2 Nota de Aula - Trigonometria nos triângulos

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MATEMÁTICA Trigonometria nos triângulos

AS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

𝑡𝑔 𝛼 =

4 2 = 6 3 6

3

4

2

𝑡𝑔 𝛽 = =

Razões triginométricas em um triângulo retângulo.

1

Considerando um ângulo agudo 𝛼, estabelecemos as seguintes razões: 𝒔𝒆𝒏 𝜶 =

𝒎𝒆𝒅𝒊𝒅𝒂 𝒅𝒐 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒂 𝜶 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒅𝒂 𝒅𝒂 𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂

𝒄𝒐𝒔 𝜶 =

𝒎𝒆𝒅𝒊𝒅𝒂 𝒅𝒐 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒋𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂 𝜶 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒅𝒂 𝒅𝒂 𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂

𝒕𝒈 𝜶 =

𝒎𝒆𝒅𝒊𝒅𝒂 𝒅𝒐 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒂 𝜶 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒅𝒂 𝒅𝒐 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒋𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂 𝜶

03) No triângulo retângulo abaixo, determine a medida da hipotenusa, o seno e o cosseno de 𝛽.

04) Calcule x. Considere: 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 0,6; cos 𝛼 = 0,8 ; 𝑡𝑔 𝛼 = 0,75.

ARCOS NOTÁVEIS

Seno Cosseno tangente

30° 1 2 √3 2 √3 3

45° √2 2 √2 2

60° √3 2 1 2

1

√3

05) Uma escada de 8 m de comprimento está encostada em uma parede. A distância entre o pé da escada e a parede é de 4 m. Determine o ângulo formado entre a escada e a parede. 06) Determine as medidas de x e y nos seguintes triângulos:

EXERCÍCIOS 01) Determinar o seno, o cosseno e a tangente dos ângulos de um triângulo retângulo cujos catetos são 6 cm e 4 cm. 𝛽 4 cm 𝛼 6 cm Solução Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: 𝑎 2 = 𝑏 2 + 𝑐 2  𝑎 2 = 62 + 42 𝑎2 = 36 + 16  𝑎2 = 52  𝑎 = √52 𝑎 = 2√13 𝑐𝑚 4 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = cos 𝛽 = 2√13 4 √13 2√13 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = cos 𝛽 = . = 13 2√13 √13 6 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = sen 𝛽 = 2√13 6 √13 3√13 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = sen 𝛽 = . = 13 2√13 √13

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07) A altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo mede 15 cm. Sabendo que esse triângulo tem um ângulo de 60°, determine as medidas aproximadas de seus catetos.

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02) Determine o seno, o cosseno e a tangente do ângulo 𝛼 do triângulo retângulo abaixo.

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12) Calcule o diâmetro do círculo circunscrito ao ̅̅̅̅ mede 6 √2 triângulo ABC, sabendo que o lado 𝐵𝐶 cm, e o ângulo 𝐴̂ 45°.

Em todo triângulo, os lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos. EXERCÍCIOS 08) Calcule x nos triângulos abaixo: a)

b)

09) Um agrimensor quer medir a distância entre duas árvores que se encontram em margens opostas de um rio. A partir de um ponto C, ele obteve as seguintes medidas: AC = 20 m, 𝐴̂ = 75° e 𝐶̂ = 45°. Qual é a distância entre as duas árvores? Dados: (sen 45° = 0,71; sen 60° = 0,87 e sen 75° = 0,97).

Em todo triângulo, o quadrado de qualquer um dos lados é igual à soma dos quadrados dos outros dois, diminuída do dobro do produto desses lados pelo cosseno do ângulo por eles formado. EXERCÍCIOS 13) Calcule x nos triângulos abaixo. a)

10) Duas árvores localizam-se em lados opostos de um lago. O ângulo entre as linhas de visão de um observador que as vê é de 120° e o ângulo formado por uma dessas linhas e a linha que une as árvores é de 45°. Sabendo que a 3ª linha mede 100 m, qual é a distância entre as árvores?

b)

c)

14) Determine o terceiro lado de um triângulo, sabendo que entre os lados de 4 cm e 6 cm formase um ângulo cujo cosseno é √2/3. 15) Uma ponte deve ligar os pontos A e B indicados na figura. Para executar esse projeto, o engenheiro responsável levantou as seguintes

11) Calcule o raio do círculo circunscrito ao triângulo ̅̅̅̅ mede 18 cm, e o ABC, sabendo que o lado 𝐵𝐶 ângulo 𝐴̂ 120°. www.cursounipre.com.br (21) 4101-1013

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medidas: AC = 30 m, BC = 50 m e 𝐶̂ = 120°. Qual deve ser a extensão da ponte?

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16) Calcule o valor de x em cada caso: a)

b)

c)

17) Num triângulo ABC, temos 𝐴̂ = 60°, 𝑎 = √7 𝑒 𝑏 = 3, determine o lado c. 18) (PUC-SP) A figura a seguir é um corte vertical de uma peça usada em certo tipo de máquina. No corte aparecem dois círculos de 3 cm e 4 cm, um suporte vertical e um apoio horizontal.

A partir das medidas indicadas na figura, concluise que a altura do suporte é: a) 7 cm b) 11 cm c) 12 cm d) 14 cm e) 16 cm

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Respostas 01. RESOLVIDA 02. 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 03. 04. 05. 06.

3√10 10

, 𝑐𝑜𝑠 𝛼 =

√10 10

, 𝑡𝑔 𝛼 = 3

3√34

𝑥 = √34, 𝑠𝑒𝑛 𝛽 = , 𝑐𝑜𝑠 𝛽 = 34 36 u.c. 30° a) 𝑥 = 5 𝑐𝑚 𝑒 𝑦 = 5√3 𝑐𝑚 b) 𝑥 =

50√3 3

5√34 34

𝑐𝑚 𝑒 𝑦 = 30°

c) 𝑥 = 4√3 𝑐𝑚 𝑒 𝑦 = 30° 07. 10√3 𝑐𝑚 𝑒 30 𝑐𝑚 08. a) 5√6 20√3

09. 10. 11. 12. 13.

14. 15. 16. 17. 18.

b) 3 16,32 𝑚 50√6 𝑚 6√3 𝑐𝑚 12 𝑐𝑚 a) 2√7 b) √10 c) 120° 2√13 − 4√2 𝑐𝑚 70 𝑚 a) √5; b) 5√3; c) 8 𝑐 = 1 𝑜𝑢 𝑐 = 2

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