Álgebra - Caderno 09

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ENSINO MÉDIO

9

PROFESSOR

MATEMÁTICA ÁLGEBRA

MATEMÁTICA

ÁLGEBRA Luiz Roberto Dante

MATEMÁTICA

Análise combinatória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Fatorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 Princípio da multiplicação ou princípio fundamental da contagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 Permutações simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 Permutações com repetição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 Arranjos simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 Combinações simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19 Problemas que envolvem os vários tipos de agrupamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24 Números binomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26 Triângulo de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27 Binômio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31 Revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

ÁLGEBRA

ANÁLISE COMBINATÓRIA 1

2126956 (PR)

Análise combinatória

1

MÓDULO

Análise combinatória

Estátua Iracema Guardiã (1996). Diferentemente das outras esculturas em homenagem à personagem, essa obra mostra a indígena segurando um grande arco, de frente para o mar, lembrando uma posição de combate. Praia de Iracema, Fortaleza, Ceará.

FABIO COLOMBINI

A palavra “América” tem 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ?1 5 2520 anagramas. 2 ?1

REFLETINDO SOBRE A IMAGEM Em Análise combinatória, há um conceito chamado princípio multiplicativo. Um exemplo clássico da aplicação desse princípio é o cálculo da quantidade de anagramas de uma palavra (do grego anagrama) 2 rearranjos das letras que a compõem. Um dos marcos do romance indianista, Iracema, do autor cearense José de Alencar (1829-1877), tem como protagonista Iracema (“lábios de mel” em guarani), cujo nome é um anagrama da palavra “América” 2 sugerindo a ideia de a personagem ser a personificação do novo mundo americano conquistado pelo europeu. Sabe quantos anagramas é possível formar com a palavra “América”? Sabe como utilizar o princípio multiplicativo e sua relação com Análise combinatória? www.ser.com.br

CAPÍTULO

1

Análise combinatória Veja, no Guia do Professor, o quadro de competências e habilidades desenvolvidas neste módulo.

Objetivos: c Compreender o conceito de contagem.

c Aprender a aplicar as técnicas de contagem para resolver situações-problema.

c Identificar as propriedades dos números binomiais no triângulo de Pascal.

c Entender o conceito de fatorial e binômio de Newton.

c Aplicar a fórmula do termo geral do binômio.

Analise a seguinte situação-problema: Usando as 26 letras e os 10 algarismos conhecidos, quantas placas diferentes de automóvel podem ser feitas de modo que, em cada uma, existam três letras (não repetidas) seguidas de quatro algarismos (repetidos ou não)? Problemas como esse envolvem o cálculo do número de agrupamentos que podem ser feitos com os elementos de um ou mais conjuntos, submetidos a certas condições. Esses problemas constituem o que chamamos de problemas de contagem, pois o que nos interessa aqui é calcular quantas e não necessariamente quais possibilidades existem.

FATORIAL Inicialmente, vamos estudar o conceito de fatorial, que será bastante útil ao longo do capítulo. Considerando-se n um número natural, chamamos de fatorial de n ou n fatorial o número n!, tal que: para n 5 0 ; 0! 5 1 para n 5 1 ; 1! 5 1 PARA para n > 2 ; n! 5 n ? (n 2 1) ? (n 2 2) ? ... ? 2 ? 1 (proREFLETIR duto dos n fatores, de n até 1) Exemplos: Podemos escrever: 1o) 5! 5 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 120 n! 5 n(n 2 1)! 2o) 4! 5 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 24 15! 5 15 ? 14 ? 13! 3o) 2! 5 2 ? 1 5 2

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1 Simplifique as expressões: a) 20! 18! b) 48! 1 49! 50! n! c) (n 1 1)! RESOLUÇÃO:

4

a)

20! 5 20 ? 19 ? 18! 5 380 18! 18!

b)

48! (1 1 49) 50 5 5 1 50 ? 49 ? 48! 50 ? 49 49

c)

n! n! 1 5 5 (n 1 1)! (n 1 1) n! n11

Análise combinatória

3 Encontre o valor de n na equação (n 2 2)! 5 720

2 (FEI-SP) Se (n 1 4)! 1 (n 1 3)! 5 15(n 1 2)!, então: a) b) c) d) e)

n54 n53 n52 n51 n50

RESOLUÇÃO: Vamos fatorar 720 em fatores consecutivos a partir de 2: 720 2 360 2

RESOLUÇÃO:

(n 1 4 )! 1 (n 1 3)! 515(n 1 2)! ⇒ ⇒ (n 1 4 )(n 1 3)(n 1 2 )! 1 (n 1 3)(n 1 2 )! 5 15(n 1 2 )! ⇒ ⇒ (n 1 4 )(n 1 3) 1 (n 1 3) 5 15 ⇒ ⇒ n2 1 8n 1 15 5 15 ⇒ n 5 0

180 90 45

2 2 3

15 5 1

3 5

720 5 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 5 720 5 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 6! Logo: (n 2 2)! 5 6! ⇒ n 2 2 5 6 ⇒ n 5 8

ou n 5 28 (não convém) Alternativa e.

PRINCÍPIO DA MULTIPLICAÇÃO OU PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM Acompanhe a seguir a resolução de alguns problemas. 1o) Uma pessoa quer viajar de Recife a Porto Alegre passando por São Paulo. Sabendo que há 5 roteiros diferentes para chegar a São Paulo partindo de Recife e 4 roteiros diferentes para chegar a Porto Alegre partindo de São Paulo, de quantas maneiras possíveis essa pessoa poderá viajar de Recife a Porto Alegre? Para facilitar a compreensão vamos utilizar os esquemas seguintes: A

A B

1

C

D

A

A

C

A esse 1o esquema dá-se o nome de árvore de possibilidades ou diagrama de árvore.

C

D

B

2

B

4

PARA REFLETIR

B

5

C D

D A B

3

C D

5 possibilidades

São Paulo

A B

Porto Alegre

C D 4 possibilidades

5 ? 4 5 20 possibilidades: 1A 1B 1C 1D 2A 2B 2C 2D 3A 3B 3C 3D 4A 4B 4C 4D 5A 5B 5C 5D Portanto, nas condições do problema, há 20 maneiras possíveis de viajar de Recife a Porto Alegre, passando por São Paulo.

PARA REFLETIR Dizemos que essa viagem de Recife a Porto Alegre é um evento composto por duas etapas sucessivas e independentes. Quais são elas?

Análise combinatória

MATEMÁTICA

Recife

1 2 3 4 5

ÁLGEBRA

ou

5

2o) Ao lançarmos uma moeda e um dado, temos as seguintes possibilidades para o resultado (em que C é cara e C, coroa): 1

C 1

2

C 2

3

C 3

4

C 4

5

C 5

6

C 6

1

C. 1

2

C. 2

3

C. 3

4

C. 4

5

C. 5

6

C. 6

6 possibilidades

12 possibilidades

C

C.

2 possibilidades

Observe que o evento tem duas etapas, com 2 possibilidades em uma e 6 possibilidades em outra, totalizando 2 ? 6 5 12 possibilidades. 3o) Quantos números de 3 algarismos podem ser escritos nas seguintes condições: o algarismo das centenas corresponde a um múltiplo de 3, o das dezenas é 4 ou 7 e o das unidades corresponde a um múltiplo de 5? Neste caso, o número (evento) é composto de 3 etapas (algarismos): 0

340

5

345

0

370

5

375

0

640

5

645

0

670

5

675

0

940

5

945

0

970

5

975

2 possibilidades

12 possibilidades

4 3 7

4 6 7

PARA REFLETIR Mesmo sendo múltiplo de 3, o zero é excluído do algarismo das centenas. Por quê?

4 9 7

3 possibilidades

2 possibilidades

Há 3 possibilidades para o algarismo das centenas, 2 possibilidades para o algarismo das dezenas e 2 possibilidades para o algarismo das unidades, totalizando 3 ? 2 ? 2 5 12 possibilidades. Portanto, podemos escrever 12 números nas condições dadas. 6

Análise combinatória

De modo geral, podemos dizer:

Se um evento é composto por duas etapas sucessivas e independentes de tal maneira que o número de possibilidades na 1a etapa é m e para cada possibilidade da 1a etapa o número de possibilidades na 2a etapa é n, então o número de possibilidades de o evento ocorrer é dado pelo produto m ? n. Observação: o produto dos números de possibilidades vale para qualquer número de etapas independentes.

EXERCêCIOS RESOLVIDOS 4 Em um restaurante, há 2 tipos de salada, 3 tipos de prato quente e 3 tipos de sobremesa. Quais e quantas são as possibilidades que temos para fazer uma refeição com uma salada, um prato quente e uma sobremesa? RESOLU‚ÌO: Representando por S1 e S2 os dois tipos de salada; por P1, P2 e P3 os três tipos de prato quente; e por s1, s2 e s3 os três tipos de sobremesa, temos: P1

S1

P2

P3

P1

S2

P2

P3

s1

S1P1s1

s2

S1P1s2

s3

S1P1s3

s1

S1P2s1

s2

S1P2s2

s3

S1P2s3

s1

S1P3s1

s2

S1P3s2

s3

S1P3s3

s1

S2P1s1

s2

S2P1s2

s3

S2P1s3

s1

S2P2s1

s2

S2P2s2

s3

S2P2s3

s1

S2P3s1

s2

S2P3s2

s3

S2P3s3

2 3 3 18 possibilidades possibilidades possibilidades possibilidades

5 Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6? RESOLU‚ÌO: centena

dezena

unidade

Há 6 possibilidades para preencher a lacuna das centenas, 6 possibilidades para preencher a lacuna das dezenas e outras 6 possibilidades para preencher a lacuna das unidades, pois um algarismo pode aparecer mais de uma vez no mesmo número. Portanto, temos 6 ? 6 ? 6 5 63 possibilidades no total, o que indica que podemos escrever 63 5 216 números de três algarismos com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6.

Análise combinatória

MATEMÁTICA

ÁLGEBRA

Portanto, o número total de possibilidades é 2 ? 3 ? 3 5 18.

7

6 Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6? RESOLUÇÃO: centena

dezena

unidade

Há 6 possibilidades para a centena, 5 possibilidades para a dezena e 4 possibilidades para a unidade, já que o exercício pede números de 3 algarismos distintos. Então, temos 6 ? 5 ? 4 5 120 possibilidades, ou seja, podemos formar 120 números.

7 Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7: a) quantos números de 3 algarismos podemos formar? b) quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar? RESOLUÇÃO: a) centena

dezena

unidade

Há 7 possibilidades para a centena (0 não é permitido), 8 para a dezena e 8 para a unidade. Portanto, podemos formar 7 ? 8 ? 8 5 448 números. b) centena dezena unidade Com 3 algarismos distintos, há 7 possibilidades para a centena, 7 para a dezena e 6 para a unidade. Portanto, podemos formar 7 ? 7 ? 6 5 294 números de 3 algarismos distintos com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7. As competências e habilidades do Enem estão indicadas em questões diversas ao longo do módulo. Se necessário, explique aos alunos que a utilidade deste “selo” é indicar o número da(s) competência(s) e habilidade(s) abordada(s) na questão, cuja área de conhecimento está diferenciada por cores (Linguagens: laranja; Ciências da Natureza: verde; Ciências Humanas: rosa; Matemática: azul). A tabela para consulta da Matriz de Referência do Enem está disponível no portal. PARA CONSTRUIR

1 (UFC-CE) Dentre os cinco números inteiros listados abaixo, m Ene-1 C 2 H-

aquele que representa a melhor aproximação para a expressão:

m Ene-1 C 3 H-

2 ? 2! 1 3 ? 3! 1 4 ? 4! 1 5 ? 5! 1 6 ? 6! é: b a) b) c) d) e)

m Ene-1 C 2 Hm Ene-1 C 3 H-

a) 264 b) 263 ? 21 c) 263 ? 84

5 030. 5 042. 5 050. 5 058. 5 070.

d) 264 2 54 e) 214 1 54

Pelo Princípio Multiplicativo, podemos formar 26 ? 26 ? 26 ? 26 5 5 264 códigos, sem qualquer restrição, utilizando as 26 letras do alfabeto. Por outro lado, o número de códigos em que figuram apenas vogais, também pelo Princípio Multiplicativo, é dado por 5 ? 5 ? 5 ? 5 5 54. Em consequência, o resultado pedido é igual a 264 2 54.

2 ? 2! 1 3 ? 3! 1 4 ? 4! 1 5 ? 5! 1 6 ? 6! 5 5 4 1 18 1 96 1 600 1 4 320 5 5 038 5 038 2 5 030 5 8 e 5 042 2 5 038 5 4, portanto 5 042 representa melhor a expressão.

3 (Uneb-BA) Texto para a próxima questão: Danos de alimentos ácidos niu no computador. Sabe apenas que é constituída por quaO esmalte dos dentes dissolve-se prontamente em contro letras seguidas, com pelo menos uma consoante. tato com substâncias cujo pH (medida da acidez) seja menor m Ene-1 C 2 do que 5,5. Uma vez dissolvido, o esmalte não é reposto, e as H Usuário partes mais moles e internas do dente logo apodrecem. A Alice m Ene-5 C 7 acidez de vários alimentos e bebidas comuns é surpreendenH-1 temente alta; as substâncias listadas a seguir, por exemplo, Senha podem causar danos aos seus dentes com contato prolongado. ••••

2 (UPF-RS – Adaptada) Alice não se recorda da senha que defim Ene-1 C 1 H-

Como o alfabeto é constituído por 26 letras e se considerarmos que não há diferença para o uso de maiúsculas e minúsculas, quantos códigos dessa forma é possível compor? d

m Ene-1 C 1 H-

(BREWER. 2013, p. 64).

8

Análise combinatória

Comida/bebida

4 (Unicamp-SP) Para acomodar a crescente quantidade de ve’-

pH

Suco de limão/ lima

1,8 2 2,4

Café preto

2,4 2 3,2

Vinagre

2,4 2 3,4

Refrigerantes de cola

m Ene-1 C 1 Hm Ene-1 C 2 H-

culos, estuda-se mudar as placas, atualmente com tr•s letras e quatro algarismos numŽricos, para quatro letras e tr•s algarismos numŽricos, como está ilustrado abaixo. ABC 1234

2,7

Suco de laranja

2,8 2 4,0

Maçã

2,9 2 3,5

Uva

3,3 2 4,5

Tomate

3,7 2 4,7

Maionese/ molho de salada

3,8 2 4,0

Chá preto

4,0 2 4,2

m Ene-1 C 3 H-

Considere o alfabeto com 26 letras e os algarismos de 0 a 9. O aumento obtido com essa modifica•‹o em rela•‹o ao nœmero máximo de placas em vigor seria: a a) inferior ao dobro. b) superior ao dobro e inferior ao triplo. c) superior ao triplo e inferior ao quádruplo. d) mais que o quádruplo. Total de placas possíveis no modelo em estudo: 264 ? 103 Total de placas possíveis no modelo atual: 263 ? 104 4 3 Razão entre os dois valores: 263 ? 104 5 2,6. 26 ? 10 Portanto, o aumento será de 2,6 2 1 5 1,6 (160%), ou seja, menos que o dobro.

Considere que em um laboratório foram verificadas, por um tŽcnico, duas amostras de alimentos que constam na tabela e verificado, por ele, que o pH dessas subst‰ncias era, respectivamente, 3,2 e 4,2. Nessas condi•›es, de posse dessa tabela, pode-se afirmar que o nœmero de maneiras distintas que esse tŽcnico tem para tentar identificar, de maneira correta, quais foram os dois alimentos examinados Ž igual a: c a) 9.

b) 10.

c) 12.

d) 14.

ABCD 123

e) 15.

Como existem 4 alimentos cujo pH pode ser 3,2 e 3 alimentos cujo pH pode ser 4,2, temos então 12 maneiras distintas de esse técnico tentar identificar, de maneira correta, quais foram os dois alimentos examinados. 4 ? 3 5 12.

TAREFA PARA CASA: Para praticar: 1 a 8 Para aprimorar: 1

PERMUTAÇÕES SIMPLES

2

3

1 2 3

3

2

1 3 2

1

3

2 1 3

3

1

2 3 1

1

2

3 1 2

2

1

3 2 1

2 possibilidades

1 possibilidade

2

3 3 possibilidades

MATEMçTICA

1

çLGEBRA

Permutar é sinônimo de trocar. Intuitivamente, nos problemas de contagem, devemos associar a permutação à noção de embaralhar, de trocar objetos de posição. Vejamos agora quantos agrupamentos é possível formar quando temos n elementos e todos serão usados em cada agrupamento. Observe os exemplos: 1o) Quantos números de 3 algarismos (sem repeti-los num mesmo número) podemos formar com os algarismos 1, 2 e 3? Podemos resolver por tentativa. Assim, temos: 123, 132, 213, 231, 312 e 321. Concluímos então que são seis os números procurados. Podemos também fazer uma árvore de possibilidades:

Pelo princípio fundamental da contagem temos 3 ? 2 ? 1 5 6 possibilidades. Observe que a ordem dos algarismos é muito importante. Todos os números diferem entre si pela ordem de seus algarismos. 2o) Quantos são os anagramas (diferentes disposições das letras de uma palavra) da palavra ANEL? Análise combinatória

9

Construindo a árvore de possibilidades, temos: E

L

L

E

N

L

L

N

E

N

N

E

E

L

L

E

A

L

L

A

A

E

E

A

N

L

L

N

A

L

L

A

A

N

N

A

E

N

N

E

A

E

E

A

A

N

N

A

2 possibilidades

1 possibilidade

N

A

E

L

A

N

E

L

A

E

N

L

A

L

N

E 4 possibilidades

3 possibilidades

Pelo princípio fundamental da contagem, temos 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 24 possibilidades, ou seja, são 24 anagramas. A árvore de possibilidades ainda permite saber quais são os 24 anagramas da palavra ANEL: ANEL, ANLE, AENL, AELN, ALEN, ALNE, NAEL, NALE, NEAL, NELA, NLAE, NLEA, EANL, EALN, ENAL, ENLA, ELAN, ELNA, LAEN, LANE, LNAE, LNEA, LEAN, LENA. Concluímos:

Se temos n elementos distintos, então o número de agrupamentos ordenados que podemos obter com todos esses n elementos é dado por: n(n 2 1)(n 2 2) ? ... ? 3 ? 2 ? 1 5 n! Esses agrupamentos ordenados (diferem pela ordem) recebem o nome de permutações simples. Indicamos por Pn o número de permutações simples de n elementos: Pn 5 n(n 2 1)(n 2 2) ? ... ? 3 ? 2 ? 1 5 n!

10

Análise combinatória

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 8 De quantas maneiras podem ser arrumados de forma horizontal três selos: 1 da Argentina, 1 do Brasil e 1 do Chile? RESOLUÇÃO: Temos três tipos de selos que indicaremos por A: Argentina; B: Brasil; C: Chile. Para saber de quantas maneiras eles podem ser arrumados horizontalmente, podemos construir a árvore de possibilidades. Usando o princípio fundamental da contagem, temos 3 ? 2 ? 1 5 6 possibilidades. Os agrupamentos ordenados são: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Observa•‹o: Podemos calcular diretamente o número de permutações simples de 3 elementos: P3 5 3! 5 3 ? 2 ? 1 5 6 Logo, é possível arrumar os três selos de 6 maneiras diferentes.

B

C

C

B

A

C

C

A

A

B

B

A

2 possibilidades

1 possibilidade

A

B

C

3 possibilidades

9 Quantos anagramas podem ser formados com a palavra PREÁ? RESOLUÇÃO: Permutamos todas as letras da palavra PREÁ. Logo, P4 5 4! 5 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 24. Temos, então, 24 anagramas.

10 Responda: a) b) c) d) e)

Quantos são os anagramas da palavra PRÉDIO? Quantos são os anagramas da palavra PRÉDIO que iniciam com P e terminam em O? Quantos são os anagramas da palavra PRÉDIO em que as letras I e O aparecem juntas e nessa ordem (IO)? Quantos são os anagramas da palavra PRÉDIO em que P e O aparecem nos extremos? Quantos são os anagramas da palavra PRÉDIO em que as letras P, R e E aparecem juntas, em qualquer ordem?

