Aula 20 - Equações Trigonométricas

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MATEMÁTICA FRENTE: MATEMÁTICA I

EAD – ITA/IME

PROFESSOR(A): FABRÍCIO MAIA

AULAS 19 E 20

ASSUNTO: EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

02. O número de soluções da equação (1 + secθ)⋅(1 + cossecθ) = 0, com θ ∈ [−π, π], é A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

Resumo Teórico

Equações Trigonométricas Em Álgebra, costumamos definir as equações como toda sentença matemática aberta expressa por uma igualdade. Assim, uma equação é dita trigonométrica quando em sua composição o valor desconhecido aparece relacionado com seno, cosseno, tangente, cotangente, secante ou cossecante. Resolvê-la, consiste em encontrar os valores que verificam a sentença.

03. Os valores de x ∈ [0, 2π] que satisfazem a equação 2⋅senx – cosx = 1 são  3  3 B) arcsen   e π A) arccos   e π  5  5  4 C) arcsen  −  e π  5  4 E) arccos   e π  5

Seno, Cosseno e Tangente (Arcos Notáveis) α

senα

cosα

tgα

0

0

1

0

π 6

1 2

3 2

3 3

π 4

2 2

2 2

1

π 3

3 2

1 2

3

π 2

1

0

04. Sejam α e β números reais tais que α, β, α + β ∈ ]0, 2π[ satisfazem as 4 3  α 4  α 1 2  β 4  β equações cos2   = cos 4   + e cos   = cos   + .  3 7  3 7  2 5  2 5 Então, o menor valor de cos(α + β) é igual a 3 A) –1 B) − 2 C) −

2 2

1 2

cos x sen x + = −1, calcule o valor S. cos y sen y

Exercícios tg3x − 3 ⋅ tgx + 1 = 0, podemos afirmar 01. Com relação à equação 1 − 3 ⋅ tg2x que  π π A) no intervalo  − ,  a soma das soluções é igual a 0.  2 2  π π B) no intervalo  − ,  a soma das soluções é maior que 0.  2 2 C) a equação admite apenas uma solução real.  π D) existe uma única solução no intervalo 0,  .  2  π  E) existem duas soluções no intervalo  − , 0 .  2 

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D) −

E) 0 ∃ 05. Se

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 4 D) arccos  −  e π  5

S=

06. Seja a equação

3 cos y + cos 3y 3seny − sen 3y + senx cos x sen(2x ) 1 = . As soluções dessa equação para 2 tg x

 π  x ∈  − , π  formam um polígono no círculo trigonométrico de  2  área 3 B) 3 A) 2 C)

5 3 8

D)

1 2

E) 1

006.307 – 132232/18

MÓDULO DE ESTUDO 07. Determine o conjunto solução da equação:

GABARITO

(sen x ) 1+ tg x tg x  = 4 − cotg x 2

01

08. O número de soluções da equação cos(8x) = sen(2x) + tg2(x) + cotg2(x) no intervalo [0, 2π) é: A) 0 B) 1 C) 2 D) 4 E) 8

03

04

06

07

08 C

B

A

A

B

*

A

*

09

10

11

12

13

14

15

*

E

B

*

A

*

*

{

*07: S = x ∈  / x = *09: cos x = −

10. Sejam a um número real e n o número de todas as soluções reais e distintas x ∈ [0, 2π] da equação cos8x – sen8x + 4sen6 x = a. Das afirmações: I. Se a = 0, então n = 0; 1 II. Se a = , então n = 8; 2

cos x =

}

5π π + kπ ou x = + kπ , k ∈  12 12

1 2π →x=± + 2kπ; k ∈  2 3

1  1 → x = ± arccos   + 2kπ; k ∈   3 3

π + k ⋅ 2π, k ∈  6 π π x=± + k ⋅ , k ∈ 36 3 π π S = x ∈ / x = ± + k ⋅ , k ∈ 36 3

*12: 6x = ±

{

III. Se a = 1, então n = 7; IV. Se a = 3, então n = 2.

}

    *14: S = x ∈  / x = arc sen  5 − 1 + k ⋅ 2π, k ∈    2  

B) apenas III D) apenas II e IV

{

}

)π ( *15: S = x ∈  / x = 2k + 1 , k inteiro 8

2 11. Seja x ∈ [0, 2π] tal que sen(x)cos(x) = . Então, o produto e a 5 soma de todos os possíveis valores de tg(x) são, respectivamente 5 A) 1 e 0 B) 1 e 2 C) –1 e 0 D) 1 e 5 5 E) –1 e – 2 12. Resolva a equação cos43x – sen43x =

05

*05: S = 4

09. Determine o conjunto das soluções reais da equação  x 3cossec2   − tg2x = 1 .  2

é(são) verdadeira(s) A) apenas I C) apenas I e III E) todas

02

Anotações

3 . 2

13. Sabe-se que uma das raízes da equação y2 – 9y + 8 = 0 pode ser 4 6 π ( 2 )n2 representada pela expressão e sen x + sen x + sen x + ... . Sendo 0 < x < , 2 cos x o valor da razão é cos x + sen x Observação: n2 representa o logaritmo neperiano de 2. 3 −1 B) 3 − 1 A) 2 C)

3

E)

3 +1

D)

3 +1 2

14. Resolva a equação (logcos x sen2x ) ⋅ (logcos2 x sen x ) = 4. 15. Resolva a equação sen6 x + cos6 x =

5 . 8 SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: FABRÍCIO MAIA DIG.: ESTEFANIA – REV.: TEREZA

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