distinguidos de un Conjunto Ordenado
Isomorfismo
Conjuntos Ordenados Orden Amplio: Sea el conjunto A y la relación R: A → A, si R cumple con las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva entonces es una relación de orden amplio u orden. Se dice que el conjunto A es un conjunto ordenado y se indica ( A;
Sean a, b A, a Sean a, b A, si a
).
b decimos “a precede a b” si a es anterior a b en el orden establecido b yb
a, decimos que a y b no son comparables y se indica a II b.
Orden Estricto: Sea el conjunto A y la relación R: A → A, si R cumple con las
propiedades asimétrica y transitiva entonces es una relación de orden estricto. Se dice que el conjunto A es un conjunto estrictamente ordenado y se indica ( A;
).
Orden Parcial y Total: Sea R una relación de orden en A
❖ R es de orden parcial existen pares de elementos incomparables ❖ El orden es total en caso contrario
❖ Si ( A;
) está totalmente ordenado el orden se dice total o lineal y es una cadena
Ejemplo: Sea IN el conjunto de números naturales y la relación R: IN → IN / a R b a I b Por definición: a I b m IN / b = a.m Reflexiva:
a IN : a = a . 1 a I a a R a
Antisimétrica: a, b IN: a R b b R a a I b b I a m, n IN / b = a.n a = b.m a.b = a.n.b.m n.m = 1 n = m = 1 a = b
Transitiva: a, b, c IN: a R b b R c a I b b I c n, m IN / b = a.n c = b.m c = a.n.m c = a. p con p = n.m IN a I c
Diagrama de Hasse Es posible representar un conjunto ordenado y finito mediante un diagrama llamado de Hasse. En el diagrama se suprimen los arcos redundantes (bucles o los que son consecuencias de la transitividad).
Ejemplo: Sea A = { 2, 3, 6, 9, 12, 36 } ordenado por la relación de divisor, el diagrama de Hasse correspondiente es 2
6
12 36
3
36
9
12
9
Observación En el diagrama de Hasse se puede prescindir de los arcos y reemplazarlos
6
por aristas si se lee de abajo hacia arriba. 2
3
Orden Recíproco u Orden Inverso Sean ( A;
) un conjunto ordenado y R-1 = { ( b, a ) / ( a, b ) R } es la relación inversa o
recíproca, se la llama orden recíproco o inverso y se lo denota
-1
.
Ejemplo: Si ( Z; ) es el conjunto ordenado, el orden recíproco es ( Z; ).
Orden Restringido Sea ( A;
) un conjunto ordenado, sea Ø B A, entonces la restricción del orden a B es:
/B=(BxB)
, que indicamos ( B;
) o ( B;
/B)
Orden Usual Producto Sean ( A;
1
) y ( B;
2
) dos conjuntos ordenados, se define en A x B, producto cartesiano,
la siguiente relación ( x, y ) R ( z, t ) x Se lo denomina orden usual producto.
1
zy
2
t.