RESOLUÇÃO: a) Basta calcular P6 5 6! 5 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 720. b) Anagramas iniciados por P e terminados em O: P O Devemos permutar as 4 letras não fixas, ou seja, calcular P4: P4 5 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 24 Portanto, há 24 anagramas da palavra PRÉDIO iniciados com P e terminados em O. c) Anagramas da palavra PRÉDIO em que as letras I e O aparecem juntas e nessa ordem (IO): é como se a expressão IO fosse uma só letra em PRÉD IO . Assim, temos de calcular P5: P5 5 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 120

MATEMÁTICA

ÁLGEBRA

d) P O O P Temos, então, 2P4 5 2 ? 4! 5 48 anagramas. e) Considerando PRÉ como uma só letra, PRÉ DIO, temos de calcular P4: P4 5 4! 5 24 Como as 3 letras de P, R e E podem aparecer em qualquer ordem, temos: P3 5 3! 5 6 possibilidades de escrevê-las juntas. Assim, o número total de anagramas pedido é: P4 ? P3 5 24 ? 6 5 144 anagramas.

An‡lise combinat—ria

11

PARA CONSTRUIR 5 (UPE) Na comemoração de suas Bodas de Ouro, Sr. Manuel e D. m Ene-1 C 1 Hm Ene-1 C 2 Hm Ene-1 C 3 H-

Joaquina resolveram registrar o encontro com seus familiares através de fotos. Uma delas sugerida pela família foi dos avós com seus 8 netos. Por sugestão do fotógrafo, na organização para a foto, todos os netos deveriam ficar entre os seus avós.

7 Quantos números naturais de algarismos distintos entre m Ene-1 C 2 Hm Ene-1 C 3 H-

De quantos modos distintos Sr. Manuel e D. Joaquina podem posar para essa foto com os seus netos? d a) b) c) d) e)

8 (Fuvest-SP) Com as 6 letras da palavra FUVEST podem ser form Ene-1 C 2 Hm Ene-1 C 3 H-

6 (UCS-RS) Rose não anotou o número de celular que seu novo

m Ene-1 C 2 Hm Ene-1 C 3 H-

amigo lhe informou. Agora ela tem dúvidas em relação aos últimos quatro dígitos. Sabe quais são os dígitos, porém não sabe a ordem em que eles aparecem no número do telefone. Quantas são as diferentes possibilidades para a ordem desses quatros dígitos? c a) b) c) d) e)

Os nœmeros devem ter algarismo 6 na unidade de milhar porque eles est‹o entre 5 000 e 10 000. Logo, fixando o 6, temos 3 algarismos para as outras tr•s ordens: P3 5 3! 5 3 ? 2 ? 1 5 6 nœmeros com algarismos distintos (6 124, 6 142, 6 214, 6 241, 6 412, 6 421).

100 800 40 320 80 640 3 628 800 Supondo que todos aparecer‹o na foto lado a lado, temos 2 possibilidades para os av—s e P8 5 8! 5 40 320 possibilidades para os netos. Portanto, pelo princ’pio fundamental da contagem, existem 2 ? 40 320 5 80 640 maneiras distintas de fazer a foto.

m Ene-1 C 1 H-

5 000 e 10 000 podemos formar com os algarismos 1, 2, 4 e 6?

8 16 24 36 120

madas 6! 5 720 "palavras" (anagramas) de 6 letras distintas cada uma. Se essas "palavras" forem colocadas em ordem alfabética, como num dicionário, a 250a "palavra" começa com: d a) b) c) d) e)

EV. FU. FV. SE. SF. Colocando as letras em ordem alfabŽtica, temos: E, F, S, T, U e V. Fixando E como primeira letra, temos: E → 5! 5 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 120 palavras Ou seja, temos 120 palavras come•ando por E. O mesmo acontece com F. Fixando S como primeira letra e E como segunda, temos: SE → 4! 5 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 24 palavras. Da 241a ÒpalavraÓ atŽ a 264a todas come•am com SE, portanto a 250a come•a com SE.

O nœmero de possibilidades para a ordem dos quatros d’gitos Ž dado por P4 5 4! 5 24.

TAREFA PARA CASA: Para praticar: 9 a 12

PERMUTA‚ÍES COM REPETI‚ÌO Consideremos os exemplos: 1o) Quantos são os anagramas da palavra BATATA? Se os As fossem diferentes e os Ts também, teríamos as letras B, A1, A2, A3, T1, T2 e o total de anagramas seria P6 5 6! 12

An‡lise combinat—ria

Mas as permuta•›es entre os 3 As n‹o produzir‹o novo anagrama. Ent‹o, precisamos dividir P6 por P3. O mesmo ocorre com os dois Ts: precisamos dividir tambŽm por P2. Portanto, o nœmero de anagramas da palavra BATATA Ž: P6 5 6! 5 6 ? 5 ? 4 ? 3 5 60 P3 ? P2 3!2! 3!2!

2o) Quantos anagramas tem a palavra CACA? Se a palavra tivesse as 4 letras distintas, ter’amos P4 5 4! 5 4 ? 3 ? 2 5 24. Como a letra A e a letra C aparecem 2 vezes, devemos ent‹o fazer: P4 4 ?3?2 5 4! 5 56 P2 ? P2 2!2! 2?2 Logo, a palavra CACA tem 6 anagramas. Generalizando: A permuta•‹o de n elementos dos quais a Ž um tipo, b Ž outro e g Ž outro, com a 1 b 1 g 5 n, Ž dada por: Pna , b , g 5 n! a !b ! g !

Observa•‹o: Por conven•‹o n‹o se considera a acentua•‹o gr‡fica nos anagramas. Na palavra ab—bora, por exemplo, a letra o com acento ou sem tem o mesmo significado.

EXERCÍCIO RESOLVIDO 11 Quantos s‹o os anagramas da palavra ARARA? RESOLUÇÃO:

14 Quantos anagramas de CAMARADA come•am com A? RESOLUÇÃO:

Logo, s‹o 10 os anagramas da palavra ARARA.

12 Quantos s‹o os anagramas da palavra DEZESSETE?

7! 57 ? 6 ? 5 ? 4 5 3! 5 840 anagramas P73,1,1,1,1 5

15 Determine quantas solu•›es naturais possui a equa•‹o x 1 y 1 z 5 6.

RESOLUÇÃO:

RESOLUÇÃO:

Nesse caso, h‡ 4 letras E e 2 letras S, num total de 9 letras. Ent‹o, temos: 9 ? 8 ? 7 ? 6 ? 5 ? 4! 9! 5 7 560 5 P94, 2 5 4! 2! 4!2!

Como a soma dos valores de x, y e z Ž 6, consideraremos que precisamos separar 6 elementos em 3 partes. Cada modo de separarmos 6 elementos em 3 partes Ž uma solu•‹o da equa•‹o. Por exemplo: ?? | ?? | ?? equivale a x 5 2, y 5 2 e z 5 2 ? | ????? equivale a x 5 1, y 5 5 e z 5 0 || ?????? equivale a x 5 0, y 5 0 e z 5 6 Dessa forma, permutando as 6 bolinhas e os 2 separadores (2 separadores para separar em 3 partes) temos a quantidade de solu•›es naturais da equa•‹o dada:

13 Quantos anagramas da palavra CAMARADA come•am pela letra C? RESOLUÇÃO: Fixamos a letra C como 1a letra e fazemos: P74 ,1,1,1 5

7! 5 7 ? 6 ? 5 5 210 4!

Portanto, s‹o 210 os anagramas de CAMARADA que come•am por C.

8 ? 7 ? 6! P86,2 5 8! 5 5 6!2! 6!? 2 ? 1

ÁLGEBRA

5 ? 4 ? 3! P53,2 5 5! 5 5 10 3!2! 3! 2!

ACAMARAD 14243

MATEMÁTICA

Nesse caso, h‡ 3 letras A, 2 letras R e um total de 5 letras. Ent‹o:

5 28 solu•›es naturais

Análise combinatória

13

PARA CONSTRUIR 9 (Uerj) Uma criança ganhou seis picolés de três sabores diferentes: baunilha, morango e chocolate, representados, respectivamenm Ene-1 C 1 Hm Ene-1 C 2 Hm Ene-1 C 3 H-

te, pelas letras B, M e C. De segunda a sábado, a criança consome um único picolé por dia, formando uma sequência de consumo dos sabores. Observe estas sequências, que correspondem a diferentes modos de consumo: (B, B, M, C, M, C) ou (B, M, M, C, B, C) ou (C, M, M, B, B, C) O número total de modos distintos de consumir os picolés equivale a: b a) 6. b) 90. c) 180. d) 720. Sabendo que a crian•a ganhou dois picolŽs de cada sabor, tem-se que o resultado pedido Ž dado por: P6(2, 2, 2) 5

6! 5 90. 2! ? 2! ? 2!

TAREFA PARA CASA: Para praticar: 13 e 14 Para aprimorar: 2

ARRANJOS SIMPLES Vimos que permuta•ão simples de n elementos Ž qualquer agrupamento ordenado desses n elementos. Agora, tendo n elementos, vamos estudar os agrupamentos ordenados de 1 elemento, 2 elementos, 3 elementos, É, de p elementos, com p < n. Observe os exemplos: 1o) Consideremos as letras a, b, c e d. Quais e quantos agrupamentos ordenados de 2 letras distintas Ž poss’vel formar com elas? b c

a

d a c

b

d a b

c

d a b

d

c a

1 posi•‹o 4 possibilidades

a

2 posi•‹o 3 possibilidades

Na primeira posi•ão temos 4 possibilidades (pois temos 4 elementos dispon’veis). Na segunda posi•ão, 3 possibilidades (pois temos 3 elementos dispon’veis). Pelo princ’pio fundamental da contagem, há, no total, 4 ? 3 5 12 possibilidades. Os 12 agrupamentos ordenados diferentes são: ab ba ca da ac bc cb db ad bd cd dc 14

Análise combinatória

Esses agrupamentos s‹o chamados de arranjos simples. Arranjamos 4 elementos 2 a 2 e o nœmero desses arranjos foi 12. Escrevemos ent‹o: A 4 ,2 5 4 ? 3 5 12 (arranjo de 4 elementos tomados 2 a 2 Ž igual a 12) 2o) Usando os algarismos 2, 3, 5, 7 e 9, quantos nœmeros naturais de 3 algarismos distintos podemos formar? centena dezena unidade Há 5 possibilidades para o 1o algarismo, 4 para o 2o e 3 para o 3o. No total podemos ent‹o formar 5 ? 4 ? 3 5 60 nœmeros. Dizemos neste exemplo que fizemos arranjos de 5 elementos 3 a 3, e o nœmero desses arranjos Ž 60. Indicamos assim: A5,3 5 5 ? 4 ? 3 5 60 Vejamos como calcular o nœmero total desses agrupamentos no caso geral de n elementos arranjados p a p, com n . p, ou seja, como calcular An,p . Para n 5 p, temos A n,n 5 Pn 5 n! , já estudado. Para n . p, temos n elementos distintos e vamos arranjá-los p a p. Construindo a árvore de possibilidades, temos: na primeira posi•‹o: n possibilidades (pois temos n elementos dispon’veis) na segunda posi•‹o: (n 2 1) possibilidades (pois temos (n 2 1) elementos dispon’veis) na terceira posi•‹o: (n 2 2) possibilidades (temos (n 2 2) elementos dispon’veis) : na p-Žsima posi•‹o: n 2 (p 2 1) possibilidades (temos n 2 (p 2 1) elementos dispon’veis) Aplicando o princ’pio fundamental da contagem, temos que o nœmero total de possibilidades Ž dado por: A n,p 5 n(n 2 1)(n 2 2)?É?[n 2 (p 2 1)] 144444244444 3 p fatores

PARA REFLETIR n 2 (p 2 1) 5 n 2 p 1 1

Podemos ainda indicar An,p por meio de fatoriais. Observe: An,p 5 n(n 2 1)(n 2 2 )?…?(n 2 p 1 1)

Multiplicando esse nœmero por

A n,p 5 n ( n 2 1)( n 2 2 )?…?( n 2 p 1 1)? 5

PARA REFLETIR

(n 2 p)! , temos: (n 2 p)!

(n 2 p ) ! 5 (n 2 p ) !

n(n 2 1)(n 2 2)?…?(n 2 p 1 1)(n 2 p)! 5 n! (n 2 p)! (n 2 p ) !

Como n . p, multiplicar um número por

(n 2 p )! significa mul(n 2 p )!

tiplicá-lo por 1; logo, seu valor não se altera.

Portanto: A n,p 5

n! (n 2 p)!

A n,p 5 n ( n 2 1)( n 2 2 )?…?( n 2 p 1 1) ou A n.p 5 n! (n 2 p)!

PARA REFLETIR Usando a 2a fórmula podemos comprovar que:

A n,n 5

n! 5 n! 5 n! 5 n! (n − n)! 0! 1!

An‡lise combinat—ria

MATEMÁTICA

Arranjos simples de n elementos tomados p a p (p < n) s‹o os agrupamentos ordenados diferentes que se podem formar com p dos n elementos dados. Indica-se por An, p ou Anp o total desses agrupamentos, que calculamos assim:

ÁLGEBRA

Resumindo:

15

Exemplos: (10–4+1) ↑

1 ) A10,4 5 10 ? 9 ? 8 ? 7 5 5040 o

A10,4 5 10! 5 6!

10 ? 9 ? 8 ? 7 ? 6! 5 5 040 6!

(8−2+1)

8 ? 7 ? 6! 5 56 6! Observa•ão: você tanto pode usar o conceito de arranjo como o princípio fundamental da contagem para resolver problemas, como veremos nos exercícios resolvidos a seguir. Mais importante do que decorar uma fórmula e aplicá-la é compreender o que está sendo feito. ↑

2 ) A 8 ,2 5 8 ? 7 5 56 ou A 8 ,2 5 o

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 16 Quantos números de dois algarismos diferentes podemos escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9? RESOLUÇÃO: 1a maneira: usando a fórmula Procuramos agrupamentos de 2 elementos em que a ordem é importante, pois, por exemplo, 12 Þ 21. Temos 9 elementos para serem arranjados 2 a 2. Assim, temos de calcular: A 9,2 5

9!

( 9 − 2 )!

9 9 ? 8 ? 7! 5 5 5 72 7 7!

Portanto, existem 72 números de dois algarismos diferentes que podem ser escritos com os algarismos de 1 a 9. 2a maneira: sem usar a fórmula Para o algarismo das dezenas temos 9 opç›es, e para o algarismo das unidades, apenas 8 opç›es, pois n‹o podemos repetir algarismos. Assim, temos 9 ? 8 5 72 possibilidades. Portanto, s‹o 72 números.

17 Quantos números de 2 algarismos diferentes podemos escrever com os algarismos 1, 2, 3 e 4? RESOLUÇÃO: 1a maneira: sem usar a fórmula Para o algarismo das dezenas temos 4 opç›es, e para o algarismo das unidades, apenas 3, pois n‹o podemos repetir algarismos. Assim, temos 4 ? 3 5 12 possibilidades, e, portanto, 12 números. 2a maneira: usando a fórmula Nesse caso, temos quatro d’gitos, 1, 2, 3 e 4, e queremos saber quantos números de 2 algarismos diferentes podemos escrever com eles. Precisamos calcular A 4 ,2: 4 ? 3 ? 2! A 4 ,2 5 4! 5 5 12 2! 2! Portanto, podemos escrever 12 números com 2 algarismos diferentes com os d’gitos 1, 2, 3 e 4.

16

An‡lise combinat—ria

18 Responda ˆs seguintes quest›es: a) Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra CONTAGEM? b) Quantas ÒpalavrasÓ de 4 letras distintas podemos formar com as letras da palavra CONTAGEM? c) Quantas dessas ÒpalavrasÓ começam com E ? d) Quantas terminam com TA? e) Quantas contêm a letra M ? f ) Quantas n‹o contêm a letra M ? RESOLUÇÃO: a) P8 5 8! 5 8 ? 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 15 40 320 b) 1a maneira: sem usar a fórmula Temos 8 possibilidades para a 1a letra, 7 para a 2a, 6 para a 3a e 5 para a 4a letra. Assim, temos 8 ? 7 ? 6 ? 5 5 1 680 palavras. 2a maneira: usando a fórmula A 8,4 5 8 ? 7 ? 6 ? 5 5 1680 c) 1a maneira: sem usar a fórmula Fixando E como 1a letra, restam 7 possibilidades para a 2a letra, 6 para a 3a e 5 para a 4a letra. Assim, temos 7 ? 6 ? 5 5 210 2a maneira: usando a fórmula Fixando E como 1a letra, temos de arranjar as 3 restantes das 7 que sobraram. Assim: A7,3 5 7 ? 6 ? 5 5 210 d) 1a maneira: sem usar a fórmula Fixando TA como 3a e 4a letras, restam 6 possibilidades para a 1a letra e 5 para a 2a Assim, temos: 6 ? 5 5 30 palavras. 2a maneira: usando a fórmula Fixando as duas últimas como sendo TA, temos de arranjar as 2 iniciais das 6 que sobraram. Assim: A6,2 5 6 ? 5 5 30

M __ __ __; __ M __ __; __ __ M __ e __ __ __ M ; temos: 4 ? 210 5 840 f) 1a maneira: sem usar a f—rmula Sem o M teremos 7 letras para compor a palavra: 7 possibilidades para a 1a letra, 6 para a 2a, 5 para a 3a e 4 para a 4a letra. Assim, temos 7 ? 6 ? 5 ? 4 5 840 palavras. 2a maneira: usando a f—rmula Retirando o M, passamos a ter 7 letras. Como os anagramas devem conter 4 letras, temos: A7,4 5 7 ? 6 ? 5 ? 4 5 840 Observa•‹o: TambŽm poder’amos ter feito 1 680 2 840 para obter 840, subtraindo o nœmero de palavras obtido em e do nœmero total obtido em b.

19 De quantas maneiras 5 meninos podem sentar-se num banco que tem apenas 3 lugares? RESOLUÇÃO: 1a maneira: usando a f—rmula Estamos interessados nos agrupamentos ordenados de 3 elementos, retirados de 5 elementos, ou seja: A 5,3 5 5! 5 5 ? 4 ? 3 5 60 2! Portanto, há 60 maneiras poss’veis. 2a maneira: sem usar a f—rmula 5 meninos s‹o poss’veis para o 1o lugar do banco, 4 para o 2oâ e 3 para o 3o. Ent‹o, s‹o 5 ? 4 ? 3 5 60 possibilidades.

20 Quantas fra•›es diferentes (e n‹o iguais a 1) podemos escrever usando os nœmeros 2, 3, 5, 7, 11 e 13? RESOLUÇÃO: 1a maneira: usando a f—rmula Nesse caso estamos procurando agrupamentos de dois elementos nos quais a ordem deles Ž relevante  2 ? 3  e nos 3 2 quais um mesmo nœmero n‹o pode ser repetido na mesma fra•‹o  3 5 1 . 3 

Portanto, podemos formar 30 fra•›es nessas condi•›es. 2a maneira: sem usar a f—rmula Para o denominador temos 6 op•›es e para o numerador, 5 op•›es. Ent‹o, 6 ? 5 5 30 fra•›es.

21 Quantos nœmeros ’mpares de 4 algarismos n‹o repetidos podemos escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9? RESOLUÇÃO: 1a maneira: sem usar a f—rmula Para que o nœmero seja ’mpar, devemos ter como algarismo das unidades uma das 5 op•›es apresentadas (1, 3, 5, 7 ou 9). Para a dezena, temos 8 op•›es, pois n‹o podemos repetir o algarismo usado nas unidades. Para a centena, 7 op•›es, e, para o milhar, 6 op•›es. Assim, 6 ? 7 ? 8 ? 5 5 1 680 nœmeros. 2a maneira: usando a f—rmula Dos 9 algarismos, 5 s‹o ’mpares. Terminando com um desses 5 algarismos (por exemplo, __ __ __ 1), podemos escrever A 8,3 nœmeros de 4 algarismos. Como s‹o 5 as possibilidades para a œltima posi•‹o, podemos escrever: 5A 8,3 5 5 ? 8! 5 5( 8 ? 7 ? 6 ) 5 1680 5! Portanto, há 1 680 nœmeros ’mpares de 4 algarismos n‹o repetidos com os d’gitos de 1 a 9.

22 Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos nœmeros de 3 algarismos distintos maiores que 300 podemos formar? RESOLUÇÃO: 1a maneira: sem usar a f—rmula Para algarismos maiores do que 300 Ž necessário que o algarismo da centena seja 3, 4, 5 ou 6. Assim, temos 4 possibilidades para a centena. Para a dezena, 5 possibilidades, pois n‹o podemos repetir a centena, e para a unidade, 4 possibilidades. Assim, 4 ? 5 ? 5 5 80 nœmeros. 2a maneira: usando a f—rmula Temos as possibilidades: 3 __ __

çLGEBRA

2a maneira: usando a f—rmula Colocado o M, temos A7,3 5 7 ? 6 ? 5 5 210 possibilidades para as outras letras. Como podemos colocar o M de quatro maneiras diferentes:

Esses agrupamentos de 2 elementos devem ser formados com os 6 elementos: 2, 3, 5, 7, 11 e 13. Logo, temos: A 6,2 5 6! 5 6 ? 5 5 30 4!

4 __ __ 5 __ __ 6 __ __ Para preencher cada uma das lacunas temos A 5,2 possibilidades. Portanto, podemos formar: 4A5,2 5 4 ? (5 ? 4) 5 80 nœmeros.

Análise combinatória

MATEMçTICA

e) 1a maneira: sem usar a f—rmula Fixando M como 1a letra, restam 7 possibilidades para a 2a letra, 6 para a 3a e 5 para a 4a letra. Assim, temos 7 ? 6 ? 5 5 210 palavras com o M na 1a posi•‹o. Da mesma forma, teremos 210 possibilidades para o M na 2a posi•‹o, na 3a posi•‹o e na 4a posi•‹o. Assim, temos 4 ? 210 5 840 palavras.

17

23 Com os algarismos 3, 5, 7 e 9 foram formados todos os nœme-

24 Com os d’gitos 1, 2, 3, 4 e 5, quantos nœmeros de algarismos

ros naturais poss’veis de 3 algarismos e colocados em ordem crescente. Qual Ž a posi•‹o do nœmero 739?

distintos menores do que 400 podemos formar? RESOLUÇÃO:

RESOLUÇÃO:

Temos as possibilidades: todos de 1 algarismo: 5 todos de 2 algarismos: A 5,2 5 5 ? 4 5 20 os de 3 algarismos que come•am por 1, 2 ou 3: 1 __ __ ; 2 __ __ ; 3 __ __

Temos as possibilidades: 3 → A 3,2 5 6  6 1 6 5 12 5 → A 3,2 5 6  7 3 5 → 13o nœmero 7 3 9 → 14o nœmero Portanto, 739 Ž o 14o nœmero.

3A 4 ,2 5 3 ? 12 5 36 Portanto, o total de nœmeros Ž: 5 1 20 1 36 5 61

PARA CONSTRUIR 10 (UEPB) A solu•‹o da equa•‹o An,35 4 ⋅ An,2 Ž: d m Ene-1 C 1 Hm Ene-1 C 2 Hm Ene-1 C 3 H-

a) b) c) d) e)

3. 4. 8. 6. 5. Temos: n! n! 54 ? ⇒ (n 2 3)! (n 2 2)! ⇒ 4 ? (n 2 3)! 5 (n 2 2)! ⇒ ⇒ 4 ? (n 2 3)! 5 (n 2 2) ? (n 2 3)! ⇒ ⇒ 4 5 n 22 ⇒ n 5 6. A n, 3 5 4 ? A n, 2 ⇒

m Ene-4 C 5 H-1

12 (PUC-SP) O novo sistema de placas de ve’culos utiliza um grum Ene-1 C 1 Hm Ene-1 C 2 Hm Ene-1 C 3 H-

po de 3 letras (dentre 26 letras) e um grupo de 4 algarismos (por exemplo: ABC-1023). Uma placa dessas ser‡ "pal’ndroma" se os dois grupos que a constituem forem "pal’ndromos". O grupo ABA Ž "pal’ndromo", pois as leituras da esquerda para a direita e da direita para a esquerda s‹o iguais; da mesma forma, o grupo 1331 Ž "pal’ndromo". Quantas placas "pal’ndromas" distintas poder‹o ser constru’das?

• Letras: 26 ? 26 ? 1 5 262 • Nœmeros: 10 ? 10 ? 1 ? 1 5 102 Total de placas Òpal’ndromasÓ: 262 ? 102 5 67 600 placas.

Portanto, a solu•‹o da equa•‹o Ž n 5 6.

11 (Fuvest-SP) Vinte times de futebol disputam a SŽrie A do m Ene-1 C 1 Hm Ene-1 C 2 Hm Ene-1 C 3 H-

Campeonato Brasileiro, sendo seis deles paulistas. Cada time joga duas vezes contra cada um dos seus advers‡rios. A porcentagem de jogos nos quais os dois oponentes s‹o paulistas Ž: b a) b) c) d) e)

menor que 7%. maior que 7%, mas menor que 10%. maior que 10%, mas menor que 13%. maior que 13%, mas menor que 16%. maior que 16%. O nœmero total de jogos disputados Ž dado por: 20! A 20, 2 5 5 20 ? 19 5 380. 18! Logo, como o nœmero de jogos nos quais os dois oponentes s‹o paulistas Ž: 6! A 6, 2 5 5 6 ? 5 5 30, 4!

13 Determine o valor de n em 5An, 3 5 2An−1, 4 m Ene-1 C 2 Hm Ene-1 C 3 H-

n!(n 2 5 )! (n 2 1)! 2 n! 5 ⇒ 52 ? ⇒ (n 2 3)! (n 2 1 2 4 )! (n 2 3)!(n 2 1)! 5 n (n Ð 1)! (n Ð 5)! 2 5 ⇒ 2(n 2 3)(n 2 4 ) 5 5n ⇒ ⇒ (n 2 3)(n 2 4) (n 2 5)! (n 2 1)! 5

5?

⇒ 2 (n2 2 7n 1 12) 2 5n 5 0 ⇒ 2n2 2 14n 1 24 2 5n 5 0 ⇒ ⇒ 2n2 2 19n 1 24 5 0 Δ 5 361 2 4(2)(24) 5 169 19 ± 13 3 n5 ⇒ n 5 (n‹o convŽm) ou n 5 8 4 2 Logo, n 5 8.

segue que a porcentagem pedida Ž igual a: 30 ? 100%  7,9%. 380

TAREFA PARA CASA: Para praticar: 15 a 20

18

Análise combinatória

COMBINAÇÕES SIMPLES Nos problemas de contagem, o conceito de combina•ão est‡ intuitivamente associado ˆ no•ão de escolher subconjuntos. Observe com aten•ão estes dois exemplos: 1o) Ane, Elisa, Rosana, Felipe e Gustavo formam uma equipe. Dois deles precisam representar a equipe em uma apresenta•ão. Quais e quantas são as possibilidades? Representemos por A: Ane; E: Elisa; R: Rosana; F: Felipe e G: Gustavo. Precisamos determinar todos os subconjuntos de 2 elementos do conjunto de 5 elementos {A, E, R, F, G}. A ordem em que os elementos aparecem nesses subconjuntos não importa, pois Ane-Elisa, por exemplo, é a mesma dupla que Elisa-Ane. Então, os subconjuntos de 2 elementos são: {A, E}, {A, R}, {A, F}, {A, G}, {E, R}, {E, F}, {E, G}, {R, F}, {R, G}, {F, G}. A esses subconjuntos chamamos de combina•›es simples de 5 elementos tomados com 2 elementos, ou tomados 2 a 2, e escrevemos: C5, 2. Como o nœmero total dessas combina•›es é 10, escrevemos C5, 2 5 10. 2o) Consideremos um conjunto com 5 elementos e calculemos o nœmero de combina•›es simples de 3 elementos, ou seja, o nœmero de subconjuntos com 3 elementos. Conjunto com 5 elementos: {a, b, c, d, e}. Combina•›es simples de 3 elementos: {a, b, c}, {a, b, d}, {a, b, e}, {a, c, d}, {a, c, e}, {a, d, e}, {b, c, d}, {b, c, e}, {b, d, e}, {c, d, e}. Cada combina•ão d‡ origem a 6 arranjos, permutando de todos os modos possíveis seus 3 elementos. Por exemplo: ao permutar todos os elementos da combina•ão {a, b, c} encontramos os arranjos: (a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b), (c, b, a). Isso significa que o nœmero de arranjos de 5 elementos tomados 3 a 3 é seis vezes o nœmero de combina•›es de 5 elementos tomados 3 a 3, ou seja:

A5, 3 5 6C5, 3 Como o 6 foi obtido fazendo permuta•›es dos 3 elementos de, por exemplo, {a, b, c}, temos P3 5 6. Logo: A5, 3 5 P3 ? C5, 3 ou 5! A5 , 3 20 5 ? 4 ? 3! 5! (5 Ð 3)! C5, 3 5 5 5 5 10 5 5 2 3!2! 3!(5 Ð 3)! P3 3! A cada combina•ão de n elementos tomados p a p correspondem p! arranjos que são obtidos permutando-se os elementos da combina•ão, ou seja: A n, p n! n! C n,p 5 5 5 (n − p ) p! (n − p ) ! p! p! Então: A n, p p!

ou C n,p 5

n! p!(nÐ p)! çLGEBRA

C n,p 5

MATEMçTICA

Combina•›es simples de n elementos tomados p a p ( p < n) são os subconjuntos com exatamente p elementos que se podem formar com os n elementos dados.  n Indica-se por Cn, p, C np ou   o nœmero total de combina•›es de n elementos tomados  p A n! p a p e calcula-se por Cn, p 5 ou Cn, p 5 n, p . p!(n 2 p)! p!

An‡lise combinat—ria

19

Observaç›es: 1a) Como são subconjuntos de um conjunto, a ordem dos elementos não importa. Só consideramos subconjuntos distintos os que diferem pela natureza dos seus elementos. 2a) Como foi observado anteriormente, do mesmo modo que se obtém a fórmula da combinação por meio da divisão de um arranjo pela permutação, podemos obter a combinação sem usar a fórmula, calculando o arranjo e dividindo o resultado pela permutação dos elementos escolhidos.

Uma propriedade importante das combina•›es

PARA REFLETIR

Observemos que:

Dado um conjunto de 5 elementos, para cada subconjunto de 3 elementos sobra um de 2 elementos. Da’, C5, 3 5 C5, 2.

C3, 2 5 C3, 1, pois C3, 2 5 3 e C3, 1 5 3 21153

C5, 3 5 C5, 2, pois C5, 3 5

A5 , 3 5 ? 4 ? 3 A 5?4 5 10 5 5 10 e C5, 2 5 5 , 2 5 2 ?1 3! 2! 3 ? 2 ?1

31255

De modo geral, vale a propriedade: Cn,p5 Cn,n 2 p pois: Cn, p 5 PARA REFLETIR Para p 5 n, temos Cn, n. Qual Ž seu valor?

n! n! n! 5 5 5 Cn, n 2 p p!(n– p)! (n– p)!p! (n– p)!(n– (n– p))!

Essa propriedade é muito útil para simplificar os cálculos e é conhecida por igualdade de combinações complementares. Exemplos: 100 ? 99 1o) C100, 98 5 C100, 2 5 5 4 950 2 ?1 2o) C43, 42 5 C43, 1 5 43

EXERCêCIOS RESOLVIDOS 25 Calcule o valor de: a) C6, 3

b) C5, 2

c) C34

  d)  4   2

RESOLU‚ÌO: a) C6, 3 5

6 ? 5? 4 A 6 ?5? 4 6 ? 5 ? 4 ? 3! 6! 6! 5 5 5 20 ou C6, 3 5 6, 3 5 5 20 5 3! 3! 3!3! 3 ? 2? 1 3 ? 2 ?1 3!(6 2 3)! 3!

b) C5, 2 5

5! 5 ? 4 ? 3! 5! 5?4 5 10 5 5 10 ou C5, 2 5 5 2!3! 2!(5 2 2)! 2! 3! 2 ?1

c) C34 5

4 ?3?2 4 ? 3! 4! 4! 5 5 4 ou C34 5 5 54 3 ? 2 ?1 3!(4 2 3)! 3!1! 3!1!

 4  4 4 ⋅3 4?3 4! 4! d)   5 5 5 6 ou   5 5 56 2 2!(4 2 2)! 2!2! 2 2     2 ?1 e) C21, 19 5 C21, 2 5

20

An‡lise combinat—ria

21? 20 5 210 2 ?1

e) C21, 19

28 Quantas diagonais tem um hex‡gono convexo?

time de basquete tendo 12 atletas ˆ sua disposi•‹o?

RESOLU‚ÌO:

RESOLU‚ÌO:

O nœmero de segmentos que unem 2 vŽrtices Ž, como no exerc’cio anterior, C6, 2 5 15. Nesses 15 segmentos, alŽm das diagonais, est‹o inclu’dos os 6 lados do hex‡gono. Ent‹o: C6, 2 2 6 5 15 2 6 5 9. Logo, o nœmero de diagonais do hex‡gono convexo Ž 9.

12 ? 11 ? 10 ? 9 ? 8 12! 5 5 11? 9 ? 8 5 792. 5!7! 5 ? 4 ? 3 ? 2 ?1 Portanto, podemos formar 792 times de basquete diferentes com 12 atletas. 2a maneira: sem usar a fórmula S‹o 5 jogadores a serem escolhidos entre 12. Ent‹o, ter’amos 12 ? 11 ? 10 ? 9 ? 8 5 95 040 possibilidades se estivŽssemos calculando um arranjo. Como Ž uma combina•‹o, ent‹o, devemos dividir o resultado pelo fatorial dos elementos escolhidos (5 elementos): 12 ? 11? 10 ? 9 ? 8 5 792 possibilidades. 5! 27 Em um plano marcamos 6 pontos distintos, dos quais 3 nunca est‹o em linha reta.

C12, 5 5

a) Quantos segmentos de reta podemos tra•ar ligando-os 2 a 2? b) Quantos tri‰ngulos podemos formar tendo sempre 3 deles como vŽrtices? RESOLU‚ÌO:

A

B a) Marcamos 6 pontos num plano, onde n‹o F existem 3 alinhados. Como em cada segmento temos 2 exC tremos e, por exemplo, o segmento AD E Ž o mesmo que o segmento DA, o nœmero de segmentos Ž: D 6?5 C6, 2 5 5 15. 2 Portanto, podemos tra•ar 15 segmentos de retas. b) Como cada tri‰ngulo fica determinado por 3 pontos n‹o colineares, temos, independentemente da ordem deles: A B F C

lho de 40 cartas (s‹o exclu’das as cartas 8, 9 e 10). De quantas maneiras diferentes um jogador pode receber suas 3 cartas? RESOLU‚ÌO: As 3 cartas diferem entre si pela natureza delas e n‹o pela ordem. Como a ordem n‹o importa, o problema fica resolvido calculando: 40 ? 39 ? 38 5 9 880. C40, 3 5 3 ?2 ? 1 Portanto, cada jogador pode receber suas 3 cartas de 9 880 maneiras diferentes.

30 O conselho desportivo de uma escola Ž formado por 2 professores e 3 alunos. Candidataram-se 5 professores e 30 alunos. De quantas maneiras diferentes esse conselho pode ser eleito? RESOLU‚ÌO: Se escolhermos os professores de x maneiras e os alunos de y maneiras, pelo princ’pio fundamental da contagem escolheremos os professores e alunos de xy maneiras. Assim: 5 ? 4 ? 3! 5⋅ 4 5! escolha dos professores: C5, 2 5 5 2! 3! 5 5 10 2 ⋅1 2!3! 30 ? 29 ? 28 ? 27! 30! 5 escolha dos alunos: C30,3 5 5 3! 27! 3!27! 30 ? 29 ? 28 5 5 4 060 3? 2 Logo: C5,2 ? C30,3 5 10 ? 4 060 5 40 600. Portanto, o conselho pode ser eleito de 40 600 maneiras diferentes.

31 Ap—s uma reuni‹o de neg—cios, foram trocados um total de 15 apertos de m‹o. Sabendo que cada executivo cumprimentou todos os outros, qual o nœmero de executivos que estavam presentes nessa reuni‹o? RESOLU‚ÌO:

E D

6 ?5? 4 5 5 ? 4 5 20. 3 ? 2 ?1 Logo, podemos formar 20 tri‰ngulos. C6, 3 5

29 No jogo de truco, cada jogador recebe 3 cartas de um bara-

Aqui temos um problema inverso. Sabemos que Cn, 2 5 15 e procuramos o valor de n: n(n 2 1) (n 2 2) ! n(n 21) n! 5 5 5 15 2!(n 2 2)! 2 2! (n 2 2) ! n2 2 n 2 30 5 0

çLGEBRA

1a maneira: usando a fórmula Procuramos o nœmero total de subconjuntos (ou combina•›es) de um conjunto de 12 elementos. A ordem n‹o importa; cada subconjunto difere um do outro apenas pela natureza dos seus elementos. Assim, procuramos:

MATEMçTICA

26 De quantas maneiras diferentes um tŽcnico pode escalar seu

n 5 6 ou n 5 25

Análise combinatória

21

Portanto, o nœmero de executivos era 6 (n n‹o pode ser negativo). Para conferir, verifique que C6, 2 5 15.

32 Dados 8 pontos num mesmo plano, sendo que 5 deles pertencem a uma reta, 3 pertencem a outra e nenhum pertence ˆs duas retas, responda: a) Quantas retas eles determinam? b) Quantos tri‰ngulos eles determinam? RESOLU‚ÌO:

s

a) Para cada ponto de r com um dos 5 pontos de s temos C5, 1 retas. Como s‹o 3 pontos em r, temos 3C5, 1. Considerando ainda as retas r e s, temos o total de 3C5, 1 1 2 retas, ou seja: 5! 3? 1 2 5 3 ? 5 1 2 5 17. 1!4! Portanto, ficam determinadas 17 retas. Outra resolu•‹o: 5C3, 1 1 2 5 17 PARA REFLETIR A resolu•‹o do item a pode ser feita, diretamente, assim: 3 ? 5 1 2 5 17

b) Um tri‰ngulo fica determinado quando temos: I) um ponto em r e dois em s; II) um ponto em s e dois em r. Calculemos essas duas possibilidades e somemos: I) Temos 5 pontos em s e precisamos de 2. Vamos combin‡-los 2 a 2: 5! C5, 2 5 5 10 2!3! Como em r h‡ 3 pontos e podemos considerar qualquer um deles, temos: 3C5, 2 5 3 ? 10 5 30 possibilidades

Análise combinatória

5C3, 2 5 5 ? 3 5 15 possibilidades Juntando as possibilidades, temos: 3C5, 2 1 5C3, 2 5 30 1 15 5 45. Portanto, s‹o determinados 45 tri‰ngulos com esses 8 pontos.

r

22

II) Da mesma forma, temos 3 pontos em r e precisamos de 2. Combinando-os 2 a 2, temos: 3! C3, 2 5 53 2!1! Como em s h‡ 5 pontos e podemos considerar qualquer um deles, temos:

Outra resolu•‹o: Os 8 pontos agrupados 3 a 3 formam C8, 3 5 8 ? 7 ? 6 5 56. 3?2 Os 3 pontos de r agrupados 3 a 3 formam C3, 3 5 1 (n‹o Ž tri‰ngulo). Os 5 pontos de s agrupados 3 a 3 formam 5?4?3 5 10 (n‹o s‹o tri‰ngulos). C5, 3 5 3?2 Portanto, o total de tri‰ngulos Ž: 56 2 1 2 10 5 45

33 De quantas maneiras podemos colocar 10 bolas em 3 urnas, de modo que fiquem 2 bolas na primeira urna, 3 bolas na segunda urna e 5 bolas na terceira? RESOLU‚ÌO: H‡ C10, 2 maneiras de escolher as 2 bolas que ficar‹o na primeira urna. Para cada maneira h‡ C8, 3 possibilidades de escolher as 3 bolas que ficar‹o na segunda urna. Pelo princ’pio fundamental da contagem, h‡, ent‹o, C10, 2 ? C8, 3 maneiras de distribuir as 2 bolas na primeira urna e as 3 bolas na segunda urna. Para cada uma dessas possibilidades, h‡ C5, 5 maneiras de colocar as 5 bolas na terceira urna. Portanto, novamente pelo princ’pio fundamental da contagem, h‡ C10, 2 ? C8, 3 ? C5, 5 maneiras diferentes de colocar 2 bolas na primeira urna, 3 bolas na segunda urna e 5 bolas na terceira urna. 1a urna 2a urna 3a urna 2 bolas 3 bolas 5 bolas em 10 em 8 em 5 C10, 2 ? C8, 3 ? C5, 5 5 5

10 ? 9 ? 8! 8 ? 7 ? 6 ? 5! 1! 5! 5 10! ? 8! ? 5 ? ? 5 2!8! 3!5! 5! 0! 1 2 ? 1? 8! 3 ? 2 ? 1? 5! 0! 5 45 ? 56 ? 1 5 2 520. Portanto, existem 2 520 possibilidades para fazer essa distribui•‹o.

