clase 2_asíntotas y grafico de funcion racional_5to

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Clase 3 29/10

GRÁFICO DE UNA FUNCIÓN RACIONAL. ASÍNTOTAS VERTICALES Y/O HORIZONTALES.

 Asíntotas verticales: existen si 𝑓(𝑥) tiende a +∞ 𝑜 𝑎 − ∞ cuando 𝑥 tiende a un valor 𝑎 que no pertenece al dominio de 𝑓(𝑥). En este caso la recta de ecuación 𝑥 = 𝑎 es un asíntota vertical de 𝑓(𝑥). En general: si 𝒙 = 𝒂 anula al denominador de 𝒇(𝒙) y no anula a su numerador, entonces 𝒙 = 𝒂 es un asíntota vertical de 𝒇(𝒙). Ejemplos. Hallar las asíntotas verticales de las siguientes funciones si es que existen.

Un peligro para nuestros hijos

1

1) 𝑓(𝑥) = 𝑥

1

El gráfico de 𝑓(𝑥) = 𝑥 tiene una rama derecha y una rama izquierda. Si x tiende a 0, cada una de las ramas se aproxima a la recta vertical cuya ecuación es 𝑥 = 0 (es el eje y). Esa recta es una asíntota vertical de la función. 2) 𝑔(𝑥) =

𝑥+2 𝑥 2 +4

En este caso el denominador de la función no tiene ceros, es decir que el dominio de la función es 𝑅. Por lo tanto esta función no tiene asíntotas verticales. 1

3) ℎ(𝑥) = (𝑥+1)(𝑥−2) Esta función tiene dos valores que anulan al denominador: 𝑥 = −1 𝑦 𝑥 = 2 , quiere decir que el dominio de la función es 𝐷𝑜𝑚 = 𝑅 − {−1 ; 2} . En este caso la función presenta dos asíntotas verticales : 𝑥 = −1 𝑦 𝑥 = 2.

 Asíntotas horizontales: Una función racional tiene asíntota horizontal si el grado del numerador de su expresión es menor o igual que el grado del denominador. 𝑃(𝑥)

Para saber si una función tiene asíntotas horizontales, considerando que 𝑓(𝑥) = 𝑄(𝑥) , podemos utilizar el siguiente esquema:

Grados

Asíntota Horizontal

gr P(x) < gr Q(x)

y=0

gr P(x)= gr Q(x)

y =𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑄(𝑥)

gr P(x) > gr Q(x)

No tiene

𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑃(𝑥)

Ejemplos. Hallar, si es que tiene, las asíntotas horizontales de las siguientes funciones. 1

1) 𝑓(𝑥) = 𝑥

Analizamos el grado de los polinomios 𝑔𝑟 𝑃(𝑥) = 0 𝑦 𝑔𝑟 𝑄(𝑥) = 1 → 𝑒𝑛 𝑦 = 0 ℎ𝑎𝑦 𝑢𝑛𝑎 𝑎𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙.

𝑥+2

2) 𝑔(𝑥) = 3𝑥−4 Analizamos el grado de los polinomios 𝑔𝑟 𝑃(𝑥) = 1 𝑦 𝑔𝑟 𝑄(𝑥) = 1 → 𝑒𝑛 𝑦 =

3) ℎ(𝑥) =

1 3

ℎ𝑎𝑦 𝑢𝑛𝑎 𝑎𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙.

𝑥 2 +4 𝑥−5

Analizamos el grado de los polinomios 𝑔𝑟 𝑃(𝑥) = 2 𝑦 𝑔𝑟 𝑄(𝑥) = 1 → 𝑁𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑎𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙.

