17 Matemática - Propriedades dos logaritmos

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LOGARITMO

PROPRIEDADES E EXERCÍCIOS

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PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS Considere um número real n, e três números reais a, b e c, tais que 0 < a ≠ 1,b > 0e c > 0 . Dessa forma, temos:

1ª) Logaritmo do produto loga (b ⋅ c) = loga b + loga c Demonstração: Considere três números reais w, j e k, tais que loga (b = ⋅ c ) w, log = j e log = k. ab ac Pela definição de logaritmo temos: loga b =j   ↔    a j =b (I) loga c = k  ↔    ak =c (II) loga (b ⋅ c ) =w ↔  aw =b ⋅ c (III) Substituindo (II) e (III) em (I), temos aw =b ⋅ c = a j   ⋅ ak = a j+k  ⇒  aw = a j+k ⇒ w = j + k

Demonstração: Considere dois números reais w e j, tais que loga bn = w e loga b = j . Pela definição de logaritmo temos: loga bn =w   ↔    aw =bn               (I) loga b = j       ↔    a j  = b                (II)

Elevando os membros da equação (II) a n, temos: n n a j =⇒ b      a j = bn (b )   ⇒     a jn =

( )

Mas, na equação (I), temos que bn = aw , substituindo temos: a jn = aw  ⇒  jn = w Logo,  loga bn= n ⋅ loga b Exemplo: log2 35= 5 ⋅ log2 3

OBSERVAÇÃO •

Se

, então

Logo,   loga (b ⋅ c= ) loga b + loga c

1

  loga n b= loga bn=

Exemplo: log5= 6 log5 2 = ⋅ 3 log5 2 + log5 3

A demonstração dessa observação é análoga à feita na 3ª propriedade. Tente fazer!

2ª) Logaritmo do quociente b   loga=  c  loga b − loga c  

1 ⋅ loga b n

•

Para relembrar, como já visto no módulo anterior, também temos que: * Se 0 < a ≠ 1, b > 0 e  n ∈  , então:

Demonstração: A demonstração da 2ª propriedade é inteiramente análoga à feita na 1ª propriedade. Tente fazer! Exemplo:

  log n b= a

•

1 ⋅ loga b n

   * , 0 < c ≠ 1, b > 0 ,então: Se b, c∈

clogc b = b

3ª) Logaritmo da potência   loga bn= n ⋅ loga b

A demonstração dessa observação é análoga à feita na 3ª propriedade. Tente fazer! Exemplo: 5log5 7 = 7

PROENEM

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LOGARITMO - PROPRIEDADES E EXERCÍCIOS

Aplicações das propriedades Sabendo que o log 2 = 0,3 e log 3 = 0,47, determine os logaritmos abaixo: EX1:

Exemplos: 1) Se logx + logx2 + logx3 + logx4 = –20 o valor de x é: a) 10 b)

0,1

log6 =   log2 ⋅ 3= log2 + log3= 0,3 + 0,47= 0,77

c)

100

EX2:

d)

0,01

e)

1

15 3 log1,5 =   log = log = log3 − log2 = 0,47 − 0,3 = 0,17 10 2

EX3: log2 1024 = log2 210 = 10 ⋅ log2 2 = 10 ⋅ 1= 10 EX4: log25 5 = log 2 5 = 5

EX5:

Solução:

logx + 2 ⋅ logx + 3 ⋅ logx + 4 ⋅ logx =−20

1 1 1 ⋅ log5 5 = ⋅ 1 = 2 2 2

10logx = −20 → logx = −2 10−2 = x → x = 0,01

3log3 7 = 3log3 7 = 7 EX6:

2)Para quaisquer reais positivos A e B, o resultado da expressão logAB3. logBA2 é a) 10

log108 = Fatorando o 108, achamos que 108 = 22 ⋅ 33 2. 3 2 3 log108 = log2 log3 = log2 + log3 = 2 . log2 + 3 . log3 = 2 . 0,3 + 3.0,47 = 2,01 5 EX7: 8log2 5 =   8log2=

(2 )

3 log2 5

3

5 3 = 23⋅log2= 2log2 5= 5= 125

ATENÇÃO

b)

