Propiedades de los logaritmos. Cambio de base-convertido

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ESCUELA DE EDUCACIÓN TÉCNICA Nº 34 “Gral. Enrique Mosconi” Sarmiento 380 - (3133) - María Grande Tel: 0343-4940287 – Celular: 343-4541138

Especialidad Ciclo Superior: Maestro Mayor de Obras Espacio curricular: Análisis Matemático Profesor/es: Kapp, Lucrecia Curso: 5° año

División: M.M.O.

Nombre de Actividad/Tema: Propiedades de Logaritmos. Cambio de base.

¡¡Buenas tardes, estudiantes!! Por este corto periodo, volvemos a la virtualidad como prevención. En estos casos, pueden realizar sus consultas vía WhatsApp (3435336363) o mail ([email protected]) Recordemos que la última clase en la que nos encontramos estuvimos viendo algunas propiedades de logaritmos, las cuales son las siguientes (copien en sus carpetas las que les falten):

•

El logaritmo de la base es 1:

log 𝑎 𝑎 = 1

Por ejemplo:

log 5 5 = 1

•

El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos: log 𝑎 (𝑋. 𝑌) = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑋 + log 𝑎 𝑌 Por ejemplo: log 8 (8 . 64) = log 8 8 + log 8 64 = 1 + 2 = 3

•

El logaritmo de un cociente es la resta de los logaritmos: 𝑋 log 𝑎 = log 𝑎 𝑋 − log 𝑎 𝑌 𝑌 32 Por ejemplo: log 2 256 = log 2 32 − log 2 256 = 5 − 8 = −3

•

El logaritmo de una potencia: El exponente pasa a multiplicar como constante al logaritmo. log 𝑎 𝑋 𝑌 = 𝑌. log 𝑎 𝑋 Por ejemplo: log 9 92 = 2 . log 9 9 = 2 . 1 = 2

•

El logaritmo de una raíz se expresa como potencia fraccionaria (recordar las propiedades de la potenciación): Por ejemplo:

5

1

log 7 √49 = log 7 495 =

1 5

. log 7 49 =

1 5

.2 =

2 5

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Aplicando las propiedades anteriores, calcular: 1) log 2005 2005 = 2) log 653 653100 = 3) log 9 (81 . 9) = 4) log 4 5) 6) 7) 8) 9)

64 1024

=

log 4 24 − log 4 6 = log 8 2 + log 8 256 = log 5 (125)4 = log 6 (216 . 610 = log16 (165 . 16) =

10) log 7 (

492 .73 7

)=

Bases importantes en los logaritmos Las dos bases más utilizadas en los logaritmos son la base 10 y la base 𝑒. El número 𝑒 es un número irracional que es aproximadamente igual a 2.71828…, y el logaritmo con base 𝑒 suele llamarse logaritmo natural o neperiano. El logaritmo con base 10 suele llamarse logaritmo decimal; en este caso, se puede omitir escribir la base. La notación usada, respectivamente, es:

logaritmo de base 𝑒 (natural): 𝐥𝐨𝐠 𝒆 𝒂 𝑜 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖é𝑛 𝐥𝐧 𝒂 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑠𝑒 10 (𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙): 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟎 𝒂 𝑜 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖é𝑛 𝐥𝐨𝐠 𝒂 OBSERVEMOS: Si revisan el teclado de una calculadora científica notarán que solo aparecen dos teclas para el cálculo de logaritmos: log y ln. Si, por ejemplo, queremos encontrar el valor de: log7 40 tendríamos inconvenientes ya que sabemos que al elevar 7 a la 1 el resultado es 7 y si lo elevamos a la 2 obtenemos 49. Esto nos permite afirmar que el resultado de este logaritmo es algún número real entre 1 y 2, pero ¿cuál? La calculadora tampoco nos permite obtener el valor directamente ya que las dos teclas que aparecen manejan la base 10 y la base 𝑒. En estos casos, utilizaremos una propiedad llamada cambio de base. La misma es la siguiente: log𝑐 𝐵 log𝐴 𝐵 = log𝑐 𝐴 ¿Cómo se utiliza? Resolvamos, con ayuda de una calculadora científica, el log7 40. Tenemos la posibilidad de calcularlo usando la base 10 o la base 𝑒. Verifiquemos que de ambas formas el resultado es el mismo.

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Actividad: Calcular los siguientes logaritmos con ayuda de la calculadora y la propiedad de cambio de base. Redondear a cuatro cifras decimales: