Aula 3 - Reta Qualquer e Reta de Perfil_AMB0099_2020

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA E CIÊNCIAS AMBIENTAIS DISCIPLINA: EXPRESSÃO GRÁFICA – AMB0099

Reta Genérica ou Qualquer e Reta de Perfil Profª.: Daniela Leite Mossoró – RN / 2020.1

Objetivos da aula: • Representar

uma reta qualquer por suas projeções ortogonais, no espaço e em épura;

• Representar

uma reta de perfil por suas projeções ortogonais e pela sua projeção lateral ou terceira projeção, no espaço e em épura;

• Verificar se um ponto pertence a uma reta.

• Coordenadas Descritivas de um Ponto no Espaço:

• Abscissa (x): é a posição do ponto ao longo da linha de terra. - Se for medida à direita da origem é positiva [x>0]; - Se for medida à esquerda da origem é negativa [x0]; - Se for medido no SPHP (pP) é negativo [y0]; - Se for medida no SPVI (p’I) é negativa [z 0 da LT pra baixo). Cota: medido acima, abaixo ou coincidindo com a linha de terra. (z > 0 da LT pra cima).

• Reta: • Ao infinito nas duas direções; deslocamento de diversos

pontos:

• Semirreta: • Ao infinito em uma direção:

• Segmento de Reta: • Parte da reta delimitada por dois pontos da extremidade:

Retas • Conceito de Reta: • Uma reta fica determinada no espaço quando se

conhece dois de seus pontos (colineares), sendo esses pontos não coincidentes. (B)

B´

(r) A`

(A)

B

B0 A0

A

(p)

Retas • Comportamento da Projeção de uma Reta em um

plano: • A Reta é paralela ao plano de projeção: (C) (s) (D)

(r)

r C

(a)

D

(a) = plano de projeção. (r) = plano projetante da reta no plano de projeção.

O plano projetante tem forma de um retângulo. q = 0º (C)(D) = CD

A projeção da reta tem mesmo comprimento que a reta objeto, ou seja, a projeção da reta está em Verdadeira Grandeza (VG).

Retas • Comportamento da Projeção de uma Reta em um

plano: • A Reta está situada ou aposta no plano de projeção:

(A) = A

(B) = B

(r) = r (a)

(a) = plano de projeção. (r) = plano projetante da reta no plano de projeção. q = 0º

(A)(B) = AB

A projeção da reta coincide com a reta objeto (r), tendo o mesmo comprimento desta reta, ou seja, a projeção da reta está em Verdadeira Grandeza (VG).

Retas • Comportamento da Projeção de uma Reta em um

plano: • A Reta é ortogonal ao plano de projeção:

(E)

v (F)

(a) = plano de projeção. (r) = plano projetante da reta no plano de projeção.

q = 90º (a)

v=E=F

A projeção da reta no plano de projeção reduz-se a um ponto.

Retas • Comportamento da Projeção de uma Reta em um

plano: • A Reta é oblíqua ao plano de projeção: (B)

(A)

(a) = plano de projeção. (r) = plano projetante da reta no plano de projeção.

(r) q

r A

B

O plano projetante tem forma de um trapézio retangular.

(a)

Observa-se que sempre que a reta não for paralela ou perpendicular ao plano de projeção, o tamanho da sua projeção será sempre menor do que o seu tamanho real.

0 < q < 90º (A)(B) > AB

AB = (A)(B) . cos q

Retas • Comportamento da Projeção de uma Reta em um

plano: • CONCLUSÕES:

• A projeção de uma reta é outra reta, excetuando-

se quando a reta é ortogonal ao plano de projeção. • Quando a reta é ortogonal ao plano de projeção, a sua projeção se reduz a um ponto. • Quando a reta é oblíqua (inclinada) ao plano de projeção, a sua projeção é menor do que o tamanho real da reta.

Retas • Comportamento da Projeção de uma Reta em um

plano: • É obtida através da projeção ortogonal de pelo menos

dois de seus pontos neste plano. - A reta que passa pelas projeções, A e B, dos dois pontos objetos, (A) e (B), é a projeção da reta objeto (r) no plano horizontal. - A reta que passa pelas projeções, A’ e B’, dos dois pontos objetos, (A) e (B), é a projeção da reta objeto (r) no plano vertical.

r` (r)

r

(A) A `

(B) B` B A

(pA)

Reta Genérica ou Reta Qualquer • Conceito: • É aquela que oblíqua aos planos de projeção (p) e (p’),

e a linha de terra (p’p).

As projeções da reta nunca estarão em VG; sempre menores do que a realidade.

