7. Logaritmos y propiedades

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GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA Logaritmos y propiedades

Desafío b Si el a% de es 20, con a y b mayores que 1, entonces es siempre correcto afirmar que 5  

Matemática

Programa Entrenamiento

I) log a • log b = 4 II) logb a = III) log100

4 –1 log b

( log4 b ) = 2 – log a

Es (son) verdadera(s) A) B) C) D) E)

solo I. solo II. solo I y III. solo II y III. I, II y III.

Mis observaciones

GUICEN025MT21-A16V1

Resolución

1

Programa

Entrenamiento

Marco teórico Logaritmos Corresponde al exponente al cual hay que elevar la base para obtener el argumento.

Cambio de base logp b loga b = logp a

a: base (a > 0 y a ≠ 1) b: argumento (b > 0)

loga b = n ⇔ an = b

loga a = 1 loga 1 = 0 log a = log10 a

Logaritmo de un producto

Logaritmo de una potencia

loga (b • c) = loga b + loga c

loga (bm) = m ⋅ loga b Propiedades

Logaritmo de un cuociente loga

Logaritmo de una raíz

()

b = loga b – loga c c

loga

Estas propiedades están definidas para a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0 y m ≠ 0

2

m

1

�b = m • loga b

MATEMÁTICA

GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA

Ejercicios PSU

1.

El valor numérico de la expresión

log5 5 + log2 32 log3



A) B) C)

–3 8,5 12

D) E)

() 1 9

es

51 ninguno de los valores anteriores.

2. Si p = 125– 1, ¿cuál es el valor numérico de log5 p3?

A) B) C)

– 125 –9 –3

D) E)

–1 3

3.

El valor numérico de la expresión (log 0,001 + log0,3 0,0081) es



A)

1

D)

B)

1 2

–1 2

E)

–1



C)

0

4.

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?



I)



A) B) C)

log 1 • log 15 = log 15 1 • log 20 < 0 II) log 2 III) log 3 • log 10 = log 3 Solo I Solo II Solo III

D) E)

Solo I y II Solo II y III

3

Programa

Entrenamiento

5.

El valor numérico de la expresión

A) 2 B) 3 C) 4

6.

)

es

D) 6 E) ninguno de los valores anteriores.

D) E)

2 • log 3 • log 1.000 3 + 2 • log 3

¿Cuál de las siguientes opciones es igual a log 50?

log 100 A) log 2 B) 2 • log 5 + 1

D)

log 20 + log 30

E)

log 2 + 2 • log 5



C)

log 5 • log 10

8.

Si log2 m – log2 n = 5, con m > 0 y n > 0, entonces el cuociente

A) 10 B) 25 C) 32

9.

D) 64 E) 128

Si log 2 = x, entonces log 400 en términos de x es

A) 2x2 B) x2 + 2 C) 2x2 + 2

4

log3 27

log 3.0002 =

A) 6 • log 1.000 B) 2 • log 3 + 6 C) 2(6 + log 3)

7.

(

log3 (9 • 81)

D) 2x + 2 E) 2x + 10

m es igual a n

10. Si a, b, c, n y x son números positivos y distintos de 1, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?

A)

logb b = 1

D)

logc 1 = 0



B)

logx xn = n

E)

log ab = log a + b



C)

loga b = log b : log a

MATEMÁTICA

GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA

11. ¿Cuál de las siguientes opciones es igual a log 36? log 72 A) log 2

D) 6 • log 2



B)

log 30 + log 6

E)



C)

log 4 • log 9

2 • log 2 + 2 · log 3

12. Si b > 1, entonces log4 (logb b16) es A) 0 B) 1 C) 2

13. Si (x + y) > 1, entonces

A) B) C)

3 • log(x + y) log(x + y) 2

D) 4 E) ninguno de los valores anteriores.

(

)

log(x + y)3 – log(x + y) es log(x + y) D) E)

0 ninguno de los resultados anteriores.

14. Se tiene un cuadrado de lado log6 216, entonces su área es A) 6 B) 9 C) 36

D) E)

72 ninguno de los valores anteriores.

5

Programa

Entrenamiento

13

15. Si log 1 �13 = x, entonces x es igual a 13

–1 A) 13

( )

1 B) 13

13

• 13�13

D)

log 13

E)

ninguno de los valores anteriores.