Ejemplo: Sea A = { a, b } y la relación
1
y B = { 0, 1, 2 } y la relación
2
= { ( a, a ), ( a, b ), ( b, b ) } = { ( 0, 0 ), ( 0, 1 ), ( 0, 2 ), ( 1, 1 ), ( 1, 2 ), ( 2, 2 ) }
A x B = { ( a, 0 ), ( a, 1 ), ( a, 2 ), ( b, 0 ), ( b, 1 ), ( b, 2 ) }
R = { ( ( a, 0 ), ( a, 0 ) ); ( ( a, 0 ), ( a, 1 ) ); ( ( a, 0 ), ( a, 2 ) ); ( ( a, 0 ), ( b, 0 ) ), ( ( a, 0 ), ( b, 1 ) ); ( ( a, 0 ), ( b, 2 ) ); ( ( a, 1 ), ( a, 1 ) ); ( ( a, 1 ), ( a, 2 ) ); ( ( a, 1 ), ( b, 1 ) ); ( ( a, 1 ), ( b, 2 ) ); ( ( a, 2 ), ( a, 2 ) ); ( ( a, 2 ), ( b, 2 ) ); ( ( b, 0 ), ( b, 0 ) ); ( ( b, 0 ), ( b, 1 ) );
( ( b, 0 ), ( b, 2 ) ); ( ( b, 1 ), ( b, 1 ) ); ( ( b, 1 ), ( b, 2 ) ); ( b, 2 ), ( b, 2 ) ) } ( b, 2 )
( a, 2 )
( b, 1 )
( a, 1 )
( b, 0 )
( a, 0 )
Elementos Distinguidos de un Conjunto Ordenado Sea ( A;
) un conjunto ordenado
⚫ Un elemento a A es maximal si: x A / a
xx=a
ningún elemento “lo sigue” excepto si mismo ⚫ Un elemento a A es minimal si: x A / x
ax=a
ningún elemento “lo precede” excepto si mismo
Ejemplo: Sea A = { a, b, c, d, e } ordenado según el diagrama d
e
Maximales = { d, e } b
c
a
Minimales = { a }
Observaciones
❖ Los maximales y/o minimales pueden no existir ❖ Los maximales y/o minimales pueden no ser únicos
❖ Si el maximal es único se lo llama máximo o último elemento ( 1A ) ❖ Si el minimal es único se lo llama mínimo o primer elemento ( 0A )
Átomos: Sea ( A;
) un conjunto ordenado con primer elemento 0A, los átomos
son los elementos que siguen inmediatamente al primer elemento
Ejemplo: Sea A = { a, b, c, d, e } ordenado según el diagrama de Hasse e
Son átomos { b, c } d
b
c
a
Cotas. Conjuntos. Sean ( A,
) un conjunto ordenado y B Ø, B A
❖ k A es cota superior de B si x B , x ❖ k A es cota inferior de B si x B , k
k x
❖ El conjunto de las cotas superiores se llama conjunto mayorante ❖ El conjunto de las cotas inferiores se llama conjunto minorante ❖ A la menor de las cotas superiores se la denomina supremo
❖ A la mayor de las cotas inferiores se la denomina ínfimo ❖ Si el supremo pertenece a B entonces es máximo ❖ Si el ínfimo pertenece a B entonces es mínimo
Ejemplo: Sean A = { a, b, c, d, e, f, g, h } un conjunto ordenado según y B = { c, d, f } g
h
Minimales = { a, b } en A Maximales = { g, h } en A
f d
c
A no tiene primer elemento A no tiene último elemento
a
b
Cotas Superiores = { f, g, h } de B f es supremo, como f B entonces f es máximo Cotas Inferiores = { a } a es ínfimo, como a B entonces B no tiene mínimo
Conjunto bien ordenado Sea ( A,
) un conjunto ordenado, está bien ordenado si todo subconjunto de A tiene
primer elemento, es decir que si B Ø , B A, B tiene primer elemento.
Ejemplo: El conjunto IN de números naturales con la relación es un conjunto bien ordenado.
Observaciones ❖
se llama buen orden.
❖ Si B Ø, B A B está bien ordenado. ❖ Si ( A,
) está bien ordenado A está totalmente ordenado.
Ejemplo:
El conjunto IR de números reales, con el orden usual , está totalmente ordenado y no es un conjunto bien ordenado pues, por ejemplo, el subconjunto (1, 2] no tiene primer
elemento.
Isomorfismos Dos conjuntos ( A,
1
) y ( B,
2
) ordenados son isomorfos si existe una función biyectiva
que preserva el orden A B si f: A → B biyectiva / a
Ejemplo: Sean
1
b f (a)
2
f (b)
18
e
A = { 2, 3, 6, 9, 18 }
B = { a, b, c, d, e }
ordenado por la
ordenado según el 6
9
relación de divisor
2
diagrama
3
c
a
d
b
Si f: A → B / f (2) = a
f (3) = b
f es una función biyectiva, que además preserva el
f (6) = c
orden, es decir es un isomorfismo
f (9) = d f (18) = e
Elementos Distinguidos de un Conjunto Ordenado
Isomorfismo
Conjuntos Ordenados Orden Amplio: Sea el conjunto A y la relación R: A → A, si R cumple con las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva entonces es una relación de orden amplio u orden. Se dice que el conjunto A es un conjunto ordenado y se indica ( A;
Sean a, b A, a Sean a, b A, si a
).
b decimos “a precede a b” si a es anterior a b en el orden establecido b yb
a, decimos que a y b no son comparables y se indica a II b.