- Abscissa (x): variável - Afastamento (y): variável - Cota (z): variável

(r)

Reta Genérica ou Reta Qualquer • Conceito: • É aquela que oblíqua aos planos de projeção (p) e (p’),

e a linha de terra (p’p).

r` As projeções da reta nunca estarão (r) em VG; sempre menores do que a realidade.

r (A)

(B)

A` B`

B A

- Abscissa (x): variável - Afastamento (y): variável - Cota (z): variável

(pA)

Reta Genérica ou Reta Qualquer • Representação no Espaço:

- Pontos (A) ... - letra maiúscula - Reta (r) ... - letra minúscula

(r) (A)

(B)

(pA)

Reta Genérica ou Reta Qualquer • Representação no Espaço:

- Projeção horizontal: reta (r) que passa pelas projeções horizontais A e B dos pontos (A) e (B). (r) (A)

r

(B)

B A

(pA)

Reta Genérica ou Reta Qualquer • Representação no Espaço:

- Projeção vertical: reta (r’) que passa pelas projeções verticais A’ e B’ dos pontos (A) e (B). r`

(r) (A)

(B)

A` B`

(pA)

Reta Genérica ou Reta Qualquer • Representação no Espaço:

- Projeção horizontal da reta → (r) - Projeção vertical da reta → (r’) r`

(r) (A)

r

(B)

A` B`

B A

(pA)

Reta Genérica ou Reta Qualquer • Representação em Épura:

r` A` B´

r

Linha de chamada

q1

q2

LT A

B

As retas r e r’, oblíquas à linha de terra, são respectivamente as projeções horizontal e vertical de uma reta objeto qualquer (r).

Reta Genérica ou Reta Qualquer • Descrição da Trajetória de uma Reta: • Indicar por qual ou quais diedros ela passa ou

apresenta pontos.

Quando qualquer projeção da reta cruza a LT, significa que a reta objeto está mudando de diedro, pois essa projeção está mudando de semi-plano.

r` A` B´

r

q1

q2

LT A

B

Reta Genérica ou Reta Qualquer • Descrição da Trajetória de uma Reta: A`

r`

B´ A

A`

A

r

r

B

B´

r`

B

1º d - y (+) ; z (+) A

r

2º d - y (-) ; z (+)

B A B

A`

r`

A` B´

3º d - y (-) ; z (-)

B´

r r`

4º d - y (+) ; z (-)

Reta Genérica ou Reta Qualquer • Descrição da Trajetória de uma Reta:

r` 1º d

2º d

4º d

A` B´

r

q1

q2

Mudança de diedro

A

B

Mudança de diedro

Reta Genérica ou Reta Qualquer • Resolução orientada de Exercícios: • Representar a épura da reta

sua trajetória:

(A) [2, 4, 0] (B) [5, 2, -1]

(r)

(A)(B) e descrever

Reta de Perfil • Conceito: • É aquela situada em um plano perpendicular à linha de

terra (p’p) (plano de perfil) e oblíqua aos planos de projeção horizontal (p) e vertical (p’).

Plano de perfil → todos os pontos apresentam a mesma abscissa.

- Abscissa (x): constante - Afastamento (y): variável - Cota (z): variável

(r)

Reta de Perfil • Representação no Espaço:

(r) Plano de perfil (A)

r`

A` (B)

B` A

r

B (pA)

- Projeção horizontal: reta (r) que passa pelas projeções horizontais A e B dos pontos (A) e (B). - Projeção vertical: reta (r’) que passa pelas projeções verticais A’ e B’ dos pontos (A) e (B).

Reta de Perfil • Representação em Épura:

C`

r`

A`

r` 0

D´

B´

C

A0 = B0

x

r D

A

C0 = D0

r B

2º d - y (-) ; z (+)

1º d - y (+) ; z (+) E

G0 = H 0

r

G

F

E0 = F0 E´

r H

G´

r´ F´

3º d - y (-) ; z (-)

r`

H`

4º d - y (+) ; z (-) Em épura, se faz a representação por apenas dois pontos quaisquer da reta.

Reta de Perfil • Para

caracterizar uma Reta de Perfil é necessário utilizar outro método de projeção: Projeção Lateral ou Terceira Projeção.

Reta de Perfil • Representação no Espaço: • Projeção Lateral ou Terceira Projeção (p’’): é um plano

de perfil paralelo ao que contém a reta de perfil e localizado sempre à direita desse último, em qualquer diedro. r”

(p’’)

p” = p’

(p’’)

(r)

(r) = p’’

(r) (A) = A”

A’’ (A)

B’’

(B) = B’’

(p)

(B) (p)

A”B” = (A)(B) = VG

p = p”

(r) = r’’

Reta de Perfil • Representação no Espaço: • Projeção Lateral ou Terceira Projeção (p’’): considera-

se o plano lateral coincidindo com o plano que contém a reta. Como a projeção lateral e a reta de perfil são sempre paralelas ou coincidentes, a Projeção Lateral está em Verdadeira Grandeza (VG). p” = p’

(p’’) (r) = p’’ (A) = A” (B) = B’’

p = p”

(p)

(r) = r’’

Reta de Perfil • Representação em Épura: • Projeção Lateral ou Terceira Projeção (p’’):

2º diedro

1º diedro

3º diedro

4º diedro

Em épura, o plano lateral coincide com os quadrantes cartesianos.

