Conjuntos- 1ª parte.docx

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ESCOLA ESTADUAL DE ENSINO MÉDIO OLINDO FLORES DA SILVA

1º ano EM Matemática 22/04 à 05/05 Atividade para 6 períodos

Professora Fátima Soares E-mail: [email protected] Unidade 1 Conjuntos-1ª parte

Imprima ou copie esse material em seu caderno. Posteriormente resolva as questões no final do documento e envie pelo classroom a foto da atividade resolvida.

Conjuntos A noção de conjunto é bastante simples e fundamental na Matemática. A partir dos conceitos sobre conjuntos podemos expressar todos os conceitos matemáticos. Um conjunto nada mais é do que uma coleção qualquer de objetos. Por exemplo: ✔ Conjunto das estações do ano: E = {Primavera, Verão, Outono, Inverno} ✔ Conjunto dos números primos: B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...} ✔ Cada item dentro de um conjunto é um elemento desse conjunto. Representação de conjuntos As três maneiras de representação são: Diagrama de Venn:  Diagrama de Venn é uma forma gráfica que representa os elementos de um conjunto. Para fazer essa representação utilizamos formas geométricas. Para indicar o conjunto universo, normalmente usamos um retângulo e para representar subconjuntos do conjunto universo empregamos círculos. Por exemplo, podemos representar o conjunto das vogais através do diagrama de Venn:

Extensão: Para representar um conjunto por extensão precisamos listar todos os elementos, separados por vírgulas e entre colchetes. Por exemplo, o mesmo conjunto das vogais do exemplo anterior representado por extensão: { a, e, i, o, u} Compreensão : Um conjunto é representado por compreensão quando é dita uma propriedade característica dos seus elementos. Isto é, uma propriedade que os seus e só os seus elementos possuam. ... É o conjunto que não possui elementos explícitos, precisamos compreender o que está escrito para saber os elementos. Alguns sinais são importantes para fazer a leitura de um conjunto por compreensão. Se considerarmos o exemplo dado ao ser escrito por compreensão fica assim: {x/x é vogal} Para compreender a leitura saiba que: →

/ este símbolo representa tal que, assim o conjunto escrito desta forma {x/x é vogal} lê-se : x tal

que x é vogal. →

OBS: Sempre teremos letras minúsculas para representar os elementos desconhecidos, pode ser

x/x ou y/y ou qualquer outra. Já para representar o conjunto utilizamos letras maiúsculas. Posso chamar de V o conjunto das vogais, assim: V= {x/x é vogal}. A ideia dos conjuntos numéricos segue uma ordem de acordo com a história da Matemática. Ou seja, à medida que a matemática avançou, foi necessária a criação de novos conceitos e, com isso, foram surgindo vários conjuntos de números. Conjunto dos números naturais (N) O número zero é o primeiro elemento desse conjunto. O sucessor de cada número nesse conjunto é igual à soma dele mesmo com uma unidade, ou seja, o sucessor de 3 será 4 pois 3 + 1 = 4. •

N={0,1,2,3,4,5,6,...}

Para representar o conjunto dos números naturais não-nulos (ou seja, diferentes de zero), deve-se colocar um * ao lado do símbolo: •

N∗={1,2,3,4,5,6,...}

Conjunto dos números inteiros (Z) Em determinada época da história, se fez necessário a criação de números que representassem “perdas”, ou “dívidas”. Surgiram, assim, os números negativos. Esses números negativos, junto com os números naturais, formam o conjunto dos números inteiros: •

Z={...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...}

•

Nesse conjunto, para cada número há o seu oposto, ou seu simétrico, por exemplo, 3 e -3 são opostos ou simétricos.

Veja que todo número natural é inteiro, mas nem todo número inteiro é natural. Dizemos que o conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros.