PARA CONSTRUIR b) Ax, 3 2 Cx, x 2 3 5 25Cx, x 2 1

14 (UFRGS-RS) Considere o padrão de construção representado pelos desenhos abaixo.

x! x! x! ⇒ 2 5 25 ? (x 2 3)! (x 2 3)!(x 2 x 1 3)! (x 2 1)!(x 2 x 1 1)! x! x! 25x! ⇒ − ⇒ 5 (x 2 3)! (x 2 3)!3! (x 2 1)!1!

m Ene-1 C 2 H-

m Ene-2 C 8 H-

Etapa 1

Etapa 2

Etapa 3

Etapa 4

Na etapa 1, há um único triângulo equilátero. Na etapa 2, é traçado um segmento a partir dos pontos médios de dois lados do triângulo da etapa 1, formando dois triângulos equiláteros. Na etapa 3, é traçado um segmento a partir dos pontos médios de dois lados do triângulo menor da etapa 2, formando três triângulos equiláteros. Na etapa 4 e nas etapas seguintes, o mesmo processo é repetido em cada um dos triângulos menores da etapa anterior. O número de trapézios na 6a etapa de construção é: b a) b) c) d) e)

14. 15. 16. 17. 18.

⇒ 30(x − 3)! 5 (x − 1)! ⇒ 30(x − 3)! 5 (x − 1)(x − 2)(x − 3)! ⇒ ⇒ 30 5 (x − 1)(x − 2) ⇒ x2 − 3x 1 2 − 30 5 0 ⇒ x2 − 3x − 28 5 0 ⇒ ⇒ (x − 7)(x 1 4) 5 0 ⇒ x 5 7 ou x 5 −4 (não convém) Logo, x 5 7.

16 (Unifesp) Uma população de 10 camundongos, marcados m Ene-1 C 1 Hm Ene-1 C 2 Hm Ene-1 C 3 H-

de 1 a 10, será utilizada para um experimento em que serão sorteados aleatoriamente 4 camundongos. Dos 10 camundongos, apenas 2 têm certa característica C1, 5 têm certa característica C2 e nenhum deles tem as duas características. Pergunta-se: a) Qual é a probabilidade de que ao menos um dos camundongos com a característica C1 esteja no grupo sorteado? 12

Na sexta construção teremos 6 segmentos paralelos, considerando que dois deles sempre determinam um trapézio, o número de trapézios será dado por : 6! C6,2 5 5 15 2!(6 − 2)!

camundongos sorteados que não possuem a característica C1)

b) Qual é a probabilidade de que o grupo sorteado tenha apenas 1 camundongo com a característica C1 e ao menos 2 com a característica C2? C2,1 ?C5,2 ?C3,1 C2,1 ?C5,3 2?10 ?3 2?10 6 2 8 1 5 1 5 1 5 C10,4 C10.4 210 210 21 21 21

15 Determine o valor de x, sabendo que: a) 800 , A7, x , 2 600 5 040 7! , 2 600 ⇒ 800 , , 2 600 ⇒ (7 2 x)! (7 2 x)! 126 ⇒ 20 , , 65 ⇒ (7 2 x)! 800 ,

⇒

(7 2 x)! 1 1 , , 65 126 20

126 ⇒ ( 7 2 x )! > 2! ⇒ 7 2 x > 2 ⇒ 65 ⇒ 2 x >25 ⇒ x 4 De (I) e (II), temos 4 < x < 5. Logo, x 5 4 ou x 5 5. Observa•‹o: como o fatorial de um número n é o produto deste número com todos os seus antecessores (até o 1), deve-se destacar ao aluno que n pertence ao conjunto dos nœmeros naturais, caso ele tenha dúvidas nas aproximações feitas em (I) e (II).

C8,4 70 1 2 (em que C é a quantidade de 5 12 5 12 5 8,4 C10,4 210 3 3

17 (Uece) Sejam r e s duas retas distintas e paralelas. Se fixarmos m Ene-1 C 1 Hm Ene-1 C 2 Hm Ene-1 C 3 H-

10 pontos em r e 6 pontos em s, todos distintos, ao unirmos, com segmentos de reta, três quaisquer destes pontos não colineares, formam-se triângulos. Assinale a opção correspondente ao número de triângulos que podem ser formados. d a) b) c) d)

360 380 400 420 Número de combinações do total de pontos três a três: 16! 5 560 3!(16 − 3)! Número de combinações dos 10 pontos de uma reta três a três: 10! C10,3 5 5 120 3!(10 − 3)!

C16,3 5

Número de combinações dos 6 pontos da outra reta três a três: 6! C6,3 5 5 20 3!(6 2 3)! Portanto, o total de triângulos será dado por: 560 2 120 2 20 5 420.

çLGEBRA

m Ene-2 C 7 H-

1 1 25 5 25 2 5 ⇒ 5 ⇒ (x 2 3)! 6(x 2 3)! (x 2 1)! 6(x 2 3)! (x 2 1)! 1 5 ⇒ 5 ⇒ 6(x 2 3)! (x 2 1)! ⇒

m Ene-1 C 3 H-

MATEMçTICA

m Ene-1 C 1 H-

TAREFA PARA CASA: Para praticar: 21 a 25 Para aprimorar: 3 a 5

Análise combinatória

23

PROBLEMAS QUE ENVOLVEM OS VÁRIOS TIPOS DE AGRUPAMENTO Os exerc’cios resolvidos a seguir resumem os vários tipos de agrupamentos estudados e as formas de calcular o nœmero de agrupamentos; o œltimo exerc’cio Ž a resolu•‹o do problema da introdu•‹o deste cap’tulo.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 34 Usando os algarismos 1, 3, 4, 6 e 9, quantos nœmeros de 3 algarismos distintos podemos formar? RESOLUÇÃO: A5, 3 5

5?4?3? 2 ? 1 5! 5 60 ou A 5,3 5 5 ? 4 ? 3 5 60 nœmeros 5 2! 2 ?1

35 Quantas comiss›es diferentes de 3 pessoas podemos formar para representar um grupo de 10 pessoas? RESOLUÇÃO: C10, 3 5

A 10! 10 ? 9 ? 8 ? 7! 10 ? 9 ? 8 5 120 ou C10, 3 5 10, 3 5 5 5 120 comiss›es 3!7! 3 ? 2 ? 1 ? 7! 3 ? 2 ?1 3!

36 Quantos anagramas tem a palavra BANANA? RESOLUÇÃO: P63, 2, 1 5

6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ?1 6! 5 5 60 anagramas 3!2!1! 3 ? 2? 1 ? 2 ? 1? 1

37 Problema da introdu•‹o do cap’tulo Usando as 26 letras e os 10 algarismos conhecidos, quantas placas diferentes de autom—vel podem ser feitas de modo que, em cada uma, existam tr•s letras (n‹o repetidas) seguidas de quatro algarismos (repetidos ou n‹o)? RESOLUÇÃO: As 26 letras ser‹o agrupadas de 3 em 3 sem repeti•‹o: 26 ? 25 ? 24 5 15 600 agrupamentos de letras Os 10 algarismos ser‹o agrupados de 4 em 4, com repeti•‹o: 10 ? 10 ? 10 ? 10 = 10000 agrupamentos de algarismos Para cada agrupamento de letras, podemos usar todos os agrupamentos de algarismos. Ent‹o, o total de placas Ž: 15 600 ? 10 000 5 156 000 000 placas

PARA CONSTRUIR 18 (Fuvest-SP) Tr•s empresas devem ser contratadas para realizar quatro trabalhos distintos em um condom’nio. Cada trabalho ser‡ m Ene-1 C 3 H-

atribu’do a uma œnica empresa e todas elas devem ser contratadas. De quantas maneiras distintas podem ser distribu’dos os trabalhos? c a) b) c) d) e)

24

12 18 36 72 108

An‡lise combinat—ria

Como h‡ 4 trabalhos e 3 empresas, uma empresa realizar‡ 2 trabalhos. Logo, os trabalhos ser‹o distribu’dos da seguinte forma:  4 4?3 4! 5 ? 3! 5 ? 6 5 36  2  ? 3! ↑ 2!2! 2 empresas ↑ trabalhos

19 (UEPG-PR) Sobre análise combinatória, dê a soma da(s) m Ene-1 C 2 Hm Ene-1 C 3 H-

proposição(ões) correta(s). (01) Com 4 elementos iguais a X e n elementos iguais a Y forma-se um total de 35 permutações. Então n 5 3. (02) Ao lançar uma moeda 6 vezes pode-se obter 26 sequências diferentes de “cara” e “coroa”. 3 (04) An, 3 1 3An, 2 1 An,15 n . (08) O número de combinações de n elementos tomados 8 a 8 é 45. Então o número de arranjos de n elementos tomados 8 a 8 é 360. (16) Se Cn,1 1 Cn, 2 5 10, então n 5 4

21 (Insper-SP) Um dirigente sugeriu a criação de um torneio de m Ene-1 C 1 Hm Ene-1 C 2 Hm Ene-1 C 3 H-

a) b) c) d) e)

01 1 02 1 04 1 16 5 23 (01) Correto. Com efeito, segue que: (n 1 4)! 7! Pn(n,+ 4)4 = 5 35 ⇔ (n 1 4) ? (n 1 3) ? (n 1 2) ? (n 1 1) 5 . 6 n! ? 4! Portanto, tem-se n 5 3. (02) Correto. Pelo princ’pio multiplicativo, conclu’mos que o nœmero de sequ•ncias poss’veis Ž igual a 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 5 26. (04) Correto. De fato, temos: n! n! n! A n, 3 1 3A n, 2 1 A n,1 = 13 1 5 (n 2 3)! (n 2 2)! (n 2 1)! = n(n 2 1)(n 2 2) 1 3n(n 2 1) 1 n 5 = n(n2 2 3n 1 2 1 3n 2 3 1 1) 5 = n3. (08) Incorreto. Sabendo que Cn, 8 5

A n, 8 8!

(16) Correto.  n  n n! n!  1  1  2  5 1!(n 2 1)! 1 2!(n 2 2)! 5 10 ⇒     n(n 2 1) ⇒ n1 5 10 ⇒ 2n 1 n(n 2 1) 5 20 ⇒ 2 2 ⇒ n 1 n 2 20 5 0 ⇒ 21 ± 1 1 80 21 ± 9 ⇒ n5 ⇒ n 5 4 ou n 5 25 5 2 2 Logo, encontramos:  n  n  1  1  2  5 10 ⇔ n ? (n 1 1) 5 20.

140. 120. 70. 60. 40. Existem 2 maneiras de escolher o grupo que ter‡ duas sele•›es  3 sul-americanas,   5 3 modos de escolher essas duas sele 2  5 •›es, e   5 5! 5 10 modos de escolher as duas sele•›es  2  3! ? 2! europeias que ir‹o formar o grupo com as duas sul-americanas. Como o segundo grupo Ž determinado univocamente pelas escolhas do primeiro, segue-se que o resultado pedido, pelo princ’pio fundamental da contagem, Ž 2 ? 3 ? 10 5 60.

, vem:

A n, 8 5 8!? 45 5 7! ? 360 . 360.

futebol chamado Copa dos Campeões, disputado apenas pelos oito países que já foram campeões mundiais: os três sul-americanos (Uruguai, Brasil e Argentina) e os cinco europeus (Itália, Alemanha, Inglaterra, França e Espanha). As oito seleções seriam divididas em dois grupos de quatro, sendo os jogos do grupo A disputados no Rio de Janeiro e os do grupo B em São Paulo. Considerando os integrantes de cada grupo e as cidades onde serão realizados os jogos, o número de maneiras diferentes de dividir as oito seleções de modo que as três sul-americanas não fiquem no mesmo grupo é: d

22 Permutam-se de todas as formas possíveis os algarismos 1, 3, m Ene-1 C 2 Hm Ene-1 C 3 H-

5, 7, 9 e escrevem-se os números formados em ordem crescente. Determine: a) que lugar ocupa o número 53 179. Para determinar o lugar do nœmero 53 179, devemos contar quantos nœmeros o antecedem. Assim, temos os nœmeros come•ados em 1 (4! 5 24), em 3 (4! 5 24), em 51 (3! 5 6). Antecedem-no 24 1 1 24 1 6 5 54 nœmeros. O nœmero 53 179 ocupa o 55o lugar.

Em consequ•ncia, como n Ž um nœmero natural, s— pode ser n 5 4.

20 Num plano estão marcados 12 pontos, dos quais 5 estão so-

2

6

12! 5? 4 5! 12 ? 11 C12, 2 2 C5, 2 1 1 5 2 115 2 1 1 5 66 2 2!10! 2!3! 2 2 2 10 1 1 5 57

1

1

b) qual a soma dos números assim formados. A soma das unidades dos nœmeros Ž: (1 1 3 1 5 1 7 1 9)4! 5 25 ? 24 5 600, pois cada um dos algarismos 1, 3, 5, 7, 9 aparece como algarismo das unidades em 4! nœmeros. De modo an‡logo, a soma das dezenas Ž 600 dezenas, ou seja, 6 000. A das centenas, 60 000; a das unidades de milhar Ž 600 000 e a das dezenas de milhar Ž 6 000 000. Logo: 600 1 6 000 1 60 000 1 600 000 1 6 000 000 5 6 666 600.

çLGEBRA

m Ene-1 C 3 H-

bre uma mesma reta e, dos 7 que estão fora dela, não há 3 colineares. Quantas retas distintas podemos traçar ligando esses pontos 2 a 2?

MATEMçTICA

m Ene-1 C 2 H-

TAREFA PARA CASA: Para praticar: 26 a 36 Para aprimorar: 6 e 7

An‡lise combinat—ria

25

NòMEROS BINOMIAIS  n Chama-se nœmero binomial o nœmero   com n e p naturais, n > p, tal que  p  n n!  p  5 p!(nÐ p)! (n Ž o numerador e p Ž a classe do nœmero binomial).   Exemplo: PARA REFLETIR

 5 5! 5 ? 4 ? 3! 5!  2  5 2!(5 2 2)! 5 2! ⋅ 3! 5 2 ? 1 ? 3! 5 10  

Verifique que:

 n  n  n  0  5 1;  1  5 n;  n  5 5 1.

Propriedade Dois nœmeros binomiais s‹o iguais se tiverem o mesmo numerador e: suas classes forem iguais, ou a soma de duas classes for igual ao numerador (binomiais complementares).

EXERCêCIO RESOLVIDO  7

7

38 Obtenha o valor de x sabendo que   5    3  x RESOLU‚ÌO: Sabemos que a igualdade acontece em duas situa•›es: x 5 3 ou 3 1 x 5 7. Se 3 1 x 5 7, ent‹o x 5 4. Logo, os valores de x s‹o x 5 3 ou x 5 4.

PARA CONSTRUIR  n

23 (Mack-SP) Se  2  5 28, ent‹o n vale: b  

m Ene-1 C 3 H-

a) b) c) d) e)

7. 8. 14. 26. 56.  n n(n 2 1) n! 5 28 ⇒ n2 2 n 5 56 ⇒ n2 2 n 2 56 5 0 ⇒ n 5 27 (não convém) ou n 5 8  2  5 28 ⇒ (n – 2)!2! 5 28 ⇒ 2

26

An‡lise combinat—ria







18



18 24 (Uece) A soma das soluções da equação   5  4x 2 1  é: b  6    a) b) c) d)

8 5 6 7

7   18   18  6 5 4x 2 1 ⇒ 4x 5 7 ⇒ x 5 4 5 5  6   4x Ð 1   13 6 1 4x 2 1 5 18 ⇒ 4x 5 13 ⇒ x 5 4 

Logo: 7 13 20 1 5 55 4 4 4

TAREFA PARA CASA: Para praticar: 37 a 40 Para aprimorar: 8

TRIåNGULO DE PASCAL Podemos dispor os nœmeros binomiais em forma•›es triangulares, como abaixo:  0  0    1  1  0  1     2  2  2   0  1  2       3  3  3  3   0  1 2  3         n  n  n  n   n   0   1   2   3   n         ou

MATEMÁTICA

ÁLGEBRA

 0  0    1  1  0  1     2  2  2   0  1  2       3  3  3  3   0  1 2  3         n  n  n  n   n   0   1   2   3   n         An‡lise combinat—ria

27

Calculando cada número binomial, temos: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 … ou 1 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 …

1 3 1 6 4 1 10 10 5 1

Essa maneira de dispor tais números é conhecida por triângulo de Pascal.

Propriedades dos nœmeros binomiais Observando o triângulo de Pascal, podemos obter as seguintes propriedades:  3  3 1a) Por exemplo:   5   → 1 1 2 5 3  1  2  4  4  1  5  3  → 11 3 5 4      5  5  2  5 3  → 2 13 55     De modo geral, como já foi visto no item anterior:  n  n  a  5  b  , se a 1 b 5 n (binomiais complementares)     2a) Observe:  3  3  4  1  1 2  5 2         3  3  4  2  1 3  5 3         4  4  5  2  1 3  5 3        28

An‡lise combinatória

1 1 1

2

3

1

1 1 1

1

4 5

1 3 1 1

6 1 10

4

10

1 5

1

…

De modo geral:  n 21   n 21   1  p 2 1   p

  n  (Rela•‹o de Stifel)  5   p 

3a) Observe a soma dos elementos de uma mesma linha no tri‰ngulo de Pascal:  0 0  0 5152     1  0  1   

1 5 1 1 1 5 2 5 21 1 

 2  2  2 1 1  2  5 1 1 2 1 1 5 4 5 22  1  0        3  3  3  3 1 1 1  3  5 1 1 3 1 3 1 1 5 8 5 23      0    2  1    4  4  4  4  4  4  5 1 1 4 1 6 1 4 1 1 5 16 5 24 1 1 1 1  3  2  1  0           Qual seria o valor de  6  6  6  6  6  6  6  2 1   1   1   1  ? 1 1  1  0      3  4  6  5   çLGEBRA

De modo geral, temos:

MATEMçTICA

 n  n  n  n  n   n 1 É1  1 1 1 1   5 2n      1   0 3  2      n    n 21  4a) Existem outras propriedades, menos importantes que as anteriores, que citaremos rapidamente abaixo: A soma dos n primeiros elementos de uma coluna Ž igual ao binomial situado imediatamente ˆ direita e abaixo do œltimo elemento considerado. An‡lise combinat—ria

29

PARA REFLETIR

De modo geral, temos:  p 12   p 11   p  n 11   n   1  p  1  p  1É1   5        p  p  p 11 

Veja que 2n Ž o mesmo que (1 1 1)n.