6

c)

8

d)

a.b

e)

12 Solução: logA B3 ⋅ logB A2 = 3 ⋅ logA B ⋅ 2 ⋅ logB A = 3 ⋅

O logaritmo decimal de 5 pode ser escrito de outra maneira: log5 = log

1 ⋅ 2 ⋅ logB A = 3 ⋅ 2 = 6 logB A

10 = log10 − log2 = 1− log2 2

Assim, como o valor de log2 é um número irracional, é necessária uma aproximação e virá no enunciado para você.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS Acesse os códigos de cada questão para ver o gabarito

QUESTÃO 01

10

QUESTÃO 02

Se log 2 = 0,301, o valor de log1001 280 é:

Se x = log47 e y = log1649, então x - y é igual a:

a)

1,0535 

a)

log47 

b)

1,107 

b)

log167

c)

1,3535

c)

1

d)

1,5535

d)

2

e)

2,107

e)

0

MATEMÁTICA I

QUESTÃO 03 Seja m a solução da equação

QUESTÃO 06 4

9 x = 27 , o valor de

a)

–2

(Feevale) O número de partidos políticos registrados no Tribunal Superior Eleitoral (TSE) em abril de 2017, no Brasil, está representado na equação a seguir por x, onde = x 25 + log 1.000.

b)

–1

Esse número é

c)

0

a)

32

d)

3

b)

33

e)

6

c)

34

d)

35

e)

36

m log2  é: 12

QUESTÃO 04

QUESTÃO 07

(UFCE) Se log7875 = a, então log35245 é igual a: a)

(a+2)/(a+7)

b)

(a+2)/(a+5)

c)

(a+5)/(a+2)

d)

(a+7)/(a+2)

e)

(a+5)/(a+7)

(Ifal 2018) Determine o valor do log9 (243).

QUESTÃO 05 (Uece) Se Ln 2 ≅ 0,6931, Ln 3 ≅ 1,0986, pode-se afirmar corretamente que L x ≡ é igual a

a)

1 . 2

b)

1.

c)

5 . 2

d)

2.

e)

5 . 2

n

QUESTÃO 08

Dados: Ln x ≡ logaritmo natural de x a)

0,4721

b)

0,3687

c)

0,1438

d)

0,2813

(UFRGS 2019) O valor de

 1 2  999  = E log   + log   +  + log   2 3  1.000  a)

–3.

b)

–2.

c)

–1.

d)

0.

e)

1.

PROENEM

11

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LOGARITMO - PROPRIEDADES E EXERCÍCIOS

Sabe-se que, nesse banco, o índice de risco de morte pela prática do evento BASE jumping é igual a 8.

QUESTÃO 09 (Ifal) Nas análises químicas de soluções, o pH é muito utilizado e, através dele, o químico pode avaliar a acidez da solução. O pH de uma solução, na verdade, é uma função logarítmica dada por: pH=-log [H+] Onde: [H+] é a concentração de H+ na solução (concentração hidrogeniônica). Tendo em vista essas informações, se uma solução apresentou pH 5, podemos dizer que a concentração hidrogeniônica vale a) 10-3

O risco de morte para praticantes desse esporte, segundo a avaliação do banco, é de

b) 10-5

a) 2,5%.

c) 10-7

b) 2%.

d) 10-9

c) 1%.

e) 10-11

d) 1,5%. e) 0,5%.

QUESTÃO 10

ANOTAÇÕES

(Unesp) Um banco estabelece os preços dos seguros de vida de seus clientes com base no índice de risco do evento assegurado. A tabela mostra o cálculo do índice de risco de cinco eventos diferentes.

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Evento (E)

Risco de morte (1 em n mortes)

Log n

Índice de risco de E (10-log n)

Atingido por relâmpago

1 em 2.000.000

6,3

3,7

Afogamento

1 em 30.000

4,5

5,5

Homicídio

1 em 15.000

4,2

5,8

Acidente de motocicleta

1 em 8.000

3,9

6,1

Doenças provocadas pelo cigarro

1 em 800

2,9

7,1