Conjunto dos números racionais (Q) Com a necessidade de descrever partes de algo inteiro, surgiram as frações. Quando adicionamos as frações aos números inteiros, obtemos os números racionais. São exemplos números racionais: •

Q={−1,−25,43,5,...}

Formalmente, um número racional é todo aquele que pode ser escrito na forma de uma fração. Assim, •

𝑎

Q={x/x= 𝑏 ,a∈Z,b∈Z*,b≠0}

Observe que todo número inteiro é racional, mas nem todo número racional é inteiro. Por exemplo, -1 é inteiro e é racional, mas 43 é racional e não é inteiro. Assim, o conjunto dos números inteiros está contido no conjunto dos números racionais:

Conjunto dos números irracionais (IR) O conjunto dos números irracionais é composto por todos os números que não são possíveis de se descrever como uma fração. É o caso das raízes não exatas, e do número π, do logaritmo neperiano, o número de ouro ϕ (fi), por exemplo. Este conjunto não está contido em nenhum dos outros três, ou seja, nenhum número irracional é racional, inteiro ou natural e nenhum número natural, inteiro ou racional é irracional.

Conjunto dos números reais (R)

Da reunião do conjunto dos números racionais com os números irracionais obtemos o conjunto dos números reais. Podemos dizer que o conjunto dos números reais é formado por todos os números que podem ser localizados em uma reta numérica. Assim, todo número que é irracional é real, assim como os naturais, inteiros e racionais.

Conjunto dos números complexos (C) Existem ainda conjuntos maiores, que englobam todos vistos até aqui. Um exemplo é o conjunto dos números complexos. São números que possuem uma parte real e uma arte imaginária, chamada de “i”. São números da forma a+bi, onde a é a parte real e b é a parte imaginária. Diagrama com todos os conjuntos

OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS União de conjuntos Dados dois conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {6, 7}, A união deles seria pegar todos os elementos de A e de B e unir em apenas um conjunto (sem repetir os elementos comuns). O conjunto que irá representar essa união ficará assim: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. A representação da união de conjuntos é feita pelo símbolo U. Então, A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Intersecção de conjuntos. Quando queremos a intersecção de dois conjuntos é o mesmo que dizer que queremos os elementos que eles têm em comum. Dados dois conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {5, 6, 7}, a intersecção é representada pelo símbolo ∩, então A ∩ B = {5, 6}, pois 5 e 6 são os elementos que pertencem aos dois conjuntos. Se dois conjuntos não têm nenhum elemento comum, a intersecção deles será um conjunto vazio. Dentro da intersecção de conjuntos há algumas propriedades: 1) A intersecção de um conjunto por ele mesmo é o próprio conjunto: A ∩ A = A 2) A propriedade comutatividade na intersecção de dois conjuntos é: A ∩ B = B ∩ A. 3) A propriedade associativa na intersecção de conjuntos é: A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

Vamos treinar um pouco? Responda as questões abaixo em seu caderno, posteriormente fotografe e envie pela plataforma classroom.

1)

Sabendo que os conjuntos podem ser escritos por extensão, por compreensão ou por

diagrama de Venn, dê um exemplo para cada uma delas. (Os exemplos devem ser diferentes do exemplo dado na explicação). 2)

Qual a diferença entre conjunto finito e infinito?

3)

O conjunto finito pode ser expresso de três formas, já o infinito admite apenas duas

representações. A partir disso, cite 1 exemplo de conjunto finito e outro de conjunto infinito e represente cada um deles de todas as formas possíveis. 4) Coloque V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas.

5) Relacione os elementos usando o símbolo de ∈ ou ∉ :

6) Pesquise sobre as seguintes operações entre conjuntos finitos, destacando o que cada uma delas representa na operação matemática. Em seguida construa o diagrama de Venn para mostrar a operação. a) União: b) Intersecção: 7) Faça um diagrama dos conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4, 5, 6}. Pinte a intersecção (os números que pertencem aos dois conjuntos) de amarelo ou outra cor clara. Em seguida enumere os conjuntos que representam: a) A U B= {1,2,3,4,5,6} b) A ∩ B= {2,3}