A soma dos n primeiros elementos de uma diagonal é igual ao binomial situado imediatamente abaixo do último elemento considerado. De modo geral, temos:  n 1 p 11   n1p   n12   n 11   n     1 1 1 É1 5      0 p  2       1   p 

PARA CONSTRUIR  3  4  5   12  25 (Unifor-CE) A soma   1   1   1 … 1   Ž igual a: d  9   0   1   12  b)  15   9 

a)  65   10 

c)  13   10 

d)  13   9 

e)  12   10 

A soma dos n primeiros termos de uma diagonal Ž igual ao binomial situado imediatamente ˆ direita e abaixo do œltimo elemento considerado.

 13   12   4  5  3 A soma   1   1   1 ...1  9  5   , pois Ž a soma de 10 termos de uma diagonal do tri‰ngulo de Pascal.    9   1  2  0

26 Escreva o tri‰ngulo de Pascal com pelo menos 8 linhas. Quais propriedades voc• observa nele? m Ene-1 C 2 H-

1 1

1

m Ene-1 C 3 H-

1

2

1

1

3

3

1

1

4

6

4

1

1

5

10

10

5

1

1

6

15

20

15

6

1

1

7

21

35

35

21

7

1

Propriedades: • em cada linha, o primeiro e o último elementos valem 1; • em cada linha, os coeficientes binomiais equidistantes dos extremos são iguais; • a soma dos n primeiros termos da coluna p Ž igual ao n-Žsimo termo da coluna seguinte.

30

Análise combinat—ria

27 Calcule: m Ene-1 C 3 H-

10

a)

m Ene-5 C 1 H-2

∑

p50 10

∑

p50

10

b)

∑

k56 10

∑

k56

 10   p     10  10  p  5 2 5 1 204  

k  5   k   11   5   5  5  6  2  5  5 462 2 1 5 461

      28 (Unifor-CE) A soma  30  12 ?  30  1  30  é igual a: c  8   9   10 

m Ene-1 C 3 H-

m Ene-5 C 1 H-2

a)  30   11  b)  32   11  c)  32   10  d)  32   9  e)  31   10 

6

c)

∑

k50

 4 1k     k 

 4 1k   4   5   6   7  1 1 1 1  5 k   0   1   2   3  k50   8   10   11  1  1 5 5 462  4   6   6  6

∑

 31   31   30   30   30   30   8  1  9  1  9  1  10  5  9  1  10  5  32  5   10 

TAREFA PARA CASA: Para praticar: 41 a 43 Para aprimorar: 9

BINïMIO DE NEWTON

çLGEBRA

Toda pot•ncia da forma (x 1 y)n, com x [ R, y [ R e n [ N, Ž conhecida como bin™mio de Newton. O desenvolvimento do bin™mio de Newton Ž simples em casos como os seguintes: (5x 2 7)0 5 1 (2x 1 y)1 5 2x 1 y (x 1 y)2 5 (x 1 y)(x 1 y) 5 x2 1 2xy 1 y2 (x 1 y)3 5 (x 1 y)2(x 1 y) 5 x3 1 3x2y 1 3xy2 1 y3 Em casos como (x 1 y)7, (2x 2 y)5, (x 1 2)10 e outros, vamos recorrer aos conhecimentos adquiridos na an‡lise combinat—ria. Observe nos exemplos seguintes os bin™mios de Newton desenvolvidos e veja como s‹o os coeficientes de cada termo:  2  2  2 1o) (x 1 y)2 5 x2 1 2xy 1 y2 5 1x2y0 1 2x1y1 1 1x0y2 5   x2y0 1  1  x1y1 1   x0y2    2  0

MATEMçTICA

 3  3 2o) (x 1 y)3 5 x3 1 3x2y 1 3xy2 1 y3 5 1x3y0 1 3x2y1 1 3x1y2 1 1x0y3 5   x3y0 1    1  0  3  3 x2y1 1   x1y2 1   x0y3  2  2 Note que os coeficientes dos desenvolvimentos s‹o as linhas do tri‰ngulo de Pascal. Ser‡ que isso tambŽm acontece para (x 1 y)4? Análise combinatória

31

De fato: (x 1 y)4 5 x4 1 4x3y 1 6x2y2 1 4xy3 1 y4 5 1x4y0 1 4x3y1 1 6x2y2 1 4x1y3 1 1x0y4 5  4  4  4  4  4 5   x4y0 1   x3y1 1   x2y2 1   x1y3 1   x0y4  4  1  3  2  0 Generalizando, podemos escrever, para x e y [ R e n [ N:  n  n  n  n  n (x1y)n 5   xn 1   xn 21 y 1   xn22 y2 1 É 1   xn2k yk 1 É 1   yn  n  1  2  0 k

Observe que os expoentes de x come•am em n e decrescem de 1 em 1 atŽ 0, enquanto os expoentes de y come•am em 0 e crescem de 1 em 1 atŽ n. Observa•‹o:  n Dados os nœmeros naturais n e p, com n > p, o nœmero   Ž chamado de nœmero binomial  p n sobre p. Lembre que:  n n! Cn, p 5  p  5 p!(n 2 p)!  

EXERCêCIOS RESOLVIDOS 39 Efetue o desenvolvimento de: a) (x 1 a)5 b) (2x 2 a)4 6  x 2 1 c)  2 d)

(

3 1 5)

4

RESOLU‚ÌO:  5  5  5  5  5  5 5 a) ( x 1 a) 5   x 51   x 4 a 1   x 3a2 1   x 2a3 1   xa4 1   a5  0  1  2  3  4  5 ↓ 1

↓ 5

↓ 10

↓ 10

↓ 5

↓ 1

Portanto: (x 1 a)5 5 x5 1 5x4a 1 10x3a2 1 10x2a3 1 5xa4 1 a5  4  4  4  4  4 4 3 2 2 3 4 b) (2x 2 a)4 5 [2x 1 (2a)]4 5   ( 2x ) 1   ( 2x ) (2a) 1   ( 2x ) (2a) 1  ( 2x )(2a) 5   (2a) 5  0  1  2  3  4 ↓ 1

↓ 4

↓ 6

↓ 4

↓ 1

5 1 ? 16x4 1 4 ? 8x3(2a) 1 6 ? 4x2a2 1 4 ? 2x(2a)3 1 1a4 5 16x4 2 32x3a 1 24x2a2 2 8xa3 1 a4 3 6 6  6   1 4  6   1  6   1 2  6   6  1 1    1  1   x3  Ð  1   x2  Ð  1 c)  x 2  5  x 1  Ð   5   x6 1   x5  Ð  1   x4 Ð 2 2 2 2  3  4 2   2   2  1   0 5 6  6  6 1 1 1   x Ð  1   Ð   6   2  5   2

32

Análise combinatória

 6  6  6  6  6  6  6 Calculando   5   5 1;   5   5 6;   5   515;   5 20, temos:  3  4  1  6  2  5  0 6

 x 2 1 1 15 4 2 20 3 15 2 1 6 6 15 15 5 3 x x 2 x1 5 x6 2 3x5 1 x4 2 x3 1 x2 2 x 1 x 1 5 x6 2 x5 1  8 2 64 4 64 2 32 16 16 2 4 16 d)

(

 4 4 3+ 5 5    0

16

)





( 3 ) 1  41  ( 3 ) 4

( 3) ( 5) 1 4 3 ( 5) 1 ( 5) 2

2

3

3

4

 4 51   2

( 3 ) ( 5 ) 1  43 

5 9 1 12 3 ?

2

( 5)

3

2

3

5 1 6 ? 3 ? 5 1 20 3 ?

 4 1   4

( 5) 5 ( 3) 4

4

14

( 3)

3

5 1

5 1 25 5 124 1 32 15

40 Qual Ž o valor da soma dos coeficientes do desenvolvimento de (3x 2 y)10? RESOLUÇÃO: Para obter apenas a soma dos coeficientes, basta fazer x 5 y 5 1. Assim: S 5 (3 ? 1 2 1)10 5 210 5 1 024

41 Qual o valor de  10   10   10   10   10  S5  ? 39 1  ? 310? 1 ?31  ? 32 1 … 1       10   9   2   1   0  RESOLUÇÃO: Note que S pode ser reescrito como:  10  10 0  10  9 1  10  8 2  10  0 10 S5  ?1 ? 3 1  ?1 ? 3 1  ?1 ? 3 1…1  ? 1 ? 3 ⇒ S 5 (1 1 3)10 5 410     0   1   2   10 

PARA CONSTRUIR 29 Qual Ž o valor da soma dos coeficientes obtidos no desenvolvimento de (3x 2 2y)23? m Ene-1 C 3 H-

(3 ? 1 2 2 ? 1)23 5 (3 2 2)23 5 123 5 1

30 (Mack-SP) S 5 (x 2 1)5 1 5(x 2 1)4 1 10(x 2 1)3 1 10(x 2 1)2 1 5(x 2 1) 1 1. Lembrando apenas que (a 1 1)5 5 a5 1 5a4 1 10a3 1 a) b) c) d) e)

x5 1 x4 1 x3 1 x2 1 x 1 1 x5 1 5x4 1 10x3 1 10x2 1 5x 1 1 x5 1 5x4 1 10x3 1 10x2 1 5x x5 1 1 x5 3 4 S 5 x5 2 5x4 1 10x3 2 10x2 1 5x 2 1 1 5(x4 2 4x3 1 6x22 4x 1 1) 1 10(x3 2 3x2 1 3x 2 1) 1 10(x2 2 2x 1 1) 1 5x 2 5 1 1 5 x5 2 5x 1 10x 2 2 2 2 2 10x 1 5x 2 1 1 5x 4 2 20x 3 1 30x 2 20x 1 5 1 10x 3 2 30x 1 30x 2 10 1 10x 2 20x 1 10 1 5x 2 5 1 1 5 x5

çLGEBRA

m Ene-5 C 1 H-2

1 10a2 1 5a 1 1, o valor de S Ž: e

MATEMçTICA

m Ene-1 C 3 H-

TAREFA PARA CASA: Para praticar: 44 a 46

An‡lise combinat—ria

33

Termo geral do binômio No desenvolvimento de (x 1 y)n, vimos que:  n  n21  n  n (x 1 y)n 5   x n 1   x y 1   x n 2 2 y 2 1 … 1  1  2  0 14243 14243 123 T1

T2

T3

 n n  n  n2k k x y 1  ny k     123 14243 Tk 1 1

Tn 1 1

Assim, o termo geral Ž dado por:  n Tk 1 1 5   xn 2 k yk k Observe que o desenvolvimento tem (n 1 1) termos.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 42 Qual é o 5o termo do desenvolvimento de (x 1 3)5 de acordo com as potências decrescentes de x?

45 Qual é o termo médio (ou central) no desenvolvimento de (x 2 3)6?

RESOLUÇÃO:

RESOLUÇÃO:

Procuramos o valor de T5. Como 5 5 k 1 1 ⇒ k 5 4, temos:

Como o binômio está elevado à 6a potência, o desenvolvimento tem 7 termos. Procuramos, então, o 4o termo, que é o termo central: k1154⇒k53





5 5! T5 5   x 52 4 ? 5 x ? 81 5 405x  4 4!1! Portanto, o 5o termo de (x 1 3)5 é 405x.

43 Qual é o 6o termo do desenvolvimento de (x 2 2)7?

 6   T4 5   x6 2 3 (23)3 5 2 6  27x3 5 220 ? 27x3 5 2540x3 3    3

RESOLUÇÃO: PARA REFLETIR

Procuramos o valor de T6. Como 6 5 k 1 1 ⇒ k 5 5, temos:  7  7 7! ? 32x2 5 T6 5   x7 2 5 (22)5 5 2  25 x2 5 2  5 5!2!  5

No desenvolvimento de (x 1 y)n, se n é par, existe termo central, que é o termo Tk 1 1  k 5 n  .  2

5 2672x2 Portanto, o 6o termo do desenvolvimento de (x 2 2)7 é: 2672x2.

44 Calcule o termo independente de x no desenvolvimento de

46 Qual é o termo em x5 no desenvolvimento (x 1 3)8?

6

 x 1 1 .  x RESOLUÇÃO: k  6  6  6  1 Tk 1 1 5  k  x6 2 k   5   x6 2k ? x2k 5   x6 22k   k x k O termo independente de x é o de x0, ou seja, quando 6 2 2 2k 5 0 ⇒ k 5 3. Logo, o termo independente de x é:

 6 6! 6 ? 5 ? 4 ? 3! 5 20 T4 5   5 5 3!3! 3! 3!  3

34

Análise combinatória

RESOLUÇÃO:

 8 O termo geral é dado por Tk 1 1 5   x 8 2 k ? 3k. k O termo em x5 ocorre quando 8 − k 5 5, ou seja, quando k 5 3. Assim, o termo em x5 é dado por:  8 T4 5   x8 2 3 ? 33 5 56 ? 27x5 5 1 512x5  3

47 Existe o termo independente de x no desenvolvimento 3

 x 1 1 ?  x

RESOLU‚ÌO: k  3  3  3  1 32k O termo geral é dado por Tk 1 1 5   x  x  5   x3 2 k x2k 5  k  x3 2 2k.   k k

Para que haja termo independente é necessário que 3 2 2k 5 0 Não existe número natural k tal que 3 − 2k 5 0. 8

Logo, não há termo independente de x no desenvolvimento de  x 1 1  .  x

PARA CONSTRUIR 

1  x

6

31 (Ufop-MG) No desenvolvimento de  x 1 3  , calcule a ordem e o coeficiente do termo em x2.  

m Ene-1 C 3 H-

m Ene-5 C 1 H-2

k k  6  6  6  6 2 4k 2 1  6  1  Tk 1 1 5   x6 2 k ?  3  5   x6 2 k ? k 5   x6 2 k ? x 3 5   x 3 x k k k k x3 O termo em x2 deve ter: 4k 4k 62 ⇒ 4k 5 12 ⇒ k 5 3 52⇒45 3 3 3

 6  1   6 6 ?5?4 2 6! 2 1 T4 5   x3  3 x  5  3  x3 ? 5 x 5 20x2 x 5   3!3! 3?2  3 x Portanto, o termo em x2 é o 4o termo e seu coeficiente é 20.

32 (FGV-SP) No desenvolvimento do binômio (a 1 b)n 1 5, ordenado segundo as potências decrescentes de a, o quociente do m Ene-1 C 3 H-

(n 1 3)-ésimo termo pelo (n 1 1)-ésimo termo é

m Ene-5 C 1 H-2

 n15  • Tn 1 3 5   a3bn 1 2  n 1 2 

Tn 1 3 2b2 2b2 5 2 . Determine n. 2 , isto é, 3a 3a Tn 1 1

 n1 5  • Tn 1 1 5   a 5 bn  n  Tn 1 3 Tn 1

1

20

(n + 5)! a3 bn ? b2  (n + 5)! 3 n 1 2   (n 1 5)! 5 n  a22b2 ? 20 n! 20 a22 b2 a3 b2 n! ? 20 2b2 n!120 ab a b  5 5 5 5  5 ? 5  :  5 5 n (n 1 2)(n 1 1) n! (n 1 2) (n 1 1) 3a2 (n 1 2)! 6 (n 1 2)!a (n 1 5)!a b   (n + 2)!3!   n!5! 1

MATEMçTICA

çLGEBRA

⇒ 2(n 1 2)(n 1 1)b2 5 60a22 ? a2b2 ⇒ (n 1 2)(n 1 1) 5 30 ⇒ n2 1 3n 1 2 2 30 5 0 ⇒ ⇒ n2 1 3n 2 28 5 0 ⇒ (n 1 7)(n ? 4) 5 0 ⇒ n 5 27 (não convém) ou n 5 4 Portanto, n 5 4.

Análise combinatória

35

33 (UFC-CE) O coeficiente de a3b7 no desenvolvimento de (a 1 b)10 é: b m Ene-1 C 3 Hm Ene-5 C 1 H2

a) b) c) d) e)

110. 120. 130. 140. 150.  10  a10 2 k ? bk 5 10 2 k 5 3 ⇒ k 5 7 Tk 1 1 5   k  Então: 5

3

 10   10  10! 10 ? 9 ? 8 5 120  k  5  7  5 3!7! 5 3 ? 2 1

1

TAREFA PARA CASA: Para praticar: 47 a 51 Para aprimorar: 10 e 11 Veja, no Guia do Professor, as respostas da “Tarefa para casa”. As resoluções encontram-se no portal, em Resoluções e Gabaritos.

TAREFA PARA CASA 6 Numa lanchonete há 5 tipos de sanduíche, 4 tipos de refri-

PARA PRATICAR PARA PRATICAR 2 ? 4 ? 6 ? 8 ? …? 2n 1 Resolva a equação 5 512. n!

2 Determine n de modo que

11 2 1 3 1 4 1 … 1 n 1 5 . 240 (n 1 1)!

3 Encontre o valor de n: (n!)2 2 25n! 1 24 5 0.

m Ene-1 C 3 H-

7 Usando somente os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números de 2 algarismos podemos formar?

8 (Unaerp-SP) Se a) b) c) d) e)

4 (UFRGS-RS) Escolhe-se aleatoriamente um número formado m Ene-1 C 1 Hm Ene-1 C 2 Hm Ene-1 C 3 H-

somente por algarismos pares distintos, maior do que 200 e menor do que 500. Assinale a alternativa que indica a melhor aproximação para a probabilidade de que esse número seja divisível por 6. a) b) c) d) e)

20% 24% 30% 34% 50%

5 (UEG-GO) Érika resolve passear com a cachorrinha Kika e, m Ene-1 C 1 Hm Ene-1 C 2 Hm Ene-1 C 3 H-

36

antes de sair do apartamento, escolhe colocar uma roupa e uma coleira na cachorrinha. Se Kika tem 7 roupas e 3 coleiras, todas distintas, de quantas maneiras Érika pode escolher uma roupa e uma coleira para passear com a Kika? a) b) c) d)

10 21 35 42

Análise combinatória

gerante e 3 tipos de sorvete. De quantas maneiras podemos tomar um lanche composto de 1 sanduíche, 1 refrigerante e 1 sorvete?

x!(x 1 1)! 5 20, então x vale: (x 2 1)!x!

26. 25. 4. 5. 6.

9 (UFSM-RS) Para cuidar da saúde, muitas pessoas buscam m Ene-1 C 1 Hm Ene-1 C 2 Hm Ene-1 C 3 H-

atendimento em cidades maiores onde há centros médicos especializados e hospitais mais equipados. Muitas vezes, o transporte até essas cidades é feito por vans disponibilizadas pelas prefeituras. Em uma van com 10 assentos, viajarão 9 passageiros e o motorista. De quantos modos distintos os 9 passageiros podem ocupar suas poltronas na van? a) b) c) d) e)

4 032 36 288 40 320 362 880 403 200

10 Quantos números de 4 algarismos podemos escrever com os algarismos 2, 4, 6 e 8? E de 4 algarismos distintos?

11 De quantas maneiras uma fam’lia de 5 pessoas pode sentar-se num banco de 5 lugares para tirar uma foto?

12 Responda:

m Ene-1 C 3 H-

13 (PUC-RJ) A quantidade de anagramas da palavra CONCURSO Ž: m Ene-1 C 1 Hm Ene-1 C 2 Hm Ene-1 C 3 H-

a) b) c) d) e)

2 520. 5 040. 10 080. 20 160. 40 320.

m Ene-1 C 2 Hm Ene-1 C 3 H-

20 Numa sala h‡ um sof‡ com lugares para 4 pessoas. De quantas maneiras podemos acomodar um grupo de 6 pessoas nessa sala, sendo que todos os lugares do sof‡ devem ser ocupados?