Orden Estricto: Sea el conjunto A y la relación R: A → A, si R cumple con las
propiedades asimétrica y transitiva entonces es una relación de orden estricto. Se dice que el conjunto A es un conjunto estrictamente ordenado y se indica ( A;
).
Orden Parcial y Total: Sea R una relación de orden en A
❖ R es de orden parcial existen pares de elementos incomparables ❖ El orden es total en caso contrario
❖ Si ( A;
) está totalmente ordenado el orden se dice total o lineal y es una cadena
Ejemplo: Sea IN el conjunto de números naturales y la relación R: IN → IN / a R b a I b Por definición: a I b m IN / b = a.m Reflexiva:
a IN : a = a . 1 a I a a R a
Antisimétrica: a, b IN: a R b b R a a I b b I a m, n IN / b = a.n a = b.m a.b = a.n.b.m n.m = 1 n = m = 1 a = b
Transitiva: a, b, c IN: a R b b R c a I b b I c n, m IN / b = a.n c = b.m c = a.n.m c = a. p con p = n.m IN a I c
Diagrama de Hasse Es posible representar un conjunto ordenado y finito mediante un diagrama llamado de Hasse. En el diagrama se suprimen los arcos redundantes (bucles o los que son consecuencias de la transitividad).
Ejemplo: Sea A = { 2, 3, 6, 9, 12, 36 } ordenado por la relación de divisor, el diagrama de Hasse correspondiente es 2
6
12 36
3
36
9
12
9
Observación En el diagrama de Hasse se puede prescindir de los arcos y reemplazarlos
6
por aristas si se lee de abajo hacia arriba. 2
3
Orden Recíproco u Orden Inverso Sean ( A;
) un conjunto ordenado y R-1 = { ( b, a ) / ( a, b ) R } es la relación inversa o
recíproca, se la llama orden recíproco o inverso y se lo denota
-1
.
Ejemplo: Si ( Z; ) es el conjunto ordenado, el orden recíproco es ( Z; ).
Orden Restringido Sea ( A;
) un conjunto ordenado, sea Ø B A, entonces la restricción del orden a B es:
/B=(BxB)
, que indicamos ( B;
) o ( B;
/B)
Orden Usual Producto Sean ( A;
1
) y ( B;
2
) dos conjuntos ordenados, se define en A x B, producto cartesiano,
la siguiente relación ( x, y ) R ( z, t ) x Se lo denomina orden usual producto.
1
zy
2
t.