Reta de Perfil • Representação em Épura: • Obtenção da Projeção Lateral ou Terceira Projeção (p’’):

- Obter as projeções horizontal e vertical do ponto;

Reta de Perfil • Representação em Épura: • Obtenção da Projeção Lateral ou Terceira Projeção (p’’):

- A partir da projeção vertical P’, traça-se uma reta auxiliar tracejada paralela a LT no sentido do diedro (quadrante) que se encontra o ponto;

Reta de Perfil • Representação em Épura: • Obtenção da Projeção Lateral ou Terceira Projeção (p’’):

Transporta-se ou rebate-se a projeção horizontal P para linha de terra, sempre no sentido anti-horário;

Reta de Perfil • Representação em Épura: • Obtenção da Projeção Lateral ou Terceira Projeção (p’’):

- A partir da projeção horizontal rebatida P1, traça-se uma reta auxiliar tracejada perpendicular a LT até interceptar a reta auxiliar que passa pela projeção vertical, obtendose assim, a projeção lateral do ponto ou terceira projeção P”.

Reta de Perfil • Representação em Épura: • Obtenção da Projeção Lateral ou Terceira Projeção (p’’):

Invertendo-se a sequência dos passos, pode-se obter as projeções horizontal e vertical dos pontos a partir da projeção lateral.

Reta de Perfil • Representação em Épura: • Obtenção da Projeção Lateral ou Terceira Projeção (p’’):

1. Obter as projeções horizontal e vertical dos pontos da reta;

Reta de Perfil • Representação em Épura: • Obtenção da Projeção Lateral ou Terceira Projeção (p’’):

2. Obter as projeções laterais (A1) e (B1) dos pontos, para isso, transporta-se ou rebate-se a projeção horizontal P para linha de terra, sempre no sentido anti-horário;

Reta de Perfil • Representação em Épura: • Obtenção da Projeção Lateral ou Terceira Projeção (p’’):

3. Rotacionar o plano de projeção lateral no sentido antihorário, até encontrar o plano vertical de projeção.

Reta de Perfil • Representação em Épura: • Obtenção da Projeção Lateral ou Terceira Projeção (p’’):

4. Marcar as projeções horizontais dos pontos laterais, A1 e B1.

Reta de Perfil • Representação em Épura: • Obtenção da Projeção Lateral ou Terceira Projeção (p’’):

5. Rotacionar o plano de projeção horizontal (realizar o rebatimento), para obtenção da épura.

Reta de Perfil • Representação em Épura: • Obtenção da Projeção Lateral ou Terceira Projeção (p’’):

6. Ler / descrever a trajetória da reta de Perfil.

Em Épura: o plano lateral coincide com os quadrantes, então serve para indicar a trajetória da reta entre os diedros.

Reta de Perfil • Representação em Épura: • Obtenção da Projeção Lateral ou Terceira Projeção (p’’): p” p

(A) (B) (A) [ 6 ; -2; 4] (B) [ 6 ; 5; 2]

A”

A’ A ≡ B’

0 A 1

B”

B1

45 º A0 ≡ B0

45 º B

A projeção que passa pelas projeções laterais de dois pontos de uma reta de perfil é a projeção Lateral desta Reta de Perfil.

Reta de Perfil • Representação em Épura: • Projeção Lateral ou Terceira Projeção (p’’): p” p ’

p” p ’

P”

P’

P

P”

0

P0

P’

0

P1

P0

P1

P

1º d

2º d

Reta de Perfil • Representação em Épura: • Projeção Lateral ou Terceira Projeção (p’’):

p” p ’

p” p ’

P 0 P1

0

P0

P1

P0 P

P”

3º d

P’

P’

P”

4º d

Reta de Perfil • Resolução orientada de Exercícios: • Representar a épura da reta de perfil

descrever sua trajetória:

(C) [10, 3, 5] (D) [?, -8, -2]

(r)

(C)(D) e

Reta de Perfil • Pertinência de Ponto e Reta: • Reta Qualquer: Um ponto pertence a Reta, se as

projeções ortogonais do ponto coincidem com as respectivas projeções de mesmo nome da reta. r`

(A), (B) e (P) ∊ (r) (M), (N) e (O) ∉ (r)

A` P` M`

A0

N`

P0

M0

O

N0

B` B0

00

r A

M

N P

O`

B

Reta de Perfil • Pertinência de Ponto e Reta: • Reta de Perfil: Quando a projeção lateral do

ponto pertence a projeção lateral da reta. p” p

r” A’

A” P”

P’

B”

B’

0

x A0 ≡ B0 ≡ P0

A

(A) e (B)∊ (r) (P) ∉ (r), P” ∉ (r’’)

P B

A1 P1

B1

Retas • Exercícios: • Resolver as questões 1, 2 e 3,da página 49 do livro

Notas de Aula de Desenho I.

Retas • Exercícios: • Resolver as questões 1, 2 e 3,da página 49 do livro

Notas de Aula de Desenho I.

Retas • Exercícios: • Resolver as questões 1, 2 e 3,da página 49 do livro

Notas de Aula de Desenho I.

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“NINGUÉM É TÃO SÁBIO QUE NADA TENHA PARA APRENDER, NEM TÃO TOLO QUE NADA TENHA PARA ENSINAR.” (BLAISE PASCAL)

Daniela da Costa Leite Coelho [email protected] / [email protected]