21 Quantas equipes de 3 astronautas podem ser formadas com 20 astronautas?

22 Numa prova de 10 quest›es, o aluno deve resolver apenas 6. De quantas maneiras diferentes ele poder‡ escolher essas 6 quest›es?

14 (IFCE) O nœmero de anagramas da palavra TAXISTA, que com Ene-1 C 1 Hm Ene-1 C 2 Hm Ene-1 C 3 H-

me•am com a letra X, Ž: a) b) c) d) e)

180. 240. 720. 5 040. 10 080.

m Ene-1 C 1 H-

30 alunos de uma classe?

A4, 2 A6, 3 A8, 2 A4, 4 A5, 1 A7, 0

25 Determine o valor de x em: m Ene-1 C 3 H-

m Ene-1 C 2 Hm Ene-1 C 3 H-

tintos ela pode se vestir?

a) Ax, 2 b) Ax 2 3, 2 c) A2x 1 1, 3

27 Uma sorveteria oferece 10 sabores de sorvete. Se uma pessoa quer um sorvete com 3 bolas, do mesmo sabor ou n‹o, quantas op•›es diferentes ela tem?

PARA REFLETIR Procure resolver os exerc’cios 17 e 18 usando a f—rmula e tambŽm sem us‡-la.

28 A diretoria de um clube Ž composta de 10 membros, que pom Ene-1 C 3 H-

presidente, um vice-presidente, um secret‡rio e um tesoureiro. Se uma pessoa pode ocupar apenas um desses cargos, de quantas maneiras Ž poss’vel formar uma diretoria?

18 Quantos nœmeros de 4 algarismos distintos podem ser formados pelos d’gitos 4, 5, 6, 7 e 8?

dem ocupar a fun•‹o de presidente, secret‡rio ou tesoureiro. De quantas maneiras podemos formar, com os 10 membros, chapas que contenham presidente, secret‡rio e tesoureiro?

29 Num ™nibus h‡ 5 lugares. Duas pessoas entram no ™nibus. De quantas maneiras diferentes elas podem se sentar?

17 Um clube tem 30 membros. A diretoria Ž formada por um m Ene-1 C 3 H-

a) 5 1 Cx, 2 5 x 1 14 b) Cx 1 3, 2 5 15

26 Uma menina tem 5 blusas e 4 saias. De quantos modos dis-

16 Determine a express‹o correspondente a: m Ene-1 C 1 H-

rentes podem ser constru’dos de tal maneira que a medida de cada uma de suas arestas seja um nœmero inteiro positivo que n‹o exceda 10.

24 Quantas comiss›es de 5 elementos podemos formar com os

15 Calcule: a) b) c) d) e) f)

23 (ITA-SP) Determine quantos paralelep’pedos ret‰ngulos dife-

ÁLGEBRA

m Ene-1 C 2 H-

a) Quantos s‹o os anagramas da palavra LIVRO? b) Quantos s‹o os anagramas da palavra LIVRO que se iniciam por L e terminam com O? c) Quantos s‹o os anagramas da palavra LIVRO em que as letras V, R e O aparecem juntas, em qualquer ordem? d) Quantos s‹o os anagramas da palavra LIVRO em que as letras L e I aparecem juntas e nessa ordem (LI)?

a) Quantos nœmeros de tr•s algarismos distintos podemos escrever? b) Quantos nœmeros de quatro algarismos distintos que terminem com 7 podemos escrever? c) Quantos nœmeros de sete algarismos distintos que iniciem com 3 e terminem com 8 podemos escrever? d) Quantos nœmeros de sete algarismos distintos podemos escrever com os algarismos 5 e 6 sempre juntos e nessa ordem?

30 Quantos s‹o os anagramas da palavra MATEMçTICA? 31 Sobre uma circunfer•ncia s‹o marcados 6 pontos distintos. m Ene-1 C 3 H-

MATEMÁTICA

m Ene-1 C 1 H-

19 Considere os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. m Ene-1 C 1 H-

Quantos quadril‡teros podemos tra•ar com vŽrtices nesses pontos? Análise combinatória

37

32 As placas dos automóveis são formadas por três letras seguim Ene-1 C 3 H-

das de quatro algarismos. Quantas placas podemos criar com as letras A e B e os algarismos pares, podendo repetir a letra, mas não o algarismo?

33 Quantos anagramas da palavra ESCOLA têm as vogais e as consoantes alternadas?

41 Calcule o valor das expressões usando as propriedades do m Ene-1 C 2 Hm Ene-1 C 3 Hm Ene-5 C 1 H-2

34 Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, quantos números de 3

 5  5  5  5  5  5 a)   1   1   1   1   1    0   1  2  3  4   5  8  8 b)   1    6  2  5  5 c)   1    3  4

algarismos distintos maiores que 340 podemos formar?

35 De quantas maneiras diferentes podemos colocar 8 livros em 3 gavetas de modo que fiquem 2 na primeira, 3 na segunda e 3 na terceira gaveta?

 4  4 d)   1    3  4

36 Um chaveiro foi contratado para fazer cópias das chaves de

    e)  9  1  9   5  4

10 salas; ele, entretanto, não as etiquetou, e viu-se obrigado a repor as chaves por tentativas. Quantas tentativas, no máximo, deverá fazer?

37 (ITA-SP) Resolva a equação m Ene-5 C 1 H-2

 15   15   x 2 1  5  2x + 1  .    

 8  8  8  8 f)   1  1  1   0  1  2  3

42 Efetue os seguintes desenvolvimentos: m Ene-5 C 1 H-2

38 Calcule o valor de: m Ene-1 C 3 Hm Ene-5 C 1 H-2

 7 a)    6

 6 d)    0  20  e)   18 

40 Determine inteiros n e p de modo que: m Ene-5 C 1 H-2

 n   n   n  p 11   p12   p       5 5 1 2 3

Análise combinatória

1  b) x 2  2

6

(

)

3

4

43 Sendo n um número ímpar, calcule o valor da soma m Ene-5 C 1 H-2

 n   n  n  n  0  1  2  1  4  1 … 1  n 2 1  .  

44 Efetue os seguintes desenvolvimentos: m Ene-5 C 1 H2

a) (x 1 2)5 b) (a 2 3)4 c) (x2 2 1)7 1  d)  x 1  x

 20   20  a)  2x  5  x 1 1       30   30  b)  2x  5  x 1 6     

5

d) 11 3

39 Determine o valor de x, sabendo que: m Ene-5 C 1 H-2

1  a)  x 1  3

1  c)  3x 2  3

 6 b)    2  7 c)    3

38

triângulo de Pascal:

4

e) ( 5 2 3) 1  f )  2 x 2

5

6

45 O valor numérico da expressão m Ene-1 C 3 Hm Ene-5 C 1 H-2

 n  n xn 1   xn21y 1  2  xn 2 2y2 1 … 1 yn, para x 5 y 5 2, é:    1 a) 2n 2 1 b) 2n c) 2n 1 1

d) 22n e) 4n 2 1

c) Considere agora um número natural k tal que 0 < k < n. Supondo que cada uma das distribuições do item b) tenha a mesma chance de ocorrer, determine a probabilidade de que, após uma dada distribuição, Pedro receba uma quantidade de bolas maior ou igual a k. Observa•‹o: Nos itens a e b, consideram-se válidas as distribuições nas quais uma ou mais pessoas não recebam bola alguma.

46 (UFC-CE) O valor da expressão (1 1 sen 2)5 2 5(1 1 sen 2)4 1 10(1 1 sen 2)3 210(1 1 sen 2)2 1 1 5(1 1 sen 2) – 1 é igual a: a) (sen 2)5. b) (1 1 sen 2)5 2 1. c) 1. d) 0. e) (sen 2)5 1 1.

3 Determine o valor de x em: Cx 2 3, 2 5 15

47 Determine: a) o 7o termo do desenvolvimento de (x − 1)9; b) o 6o termo do desenvolvimento de (x − 2a)10; c) o 2o e o penúltimo termos do desenvolvimento de (x − 1)20.

48 Determine, quando existir, o termo independente de x: m Ene-1 C 3 Hm Ene-5 C 1 H-2

8

 5 2 a)  x 1  x 2  b)  x 1  x

5

1  c)  x 2 x 

6

4 (PUC-RJ) Uma urna tem 9 bolas, cada uma marcada com uma m Ene-1 C 1 Hm Ene-1 C 2 Hm Ene-1 C 3 Hm Ene-2 C 7 H-

8

 x2 2  de  2  .  2 x

51 (Unifor-CE) O termo independente de x, no desenvolvimento 6

de  x 2 2 1  é:  x a) b) c) d) e)

20. 220. 215. 6. 15.

m Ene-1 C 2 Hm Ene-1 C 3 H-

m Ene-1 C 2 H-

a) b) c) d)

m Ene-1 C 3 H-

665 280. 685 820. 656 820. 658 280.

2 (Fuvest-SP) Seja um número inteiro n > 0. m Ene-1 C 1 Hm Ene-1 C 2 H-

a) Calcule de quantas maneiras distintas n bolas idênticas podem ser distribuídas entre Luís e Antônio. b) Calcule de quantas maneiras distintas n bolas idênticas podem ser distribuídas entre Pedro, Luís e Antônio.

D

E

F

G

H

I

Esmeralda sorteia duas bolas para entrarem na caixa I, três bolas para entrarem na caixa II, e as quatro bolas restantes são colocadas na caixa III.

Caixa I

Caixa II

Caixa III

las suas contribuições para a Química e a Física. Descreveu a forma e o uso de vários instrumentos de meteorologia, fazendo considerações sobre a variação da altura barométrica. Além disso, Dalton descreveu uma doença hereditária que o impossibilitava de distinguir a cor verde da vermelha. Essa doença hereditária, causada por um alelo recessivo ligado ao cromossomo X, recebeu o nome de daltonismo. Dois daltônicos fazem parte de um grupo de 10 pessoas. De quantas maneiras distintas pode-se selecionar 4 pessoas desse grupo, de maneira que haja pelo menos um daltônico entre os escolhidos?

1 (Uece) Se X e Y são conjuntos que possuem 6 e 12 elementos respectivamente, então o número de funções injetivas f : X → Y que podem ser construídas é:

C

5 (PUCC-SP) O cientista John Dalton é bastante conhecido pem Ene-1 C 1 H-

PARA APRIMORAR PARA PRATICAR m Ene-1 C 1 H-

B

a) Qual é a probabilidade de que a bola A esteja na caixa I? b) Qual é a probabilidade de que haja exatamente uma bola com vogal na caixa I? c) Qual é a probabilidade de que haja uma bola com vogal em cada caixa?

50 (UFC-CE) Determine o coeficiente de x 7 no desenvolvimento

m Ene-5 C 1 H-2

A

m Ene-2 C 8 H-

49 Qual é o termo independente do desenvolvimento de (x 2 3)8?

m Ene-1 C 3 H-

das letras de A a I:

a) b) c) d) e)

140. 240. 285. 336. 392.

ÁLGEBRA

m Ene-5 C 1 H-2

6 (PUC-RJ) a) Qual é o resultado de divisão de m Ene-1 C 1 Hm Ene-1 C 2 Hm Ene-1 C 3 H-

N = 123123123123123123 por 123?

b) Uma garota diz que pode multiplicar qualquer número de três dígitos por 1 001 instantaneamente. Se um colega diz "715" ela fornece a resposta da multiplicação imediatamente. Determine o valor encontrado e explique o segredo da garota. An‡lise combinat—ria

MATEMÁTICA

m Ene-5 C 1 H-2

39

c) De quantas maneiras poss’veis 7 cachorros podem consumir 10 biscoitos caninos? Observações: Os biscoitos n‹o podem ser fracionados. Os cachorros e os biscoitos s‹o indistingu’veis. Por exemplo, um cachorro pode comer todos os 10 biscoitos.

7 (Mack-SP) Em uma cidade, h‡ duas linhas de ™nibus, uma na m Ene-1 C 1 Hm Ene-1 C 2 Hm Ene-1 C 3 H-

dire•‹o Norte-Sul e outra na dire•‹o Leste-Oeste. Cada ™nibus tem um c—digo formado por tr•s nœmeros, escolhidos entre 1, 2, 3, 4 e 5 para a linha Norte-Sul e entre 6, 7, 8 e 9 para a linha Leste-Oeste. N‹o s‹o permitidos c—digos com tr•s nœmeros iguais. Se A Ž o total de c—digos dispon’veis para a linha Norte-Sul e B Ž o total de c—digos dispon’veis para a A linha Leste-Oeste, ent‹o Ž igual a: B a) 1. c) 3. e) 5. b) 2. d) 4.

8 (ITA-SP) ƒ falsa ou verdadeira a afirma•‹o:  m  m  ÒSe   5   , ent‹o m Ž necessariamente ’mparÓ?  p   p 21  ANOTA‚ÍES

40

Análise combinatória

9 Demonstre a rela•‹o de Stifel:  n 21   n   n 21   5 p    1    p   p 21 

10 (ITA-SP) Sabendo que Ž 1 024 a soma dos coeficientes do po-

lin™mio em x e y, obtido no desenvolvimento do bin™mio (x 1 y)m, temos que o nœmero de arranjos sem repeti•‹o de m elementos, tomados 2 a 2, Ž: a) b) c) d) e)

80. 90. 70. 100. 60.

11 (ITA-SP) No desenvolvimento de (x2 1 3x)12, o coeficiente de x20 Ž: a) b) c) d) e)

34 ? 55. 35 ? 110. 36 ? 55. 3 ? 110. 55.

REVISÃO

Veja, no Guia do Professor, as repostas da “Revisão”. As resoluções encontram-se no portal, em Resoluções e Gabaritos.

1 (Fuvest-SP) Maria deve criar uma senha de 4 dígitos para sua conta bancária. Nessa senha, somente os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 podem ser usados e um mesmo algarismo pode apam recer mais de uma vez. Contudo, supersticiosa, Maria não e En -1 C 2 Hquer que sua senha contenha o número 13. Isto é, o algarismo 1 seguido imediatamente pelo algarismo 3. De quantas m e En -1 C 3 maneiras distintas Maria pode escolher sua senha? H-

Denomina-se quadra a reunião de quatro cartas de mesmo valor. Observe, em um conjunto de cinco cartas, um exemplo de quadra:

m Ene-1 C 1 H-

a) 551 b) 552 c) 553

d) 554 e) 555

2 (Uece) Paulo possui 709 livros e identificou cada um destes livros com um código formado por três letras do nosso alfabeto, seguindo a "ordem alfabética" assim defim nida: AAA, AAB,..., AAZ, ABA, ABB,..., ABZ, ACA,... Então, o Ene-1 C 2 Hprimeiro livro foi identificado com AAA, o segundo com AAB,... Nestas condições, considerando o alfabeto com m Ene-1 C 3 26 letras, o código associado ao último livro foi: Ha) BAG. c) BBC. b) BAU. d) BBG. m Ene-1 C 1 H-

O número total de conjuntos distintos de cinco cartas desse baralho que contêm uma quadra é igual a: a) 624. b) 676. c) 715. d) 720.

3 (Cefet-MG) Um grupo de amigos, ao planejar suas férias coletivas, listou 12 cidades brasileiras que pretendem conhecer juntos, sendo que seis ficam no litoral e seis no interior m do país. O critério estabelecido foi de alternar as férias, em Ene-1 C 2 Hcada ano, ora em cidades litorâneas, ora, em interioranas, definindo-se que, nos próximos 12 anos, será visitada uma m e En -1 C 3 Hcidade diferente por ano. Desse modo, a quantidade de maneiras possíveis para atender a esse critério é: a) 2 ? 3 ? 11. b) 22 ? 3 ? 11. c) 2 ? 32 ? 11. d) 28 ? 34 ? 52. e) 29 ? 34 ? 52.

m Ene-1 C 1 H-

4 (Uerj) Na ilustração abaixo, as 52 cartas de um baralho estão agrupadas em linhas com 13 cartas de mesmo naipe e colunas com 4 cartas de mesmo valor.

m Ene-2 C 8 H-

m Ene-1 C 1 H-

m Ene-1 C 3 H-

m Ene-1 C 3 Hm Ene-2 C 7 H-

No retângulo à esquerda, são colocados os avisos da diretoria, e, nos outros três retângulos, serão colocados, respectivamente, de cima para baixo, os avisos dos 1o, 2o e 3o anos do ensino médio. A escola resolveu que retângulos adjacentes (vizinhos) fossem pintados, no quadro, com cores diferentes. Para isso, disponibilizou cinco cores e solicitou aos servidores e alunos sugestões para a disposição das cores no quadro. Determine o número máximo de sugestões diferentes que podem ser apresentadas pelos servidores e alunos.

6 De quantas maneiras podemos extrair 4 cartas de um baralho de 52 cartas?

Análise combinatória

ÁLGEBRA

m Ene-1 C 2 H-

m Ene-1 C 2 H-

MATEMÁTICA

m Ene-1 C 1 H-

5 (UFRN) O quadro de avisos de uma escola de ensino médio foi dividido em quatro partes, como mostra a figura a seguir.

41

  a)  53   23 

 m 11   m   m 7 Sabendo que  p  5 x e  p 1 1  5 y, então  p 1 1        em

En -1 C 2 H-

m Ene-1 C 3 H-

 52  b)   21 

é igual a: a) x 1 y. b) x 2 y.

c) y 2 x. d) x 2 p.

e) y 2 p.

 52  c)   22 

8 (Unitau-SP) Sendo n ≠ 0, o(s) valor(es) de n tal que m Ene-1 C 3 Hm Ene-5 C 1 H2

(n 1 1)! 2 n! 5 7n é (são): (n 2 1)! a) b) c) d) e)

7. 0 e 7. 0 e 10. 1. 0 e 2.

9 (Uniube-MG) Considere os seguintes números naturais pares 4, 6, 8, ..., 100. Efetuando-se a soma 4! 1 6! 1 8! 1 ... 1 100!, o algarismo que ocupa a ordem das unidades m dessa soma é igual a: e n E -5 C 1 H-2 a) 4. b) 2. c) 6. d) 8. m Ene-1 C 3 H-

10 (FGV-SP) Uma senha de internet é constituída de seis letras e quatro algarismos em que a ordem é levada em consideração. Eis uma senha possível: (a, a, b, 7, 7, b, a, 7, a , 7). m Quantas senhas diferentes podem ser formadas com quaEne-1 C 2 Htro letras “a”, duas letras “b” e quatro algarismos iguais a 7? m e a) 10! En -1 C 3 Hb) 2 520 c) 3 150 d) 6 300 10! e) 4!6!

 51  d)   22  e)

 51   21 

13 (UFC-CE) Sabendo que a soma dos coeficientes dos termos do desenvolvimento de (x 1 y)n é 4 096, determine o valor de n. 14 (UFC-CE) A quantidade de números inteiros positivos de 8 algarismos, formados somente pelos algarismos 1, 2 e 3, nos quais cada um desses algarismos aparece pelo menos m e En -5 uma vez, é: C m Ene-1 C 3 H-

1 H-2

m Ene-1 C 1 H-

a) b) c) d) e)

38 1 3 ? 28 38 2 3 ? 28 38 1 3 ? 28 2 3 38 1 3 ? 28 1 3 38 2 3 ? 28 1 3

15 (FGV-SP) O valor de m Ene-1 C 3 Hm Ene-5 C 1 H-2

a) b) c) d) e)





∑  nx  (2) (3) x

n2x

é:

6n. 5n. 1. 2n. impossível de se calcular por vias elementares.

16 (UFC-CE) O coeficiente de x3 no polinômio 5 em 11 (Faap-SP) Os valores de x que satisfazem a igualdade EnC-1-3 p(x) 5 (x 2 1)(x 1 3) é: H m a) 30. c) 100. e) 180. Ene-1  12   12  C 3 m HEne-5 b) 50. d) 120. C 1  3x 2 1  5  x 1 1  são: H-2     nem E -5 C 1 H-2

17 (Vunesp) Um certo tipo de código usa apenas dois símbolos, o número zero (0) e o número um (1), e, considerando esses símbolos como letras, podem-se formar palavras. m Ene-5 Por exemplo: 0, 01, 00, 0001 e 110 são algumas palavras de C 1 H-2 uma, duas e três letras desse código. O número máximo de palavras, com cinco letras ou menos, que podem ser 12 (Unifor-CE) Por uma das propriedades do triângulo de Pasformadas com esse código é: m Ene-1  50   51   52   50  C 3 H a) 120. c) 60. e) 10. cal, o valor da soma  1 1 1  20   22   23   21  m vale: b) 62. d) 20. Ene a) b) c) d)

1 e 4. 1 e 3. 3 e 4. 2 e 3.