D) E)

log 36 log 24

1 C) 13

16. 2 • log 2 + 3 • log 3 = A) 6 • log 6 B) 5 • log 5 C) log 108

17. Si log2 64 + log4 64 + log8 64 + log16 64 = k, entonces ¿cuál es el valor de k?

A)

6 + 3�2

B)

25 2



30

C)





D)

64

E)

256

18. Se define (∇ n) = logn (1 + log2 n), con n un número positivo distinto de 1. ¿Cuál(es) de las siguientes operaciones da(n) como resultado un número racional? I) (∇ 2) II) (∇ 4) III) (∇ 8)

6

A) B) C)

Solo I Solo III Solo I y III

D) E)

Solo II y III I, II y III

()

()

log4 1 log3 1 3 4 + 19. El resultado de es log4 3 + 1 log3 4 + 1 A) – 2 B) – 1 C) 0

D) 1 E) 2

MATEMÁTICA

GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA

20. Sean a y b dos números positivos distintos de 1. La afirmación “el logaritmo en base 10 del producto entre a y b es mayor que el producto entre el logaritmo en base 10 de a y el logaritmo en base 10 de b” siempre se cumple cuando I) a y b son inversos multiplicativos entre sí. II) b = 10 III) a = b2

Es (son) verdadera(s)



A) B) C)

solo II. solo III. solo I y II.

D) E)

I, II y III. ninguna de ellas.

21. ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) verdadera(s)?

( )

1 =–6 18



I)

log3



II)

Si logx 64 = – 2, entonces x =



III) Si log5 x = 3, entonces x = 15.



A) B) C)

Solo I Solo II Solo III

1 . 8

D) E)

Solo II y III Ninguna de ellas.

22. Si log (a2) = p, con a positivo, entonces (log a)2 es

A)

p

p2 B) 4

D) 2p2 E) 4p2

p2 C) 2

7

Programa

Entrenamiento

23. Si a > 1, b > 1 y c > 1, entonces log (abc) − log (ab) − log(a) es A) log

() ()

c a

B) log a c

C)

D)

log (abc)

()

E) log b c

log (ab)

24. Si log a = 0,25 y log b = 0,4, entonces el valor de log

(� ) a • b2 b5

es igual a



A)

4

D)

1 20



B)

2

E)

faltan datos para determinarlo.

5 3

C)

25. Si n y x son números positivos distintos de 1, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) siempre equivalente(s) a logn x?

I)

– logn

II)

( 1x )

log2 x

log2 n



III)

(logx n)– 1



A) B) C)

Solo I Solo I y II Solo I y III

D) E)

Solo II y III I, II y III

26. La mitad de la suma entre loga (2a) y loga (4a) se puede expresar como

8



A) loga 2�2 B) 1 + 3 • loga 2 C) 3 • loga 2 D) 1 + loga 3



E)

1 + loga 2�2

27. Se puede determinar que la expresión logx y, siempre pertenece a los números reales si: (1) x es un número primo. (2) y es un número real positivo.

A) B) C)

(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2).

D) E)

Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional.

MATEMÁTICA

GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA

28. Sea log2 x – log2 y = m. Se puede determinar el valor numérico de m si: (1) x = 4y (2) x es positivo.

A) B) C)

(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2).

D) E)

Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional.

29. Sean m y p números positivos, se puede determinar el valor de logm p si:

(1) logp (m • p) = 4



(2) logm • p m =



A) B) C)

3 4

(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2).

D) E)

Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional.

30. Sean P = log a y Q = log b puntos en la recta numérica, tales que 0 < a < b. Se puede determinar el valor numérico de la longitud de PQ si: (1) b – a = 45 (2) b = 10 • a

A) B) C)

(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2).

D) E)

Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional.

9

Programa

Entrenamiento



Tabla de corrección Ítem

10

Alternativa

Habilidad

1

Aplicación

2

Aplicación

3

Aplicación

4

ASE

5

Aplicación

6

Aplicación

7

Aplicación

8

Aplicación

9

Aplicación

10

Comprensión

11

Aplicación

12

Aplicación

13

Aplicación

14

Aplicación

15

Aplicación

16

Aplicación

17

Aplicación

18

ASE

19

Aplicación

20

ASE

21

Aplicación

22

Aplicación

23

Aplicación

24

Aplicación

25

ASE

26

Aplicación

27

ASE

28

ASE

29

ASE

30

ASE

Mis apuntes

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