Construcción del gráfico. 𝑃(𝑥)

Para graficar una función racional 𝑓(𝑥) = 𝑄(𝑥), podemos seguir estos pasos: 1) Indicamos el dominio de la función. 2) Analizamos si la función tiene asíntotas verticales (A.V.). En este caso si existen, escribimos sus ecuaciones y las trazamos en el gráfico con una línea punteada. 3) Analizamos si la función tiene asíntotas horizontales (A.H.). En este caso si existen, escribimos sus ecuaciones y las trazamos en el gráfico con una línea punteada. 4) Hallamos los ceros de la función, si es que existen, y los marcamos en el gráfico. 5) Hallamos el punto de intersección del gráfico de la función con el eje y (Ordenada al origen), si es que existe, y lo marcamos. 6) Si es necesario calculamos algunas imágenes de la función que nos ayuden a trazar el gráfico. Por ejemplo, si hay asíntotas verticales, suele ser útil obtener las imágenes de los valores de x próximos a ellas, a uno y otro lado de cada una. 7) Trazamos el gráfico de 𝑓(𝑥) de modo que la curva pase por los puntos que marcamos y se aproxime a las asíntotas, si es que existen.

IMPORTANTE: 

𝐼𝑛𝑡𝑥 = 𝑅𝑎í𝑐𝑒𝑠 = 𝐶 0 → 𝑆𝑜𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑥 , 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑦 = 0.



𝐼𝑛𝑡𝑦 = 𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑙 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛 (𝑂𝐴𝑂) → 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑦, 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = 0.

Ejemplos. 3𝑥+6

1)Grafiquemos la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥+2 1. Indicamos su dominio : 𝐷𝑜𝑚 𝑓(𝑥) = 𝑅 − {−1}. 2. Analizamos si tiene asíntota vertical. El valor de x que anula al denominador de la fórmula de 𝑓(𝑥) es 𝑥 = −1 . Nos preguntamos ¿ anula también al numerador? No, porque si reemplazo en el numerador x por -1 queda : 3. (−1) + 6 = 3 . Por lo tanto la ecuación de la asíntota vertical es 𝑥 = −1. Trazamos una línea punteada para marcar su asíntota. 3. Analizamos si tiene asíntota horizontal. 3 ℎ𝑎𝑦 𝑢𝑛𝑎 𝑎𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙. 2 Trazamos una línea punteada para marcar su asíntota. 𝑔𝑟 𝑃(𝑥) = 1 𝑦 𝑔𝑟 𝑄(𝑥) = 1 → 𝑒𝑛 𝑦 =

4. Hallamos los ceros de la función. 3𝑥 + 6 =0 2𝑥 + 2 6 𝑦 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑥 = − = −2 → 𝐶 0 = {−2} 3 Marcamos ese punto en el gráfico. 3𝑥 + 6 = 0 , 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑥

5. Hallamos la intersección del gráfico con el eje . 𝑦=

3.0 + 6 2.0 + 2

𝑦=

6 =3 2

En 𝑦 = 3 se encuentra la ordenada al origen (OAO) de la función. Marcamos ese punto en el gráfico. 6. Calculamos algunas imágenes más, a través de una tabla de valores y marcamos esos puntos. 3.1 + 6 9 9 𝑓(1) = = → (1; ) 2.1 + 2 4 4 𝑓(2) =

𝑓(−3) =

3.2 + 6 18 = = 3 → (2 ; 3) 2.2 + 2 6

3. (−3) + 6 −3 3 3 = = → (−3 ; ) 2. (−3) + 2 −4 4 4

2) Graficar 𝑔(𝑥) = 1) 2) 3) 4)

1 𝑥 2 −9

𝐷𝑜𝑚 𝑔(𝑥) = 𝑅 − { 3 ; −3} A.V : 𝑥 = 3 𝑦 𝑥 = −3 A.H: 𝑔𝑟 𝑃(𝑥) = 0 𝑦 𝑔𝑟 𝑄(𝑥) = 2 → 𝑒𝑛 𝑦 = 0 ℎ𝑎𝑦 𝑢𝑛𝑎 𝑎𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙. Hallamos los ceros : 1 𝑥 2 −9

= 0 → 1 = 0‼! 𝑒𝑠 𝑎𝑏𝑠𝑢𝑟𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑐𝑒𝑟𝑜𝑠. ∴ 𝐶 0 = ∅

5) Hallamos la ordenada al origen. 1 =𝑦 02 − 9 1 − =𝑦 9 6) Calculamos algunas imágenes 𝑔(1) = 𝑔(−2) =

12

1 1 =− −9 8

1 1 =− 2 (−2) − 9 5