C-5 1 H-2

42

Análise combinatória

m Ene-1 C 3 H-

A UEG poderia distribuir as disciplinas para as duas provas objetivas, com quatro por dia, de: a) 1 680 modos diferentes. b) 256 modos diferentes. c) 140 modos diferentes. d) 128 modos diferentes. e) 70 modos diferentes.

m Ene-5 C 1 H-2

 n  n 2 2  n  n 21  n  n 1 3 1  3 1  3 é igual a:  n − 2   n  n 21  a) nn b) 4 ? n! c) 2n

d) 3n e) 22n

19 (Uece) Numa Academia Regional de Folclore, 12 acadêm micos são mulheres e 18 são homens. O número de coEne-1 C 3 Hmissões constituídas com 3 acadêmicos, sempre com a presença dos dois sexos, é: m Ene-5 C 1 2 a) 3 024 c) 1 275 H b) 2 750 d) 1 024 10

20 (Uece) O termo médio no desenvolvimento de  x 1 1  é:  x m a) 126 Ene-1 C 3 Hb) 126x5 m c) 252 Ene-5 C 1 H-2 d) 252x5 21 (Vunesp) O conselho administrativo de um sindicato é m constituído por doze pessoas, das quais uma é o presiEne-1 C 1 Hdente desse conselho. A diretoria do sindicato tem quatro cargos a serem preenchidos por membros do conselho, e m Ene-1 C 2 Ho presidente da diretoria e do conselho não devem ser a mesma pessoa. De quantas maneiras diferentes essa direm e En -1 C 3 Htoria poderá ser formada? d) 11! a) 40 e) 12! b) 7 920 c) 10 890

24 (UEL-PR) Na formação de uma Comissão Parlamentar de Inquérito (CPI), cada partido indica um certo número de membros, de acordo com o tamanho de sua representação no Congresso Nacional. Faltam apenas dois partidos para indicar seus membros. O partido A tem 40 deputados e deve indicar 3 membros, enquanto o partido B tem 15 deputados e deve indicar 1 membro. Assinale a alternativa que apresenta o número de possibilidades diferentes para a composição dos membros desses dois partidos nessa CPI. a) 55 b) (40 2 3)(15 2 1) 40!  c)  ? 15  37! ? 3!  d) 40 ? 39 ? 38 ? 15 e) 40! 37! 15!

25 (Uesc-BA) A cobrança do pedágio na BR-116, principal rom dovia brasileira, foi iniciada na primeira semana de dezemEne-1 C 1 H- bro 2010, com postos autorizados pela Agência Nacional m de Transportes Terrestres (ANTT). Ene-1 C 2 H- Suponha que entre as cidades A e B existem cinco postos m de abastecimento, além de dois postos de pedágio – o Ene-1 C 3 H- primeiro com quatro cabines e o segundo, com três. É possível fazer o percurso de A até B, passando pelos dois pedágios e parando três vezes para abastecimento, de n 22 (Uece) No desenvolvimento do binômio (2x 1 3y)n há oito formas distintas (variando as cabines e os postos de abasm parcelas (ou termos). A soma dos coeficientes destes tertecimento). Ene-1 C 3 Hmos é igual a: O valor de n é: m e a) 71 825. n E -5 a) 12. C 1 H-2 b) 72 185. b) 22. c) 72 815. c) 31. d) 78 125. d) 120. e) 210. 23 (UEG-GO) A UEG realiza seu Processo Seletivo em dois m dias. As oito disciplinas, Língua Portuguesa – Literatura 26 (UEMG) Observe a tirinha abaixo: Ene-1 C 1 HBrasileira, Língua Estrangeira Moderna, Biologia, Matemática, História, Geografia, Química e Física, são distribuídas m Ene-1 C 2 Hem duas provas objetivas, com quatro disciplinas por dia. No Processo Seletivo 2005/2, a distribuição foi a seguinte: m e En -1 C 3 Hprimeiro dia: Língua Portuguesa – Literatura Brasileira, Língua Estrangeira Moderna, Biologia e Matemática; segundo dia: História, Geografia, Química e Física.

An‡lise combinat—ria

ÁLGEBRA

Ene-1 C 3 H-

MATEMÁTICA

 n  n  n 18 (Unifor-CE) A soma   1   3 1   32 1… 1  0   1  1 m

43

Passando por uma sorveteria, Magali resolve parar e pedir uma casquinha. Na sorveteria, há 6 sabores diferentes de sorvete e 3 é o número máximo de bolas por casquinha, sendo sempre uma de cada sabor. O número de formas diferentes com que Magali poderá pedir essa casquinha é igual a: a) 20. b) 41.

c) 120. d) 35.

27 (PUC-RS) Um fotógrafo foi contratado para tirar fotos de uma família composta por pai, mãe e quatro filhos. Organizou as pessoas lado a lado e colocou os filhos entre os m pais. Mantida essa configuração, o número de formas em e n E -1 C 2 Hque poderão se posicionar para a foto é: m Ene-1 C 1 H-

m Ene-1 C 3 H-

a) 4. b) 6.

c) 24. d) 36.

e) 48.

28 (UEMG) Na Copa das Confederações de 2013, no Brasil, m onde a seleção brasileira foi campeã, o técnico Luiz Felipe Ene-1 C 1 HScolari tinha à sua disposição 23 jogadores de várias posições, sendo: 3 goleiros, 8 defensores, 6 meio-campistas m Ene-1 C 2 e 6 atacantes. Para formar seu time, com 11 jogadores, o Hm técnico utiliza 1 goleiro , 4 defensores , 3 meio-campistas e Ene-1 C 3 3 atacantes. Tendo sempre Júlio César como goleiro e Fred Hcomo atacante, o número de times distintos que o técnico poderá formar é: a) 14 000. b) 480.

d) 462. e) 11.

30 (Mack-SP) Uma faculdade possui 11 professores titulares, m dos quais 7 são homens e 4 mulheres. O número de banEne-1 C 1 Hcas distintas de avaliação que podem ser formadas, contendo cada uma apenas 3 homens e 3 mulheres é: m Ene C-12 H-

m Ene-1 C 3 H-

a) b) c) d) e)

4. 70. 80. 140. 180.

31 (ITA-SP) Quantos tetraedros regulares de mesma dimenm são podemos distinguir usando 4 cores distintas para pine n E -1 C 3 Htar todas as suas faces? Cada face só pode ser pintada com uma única cor.

44

Análise combinatória

m Ene-1 C 3 H-

a) b) c) d) e)

28 560. 851. 13 800. 1 028 160. 5 106.

33 (Ibmec-RJ) Uma tradicional competição entre 24 times sempre foi organizada em três fases. Na primeira fase, os times são divididos em seis grupos de quatro times, em que cada time joga uma vez contra cada time do mesmo m e En -1 C 2 H- grupo. O último colocado de cada grupo é eliminado. Os m times restantes vão para a segunda fase, na qual não há Ene-1 C 3 divisão em grupos e todos os times se enfrentam, cada Hpar uma única vez. Os dois times com maior pontuação na segunda fase se enfrentam, na terceira fase, em uma partida final que define o campeão. No próximo ano, os times passarão a ser divididos em quatro grupos de seis times e os dois últimos colocados de cada grupo serão eliminados ao final da primeira fase. O restante da competição continuará como antes. Nessa nova organização, m Ene-1 C 1 H-

a) b) c) d)

o número de partidas da primeira fase diminuirá. o número de partidas da segunda fase aumentará. o número total de partidas da competição diminuirá. o número de partidas que um time precisa disputar para sagrar-se campeão aumentará. e) o número de times eliminados na primeira fase diminuirá.

c) 8! + 4!. d) 72 000.

   x13 29 (ESPM-SP) Os binomiais 11 e   4x   y  são complem Ene-5 C 1 mentares e, por isso, são iguais. Seu valor é: H2 a) 165. b) 330. c) 55.

32 (Udesc) Uma turma de 25 alunos precisa escolher 6 representantes. Sabe-se que 28% dos alunos desta turma são mulheres, e que os representantes escolhidos devem ser 3 m homens e 3 mulheres. Assim, o número de possibilidades Ene-1 C 2 H- para esta escolha é: m Ene-1 C 1 H-

34 (Vunesp) Quantos são os números naturais que podem m ser decompostos em um produto de quatro fatores priEne-1 C 3 mos, positivos e distintos, considerando que os quatro seHjam menores que 30? 35 (UPE) Seguindo a etiqueta japonesa, um restaurante tipicamente oriental solicita aos seus clientes que retirem seus calçados na entrada do estabelecimento. Em certa m noite, 6 pares de sapato e 2 pares de sandálias, todos disEne-1 C 2 H- tintos, estavam dispostos na entrada do restaurante, em duas fileiras com quatro pares de calçados cada uma. Se m Ene-1 C 3 esses pares de calçados forem organizados nessas fileiras Hde tal forma que as sandálias devam ocupar as extremidades da primeira fila, de quantas formas diferentes podem-se organizar esses calçados nas duas fileiras? m Ene-1 C 1 H-

a) b) c) d) e)

6! 2 ? 6! 4 ? 6! 6 ? 6! 8!

36 (Uerj) Todas as n capitais de um país estão interligadas por estradas pavimentadas, de acordo com o seguinte critério: uma única estrada liga cada duas capitais. m e n Com a criação de duas novas capitais, foi necessária a E -1 C 2 Hconstrução de mais 21 estradas pavimentadas para que m todas as capitais continuassem ligadas de acordo com o Ene-1 C 3 Hmesmo critério. Determine o número n de capitais que existiam inicialmente nesse país. m Ene-1 C 1 H-

37 (Ifsul-RS) Sendo 15 pontos distintos pertencentes a uma circunferência, o número de retas, distintas, determinadas por esses pontos é: m a) 14. Ene-1 C 3 Hb) 91. c) 105. d) 210. m Ene-1 C 2 H-

38 (Unioeste-PR) Um professor disse que já preparou questões para a prova bimestral, e com estas questões, pode fazer 255 provas diferentes. Quantas questões ele preparou? m a) 4 e n E -1 C 2 Hb) 7 m c) 18 Ene-1 C 3 H d) 14 e) 8 m Ene-1 C 1 H-

39 (UCS-RS) Em uma prova, as seis primeiras questões eram do tipo C/E, em que o candidato devia optar entre certo ou errado para sua resposta. Nas outras quatro questões, m o candidato devia escolher, entre três alternativas, a vere n E -1 C 2 Hdadeira. Quantas sequências de respostas são possíveis m na resolução da prova? Ene m Ene-1 C 1 H-

a) b) c) d) e)

(6 ? 2)2 (6 ? 2) 1 (4 ? 3) 62 ? 43 10213 26 ? 34

a) b) c) d) e)

10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.

41 (Ufscar-SP) Em seu trabalho, João tem 5 amigos, sendo 3 homens e 2 mulheres. Já sua esposa Maria tem, em seu trabalho, 4 amigos (distintos dos de João), sendo m 2 homens e 2 mulheres. Para uma confraternização, João Ene-1 C 2 e Maria pretendem convidar 6 dessas pessoas, sendo exaHtamente 3 homens e 3 mulheres. Determine de quantas m Ene-1 C 3 maneiras eles podem convidar essas pessoas: Hm Ene-1 C 1 H-

a) dentre todos os seus amigos no trabalho. b) de forma que cada um deles convide exatamente 3 pessoas, dentre seus respectivos amigos. 42 (Uerj) Ao refazer seu calendário escolar para o segundo semestre, uma escola decidiu repor algumas aulas em exatamente 4 dos 9 sábados disponíveis nos meses de outubro e novembro de 2009, com a condição de que m Ene-1 C 2 não fossem utilizados 4 sábados consecutivos. Hm Para atender ˆs condições de reposição das aulas, o núEne-1 C 3 mero total de conjuntos distintos que podem ser formaHdos contendo 4 sábados é de: m Ene-1 C 1 H-

a) 80.

b) 96.

c) 120.

d) 126.

çLGEBRA

ANOTA‚ÍES

MATEMçTICA

C-13 H-

40 (Enem) O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa m casa de 9 c™modos; um dos personagens esconde um Ene-1 C 2 dos objetos em um dos c™modos da casa. O objetivo Hda brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por m Ene-1 C 3 qual personagem e em qual c™modo da casa o objeto foi Hescondido. Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta. As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada. O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há: m Ene-1 C 1 H-

An‡lise combinat—ria

45

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS çVILA, G. Cálculo 1: fun•›es de uma vari‡vel. Rio de Janeiro: Livros TŽcnicos e Cient’ficos, 1982. BOYER, Carl B. História da Matemática. S‹o Paulo: Edgard BlŸcher/Edusp, 1974. COLE‚ÌO do Professor de Matem‡tica. Rio de Janeiro: SBM, 1993. 14 v. DANTE, L. R. Didática da resolução de problemas de Matemática. 12. ed. S‹o Paulo: çtica, 1997. DAVIS, P. J.; HERSH, R. A experiência matemática. Rio de Janeiro: Francisco Alves, 1989. LIMA, E. L. et al. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: SBM, 1997. (Cole•‹o do Professor de Matem‡tica, v. 1-2.) MORETTIN, P. A.; BUSSAB, W. O. Estatística básica. S‹o Paulo: Atual, 1981. POLYA, G. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interci•ncia, 1986. . Mathematical Discovery. New York: John Wiley & Sons, 1981. 2 v. REVISTA do Professor de Matem‡tica. S‹o Paulo: SBM, 1982/1998. v. 1-36.

ANOTAÇÕES

46

Análise combinatória

MAIS ENEM

Ci•ncias Humanas e suas Tecnologias Ci•ncias da Natureza e suas Tecnologias Linguagens, C—digos e suas Tecnologias Matem‡tica e suas Tecnologias

FABIO BRAGA/FOLHAPRESS

SAIBA COMO SÌO REALIZADOS OS SORTEIOS DAS LOTERIAS

Grande parte dos brasileiros tem o h‡bito de apostar nas loterias da Caixa Econ™mica Federal, a famosa “fezinha”, mas ser‡ que voc• sabe como são organizados e distribu’dos esses sorteios? A sua realização envolve planejamento, tecnologia e, claro, a população, que Ž a respons‡vel por apostar e tambŽm auxiliar na fiscalização dos procedimentos. O cuidado com as etapas Ž grande para evitar fraudes e erros, como, por exemplo, a repetição de nœmeros durante o sorteio. Sorteio Para o sorteio, as bolas são carregadas em colunas, em reposit—rios com capacidade para 100, 80 ou 60 bolas. Esse total varia conforme o local de sorteio e a modalidade a ser sorteada. Desse modo, as bolas são inseridas automaticamente no globo e, ap—s seu acionamento, Ž que ocorre o embaralhamento. Em relação a sa’da dos nœmeros sorteados, as bolas, depois de extra’das, não retornam ao globo, pois ficam expostas para posterior confer•ncia. Modalidades Confira o total de nœmeros sorteados referentes a algumas modalidades: Mega-Sena: ƒ utilizado um globo, com bolas numeradas entre 01 e 60. São sorteados 6 nœmeros por concurso. Em cada volante de aposta, o jogador deve marcar no m’nimo 6 e no m‡ximo 15 nœmeros, sendo premiados se 4, 5 ou 6 forem iguais aos sorteados.

Quina: ƒ utilizado um globo, com bolas numeradas entre 01 e 80. São sorteados 5 nœmeros por concurso. Nesse jogo, o participante deve escolher 5, 6 ou 7 nœmeros para fazer sua aposta. O pr•mio m‡ximo vai para aqueles que acertarem 5 nœmeros, mas quem acertar 4 ou 3 tambŽm Ž premiado. Fonte: Portal Brasil. Saiba como são realizados os sorteios das loterias. 30 jul. 2014. Dispon’vel em: . Acesso em: 20 maio 2015. Adaptado.

1

2

3

Em uma aposta mínima na Mega-Sena, o número de combinações que é possível escolher é de: b a) 24 040 016. c) 52 047 068. e) 35 242 800 200. b) 50 063 860. d) 36 045 979 200. Um jogador marcou 7 números em um volante de apostas da Quina. O número de combinações com que ele concorrerá ao prêmio máximo é de: a a) 21. c) 42. e) 50. b) 35. d) 49. No jogo da Mega-Sena, ao marcar 15 números em um volante de apostas, a quantidade de combinações de 6 números que estarão concorrendo ao prêmio é de: c a) 1 365. c) 5 005. e) 6 540. b) 3 508. d) 5 587. 47

QUADRO DE IDEIAS Direção de conteúdo e inovação pedagógica: M‡rio Ghio Jœnior

Análise combinatória

Direção: Carlos Roberto Piatto Direção editorial: Lidiane Vivaldini Olo Gerência editorial: B‡rbara Muneratti de Souza Alves Coordenação editorial: Adriana Gabriel Cerello

Fatorial

Princ’pio multiplicativo (princ’pio fundamental da contagem)

Permuta•‹o simples Pn 5 n(n Ð 1)(n Ð 2)? ?É? 3 ? 2 ? 1 5 n!

Combina•›es simples An,p n! Cn,p 5 ou Cn,p 5 p!(n 2 p )! p!

Nœmeros binomiais

 n n!  p  5 p! n 2 p ! ( )  

Edição: Tatiana Leite Nunes (coord.), Pietro Ferrari Assistência editorial: Isabela Ramalho, Rodolfo Correia Marinho Organização didática: Mait• Nanni Revisão: HŽlia de Jesus Gonsaga (ger.), Danielle Modesto, Edilson Moura, Let’cia Pieroni, Mar’lia Lima, Marina Saraiva, Tayra Alfonso, Vanessa Lucena Coordenação de produção: Fabiana Manna da Silva (coord.), Adjane Oliveira, Dandara Bessa Supervisão de arte e produção: Ricardo de Gan Braga Edição de arte: Yara Campi Diagramação: Antonio Cesar Decarli, Claudio Alves dos Santos, Fernando Afonso do Carmo, Fl‡vio Gomes Duarte, Kleber de Messas Iconografia: S’lvio Kligin (supervis‹o), Marcella Doratioto; Colabora•‹o: F‡bio Matsuura, Fernanda Siwiec, Fernando Vivaldini

Tri‰ngulo de Pascal

Licenças e autorizações: Edson Carnevale Capa: Daniel Hisashi Aoki Foto de capa: Fabio Colombini/Arquivo do fot—grafo Projeto gráfico de miolo: Daniel Hisashi Aoki Editoração eletrônica: Casa de Tipos

Permuta•‹o com repeti•‹o α ,β , γ Pn 5 n! α !β ! γ !

Bin™mio de Newton

Todos os direitos reservados por SOMOS Educa•‹o S.A. Avenida das Na•›es Unidas, 7221 Pinheiros Ð S‹o Paulo Ð SP CEP 05425-902 (0xx11) 4383-8000 © SOMOS Sistemas de Ensino S.A.

Arranjo simples

An,p 5 n(n 21)(n2 2 )??(n 2 p11) ou n! An,p 5 (n 2 p )!

Termo geral do bin™mio

 n Tk + 1 5   xn 2 k y k k

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Dante, Luiz Roberto Sistema de ensino ser : ensino mŽdio, caderno 9 : ‡lgebra : PR / Luiz Roberto Dante. -- 2. ed. -S‹o Paulo : çtica, 2015.

1. çlgebra (Ensino mŽdio) 2. Matem‡tica (Ensino mŽdio) I. T’tulo.