Ejemplo: Sea A = { a, b } y la relación
1
y B = { 0, 1, 2 } y la relación
2
= { ( a, a ), ( a, b ), ( b, b ) } = { ( 0, 0 ), ( 0, 1 ), ( 0, 2 ), ( 1, 1 ), ( 1, 2 ), ( 2, 2 ) }
A x B = { ( a, 0 ), ( a, 1 ), ( a, 2 ), ( b, 0 ), ( b, 1 ), ( b, 2 ) }
R = { ( ( a, 0 ), ( a, 0 ) ); ( ( a, 0 ), ( a, 1 ) ); ( ( a, 0 ), ( a, 2 ) ); ( ( a, 0 ), ( b, 0 ) ), ( ( a, 0 ), ( b, 1 ) ); ( ( a, 0 ), ( b, 2 ) ); ( ( a, 1 ), ( a, 1 ) ); ( ( a, 1 ), ( a, 2 ) ); ( ( a, 1 ), ( b, 1 ) ); ( ( a, 1 ), ( b, 2 ) ); ( ( a, 2 ), ( a, 2 ) ); ( ( a, 2 ), ( b, 2 ) ); ( ( b, 0 ), ( b, 0 ) ); ( ( b, 0 ), ( b, 1 ) );
( ( b, 0 ), ( b, 2 ) ); ( ( b, 1 ), ( b, 1 ) ); ( ( b, 1 ), ( b, 2 ) ); ( b, 2 ), ( b, 2 ) ) } ( b, 2 )
( a, 2 )
( b, 1 )
( a, 1 )
( b, 0 )
( a, 0 )
Elementos Distinguidos de un Conjunto Ordenado Sea ( A;
) un conjunto ordenado
⚫ Un elemento a A es maximal si: x A / a
xx=a
ningún elemento “lo sigue” excepto si mismo ⚫ Un elemento a A es minimal si: x A / x
ax=a
ningún elemento “lo precede” excepto si mismo
Ejemplo: Sea A = { a, b, c, d, e } ordenado según el diagrama d
e
Maximales = { d, e } b
c
a
Minimales = { a }
Observaciones
❖ Los maximales y/o minimales pueden no existir ❖ Los maximales y/o minimales pueden no ser únicos
❖ Si el maximal es único se lo llama máximo o último elemento ( 1A ) ❖ Si el minimal es único se lo llama mínimo o primer elemento ( 0A )
Átomos: Sea ( A;
) un conjunto ordenado con primer elemento 0A, los átomos
son los elementos que siguen inmediatamente al primer elemento
Ejemplo: Sea A = { a, b, c, d, e } ordenado según el diagrama de Hasse e
Son átomos { b, c } d
b
c
a
Cotas. Conjuntos. Sean ( A,
) un conjunto ordenado y B Ø, B A
❖ k A es cota superior de B si x B , x ❖ k A es cota inferior de B si x B , k
k x
❖ El conjunto de las cotas superiores se llama conjunto mayorante ❖ El conjunto de las cotas inferiores se llama conjunto minorante ❖ A la menor de las cotas superiores se la denomina supremo
❖ A la mayor de las cotas inferiores se la denomina ínfimo ❖ Si el supremo pertenece a B entonces es máximo ❖ Si el ínfimo pertenece a B entonces es mínimo
Ejemplo: Sean A = { a, b, c, d, e, f, g, h } un conjunto ordenado según y B = { c, d, f } g
h
Minimales = { a, b } en A Maximales = { g, h } en A
f d
c
A no tiene primer elemento A no tiene último elemento
a
b
Cotas Superiores = { f, g, h } de B f es supremo, como f B entonces f es máximo Cotas Inferiores = { a } a es ínfimo, como a B entonces B no tiene mínimo
Conjunto bien ordenado Sea ( A,
) un conjunto ordenado, está bien ordenado si todo subconjunto de A tiene
primer elemento, es decir que si B Ø , B A, B tiene primer elemento.
Ejemplo: El conjunto IN de números naturales con la relación es un conjunto bien ordenado.
Observaciones ❖
se llama buen orden.
❖ Si B Ø, B A B está bien ordenado. ❖ Si ( A,
) está bien ordenado A está totalmente ordenado.
Ejemplo:
El conjunto IR de números reales, con el orden usual , está totalmente ordenado y no es un conjunto bien ordenado pues, por ejemplo, el subconjunto (1, 2] no tiene primer
elemento.
Isomorfismos Dos conjuntos ( A,
1
) y ( B,
2
) ordenados son isomorfos si existe una función biyectiva
que preserva el orden A B si f: A → B biyectiva / a
Ejemplo: Sean
1
b f (a)
2
f (b)
18
e
A = { 2, 3, 6, 9, 18 }
B = { a, b, c, d, e }
ordenado por la
ordenado según el 6
9
relación de divisor
2
diagrama
3
c
a
d
b
Si f: A → B / f (2) = a
f (3) = b
f es una función biyectiva, que además preserva el
f (6) = c
orden, es decir es un isomorfismo
f (9) = d f (18) = e