15-07817

CDD-510.7

Índices para catálogo sistemático: 1. Matem‡tica : çlgebra : Ensino mŽdio 510.7 2015 ISBN 978 85 08 17 581-9 (AL) ISBN 978 85 08 17 582-6 (PR) 2» edi•‹o 1» impress‹o

Impress‹o e acabamento

Uma publica•‹o

48

Análise combinatória

MATEMÁTICA

álGEbrA

GUIA DO PROFESSOR

MÓDULO Análise combinatória (16 aulas)

An‡lise combinat—ria

MATEMçTICA

Livre-docente em Educação Matemática pela Unesp – Rio Claro/SP. Doutor em Psicologia da Educação: Ensino da Matemática pela PUC/São Paulo. Mestre em Matemática pela USP. Ex-presidente da Sociedade Brasileira de Educação Matemática (Sbem). Ex-secretário executivo do Comitê Interamericano de Educação Matemática (Ciaem). Pesquisador em ensino e aprendizagem da Matemática pela Unesp – Rio Claro/SP. Autor de vários livros: Didática da resolu•‹o de problemas de Matemática; Didática da Matemática na prŽ-escola; Cole•‹o Aprendendo Sempre Ð Matemática (1o ao 5o ano); Tudo Ž Matemática (6o ao 9o ano); Matemática Ð Contexto & Aplica•›es – Volume único (Ensino Médio); Matemática Ð Contexto & Aplica•›es – 3 volumes (Ensino Médio).

çLGEBRA

LUIZ ROBERTO DANTE

AulAs 1 e 2

Páginas: 4 a 9

Fatorial; princípio da multiplicação

MÓDULO Análise combinatória

Objetivos Calcular fatorial. Aplicar o princípio fundamental da contagem para resolver situações-problema.

Plano de aulas sugerido Carga semanal de aulas: 3 Número total de aulas do módulo: 16

Estratégias Leia com os alunos o texto de introdução “Análise combinatória”. Explique os exercícios resolvidos 1 a 3. Trabalhe o princípio da multiplicação com os três problemas das páginas 5 e 6 utilizando um esquema das possibilidades de ocorrência dos resultados. Em seguida, solucione os exercícios resolvidos 4 a 7.

Competências

Habilidades

Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais. c Modelar e resolver problemas que envolvam variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas. c

Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem. c Resolver situações-problema envolvendo conhecimentos numéricos. c Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos. c

As competências e habilidades do Enem estão indicadas em questões diversas ao longo do módulo. Se necessário, explique aos alunos que a utilidade deste “selo” é indicar o número da(s) competência(s) e habilidade(s) abordada(s) na questão, cuja área de conhecimento está diferenciada por cores (Linguagens: laranja; Ciências da Natureza: verde; Ciências Humanas: rosa; Matemática: azul). A tabela para consulta da Matriz de Referência do Enem está disponível no portal.

www.ser.com.br Na abertura deste módulo, trabalhe com os alunos o objeto digital Máquina Enigma.

Tarefa para casa Solicite à turma que faça em casa as atividades 1 a 8 do “Para praticar” (página 36) e a atividade 1 do “Para aprimorar” (página 39). Se achar oportuno, no início da próxima aula, corrija as questões juntamente com a classe. AulAs 3 e 4

Páginas: 9 a 12

Permutações simples Objetivos Calcular quantos agrupamentos é possível formar quando existem n elementos e todos são usados em cada agrupamento. Calcular a quantidade de anagramas que é possível formar a partir de uma palavra. Estratégias Conceitue permutação simples e resolva os exemplos 1 e 2 fazendo a árvore das possibilidades. Explique os exercícios resolvidos 8 a 10. Tarefa para casa Solicite à turma que faça em casa as atividades 9 a 12 do “Para praticar” (páginas 36 e 37). Se achar oportuno, no início da próxima aula, corrija as questões juntamente com a classe. AulA 5

Páginas: 12 a 14

Permutações com repetição 1. AnálisE cOmbinATóriA Objeto do conhecimento Conhecimentos numéricos; conhecimentos algébricos.

Objeto específico Operações em conjuntos numéricos (naturais, inteiros, racionais e reais), desigualdades, divisibilidade, fatoração, princípios de contagem. Equações e inequações.

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GUIA DO PROFESSOR

Objetivos Calcular quantos agrupamentos é possível formar quando existem n elementos e todos são usados em cada agrupamento, mas alguns dos elementos são repetidos. Calcular a quantidade de anagramas que é possível formar a partir de uma palavra que tenha letras repetidas. Estratégias Conceitue permutação com repetição e resolva os exemplos 1 e 2. Explique os exercícios resolvidos 11 a 15.

Tarefa para casa Solicite à turma que faça em casa as atividades 13 e 14 do “Para praticar” (página 37) e a atividade 2 do “Para aprimorar” (página 39). Se achar oportuno, no início da próxima aula, corrija as questões juntamente com a classe. Páginas: 14 a 18

Arranjos simples Objetivos Identificar um problema de agrupamentos ordenados. Conhecer e aplicar a fórmula de arranjo simples. Estratégias Conceitue arranjo simples e explique um exemplo utilizando a árvore de possibilidades. Dê um exemplo que pode ser resolvido por arranjo simples. Em seguida, demonstre a fórmula de arranjo simples. Explique os dois exemplos de aplicação da fórmula de arranjo simples e, em seguida, os exercícios resolvidos 16 a 24. Tarefa para casa Solicite à turma que faça em casa as atividades 15 a 20 do “Para praticar” (página 37). Se achar oportuno, no início da próxima aula, corrija as questões juntamente com a classe.

Páginas: 26 e 27

números binomiais Objetivos Identificar e calcular um número binomial. Calcular um valor x, incógnito em um número binomial, aplicando a propriedade de igualdade de números binomiais.

Páginas: 19 a 23

combinações simples Objetivos Identificar um problema de combinação simples. Conhecer e aplicar a fórmula de combinação simples. Estratégias Conceitue combinação simples e aplique nos exemplos 1 e 2. Demonstre a fórmula de combinação simples e explique as duas observações. Demonstre a propriedade da igualdade de combinações complementares e aplique-a nos dois exemplos. Explique os exercícios resolvidos 25 a 33. Tarefa para casa Solicite à turma que faça em casa as atividades 21 a 25 do “Para praticar” (página 37) e as atividades 3 a 5 do “Para aprimorar” (página 39). Se achar oportuno, no início da próxima aula, corrija as questões juntamente com a classe. AulA 10

AulA 11

Páginas: 24 e 25

Problemas que envolvem os vários tipos de agrupamento Objetivo Revisar e fixar o conteúdo de análise combinatória resolvendo exercícios que reúnem os vários tipos de agrupamentos estudados.

Estratégias Conceitue número binomial e sua propriedade de igualdade. Explique o exercício resolvido 38. Tarefa para casa Solicite à turma que faça em casa as atividades 37 a 40 do “Para praticar” (página 38) e a atividade 8 do “Para aprimorar” (página 40). Se achar oportuno, no início da próxima aula, corrija as questões juntamente com a classe. AulAs 12 e 13

Páginas: 27 a 31

Triângulo de Pascal Objetivos Montar o triângulo de Pascal. Identificar as propriedades dos números binomiais no triângulo de Pascal. Resolver expressões com números binomiais utilizando as propriedades do triângulo de Pascal.

Estratégias Monte o triângulo de Pascal no quadro de giz e explique as quatro propriedades dos números binomiais presentes nesse triângulo. Generalize cada propriedade. An‡lise combinat—ria

çLGEBRA

AulAs 8 e 9

Tarefa para casa Solicite à turma que faça em casa as atividades 26 a 36 do “Para praticar” (páginas 37 e 38) e as atividades 6 e 7 do “Para aprimorar” (páginas 39 e 40). Se achar oportuno, no início da próxima aula, corrija as questões juntamente com a classe.

MATEMçTICA

AulAs 6 e 7

Estratégia Explique os exercícios resolvidos 34 a 37. Se possível, destaque o motivo de se usar arranjo ou combinação no exercício. Por exemplo, no exercício resolvido 34, como a ordem dos elementos configura um subconjunto diferente (134 Þ 143), trata-se de um arranjo; enquanto que no exercício 35, queremos escolher subconjuntos que não são caracterizados pela ordem de seus elementos (comissão a, b, c 5 comissão c, b, a), logo, trata-se de uma combinação.

3

Tarefa para casa Solicite à turma que faça em casa as atividades 41 a 43 do “Para praticar” (página 38) e a atividade 9 do “Para aprimorar” (página 40). Se achar oportuno, no início da próxima aula, corrija as questões juntamente com a classe. AulA 14

Páginas: 31 a 33

binômio de newton Objetivos Identificar que toda potência da forma (x 1 y)n é um binômio de Newton. Desenvolver um binômio de Newton. Estratégias Conceitue binômio de Newton. Desenvolva alguns binômios e generalize para uma potência n. Aplique a generalização explicando os exercícios resolvidos 39 a 41. Tarefa para casa Solicite à turma que faça em casa as atividades 44 a 46 do “Para praticar” (páginas 38 e 39). Se achar oportuno, no início da próxima aula, corrija as questões juntamente com a classe. AulA 15

Páginas: 34 a 36

Termo geral do binômio Objetivo Aplicar a fórmula do termo geral do binômio de Newton para determinar qualquer termo.

Estratégia Mostre a fórmula do termo geral e aplique-a para explicar os exercícios resolvidos 42 a 47.

Tarefa para casa Solicite à turma que faça em casa as atividades 47 a 51 do “Para praticar” (página 39) e as atividades 10 e 11 do “Para aprimorar” (página 40). Se achar oportuno, no início da próxima aula, corrija as questões juntamente com a classe.

rEVisÃO e mAis EnEm AulA 16

Páginas: 41 a 47

Objetivos Revisar o conteúdo estudado sobre probabilidade. Desenvolver habilidades e competências. Apresentar conteúdos interdisciplinares.

Estratégias Proponha aos alunos que, em duplas, resolvam os exercícios da “Revisão”. Identifique os conteúdos em que ainda há dúvidas e resolva os exercícios correspondentes na lousa. Leia o texto do “Mais Enem”. Proponha à classe a leitura e desenvolvimento das atividades. Em seguida, discuta as perguntas e faça a correção das questões.

rEsPOsTAs cAPÍTulO 1 – AnálisE cOmbinATóriA PArA PrATicAr – páginas 36 a 39 1. n 5 9 2. n 5 6 3. n 5 4 ou n 5 1 4. e. 5. b. 6. 60 maneiras 7. 36 números 8. c. 9. d. 10. 256 números de 4 algarismos; 24 números de 4 algarismos distintos.

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GUIA DO PROFESSOR

11. 120 maneiras 12. a) 120 anagramas b) 6 anagramas c) 36 anagramas d) 24 anagramas 13. c.

14. a. 15. a) 12 b) c) d) e) f)

120 56 24 5 1

16. a) x2 2 x

b) x2 2 7x 1 12 c) 8x3 2 2x

17. 657 720 maneiras 18. 120 números 19. a) 504 números

c) x14 2 7x12 1 21x10 2 35x8 1 35x6 2 21x4 1 7x2 2 1 d) x4 1 4x2 1 6 1 4 1 1 x2 x4 e) 220 5 2 284 3

b) 336 números c) 2 520 números d) 15 120 números

f)

20. 360 maneiras diferentes

45. d.

21. 1 140 equipes 22. 210 maneiras diferentes

46. a. 47. a) 84x3

b) 28 064x5a5 c) T2 5 220x19 e T20 5 220x

 12 

23. CR103 5   5 12! 5 220 3!9!  3

48. a) Não existe.

24. 142 506 comissões

b) Não existe. c) 220

25. a) x 5 6 b) x 5 3

49. 6 561

26. 20 modos 27. 1 000 opções 28. 720 maneiras 29. 20 maneiras 30. 151 200 anagramas 31. 15 quadriláteros 32. 960 placas 33. 72 anagramas 34. 140 números 35. 560 maneiras 36. 45 tentativas 37. S 5 {5} 38. a) 7

50. 214 51. e.

PArA APrimOrAr – páginas 39 e 40 1. a. 2. a) n 1 1 (n 1 2)(n 11) 2

c)

(n 2 k 1 2)(n 2 k 1 1) (n 1 2)(n 1 1)

3. x = 9 4. a) P 5

15 35 1 190

C 8,1 ? C7,3 ? C 4 ,4 5 8 52 C 9,2 ? C7,3 ? C 4 ,4 36 9

b) P 5 3 ?

39. a) x 5 1

41. a) 32 56 15 5 252 93

42. a) x5 1 5 x4 1 10 x3 1 10 x2 1 5 x 1 1 9

27

81

243

15 4 5 15 2 3 1 x 2 x3 1 x 2 x1 4 2 16 16 64 1 c) 27x3 2 9x2 1 x 2 27 b) x6 2 3x5 1

d) 28 1 16 3

43. 2n 2 1 44. a) x5 1 10x4 1 40x3 1 80x2 1 80x 1 32 b) a4 2 12a3 1 54a2 1 108a 2 81

b) Podemos escrever 1001 5 1000 1 1. Logo, temos: 715 ? 1001 5 715 ? (1000 1 1) 5 715715 Seja abc, com a, b, c [ {0,1, 2,  , 9} e a Þ 0. O segredo é que todo número abc multiplicado por 1001 resulta em: abc ? (1000 1 1) 5 abc000 1 abc 5 abcabc c) Sendo os cachorros e os biscoitos indistinguíveis, temos as seguintes possibilidades:

An‡lise combinat—ria

çLGEBRA

40. n 5 14 e p 5 4

3

C 6,1 53? 6 5 1 C 9,2 36 2

c) P 5 3! ? 6! ? 2 ? 3 ? 4 5 2 9! 7 5. a. 123123123123123123 5 6. a) 123 123 ? 10151123 ?10121123 ? 10 9 1123 ?10 6 1 123 ?10 3 1 123 5 5 123 15 12 9 6 3 510 1 10 1 10 1 10 1 10 11 5 51001001001001001

b) x 5 6 ou x 5 8

b) c) d) e) f)

b)

MATEMçTICA

b) c) d) e)

1 3x 15x 2 5x 3 15x 4 2 1 2 1 2 3x 5 1 x 6 64 16 16 2 4

5

{10}, {9,1}, {8, 2}, {8,1,1}, {7, 3}, {7, 2,1}, {7,1,1,1}, {6, 4}, {6, 3,1}, {6, 2, 2}, {6, 2,1,1}, {6,1,1,1,1}, {5, 5}, {5, 4,1}, {5, 3, 2}, {5, 3,1,1}, {5, 2, 2,1}, {5, 2,1,1,1}, {5,1,1,1,1,1}, {4, 4, 2}, {4, 4,1,1}, {4, 3, 3}, {4, 3, 2,1}, {4, 3,1,1,1}, {4, 2, 2, 2}, {4, 2, 2,1,1}, {4, 2,1,1,1,1}, {4,1,1,1,1,1,1}, {3, 3, 3,1}, {3, 3, 2, 2}, {3, 3, 2,1,1}, {3, 3,1,1,1,1}, {3, 2, 2, 2,1}, {3, 2, 2,1,1,1}, {3, 2,1,1,1,1,1}, {2, 2, 2, 2, 2}, {2, 2, 2, 2,1,1}, {2, 2, 2,1,1,1,1}. Portanto, o resultado pedido é igual a 38. Observa•‹o: Caso os cachorros fossem distinguíveis e os biscoitos indistinguíveis, o resultado seria dado por  16  5 8008 CR10 7 5   10 

7. c. 8. a. 9. a. 10. c. 11. b 12. a 13. n 5 12 14. b. 15. b. 16. e.

7. b.

17. b.

8. Verdadeira 9.  n 2 1 1  n 2 1 5    

(n 21)! (n 2 1)! 1 5 2 p 1 p 2 2 2 p 2 1)! (p 1)(n p)! p!(n     p(n 2 1)! 1 (n 2 p)(n 2 1)! p(n 21)! 1 (n 2 p)(n 2 1)! 5 5 5 p(p 2 1)!(n 2 p) (n 2 p 2 1)! p!(n 2 p)!  n (p 1 n 2 p)(n 2 1)! n(n 2 1)! n! 5 5 5 5  p!(n 2 p)! p!(n 2 p)! p!(n 2 p)!  p 

18. e. 19. a. 20. c. 21. c. 22. d. 23. e.

10. b.

24. c.

11. c.

25. d. 26. b.

PArA rEFlETir

27. e. página 5

28. a.

1a etapa: Recife-São Paulo; 2a etapa: São Paulo-Porto Alegre.

29. a. 30. d.

página 6

Se tivermos o zero nas centenas, significa que não há centenas nesse número (o número considerado deve ter 3 algarismos). página 20

1

31. 36 tetraedros 32. a. 33. c. 34. 210

rEVisÃO páginas 41 a 45

1. a. 2. d. 3. e. 4. a. 5. 180 sugestões 6. 270 725 maneiras

35. b. 36. n 5 10 capitais 37. c. 38. e. 39. e. 40. a. 41. a) 40 maneiras diferentes b) 18 maneiras diferentes

42. c. As resoluções encontram-se no portal, em Resoluções e Gabaritos.

6

GUIA DO PROFESSOR

rEFErÊnciAs bibliOGráFicAs

MATEMçTICA

çLGEBRA

çVILA, G. C‡lculo 1: fun•›es de uma vari‡vel. Rio de Janeiro: Livros TŽcnicos e Cient’ficos, 1982. BOYER, Carl B. Hist—ria da Matem‡tica. S‹o Paulo: Edgard BlŸcher/Edusp, 1974. COLE‚ÌO do Professor de Matem‡tica. Rio de Janeiro: SBM, 1993. 14 v. DANTE, L. R. Did‡tica da resolu•‹o de problemas de Matem‡tica. 12. ed. S‹o Paulo: çtica, 1997. DAVIS, P. J.; HERSH, R. A experi•ncia matem‡tica. Rio de Janeiro: Francisco Alves, 1989. LIMA, E. L. et al. A Matem‡tica do Ensino MŽdio. Rio de Janeiro: SBM, 1997. (Cole•‹o do Professor de Matem‡tica, v. 1-2.) MORETTIN, P. A.; BUSSAB, W. O. Estat’stica b‡sica. S‹o Paulo: Atual, 1981. POLYA, G. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interci•ncia, 1986. . Mathematical discovery. New York: John Wiley & Sons, 1981. 2 v. REVISTA do Professor de Matem‡tica. S‹o Paulo: SBM, 1982/1998. v. 1-36.

An‡lise combinat—ria

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ANOTA‚ÍES

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GUIA DO PROFESSOR

O sistema de ensino SER quer conscientizar seus alunos sobre os problemas da atualidade. Pensando nisso, apresentamos, no Ensino MŽdio, capas com animais da fauna brasileira em extin•‹o. Esperamos que as imagens e as informa•›es fornecidas motivem os estudantes a agir em favor da preserva•‹o do meio ambiente. A tartaruga-de-couro (Dermochelys coriacea) Ž um animal cosmopolita que pode ser encontrado nos oceanos tropicais e temperados. ƒ uma espŽcie de h‡bitos migrat—rios: o deslocamento das ‡reas de alimenta•‹o e descanso atŽ as de reprodu•‹o pode chegar a 4 mil quil™metros. Entretanto, essas tartarugas s— se reproduzem na regi‹o onde nasceram, e, quando uma ‡rea sofre dano severo, o processo de recupera•‹o da reprodu•‹o Ž bastante complexo, porque Ž praticamente imposs’vel deslocar f•meas para a desova. No Brasil, desde 1982 o Projeto Tamar/ICMBio protege os ninhos das tartarugas e tenta evitar a a•‹o humana nas ‡reas de desova. No entanto, a ocupa•‹o da zona costeira, a pesca artesanal, a industrializa•‹o e a polui•‹o das ‡guas impactam severamente a popula•‹o desses animais, o que os levou ˆ categoria de Òcriticamente amea•ados de extin•‹oÓ.

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PROFESSOR

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